Lugares geométricos básicos I

(1)

Lugares geom´

etricos b´

asicos I

MA13 - Unidade 5

Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Cole¸c˜ao PROFMAT

(2)

Defini¸c˜ao

Lugar Geom´etrico da propriedade P ´e o conjunto de todos os pontos que possuem essa propriedade.

(3)

A circunferˆ

encia

Dados o ponto O e o segmento r , a circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos que distam r de O.

b

O

bA

r

(4)

A mediatriz

A mediatriz do segmento AB ´e a reta perpendicular a esse segmento que passa pelo seu ponto m´edio.

A mediatriz de um segmento ´e o lugar geom´etrico dos pontos que equidistam das extremidades do segmento.

b A b B bP b M Demonstra¸c˜ao

a) Todo ponto da mediatriz do segmento AB equidista de A e B. Seja r a mediatriz de AB, M o ponto m´edio de AB e seja P um ponto de r .

Os triˆangulos PMA e PMB s˜ao congruentes (LAL). Logo, PA = PB.

(5)

b) Todo ponto fora da mediatriz n˜ao equidista de A e B. b A b B b M bP b Q

Seja P um ponto que não pertence à mediatriz r do segmento AB. Imagine que P está no semiplano de r que contém B.

Trace PA e PB. O segmento PA corta r em Q.

Trace QB. Como Q pertence a r ent˜ao QA = QB pelo item anterior.

No triˆangulo PQB a desigualdade triangular d´a PQ + QB > PB. Isto quer dizer que PQ + QA > PB, ou seja, PA > PB.

Um enunciado equivalente ´e: Um ponto equidista de dois pontos A e B se, e somente se, pertence `a mediatriz do segmento AB.

(6)

A bissetriz

A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos lados desse ângulo.

b O b P b A b B

A demonstra¸c˜ao fica para o leitor. Aten¸c˜ao:

Um enunciado equivalente é: Um ponto equidista dos lados de um ângulo se, e somente se, pertence à bissetriz desse ângulo.

(7)

Problema

São dados dois pontos fixos A e B. Determine o lugar geométrico do ponto P sabendo que o ângulo APB é reto.

b A b B b M b P b C Resposta

O LG é a circunferência de diâmetro AB, exceto os pontos A e B. Sugestão para demonstra¸cão

Assinale o ponto M, m´edio de AB.

Prolongue PM de um segmento MC igual a PM. Analise o quadril´atero PACB.

(8)

Mediana relativa `

a hipotenusa

No triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa. b A b B b M b P

A demonstra¸c˜ao decorre do problema anterior.

(9)

Problema

Se em um triângulo ABC a mediana relativa ao vértice A é igual à metade do lado BC então esse triângulo é retângulo em A.

Solu¸c˜ao:

(10)

Lugares geom´

etricos b´

asicos II

MA13 - Unidade 5

(11)

Arcos de uma circunferˆ

encia

A medida de um arco é, por defini¸cão, a medida do seu ângulo central. arc AB = θ b A b O b B θ

(12)

ˆ

Angulo inscrito

A medida do ângulo inscrito é a metade da medida do arco que ele subtende na circunferência.

∠AVB = θ = arc AB 2 b A b B b V θ

(13)

Arco capaz

São dados um segmento AB e um ângulo θ. Defini¸cão:

O lugar geom´etrico do ponto P situado em um mesmo semiplano determinado pela reta AB e tal que ∠APB = θ chama-se arco capaz do ˆangulo θ sobre o segmento AB.

∠APB = θ = θ0 = ∠AP0B. b A b B b P b P′ θ θ′

(14)

Constru¸

c˜

ao do arco capaz

S˜ao dados um segmento AB e um ˆangulo θ. Siga os passos:

1. Desenhe o segmento AB (horizontal).

2. Desenhe a reta r , mediatriz de AB.

3. Desenhe, abaixo da reta AB a semirreta AX tal que ∠BAX = θ.

4. Trace por A a reta AY perpendicular a AX .

5. A interse¸c˜ao de AY com r ´e o ponto O.

b A b B b O bY b θ _r

6. Desenhe acima da reta AB o arco de centro O com extremidades A e B.

7. Esse arco é o arco capaz do ângulo θ constru´ıdo sobre AB. Obs: Uma semicircunferência de diâmetro AB é

chamada de lugar geom´etrico de 90◦ sobre AB. b

A bB

bP

(15)

Problema

Construir o triângulo ABC conhecendo o lado BC = a, o ângulo ∠BAC = θ e a altura relativa ao vértice A igual a h.

Solu¸c˜ao: Siga os passos e observe o desenho a seguir

1. Desenhe uma reta r .

2. Sobre r assinale pontos B e C tais que BC = a.

3. Construa o arco capaz do ˆangulo θ sobre BC .

4. Construa a reta s paralela a r , de forma que a distˆancia entre r e s seja h.

5. Um dos pontos de interse¸cão de s com o arco capaz é o ponto A. O triângulo está constru´ıdo.

b B b C a b b h b A s r θ

(16)

Triˆ

angulos e circunferˆ

encias I

MA13 - Unidade 6

(17)

Triˆ

angulos e circunferˆ

encias

Duas secantes a uma circunferˆencia cortam-se em um ponto P interior a ela.

A medida de um ângulo de vértice P é igual a semissoma das medidas dos arcos interiores ao ângulo.

Na figura a seguir, α = arc AB + arc CD

2 . b A b B b C b D b α

(18)

Duas secantes a uma circunferˆencia cortam-se em um ponto P exterior a ela.

A medida de um ângulo de vértice P é igual ao módulo da semidiferen¸ca das medidas dos arcos interiores ao ângulo. Na figura a seguir, α = arc AB − arc CD

2 . b A b B b C b D b α

(19)

ˆ

Angulo de segmento

Uma corda de uma circunferˆencia e a tangente em uma das extremidades determinam um ˆangulo de segmento.

A medida do ângulo de segmento é a metade da medida do arco interior ao ângulo.

Na figura a seguir, α = arc AB 2 . b A b B t α

(20)

A circunferˆ

encia circunscrita ao triˆ

angulo

Teorema

As mediatrizes dos lados de um triˆangulo cortam-se em um ´

unico ponto. Demonstra¸c˜ao

Considere o triˆangulo ABC , a reta r , mediatriz de AB e a reta s, mediatriz de BC . b O b B b A b_C r s

Seja O o ponto de interse¸c˜ao de r e s.

O ∈ r ⇒ OA = OB e O ∈ s ⇒ OB = OC Logo, OA = OC e, portanto, O pertence `a mediatriz de AC .

(21)

Circuncentro

O ponto O chama-se circuncentro do triângulo ABC e é o centro da sua circunferência circunscrita.

b O b B b A b C r s

(22)

A circunferˆ

encia inscrita no triˆ

angulo

Teorema

As bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo cortam-se em um único ponto.

Demonstra¸c˜ao

Fica para o leitor seguindo os passos da demonstra¸c˜ao anterior.

b I b b b b A b B b C

O ponto I , comum às três bissetrizes internas chama-se incentro do triângulo ABC e é o centro da sua circunferência inscrita.

(23)

Triˆ

angulos e circunferˆ

encias II

MA13 - Unidade 6

(24)

As circunferˆ

encias exinscritas no triˆ

angulo

Uma circunferˆencia exinscrita ´e tangente a um lado e aos prolongamentos dos outros dois.

A figura a seguir mostra, no triângulo ABC, a circunferência exinscrita relativa ao vértice A (ou ao lado a, se preferirem).

b A b B b C b I′

(25)

O centro I0 dessa circunferência é o ponto de interse¸cão da bissetriz interna em A e das bissetrizes externas em B e C .

b A b B b C b I′ b b bb

(26)

Trˆ

es circunferˆ

encias exinscritas de um triˆ

angulo

b A b B b C b b b

(27)

Tangentes a uma circunferˆ

encia

P1) A reta perpendicular a um raio de uma circunferência tra¸cada pela sua extremidade é tangente à circunferência. Na figura abaixo a reta t passa por A e é perpendicular ao raio OA. A reta t é tangente à circunferência.

b

A

b

O

t

(28)

P2) Os segmentos das tangentes tra¸cadas por um ponto exterior a uma circunferˆencia s˜ao iguais.

Na figura abaixo, PA = PB. b P bO b B b A

Para justificar, observe a congruência dos triângulos POA e POB. P3) Se PA e PB são tangentes a uma circunferência, então a bissetriz do ângulo APB passa pelo centro da circunferência.

(29)

Problema

Os lados de um triângulo são conhecidos. Os pontos de tangência da circunferência inscrita com os lados dividem cada lado em dois peda¸cos. Quanto medem todos esses seis segmentos?

Solu¸c˜ao: b N bP b M b A b B Cb Sejam AB = c, BC = a e CA = b. Seja a + b + c = 2p. Pela propriedade P2 desta aula fa¸camos AM = AP = x , BM = BN = y e CN = CP = z.

Temos ent˜ao o sistema x + y = c, y + z = a, z + x = b. Somando as equa¸c˜oes obtemos x + y + z = p e como y + z = a obtemos x = p − a.

Analogamente obtemos y = p − b e z = p − c.

(30)

Problema

No triângulo ABC de per´ımetro 2p a circunferência exinscrita relativa ao vértice A tangencia a reta AB no ponto T . Mostre que AT = p.

Sugest˜ao:

Use a propriedade P2 desta aula.

b A b B b C b T

(31)

Quadril´

ateros inscrit´ıveis e circunscrit´ıveis I

MA13 - Unidade 7

(32)

O quadril´

atero circunscrit´ıvel

Um quadrilátero é circunscrit´ıvel quando os quatro lados são tangentes a uma mesma circunferência.

Nesse caso, dizemos que a circunferência está inscrita no quadrilátero. b A b B bC b D

(33)

Teorema de Pitot

Em todo quadril´atero circunscrit´ıvel as somas dos lados opostos s˜ao iguais. b b M b_N b P b Q b A b B bC b D

(34)

Demonstra¸

c˜

ao do Teorema de Pitot

b b M bN b P b Q b A b B bC b D

A figura acima mostra o quadrilátero circunscrit´ıvel ABCD e os pontos de tangência de cada lado com a circunferência. Temos então:

AM = AQ BM = BN CP = CN DP = DQ Somando membro a membro obtemos

AM + BM + CP + DP = AQ + DQ + BN + CN ou seja,

AB + CD = AD + BC

(35)

A rec´ıproca do Teorema de Pitot

´

E verdadeira a rec´ıproca do Teorema de Pitot.

Se em um quadrilátero os lados opostos têm mesma soma então existe uma circunferência tangente aos quatro lados.

AB +CD = AD +BC ⇒ b A b B bC b D

(36)

Problema

´

E dado o triângulo ABC . Os pontos M e N dos lados AB e AC , respectivamente são tais que o segmento MN é tangente à circunferência inscrita em ABC . Mostre que o per´ımetro do triângulo AMN é constante.

b A b B b C b M b N

(37)

Solu¸

c˜

ao do problema

Para simplificar a nota¸c˜ao sejam: AB = c, BC = a, CA = b, AM = x , MN = y e NA = z.

Como BCNM ´e circunscrit´ıvel temos, pelo Teorema de Pitot, BC + NM = BM + CN ou seja, a + y = c − x + b − y .

Isto significa que x + y + z = b + c − a. O per´ımetro do triˆangulo AMN ´e constante.

b A b B b C b M bN

(38)

Quadril´

ateros inscrit´ıveis e circunscrit´ıveis II

MA13 - Unidade 7

(39)

O quadril´

atero inscrit´ıvel

Um quadrilátero é inscrit´ıvel quando os quatro vértices pertencem a uma mesma circunferência.

b A b B b C b D

(40)

Teorema

Em um quadrilátero inscrit´ıvel os ângulos opostos são suplementares. Demonstra¸cão: b A b B bC b D

Na figura acima, sendo ˆA e ˆB as medidas dos ˆangulos DAB e BCD, respectivamente, temos ˆ A + ˆC = arc BCD 2 + arc DAB 2 = 360◦ 2 = 180 ◦

(41)

Rec´ıproca

A rec´ıproca do teorema anterior ´e verdadeira.

Se um quadrilátero possui dois ângulos opostos suplementares então ele é inscrit´ıvel.

Sugest˜ao para demonstra¸c˜ao

Considere o quadrilátero ABCD com ˆB + ˆD = 180◦. Considere, em seguida a circunferência que passa por A, B e C . Imagine que D não perten¸ca a essa circunferência ...

(42)

Reconhecimento do quadril´

atero inscrit´ıvel

1. Dois ˆangulos opostos suplementares. ˆ

A + ˆC = 180◦ ⇔ ABCD ´e inscrit´ıvel

2. Um ˆangulo interno igual ao externo oposto. α = α0 ⇔ ABCD ´e inscrit´ıvel

b A b B bC b D α α′

(43)

3. No quadril´atero ABCD, ∠ACB = ∠ADB.

α = ∠ACB = ∠ADB = α0 ⇔ ABCD ´e inscrit´ıvel De fato, o arco capaz do ˆangulo ACB constru´ıdo sobre AB passa por D. b A b B b C b D α α′

(44)

Problema

No triângulo ABC os ângulos A e B medem 60◦ e 70◦, respectivamente. Os segmentos BD e CE são alturas. Quanto mede o ângulo AED?

b B b A 70◦ 60◦ b C b E bD

(45)

Solu¸

c˜

ao

O ˆangulo ACB mede 50◦.

Como ∠BDC = ∠BEC = 90◦ o quadril´atero BCDE ´e inscrit´ıvel. Logo, ∠AED = ∠ACB = 50◦.

b B b A b C b E bD θ 50◦