Geometria Basica Aula9 Volume1

Aula 9 – Pontos not´

aveis de um triˆ

angulo

Objetivos

• Apresentar os pontos not´aveis de um triˆangulo.

• Estabelecer alguns resultados envolvendo esses elementos.

Pontos not´

aveis de um triˆ

angulo

Nesta aula veremos alguns segmentos e retas relacionados aos triˆangulos que s˜ao importantes no estudo da Geometria: medianas, bissetrizes, mediatri-zes e alturas relativas aos lados do triˆangulo. Algumas das no¸c˜oes envolvidas j´a s˜ao nossas conhecidas.

Defini¸c˜ao 22

SejaABCum triˆangulo qualquer e sejaDo ponto m´edio deBC. O segmento AD´e chamado mediana_{de ABC relativa ao lado BC. (veja figura 161).}

A

B C

D

Fig. 161: AD_{´e mediana relativa ao lado}BC_.

Da mesma forma, seE ´e o ponto m´edio deAC eF ´e o ponto m´edio de AB, os segmentos BE e CF s˜ao as medianas relativas aos lados AC e AB, respectivamente.

Defini¸c˜ao 23

Seja ABC um triˆangulo e D um ponto do lado BC tal que, BADb ≡ CAD.b

O segmentoAD´e chamado bissetriz interna relativa ao ladoBC. Da mesma forma, defini-se bissetriz interna relativa aos outros dois lados. Observe a figura 162.

A

B C

D

Fig. 162: AD_{´e bissetriz interna relativa ao lado}BC_.

Usaremos tamb´em a palavra bissetriz interna para designar a semi-reta

−−→

AD.

Defini¸c˜ao 24

As mediatrizes de AB, de AC e de BC s˜ao chamadas simplesmente de me-diatrizes _{deABC. Observe a figura 163.}

A

B _C

D

H

Fig. 163: DH

↔

Defini¸c˜ao 25

Dado um triˆanguloABC, trace a retarque passa porAe que ´e perpendicular `a reta ←BC. Seja→ R o ponto em que r e ←BC→ se cortam. O segmento AR ´e chamado de altura _{relativa ao lado BC.}

O ponto R pode pertencer ao interior BC, coincidir com B ou C, ou estar fora do segmento BC, como mostrado na figura 164. Ele ´e tamb´em chamado ”p´e da altura” relativa ao lado BC. Da mesma forma, define-se a altura relativa ao ladoAC e a altura relativa ao lado AB.

Por simplicidade de linguagem, tamb´em chamamos de altura a medida e a reta suporte de uma altura de qualquer triˆangulo.

A

B C

R

A

C

A

B

C R

B R

Fig. 164: Altura relativa ao ladoBC_.

Bissetrizes de um triˆangulo

Dado um triˆangulo ABC, considere as bissetrizes internas −AD−→ e −BE.−→ Estas se encontram em um pontoF no interior deABC, como na figura 165.

A

B C

D E

F

Fig. 165: Encontro de duas bissetrizes internas.

Para mostrar que, de fato, as bissetrizes internas s˜ao concorrentes, u-saremos o seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 18

Seja BACb um ˆangulo e seja −AD−→ a bissetriz de BAC. Seb P ∈ −−→

AD, ent˜ao P equidista de ←AB→e de ←AC. Reciprocamente, se→ P est´a no interior de BACˆ e equidista de ←AB→ e de ←AC, ent˜ao→ P ∈

−−→

AD.

Prova:

Suponha que P perten¸ca `a bissetriz −AD−→ de BAC. Trace as perpen-b diculares P X e P Y `as retas ←AB→ e ←AC, respectivamente, como na figura→ 166.

A B

C D

P

X

Y

Fig. 166: Proposi¸c˜ao 18.

Compare os triˆangulosP AY eP AX. Segue deLAAqueP AY ≡P AX

(note que P A ´e comum aos dois triˆangulos). Da´ı, obtemos que P X ≡P Y,

ou seja, que a distˆancia de P `a reta ←AB→ ´e igual `a distˆancia de P `a ←AC.→ Deixaremos como exerc´ıcio desta aula a prova de que, se P equidista de ←AB→ e de ←AC, ent˜ao→ P ∈

−−→

AD.

Q.E.D.

Provaremos, agora, como se utiliza essa proposi¸c˜ao a fim de provar que as bissetrizes internas de um triˆangulo s˜ao concorrentes. Para isso, retorne-mos `a figura 165. Como F pertence `a bissetriz de ABC, pela proposi¸c˜ao 18,b garantimos que F equidista de ←AB→e de ←BC. A mesma proposi¸c˜ao assegura→ queF equidista de←AB→e de←AC→(poisF pertence `a bissetriz deBAC). Logo,b F equidista das retas ←AC→ e ←BC. A segunda parte da proposi¸c˜ao 18 garante→ queF pertence `a bissetriz deACB, ou seja, que a bissetriz deb ACBb tamb´em passa porF.

Provamos, assim, a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 19

As bissetrizes internas de um triˆangulo s˜ao concorrentes.

Defini¸c˜ao 26

O ponto de encontro das bissetrizes internas de um triˆangulo ´e chamado de

incentro_{(veja figura 167).}

A

B C

F

Fig. 167: F_{´e o Incentro de}ABC_.

Neste ponto ´e oportuno vocˆe reler os axiomas e comparar as suas afirma¸c˜oes com a afirma¸c˜ao da proposi¸c˜ao 19. Provavelmente, vocˆe n˜ao questionou nenhuma afirma¸c˜ao de qualquer axioma, simplesmente porque os considerou bastante naturais. Ser´a que vocˆe aceitaria, com a mesma na-turalidade, a afirma¸c˜ao da proposi¸c˜ao 19? Provavelmente n˜ao. ´E por isso que tivemos de prov´a-la. E o impressionante ´e que a prova utilizou apenas os axiomas e os resultados deles decorrentes.

Segue da proposi¸c˜ao 18 que o incentro de um triˆangulo ´e equidistante dos seus lados. Mais precisamente, se P ´e o incentro de um triˆagulo ABC e os segmentos P R, P S e P T s˜ao perpendiculares aos lados AB, AC e BC, respectivamente, ent˜aoP R≡P S ≡P T ( veja figura 168).

A

B C

R S

P

T

Como conseq¨uˆencia, o c´ırculo com centro em P e de raio P R ser´a tangente aos trˆes lados de ABC. Esse c´ırculo ´e chamado de c´ırculo inscrito no triˆanguloABC (veja figura 169).

A

B C

R S

P

T

Fig. 169: C´ırculo inscrito.

Medianas de um triˆangulo

Trataremos, agora, de mostrar que as medianas de um triˆangulo s˜ao tamb´em concorrentes. Para isso, considere um triˆangulo qualquer ABC e trace as medianas AD eBE. Essas medianas encontram-se em um ponto G (figura 170).

A

B C

D E F

G

Fig. 170: Encontro das medianasADeBE.

Mostraremos que a mediana CF tamb´em passa por G. Com esse ob-jetivo, trace o segmento ED e considere os pontos m´edios H, de AG, e I, deBG. Trace os segmentos HE,HI e ID, formando o quadril´ateroHEDI (veja a figura 171).

A

B _D C

E F

G

I H

Fig. 171: Encontro das medianasADeBE.

Como E ´e o ponto m´edio de AC e D ´e o ponto m´edio de BC, temos queED´e paralelo aABe que m(ED) = m(AB)

2 . Da mesma forma, comoH

´e o ponto m´edio deAGeI ´e o ponto m´edio deBG, tem-se queHI´e paralelo aAB e que m(HI) = m(AB)

2 . Desses fatos resulta que HI ´e paralelo a ED

e que m(HI) = m(ED).

O quadril´atero HEDI tem ent˜ao um par de lados opostos paralelos e congruentes. Isso implica queHEDI ´e um paralelogramo.

Logo, temos tamb´em HE//ID e HE ≡ID. Segue queHEGb ≡DIG.b

Como os ˆangulosHGEb e DGIb s˜ao congruentes (opostos pelo v´ertice), segue por L.A.A. que HGE≡DGI (veja figura 172).

A

B D C

F

G E H

I

Fig. 172: Encontro das medianasAD_eBE_.

Assim, HG ≡ DG e GE ≡ GI. Mas n˜ao esque¸ca que AH ≡ HG e

BI ≡IG (poisH ´e o ponto m´edio de AG eI ´e o ponto m´edio deBG).

Logo, m(AH) = m(GH) = m(GD) e m(BI) = m(IG) = m(GE). Assim, m(AG) = 2m(GD) e m(BG) = 2m(GE), ou seja, o ponto G de encontro das medianasAD eBE divide cada mediana em dois segmentos de forma que o segmento que cont´em o v´ertice mede o dobro do outro.

Considere, agora, as medianas AD eCF e seja T o ponto de encontro entre elas (figura 173).

A

B D C

F

T

Fig. 173: Encontro das medianasAD_eCF_.

Proposi¸c˜ao 20

As medianas de um triˆangulo s˜ao concorrentes. Al´em disso, o ponto de encontro entre elas divide cada mediana em dois segmentos de modo que o segmento que cont´em o v´ertice mede o dobro do outro.

Defini¸c˜ao 27

O ponto de encontro das medianas de um triˆangulo ´e chamado debaricentro_.

(Veja figura 174). A

B _D C

E F

G

Fig. 174: G´e o baricentro deABC.

O baricentro de um triˆangulo tem uma propriedade f´ısica interessante: ele ´e o centro de massa do triˆangulo. Uma experiˆencia a ser feita ´e a seguinte: recorte um triˆangulo de papel˜ao e fa¸ca um furo no seu baricentro. Passe um barbante por esse furo e estique-o na posi¸c˜ao horizontal. Se o papel˜ao for sempre da mesma espessura (sem pontos mais pesados que outros), vocˆe poder´a girar o triˆangulo e par´a-lo em qualquer posi¸c˜ao, sem que ele se mexa mais. Parece normal? S´o que se vocˆe furar o triˆangulo fora do baricentro e fizer a mesma coisa, o triˆangulo vai ter uma ”posi¸c˜ao preferida”, uma parte que sempre vai tender a ficar para baixo, por ser mais pesada. O baricentro ´e para o triˆangulo, nesse sentido, como o ponto de encontro das diagonais ´e para o quadrado.

Centro de Massa, Baricentro, Centro de Gravidade e Centr´oide H´a v´arias defini¸c˜oes para Centro de Massa de um corpo. Podemos definir Centro de Massa de um corpo como o ponto do corpo sobre o qual poder´ıamos concentrar toda a massa do corpo ou o ponto do corpo pelo qual podemos pendurar o corpo de modo que fique em equil´ıbrio. Do grego, B´aros (pesado) + k´entron (centro), o baricentro ´e o centro de massa de um corpo. Esse tema, muito importante na F´ısica, tem seu maior conte´udo no trabalho de Ferdinand M¨obius (1287): Der Baricentrische Calcul. No caso do triˆangulo, o Baricentro (e conseq¨uentemente o Centro de Massa) est´a localizado no ponto de encontro das medianas do triˆangulo. Quando um corpo est´a sujeito `a for¸ca da gravidade, o Centro de Massa ´e o ponto em que podemos representar a resultante das for¸cas que atuam sobre todos os pontos do corpo. ´E o ponto onde marcamos a ’for¸ca peso’. Nesse caso o ponto ´e chamado de Centro de Gravidade. No caso do corpo ser homogˆeneo, o centro de massa recebe o nome de Centr´oide.

Mediatrizes e Alturas de um triˆangulo

Nos exerc´ıcios desta aula, faremos juntos a prova da seguinte pro-posi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 21

As mediatrizes de um triˆangulo s˜ao concorrentes.

Defini¸c˜ao 28

O ponto de encontro das mediatrizes de um triˆangulo ´e chamado de circun-centro_.

Faremos tamb´em, nos exerc´ıcios desta aula, a prova da proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 22

As alturas de um triˆangulo s˜ao concorrentes.

Defini¸c˜ao 29

O ponto de encontro das alturas de um triˆangulo ´e chamado deortocentro_.

Resumo

Nesta aula vocˆe aprendeu...

• As defini¸c˜oes de mediana, bissetriz interna, mediatriz e altura de um

triˆangulo.

• Que as medianas, as bissetrizes internas, as mediatrizes e as alturas de

um triˆangulo s˜ao concorrentes.

• Que todo triˆangulo possui um c´ırculo inscrito.

Exerc´ıcios

1. (Restante da prova da proposi¸c˜ao 18.) Na proposi¸c˜ao 18 provamos que, se um ponto pertence `a bissetriz de um ˆangulo, ent˜ao ele equidista dos lados desse ˆangulo. O objetivo deste exerc´ıcio ´e provar o inverso: se um ponto pertence ao interior de um ˆangulo e equidista dos lados desse ˆangulo, ent˜ao esse ponto pertence `a bissetriz desse ˆangulo. Para isso, considere um ˆangulo BACb e um ponto P no interior de BACb e equidistante dos lados desse ˆangulo. Trace os segmentos P D e P E perpendiculares respectivamente aos lados −→AC e−→AB (veja figura 175).

B

E

A D

P

C

Fig. 175: Exerc´ıcio 1.

Agora prove que a semi-reta −→AP ´e bissetriz de BAC.b

2. Na figura 176, m(AC) = 30cm e ˆB ´e reto. Determine a medida de P O.

A B

C

Q P

O

3. Na figura 177, ABCD ´e um paralelogramo. Determine x.

A B

C D

P x

16

M

Fig. 177: Exerc´ıcio 3.

4. Na figura 178, ABCD ´e um paralelogramo. Determine x.

A _B

C D

P x 8

E

Fig. 178: Exerc´ıcio 4.

5. Na figura 179,ABCD´e um retˆangulo eABM´e um triˆangulo equil´atero. Sem(AB) = 15cm, determine m(AP).

D M C

A

P

B

Fig. 179: Exerc´ıcio 5.

6. Na figura 180, P pertence `a mediatriz de AB. Prove que P equidista deA e B (ou seja, m(P A) =m(P B)).

A _B

P

Fig. 180: Exerc´ıcio 6.

7. Este exerc´ıcio ´e o rec´ıproco do exerc´ıcio 6. Se P ´e equidistante dos pontos A e B, prove que P pertence `a mediatriz do segmento AB.

8. (Circuncentro de um triˆangulo.) O objetivo deste exerc´ıcio ´e mos-trar que as mediatrizes de um triˆangulo s˜ao concorrentes, ou seja, pas-sam pelo mesmo ponto. Para isso, considere as mediatrizes r e s dos lados BC e AC, respectivamente, as quais encontram-se em um ponto P (figura 181). Use os exerc´ıcios 6 e 7 para mostrar que P pertence `a mediatriz de AB.

A

B C

P r

s

Fig. 181: Exerc´ıcio 8.

9. (C´ırculo circunscrito.) O objetivo deste exerc´ıcio ´e provar que todo triˆangulo possui um c´ırculo circunscrito. SejaABC um triˆangulo e seja P o circuncentro de ABC (figura 182).

A

B

P

C

Fig. 182: Exerc´ıcio 9.

Prove que P A ≡ P B ≡ P C. Ent˜ao o c´ırculo com centro em P e de

raio P Apassa pelos trˆes pontos de ABC.

Esse c´ırculo ´e chamado de c´ırculo circunscrito ao triˆanguloABC(figura 183).

A

B

P

C

10. (Ortocentro de um triˆangulo.) O objetivo deste exerc´ıcio ´e mostrar que as alturas de um triˆangulo s˜ao concorrentes. Para isso, considere um triˆangulo ABC e, por cada v´ertice, trace a reta paralela ao lado oposto. Essas retas determinam um triˆangulo DEF (figura 184).

A

B C

D E

F

t r

s

Fig. 184: Exerc´ıcio 10.

Prove queA,BeCs˜ao os pontos m´edios deDE,DF eEF, respectiva-mente. Em seguida, mostre que as alturas deABC s˜ao as mediatrizes de DEF. Use o exerc´ıcio 8 para concluir que as alturas de ABC s˜ao concorrentes.

11. Seja O o centro do c´ırculo circunscrito a um triˆangulo ABC. Prove que O pertence ao interior de ABC se e somente se o triˆangulo ABC ´e acutˆangulo.