• Nenhum resultado encontrado

UNIVERSIDADE DO ALGARVE

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "UNIVERSIDADE DO ALGARVE"

Copied!
36
0
0

Texto

(1)

UNIVERSIDADE DO ALGARVE

INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO

DE

ENGENHARIA

ELECTROTÉCNICA

L

ICENCIATURA EM

E

NGENHARIA

E

LÉCTRICA E

E

LECTRÓNICA

ANÁLISE

MATEMÁTICA

I

(2)

Plano da Disciplina

Bibliografia

Roteiro para as Aulas Teóricas, Teórico-Práticas e Orientação Tutorial

Enunciados dos Exercícios das Aulas Teórico-Práticas – Algumas Soluções

Enunciados de Testes e Exames.

(3)

PLANO DA DISCIPLINA Análise Matemática I ANO LECTIVO 2009/2010

(1º Ano – 1º Semestre) DOCENTE RESPONSÁVEL: Prof.ª Doutora Maria Gabriela Schütz DOCENTE QUE LECCIONA: Prof.ª Ana Bela Santos

Prof.ª Larissa Labakhua

OBJECTIVOS:

Fornecer uma base sólida sobre Análise Matemática em ℜ, que permita aos estudantes o prosseguimento, bem sucedido, nas restantes disciplinas do curso.

Em termos genéricos pretende-se que o estudante desenvolva as suas capacidades de raciocínio indutivo e dedutivo, de aprofundar conhecimentos com objectividade, de exposição e tratamento dos conhecimentos que vão sendo adquiridos com clareza e rigor de linguagem.

Especificamente o estudante deve dominar os conceitos envolvidos nos conteúdos programáticos, utilizá-los com destreza e saber aplicá-los, com maleabilidade e sentido crítico, a outras disciplinas e a outras áreas científicas.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1. NÚMEROS REAIS E COMPLEXOS

1.1. Números inteiros e números racionais. 1.2. Números reais.

1.2.1. Módulo de um número real. 1.3. Números complexos.

1.3.1. Forma algébrica.

1.3.2. Representação geométrica – Plano de Cauchy ou de Argand. 1.3.3. Forma trigonométrica e forma exponencial.

1.3.4. Operações com complexos.

1.3.4.1. Igualdade, Adição, Subtracção, Multiplicação, Divisão, Potenciação, Radiciação. 1.3.5. Propriedades dos complexos.

1.3.6. Curvas e regiões do plano. 2. SUCESSÕES E SÉRIE

2.1. Sucessões: Definição. 2.2. Séries: Definição.

3. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 3.1. Definição e gráficos.

3.2. Funções: constante, linear, polinomial, racional, irracional, inversa e implícita. 3.3. Funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais.

3.4. Limites e continuidade. 3.4.1. Definições.

3.4.2. Limites laterais, limites no infinito e limites infinitos. 3.4.3. Propriedades dos limites.

3.4.4. Casos particulares.

3.4.5. Continuidade – teoremas do Valor Intermédio, de Bolzano e de Weierstrass. 3.5. Derivadas.

(4)

3.5.2. Regras de derivação.

3.5.3. Derivadas das funções logarítmica, exponencial e trigonométricas. 3.5.4. Derivadas de uma função dada implicitamente e na forma paramétrica. 3.5.5. Aplicação das derivadas para levantar indeterminações.

3.6. Diferencial e derivadas de ordem n.

3.6.1. Diferencial da soma, do produto e do quociente. 3.6.2. Derivadas de ordem n.

3.6.3. Diferencial de ordem n.

3.6.4. Fórmula de Taylor e de Maclaurin. 3.7. Primitivas.

3.7.1. Definição.

3.7.2. Primitivas imediatas. 3.7.3. Integral indefinido.

3.7.4. Integral indefinido por substituição e por partes. 3.7.5. Integral indefinido de funções racionais. 3.8. Cálculo integral.

3.8.1. Soma integral e função integral no sentido de Riemann.

3.8.2. Integral definido – definição e propriedades, Fórmula de Barrow. 3.8.3. Integração por partes e por substituição.

3.8.4. Cálculo de áreas e de volumes de sólidos de revolução.

AVALIAÇÃO

Avaliação Contínua: 2 provas escritas parcelares (P1 e P2) e participação nas aulas teórico-práticas e tutoriais

(PT). Classificação = P P + ×PT      + × 0,1 2 2 1 9 ,

0 , com classificação mínima de 8 valores nas provas P1 e P2, sendo todas as provas avaliadas na escala de 0 a 20.

Avaliação Final: Exame escrito, avaliado na escala de 0 a 20.

O aluno fica aprovado se obtiver classificação igual ou superior a 10 na avaliação contínua ou na avaliação final.

NOTA SOBRE OS TESTES E EXAME

• Para a 1ª Frequência e Exame é obrigatória a inscrição no Secretariado da ADEE. • Os testes duram no máximo 2h:30m e os exames 3h.

Os alunos devem apresentar o seu B.I., ou Cartão de Estudante, de modo a permitir a sua identificação. • Os alunos não podem sair da sala durante os testes, e/ou exame, excepto quando desistirem ou mediante a

(5)

BIBLIOGRAFIA

Folhas editadas pela Área Departamental de Engenharia Electrotécnica (disponíveis na Internet e na reprografia da Associação Académica).

Cálculo (Vol. 1) Apostol, Tom, Editora Reverté, Lda.

Cálculo Diferencial e Integral, (vol. 1) N. Piskounov, Editora Lopes da Silva Mathematics for Engineers and Scientists, (Vol. 1), Bajpai; Calus; Fairley

Matemática para Engenharia, (Vol. II), Ia. S. Bugrov, S. M. Nikolski, Editora Mir Moscovo

Curso de Análise Matemática, J. S. Guerreiro, Livraria Escolar Editora Lições de Cálculo Diferencial e Integral, A. Ostrowski

Cálculo com Geometria Analítica, (Vol. 1), Swokouski, Makron Books, McGraw-Hill Elementos de Cálculo Diferencial e Integral em e n, A. Azenha & M.A. Jerónimo,

McGraw-Hill

Introdução à Análise Matemática, Campos Ferreira, J., Fundação Calouste Gulbenkian (1987)

(6)

ROTEIRO PARA AS AULAS TEÓRICAS, TEÓRICO-PRÁTICAS E TUTORIAIS

1ª SEMANA:NÚMEROS REAIS 23/09/2009

Teórica

Apresentação do programa, da metodologia a seguir e da avaliação. 1. Números reais e complexos.

1.1. Números inteiros e números racionais. 1.2. Números reais. Módulo de um número real. Teórico-Prática:

Exercícios: 1 a), 2. Orientação Tutorial:

Exercícios: 1 b), 1 (1º Teste-15/11/2006).

2ª SEMANA:NÚMEROS COMPLEXOS 30/09/2009 Teórica

1.3. Números complexos.

1.3.1. Forma canónica e forma algébrica. Módulo e conjugado de complexos. Propriedades.

1.3.2. Operações com complexos na forma algébrica: Igualdade, adição, subtracção, multiplicação e divisão. Exemplos práticos.

1.3.3. Representação geométrica. Plano de Cauchy ou de Argand. Forma trigonométrica. Módulo, argumento de um complexo. Exemplos práticos. 1.3.4. Forma exponencial de um complexo.

Teórico-Prática:

Exercícios: 3 a) b) c)(ii, v) e)(ii). Orientação Tutorial:

Exercícios: 3 c)(i, iii, vi), d), e)(i), f), h).

3ª SEMANA:NÚMEROS COMPLEXOS 07/10/2009

(7)

4ª SEMANA:NÚMEROS COMPLEXOS 14/10/2009

Teórica

1.3.8. Curvas e regiões do plano de Argand. Definição da circunferência, elipse, recta, semi-planos no plano complexo. Exemplos práticos.

Teórico-Prática:

Exercícios: 15, 17. Orientação Tutorial:

Exercícios: 16, 2.3 (1º Teste-03/12/2005), 2.4 (1º Teste-15/11/2006).

5ª SEMANA:SUCESSÕES E SÉRIES E FUNÇÕES EM . 21/10/2009 Teórica

2. Sucessões e séries

2.1. Sucessões: Definição, limite e convergência. 2.2. Séries infinitas. Propriedades.

2.3. Séries Geométricas. 3. Funções em ℜ:

3.1. Noções topológicas. 3.2. Definição e gráficos.

3.3. Funções: constante, linear, polinomial, racional, irracional, inversa, implícita, logarítmica e exponencial.

3.4. Estudo das funções trigonométricas e suas funções inversas. Teórico-Prática:

Exercícios: 19 a), 21, 30. Orientação Tutorial:

Exercícios: 18 b), 19 b), 23, 25, 27, 28.

6ª SEMANA:LIMITES E CONTINUIDADE 28/10/2009

Teórica

3.5. Limites e continuidade: 3.5.1. Definições.

3.5.2. Limites laterais, limites no infinito e limites infinitos. 3.5.3. Propriedades dos limites.

3.5.4. Casos particulares. Continuidade – Teoremas do Valor Intermédio, de Bolzano e de Weierstrass. 3.5.5. Teórico-Prática: Exercícios: 31, 32, 33. Orientação Tutorial: Exercícios: 34, 35, 4.1 (1º Teste-03/12/2005).

(8)

7ª SEMANA:CÁLCULO DE DERIVADAS 04/11/2009

Teórica

3.6. Derivadas:

3.6.1. Definição e interpretação geométrica. 3.6.2. Regras de derivação.

3.6.3. Derivadas das funções logarítmica, exponencial, trigonométricas e trigonométricas inversas.

3.6.4. Derivadas de uma função dada implicitamente e na forma paramétrica. 3.6.5. Aplicação das derivadas para levantar indeterminações.

Teórico-Prática:

Exercícios: 36, 39, 44 c) d) f) n) p), 45 a), 46 a). Orientação Tutorial:

Exercícios: 37, 42, 44 a)e)g)i)j)l)m)o), 45 d), 46 b).

8ª SEMANA:1º TESTE 11/11/2009

Preparação para o 1º teste. Esclarecimento de dúvidas.

9ª SEMANA:DIFERENCIAL E DERIVADAS DE ORDEM n. 18/11/2009

Teórica

3.7. Diferencial e derivadas de ordem n. 3.7.1. Noção e interpretação geométrica.

3.7.2. Diferencial da soma, do produto e do quociente. 3.7.3. Derivadas de ordem n.

3.7.4. Diferencial de ordem n.

3.7.5. Fórmula de Taylor e de Maclaurin. Teórico-Prática:

Exercícios: 47 a),c), 48 c), 49 e), 50. Orientação Tutorial:

(9)

Teórico-Prática:

Exercícios: 52 (3, 5, 7, 9, 12, 13, 15, 18, 19, 22). Orientação Tutorial:

Exercícios: 52 (2, 4, 6, 8, 10, 11, 14, 16, 17, 20, 21).

11ª SEMANA:PRIMITIVAS E INTEGRAL INDEFINIDO (CONTINUAÇÃO). 02/12/2009

Teórica

3.8.3. Integral indefinido por partes. Teórico-Prática:

Exercícios: 52 (23, 29, 30, 32). Orientação Tutorial:

Exercícios: 52 (24, 25, 26, 27, 31, 33, 34).

12ª SEMANA:INTEGRAL INDEFINIDO DE FUNÇÕES RACIONAIS. 09/12/2009

Teórica

3.8.4. Integral indefinido de funções racionais. Teórico-Prática:

Exercícios: 52 (36, 37). Orientação Tutorial:

Exercícios: 52 (28, 35, 38, 39).

13ª SEMANA:INTEGRAL DEFINIDO. 16/12/2009

Teórica

3.8. Cálculo integral.

3.8.3. Soma integral e função integral.

3.8.4. Integral definido – definição e propriedades, fórmula de Barrow. 3.8.5. Integração por partes e por substituição.

Teórico-Prática:

Exercícios: 52 (40, 41, 42). Orientação Tutorial:

Exercícios: 4.3 (2º Teste-13/01/2006), 4.3 (2º Teste-25/01/2007), 5.3 (Exame-05/02/2007), 5.3 (Exame-15/02/2007).

(10)

14ª SEMANA:INTEGRAL DEFINIDO (CONTINUAÇÃO). 06/01/2010

Teórica

3.8 Cálculo integral (continuação).

3.8.6. Cálculo de áreas e de volumes de sólidos de revolução. Teórico-Prática:

Exercícios: 53, 57, 60. Orientação Tutorial:

Exercícios: 54, 56, 59.

15ª SEMANA 13/01/2010

Preparação para o exame. Esclarecimento de dúvidas. 16ª SEMANA À 20ª SEMANA

(11)

NÚMEROS REAIS E COMPLEXOS

1

1.. Determine o conjunto dos números reais x que verificam: a) −6 >5 x x . b) 3 − +6≥2 x x x . c) 2x−6+ x−8<15. 2 2.. Resolva em R, 1 2 1 1 2 ≤ − + + x x x . 3 3.. a) Calcule 1954 j .

b) Sendo z=-2+3j calcule Re(Z),Im(Z), z ez .

c) Represente cada uma das seguintes expressões na forma a+bj: i) (2+3j)+(1+ j)− j ii) 3 2 5 3 2 1 j j− + + iii) (−1+2j)(2−5j) iv) j 3 4 1 − v) j j j j 1 5 3 4 ) 1 )( 1 ( 1 − − + − + vi)

(

)

2 2 3 1 5       + + − j j j d) Sendo z=2+3j e w=1+ j, calcule z.w e w z . e) Resolva em ℜ as seguintes equações:

i) (2− j)z=3(1+2j) ii) 4z2 +8z2 =3

iii) jzz=3j−3

f) Determine a raiz quadrada de 5+12j.

g) Demonstre que: “o conjugado do produto de dois complexos é igual ao produto dos conjugados dos factores”.

h) Calcule k e p de modo a que os complexos: z1 =(2k+1)+(p+2)j e

j k p

z2 =(2 −1)+(1−3 ) sejam conjugados.

4

4.. Escreva na forma trigonométrica e exponencial os seguintes números complexos, e represente-os no plano de Argand.

a) z= 3−j b) z j 2 2 2 2 − = 5 5..

a) Escreva na forma trigonométrica os seguintes números complexos:

i) 3 2

π

j

e + ii) e1+j

(12)

6

6.. Calcule trigonometricamente o número complexo

( )

( )

4 5 1 1 j j z + − = . 7 7.. Mostre que: j j  =−

( )

+j       + =         + − 1 2 2 2 2 1 2 2 1 5 3 . 8

8.. Determine as circunstâncias em que 1 1 − + z z é um imaginário puro. 9

9.. Calcule os valores de 664, considerando 64 como um complexo.

1

100..Calcule os valores de j5/3.

1

111..Calcule os valores de:

a)

[

8

(

cos420º−jsin420º

)

]

25 b) 3 2 6 cos 6 sin 3            +

π

π

j 1

122..Calcule os valores de

[

9

(

cos225º−jsin225º

)

]

25 1 133..Calcule 5 cos sin sin cos       + +

θ

θ

θ

θ

j j 1

144..Calcule n∈Ζ de modo que

(

3−j

)

n seja real e positivo.

1

155..Determine o lugar geométrico dos afixos dos complexos z que satisfazem a equação

2 1 z z

z

z− = − sendo z1=2+j2 e z2=4+j6.

1

166..Determine o lugar geométrico z−1=2x−1 com z=x+jy.

1

177..Sendo A (-2,0) e B (2,0) os afixos dos complexos z1 e z2, qual é o lugar geométrico dos afixos de z , tais que zz1 + zz2 =6.

(13)

SOLUÇÕES 1 a)

]

−∞,−6

[ ]

U −1,0

[ ] [ ]

U 0,1 U 6,+∞

[

b)

[

[

[

2

[

6 73 6 1 0 0 1 6 73 6 1 +∞       + − −       − − ∞ − , U , U , U , c) −  3 29 , 3 1 2 -

]

−∞,0

[

3 - a) – 1, b) Re (z)=-2, Im (z)=3, z = 13 e z =−2−3j c) i) 3+3j, ii) j 3 7 6 7 + − , iii) 8+9j, iv) j 25 3 25 4 + v) j 26 11 13 5 − − vi) 10j 9 212 − d) z.w=−1+5j , j w z 2 1 2 5+ = e) i) j3 , ii)       − − j j 2 3 , 2 3 , 2 1 , 2 1 iii)

{

zC:z =a+(3−a)j,aR

}

f) −3−2j,3+2j h) k =2,p=3 4 - a) 6 11 2 sin 6 11 cos 2 π

π

π

j e 6 11 j z =      + = , b) 4 5 sin 4 5 cos π

π

π

j e 4 5 j z= + = 5 - a)       + 2 j e π sin π 2 cos 3 , b) e

(

cos1+ jsin1

)

, c) a=0∨b=0∨ab 6 -       + = 4 7 sin 4 7 cos 2 π j π z , 8 - z= x+ j y: x2 + y2 =1∧ x ≠1 9 - ,k=0,...,5 3 k sin 3 k cos 64 6      + = π j π zk , 10- j j j 2 1 2 3 , 2 1 2 3 ,− + + − 11 - a) zk =252

[

cos

(

72o +k72o

)

+ jsin

(

72o +k72o

)

]

,k=0,...,4 b) , 0,1,2 3 2 9 2 cis 3 3 2 =      + k kπ π 12 - zk =592

[

cos

(

54o +k72o

)

+ jsin

(

54o +k72o

)

]

,k=0,...,4 13 -       − =       − +       − 2 10 2 10 sin 2 10 cos θ π j θ π cis θ π 14 - n=12k/11

(

k

Ζ

e múltiplos de11

)

15 - 2 11 2 1 + − = x y 16 - y=± 3

(

x−1

)

(14)

SUCESSÕES E SÉRIES

1

188..Verifique se são convergentes e no caso afirmativo calcule a soma das seguintes séries:

a) ... 20 1 12 1 6 1 2 1 + + + + b)

( )

∞ = + − 0 1 3 2 n n c)

∞ = < ≤ 1 n n 2 x 0 , x tan π d)

∞ =1 2 n n e)

∞ 0 2 sin n n x 1

199..Considerando as seguintes séries, determine os valores reais de a para os quais as séries convergem e as suas respectivas somas:

a) + + + +K+ +K n a a a a 1 1 1 1 2 , a∈ℜ/

{ }

0,1 b)

(

)

∞ =0 −1 2 1 n a n , a∈ℜ/

{ }

1 c)

(

)

∞ =0 2+ 2 1 n a n d)

(

)

∞ =0 − 3 2 1 8 n n n a , a∈ℜ/

{

−1,1

}

(15)

SOLUÇÕES 18 - a) Convergente, S =1 b) Convergente, 3 1 = S c) Diverge para 2 4 π π x e converge para 4 0≤x<π com x x S tan 1 tan − = d) Divergente e) Convergente, x S sin 2 2 − = 19 - a) a

]

−∞,−1

] ]

∪ 1,+∞

[

e 1 2 − = a a S b) a

]

−∞,0

] ]

∪ 2,+∞

[

e

(

)

a a a S 2 1 2 2 − − = c) a∈ℜ e 2 2 1 2 a a S + + = d) a∈ℜ\

[

−5,5

]

e

(

)

(

1

)

64 1 3 3 − − − = a a S

(16)

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 2 200..Considere a função      ≤ < < − − < + − x se x se x x se x 0 2 0 3 3 3 . a) Represente-a graficamente.

b) Indique o domínio e o contradomínio. c) Verifique se é injectiva.

2

211..Determine o domínio da função real de variável real definida pela expressão:

( )

7 12 1 1 log 2 2 + − +        + + = x x x x x f . 2

222..Determine o domínio, da função real de variável real definida pela expressão:

( ) ( )

tan

(

)

com , 0 2 1 1     − = nx na na nx mn a x m x f . 2 233..Resolva a equação: exex=4. 2

244..Mostre que: ∀x,yR+,loga

( )

x.y =logax+logay.

2

255..Determine a inversa da função real de variável real f

( )

x =1− x+1, de domínio

[

−1,+∞

[

.

2 266..Determine o domínio de

( )

( )

x x f 2 cos log 1 = . 2

277..Indique as expressões gerais dos pontos de descontinuidade de: a) f

( )

x =tanx, xR b)

( )

2 3 2 5 , cotan − π< < π = x x x f 2

288..Determine os zeros e os pontos de descontinuidade da função

( )

x x x f cosec 2 tan 1 + − = . 2

(17)

3 322..Considere a função

( )

1 1 1 1 − + = x x e e x

f e estude-a sobre o ponto de vista da continuidade.

3

333..Prove que a função f(x)=sinx+cosx admite pelo menos um zero no intervalo

[

π

,0

]

e determine-o.

3

344..Prove que sendo p(x) um polinómio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.

3

355..Indique o valor que deve tomar k para que a função f(x) seja contínua para x=a, em

que

( )

    = ≠ − − = a x se k a x se a x a x x f sin sin . 3

366..Calcule as derivadas laterais fd'(2) e fe'(2) de f

( ) ( )

x =3 x−2 2 e conclua sobre a existência de f'(2).

3

377..Mostre que a função

( ) ( )

    > − ≤ ≤ + − = 3 5 2 3 0 1 3 2 x se x x se x x

f é contínua no ponto x=3, mas não

tem derivada nesse ponto.

3

388..Verifique gráfica e analiticamente que a função

( )

    ≥ − < + = 2 1 3 2 1 2 x se x x se x x f não admite derivada em x=2. 3 399..Considerando a função

( )

x x x x f 2 1 3 2 + =

a) Determine uma equação da tangente à curva no ponto de abcissa x=1.

b) Determine as abcissas dos pontos dessa curva onde a tangente tem a inclinação de 135º.

4

400..Determine as derivadas das funções seguintes aplicando logaritmos:

a)

( )

(

)

4 2 3 2 1 + + = x x x y b) y=

(

arctan x

)

3 4

411..Prove que a derivada de uma função par é uma função ímpar.

4

422..Calcule a derivada de f

( )

x = x2−2x−3 .

4

433..Estude a continuidade da função

( )

   = ≠ = 0 0 sin x se x x se x x f no ponto x=0. 4

(18)

a) f

( )

x =

(

3x −5x

)

(

x−3

)

b)

( )

x x x f 2 1 + = c)

( )

2 2 1       + − = x x x f d) f

( )

x =4 x3+2x e)

( )

1 1 − + = x x e x f f)

( )

1 2 1 2 + − = x x x f

g) f

( )

x =cos2x+tan

(

xsin2x

)

h) f

( )

x =tan2 x2+1+tan

(

cosx

)

( )

  x j) f

( )

x =loglog x k) f

( )

x =log10

(

x2+3x

)

l) f

( )

x =

(

sin x

)

1+logx m) f

( )

x =xx n) f

( )

x

( )

x x 1 2+1 = o) f

( )

x

[

(

x

)

]

x 1 arctan log sin = p) f

( )

x = arcsin

(

xlogx

)

q) f

( )

x x x

[

(

x

)

]

x 1 2 1 1 2 arcsin 1 log 2 sin + +      + = 4 455..Calcule as derivadas dx dy

das seguintes funções implícitas: a) y2−4px=0 b) x12+y12=a12 c) x3+y3−3axy=0 d) y=cos

(

x+y

)

e) yxxy=0 4 466..Calcule dx dy

para as seguintes funções expressas na forma paramétrica.

a)        + = + = 2 2 2 1 3 1 3 t t a y t t a x , a – const. b)    + = = t t x t y cotan tan cotan log 2 4

477..Calcule os seguintes limites: a)

( )

y y ey y + − + → log 1 1 sin lim 0 c) x x x a       + ∞ → 1 lim , a – const.

(19)

4

499..Aproxime as seguintes funções por um polinómio em x, de grau menor ou igual a n.

a) f

( )

x =ex b) f

( )

x =ex c) f

( )

x =sinx d) f

( )

x =cosx e) f

( )

x =2ex+3ex f)

( )

x x f − = 1 1 g) f

( )

x =log

( )

1−x h)

( )

2 1 1 x x f + = i) f

( )

x =arctanx 5 500..Decomponha o polinómio 4−5 3+5 2+ +2 x x x x em potências de x−2. 5

511..Decomponha o polinómio x5+2x4−x2+x+1 em potências de x+1.

5

522..Calcule os seguintes integrais: 1)

x5dx 2)

       − x x dx x 4 3 3)

       + + dx x x x 2 4 1 2 4) dx x x 2 3 2 1

       + 5)

cos(5x)dx 6)

dx x x log 7)

) 7 ( cos2 x dx 8)

tan2xdx 9)

tanx⋅sec2 xdx 10)

cos3 x sinxdx 11)

+ dx x x 3 2 2 12)

dx x x 2 sin cos 13)

−1 tan cos2 x x dx 14)

dx x x 2 log 15)

+x dx x 2 1 arctan 16)

+ + + dx x x x 3 2 1 2 17)

x x dx log 18)

tan4 xdx 19)

x x dx arcsin 1 2 20)

dx x x) cos(log 21)

esinx ⋅cosxdx 22)

− 2 3 1 x dx 23)

+a dx x x 4 4 24)

+ − dx x x x 2 1 arctan 25)

+ dx x x 1 26)

+e dx e x x 2 1 27)

1+3cos2 x⋅sin2xdx

(20)

28)

− + − − dx x x x 1 1 1 29)

log

(

x+ 1+x2

)

dx 30)

      dx e x x 2 log 31) x

(

2x

)

dx sin log cos 2

32)

x dx x x 2 1 arcsin 33)

arcsinxdx 34)

+ 2 2 4 x x dx 35)

+1) (x2 x dx 36)

+ + dx x x x 3 ) 1 ( 2 3 37)

+ − + − dx x x x x x 1 2 4 5 6 2 2 3 4 38)

+ + + x x xdx x x ) 3 (log ) 8 log 4 (log log 2 2 39)

+1 3 x dx 40)

3sec3 π o xdx 41) dy y y

4 + 1 2 4 42) dx x x

15 − 1 5

533..Calcule o valor de b , sendo a>0 e b>a, de modo que a área limitada pelas curvas 1 2 2 2 2 = + b y a x e x2+y2=a2 seja igual a 2 . π 5

544..Calcule a área da menor das partes, em que a recta x=1 divide a área limitada pela elipse 1 9 4 2 2 = +y x . 5

555..Determine a área da figura limitada pelas curvas y2=5xe y=3x.

5

566..Determine a área da figura compreendida entre a curva y=4 x− 2 o eixo dos xx.

5

577..Determine a área da figura delimitada pela curva y=x3, a recta y=8 e o eixo dos yy .

5

588..Determine a área do domínio compreendido entre as parábolas y2=2pxe x2=2py.

5

599..Determine o volume do sólido de revolução, obtido ao rodar a elipse 2 1 2 2 2 = + b y a x em torno do eixo Ox . 6

(21)

SOLUÇÕES 20 - b) D=ℜ\

{ }

−3 D′=

] [ ]

0,3 U 6,+∞

[

c) Não é 21 -

]

−1,3

] [

U 4,+∞

[

22 -         Ζ ∈ + − ≠ ∧ ≠ ℜ ∈ k n k a x a x x : 2 π , π 23 - x=log

(

2+ 5

)

25 - f −1

( ) ( )

x = x−12 −1 , Df-1 =

]

−∞,1

]

26 - ℜ\

{

x :x=k

π

/2 ∧k∈

Ζ

}

27 - a) +k , k∈Ζ 2 π π b)

{

−2

π

, −

π

, 0,

π

}

28 - Zeros: x=π +kπ , k∈Ζ 4 P. d.:

(

)

π Ζ π π π π π + = + + = + − = k x k x k x k , 2 1 2 6 2 6 29 - f(x) não é injectiva; ′ =−  2 , 2 π π f D 30 - x=kπ , k∈Ζ 31 - Contínua em 32 - Contínua em ℜ\ 0

{ }

33 – 4 π − 35 - cos a 36 - fd

( )

2 =+∞, fe

( )

2 =−∞ 39 - a) 2 1 y=− b) 3 1 , 3 1 − 40 - a)

(

)

(

)

      + − − + = ′ 2 2 1 4 1 1 4 3 x x x y y b) x x y arctan 1 1 2 2 + = ′ 42 -

( )

   < < − + − > ∨ − < − = ′ 3 1 se 2 2 3 1 se 2 2 x x x x x x f 43 - Contínua 44 - a) 9x2 −28x+15 b) x x 4 1 − c)

(

)

3 2 1 6 + − x x d)

(

2

) (

3 2

)

4 1 4 2 3 3 ++ x x x e)

( )

1 1 2 1 2 + − − x x e x f)

( )

2 1 1 2 2 log 2 + + x x

g) −2sinx⋅cosx+

(

2xsinx⋅cosx+sin2 x

) (

sec2 xsin2 x

)

h) x

(

x

)

x x x cos sec sin 1 1 sec 1 tan 2 2 2 2 2 2 ⋅ − + + ⋅ + i)       − ⋅       + ⋅       + − 2 2 1 2 1 1 cosec 1 cotan 2 x x x x x x j) 1 2xlog x k) x x x 3 3 2 10 log 1 2 + + ⋅ i)

(

)

(

)

       + + ⋅ + x x x x x x x logsin 2 log 1 cotan

sin 1 log m) xx

(

1+logx

)

n)

( ) ( ) ( )

2 2 2 1 2 log 1 1 2 1 x x x x x x x − + + + o)

(

)

(

)

      + − ⋅ 1 log sin log log an cot 1 arctan 1 log sin 2 1 arctan x x x x x x x

(22)

p)

(

xlogx

)

1 x2 log2 x arcsin 2 ⋅ − + q)

(

)

(

)

(

)

(

)

        + − + + + ⋅ + + + ⋅ +           + − 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 arcsin 2 1 2 logarcsin 1 2 arcsin 1 2 sin 2 1 1 log 2 cos 2 1 x x x x x x x x x x x x 45 - a) y p 2 b) x yc) ax y x ay − − 2 2 d)

(

)

(

x y

)

y x + + + − sin 1 sin e) x x y y x y y x x y y x x y log log − − 46 - a) 2 1 2 t tb) tan 2t 47 - a) 2 b) 1 c) a e d) +∞ 48 - a) dy=

(

tg2x+1

)

sec2 xdx=sec4 xdx b) dx x x dy 4 3 4 4 cos = c) dx x x dy 2 1 log − = 49 - a) ... ! 3 ! 2 1 3 2 + + + +x x x b) ... ! 3 ! 2 1 3 2 + − + −x x x c) ... ! 7 ! 5 ! 3 7 5 3 x x x x− + − d) ... ! 6 ! 4 ! 2 1 6 4 2 x x x − + − e) ... ! 3 ! 2 5 5 3 2 + − + −x x x f) 1+x+x2 +x3 +... g) ... 4 3 2 4 3 2 − − − − −x x x x h) 1−x2 +x4 −x6 +... i) ... 7 5 3 7 5 3 x x x x− + − 50 - −7

(

x−2

) (

x−2

)

2 +3

(

x−2

) (

3 + x−2

)

4 51 -

( )

x+12+2

( )

x+13 −3

( ) ( )

x+14 + x+15 52 . 1 - x +C 6 6 . 2 - xx x+C 10 6 2 . 3 - x C x x− + + −1 8 1 2 . 4 - x + x23 x2+ 3 x+C 5 3 4 3 5 . 5 - C x + 5 5 sin . 6 - x+C 2 log2 . 7 - tan7x+C 7 1 . 8 - − logcos2x+C 2 1 . 9 - x+C 2 tan2 . 10 - x+C 4 cos4 . 11 - 2x +3+C 2 1 2 . 12 - C x+ − sin 1 . 13 - 2 tanx−1+C . 14 - log3x+C 3 1

(23)

. 23 - C a x a +       2arctan 2 1 . . 24 -

( )

+x x+C 2 arctan 1 log 2 1 2 . 25 -

( )

1+ x 3 +C 3 4 . 26 - arctanex +C . 27 -

(

1+3cos2x

)

3+C 9 2 . 28 - −1+x+2 1−x−2log 1−x+1+C . 29 - x x x − +x +C      + + 2 2 1 1 log . 30 - 2xlogx−2xx2 +C

. 31 - 2log

( )

sin2x sinx−4sinx+C . 32 - − 1−x2 arcsinx+x+C . 33 - x x+

( )

x 2 +C 1 2 1 arcsin . 34 - C x x + + − 2 4 4 1 . 35 - C x x + +1 log 2 . 36 -

( )

x C x x x +       + + + + 2 2 log 1 1 2 4 3 . 37 - xx +

(

xx+

)

+ x− +C 7 1 4 arctan 7 2 1 1 2 log 4 1 2 2 2 3 . 38 -

(

x+ x+

)

(

x+

)

+ loglogx+3+C 5 9 2 2 log arctan 5 8 8 log 4 log log 5 2 2 . 39 -

( )

x C x x x +         + + − + 3 1 2 arctan 3 1 1 1 log 6 1 2 2 . 40 - log

( )

2 3 2 1 3+ + . 41 - 2 2 3 . 42 - 2

(

2−arctan2

)

53 - a a b 2 2+ = 54 - 2

π

−3 3 55 - 162 25 56 - 3 32 57 - 12 58 - 2 3 4 p 59 - v b2a 3 4 π = 60 - 2 2

π

= v .

(24)

E

NUNCIADOS DE

T

ESTES E

E

XAMES

1º TESTE –24/11/2007

1.1 Aplicando as propriedades de valor absoluto de um número real, mostre que

y x y x− ≥ − . 1.2 Considere a expressão x x x x F 2 1 1 ) ( 2 − + −

= . Defina, com intervalos de números reais, o

conjunto dos valores de x para os quais F(x)≥1. 2. C é o corpo complexo. (ZC) 2.1 Calcule 3 / 2 3 2 sin 3 2 cos 2            − −

π

j

π

. 2.2 Seja π 3 4 2 cis

Z = . Determine o menor número natural n, tal que Zn∈ℜ.

2.3 Prove que os complexos z, tais que Z j Z j Z Im 1

1+ + − = , são imaginários puros.

2.4 Determine analiticamente e represente no plano de Argand o conjunto de afixos que são imagens dos complexos Z que verificam simultaneamente as condições:

1 ) ( Re arg 2 ≤ ≤ ∧ ≤ ∧ ⋅ − ≤ +Z Z Z Z Z Z π π .

3.1 Seja f(x) a função real de variável real definida por

2 1 ) (x e x f = − − . Caracteriza a inversa de f(x). 1ex−1 se x<1

(25)

2º TESTE –14/01/2008

1.1 Calcule a derivada dx dy

da função dada implicitamente yx−1−xlogy =0.

1.2 Calcule

f

( )

0

, sendo

z

=

f

( )

y

uma função definida parametricamente por:

( )

t t

y =arcsin e z

( )

t =arctan3t.

2. Aproxime a função f(x)=arctanxa um polinómio em x de grau menor ou igual a 3. 3. Calcule os seguintes integrais:

3.1 dx x x

− − 2 2 ) 1 ( 4 ; 3.2

+ + + − dx x x x x ) 1 ( 4 ) 1 ( 7 3 2 ; 3.3

      dx x x 1 log sin ; 3.4

+ 1 0 4 2 ) (ax b xdx; 3.5

π 0 3 sin xdx; 3.6

+ + 2 1 2 ) log( ) 2 1 ( x x x dx.

4. Calcule a área do sub-conjunto de ℜ2 constituída pelos pontos de coordenadas (x,y) que

verificam as seguintes condições:

       ≥ + ≤ ≤ 1 2 3 y x y x y

e determine o volume do sólido de revolução gerado

pela rotação do mesmo em torno do eixo OX.

EXAME –30/01/2008

1. C é o conjunto dos números complexos.

1.1 Calcule os valores de 3 2 3 cos 3 sin 5           

π

j

π

.

1.2 Determine analiticamente e represente no plano de Argand o conjunto de afixos

que são imagens dos complexos Z que verificam simultaneamente as condições 4 4 arg 4 5 2  ∨ + <      ≤ ≤ − ∧ ≥ − + −Z j

π

Z

π

Z Z .

(26)

1.3 Mostre que, nN , se tem 2 2 3 1 2 3 1 =         +         + j j .

2. Considere a função definida por

( )

2 cos 1 ) ( sin2 x x x f − −

=

π

. Determine uma equação da tangente ao

gráfico de f no ponto de abcissa

π

. 3. Aproxime a função

( )

x x f − = 1 1

por um polinómio em x de grau menor ou igual a n. 4. Calcule: 4.1

( )

+4 2 x x x d ; 4.2

+ e dx e x x 2 1 3 ; 4.3

x dx x log ; 4.4

− + 1 1(1 t2)2 t d ; 4.5

− 1 1 2e dx x ax .

5. Dado o conjunto dos pontos de coordenadas ( x, y ) que verificam as seguintes condições

2 2

2 +

x y x y

y . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do mesmo em torno do eixo OX.

EXAME DE RECURSO –18/02/2008

1. C é o conjunto dos números complexos.

1.1 Calcule os valores de

[

8

(

−cos420º−jsin420º

)

]

2/3.

1.2 Represente geometricamente no plano de Argand o conjunto dos pontos do plano, definido pelas imagens dos complexos Z, tais que:

(

)

(27)

4.1

(

)

+ dx x x 2 1 2 ; 4.2

( )

− − x d x x 2 2 1 4 ; 4.3

      dx x x sen 1 log ; 4.4

(

)

+ e dx x x x 1 log2 1 log ; 4.5

(

)

e dx x x 1 log 1 log .

5. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo OX, da

região limitada por x2 − y2 =1, x=0, y=3e y=0.

1º TESTE –19/11/2008 1. Considere a expressão 1 1 1 1 ) ( 2 2 − + − − = x x x x

F . Defina, com intervalos de números reais,

o conjunto dos valores de x para os quais F(x)>0. 2. C é o corpo complexo. (zC).

2.1 Mostre que se z = c então c z c z − +

é um imaginário puro, com cC. 2.2 Resolva seguinte equação 2z+ z j+1− j=0.

2.3 Determine o conjunto dos valores de z para os quais

z z2

1+

é um real.

2.4 Represente no plano de Argand o conjunto dos pontos definido pela condição:

(

)

3 2 1 arg 0 3 1 2 − ≤ ∧ ≤ + + <

π

+ j z j z .

3.1 Considere a função definida em ℜ por

         > + ≤ < − + − = − < + = 1 ) 1 ( 3 2 1 2 3 1 x 3 2 2 ) 1 2 ( 3 1 ) ( x se , x x se , 2 x se , 0 x se , x x f . Estude a

continuidade da função em todo o seu domínio. 3.2 Calcule o seguinte limite

1 sin 2 1 tan lim 2 3 4 − − → x x x π .

(28)

    = = ) 2 cos( 3 sin 2 2 t y t x no ponto 4 =

π

t . 2º TESTE –14/01/2009

1. Determine o polinómio de McLaurin de ordem 4 que aproxima a função

x x x f − + − = 1 1 ) 1 ( log ) ( .

2. Calcule os seguintes integrais: 2.1

+4) (x2 x x d ; 2.2

− − dx x x x 2 3 3 2 2 ; 2.3

x(1+cos2x) dx 2 ; 2.4

+ 1 0 dx ex ex ; 2.5

+ 1 0 1 xdx x .

3.1 Calcule a área da região plana delimitada por y=−x2 +4, y=−2 e y=x−2.

3.2 Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo OX da região plana dada pelas desigualdades: x2 − y2≥1, x≥−2 e x≤2.

(29)

imagens dos complexos z (zC) que verificam simultaneamente as condições: j z z j z j z 2 3 3 2 2 4 − − < + ∧ ≤ − − . 1.3 Sendo n j z        + = 2 1 2 3

, verifique se existe algum nN para o qual z seja um imaginário puro.

2.1 Considere a função real de variável real definida por sin

( )

, 0 2 1 ) (  ≠      + = kx k k x x f .

Mostre que f ′′

( )

x +k2f

( )

x =cos

( )

kx .

2.2 Calcule a derivada da função implícita de y dada pela equação: 0 1 ) log( ) y x ( cos + + + = y y x . 3. Calcule: 3.1

x dx x x arctan 1) -( 2 2 2 ; 3.2

+ e dx e x x 2 1 3 ; 3.3

(

x

)

(

x

)

dx x x e 1 log 1 log log 1 2 + +

.

4. Calcule a área da região do plano limitada pelas rectas y = x, x = 0, x = 2 e pela curva y = x2 . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da mesma em torno do eixo OY.

EXAME DE RECURSO –09/02/2009

1. C é o conjunto dos números complexos.

1.1 Calcule os valores de 3 2 4 3 4 1 −       +

j . Apresente os resultados na forma trigonométrica

(30)

imagens dos complexos z (zC) que verificam simultaneamente as condições: 3 2 ) 2 3 ( 3 3 + + > + − ∧ = + − j z j z j z j z . 1.3 Mostre que z1z2 2 + z1+z2 2 =2 z1 2 +2 z2 2 , ∀ z1, z2C.

2.1 Determine a equação da recta tangente à curva dada pela função implícita de t

x

e−(x2+t2)=log no ponto (2, 3).

2.2 Determine o polinómio de McLaurin de ordem 4 que aproxima a função

x x x f 2 2 1 1 ) ( + + = . 3. Calcule: 3.1

− − + + dx x x x x x 2 2 2 2 1 1 ) 1 ( ; 3.2

9−t2 dt; 3.3

+ − 2 0 6 5sin sin2 cos π dx x x x .

4. Considere a figura definida por yx −1 ∧ y≤−x2 +1. Utilize integrais para calcular: 4.1 A área da figura.

(31)

S

OLUÇÕES DOS

T

ESTES E

E

XAMES 1º TESTE –24/11/2007 1.2

[

3;+∞

[

; 2.1

π

9 14 41/3 1 cis z = ;

π

9 2 41/3 2 cis z = ;

π

9 8 41/3 3 cis z = ; 2.2 n=3, com k=4; 1.2.4 0 -1 -2 x y Solução em azul

3.1 f (x) não admite inversa; 3.2.1 f (x) é contínua em ℜ/

{}

1 ; 3.2.2 Não admite. 3.2.3      >       − − < − = ′ − 1 , 3 sin 1 , ) ( 1 x x x e x f x

π

π

π

. 2º TESTE –14/01/2008 1.1

(

)

x x y y x y x y dx dy y x x x y log log log 1 1 1 1 log + − − ⋅ = − − − − ; 1.2 log3 2 1 ) 0 ( = ′ f ; 2. 3 ) ( 3 x x x f = − ; 3.1 x− − x− ⋅ −x +2x+3−2 −x +2x+3+C 2 1 2 1 arcsin 3 2 2 ;

(32)

3.2 x+ + x + + )+C 2 ( arctan 2 4 log 1 log 2 2 ; 3.3 C x +     1 log cos ; 3.4

[

(

2

)

]

5 5 10 1 b b x a a ⋅ + − ; 3.5 3 4 ; 3.6 6log6−2log2−4; 4. A=3log3 (u.a.);

π

6 31 = V (u.v.). EXAME –30/01/2008 1.1

π

9 5 52/3 1 cis z = ,

π

9 11 52/3 2 cis z = ,

π

9 17 52/3 3 cis z = ; 1.1.2 Solução em azul 2. y=0; 3. 1+x+x2 +x3+K+xn; 4.1 x − log x +4 +C 8 1 log 4 1 2 ; 4.2 3

(

1+2ex

)

2 +C 4 3 ; 4.3 logx⋅2 x −4 x +C; 4.4 2 1 4 +

π

; 4.5 3 2 3 2 2 2 2 2 a a a e a a a ea − + + −a − + − .

(33)

EXAME DE RECURSO –18/02/2008 1.1

π

9 8 4 1 cis z = ,

π

9 14 4 2 cis z = ,

π

9 2 4 3 cis z = ; 1.1.2 Solução em azul 1.3 z1 = 3+ j - raís dada, z2 =− 3+ j, z3 =−2 j. 2. y=(3e+2)x; 3. 2 1 ! ) 1 ( 4 1 2 1 2 1 3 2 3 ⋅ − + + + + + n x x x x n K ; 4.1 C x x x + + ⋅ + + 2 1 2 1 2 log 4 1 ; 4.2 x− − x− − x− − − x− + x− +C 2 1 arcsin ) 1 ( 4 2 ) 1 ( 4 2 1 2 1 arcsin 2 2 2 ; 4.3 C x+     1 log cos ; 4.4 log2 2 1 ; 4.5 3−e. 5.       + + = 3 1 10 10 3 11 10 10 9

π

π

V u.v. 1º TESTE –19/11/2008 1. \

{ }

1 2 1 ,  −   − ∞ − , 2.2 z=−1− j, 2.3 ( y=0 ∪ y2=1−x2) ∩ y2 +x2 ≠0 , ∀x , y∈ℜ, 2.4 Solução em azul.

(34)

x 1

-1

-2

3.1 No intervalos ]- ∞, -2[, ]-2, 1[ e ]1, +∞[ é cont., não é cont. nos pontos -2 e 1.

3.2 1/3. 3.3 y = -3 x + 3. 2º TESTE –14/01/2009 1. 2 3 4 4 3 3 2 2 1 1+ x + x + x . 2.1 C x x + + 2 4 log 4 1 , 2.2 x C x x x + + 1 2 log 4 15 2 log 4 2 , 2.3 x x x x+C      + + cos2 4 1 2 2 sin 2 1 4 1 2 , 2.4 e ee, 2.5 2 15 4 . 3.1 3 38 6 4 + (u.a.), 3.2

π

3 8 (u.v.).

(35)

4/3 x y 1.3 n=3+6k. 2.2 y x y y x y x y x y x y x y y + + + + − + = ′ 2 2( )sin( ) 1 ) ( sin ) ( . 3.1 x x x C x x+ + + + − arctan 2 1 1 log 4 1 1 log 4 1 1 arctan 2 ; 3.2 3 (1+2ex)2 +C 4 3 ; 3.3 8 2 log4 +

π

. 4. 1 (u.a.) e 41/3 π (u.v.). EXAME DE RECURSO –09/02/2009 1.1

π

9 2 cis 4 3 ,

π

9 8 cis 4 3 ,

π

9 14 cis 4 3 , Solução em azul. 3 4 3 4 − x y k = 2 k = 1 k = 0 1.2 Solução em azul.

(36)

2.1 ( 2) 3 12 8 13 + − + = e x t , 2.2 (105 (log2) ) 24 ) ) 2 log ( 15 ( 6 ) ) 2 log ( 3 ( 2 1 2 log 1 2 4 4 3 3 2 2 + + + − + + + + − + x x x x . 3.1 C x x x+log − 1+ arcsin , 3.2 + t 9−t2 +C 2 1 2 9 , 3.3 3 4 log . 4.1 7/3 (u.a.), 4.2 5/6

π

(u.v.).

Referências

Documentos relacionados

Para mim, no que diz respeito às línguas humanas, e apesar de passado mais de um século, Saussure foi o grande observador dos principais aspectos da língua: o

exclusivamente para tal finalidade, cujo comprovante deverá ser enviado a Entidade Profissional até o dia 10 (dez) do mês subsequente, sendo que eventuais pagamentos realizados

A excepcional ligação do poeta ao meio artístico foi já sublinhada em várias exposições e aproximações biográficas (é, por exemplo, conhecido e reconhecido o seu protagonismo

Operações na forma algébrica dos números complexos Operações na forma trigonométrica dos números complexos Relações de Girard. Teorema das raízes racionais Produção

MATEMÁTICA: Conjuntos; números naturais; múltiplos e divisores; números inteiros; números racionais; números reais; sistema de numeração decimal; operações fundamentais;

2) Bimestralmente, considerar os registros presentes nesses relatórios de avaliação das ações do AEE, em caráter de estudo e de pesquisa das Equipes de Acompanhamento do IHA, para

Lembre-se: você pode usar tudo o que foi visto em aula, em listas anteriores, ou mesmo qualquer questão do trabalho para responder outras questões (mesmo que você não tenha feito

(ENEM) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma