UNIVERSIDADE DO ALGARVE
INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO
DE
ENGENHARIA
ELECTROTÉCNICA
L
ICENCIATURA EME
NGENHARIAE
LÉCTRICA EE
LECTRÓNICAANÁLISE
MATEMÁTICA
I
•
Plano da Disciplina
•
Bibliografia
•
Roteiro para as Aulas Teóricas, Teórico-Práticas e Orientação Tutorial
•
Enunciados dos Exercícios das Aulas Teórico-Práticas – Algumas Soluções
•
Enunciados de Testes e Exames.
PLANO DA DISCIPLINA Análise Matemática I ANO LECTIVO 2009/2010
(1º Ano – 1º Semestre) DOCENTE RESPONSÁVEL: Prof.ª Doutora Maria Gabriela Schütz DOCENTE QUE LECCIONA: Prof.ª Ana Bela Santos
Prof.ª Larissa Labakhua
OBJECTIVOS:
Fornecer uma base sólida sobre Análise Matemática em ℜ, que permita aos estudantes o prosseguimento, bem sucedido, nas restantes disciplinas do curso.
Em termos genéricos pretende-se que o estudante desenvolva as suas capacidades de raciocínio indutivo e dedutivo, de aprofundar conhecimentos com objectividade, de exposição e tratamento dos conhecimentos que vão sendo adquiridos com clareza e rigor de linguagem.
Especificamente o estudante deve dominar os conceitos envolvidos nos conteúdos programáticos, utilizá-los com destreza e saber aplicá-los, com maleabilidade e sentido crítico, a outras disciplinas e a outras áreas científicas.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1. NÚMEROS REAIS E COMPLEXOS
1.1. Números inteiros e números racionais. 1.2. Números reais.
1.2.1. Módulo de um número real. 1.3. Números complexos.
1.3.1. Forma algébrica.
1.3.2. Representação geométrica – Plano de Cauchy ou de Argand. 1.3.3. Forma trigonométrica e forma exponencial.
1.3.4. Operações com complexos.
1.3.4.1. Igualdade, Adição, Subtracção, Multiplicação, Divisão, Potenciação, Radiciação. 1.3.5. Propriedades dos complexos.
1.3.6. Curvas e regiões do plano. 2. SUCESSÕES E SÉRIE
2.1. Sucessões: Definição. 2.2. Séries: Definição.
3. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 3.1. Definição e gráficos.
3.2. Funções: constante, linear, polinomial, racional, irracional, inversa e implícita. 3.3. Funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais.
3.4. Limites e continuidade. 3.4.1. Definições.
3.4.2. Limites laterais, limites no infinito e limites infinitos. 3.4.3. Propriedades dos limites.
3.4.4. Casos particulares.
3.4.5. Continuidade – teoremas do Valor Intermédio, de Bolzano e de Weierstrass. 3.5. Derivadas.
3.5.2. Regras de derivação.
3.5.3. Derivadas das funções logarítmica, exponencial e trigonométricas. 3.5.4. Derivadas de uma função dada implicitamente e na forma paramétrica. 3.5.5. Aplicação das derivadas para levantar indeterminações.
3.6. Diferencial e derivadas de ordem n.
3.6.1. Diferencial da soma, do produto e do quociente. 3.6.2. Derivadas de ordem n.
3.6.3. Diferencial de ordem n.
3.6.4. Fórmula de Taylor e de Maclaurin. 3.7. Primitivas.
3.7.1. Definição.
3.7.2. Primitivas imediatas. 3.7.3. Integral indefinido.
3.7.4. Integral indefinido por substituição e por partes. 3.7.5. Integral indefinido de funções racionais. 3.8. Cálculo integral.
3.8.1. Soma integral e função integral no sentido de Riemann.
3.8.2. Integral definido – definição e propriedades, Fórmula de Barrow. 3.8.3. Integração por partes e por substituição.
3.8.4. Cálculo de áreas e de volumes de sólidos de revolução.
AVALIAÇÃO
Avaliação Contínua: 2 provas escritas parcelares (P1 e P2) e participação nas aulas teórico-práticas e tutoriais
(PT). Classificação = P P + ×PT + × 0,1 2 2 1 9 ,
0 , com classificação mínima de 8 valores nas provas P1 e P2, sendo todas as provas avaliadas na escala de 0 a 20.
Avaliação Final: Exame escrito, avaliado na escala de 0 a 20.
O aluno fica aprovado se obtiver classificação igual ou superior a 10 na avaliação contínua ou na avaliação final.
NOTA SOBRE OS TESTES E EXAME
• Para a 1ª Frequência e Exame é obrigatória a inscrição no Secretariado da ADEE. • Os testes duram no máximo 2h:30m e os exames 3h.
• Os alunos devem apresentar o seu B.I., ou Cartão de Estudante, de modo a permitir a sua identificação. • Os alunos não podem sair da sala durante os testes, e/ou exame, excepto quando desistirem ou mediante a
BIBLIOGRAFIA
• Folhas editadas pela Área Departamental de Engenharia Electrotécnica (disponíveis na Internet e na reprografia da Associação Académica).
• Cálculo (Vol. 1) Apostol, Tom, Editora Reverté, Lda.
• Cálculo Diferencial e Integral, (vol. 1) N. Piskounov, Editora Lopes da Silva • Mathematics for Engineers and Scientists, (Vol. 1), Bajpai; Calus; Fairley
• Matemática para Engenharia, (Vol. II), Ia. S. Bugrov, S. M. Nikolski, Editora Mir Moscovo
• Curso de Análise Matemática, J. S. Guerreiro, Livraria Escolar Editora • Lições de Cálculo Diferencial e Integral, A. Ostrowski
• Cálculo com Geometria Analítica, (Vol. 1), Swokouski, Makron Books, McGraw-Hill • Elementos de Cálculo Diferencial e Integral em ℜ e ℜn, A. Azenha & M.A. Jerónimo,
McGraw-Hill
• Introdução à Análise Matemática, Campos Ferreira, J., Fundação Calouste Gulbenkian (1987)
ROTEIRO PARA AS AULAS TEÓRICAS, TEÓRICO-PRÁTICAS E TUTORIAIS
1ª SEMANA:NÚMEROS REAIS 23/09/2009
Teórica
Apresentação do programa, da metodologia a seguir e da avaliação. 1. Números reais e complexos.
1.1. Números inteiros e números racionais. 1.2. Números reais. Módulo de um número real. Teórico-Prática:
Exercícios: 1 a), 2. Orientação Tutorial:
Exercícios: 1 b), 1 (1º Teste-15/11/2006).
2ª SEMANA:NÚMEROS COMPLEXOS 30/09/2009 Teórica
1.3. Números complexos.
1.3.1. Forma canónica e forma algébrica. Módulo e conjugado de complexos. Propriedades.
1.3.2. Operações com complexos na forma algébrica: Igualdade, adição, subtracção, multiplicação e divisão. Exemplos práticos.
1.3.3. Representação geométrica. Plano de Cauchy ou de Argand. Forma trigonométrica. Módulo, argumento de um complexo. Exemplos práticos. 1.3.4. Forma exponencial de um complexo.
Teórico-Prática:
Exercícios: 3 a) b) c)(ii, v) e)(ii). Orientação Tutorial:
Exercícios: 3 c)(i, iii, vi), d), e)(i), f), h).
3ª SEMANA:NÚMEROS COMPLEXOS 07/10/2009
4ª SEMANA:NÚMEROS COMPLEXOS 14/10/2009
Teórica
1.3.8. Curvas e regiões do plano de Argand. Definição da circunferência, elipse, recta, semi-planos no plano complexo. Exemplos práticos.
Teórico-Prática:
Exercícios: 15, 17. Orientação Tutorial:
Exercícios: 16, 2.3 (1º Teste-03/12/2005), 2.4 (1º Teste-15/11/2006).
5ª SEMANA:SUCESSÕES E SÉRIES E FUNÇÕES EM ℜ. 21/10/2009 Teórica
2. Sucessões e séries
2.1. Sucessões: Definição, limite e convergência. 2.2. Séries infinitas. Propriedades.
2.3. Séries Geométricas. 3. Funções em ℜ:
3.1. Noções topológicas. 3.2. Definição e gráficos.
3.3. Funções: constante, linear, polinomial, racional, irracional, inversa, implícita, logarítmica e exponencial.
3.4. Estudo das funções trigonométricas e suas funções inversas. Teórico-Prática:
Exercícios: 19 a), 21, 30. Orientação Tutorial:
Exercícios: 18 b), 19 b), 23, 25, 27, 28.
6ª SEMANA:LIMITES E CONTINUIDADE 28/10/2009
Teórica
3.5. Limites e continuidade: 3.5.1. Definições.
3.5.2. Limites laterais, limites no infinito e limites infinitos. 3.5.3. Propriedades dos limites.
3.5.4. Casos particulares. Continuidade – Teoremas do Valor Intermédio, de Bolzano e de Weierstrass. 3.5.5. Teórico-Prática: Exercícios: 31, 32, 33. Orientação Tutorial: Exercícios: 34, 35, 4.1 (1º Teste-03/12/2005).
7ª SEMANA:CÁLCULO DE DERIVADAS 04/11/2009
Teórica
3.6. Derivadas:
3.6.1. Definição e interpretação geométrica. 3.6.2. Regras de derivação.
3.6.3. Derivadas das funções logarítmica, exponencial, trigonométricas e trigonométricas inversas.
3.6.4. Derivadas de uma função dada implicitamente e na forma paramétrica. 3.6.5. Aplicação das derivadas para levantar indeterminações.
Teórico-Prática:
Exercícios: 36, 39, 44 c) d) f) n) p), 45 a), 46 a). Orientação Tutorial:
Exercícios: 37, 42, 44 a)e)g)i)j)l)m)o), 45 d), 46 b).
8ª SEMANA:1º TESTE 11/11/2009
Preparação para o 1º teste. Esclarecimento de dúvidas.
9ª SEMANA:DIFERENCIAL E DERIVADAS DE ORDEM n. 18/11/2009
Teórica
3.7. Diferencial e derivadas de ordem n. 3.7.1. Noção e interpretação geométrica.
3.7.2. Diferencial da soma, do produto e do quociente. 3.7.3. Derivadas de ordem n.
3.7.4. Diferencial de ordem n.
3.7.5. Fórmula de Taylor e de Maclaurin. Teórico-Prática:
Exercícios: 47 a),c), 48 c), 49 e), 50. Orientação Tutorial:
Teórico-Prática:
Exercícios: 52 (3, 5, 7, 9, 12, 13, 15, 18, 19, 22). Orientação Tutorial:
Exercícios: 52 (2, 4, 6, 8, 10, 11, 14, 16, 17, 20, 21).
11ª SEMANA:PRIMITIVAS E INTEGRAL INDEFINIDO (CONTINUAÇÃO). 02/12/2009
Teórica
3.8.3. Integral indefinido por partes. Teórico-Prática:
Exercícios: 52 (23, 29, 30, 32). Orientação Tutorial:
Exercícios: 52 (24, 25, 26, 27, 31, 33, 34).
12ª SEMANA:INTEGRAL INDEFINIDO DE FUNÇÕES RACIONAIS. 09/12/2009
Teórica
3.8.4. Integral indefinido de funções racionais. Teórico-Prática:
Exercícios: 52 (36, 37). Orientação Tutorial:
Exercícios: 52 (28, 35, 38, 39).
13ª SEMANA:INTEGRAL DEFINIDO. 16/12/2009
Teórica
3.8. Cálculo integral.
3.8.3. Soma integral e função integral.
3.8.4. Integral definido – definição e propriedades, fórmula de Barrow. 3.8.5. Integração por partes e por substituição.
Teórico-Prática:
Exercícios: 52 (40, 41, 42). Orientação Tutorial:
Exercícios: 4.3 (2º Teste-13/01/2006), 4.3 (2º Teste-25/01/2007), 5.3 (Exame-05/02/2007), 5.3 (Exame-15/02/2007).
14ª SEMANA:INTEGRAL DEFINIDO (CONTINUAÇÃO). 06/01/2010
Teórica
3.8 Cálculo integral (continuação).
3.8.6. Cálculo de áreas e de volumes de sólidos de revolução. Teórico-Prática:
Exercícios: 53, 57, 60. Orientação Tutorial:
Exercícios: 54, 56, 59.
15ª SEMANA 13/01/2010
Preparação para o exame. Esclarecimento de dúvidas. 16ª SEMANA À 20ª SEMANA
NÚMEROS REAIS E COMPLEXOS
1
1.. Determine o conjunto dos números reais x que verificam: a) −6 >5 x x . b) 3 − +6≥2 x x x . c) 2x−6+ x−8<15. 2 2.. Resolva em R, 1 2 1 1 2 ≤ − + + x x x . 3 3.. a) Calcule 1954 j .
b) Sendo z=-2+3j calcule Re(Z),Im(Z), z ez .
c) Represente cada uma das seguintes expressões na forma a+bj: i) (2+3j)+(1+ j)− j ii) 3 2 5 3 2 1 j j− + + iii) (−1+2j)(2−5j) iv) j 3 4 1 − v) j j j j 1 5 3 4 ) 1 )( 1 ( 1 − − + − + vi)
(
)
2 2 3 1 5 + + − j j j d) Sendo z=2+3j e w=1+ j, calcule z.w e w z . e) Resolva em ℜ as seguintes equações:i) (2− j)z=3(1+2j) ii) 4z2 +8z2 =3
iii) jz−z=3j−3
f) Determine a raiz quadrada de 5+12j.
g) Demonstre que: “o conjugado do produto de dois complexos é igual ao produto dos conjugados dos factores”.
h) Calcule k e p de modo a que os complexos: z1 =(2k+1)+(p+2)j e
j k p
z2 =(2 −1)+(1−3 ) sejam conjugados.
4
4.. Escreva na forma trigonométrica e exponencial os seguintes números complexos, e represente-os no plano de Argand.
a) z= 3−j b) z j 2 2 2 2− − = 5 5..
a) Escreva na forma trigonométrica os seguintes números complexos:
i) 3 2
π
j
e + ii) e1+j
6
6.. Calcule trigonometricamente o número complexo
( )
( )
4 5 1 1 j j z + − = . 7 7.. Mostre que: j j =−( )
+j + = + − 1 2 2 2 2 1 2 2 1 5 3 . 88.. Determine as circunstâncias em que 1 1 − + z z é um imaginário puro. 9
9.. Calcule os valores de 664, considerando 64 como um complexo.
1
100..Calcule os valores de j5/3.
1
111..Calcule os valores de:
a)
[
8(
−cos420º−jsin420º)
]
25 b) 3 2 6 cos 6 sin 3 +π
π
j 1122..Calcule os valores de
[
9(
cos225º−jsin225º)
]
25 1 133..Calcule 5 cos sin sin cos + +θ
θ
θ
θ
j j 1144..Calcule n∈Ζ de modo que
(
3−j)
n seja real e positivo.1
155..Determine o lugar geométrico dos afixos dos complexos z que satisfazem a equação
2 1 z z
z
z− = − sendo z1=2+j2 e z2=4+j6.
1
166..Determine o lugar geométrico z−1=2x−1 com z=x+jy.
1
177..Sendo A (-2,0) e B (2,0) os afixos dos complexos z1 e z2, qual é o lugar geométrico dos afixos de z , tais que z−z1 + z−z2 =6.
SOLUÇÕES 1 a)
]
−∞,−6[ ]
U −1,0[ ] [ ]
U 0,1 U 6,+∞[
b)[
[
[
2[
6 73 6 1 0 0 1 6 73 6 1 +∞ + − − − − ∞ − , U , U , U , c) − 3 29 , 3 1 2 -]
−∞,0[
3 - a) – 1, b) Re (z)=-2, Im (z)=3, z = 13 e z =−2−3j c) i) 3+3j, ii) j 3 7 6 7 + − , iii) 8+9j, iv) j 25 3 25 4 + v) j 26 11 13 5 − − vi) 10j 9 212 − d) z.w=−1+5j , j w z 2 1 2 5+ = e) i) j3 , ii) − − j j 2 3 , 2 3 , 2 1 , 2 1 iii){
z∈C:z =a+(3−a)j,∀a∈R}
f) −3−2j,3+2j h) k =2,p=3 4 - a) 6 11 2 sin 6 11 cos 2 ππ
π
j e 6 11 j z = + = , b) 4 5 sin 4 5 cos ππ
π
j e 4 5 j z= + = 5 - a) + 2 j e π sin π 2 cos 3 , b) e(
cos1+ jsin1)
, c) a=0∨b=0∨a=±b 6 - + = 4 7 sin 4 7 cos 2 π j π z , 8 - z= x+ j y: x2 + y2 =1∧ x ≠1 9 - ,k=0,...,5 3 k sin 3 k cos 64 6 + = π j π zk , 10- j j j 2 1 2 3 , 2 1 2 3 ,− + + − 11 - a) zk =252[
cos(
72o +k72o)
+ jsin(
72o +k72o)
]
,k=0,...,4 b) , 0,1,2 3 2 9 2 cis 3 3 2 = + k kπ π 12 - zk =592[
cos(
54o +k72o)
+ jsin(
54o +k72o)
]
,k=0,...,4 13 - − = − + − 2 10 2 10 sin 2 10 cos θ π j θ π cis θ π 14 - n=12k/11(
k∈Ζ
e múltiplos de11)
15 - 2 11 2 1 + − = x y 16 - y=± 3(
x−1)
SUCESSÕES E SÉRIES
1
188..Verifique se são convergentes e no caso afirmativo calcule a soma das seguintes séries:
a) ... 20 1 12 1 6 1 2 1 + + + + b)
( )
∑
∞ = + − 0 1 3 2 n n c)∑
∞ = < ≤ 1 n n 2 x 0 , x tan π d)∑
∞ =1 2 n n e)∑
∞ 0 2 sin n n x 1199..Considerando as seguintes séries, determine os valores reais de a para os quais as séries convergem e as suas respectivas somas:
a) + + + +K+ +K n a a a a 1 1 1 1 2 , a∈ℜ/
{ }
0,1 b)(
)
∑
∞ =0 −1 2 1 n a n , a∈ℜ/{ }
1 c)(
)
∑
∞ =0 2+ 2 1 n a n d)(
)
∑
∞ =0 − 3 2 1 8 n n n a , a∈ℜ/{
−1,1}
SOLUÇÕES 18 - a) Convergente, S =1 b) Convergente, 3 1 = S c) Diverge para 2 4 π π ≤ ≤ x e converge para 4 0≤x<π com x x S tan 1 tan − = d) Divergente e) Convergente, x S sin 2 2 − = 19 - a) a∈
]
−∞,−1] ]
∪ 1,+∞[
e 1 2 − = a a S b) a∈]
−∞,0] ]
∪ 2,+∞[
e(
)
a a a S 2 1 2 2 − − = c) a∈ℜ e 2 2 1 2 a a S + + = d) a∈ℜ\[
−5,5]
e(
)
(
1)
64 1 3 3 − − − = a a SFUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 2 200..Considere a função ≤ < < − − < + − x se x se x x se x 0 2 0 3 3 3 . a) Represente-a graficamente.
b) Indique o domínio e o contradomínio. c) Verifique se é injectiva.
2
211..Determine o domínio da função real de variável real definida pela expressão:
( )
7 12 1 1 log 2 2 + − + + + = x x x x x f . 2222..Determine o domínio, da função real de variável real definida pela expressão:
( ) ( )
tan(
)
com , 0 2 1 1 ≠ − − − − = nx na na nx mn a x m x f . 2 233..Resolva a equação: ex−e−x=4. 2244..Mostre que: ∀x,y∈R+,loga
( )
x.y =logax+logay.2
255..Determine a inversa da função real de variável real f
( )
x =1− x+1, de domínio[
−1,+∞[
.2 266..Determine o domínio de
( )
( )
x x f 2 cos log 1 = . 2277..Indique as expressões gerais dos pontos de descontinuidade de: a) f
( )
x =tanx, x∈R b)( )
2 3 2 5 , cotan − π< < π = x x x f 2288..Determine os zeros e os pontos de descontinuidade da função
( )
x x x f cosec 2 tan 1 + − = . 2
3 322..Considere a função
( )
1 1 1 1 − + = x x e e xf e estude-a sobre o ponto de vista da continuidade.
3
333..Prove que a função f(x)=sinx+cosx admite pelo menos um zero no intervalo
[
−π
,0]
e determine-o.3
344..Prove que sendo p(x) um polinómio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.
3
355..Indique o valor que deve tomar k para que a função f(x) seja contínua para x=a, em
que
( )
= ≠ − − = a x se k a x se a x a x x f sin sin . 3366..Calcule as derivadas laterais fd'(2) e fe'(2) de f
( ) ( )
x =3 x−2 2 e conclua sobre a existência de f'(2).3
377..Mostre que a função
( ) ( )
> − ≤ ≤ + − = 3 5 2 3 0 1 3 2 x se x x se x x
f é contínua no ponto x=3, mas não
tem derivada nesse ponto.
3
388..Verifique gráfica e analiticamente que a função
( )
≥ − < + = 2 1 3 2 1 2 x se x x se x x f não admite derivada em x=2. 3 399..Considerando a função
( )
x x x x f 2 1 3 2− + =a) Determine uma equação da tangente à curva no ponto de abcissa x=1.
b) Determine as abcissas dos pontos dessa curva onde a tangente tem a inclinação de 135º.
4
400..Determine as derivadas das funções seguintes aplicando logaritmos:
a)
( )
(
)
4 2 3 2 1 + + = x x x y b) y=(
arctan x)
3 4411..Prove que a derivada de uma função par é uma função ímpar.
4
422..Calcule a derivada de f
( )
x = x2−2x−3 .4
433..Estude a continuidade da função
( )
= ≠ = 0 0 sin x se x x se x x f no ponto x=0. 4
a) f
( )
x =(
3x −5x)
(
x−3)
b)( )
x x x f 2 1 + = c)( )
2 2 1 + − = x x x f d) f( )
x =4 x3+2x e)( )
1 1 − + = x x e x f f)( )
1 2 1 2 + − = x x x fg) f
( )
x =cos2x+tan(
xsin2x)
h) f( )
x =tan2 x2+1+tan(
cosx)
( )
x j) f( )
x =loglog x k) f( )
x =log10(
x2+3x)
l) f( )
x =(
sin x)
1+logx m) f( )
x =xx n) f( )
x( )
x x 1 2+1 = o) f( )
x[
(
x)
]
x 1 arctan log sin = p) f( )
x = arcsin(
xlogx)
q) f( )
x x x[
(
x)
]
x 1 2 1 1 2 arcsin 1 log 2 sin + + + = 4 455..Calcule as derivadas dx dydas seguintes funções implícitas: a) y2−4px=0 b) x12+y12=a12 c) x3+y3−3axy=0 d) y=cos
(
x+y)
e) yx−xy=0 4 466..Calcule dx dypara as seguintes funções expressas na forma paramétrica.
a) + = + = 2 2 2 1 3 1 3 t t a y t t a x , a – const. b) + = = t t x t y cotan tan cotan log 2 4
477..Calcule os seguintes limites: a)
( )
y y ey y + − + → log 1 1 sin lim 0 c) x x x a + ∞ → 1 lim , a – const.4
499..Aproxime as seguintes funções por um polinómio em x, de grau menor ou igual a n.
a) f
( )
x =ex b) f( )
x =e−x c) f( )
x =sinx d) f( )
x =cosx e) f( )
x =2ex+3e−x f)( )
x x f − = 1 1 g) f( )
x =log( )
1−x h)( )
2 1 1 x x f + = i) f( )
x =arctanx 5 500..Decomponha o polinómio 4−5 3+5 2+ +2 x x x x em potências de x−2. 5511..Decomponha o polinómio x5+2x4−x2+x+1 em potências de x+1.
5
522..Calcule os seguintes integrais: 1)
∫
x5dx 2)∫
− x x dx x 4 3 3)∫
+ + dx x x x 2 4 1 2 4) dx x x 2 3 2 1∫
+ 5)∫
cos(5x)dx 6)∫
dx x x log 7)∫
) 7 ( cos2 x dx 8)∫
tan2xdx 9)∫
tanx⋅sec2 xdx 10)∫
cos3 x sin⋅ xdx 11)∫
+ dx x x 3 2 2 12)∫
dx x x 2 sin cos 13)∫
−1 tan cos2 x x dx 14)∫
dx x x 2 log 15)∫
+x dx x 2 1 arctan 16)∫
+ + + dx x x x 3 2 1 2 17)∫
x x dx log 18)∫
tan4 xdx 19)∫
−x x dx arcsin 1 2 20)∫
dx x x) cos(log 21)∫
esinx ⋅cosxdx 22)∫
− 2 3 1 x dx 23)∫
+a dx x x 4 4 24)∫
+ − dx x x x 2 1 arctan 25)∫
+ dx x x 1 26)∫
+e dx e x x 2 1 27)∫
1+3cos2 x⋅sin2xdx28)
∫
− + − − dx x x x 1 1 1 29)∫
log(
x+ 1+x2)
dx 30)∫
dx e x x 2 log 31) x(
2x)
dx sin log cos 2∫
32)∫
−x dx x x 2 1 arcsin 33)∫
arcsinxdx 34)∫
+ 2 2 4 x x dx 35)∫
+1) (x2 x dx 36)∫
+ + dx x x x 3 ) 1 ( 2 3 37)∫
+ − + − dx x x x x x 1 2 4 5 6 2 2 3 4 38)∫
+ + + x x xdx x x ) 3 (log ) 8 log 4 (log log 2 2 39)∫
+1 3 x dx 40)∫
3sec3 π o xdx 41) dy y y∫
4 + 1 2 4 42) dx x x∫
15 − 1 5533..Calcule o valor de b , sendo a>0 e b>a, de modo que a área limitada pelas curvas 1 2 2 2 2 = + b y a x e x2+y2=a2 seja igual a 2 . π 5
544..Calcule a área da menor das partes, em que a recta x=1 divide a área limitada pela elipse 1 9 4 2 2 = +y x . 5
555..Determine a área da figura limitada pelas curvas y2=5xe y=3x.
5
566..Determine a área da figura compreendida entre a curva y=4 x− 2 o eixo dos xx.
5
577..Determine a área da figura delimitada pela curva y=x3, a recta y=8 e o eixo dos yy .
5
588..Determine a área do domínio compreendido entre as parábolas y2=2pxe x2=2py.
5
599..Determine o volume do sólido de revolução, obtido ao rodar a elipse 2 1 2 2 2 = + b y a x em torno do eixo Ox . 6
SOLUÇÕES 20 - b) D=ℜ\
{ }
−3 D′=] [ ]
0,3 U 6,+∞[
c) Não é 21 -]
−1,3] [
U 4,+∞[
22 - Ζ ∈ + − ≠ ∧ ≠ ℜ ∈ k n k a x a x x : 2 π , π 23 - x=log(
2+ 5)
25 - f −1( ) ( )
x = x−12 −1 , Df-1 =]
−∞,1]
26 - ℜ\{
x :x=kπ
/2 ∧k∈Ζ
}
27 - a) +k , k∈Ζ 2 π π b){
−2π
, −π
, 0,π
}
28 - Zeros: x=π +kπ , k∈Ζ 4 P. d.:(
)
π Ζ π π π π π + ∨ = + + ∨ = + ∈ − = k x k x k x k , 2 1 2 6 2 6 29 - f(x) não é injectiva; ′ =− 2 , 2 π π f D 30 - x=kπ , k∈Ζ 31 - Contínua em ℜ 32 - Contínua em ℜ\ 0{ }
33 – 4 π − 35 - cos a 36 - fd′( )
2 =+∞, fe′( )
2 =−∞ 39 - a) 2 1 y=− b) 3 1 , 3 1 − 40 - a)(
)
(
)
+ − − + = ′ 2 2 1 4 1 1 4 3 x x x y y b) x x y arctan 1 1 2 2 + = ′ 42 -( )
< < − + − > ∨ − < − = ′ 3 1 se 2 2 3 1 se 2 2 x x x x x x f 43 - Contínua 44 - a) 9x2 −28x+15 b) x x 4 1 − c)(
)
3 2 1 6 + − x x d)(
2) (
3 2)
4 1 4 2 3 3 + − + x x x e)( )
1 1 2 1 2 −+ − − x x e x f)( )
2 1 1 2 2 log 2 + + x xg) −2sinx⋅cosx+
(
2xsinx⋅cosx+sin2 x) (
sec2 xsin2 x)
h) x
(
x)
x x x cos sec sin 1 1 sec 1 tan 2 2 2 2 2 2 ⋅ − + + ⋅ + i) − ⋅ + ⋅ + − 2 2 1 2 1 1 cosec 1 cotan 2 x x x x x x j) 1 2xlog x k) x x x 3 3 2 10 log 1 2 + + ⋅ i)(
)
(
)
+ + ⋅ + x x x x x x x logsin 2 log 1 cotansin 1 log m) xx
(
1+logx)
n)
( ) ( ) ( )
2 2 2 1 2 log 1 1 2 1 x x x x x x x − + + + o)(
)
(
)
+ − ⋅ 1 log sin log log an cot 1 arctan 1 log sin 2 1 arctan x x x x x x xp)
(
xlogx)
1 x2 log2 x arcsin 2 ⋅ − + q)(
)
(
)
(
)
(
)
+ − + + + ⋅ + + + ⋅ + + − 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 arcsin 2 1 2 logarcsin 1 2 arcsin 1 2 sin 2 1 1 log 2 cos 2 1 x x x x x x x x x x x x 45 - a) y p 2 b) x y − c) ax y x ay − − 2 2 d)(
)
(
x y)
y x + + + − sin 1 sin e) x x y y x y y x x y y x x y log log − − 46 - a) 2 1 2 t t − b) tan 2t 47 - a) 2 b) 1 c) a e d) +∞ 48 - a) dy=(
tg2x+1)
sec2 xdx=sec4 xdx b) dx x x dy 4 3 4 4 cos = c) dx x x dy 2 1 log − = 49 - a) ... ! 3 ! 2 1 3 2 + + + +x x x b) ... ! 3 ! 2 1 3 2 + − + −x x x c) ... ! 7 ! 5 ! 3 7 5 3 x x x x− + − d) ... ! 6 ! 4 ! 2 1 6 4 2 x x x − + − e) ... ! 3 ! 2 5 5 3 2 + − + −x x x f) 1+x+x2 +x3 +... g) ... 4 3 2 4 3 2 − − − − −x x x x h) 1−x2 +x4 −x6 +... i) ... 7 5 3 7 5 3 x x x x− + − 50 - −7(
x−2) (
− x−2)
2 +3(
x−2) (
3 + x−2)
4 51 -( )
x+12+2( )
x+13 −3( ) ( )
x+14 + x+15 52 . 1 - x +C 6 6 . 2 - x−x x+C 10 6 2 . 3 - x C x x− + + −1 8 1 2 . 4 - x + x23 x2+ 3 x+C 5 3 4 3 5 . 5 - C x + 5 5 sin . 6 - x+C 2 log2 . 7 - tan7x+C 7 1 . 8 - − logcos2x+C 2 1 . 9 - x+C 2 tan2 . 10 - − x+C 4 cos4 . 11 - 2x +3+C 2 1 2 . 12 - C x+ − sin 1 . 13 - 2 tanx−1+C . 14 - log3x+C 3 1. 23 - C a x a + 2arctan 2 1 . . 24 -
( )
+x x+C 2 arctan 1 log 2 1 2 . 25 -( )
1+ x 3 +C 3 4 . 26 - arctanex +C . 27 - −(
1+3cos2x)
3+C 9 2 . 28 - −1+x+2 1−x−2log 1−x+1+C . 29 - x x x − +x +C + + 2 2 1 1 log . 30 - 2xlogx−2x−x2 +C. 31 - 2log
( )
sin2x sinx−4sinx+C . 32 - − 1−x2 arcsinx+x+C . 33 - x x+( )
−x 2 +C 1 2 1 arcsin . 34 - C x x + + − 2 4 4 1 . 35 - C x x + +1 log 2 . 36 -( )
x C x x x + + + + + 2 2 log 1 1 2 4 3 . 37 - x −x +(
x −x+)
+ x− +C 7 1 4 arctan 7 2 1 1 2 log 4 1 2 2 2 3 . 38 - −(
x+ x+)
−(
x+)
+ loglogx+3+C 5 9 2 2 log arctan 5 8 8 log 4 log log 5 2 2 . 39 -( )
x C x x x + − + + − + 3 1 2 arctan 3 1 1 1 log 6 1 2 2 . 40 - log( )
2 3 2 1 3+ + . 41 - 2 2 3 . 42 - 2(
2−arctan2)
53 - a a b 2 2+ = 54 - 2π
−3 3 55 - 162 25 56 - 3 32 57 - 12 58 - 2 3 4 p 59 - v b2a 3 4 π = 60 - 2 2π
= v .E
NUNCIADOS DET
ESTES EE
XAMES1º TESTE –24/11/2007
1.1 Aplicando as propriedades de valor absoluto de um número real, mostre que
y x y x− ≥ − . 1.2 Considere a expressão x x x x F 2 1 1 ) ( 2 − + −
= . Defina, com intervalos de números reais, o
conjunto dos valores de x para os quais F(x)≥1. 2. C é o corpo complexo. (Z∈C) 2.1 Calcule 3 / 2 3 2 sin 3 2 cos 2 − −
π
jπ
. 2.2 Seja π 3 4 2 cisZ = . Determine o menor número natural n, tal que Zn∈ℜ.
2.3 Prove que os complexos z, tais que Z j Z j Z Im 1
1+ + − = , são imaginários puros.
2.4 Determine analiticamente e represente no plano de Argand o conjunto de afixos que são imagens dos complexos Z que verificam simultaneamente as condições:
1 ) ( Re arg 2 ≤ ≤ ∧ ≤ ∧ ⋅ − ≤ +Z Z Z Z Z Z π π .
3.1 Seja f(x) a função real de variável real definida por
2 1 ) (x e x f = − − . Caracteriza a inversa de f(x). 1−ex−1 se x<1
2º TESTE –14/01/2008
1.1 Calcule a derivada dx dy
da função dada implicitamente yx−1−xlogy =0.
1.2 Calcule
f
′
( )
0
, sendoz
=
f
( )
y
uma função definida parametricamente por:( )
t ty =arcsin e z
( )
t =arctan3t.2. Aproxime a função f(x)=arctanxa um polinómio em x de grau menor ou igual a 3. 3. Calcule os seguintes integrais:
3.1 dx x x
∫
− − 2 2 ) 1 ( 4 ; 3.2∫
+ + + − dx x x x x ) 1 ( 4 ) 1 ( 7 3 2 ; 3.3∫
dx x x 1 log sin ; 3.4∫
+ 1 0 4 2 ) (ax b xdx; 3.5∫
π 0 3 sin xdx; 3.6∫
+ + 2 1 2 ) log( ) 2 1 ( x x x dx.4. Calcule a área do sub-conjunto de ℜ2 constituída pelos pontos de coordenadas (x,y) que
verificam as seguintes condições:
≥ + ≤ ≤ 1 2 3 y x y x y
e determine o volume do sólido de revolução gerado
pela rotação do mesmo em torno do eixo OX.
EXAME –30/01/2008
1. C é o conjunto dos números complexos.
1.1 Calcule os valores de 3 2 3 cos 3 sin 5 − −
π
jπ
.1.2 Determine analiticamente e represente no plano de Argand o conjunto de afixos
que são imagens dos complexos Z que verificam simultaneamente as condições 4 4 arg 4 5 2 ∨ + < ≤ ≤ − ∧ ≥ − + −Z j
π
Zπ
Z Z .1.3 Mostre que, ∀ n∈N , se tem 2 2 3 1 2 3 1 = − − + − + j j .
2. Considere a função definida por
( )
2 cos 1 ) ( sin2 x x x f − −
=
π
. Determine uma equação da tangente aográfico de f no ponto de abcissa
π
. 3. Aproxime a função( )
x x f − = 1 1por um polinómio em x de grau menor ou igual a n. 4. Calcule: 4.1
( )
∫
+4 2 x x x d ; 4.2∫
+ e dx e x x 2 1 3 ; 4.3∫
x dx x log ; 4.4∫
− + 1 1(1 t2)2 t d ; 4.5∫
− 1 1 2e dx x ax .5. Dado o conjunto dos pontos de coordenadas ( x, y ) que verificam as seguintes condições
2 2
2 ∧ ≤ − + ∧ ≤
≥ x y x y
y . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do mesmo em torno do eixo OX.
EXAME DE RECURSO –18/02/2008
1. C é o conjunto dos números complexos.
1.1 Calcule os valores de
[
8(
−cos420º−jsin420º)
]
2/3.1.2 Represente geometricamente no plano de Argand o conjunto dos pontos do plano, definido pelas imagens dos complexos Z, tais que:
(
)
4.1
(
)
∫
+ dx x x 2 1 2 ; 4.2∫
( )
− − x d x x 2 2 1 4 ; 4.3∫
dx x x sen 1 log ; 4.4(
)
∫
+ e dx x x x 1 log2 1 log ; 4.5∫
(
−)
e dx x x 1 log 1 log .5. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo OX, da
região limitada por x2 − y2 =1, x=0, y=3e y=0.
1º TESTE –19/11/2008 1. Considere a expressão 1 1 1 1 ) ( 2 2 − + − − = x x x x
F . Defina, com intervalos de números reais,
o conjunto dos valores de x para os quais F(x)>0. 2. C é o corpo complexo. (z∈C).
2.1 Mostre que se z = c então c z c z − +
é um imaginário puro, com c∈C. 2.2 Resolva seguinte equação 2z+ z j+1− j=0.
2.3 Determine o conjunto dos valores de z para os quais
z z2
1+
é um real.
2.4 Represente no plano de Argand o conjunto dos pontos definido pela condição:
(
)
3 2 1 arg 0 3 1 2 − ≤ ∧ ≤ + + <π
+ j z j z .3.1 Considere a função definida em ℜ por
> + ≤ < − + − = − < + = 1 ) 1 ( 3 2 1 2 3 1 x 3 2 2 ) 1 2 ( 3 1 ) ( x se , x x se , 2 x se , 0 x se , x x f . Estude a
continuidade da função em todo o seu domínio. 3.2 Calcule o seguinte limite
1 sin 2 1 tan lim 2 3 4 − − → x x x π .
= = ) 2 cos( 3 sin 2 2 t y t x no ponto 4 =
π
t . 2º TESTE –14/01/20091. Determine o polinómio de McLaurin de ordem 4 que aproxima a função
x x x f − + − = 1 1 ) 1 ( log ) ( .
2. Calcule os seguintes integrais: 2.1
∫
+4) (x2 x x d ; 2.2∫
− − dx x x x 2 3 3 2 2 ; 2.3∫
x(1+cos2x) dx 2 ; 2.4∫
+ 1 0 dx ex ex ; 2.5∫
+ 1 0 1 xdx x .3.1 Calcule a área da região plana delimitada por y=−x2 +4, y=−2 e y=x−2.
3.2 Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo OX da região plana dada pelas desigualdades: x2 − y2≥1, x≥−2 e x≤2.
imagens dos complexos z (z∈C) que verificam simultaneamente as condições: j z z j z j z 2 3 3 2 2 4 − − < + ∧ ≤ − − . 1.3 Sendo n j z + = 2 1 2 3
, verifique se existe algum n ∈N para o qual z seja um imaginário puro.
2.1 Considere a função real de variável real definida por sin
( )
, 0 2 1 ) ( ≠ + = kx k k x x f .Mostre que f ′′
( )
x +k2f( )
x =cos( )
kx .2.2 Calcule a derivada da função implícita de y dada pela equação: 0 1 ) log( ) y x ( cos + + + = y y x . 3. Calcule: 3.1
∫
x dx x x arctan 1) -( 2 2 2 ; 3.2∫
+ e dx e x x 2 1 3 ; 3.3(
x)
(
x)
dx x x e 1 log 1 log log 1 2 + +∫
.4. Calcule a área da região do plano limitada pelas rectas y = x, x = 0, x = 2 e pela curva y = x2 . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da mesma em torno do eixo OY.
EXAME DE RECURSO –09/02/2009
1. C é o conjunto dos números complexos.
1.1 Calcule os valores de 3 2 4 3 4 1 − +
− j . Apresente os resultados na forma trigonométrica
imagens dos complexos z (z∈C) que verificam simultaneamente as condições: 3 2 ) 2 3 ( 3 3 + + > + − ∧ = + − j z j z j z j z . 1.3 Mostre que z1−z2 2 + z1+z2 2 =2 z1 2 +2 z2 2 , ∀ z1, z2 ∈C.
2.1 Determine a equação da recta tangente à curva dada pela função implícita de t
x
e−(x2+t2)=log no ponto (2, 3).
2.2 Determine o polinómio de McLaurin de ordem 4 que aproxima a função
x x x f 2 2 1 1 ) ( + + = . 3. Calcule: 3.1
∫
− − + + dx x x x x x 2 2 2 2 1 1 ) 1 ( ; 3.2∫
9−t2 dt; 3.3∫
+ − 2 0 6 5sin sin2 cos π dx x x x .4. Considere a figura definida por y≥ x −1 ∧ y≤−x2 +1. Utilize integrais para calcular: 4.1 A área da figura.
S
OLUÇÕES DOST
ESTES EE
XAMES 1º TESTE –24/11/2007 1.2[
3;+∞[
; 2.1π
9 14 41/3 1 cis z = ;π
9 2 41/3 2 cis z = ;π
9 8 41/3 3 cis z = ; 2.2 n=3, com k=4; 1.2.4 0 -1 -2 x y Solução em azul3.1 f (x) não admite inversa; 3.2.1 f (x) é contínua em ℜ/
{}
1 ; 3.2.2 Não admite. 3.2.3 > − − < − = ′ − 1 , 3 sin 1 , ) ( 1 x x x e x f xπ
π
π
. 2º TESTE –14/01/2008 1.1(
)
x x y y x y x y dx dy y x x x y log log log 1 1 1 1 log + − − ⋅ = − − − − ; 1.2 log3 2 1 ) 0 ( = ′ f ; 2. 3 ) ( 3 x x x f = − ; 3.1 x− − x− ⋅ −x +2x+3−2 −x +2x+3+C 2 1 2 1 arcsin 3 2 2 ;3.2 − x+ + x + + )+C 2 ( arctan 2 4 log 1 log 2 2 ; 3.3 C x + 1 log cos ; 3.4
[
(
2)
]
5 5 10 1 b b x a a ⋅ + − ; 3.5 3 4 ; 3.6 6log6−2log2−4; 4. A=3log3 (u.a.);π
6 31 = V (u.v.). EXAME –30/01/2008 1.1π
9 5 52/3 1 cis z = ,π
9 11 52/3 2 cis z = ,π
9 17 52/3 3 cis z = ; 1.1.2 Solução em azul 2. y=0; 3. 1+x+x2 +x3+K+xn; 4.1 x − log x +4 +C 8 1 log 4 1 2 ; 4.2 3(
1+2ex)
2 +C 4 3 ; 4.3 logx⋅2 x −4 x +C; 4.4 2 1 4 +π
; 4.5 3 2 3 2 2 2 2 2 a a a e a a a ea − + + −a − + − .EXAME DE RECURSO –18/02/2008 1.1
π
9 8 4 1 cis z = ,π
9 14 4 2 cis z = ,π
9 2 4 3 cis z = ; 1.1.2 Solução em azul 1.3 z1 = 3+ j - raís dada, z2 =− 3+ j, z3 =−2 j. 2. y=(3e+2)x; 3. 2 1 ! ) 1 ( 4 1 2 1 2 1 3 2 3 ⋅ − + + + + + n x x x x n K ; 4.1 C x x x + + ⋅ + + 2 1 2 1 2 log 4 1 ; 4.2 x− − x− − x− − − x− + x− +C 2 1 arcsin ) 1 ( 4 2 ) 1 ( 4 2 1 2 1 arcsin 2 2 2 ; 4.3 C x+ 1 log cos ; 4.4 log2 2 1 ; 4.5 3−e. 5. − − + + = 3 1 10 10 3 11 10 10 9π
π
V u.v. 1º TESTE –19/11/2008 1. \{ }
1 2 1 , − − ∞ − , 2.2 z=−1− j, 2.3 ( y=0 ∪ y2=1−x2) ∩ y2 +x2 ≠0 , ∀x , y∈ℜ, 2.4 Solução em azul.x 1
-1
-2
3.1 No intervalos ]- ∞, -2[, ]-2, 1[ e ]1, +∞[ é cont., não é cont. nos pontos -2 e 1.
3.2 1/3. 3.3 y = -3 x + 3. 2º TESTE –14/01/2009 1. 2 3 4 4 3 3 2 2 1 1+ x + x + x . 2.1 C x x + + 2 4 log 4 1 , 2.2 x C x x x + − − − + 1 2 log 4 15 2 log 4 2 , 2.3 x x x x+C + + cos2 4 1 2 2 sin 2 1 4 1 2 , 2.4 e e −e, 2.5 2 15 4 . 3.1 3 38 6 4 + (u.a.), 3.2
π
3 8 (u.v.).4/3 x y 1.3 n=3+6k. 2.2 y x y y x y x y x y x y x y y + + + + − + = ′ 2 2( )sin( ) 1 ) ( sin ) ( . 3.1 x x x C x x+ − − + − + + − arctan 2 1 1 log 4 1 1 log 4 1 1 arctan 2 ; 3.2 3 (1+2ex)2 +C 4 3 ; 3.3 8 2 log4 +
π
. 4. 1 (u.a.) e 41/3 π (u.v.). EXAME DE RECURSO –09/02/2009 1.1π
9 2 cis 4 3 ,π
9 8 cis 4 3 ,π
9 14 cis 4 3 , Solução em azul. 3 4 3 4 − x y k = 2 k = 1 k = 0 1.2 Solução em azul.2.1 ( 2) 3 12 8 13 + − + = e x t , 2.2 (105 (log2) ) 24 ) ) 2 log ( 15 ( 6 ) ) 2 log ( 3 ( 2 1 2 log 1 2 4 4 3 3 2 2 + + + − + + + + − + x x x x . 3.1 C x x x+log − 1+ arcsin , 3.2 + t 9−t2 +C 2 1 2 9 , 3.3 3 4 log . 4.1 7/3 (u.a.), 4.2 5/6