Carlos Javier Melchor Placencia. Análise do Colapso de Estruturas com Não Linearidade Física e Geométrica. Dissertação de Mestrado

(1)

Carlos Javier Melchor Placencia

Análise do Colapso de Estruturas com

Não Linearidade Física e Geométrica

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para

obtenção do grau de Mestre pelo Programa de

Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de

Engenharia Civil da PUC-Rio.

Orientador: Prof. Raul Rosas e Silva

Co-orientadora: Profª. Deane de Mesquita Roehl

Rio de Janeiro

Julho de 2015

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313458/CA

(2)

Carlos Javier Melchor Placencia

Análise do Colapso de Estruturas com

Não Linearidade Física e Geométrica

Dissertação apresentada como requisito parcial

para obtenção do grau de mestre pelo Programa

de Pós-graduação em Engenharia Civil do

Departamento de Engenharia Civil do Centro

Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela

Comissão Examinadora abaixo assinada.

Prof. Raul Rosas e Silva

Orientador

Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio

Profª. Deane de Mesquita Roehl

Co-Orientadora

Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio

Prof. Sebastião Artur Lopes de Andrade

Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio

Prof. Carlos Alberto de Almeida

Departamento de Engenharia Mecânica - PUC-Rio

Prof. José Eugenio Leal

Coordenador Setorial do Centro

Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 15 de Julho de 2015

(3)

orientadora e da universidade.

Carlos Javier Melchor Placencia

Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidad

Nacional de Ingeniería - UNI (Lima – Perú), em 2009.

Ingressou no curso de mestrado em Engenharia Civil, na

área de Estruturas, da PUC-Rio em 2013, desenvolvendo

investigações na linha de pesquisa de Modelos

computacionais para Instabilidade.

Ficha Catalográfica

Melchor Placencia, Carlos Javier

Análise do Colapso de Estruturas com Não-Linearidade Física e Geométrica / Carlos Javier Melchor Placencia; orientador: Raul Rosas e Silva; co-orientadora: Deane de Mesquita Roehl. - 2015.

v., 102 f.: il. ; 30 cm

Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2015.

Inclui referências bibliográficas.

1. Engenharia Civil – Teses. 2. Elementos Finitos. 3. Colapso. 4. Plasticidade. 5. Analise Não Linear. 6. Flambagem. 7. Instabilidade. 8. Cargas Críticas. 9. Problema de autovalor. I. Silva, Raul Rosas e. II. Roehl, Deane de Mesquita. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título. CDD: 624 PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313458/CA

(4)

Ao meu orientador Raul Rosas e Silva pela amizade, orientação e conhecimentos

transmitidos.

À minha co-orientadora Deane Roehl pela motivação, ajuda e ensinamentos.

Aos meus pais, Javier e Elsa, pelo incentivo, amor e dedicação infinita.

Aos professores integrantes da banca examinadora.

As pessoas que de alguma maneira influíram na realização deste trabalho,

especialmente a Deysi Garcia, pela paciência e amizade, ao Nilthson Noreña e

Luis Fernando Paullo que souberam compartilhar e transmitir seus conhecimentos

para enriquecer este trabalho.

A todos os professores e funcionários do Departamento de Engenharia Civil.

A CAPES e FAPERJ, pelos auxílios financeiros concedidos.

(5)

Placencia, Carlos Javier Melchor; Silva, Raul Rosas e; Roehl, Deane de

Mesquita. Análise do Colapso de Estruturas com Não Linearidade Física

e Geométrica. Rio de Janeiro, 2015. 102p. Dissertação de Mestrado -

Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio

de Janeiro.

Neste trabalho apresentam-se três tipos de técnicas de análise do colapso

estrutural através do método dos elementos finitos: análise linearizada da carga

crítica, análise incremental da carga crítica e análise não linear completa. Na

análise linearizada da carga crítica formulou-se um problema de autovalor

empregando matrizes de rigidez baseadas na configuração indeformada da

estrutura e materiais com comportamento linear elástico. No caso da análise

incremental da carga crítica, o problema de autovalor foi formulado empregando

matrizes de rigidez incrementais para levar em consideração os grandes

deslocamentos e propriedades não lineares do material. Finalmente, na análise não

linear completa a configuração deformada da estrutura e propriedades não lineares

do material são atualizadas durante todo o processo incremental-iterativo até

atingir a carga crítica. Desenvolveu-se uma implementação computacional para

estudar as três técnicas de análise em estruturas planas como vigas, colunas,

pórticos e arcos, empregando elementos isoparamétricos bidimensionais para

estado plano de tensões. A configuração deformada da estrutura, devido aos

grandes deslocamentos e rotações dos elementos, foi considerada através de uma

formulação Lagrangeana Total, enquanto o comportamento inelástico do material

foi modelado empregando um modelo elastoplástico de Von Mises (J2) com

encruamento isotrópico. Nos exemplos apresentados mostrou-se a influência da

não linearidade geométrica e física na estimativa de cargas críticas e no

comportamento pós-crítico, podendo ocorrer bifurcações ao longo da trajetória de

equilíbrio fundamental definida no espaço carga-deslocamentos.

Palavras – chave

Elementos finitos; colapso; plasticidade; análise não linear; flambagem;

instabilidade; cargas críticas; problema de autovalor.

(6)

Abstract

Placencia, Carlos Javier Melchor; Silva, Raul Rosas e (Advisor); Roehl,

Deane de Mesquita (Co-Advisor). Collapse Analysis of Structures with

Geometric and Material Nonlinearity. Rio de Janeiro, 2015. 102p. MSc.

Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade

Católica do Rio de Janeiro.

This work presents three kinds of techniques for collapse analysis using the

finite element method: linear buckling analysis, nonlinear buckling analysis and

full nonlinear analysis. The linear buckling analysis requires the definition of an

eigenvalue problem using a stiffness matrix formulation based on the initial

configuration of the structure and under the assumption of a linear elastic material

behavior. In the case of nonlinear buckling analysis, the eigenvalue problem was

formulated employing an incremental stiffness matrix in order to consider the

effects of large displacements and nonlinear material properties in the critical load

estimation. Finally, the full nonlinear analysis takes into account the deformed

configuration and the nonlinear material properties of the structure, updating both

of them through all the incremental-iterative process up to reaching the critical

load. A Finite Element computational program, using plane stress isoperimetric

bidimensional elements, was developed to study the three analysis techniques

applied to plane structures such as beams, columns, frames and arches. The

deformed configuration of the structure, due to large displacements and rotations,

was considered through the Total Lagrangian formulation, whereas the inelastic

material behavior was modeled using the Von Mises plasticity model with

isotropic hardening. The examples presented in this article show the influence of

geometric and material nonlinearity in the critical load estimation and the

post-critical behavior, being this the reason for the potential occurrence of bifurcation

points over the fundamental equilibrium path defined in the load-displacement

space.

Keywords

Finite elements; collapse; plasticity; nonlinear analysis; buckling; instability;

critical loads; eigenvalue problem.

(7)

Sumário

1 Introdução 15

1.1. Justificativa do trabalho de pesquisa 15

1.2. Objetivos do trabalho e tipo de problemas a considerar 17

1.3. Organização dos capítulos restantes 18

2 Análise do Colapso de Estruturas através do Método dos Elementos Finitos 20

2.1. Análise Não-Linear Completa 20

2.1.1. Princípio dos Trabalhos Virtuais 20

2.1.2. Formulação Lagrangeana 21

2.1.3. Equações Constitutivas 23

2.1.4. Análise Incremental-Iterativa das Equações Não-Lineares 30

2.2. Análise incremental da Carga Crítica 34

2.3. Análise Linearizada da Carga Crítica 35

3 Implementação Computacional 36

3.1. Elemento Isoparamétrico Bidimensional 36

3.2. Considerações do Estado Plano de Tensões 37

3.3. Matrizes Utilizadas na Formulação Lagrangeana Total 38

3.3.1. Matriz de Rigidez Tangente 38

3.3.2. Vetor de Forças Internas 39

3.3.3. Matrizes de Transformação Deformação-Deslocamento 40 3.3.4. Matrizes empregadas na análise linearizada e incremental da carga crítica 41 3.4. Algoritmo de Integração Numérica das Relações Constitutivas 42 3.4.1. Algoritmo de integração “Plane Stress-Projected” 44 3.4.2. Matriz Tangente Elastoplástica Consistente 46

3.5. Exemplos de Validação 46

3.5.1. Exemplo de Validação 1: Viga em balanço empregando um modelo

elastoplástico do material 47

3.5.2. Exemplo de Validação 2: Viga em balanço com grandes deslocamentos e

material linear-elástico 48

3.5.3. Exemplo de Validação 3: Viga em balanço com grandes deslocamentos e

material elastoplástico 49

3.5.4. Exemplo de Validação 4: Cálculo da carga crítica do pórtico de Roorda 51 3.5.5. Exemplo de Validação 5: Pontos críticos de um arco abatido 52

(8)

3.5.6. Exemplo de Validação 6: Pórtico de Lee 53

4 Exemplos Numéricos 55

4.1. Estimação de cargas críticas com Material Linear Elástico 55

4.1.1. Arco circular abatido 55

4.1.2. Arco circular elevado 59

4.1.3. Pórtico T 68

4.2. Estimação de cargas críticas com Material Elastoplástico 72

4.2.1. Arco circular abatido 72

4.2.2. Pórtico toggle 76

4.2.3. Pórtico T 80

5 Conclusões e Sugestões 84

5.1. Conclusões 84

5.2. Sugestões para trabalhos futuros 85

Referências Bibliográficas 87

Apêndice A 90

A.1 Malha e outros resultados do exemplo de validação 1 90 A.2 Malha e outros resultados do exemplo de validação 2 91 A.3 Malha e outros resultados do exemplo de validação 3 92 A.4 Malha e outros resultados do exemplo de validação 4 93 A.5 Malha e outros resultados do exemplo de validação 5 94 A.6 Malha e outros resultados do exemplo de validação 6 95

Apêndice B 98

B.1 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 1 98

B.4 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 4 100 B.5 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 5 101 B.6 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 6 101

(9)

Lista de Figuras

Figura 2.1 Descrição do movimento do sólido. 21

Figura 2.2 Superfície de escoamento de Von Mises. 27 Figura 2.3 Vetor de fluxo da Lei de Prandtl-Reuss (Souza Neto et al., 2008). 28 Figura 2.4 Encruamento Isotrópico. Teste uniaxial e Plano 𝜋 (Souza Neto et al., 2008). 29 Figura 3.1 Funções de Interpolação de elementos Bidimensionais (Bathe, 1996). 36 Figura 3.2 Estado plano de tensões (Souza Neto et al., 2008). 37 Figura 3.3 Propriedades e geometria da Viga em balanço do exemplo de validação 1. 47 Figura 3.4 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 1. 47 Figura 3.5 Viga em balanço com material linear-elástico do exemplo de validação 2. 48 Figura 3.6 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 2. 49 Figura 3.7 Viga em balanço com material elastoplástico do exemplo de validação 3. 49 Figura 3.8 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 3. 50 Figura 3.9 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 3 (ampliação). 50

Figura 3.10 Pórtico de Roorda. 51

Figura 3.11 Arco abatido do exemplo de validação 5. 52 Figura 3.12 Trajetórias de equilíbrio do arco abatido do exemplo de validação 5. 52 Figura 3.13 Pórtico de Lee do exemplo de validação 6. 53 Figura 3.14 Curva carga-deslocamento do pórtico de Lee no caso elástico. 54 Figura 3.15 Curva carga-deslocamento do pórtico de Lee no caso inelástico. 54 Figura 4.1 Arco circular abatido do exemplo 4.1.1. 56 Figura 4.2 Malha do arco abatido do exemplo 4.1.1. 56 Figura 4.3 Modo de colapso do exemplo 4.1.1 (análise linearizada da carga crítica). 56 Figura 4.4 Modo de colapso do exemplo 4.1.1, após o passo 26. 58 Figura 4.5 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.1.1. 58 Figura 4.6 Configuração deformada do exemplo 4.1.1 (análise não linear completa). 58 Figura 4.7 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.1. 59 Figura 4.8 Arco circular elevado do exemplo 4.1.2. 60 Figura 4.9 Malha do arco elevado do exemplo 4.1.2. 60 Figura 4.10 Modo assimétrico do exemplo 4.1.2 (análise linearizada da carga crítica). 61 Figura 4.11 Modo assimétrico do exemplo 4.1.2, após o passo 32. 62 Figura 4.12 Trajetória de equilíbrio assimétrica do exemplo 4.1.2. 63 Figura 4.13 Deformada assimétrica do exemplo 4.1.2 (análise não linear completa). 63 Figura 4.14 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.2 (assimétrico). 64 Figura 4.15 Modo de colapso do exemplo 4.1.2, após o passo 95. 66

(10)

Figura 4.16 Trajetória de equilíbrio simétrica do exemplo 4.1.2. 66 Figura 4.17 Deformada simétrica do exemplo 4.1.2 (análise não linear completa). 67 Figura 4.18 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.2 (simétrico). 67

Figura 4.19 Pórtico T do exemplo 4.1.3. 68

Figura 4.20 Malha do pórtico T do exemplo 4.1.3. 68 Figura 4.21 Modo de colapso do exemplo 4.1.3 (análise linearizada da carga crítica). 69 Figura 4.22 Modo de colapso do exemplo 4.1.3, após o passo 50. 70 Figura 4.23 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.1.3. 70 Figura 4.24 Configuração deformada do exemplo 4.1.3 (análise não linear completa). 71 Figura 4.25 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.3. 71 Figura 4.26 Malha do arco abatido do exemplo 4.2.1. 72 Figura 4.27 Modo de colapso do exemplo 4.2.1 (análise linearizada da carga crítica). 72 Figura 4.28 Modo de colapso do exemplo 4.2.1, após o passo 15. 74 Figura 4.29 Modo de colapso do exemplo 4.2.1, após o passo 23. 74 Figura 4.30 Configuração deformada do exemplo 4.2.1 (análise não linear completa). 74 Figura 4.31 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.2.1. 74 Figura 4.32 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.2.1. 75

Figura 4.33 Pórtico toggle do exemplo 4.2.2. 76

Figura 4.34 Malha do pórtico toggle do exemplo 4.2.2. 76 Figura 4.35 Modo de colapso do exemplo 4.2.2 (análise linearizada da carga crítica). 76 Figura 4.36 Modo de colapso do exemplo 4.2.2, após o passo 50. 78 Figura 4.37 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.2.2. 78 Figura 4.38 Configuração deformada do exemplo 4.2.2 (análise não linear completa). 78 Figura 4.39 Configuração deformada do exemplo 4.2.2 (análise não linear completa). 78 Figura 4.40 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.2.2. 79 Figura 4.41 Malha do pórtico T do exemplo 4.2.3. 80 Figura 4.42 Modo de colapso do exemplo 4.2.3 (análise linearizada da carga crítica). 80 Figura 4.43 Modo de colapso do exemplo 4.2.3, após o passo 266. 82 Figura 4.44 Configuração deformada do exemplo 4.2.3 (análise não linear completa). 82 Figura 4.45 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.2.3. 82 Figura 4.46 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.2.3. 83

(11)

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 Modelo constitutivo elastoplástico geral. 25 Tabela 3.1 Algoritmo implícito preditor/corretor. PSP aplicado ao modelo de Von Mises

com encruamento isotrópico não linear. 43

Tabela 3.2 Cálculo da matriz tangente elastoplástica empregando o algoritmo PSP

aplicado ao modelo de Von Mises. 46

Tabela 3.3 Valores estimados da carga crítica do exemplo de validação 4. 51 Tabela 3.4 Resultados obtidos dos pontos críticos do exemplo de validação 5. 53 Tabela 4.1 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.1. 57 Tabela 4.2 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.1. 57 Tabela 4.3 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.1. 57 Tabela 4.4 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.2 (assimétrico). 61 Tabela 4.5 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.2 (assimétrico). 62 Tabela 4.6 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.2 (assimétrico). 62 Tabela 4.7 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.2 (simétrico). 65 Tabela 4.8 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.2 (simétrico). 65 Tabela 4.9 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.2 (simétrico). 65 Tabela 4.10 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.3. 69 Tabela 4.11 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.3. 69 Tabela 4.12 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.3. 69 Tabela 4.13 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.2.1. 73 Tabela 4.14 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.2.1. 73 Tabela 4.15 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.2.1. 73 Tabela 4.16 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.2.2. 77 Tabela 4.17 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.2.2. 77 Tabela 4.18 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.2.2. 77 Tabela 4.19 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.2.3. 81 Tabela 4.20 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.2.3. 81 Tabela 4.21 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.2.3. 81

(12)

Lista de Símbolos

𝒫

0

𝑡+∆𝑡

_{Trabalho virtual externo na configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡}

𝑉

0

𝑡+∆𝑡

_{Volume do sólido na configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡}

𝜎𝑖𝑗

0

𝑡+∆𝑡

_{Componentes do tensor de tensão de Cauchy no tempo}_{𝑡 + ∆𝑡}

𝛿𝑡+∆𝑡0𝑒𝑖𝑗0 Componentes do tensor de deformações infinitesimais dos deslocamentos virtuais na configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡

𝑓𝑖𝐵

0

𝑡+∆𝑡 _{Componentes das forças aplicadas externas por unidade de volume na}

configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡 𝑓𝑖𝑆

0

𝑡+∆𝑡 _{Componentes das forças aplicadas externas por unidade de superfície na}

configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡

𝛿 𝑢_𝑖0 0

𝑡+∆𝑡

_{Componentes dos deslocamentos virtuais na configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡} 𝑆

0

𝑡+∆𝑡

_{Superfície do sólido na configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡}

𝑆𝑖𝑗 0

𝑡+∆𝑡 _{Componentes do segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff na}

configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡 em relação à configuração inicial

𝜖𝑖𝑗 0

𝑡+∆𝑡 _{Componentes do Tensor de deformação Green-Lagrange na configuração do}

tempo𝑡 + ∆𝑡

𝛿𝑡+∆𝑡0𝜖𝑖𝑗 Variação das componentes do tensor de deformação Green-Lagrange na configuração do tempo𝑡 + ∆𝑡

𝜖𝑖𝑗0 0

0

_{Componentes dos incrementos do tensor de deformação Green-Lagrange}

𝑒_𝑖𝑗0

0

0 _{Componentes lineares nos incrementos dos deslocamentos no incremento do}

tensor de deformação Green-Lagrange 𝜂_𝑖𝑗0

0

0 _{Componentes não lineares nos incrementos dos deslocamentos no incremento}

do tensor de deformação Green-Lagrange

𝑢𝑖

Componentes do vetor de incrementos dos deslocamentos

𝑢

0𝑡 𝑘

Componentes do vetor de deslocamentos no tempo𝑡

𝑥𝑖0

0

_{Coordenas do corpo em relação à configuração inicial}

𝐶𝑖𝑗𝑟𝑠 0

0

_{Tensor incremental de tensão-deformação no tempo}_{𝑡 em relação à configuração}

inicial

𝛿 𝑒00 _𝑖𝑗0

Variação das componentes lineares nos incrementos dos deslocamentos

𝛿 𝜂00 _𝑖𝑗0

Variação das componentes não lineares nos incrementos dos deslocamentos

𝜺

Tensor de deformação total 𝜺𝑒

Tensor de deformação elástica 𝜺𝑝

Tensor de deformação plástica

𝑫𝑒

Tensor elástico infinitesimal

(13)

𝜀𝑖𝑗

Componentes do tensor de deformação total

𝝈

Tensor de tensão de Cauchy

𝜎𝑖𝑗

Componentes do tensor de tensão de Cauchy

𝜓 Energia livre por unidade de massa de Helmholtz 𝑨

Conjunto genérico de forças termodinâmicas

𝜶

Conjunto genérico de variáveis do estado interno Φ

Função da superfície de escoamento

𝛾̇

Multiplicador plástico

𝑵

Vetor de fluxo plástico

𝑯

Modulo de encruamento generalizado

Ψ

Potencial de fluxo plástico

𝛿𝑖𝑗

Delta de Kronecker

𝐽2

Invariante da tensão desviadora

𝒔

Tensor de tensão desviadora de Cauchy ou Kirchhoff

𝜎𝑦

Tensão de escoamento uniaxial

𝜀̅𝑝

_{Deformação plástica acumulada ou equivalente}

𝒖𝑡

Vetor de deslocamentos no tempo𝑡

𝚮

Matriz das funções de forma ou interpolação

ℎ𝑘

Função de forma ou interpolação k

𝑼𝒕

Vetor dos deslocamentos nodais no tempo𝑡 𝜉, 𝜂, 𝜁

Coordenadas isoparamétrica dentro de um elemento

𝑲𝑳 Primeira contribuição na matriz de rigidez tangente (matriz linear nos efeitos

cinemáticos)

𝑲𝑵𝑳 Segunda contribuição na matriz de rigidez tangente (matriz não linear nos efeitos

cinemáticos)

∆𝑼

Incremento no vetor dos deslocamentos nodais 𝛿∆𝑼

Variação no Incremento dos deslocamentos nodais 𝑷𝑡+∆𝑡

Vetor de forças externas no tempo𝑡 + ∆𝑡

𝑭𝑡

Vetor de forças internas no tempo𝑡 𝑲

Matriz de rigidez tangente total

𝑲𝑗𝑖 Matriz de rigidez tangente total na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de

passo

∆𝑼𝑗𝑖 Incremento no vetor dos deslocamentos nodais na j-ésima iteração do i-ésimo

incremento de passo

𝑷_𝑗𝑖

Vetor de forças externas na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo 𝑭_𝑗−1𝑖

Vetor de forças internas na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo

(14)

𝜆_𝑗𝑖 Parâmetro do incremento de carga na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo

𝑷̂

Vetor da carga de referência (constante)

∆𝑼̅_𝑗𝑖 Vetor dos deslocamentos nodais da solução tangencial na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo

∆𝑼̿_𝑗𝑖 Vetor dos deslocamentos nodais da solução iterativa na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo

∆𝑼𝑞𝑗𝑖

Componente q-ésima do incremento no vetor dos deslocamentos da j-ésima

iteração do i-ésimo incremento de passo

𝑙

Comprimento de arco prescrito na solução incremental

𝜈

Coeficiente de Poisson

𝐸

Módulo de Young

𝒆

Representação matricial das componentes do tensor ₀0𝑒_𝑖𝑗0 𝜼

Representação matricial das componentes do tensor ₀0𝜂_𝑖𝑗0 𝑪

Representação matricial das componentes do tensor 00𝐶𝑖𝑗𝑟𝑠

𝑩𝐿

Matriz de transformação deformação-deslocamento linear

𝑩𝑁𝐿

Matriz de transformação deformação-deslocamento não-linear

𝓢𝑡_{, 𝑺}𝑡

_{Representação matricial e vetorial das componentes do tensor} _𝑆 𝑖𝑗 0 𝑡+∆𝑡

Ϝ𝑖𝑗

Componentes do tensor gradiente de deformação

∆𝛾

Incremento do multiplicador plástico

𝓔, 𝓔𝑒_{, 𝓔}𝑝

_{Representação matricial dos tensores}_{𝜺, 𝜺}𝑒_{y 𝜺}𝑝_{, respectivamente}

𝓸

Representação matricial do tensor𝝈 𝓓𝑒

Representação matricial do tensor𝑫𝑒 𝓓𝑒𝑝

Matriz tangente elastoplástica consistente 𝐻

Modulo de encruamento

∆𝑡

Intervalo de tempo PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313458/CA

(15)

1 Introdução

1.1. Justificativa do trabalho de pesquisa

Na atualidade, os engenheiros estruturais são conscientes de que considerar eventos extremos no carregamento vai se tornar uma parte necessária do projeto estrutural. Em particular, um entendimento do comportamento estrutural durante o colapso parcial ou completo, permitirá avaliar de maneira mais precisa a integridade total do projeto estrutural quando é submetido a carregamentos extremos.

A natureza do colapso de estruturas envolve grandes deslocamentos, grandes rotações e respostas inelásticas do material como plasticidade, dano, fraturamento, entre outros, nas regiões de tensão extrema. No estado limite perto do colapso, grandes deformações são prováveis também. Para simular tal comportamento de colapso é necessário empregar modelos computacionais que considerem tanto a não linearidade geométrica quanto a não linearidade do material.

As não linearidades geométricas ocorrem quando as forças requeridas para causar deformação na estrutura são funções não lineares do deslocamento. Estas não linearidades são essenciais na simulação do colapso porque capturam os efeitos da flambagem, as grandes mudanças na forma da estrutura e as mudanças nas forças internas que são necessárias para manter a estrutura em equilíbrio estático.

Por outro lado, as não linearidades do material, considerando só efeitos elastoplásticos, ocorrem quando as regiões de tensão extrema atingem a superfície de escoamento do material, ocasionando uma perda de rigidez da estrutura que frequentemente causa uma redução considerável na carga máxima da mesma. O fenômeno de escoamento pode tornar um comportamento pós-crítico estável em um instável, já que depois do escoamento um incremento na deformação causa um decréscimo na carga.

(16)

As técnicas de análise do colapso estrutural são um assunto importante no processo de projeto em engenharia civil, mecânica, naval e aeronáutica. Para estudar as instabilidades estruturais que levam ao colapso de estruturas elásticas e inelásticas, costuma-se avaliar os pontos críticos, que podem ser pontos limite ou de bifurcação, ao longo dos caminhos ou trajetórias de equilíbrio definidas no espaço carga-deslocamentos. A avaliação exata destes pontos é necessária para poder definir as condições críticas na funcionalidade da estrutura.

No entanto, os usuários de programas comerciais de elementos finitos, trabalham frequentemente na modelagem deste tipo de problemas de maneira parcial. Usualmente, as cargas críticas dos caminhos de equilíbrio são calculadas através de uma análise linearizada da carga crítica, a qual leva a resultados errados em alguns casos.

A análise linearizada da carga crítica prediz a resistência teórica de flambagem de uma estrutura ideal linear elástica. Na análise é assumido que a configuração da estrutura não muda no processo de carregamento, ou seja, as equações de equilíbrio são sempre referidas à configuração indeformada da estrutura. As cargas críticas são calculadas nesta análise formulando um problema de autovalores que torna singular a matriz de rigidez tangente da estrutura.

A suposição de que uma estrutura se comporta elasticamente e deslocamentos e rotações são desprezíveis até atingir o valor da carga crítica nem sempre é verdadeira. Se alguma parte da estrutura desenvolve deformações plásticas e mudanças relativamente grandes na geometria, a análise linearizada da carga crítica levará a resultados errados, usualmente maiores que o resultado exato. Neste tipo de casos a análise da instabilidade da estrutura deve incluir a não linearidade geométrica e não linearidade do material. Trabalhos desenvolvidos por Zhehua et al. (2002), Zhou et al. (2011); e Novoselac et al. (2012); mostram os efeitos na estimação do valor das cargas críticas quando as não-linearidades geométricas e físicas não são consideradas. Pelos motivos expostos anteriormente, neste trabalho pretende-se incluir os efeitos das não linearidades geométricas e físicas, na estimação das cargas críticas presentes nas trajetórias de equilíbrio definidas pelas variáveis nodais e o parâmetro de carga. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313458/CA

(17)

1.2. Objetivos do trabalho e tipo de problemas a considerar

No método dos elementos finitos existem dois tipos de categorias para analisar o problema de flambagem ou colapso de estruturas. A primeira emprega um problema de autovalor, formulado a partir de uma linearização, e a outra uma análise não linear completa. Na primeira categoria incluem-se dois tipos de problemas de autovalores, uma baseada na análise linear que emprega matrizes de rigidez iniciais; e outra baseada na análise não linear que emprega matrizes de rigidez atualizadas que consideram até certo nível as não linearidades geométricas e físicas da estrutura. No entanto, no caso da análise não linear completa os efeitos não lineares geométricos e físicos são considerados em sua totalidade durante toda a análise.

O principal objetivo deste trabalho é poder comparar de maneira qualitativa, em base a resultados quantitativos, os três tipos de técnicas de análise do colapso estrutural apresentados. Para avaliar os resultados das três técnicas de colapso, desenvolveu-se um programa computacional em Matlab baseado no método dos elementos finitos para o processamento dos dados e pós-processamento dos resultados. No pré-processamento, geração de dados (malhas), e visualização das tensões desenvolvidas nos elementos empregou-se o programa GID.

Na implementação do programa considerou-se a formulação das equações de equilíbrio na configuração deformada da estrutura e um comportamento inelástico do material através do modelo elastoplástico de Von Mises (J2) com encruamento isotrópico baseado na decomposição aditiva, já que na maioria dos casos, o colapso das estruturas de engenharia civil envolvem grandes deslocamentos, grandes rotações e relativamente pequenas deformações.

Nas últimas décadas muitos trabalhos na área da instabilidade de estruturas elásticas e inelásticas foram desenvoltos por muitos autores. Na maioria dos casos foram empregados elementos de pórtico na análise de estruturas planas como vigas, colunas, pórticos e arcos. Neste trabalho pretende-se estudar a instabilidade destas estruturas planas adotando uma aproximação de meio contínuo considerando um estado plano de tensões, que permitirá aproveitar as vantagens da formulação Lagrangeana Total neste tipo de estruturas. Trabalhos feitos por Wood and Zienkiewicz (1976), e Guimarães (2006), consideraram uma aproximação de meio continuo para avaliar cargas críticas e comportamento pós-crítico em estruturas planas.

(18)

Adotando as hipóteses descritas acima, pretende-se abordar os seguintes problemas presentes numa análise computacional do colapso:

 Incorporar as não linearidades geométricas através da formulação lagrangeana Total.

 Levar em consideração a plasticidade distribuída, que permite uma propagação inelástica ao longo da seção e comprimento do elemento, através da aproximação de contínuo e um modelo elastoplástico de Von Mises (J2).

 Considerar as deformações cisalhantes e distorções da seção transversal, através da teoria do meio contínuo adotada.

 Prevenir o efeito de ‘shear locking’ empregando elementos isoparamétricos de ordem tal que não permitam a necessidade de uma malha refinada.

 Considerar as altas não linearidades da curvatura ao longo do elemento pela formação de regiões plásticas, através da suficiente discretização do domínio.

 Capturar as respostas carga-deslocamento de estruturas instáveis que apresentam uma alta não linearidade, onde a carga e/ou o deslocamento decrescem no progresso da solução, mediante o uso do método de controle por deslocamentos e comprimento de arco.

Outro objetivo do presente trabalho é dar continuidade aos trabalhos desenvolvidos na área de instabilidade e dinâmica de estruturas no departamento de engenharia civil da PUC-Rio. Trabalhos que abordaram estudos quase estáticos de colapso ou instabilidade de estruturas planas foram Gabbay (1977), Sousa (1984), Guimarães (1999, 2006) e Burgos (2005).

1.3. Organização dos capítulos restantes

Além da introdução, este trabalho conta com os seguintes capítulos:

 Capítulo 2 – Aqui se apresentam todos os fundamentos teóricos das técnicas de análise do colapso que são empregadas no método dos elementos finitos. Descrevem-se a análise não linear completa,

(19)

a análise incremental da carga crítica, e a análise linearizada da carga crítica.

 Capítulo 3 – Neste capítulo são apresentadas as características próprias do estado plano de tensões que devem ser consideradas na implementação computacional. São apresentadas as matrizes que relacionam as deformações e deslocamentos, matrizes de rigidez, vetor de forças internas, algoritmo de integração das tensões, e exemplos de validação da implementação numérica.

 Capítulo 4 – Neste capítulo são apresentados exemplos de colapso ou flambagem de estruturas planas como vigas, colunas, pórticos e arcos. Aqui são estimadas as cargas críticas mediante as três técnicas de análise de colapso descritas.

 Capítulo 5 – Aqui são apresentadas as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

(20)

2 Análise do Colapso de Estruturas através do Método dos

Elementos Finitos

Neste capítulo, através do método dos elementos finitos baseado em deslocamentos, são apresentadas três técnicas de análise do colapso de estruturas: Análise não linear completa, análise incremental da carga crítica e análise linearizada da carga crítica. Os problemas de autovalor são formulados a partir de uma linearização.

2.1. Análise Não-Linear Completa

Esta técnica de análise é denominada completa porque as equações de equilíbrio são resolvidas até atingir a carga crítica de colapso. Além disso, permite descrever o comportamento pós-crítico da estrutura. Através desta, problemas com não linearidade geométrica e física podem ser abordados. A seguir são apresentados as equações de equilíbrio da configuração deformada, a cinemática da deformação, as equações constitutivas e os métodos de controle que resolvem as equações linearizadas do equilíbrio.

2.1.1. Princípio dos Trabalhos Virtuais

O princípio dos trabalhos virtuais estabelece que o trabalho virtual interno e o externo, na configuração deformada de um sólido em equilíbrio, devem ser iguais. Empregando uma notação tensorial o princípio pode ser escrito como:

∫

(2.1)

Na equação anterior, a parcela à esquerda representa o trabalho virtual interno das tensões reais através das deformações virtuais, e a direita representa o trabalho virtual externo das forças reais de corpo e superfície através dos deslocamentos virtuais, descritos na seguinte equação:

(21)

_∫

∫

(2.2)

Um sólido pode experimentar grandes deslocamentos, grandes deformações e respostas não lineares do material.

2.1.2. Formulação Lagrangeana

Na formulação Lagrangeana, a malha de elementos finitos é fixa ao material e se desloca através do espaço com este. Esta formulação permite uma descrição natural da deformação dos elementos estruturais.

A formulação Lagrangeana pode ser classificada em duas categorias: uma formulação Lagrangeana Total e uma formulação Lagrangeana Atualizada. Na formulação Lagrangeana Total, a configuração de referência é a configuração indeformada ou inicial; na formulação Lagrangeana Atualizada, a configuração de referência é a configuração prévia ou última calculada. A cinemática da deformação e a descrição do movimento são descritas na Figura 2.1.

Figura 2.1 Descrição do movimento do sólido.

Mais detalhes das formulações Lagrangeanas Total e Atualizada podem ser encontrados em Bathe (1996) e De Borst et al. (2012).

(22)

2.1.2.1. Formulação Lagrangeana Total

Embora esta formulação seja baseada na geometria inicial dos elementos, as matrizes de rigidez incrementais são montadas para considerar as tensões desenvolvidas previamente e mudanças na geometria.

A formulação Lagrangeana Total é frequentemente útil para abordar problemas com plasticidade, grandes deslocamentos, grandes rotações, mas considerando pequenas deformações desenvolvidas nos elementos, hipóteses consideradas neste trabalho.

Na formulação Lagrangeana Total, as equações de equilíbrio podem ser expressas através do princípio dos trabalhos virtuais como:

∫

(2.3)

Aqui é o segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff, e é o tensor das deformações de Green-Lagrange. As integrações são feitas na configuração indeformada inicial no tempo . Decompondo a deformação total do tempo na deformação da configuração equilibrada do tempo e a deformação incremental do tempo entre e , obtém-se:

(2.4)

Decompondo a deformação incremental numa parte linear e outra não linear nos incrementos dos deslocamentos:

(2.5)

Onde , a parte linear da deformação incremental, pode ser descrito em função dos incrementos dos deslocamentos como:

( ) ( ) (2.6) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313458/CA

(23)

O segundo termo entre parêntesis da equação anterior leva em consideração o efeito inicial dos deslocamentos. Por outro lado, , a parte não linear da deformação incremental, pode ser descrito em função dos incrementos dos deslocamentos como:

*( ) ( )+ (2.7)

Linearizando o equilíbrio expressado na equação (2.3), e utilizando a equação (2.5), obtém-se:

∫ ∫ _∫

(2.8)

Os termos resultantes da equação anterior são lineares nos incrementos dos deslocamentos.

2.1.3. Equações Constitutivas

As equações constitutivas são utilizadas para representar de forma ideal o comportamento elastoplástico de um material através de um modelo matemático. Estas equações contêm todas as componentes básicas de um modelo constitutivo elastoplástico:

 A decomposição da deformação Elastoplástica;

 A lei elástica;

 Critério de escoamento, estabelecida com o uso da superfície de escoamento;

 A lei de fluxo plástico definindo a evolução do tensor das deformações plásticas;

 A lei encruamento, que caracteriza a evolução da tensão de escoamento.

As equações constitutivas que definem o modelo constitutivo elastoplástico de determinado material, estão resumidas na Tabela 2.1

A resolução das equações constitutivas permite avaliar as tensões e operadores tangentes elastoplásticos que são empregadas na aproximação do método dos elementos finitos. As tensões avaliadas são utilizadas no cálculo do

(24)

vetor de forças internas e na contribuição não linear da matriz de rigidez tangente, e os operadores tangentes avaliados são utilizados no cálculo da contribuição linear da matriz de rigidez tangente. Avaliar de forma precisa as tensões e o operador tangente é importante na obtenção de soluções corretas e matrizes verdadeiramente tangentes. Estas matrizes tangentes permitem na análise incremental-iterativa utilizar o número mínimo de iterações para atingir a convergência.

Na avaliação das tensões emprega-se a lei elástica, mostrada na Tabela 2.1, que depende da derivada da energia potencial livre com relação à parte elástica do tensor de deformação . No presente trabalho foram considerados materiais isotrópicos com comportamento linear elástico, sendo a contribuição elástica da energia potencial livre:

̅ ( ) (2.9)

Resultando a seguinte lei elástica:

(2.10)

As relações constitutivas elastoplásticas mostradas na Tabela 2.1 podem ser reduzidas no seguinte sistema de equações:

̇ ( ) ̇ ̇( ) ( ( ) ( )) ̇( ) ̇( ) ( ( ) ( )) (2.11) ̇( ) ( ( ) ( )) ̇( ) ( ( ) ( )) (2.12) ( ) ̅ ( ) ̅ (2.13)

Neste sistema de equações reduzidas, as únicas variáveis desconhecidas são a deformação elástica , as variáveis internas de encruamento , e o multiplicador plástico ̇. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313458/CA

(25)

Tabela 2.1 Modelo constitutivo elastoplástico geral.

1. Decomposição aditiva do tensor de deformação:

ou ̇ ̇ ̇ 2. Função de energia potencial livre

( )

onde representa as variáveis internas de encruamento

3. Equação constitutiva para o tensor de tensões e forças termodinâmicas de encruamento ̅ ̅ 4. Função de escoamento ( ) 5. Lei de fluxo plástico e encruamento

̇ ̇ ( ) ̇ ̇ ( )

onde é o vetor de fluxo

e é o modulo generalizado de encruamento sendo o potencial de fluxo

6. Critério de carregamento/descarregamento

̇ ̇

condições que definem quando ocorre a evolução de deformações plásticas e variáveis internas

As equações constitutivas reduzidas apresentadas acima contêm equações diferenciais ordinárias, cuja resolução de forma analítica não é sempre possível devido à complexidade presente na maioria dos problemas de engenharia. Por esta razão, a resolução destas equações precisa de um algoritmo de integração numérica que será abordado no capítulo 3.

Nos modelos constitutivos abordados neste trabalho é perfeitamente valido substituir o tensor de tensões e deformações por o segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff e o tensor das deformações de Green-Lagrange, respectivamente. Isto é valido porque na hipótese de grandes deslocamentos e rotações, mas de pequenas deformações nos elementos, as componentes dos tensores mencionados acima não se alteram com movimentos de corpo rígido.

(26)

Nesta seção são abordados os aspectos mais importantes da descrição matemática do modelo constitutivo linear elástico e de Von Mises, empregados numa análise não linear. Neste trabalho são discutidos aspectos da plasticidade baseado na hipótese de pequenas deformações, embora grandes deslocamentos e rotações ocorram. Esta hipótese permite uma decomposição aditiva das deformações e aplicar a teoria clássica da plasticidade.

2.1.3.1. Modelo Linear Elástico

O modelo linear elástico adota a Lei de Hooke para definir a relação tensão-deformação. Neste caso não é necessário empregar uma integração das tensões porque as tensões e operador tangente podem ser diretamente avaliados do estado de deformação atual.

A relação tensão-deformação empregada no modelo linear elástico é a mesma da equação (2.10), e pode ser expressa de maneira tensorial como:

(2.14)

Onde são as componentes do tensor de elasticidade infinitesimal, sendo estas expressas da seguinte forma:

( ) (2.15)

Onde e são as constante de Lamé e é a função delta de Kronecker.

2.1.3.2. Modelo Elastoplástico de Von Mises

Aqui são descritos a superfície ou critério de escoamento, a lei de fluxo ou escoamento e a lei de encruamento do modelo elastoplástico de Von Mises. Outros aspectos matemáticos e teóricos podem ser estudados em Souza Neto et al. (2008). PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313458/CA

(27)

2.1.3.2.1. Superfície de Escoamento

De acordo com o critério de Von Mises, o escoamento começa quando a invariante do tensor desviador atinge um valor limite. Esta condição pode ser representada como:

( ) (2.16)

Onde é função da variável interna de encruamento , que será definida na Lei de encruamento. De forma alternativa, incluindo a tensão de escoamento uniaxial, a superfície de escoamento de Von Mises pode ser definida através da seguinte função:

( ) √ ( ( )) ( ) (2.17)

Das equações (2.16) e (2.17) pode-se notar que as componentes do tensor da tensão hidrostática não são levadas em consideração no critério de Von Mises, sendo o escoamento só influenciado pelo tensor da tensão desviadora. Portanto, este critério é incompressível com as deformações plásticas.

A função da superfície de escoamento de Von Mises é uma função isotrópica devido a sua definição em termos das invariantes do tensor de tensões, permitindo assim uma representação da superfície de escoamento em função das tensões principais como é apresentado na Figura 2.2.

Figura 2.2 Superfície de escoamento de Von Mises.

(28)

2.1.3.2.2. Lei de Fluxo

A lei de escoamento de Prandtl-Reuss é a lei de fluxo que considera a função da superfície de escoamento de Von-Mises da equação (2.17) como o potencial de fluxo. Neste caso o vetor de fluxo é calculado como:

[√ ( )] √ ‖ ‖

(2.18)

Da equação anterior a lei de fluxo resulta na seguinte expressão:

̇ ̇

̇√ ‖ ‖

(2.19)

Devido à insensibilidade do critério de Von Mises com as pressões hidrostáticas, o vetor de fluxo do escoamento resulta paralelo à direção desviadora. Isto é mostrado na Figura 2.3.

Figura 2.3 Vetor de fluxo da Lei de Prandtl-Reuss (Souza Neto et al., 2008).

A lei do fluxo de Prandtl-Reuss é frequentemente empregada junto à superfície de escoamento do critério de Von Mises, para criar desta maneira o modelo elastoplástico referido como modelo associativo de Von Mises, ou simplesmente o modelo de Von Mises.

(29)

2.1.3.2.3. Lei de Encruamento

Considerando encruamento isotrópico a superfície de escoamento cresce ou decresce de forma uniforme em todas as direções. No caso específico do modelo de Von Mises, um aumento ou diminuição no raio do cilindro ocorre. Este fenômeno pode ser ilustrado na Figura 2.4 junto com um teste cíclico uniaxial.

Figura 2.4 Encruamento Isotrópico. Teste uniaxial e Plano (Souza Neto et al., 2008).

Na descrição constitutiva do encruamento isotrópico emprega-se apenas uma variável escalar para determinar o tamanho da superfície de escoamento. Esta variável do estado interno do encruamento é escolhida como uma medida escalar de deformação. No caso do modelo de Von Mises emprega-se a deformação plástica acumulada definida como:

̅ ∫ √ ‖ ̇ ‖

(2.20)

A definição acima generaliza a deformação axial plástica acumulada de um modelo unidimensional para um modelo que considera deformações multiaxiais. Empregando a equação (2.19) e a taxa de variação da equação (2.20), encontra-se que: ̅̇ √ ‖ ̇ ‖ ̇ (2.21) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313458/CA

(30)

O modelo de Von Mises com encruamento isotrópico é obtido permitindo que a tensão de escoamento uniaxial seja função da deformação plástica acumulada

( ̅ ) (2.22)

Esta função define a curva deformação-encruamento que pode ser obtida através de um teste de tração uniaxial.

2.1.4. Análise Incremental-Iterativa das Equações Não-Lineares

No método dos elementos finitos baseado nos deslocamentos, podemos aproximar o campo contínuo dos deslocamentos através de uma discretização do domínio empregando funções de forma ou interpolação onde as variáveis desconhecidas a calcular são os deslocamentos nodais dos elementos. As funções de interpolação utilizadas numa análise não linear são as mesma empregadas numa análise linear, apresentadas em Felippa (2004) e Cook et al. (1989). Esta aproximação nos deslocamentos pode ser descrita como:

∑ ( ) (2.23)

Substituindo a equação anterior da aproximação dos deslocamentos na equação linearizada do equilíbrio da equação (2.8), obtém-se em forma matricial:

( ) ( ) ( ₎ _(2.24)

Da equação de acima é a matriz de rigidez tangente, _e _{são os}

vetores de forças externa e interna, e é o incremento dos deslocamentos nodais. Sendo a equação (2.24) válida para qualquer incremento dos deslocamentos virtuais nodais , obtém-se:

_(2.25)

As equações algébricas resultantes da equação anterior, que surgiram da linearização da equação de equilíbrio, precisam de um processo

incremental-PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313458/CA

(31)

iterativo para assegurar que as condições de equilíbrio sejam satisfeitas, permitindo assim melhorar a qualidade das soluções.

No processo incremental-iterativo da resolução das equações (2.25), adotou-se uma notação para a j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo da maneira seguinte:

[ ]{ } { } { } (2.26)

O vetor de forças externas { } pode ser decomposto da seguinte forma:

{ } { } { } (2.27)

Ou de maneira equivalente:

{ } { } { ̂} (2.28)

Onde é o incremento do fator de carga da j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo, e { ̂} é o vetor da carga de referência. Com o incremento dos deslocamentos nodais { } resolvido na j-ésima iteração, os deslocamentos nodais totais { } podem ser obtidos por acumulação da seguinte maneira:

{ } { } { } (2.29)

Convenientemente denotou-se o vetor de forças desequilibradas { } como a seguinte diferença:

{ } { } { } (2.30)

Empregando a equação (2.28) e (2.30), a equação (2.26) pode ser rescrita como: [ ]{ } { ̂} { } (2.31) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313458/CA

(32)

Por conveniência, pode-se rescrever a equação anterior como duas equações da seguinte maneira:

[ ]{ ̅ } { ̂} (2.32)

[ ]{ ̿ } { } (2.33)

Resolvendo as equações acima pode-se obter o incremento dos deslocamentos nodais da seguinte forma:

{ } { ̅ } { ̿ } (2.34)

A seguir descrevem-se as equações de restrição dos métodos mais empregados na resolução das equações não lineares. Estas equações permitem determinar o valor do incremento do fator de carga . Dentro dos métodos a mencionar descreve-se o método de controle de carga, controle de deslocamento e controle por comprimento de arco.

2.1.4.1. Método de Controle de Carga

Na literatura, frequentemente denominado como o Método de Newton-Raphson, sendo provavelmente o método iterativo mais antigo que ainda é amplamente empregado. Neste método as cargas externas são acrescentadas em uma quantidade constante apenas na primeira iteração do incremento de passo. Nas iterações seguintes, as cargas externas são mantidas, ou seja, o incremento de carga é zero dentro de um mesmo passo. A equação de restrição do método pode ser expressa como:

{ (2.35)

Detalhes das vantagens e limitações do método são descritas por McGuire et al. (2000) e Yang and Kuo (1994).

(33)

2.1.4.2. Método de Controle de Deslocamento

Neste método precisa-se escolher uma componente particular de deslocamento, denotado como a q-ésima componente, para ser o parâmetro de controle nas iterações. Denotando como o incremento do deslocamento da q-ésima componente associada com a j-ésima iteração, a equação de restrição poder ser expressa como:

{ (2.36)

Neste método, na primeira iteração do incremento de passo, é acrescentada uma quantidade constante na componente de deslocamento escolhida. Nas iterações restantes do passo, o incremento é zero. Esta equação de restrição pode ser expressa em termos do incremento do fator de carga como: { ̅ ̿ ̅ (2.37)

Claramente, as cargas externas não são mantidas constantes durante o processo iterativo. Detalhes das vantagens e limitações do método são descritas por McGuire et al. (2000) e Yang and Kuo (1994).

2.1.4.3. Método de Controle por Comprimento de Arco

Neste trabalho é abordado só o Método de controle por comprimento de arco cilíndrico. A equação de restrição deste método pode ser expressa como:

( ) ( ) (2.38)

Neste caso, requer-se que a norma Euclidiana do incremento total de deslocamento no passo seja igual a , i.e., que a solução no final do incremento fique na interseção entre a trajetória de equilíbrio e um cilindro de raio centrado

(34)

na configuração de equilíbrio do início do incremento. Esta equação de restrição pode ser expressa em termos do incremento do fator de carga como:

{ √ ̅ _̅ {( ) ( )} (2.39)

Onde os coeficientes da equação de segundo grau são:

̅ ̅ ( ̿ ) ̅ ( ̿ ) ( ̿ )

(2.40)

Detalhes das vantagens e limitações do método são descritas por Souza Neto et al. (2008) e Paullo and Roehl (2012).

2.2. Análise incremental da Carga Crítica

A análise de autovalores pode ser utilizada junto com uma análise não linear completa, formulando o problema de autovalor após cada incremento de carga. Esta técnica, baseada nas matrizes de rigidez incrementais, é considerada como uma análise não linear embora seja empregada uma análise linearizada de autovalores em cada passo.

Considerando uma estrutura sujeita a um carregamento * + e um estado de tensões e deslocamentos atuais * + e * +, respectivamente, o problema de autovalor após um incremento de carga * + pode ser formulado da seguinte maneira:

, ( ) ( )-* + * + (2.41)

Sendo a matriz de rigidez total no início do incremento e o

incremento da matriz de rigidez geométrica no incremento de carga * +. Nesta equação, é assumida como uma função linear do incremento de carga * +

para causar a condição crítica. O incremento da rigidez geométrica empregada na estimativa da carga crítica está baseado nos incrementos das tensões e deslocamentos e , respectivamente, em relação ao início do

(35)

incremento. No entanto, os estados de tensão e deformação não são atualizados durante a análise desta técnica de colapso. Segundo Dupuis et al. (1970), o incremento da matriz de rigidez geométrica é:

( ) ( ) ( ) (2.42)

Sendo o incremento da matriz de rigidez das tensões iniciais e o

incremento da matriz de rigidez dos deslocamentos iniciais. Segundo Waszczyszyn et al. (1994), o incremento da matriz de rigidez geométrica é:

( ) ( ) ( ) (2.43)

Sendo a mesma matriz da equação (2.42) e ( ) o

incremento da parte linear nos deslocamentos da matriz de rigidez dos deslocamentos iniciais ( ). Se os termos do incremento desta matriz não forem considerados na equação (2.43), obtém-se o incremento da matriz de rigidez geométrica clássica:

( ) ( ) (2.44)

2.3. Análise Linearizada da Carga Crítica

Na análise linearizada da carga crítica é considerado todo o comportamento da estrutura como linear antes do colapso. Através desta consideração, o problema de autovalor da análise linearizada pode ser obtido como um caso especial da análise incremental de carga crítica. Nesta análise os valores das tensões iniciais * + e deslocamentos iniciais * + são considerados nulos no início do incremento. Além disto, os efeitos dos deslocamentos iniciais não são levados em consideração no incremento da matriz de rigidez geométrica , sendo só considerados os efeitos do incremento da matriz de rigidez das tensões iniciais . A equação do problema de autovalor para estimar a carga crítica numa análise linearizada, conhecida na literatura como a equação da carga de flambagem de Euler, é descrita como:

, ( ) ( )-* + * + (2.45) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313458/CA

(36)

3 Implementação Computacional

Neste trabalho considerou-se o estudo da instabilidade elástica e inelástica de estruturas planas como vigas, colunas, pórticos e arcos. No estudo deste tipo de estruturas adotou-se uma aproximação de meio continuo, considerando um estado plano de tensões que será resolvido através do método dos elementos finitos. Neste capítulo descreve-se as considerações particulares da formulação do estado plano de tensões na implementação computacional das técnicas do colapso descritas no capítulo anterior.

3.1. Elemento Isoparamétrico Bidimensional

Empregou-se um tipo de elementos isoparamétricos bidimensional de alta ordem, amplamente utilizado no método dos elementos finitos, conhecido na literatura como Q9. Este elemento, do tipo Lagrangeano, permite uma melhor modelagem de problemas no regime plástico. As funções de forma do elemento são mostradas na Figura 3.1.

Figura 3.1 Funções de Interpolação de elementos Bidimensionais (Bathe, 1996).

(37)

3.2. Considerações do Estado Plano de Tensões

As hipóteses do estado plano de tensões, mostrado na Figura 3.2, são validas na análise de corpos com uma dimensão (espessura) muito menor em comparação as demais, e sujeitos a carregamentos que geram tensões predominantemente na direção perpendicular à espessura do corpo.

Figura 3.2 Estado plano de tensões (Souza Neto et al., 2008).

Sendo os índices 1 e 2 as direções associadas ao plano e o índice 3 à direção normal, o estado plano de tensões pode ser definido através do seguinte tensor de tensões:

[ ] (3.1)

Os problemas de estado plano de tensões que envolvem elasticidade linear de materiais isotrópicos são simplesmente abordados através da seguinte relação entre as tensões não nulas e as deformações planas:

{ } [ ] { } (3.2)

No entanto, os problemas de estado plano de tensões que envolvem plasticidade requerem uma abordagem especial no algoritmo de integração das

(38)

relações constitutivas para poder levar em consideração as restrições das componentes nulas das tensões e deformações seguintes:

(3.3)

(3.4)

3.3. Matrizes Utilizadas na Formulação Lagrangeana Total

Nesta seção apresentam-se as matrizes e vetores empregados na resolução do sistema de equação não lineares (2.25), que resultam da discretização do meio continuo através da aproximação do método dos elementos finitos. A avaliação precisa das matrizes e vetores na formulação Lagrangeana Total permitirá considerar grandes deslocamentos e rotações nos elementos sem causar deformações errôneas quando ocorrerem movimentos de corpo rígido.

3.3.1. Matriz de Rigidez Tangente

Substituindo as aproximações do método dos elementos finitos da equação (2.23), no primeiro termo da parte esquerda da equação linearizada do equilíbrio (2.8), obtém-se em forma matricial a seguinte expressão:

∫ (3.5)

Da expressão acima define-se a primeira contribuição da matriz de rigidez tangente denominada como matriz de rigidez linear na cinemática da deformação, descrita da seguinte forma:

∫ (3.6)

Sendo a matriz de transformação deformação-deslocamento linear e a matriz tangente consistente, definidas nas seções seguintes deste capítulo. Da mesma forma que o caso anterior, o segundo termo da equação (2.8) pode ser expresso em forma matricial como:

(39)

∫ (3.7)

Onde é definida como a segunda contribuição da matriz de rigidez tangente, denominada também como matriz de rigidez não linear na cinemática da deformação. Esta matriz é expressa como:

∫ (3.8)

Sendo a matriz de transformação deformação-deslocamento não-linear, descrita nas seções seguintes, e a matriz do segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff descrito como:

[ ] (3.9)

Finalmente, a matriz de rigidez tangente total empregada nos métodos iterativo-incrementais é a soma das duas contribuições, descrita como:

(3.10)

3.3.2. Vetor de Forças Internas

Substituindo no segundo termo da parte direita da equação linearizada do equilíbrio (2.8), as aproximações do método dos elementos finitos da equação (2.23), obtém-se em forma matricial:

∫ (3.11)

Da expressão acima se define como o vetor de forças internas nodais, que é descrito como:

∫ (3.12) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313458/CA

(40)

Sendo a matriz de transformação deformação-deslocamento linear, que será definida nas próximas seções deste capítulo, e o vetor do segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff descrito como:

{

}

(3.13)

3.3.3. Matrizes de Transformação Deformação-Deslocamento

Como foi discutido nas seções anteriores a avalição das matrizes de rigidez tangente e vetor de forças internas dependem do emprego das matrizes de transformação deformação-deslocamento. Estas matrizes relacionam os incrementos das deformações com os incrementos dos deslocamentos.

A matriz de transformação deformação-deslocamento linear é definida como: [ ] (3.14)

Onde as componentes são as componentes do tensor gradiente de deformação, e

são as derivadas das funções de interpolação

em relação às coordenadas iniciais. A matriz poder ser dividida em duas partes empregando a expressão do gradiente de deformação em função dos deslocamentos:

(3.15)

Substituindo a equação acima, na expressão (3.14) da matriz , as duas matrizes apresentadas a seguir: