Letra Letra Algarismo Algarismo Algarismo Letra Letra. Possibilidades

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RESOLUÇÃO 1

AVALIAÇÃO UNIDADE III -2016

COLÉGIO ANCHIETA-BA

RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

ELABORAÇÃO e PESQUISA: PROF. ADRIANO CARIBÉ e WALTER PORTO.

01 - - (UNESP-Adaptada) Está previsto que, a partir de 1º de janeiro de 2017, entrará em vigor um sistema

único de emplacamento de veículos para todo o Mercosul, o que inclui o Brasil. As novas placas serão compostas por 4 letras e 3 algarismos. Admita que no novo sistema possam ser usadas todas as 26 letras do alfabeto, incluindo repetições, e os 10 algarismos, também incluindo repetições. Admita ainda que, no novo sistema, cada carro do Mercosul tenha uma sequência diferente de letras e algarismos em qualquer ordem. Veja alguns exemplos das novas placas.

No novo sistema descrito, calcule o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa.

a) 264103 b) 2641036 c) 26410312 d) 26410324 e) 26410335

RESOLUÇÃO:

Letra Letra Algarismo Algarismo Algarismo Letra Letra Possibilidades 26 26 10 10 10 26 26

 O número total de placas possíveis estando os símbolos nesta ordem é: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 26 × 26 = 264 × 103.

 O total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa:    264×103×35.

 6 5 6 7 × 10 × 26 3! 4! 7! × 10 × 264 3 4 3 RESPOSTA: Alternativa e.

02 – (ENEM) Álvaro, Bento, Carlos e Danilo trabalham em uma mesma empresa, e os valores de seus salários

mensais formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Danilo ganha mensalmente R$ 1.200,00 a mais que Álvaro, enquanto Bento e Carlos recebem, juntos, R$ 3.400,00 por mês.

Qual é, em reais, o salário mensal de Carlos?

a) 1.500,00 b) 1.550,00 c) 1.700,00 d) 1.850,00 e) 1.900,00

RESOLUÇÃO:

Como os valores dos salários mensais de Álvaro, Bento, Carlos e Danilo, formam, nessa ordem, uma progressão aritmética , então, S(Danilo) = S(Álvaro) + 3r. Se Danilo ganha mensalmente R$ 1.200,00 a mais que Álvaro, então, 3r = R$ 1.200,00  r  R$400,00.

Considerando como x o valor do salário de Álvaro, os quatros elementos da progressão aritmética são: x, x + 400, x + 800 e x + 1200.

Como Bento e Carlos recebem, juntos, R$ 3.400,00: (x + 400) + (x + 800) = 3400  2x = 3400 – 1200  2x = 2200  x = 1100. O salário de Carlos é: x + 800 = 1900 reais.

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relativo conforto e preço acessível, quase todos os tipos de transportes: escolar e urbano, intermunicipal e excursões em geral.

O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 passageiros, cobra para uma excursão até a capital de seu estado R$ 60,00 de cada passageiro. Se não atingir a capacidade máxima da van, cada passageiro pagará mais R$ 2,00 por lugar vago.

Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o valor arrecadado V(x), em reais, pelo dono da

van, para uma viagem até a capital é

a) V(x) = 902x c) V(x) = 900 + 30x e) V(x) = 900 – 30x – 2x2 b) V(x) = 930x d) V(x) = 60x + 2x2

RESOLUÇÃO:

x pessoas não compareceram para a excursão.

Pagamento pelos lugares ocupados: 60(15 – x) = 900 – 60x.

Cada passageiro que compareceu vai pagar mais R$ 2,00 por lugar vago: 2x.

Total de pagamento pelos lugares vagos: 2x(15 – x) = 30x – 2x2.

Valor arrecadado V(x), em reais, pelo dono da van, para uma viagem até a capital é: V(x) = 900 – 60x + 30x – 2x2 = 900 – 30x – 2x2

RESPOSTA: Alternativa e.

04 -(BB2010) Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um primeiro depósito de R$ 200,00 e, a partir

dessa data, fez depósitos mensais nessa conta. Se a cada mês depositou R$ 20,00 a mais do que no mês anterior, ao efetuar o 15o depósito, o total depositado por ela era

a) R$ 5 100,00. b) R$ 5 000,00. c) R$ 4 900,00. d) R$ 4 800,00. e) R$ 4 700,00. RESOLUÇÃO: Primeiro depósito: R$ 200,00. Segundo depósito: R$ 200,00 + R$ 20, 00. Terceiro depósito: R$ 200,00 +2× R$ 20, 00. ………..

A sequência dos depósitos formam então uma PA, na qual o primeiro termo é 200, a razão é 20 e o número de termos 15.

Assim o décimo quinto depósito: R$ 200,00 + (15 – 1) ×R$ 20, 00 = R$ 480, 00

Então ao efetuar o 15o depósito, o total de reais depositados por ela era





05 - (FGV ) A quantidade mensalmente vendida x, em toneladas, de certo produto, relaciona-se com seu preço

por tonelada p, em reais, através da equação p = 2 000 – 0,5x.

O custo de produção mensal em reais desse produto é função da quantidade em toneladas produzidas x, mediante a relação C = 500 000 + 800 x.

O preço p que deve ser cobrado para maximizar o lucro mensal é:

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Valor total da venda das x toneladas é: V = x(2 000 – 0,5x) = 2 000x – 0,5x2.

O lucro mensal é: L = V – C = 2 000x – 0,5x2 – (500 000 + 800 x)  L = – 0,5x2 + 1 200x – 500 000. Lucro máximo para 1200

) 5 , 0 ( 2 1200 _     x O preço p = 2 000 – 0,5(1 200) = 2 000 – 600 = 1 400. RESPOSTA: Alternativa a.

06 -(UNICAMP-2015) Se (α α₁, ₂,...,α₁₃) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é 78,

então α₇ é igual a a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. RESOLUÇÃO:





O termo α₇ ocupa a posição mediana, pois 7 2

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1 _

Em uma PA, o valor do termo mediano é igual à metade da soma dos valores extremos, logo α₇ = 6 .

RESPOSTA: Alternativa a.

07 - (ENEM) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu

proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.

Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é

a) V = 10.000 + 50x – x2. c) V = 15.000 – 50x – x2. e)V = 15.000 – 50x + x2. b) V = 10.000 + 50x + x2. d) V = 15.000 + 50x – x2.

RESOLUÇÃO:

Litros vendidos p/dia Preço diário do litro/dia em reais Valor da venda em reais

10.000 1,50 10.000 × 1,50 = 15.000 10.000 + 100 1,50 – 0,01 = 1,49 10.100 × 1,49 = 15.049 10.000 + 200 1,50 – 0,02 = 1,48 10.200 × 1,48 = 15.096 ... ... ... 10.000 + 100.x 1,50 – 0,01x (10.000 + 100.x)( 1,50 – 0,01x) V = (10.000 + 100.x)( 1,50 – 0,01x)  V = 15.000 – 100x + 150x – x2 V = 15.000 + 50x – x2. RESPOSTA: Alternativa d.

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1 + 3, 2 – 3, 3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que 1 > 0 e 2 = 2, conclui-se que r é igual

a a) 3 + 3 _{b) 3 +} 2 3 c) 3 + 4 3 d) 3 – 2 3 e) 3 – 3 RESOLUÇÃO:

Considere-se que pela primeira informação: 2a2 = a1 + a3

Pela segunda informação: (a1 + 3) (a3 – 3) = (a2 – 3)².

Sendo a2 = 2:          1 3) 3)(a (a 4 a a 3 1 3 1 _         1 ) a 3)(1 (a a 4 a 1 1 1 3 _            0 2 2 1 3 2 ) ( 1 2 1 1 2 1 a a a a                2 3 2 2 a 0, a 2 8 4 2 a 1 1 1 Sendo 3 3 2 3 2 6 2 3 2 2 2 2 a e 2 3 2 2 a1 2              r . RESPOSTA: Alternativa e.

09 - (UNESP) No conjunto IR dos números reais, o conjunto solução S da inequação modular |x|  |x – 5|  6 é: a) S = {x  IR / –1  x  6}. c) S = {x  IR / x  –1 ou 2  x  3 ou x  6}. e) S = IR. b) S = {x  IR / x  –1 ou 2  x  3}. d) S = {x  IR / x  2 ou x  3}. RESOLUÇÃO: |x|  |x – 5|  6  ; 6 e 1 : raízes 0 6 5 6 ) 5 ( , 5 e ; 3 e 2 : raízes 0 6 5 6 ) 5 ( , 5 0 ; 6 e 1 : raízes 0 6 5 6 ) 5 ( , 0 2 2 2                                               x x x x x x x x x x x x x x x





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período de 2012–2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de

Ano Projeção da produção (t)

2012 50,25 2013 51,50 2014 52,75 2015 54,00 a) 497,25. b) 500,85. c) 502,87. d) 558,75. e) 563,25. RESOLUÇÃO:

Como as projeções da produção de arroz para o período 2012 – 2021 apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual, e os números das projeções apresentados na tabela formam uma P.A. onde o primeiro termo é 50,25t, a razão igual a (51,25 – 50,25=1,25)t e o número de termos

(2021 – 2012 +1 = 10).

A projeção para o ano 2021 é a10 = 50,25(101)1,2550,2511,2561,50.

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será, em toneladas,





11 – Uma bolinha pula-pula é abandonada de uma altura de 2,5m. Depois de bater no chão ela sobe atinge uma

altura de 2,0m. Em seguida cai, bate no chão pela segunda vez e sobe até uma altura de 1,6m e assim sucessivamente de modo que a cada vez que ela bate no chão e sobe ela atinge uma altura igual a 80% da altura atingida na vez anterior. Calcule a distância total percorrida pela bolinha até “parar”.

a) 22,5 m b) 22 m c) 20,5 m d) 20 m e) NRA

RESOLUÇÃO:

Os percursos de decida formam a P.G.: (2,5; 2; 1,6; 1,28;...) e os de subida a P.G.: (2; 1,6; 1,28;...) ambas de razão 0,8.

Então a distância total percorrida pela bolinha até “parar” é: 5 , 22 2 , 0 2 2 , 0 5 , 2 8 , 0 1 2 8 , 0 1 5 , 2 _{  }    RESPOSTA: Alternativa a.

12 –(UEFS-15.1) No dia 1o de outubro, uma adolescente enviou pelo WhatsApp uma mensagem para n pessoas. No dia 2, cada uma das n pessoas que recebeu a mensagem a reenviou para outras duas novas pessoas, e assim sucessivamente.

Considerando-se que, do dia 1o até o final do dia 7 de outubro, 1270 pessoas haviam recebido essa mensagem, pode-se afirmar que o valor de n é:

6

Dia 1o Dia 2 Dia3 Dia 4 Dia 5 Dia 6 Dia 7

n 2n 4n 8n 16n 32n 64n

A série é uma PG finita de razão 2 e 7 termos.

Podemos resolver assim: n(1 + 2+ 4 + 8 + 16 + 32 + 64) = 1270 127n = 1270  n = 10. Ou por ser uma PG finita: 1270 127 1270 10

1 2 ) 1 2 ( 1 ) 1 ( 7 7 1 _{    }       S n n n q q a S n n . RESPOSTA: Alternativa e.

13 –(UEFS-2015.2) Uma sequência de triângulos retângulos isósceles é construída

como na figura, com a hipotenusa de cada um sendo cateto do seguinte. A sequência continua até não ser mais possível construir um novo triângulo sem cobrir os anteriores.

O resultado é uma figura espiralada, cuja área total, em comparação com a do menor triângulo, é

a) 16 vezes maior. c) 63 vezes maior. e) 255 vezes maior. b) 30 vezes maior. d) 128 vezes maior.

RESOLUÇÃO:

Seja O o centro de uma circunferência traçada na figura 2. Como a sequência de triângulos construídos a partir desse ponto são retângulos isósceles e sendo 8 × 45° = 360°, a quantidade desses triângulos é 8.

Considerando a como medida dos catetos do triângulo OAB, a 2 será a medida dos catetos do OBC, 2a,... Tem-se então a sequência:





 

a 7 .

Então a sequência formada pelas áreas dos triângulos é a PG: _

     2 2 2 2 2 64a ,...., 4a , 2a , a , 2 a de razão 2 e com 8 termos.

A área total da figura espiralada é





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experimento com 109 bactérias. Uma dose da droga, que é administrada a cada 4 horas, mata instantes após a sua aplicação 4 . 108 bactérias e entre uma dose e outra, o número de bactérias cresce 50%.

Considerando-se bn e bn+1o número de bactérias vivas no momento das aplicações n e n+1, respectivamente,

a) 8 10,5 4.10  n n b b c) 8 1 6.10  n n b b e) 8 11,5 4.10  n n b b b) 8 10,5 6.10  n n b b d) 8 11,5 6.10  n n b b RESOLUÇÃO:

Como cada dose mata instantes após a sua aplicação 4 . 108 bactérias e entre uma dose e outra, o número de bactérias cresce 50%

Considerando como b1 o resultado da primeira aplicação:

b2 = 1,50(b1 – 4.10 8 ) = 1,50. b1 – 6 . 10 8 . b3 = 1,50(b2 – 4.108) = 1,50. b2 – 6 . 108 . ... 8 n 1 n 1,5b 6.10 b   RESPOSTA: Alternativa d.

15 –(ENEM-2012) José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas.

Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4 : 4 : 2, respectivamente.

Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?

a) 600, 550, 350 c) 300, 250, 200 e) 100, 100, 50 b) 300, 300, 150 d) 200, 200, 100 RESOLUÇÃO: ; 30 6 ; 30 12 ; 30 12 10 2 ; 10 4 ; 10 4 10 2 4 4 2 4 4 TRAJETO DO PARTE SEGUNDA ; 30 8 ; 30 10 ; 30 12 15 4 ; 15 5 ; 15 6 15 4 5 6 4 5 6 TRAJETO DO PARTE PRIMEIRA                                                 S P S C S J S P S C S J S P C J P C J S P S C S J S P S C S J S P C J P C J

Tendo reduzido as frações representativas das quantidades de laranjas transportadas por José, Carlos e Paulo, sendo o total de laranjas o mesmo nos dois trajetos, conclui-se que José transportou a mesma quantidade nos dois trajetos; Carlos conduziu mais laranjas no segundo trajeto e Paulo menos laranjas.

Então Carlos foi quem conduziu 50 laranjas a mais no segundo trajeto, assim 750 1500 2 50 30 2 50 30 10 30 12 _{       } S S S S S _. João transportou 300 30 750 12 30 12S _  _{ . Carlos transportou} 300 30 750 12 30 12S _  _ . Pedro transportou 150 30 750 6 30 6S _  _ . RESPOSTA: Alternativa b.