Curso: Engenharia Ambiental. Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias. Professora: Dr a. Camila N. Boeri Di Domenico NOTAS DE AULA 1

NOTAS DE AULA 1

Curso:

Engenharia Ambiental

Disciplina:

Equações Diferenciais Ordinárias

Professora:

1

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

1. INTRODUÇÃO

Em ciências, engenharia, economia e até mesmo em psicologia, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. Essa descrição começa com:

i) identificação das variáveis que são responsáveis por mudanças do sistema, e ii) um conjunto de hipóteses razoáveis sobre o sistema.

A estrutura matemática de todas essas hipóteses, ou o modelo matemático do sistema, é muitas vezes uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais.

O estudo das equações diferenciais começou com os m´métodos do Cálculo Diferencial e Integral, descobertos por Newton e Leibnitz, e elaborados no último quarto do século XVII para resolver problemas motivados por considerações físicas e geométricas. Esses m´métodos, na sua evolução, conduziram gradualmente à consolidação das Equações Diferenciais como um novo ramo da matemática, que em meados do século XVIII se transformou numa disciplina independente.

Um modelo matemático de um sistema físico geralmente envolve a variável tempo. A solução do modelo representa o estado do sistema: em outras palavras, para valores apropriados do tempo t, os valores da variável dependente (ou variáveis) descrevem o sistema no passado, presente e futuro.

As equações diferenciais representam uma série de fenômenos tais como:  O crescimento de culturas de bactérias;

 Competitividade entre as espécies de um ecossistema,  Escoamento de fluidos em dutos,

 O movimento dos planetas em torno do sol,  Trajetória de projeteis,

2

 Circulação sanguínea,

 Movimento angular de ciclones,  Fenômenos de difusão,

 Previsão de baixas em batalhas,  Jogos de guerra,

 O formato de um ovo,

 Mecanismos de transferência de calor,  A maré dos oceanos,

 Ondas de choque,

 A mudança diária da temperatura do vento,  Problemas de servos-mecanismos,

 Evolução de uma epidemia devido a vírus,  Realimentação de sistemas, etc.

Para verificar o que foi dito anteriormente, vamos analisar alguns exemplos:

Exemplo 1: Colheita Marinha

Começamos por investigar o efeito da pesca sobre uma população de peixes. Suponha que, se deixada em paz, uma população de peixes cresça a uma taxa contínua de 20% ao ano. Suponha também que peixes estejam sendo colhidos (apanhados) por pescadores a uma taxa constante de 10 milhões de peixes por ano. Como varia a população de peixes com o tempo?

Observe que nos foi dada a informação sobre a taxa de variação, ou derivada, da população de peixes. Combinada com a informação sobre a população inicial, poderemos usar isto para predizer a população no futuro.

Para predizer variações na população, P, de peixes, em milhões, escrevemos uma equação diferencial que relaciona P e sua derivada dP/dt, onde t é o tempo em anos. Sabemos que:

3

= -

Se deixados em paz, a população de peixes cresce a uma taxa contínua de 20% ao ano, portanto temos:

Taxa de crescimento devido à reprodução = 20% . (população atual) = = 0,20P milhões de peixes/ano.

Além disso:

Taxa de peixes removidos por colheita = 10 milhões peixes/ano

Como a taxa de variação da população de peixes é dP/dt, temos: 𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 0,20𝑃 − 10

Esta é uma equação diferencial que modela a variação da população de peixes. A quantidade desconhecida na equação é a função que dá P em termos de t. Usamos a equação para predizer a população a qualquer tempo no futuro.

Exemplo 2:

Antes de tomar um café, geralmente esperamos um pouco até que o líquido esfrie. Uma xícara de café fica quase intragável se esfriar até chegar à temperatura ambiente.

Taxa de variação da população de peixes Taxa de crescimento devido à reprodução Taxa de peixes removidos por colheita

4

Uma lei empírica de resfriamento atribuída a Isaac Newton assegura que a taxa de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio.

A frase acima é uma descrição verbal de uma equação diferencial, conhecida por Lei de Resfriamento de Newton. Essa lei é expressa matematicamente como:

𝑑𝑇

𝑑𝑡 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚)

em que T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura do meio (constante), 𝑑𝑇

𝑑𝑡

representa a taxa de variação da temperatura do corpo, k é uma constante de proporcionalidade (como o corpo está esfriando, devemos ter T > Tm, logo, k <0).

Essa equação diferencial pode ser resolvida por meio de variáveis separáveis, que será discutido a seguir.

Exemplo 3:

Frequentemente, observa-se que a taxa de crescimento de certas bactérias é proporcional ao número de bactérias presentes num dado instante de tempo.

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 𝑘𝑥, 𝑥(𝑡0) = (𝑥0)

em que k é uma constante de proporcionalidade, t é o tempo e x é o número de bactérias.

2. DEFINIÇÕES BÁSICAS

Definição 1: Equação Diferencial

Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de Equação Diferencial (ED).

5

F(x, y, y’ , y ’’, ... , y (n)_{) = 0 ou F(x, y,} dx dy_, 2 2 dx y d _{, ...,} n n dx y d _{) = 0.}

As equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade.

Tipo: Se uma equação contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis

dependentes, com relação a uma única variável independente, ela é chamada Equação Diferencial Ordinária (EDO). Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de Equação Diferencial Parcial (EDP).

Exemplos: a) x y dx dy _ 2 _{→ EDO} b) x dx dy sen  → EDO c) 0 2 2    y dx dy x dx y d _{→ EDO} d) 0 2 2 2 2       t u x u , onde u = (x, t) → EDP e) 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑣 𝜕𝑥 → EDP

Notação: Ao longo deste texto, derivadas ordinárias serão escritas utilizando-se a notação de Leibniz dy/dx, d2_y/dx2_{, d}3_y/dx3_{, ..., ou a notação prima y’, y’’, y’’’,... Na verdade, a notação}

6

y(4) _{em vez de y}’’’’_{. Em geral, a derivada de ordem n é d}n_y/dxn _{ou y}(n)_{. Apesar de ser menos}

conveniente de escrever e digitar, a notação de Leibniz é mais vantajosa em relação à notação prima pelo fato de apresentar de modo mais claro tanto as variáveis dependentes como as variáveis independentes. Por exemplo, na equação diferencial d2_x/dt2 _{+16x = 0, percebe-se}

imediatamente que o símbolo x agora representa uma variável dependente, enquanto a variável independente é t. Deve-se estar consciente que em física e engenharia a notação em ponto de Newton é algumas vezes utilizada para indicar derivadas em relação ao tempo t. Assim, a equação diferencial d2_s/dt2 _{= -9,81 se escreve 𝑠̈ = -9,81. Derivadas parciais são}

frequentemente apresentadas por uma notação de subscrito indicando as variáveis independentes. Por exemplo: uxx + uyy = 0 e uxx = utt - 2ut.

Ordem: A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a

ordem da equação.

O grau de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem.

Exemplos: Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais.

(a) 7 0 3 2 2          dx dy dx dy dx y d

É uma equação diferencial de primeiro grau de ordem 2 porque d2_y/dx2 _{é a derivada de}

maior ordem na equação e está elevada à primeira potência. Notar que a terceira potência de dy/dx não tem influência no grau da Equação (a) porque dy/dx é de menor ordem que d2_y/dx2_.

(b) 3 0 2          y dx dy dx dy

É uma equação diferencial de segundo grau e primeira ordem; dy/dx é a derivada de maior ordem (ordem 1) e 2 é a maior potência de dy/dx aparecendo na equação.

7

Linearidade: Uma equação diferencial é chamada linear quando pode ser escrita na forma:

𝑎_𝑛(𝑥)𝑑 𝑛_𝑦 𝑑𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝑥) 𝑑𝑛−1𝑦 𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1(𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:

i) A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, a potência de cada termo envolvendo y é 1.

ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente x. Uma equação que não é linear é chamada de não-linear.

Exemplos A:

a) 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥 = 0 → Equação diferencial ordinária linear de primeira ordem b) 𝑦′′_{− 2𝑦}′ _{+ 𝑦 = 0 → Equação diferencial ordinária linear de segunda ordem}

c) 𝑥3 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 − 𝑥 2 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 3𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 5𝑦 = 𝑒

𝑥 _{→ Equação diferencial ordinária linear de}

terceira ordem

d) 𝑦𝑦′′_{− 2𝑦}′ _{= 𝑥 → Equação diferencial ordinária não-linear de segunda ordem}

e) 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3+ 𝑦

2 _{= 0 → Equação diferencial ordinária não-linear de terceira ordem}

Exemplos B:

Em cada aplicação abaixo, classificar a equação diferencial dada quanto ao tipo, ordem e linearidade.

a) Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do material. Se Q=Q(t) é a quantidade presente de um certo material radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t, aqui denotada por dQ/dt, é dada por:

8

𝑑𝑄

𝑑𝑡 = 𝑘𝑄(𝑡)

onde k é uma constante negativa bem definida do ponto de vista físico. Tipo: __________________

Ordem: ________________ Linearidade: ____________

b) A taxa de variação da população em relação ao tempo, aqui denotada por dP/dt, é proporcional à população presente. Em outras palavras, se P=P(t) mede a população, nós temos:

𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 𝑘𝑃(𝑡) onde a taxa k é uma constante.

Tipo: __________________ Ordem: ________________ Linearidade: ____________

c) Em um circuito em série, contendo apenas um resistor e um indutor, a Segunda Lei de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão no indutor (L (di/dt)) e da queda de tensão no resistor (iR) é igual à voltagem (E(t)) no circuito, ou seja:

𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡) Tipo: __________________

Ordem: ________________ Linearidade: ____________

9

Definição 2: Resolução de uma Equação Diferencial

Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração.

Definição 3: Solução

É a função que quando substituída na equação diferencial a transforma numa identidade. As soluções podem ser:

• Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades de ordem da equação.

• Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos.

• Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais não apresentam essa solução.

As soluções ainda podem ser:

• Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma y = f(x) é chamada solução explícita.

• Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma G(x,y)=0 trata-se de uma solução implícita.

10

Exemplos:

(a) Verificar que y = 4.e-x _{+ 5 é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e}

primeiro grau ₂ 0. 2   dx dy dx y d Observando que x e dx dy_  . 4 e e x dx y d _  . 4 2 2

e substituindo na equação diferencial dada, temos:

4.e-x _{+ (– 4.e}-x_{) = 0}

0 = 0

A solução y = 4.e-x _{+ 5 no exemplo acima é um exemplo de uma solução particular de}

uma equação diferencial. Podemos verificar que y = 4.e-x _{+ 3 é também uma solução particular}

da equação diferencial no exemplo (a). Deste modo, uma equação diferencial pode ter mais do que uma solução particular.

(b) Verificar que y = _xx e C e C . 1 . 1 

 _{é uma solução da equação diferencial de primeira ordem e}

primeiro grau ( 1) 2 1 2   y dx dy _.

A primeira derivada da equação dada é





2 . 1 . . 2 x x e C e C dx dy 

 . Substituindo este resultado na equação diferencial dada, temos:





2 . 1 . . 2 x x e C e C  =









_         1 . 1 . 1 2 1 2 2 x x e C e C





2 . 1 . . 2 x x e C e C  =



 







_            2 2 2 2 2 . 1 . . 2 1 . . 2 1 2 1 x x x x x e C e C e C e C e C





2 . 1 . . 2 x x e C e C  =





_       2 . 1 . . 4 2 1 x x e C e C





2 . 1 . . 2 x x e C e C  .

11

Uma solução y = f(x) de uma equação diferencial de ordem n contendo n constantes arbitrárias é chamada uma solução geral. Assim, a solução y = _xx

e C e C . 1 . 1   _{no Exemplo (b) ou}

y = 4.e-x _{+ C no Exemplo (a) é um exemplo de uma solução geral.}

(c) Verifique que 𝑦 = 𝑥4

16 é uma solução para a equação não-linear:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑥𝑦

1/2

(d) Verifique que a função 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 _{é uma solução para a equação linear:}

𝑦" − 2𝑦′ + 𝑦 = 0

Curvas Integrais:

Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da equação diferencial.

12

3. PROBLEMA DE VALOR INICIAL (P.V.I.)

Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais. Uma condição inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor particular de y, y0, correspondente a um valor particular de x, x0. Isto é, se y = f(x) pode ser uma solução

da equação diferencial, então a função deve satisfazer a condição: y0 = f(x0). O problema de ser

dada uma equação diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor inicial. Ou seja, estamos interessados em resolver uma equação diferencial de 1º ordem:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

sujeita à condição inicial 𝑦(𝑥₀) = 𝑦₀, em que 𝑥₀ é um número no intervalo I e 𝑦₀ é um número real arbitrário. O problema:

{ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑦(𝑥₀) = 𝑦₀ é chamado de P.V.I Exemplos:

a) Mostre que y = C.e-2x _{é uma solução para a equação diferencial y’ + 2y = 0 e encontre a}

solução particular determinada pela condição inicial y(0) = 3.

Sabemos que y = C.e-2x _{é solução porque y’ = - 2.C.e}-2x _{e y’ + 2y = - 2.C.e}-2x _{+ 2.( C.e}-2x _{) = 0.}

Usando a condição inicial y(0) = 3, ou seja, y = 3 e x = 0, obtém-se: y = C.e-2x  _{3 = C e}-2.0  _{C = 3}

13

b) Verificar que y = C1.cosx + C2.senx é uma solução geral da equação diferencial y’’ + y = 0.

Primeiro, determinar as derivadas da função dada: y' = - C1.senx + C2..cosx

y’’= - C1.cosx - C2..senx

Substituindo na equação diferencial, temos: y’’ + y = 0

- C1.cosx - C2..senx + ( C1.cosx + C2..senx) = 0

- C1.cosx - C2..senx + C1.cosx + C2..senx = 0 _{0 = 0}

Portanto, y = C1.cosx + C2..senx é uma solução geral da equação diferencial dada com duas

constantes arbitrárias distintas.

4. TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO

Seja R uma região retangular no plano xy definida por 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, que contém o ponto (𝑥₀, 𝑦₀) em seu interior. Se 𝑓(𝑥, 𝑦) e 𝑑𝑓

𝑑𝑦 são contínuas em r, então existe

um intervalo I, centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema

de valor inicial 𝑑𝑦

14

Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO. 1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? 2. Se tiver solução, será que esta solução é única?

3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial?

Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas características.

Teorema: Considere o problema de valor inicial { 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)

𝑦(𝑥₀) = 𝑦₀

Se p(x) e q(x) são contínuas em um intervalo aberto I e contendo x0, então o problema

de valor inicial tem uma única solução nesse intervalo.

Observa-se que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo “similar” ao cálculo de uma integral e sabe-se que existem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam soluções.

15

LISTA DE EXERCÍCIOS 1

1) Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais.

a) 7 0 3 2 2          dx dy dx dy dx y d b) 3 0 2          y dx dy dx dy c) 2 2 y x dx dy_{ } d) y’’’- 4y’’ + xy = 0 e) 3 2 0 2          dx dy x dx dy f) y’+ x.cosx = 0 g) x y dx dy xy dx y d 2 2 2 5  

h) (y’’)3 _{- xy’ + y’’ = 0}

i) 0 2 2 _        dx dy y dx dy x j) y’’+ ex _{y = 2}

2) Verificar que y = 4.e-x _{+ 5 é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e}

primeiro grau ₂ 0. 2   dx dy dx y d

3) Mostre que y = C.e-2x _{é uma solução para a equação diferencial y’ + 2y = 0 e encontre a}

16

4) Verificar que cada uma das funções dadas y = f(x) é uma solução da equação diferencial dada. a) 3 dx dy _{; y = 3x – 7} b) x y dx dy x  2  ; y = x2 + Cx c) 2 4 2x x y dx dy     ; y = x2 _{- 4x} d) x y x dx dy 4 2   ; y = x2 _{- 4x}

5) Na aplicação abaixo, classificar a equação dada quanto ao tipo, ordem e linearidade.

Suponhamos que uma certa quantia 𝐴₀ de dinheiro seja depositado em uma instituição financeira que paga juros à taxa 𝑘% a.a. O valor do investimento 𝐴(𝑡), em qualquer instante 𝑡, depende da frequência na qual o juro é capitalizado e também da taxa de juros. As instituições financeiras seguem várias orientações no que se refere a capitalização dos juros: alguns fazem-na mensalmente, outras semafazem-nalmente e até diariamente. Admitiremos que a capitalização seja contínua.

Seja 𝑑𝐴

𝑑𝑡 a taxa de variação do valor do investimento e esta taxa é proporcional a taxa

na qual o investimento cresce a cada instante 𝑡, ou seja:

𝑑𝐴 𝑑𝑡

= 𝜆 ∙ 𝐴,

onde 𝜆 = 𝑘 100 então: { 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝑘 100∙ 𝐴 𝐴(0) = 𝐴₀

A solução dessa equação diferencial fornece o valor do montante A(t) creditado ao investidor em qualquer instante 𝑡.

17

Gabarito Lista de Exercícios 1

Exercício 1:

a) Segunda ordem e primeiro grau b) Primeira ordem e segundo grau c) Primeira ordem e primeiro grau d) Terceira ordem e primeiro grau e) Primeira ordem e segundo grau f) Primeira ordem e primeiro grau g) Segunda ordem e primeiro grau h) Segunda ordem e terceiro grau i) Primeira ordem e segundo grau j) Segunda ordem e primeiro grau Exercício 2: y = 4.e-x _{+ 5} y’ = -4.e-x _{y’’ = 4.e}-x 0 0 0 4e 4e . 0 x -x -2 2      dx dy dx y d

18

Exercício 3: y = C.e-2x y’ = -2C.e-2x y’ + 2y = 0 -2C.e-2x _{+ 2C.e}-2x _{= 0} 0 = 0 Para: y(0) = 3. y = C.e-2x _{3 = C.e}0 _{C = 3}  _{y = 3.e}-2x Exercício 4: a) y = 3x – 7 3 dx dy y’ = 3 3 = 3 b) y = x2 _{+ Cx x y} dx dy x  2 ; y’ = 2x+C x(2x+C) = x2 _{+ x}2 _{+ Cx} 2x2_{+Cx = 2x}2_+Cx

19

c) y = x2 _{- 4x} 2 4 2x x y dx dy_{    ;} y’=2x-4 2x - 4 + x2 _{- 4x + 2x + 4 = x}2 _x2 _{= x}2 d) y = x2 _{- 4x x y x} dx dy 4 2   ; y’=2x-4 x(2x-4)-2(x2 _{- 4x) = 4x} 4x = 4x Exercício 5:

20

5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

5.1 Motivação

A taxa de crescimento de uma população é diretamente proporcional a população num instante considerado. Determinamos a variação populacional em função do tempo, sabendo que no tempo 𝑡 = 0 a população era 𝑃₀. Seja

 𝑃 a população no instante 𝑡  𝑑𝑃

𝑑𝑡 a taxa de crescimento populacional no instante 𝑡 segundo as condições do

problema então {

𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 𝑘𝑃 𝑃(0) = 𝑃₀

Este modelo é conhecido como modelo de Malthus. Ele também é aplicado em certos tipos de microorganismos que se reproduzem por mitose.

A equação acima é classificada como uma Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem de Variáveis Separáveis.

Vejamos, agora, como determinar a sua solução geral.

5.2 Introdução

No estudo da metodologia de resolução de equações de primeira ordem, a forma mais simples de EDO é dada por:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥) (1)

Se g(x) é uma função continua dada, então (1) pode ser resolvida por integração e sua solução é:

𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐

A equação (1) bem como a sua resolução é um caso especial das equações com variáveis separáveis.

21

Exemplos: a) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 + 𝑒 2𝑥 Solução: b) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) Solução:

5.3. Definição de Equação Separável

Uma equação diferencial da forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =

𝑔(𝑥) ℎ(𝑦) é chamada separável ou tem variáveis separáveis.

Observa-se que uma equação separável pode ser escrita como ℎ(𝑦)𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥) (2)

Se ℎ(𝑦), a equação (2) fica reduzida a (1).

Agora, se y = f(x) denota uma solução para (2), tem-se: ℎ(𝑓(𝑥))𝑓´(𝑥) = 𝑔(𝑥) Logo,

22

Mas, 𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥, assim (3) é o mesmo que

∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐 (4)

5.4. Método de Solução

A equação (4) indica o procedimento na resolução para equações separáveis. Integrando-se ambos os lados de ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 obtém-se uma família a um parâmetro de soluções.

Obs: Não há necessidade de usar duas constantes na integração de uma equação separável, pois

∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 + 𝑐₁ = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐₂

∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐₂ − 𝑐₁ = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐 em que c é arbitrária.

Observação 1: Quando a solução de uma equação diferencial envolver a integração

de um termo na forma u du_{, escrevemos agora} C u u du _{ }



ln em vez de u C u du _{ }



ln .

Estamos agora percebendo que a solução é válida apenas quando u é positivo. Lembrar também de incluir a constante de integração C.

Observação 2: Algumas regras para logaritmo na base e (e  2,718....) Sendo a > 0 e b > 0 e IR, então:

P1) ln (a . b) = ln a + ln b P3) ln (a_{) = .ln a}

23

Exemplos:

1) Retornando ao exemplo inicial:

A taxa de crescimento de uma população é diretamente proporcional a população num instante considerado. Determinamos a variação populacional em função do tempo, sabendo que no tempo 𝑡 = 0 a população era 𝑃₀. Seja

 𝑃 a população no instante 𝑡  𝑑𝑃

𝑑𝑡 a taxa de crescimento populacional no instante 𝑡 segundo as condições do

problema então {

𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 𝑘𝑃 𝑃(0) = 𝑃₀

A solução geral é dada por:

2) Uma colônia de bactérias cresce a uma razão proporcional ao número de bactérias presentes. Se o número de bactérias duplica em 24 horas, quantas horas serão necessárias para que as bactérias aumentem em 100 vezes a sua quantidade original?

24

3) Desintegração Radioativa

A velocidade de uma substância radioativa é diretamente proporcional a sua massa no instante considerado. Determinamos a lei de variação da massa da variação da massa da substância radioativa em função do tempo, sabendo que no instante 𝑡 = 0 a massa era 𝑚₀.

Determina-se a velocidade de desintegração como segue. Seja  𝑚 a massa no instante 𝑡

 𝑑𝑚

𝑑𝑡 a velocidade de desintegração no instante 𝑡

Segundo a condição do problema {

𝑑𝑚

𝑑𝑡 = −𝑘𝑚

𝑚(0) = 𝑚₀em que 𝑘 é um coeficiente de proporcionalidade (𝑘 > 0). Introduzimos o sinal negativo uma vez que a massa decresce quando o tempo cresce.

25

4) O isótopo radioativo tório 234 desintegra-se numa velocidade que é diretamente proporcional a sua massa no instante considerado. Se 100 miligramas desta substância são reduzidas a 82,04 miligramas em uma semana, ache uma expressão para a massa presente em qualquer tempo.

Chamamos de meia vida de uma substância, ao período de tempo gasto para que a massa dessa substância se reduza a metade. Com base nisso determine a meia vida de 100 miligramas de tório 234.

26

5) A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional a diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja 𝑇 a temperatura de corpo e 𝑇_𝑚 a temperatura do meio ambiente.

Então a taxa de variação da temperatura do corpo é 𝑑𝑇

𝑑𝑡 e a lei de Newton relativa à

variação de temperatura pode ser formulada como:

𝑑𝑇

𝑑𝑡 = −𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) ou 𝑑𝑇

𝑑𝑡 + 𝑘𝑇 = 𝑘𝑇𝑚

onde 𝑘 é uma constante de proporcionalidade. Se 𝑘 > 0, torna-se necessário o sinal negativo na lei de Newton, a fim de tornar 𝑑𝑇

𝑑𝑡 negativa em um processo de resfriamento.

27

6) Sabendo que uma xícara de café se encontra à temperatura de 100ºC e é colocada num ambiente à temperatura de 20ºC, tendo resfriado até 80ºC ao fim de 2 minutos, determinar quanto tempo será necessário para que a temperatura seja reduzida para 40ºC.

7) Suponha que, se deixada em paz, uma população de peixes cresça a uma taxa contínua de 20% ao ano. Suponha também que peixes estejam sendo colhidos (apanhados) por pescadores a uma taxa constante de 10 milhões de peixes por ano. Levando em consideração estas informações, podemos predizer a população P de peixes no futuro por meio de uma equação diferencial. Escreva-a:

28

Considerando que a população de peixes, inicialmente, seja de 60 milhões:

a) encontre a expressão que determina a população para qualquer tempo futuro; b) determine a população de peixes no segundo ano.

29

8) Resolva (1 + 𝑥)𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0

A solução é dada resolvendo-se as integrais de ambos os lados, após reescrever a equação:

9) Resolva o problema de valor inicial 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =

−𝑥

30

LISTA DE EXERCÍCIOS 2

1) Resolver a equação diferencial y’ – 2x = 0 sujeita à condição inicial y(2) = 1. 2) Resolver a equação diferencial y + xy’ = 0 sujeita à condição inicial y(3) = 2. 3) Resolva: xdyy2dx0

4) Resolva: 3x3y2dxxydy0 5) Resolva: xdyydx0

6) Resolva:  y3cosx0 dx

dy

7) Determinar a solução particular da equação diferencial sujeita à condição dada:

4 2 y x dx dy_{ ; y (1) = 1}

8) Determinar a solução geral da equação diferencial x2_{yy’ – 2xy}3 _{= 0.}

9) Resolver a equação diferencial x(1 + y2_{) – y(1 + x}2_{)y’= 0.}

10) Resover:  ₂ 0 y e dx dy x

11) Segundo a lei de resfriamento de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e a do meio ambiente. Se a temperatura ambiente é 20o_{C e a temperatura de um corpo passa de 100}o_{C para 60}o_C

em vinte minutos, qual é o tempo necessário para que a temperatura do corpo seja igual a 30o_C?

12) A taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do meio circundante. Um objeto cuja temperatura era de 40 graus foi colocado num ambiente cuja temperatura é de 80 graus. Após 20 minutos, a temperatura do objeto chegou a 50 graus. Expresse a temperatura do objeto como função do tempo.

31

13) Uma substância, a 98º C, é colocada em uma pia contendo água a 18º C. Depois de 5 minutos, a temperatura desta substância é de 38º C. Supondo que durante o experimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será necessário para que a substância atinja 20º C?

14) A velocidade de desintegração do rádio é diretamente proporcional a sua massa no instante considerado. Se 10g de rádio são reduzidas a 9,93g em 15 anos, ache uma expressão para a massa dessa substância presente em qualquer tempo e encontre a meia vida de 10g dela.

15) Numa certa cultura de bactérias a taxa de aumento é proporcional ao número de bactérias presente. Verificando que o número dobra em 4 horas, quantas se pode esperar no fim de 12 horas?

16) Numa determinada cultura de bactérias a taxa de aumento é proporcional ao número de bactérias presentes em determinado instante. Sabe-se que no fim de 3 horas existiam 104 e no fim de 5 horas 4 ∙ 104, quantas bactérias existiam no começo, ou seja, qual a população inicial de bactérias?

17) Sabendo que uma determinada substância radioativa se decompõe numa razão proporcional a quantidade existente e que sua meia vida se dá em 1600 anos, calcular a percentagem perdida em 100 anos.

18) O nuclídeo radioativo plutônio 241, decai de acordo com: 𝑑𝑚

𝑑𝑡 = −0,0525𝑚 onde 𝑚 está em miligramas e 𝑡 em anos.

32

a) Determinar a meia-vida do plutônio 241.

b)

Se 50 mg de plutônio estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio existirá daqui 10 anos?

19) Suponhamos que uma certa quantia 𝐴₀ de dinheiro seja depositado em uma instituição financeira que paga juros à taxa 𝑘% a.a. O valor do investimento 𝐴(𝑡), em qualquer instante 𝑡, depende da frequência na qual o juro é capitalizado e também da taxa de juros. As instituições financeiras seguem várias orientações no que se refere a capitalização dos juros: alguns fazem-na mensalmente, outras semanalmente e até diariamente. Admitiremos que a capitalização seja contínua.

Seja 𝑑𝐴

𝑑𝑡 a taxa de variação do valor do investimento e esta taxa é proporcional a taxa na

qual o investimento cresce a cada instante 𝑡, ou seja:

𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝜆 ∙ 𝐴, onde 𝜆 = 𝑘 100 então: { 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝑘 100∙ 𝐴 𝐴(0) = 𝐴₀

A solução dessa equação diferencial fornece o valor do montante A(t) creditado ao investidor em qualquer instante 𝑡. Determine esta solução geral.

20) Empresta-se 100 u.m a juros compostos de 4%a.a. Em quanto tempo teremos um total de 200 u.m.

33

Gabarito Lista de Exercícios 2

1) S.G.: 𝑦 = 𝑥2_{+ 𝑐 S.P.: 𝑦 = 𝑥}2_{− 3} 2) S.G.: 𝑦 = 𝑐 𝑥 S.P.: 𝑦 = 6 𝑥 3) S.G.: 𝑦 = −1 𝑙𝑛|𝑥|+𝑐 4) S.G.: 𝑦 = 𝑐𝑒𝑥3 5) S.G.: 𝑦 = 𝑐 𝑥 6) S.G.: 𝑦2 ₌ 1 2(𝑠𝑒𝑛(𝑥)−𝑐) 7) S.G.: 𝑦3 ₌ −1 𝑥3+3𝑐 S.P.: 𝑦 3 ₌ −1 𝑥3−2 8) S.G.: 𝑦 = −1 2𝑙𝑛|𝑥|+𝑐 9) S.G.: 𝑦2 _{= 𝑐(1 + 𝑥}2_{) − 1} 10) S.G.: 𝑦 = √3𝑒3 𝑥_{+ 𝑐} 11) 𝑡 ≅ 59,4𝑚𝑖𝑛 12) 𝑇(𝑡) = −40𝑒−0,014𝑡 _{+ 80} 13) t  13 minutos 14) 𝑚(𝑡) = 10𝑒−0,00047𝑡 _{; 𝑡 ≅ 1475 𝑎𝑛𝑜𝑠} 15) P(12)=7,69P0

34

16) P(0) = 1250

17) m(100) = 0,96m0 → Perdeu 4%

18) a) 𝑡 ≅ 13,2 𝑎𝑛𝑜𝑠; 𝑏) 𝑚 ≅ 29,58𝑚𝑔 19) 𝐴(𝑡) = 𝐶 ∙ 𝑒100𝑘𝑡

35

6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES

6.1. Motivação

Na década de 1960-70, a poluição nos Grandes Lagos tornou-se uma preocupação pública. Estabeleceremos um modelo para quanto tempo levaria até que os lagos se livrassem da poluição, supondo que não fossem jogados mais poluentes no lago.

Seja 𝑄 a quantidade total de poluentes num lago de volume 𝑉 ao tempo 𝑡. Suponha que a água limpa está fluindo para o lago a uma taxa constante 𝑟 e que a água escorre para fora à mesma taxa. Suponha que o poluente esteja uniformemente distribuído pelo lago e que a água limpa que entra no lago se mistura imediatamente com o resto da água.

Como varia 𝑄 com o tempo? Primeiro, observe que como poluentes estão saindo do lago mas não estão entrando, 𝑄 decresce e a água que deixa o lago se torna menos poluída, de modo que a taxa à qual saem os poluentes diminui. Isto nos diz que 𝑄 é decrescente e côncava para cima. Além disso, os poluentes nunca serão totalmente removidos do lago, ainda que a quantidade que resta se torne arbitrariamente pequena.

Para entender como varia 𝑄 com o tempo, escrevemos uma equação diferencial para 𝑄. Sabemos que

𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑄 = −𝑇𝑎𝑥𝑎 à 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑎𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑙𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

O sinal negativo representa o fato de 𝑄 estar decrescendo. Ao tempo 𝑡 a concentração de poluentes é 𝑄⁄_𝑉 e água contendo essa concentração está saindo à taxa 𝑟. Assim

𝑇𝑎𝑥𝑎 à 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 × 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎çã𝑜 = 𝑟 ∙𝑄

𝑉

Portanto, a equação diferencial é 𝑑𝑄

𝑑𝑡 = −𝑟 ∙ 𝑄 𝑉

36

A equação acima é caracterizada como sendo uma equação diferencial de primeira ordem linear.

6.2. Introdução

Definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n como,

 

 

 

a

 

x

y

g(x)

dx

d

a

dx

d

a

dx

d

x

a

_{n-1 1 0} 1 -n 1 -n n n n











y

x

y

x

y



Lembre-se de que linearidade significa que todos os coeficientes são funções de x somente e que y e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. Agora, quando n = 1, obtemos uma equação linear de primeira ordem.

6.3. Definição – Equação Linear

Uma equação diferencial da forma

₁( ) a₀(x)y g(x)

dx dy x

a  

é chamada de equação linear.

Dividindo pelo coeficiente a1(x), obtemos uma forma mais útil de uma equação linear:

 

x.y Q(x)

P dx

dy _{  . (1)}

Procuramos uma solução para (1) em um intervalo I no qual as funções P(x) e Q(x) são contínuas. Na discussão a seguir, supomos que (1) possui uma solução.

37

dy + [P(x).y - Q(x)]dx = 0 (2) Equações lineares possuem a agradável propriedade através da qual podemos sempre encontrar uma função (x) em que

(x)dy + (x)[P(x).y - Q(x)]dx = 0 (3) é uma equação diferencial exata. Pelo Teorema (Critério para uma Diferencial Exata), o lado esquerdo da equação (3) é uma diferencial exata se

x   _{(x)dy =} y   _{(x)[P(x).y - Q(x)]dx (4)} ou P(x) dx dμ _

_

.

Esta é uma equação separável em que podemos determinar (x). Temos

P(x)dx d _





ln







P(x)dx ₍₅₎ assim 



P(x)dx

)

(

x

e



(6) Assim a função (x) definida em (6) é um fator de integração para a equação linear. Note que não precisamos usar uma constante de integração em (5), pois (3) não se altera se a

38

multiplicarmos por uma constante. Ainda, (x)  0 para todo x em I, e é contínua e diferenciável. Multiplicando a equação (1) por (6), obtemos:

P(x)dx e e P

 

x y e Q(x) dx dy _ P(x)dx _ P(x)dx



P(x)dx



_ P(x)dx ). ( . dx d e x Q e

y (integrando ambos os lados)

C dx e x Q e y. P(x)dx 



( ). P(x)dx  . Assim sendo a solução geral é dada por



Q

x

e

dx

C



e

y



P(x)dx



(

).

P(x)dx



₍₇₎

Teorema: Solução de uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem

Um fator integrante para a equação diferencial linear de primeira ordem y’ + P(x).y =

Q(x) é _(x)eP(x)dx_{. A solução da equação diferencial é}



Q x e dx C



e

39

6.4. Sintetizando o método de solução:

(1) Para resolver uma equação linear de primeira ordem, primeiro coloque – a na forma abaixo, isto é, faça o coeficiente de

) ( ) (x y f x p dx dy  

(2) Identifique P(x) e encontre o fator de integração

P x dx

e

( )

(3) Multiplique a equação obtida em pelo fator de integração:

) ( ) ( ( ) ) ( ) ( x f e y x p e dx dy eP x dx  P x dx  P x dx

(4) O lado esquerdo da equação em é a derivada do produto do fator de integração e a variável independente y; isto é,



e

( )

y



e

( )

f

(

x

)

dx

dy

_{P x dx}

_

_{P x dx}

(5) Integre ambos os lados da equação encontrada e obtemos



  ( )

_

( )

₍

₎

x

f

e

y

e

P x dx P x dx

40

Exemplos:

1) Retornando ao exemplo da seção 6.1 sobre o problema da poluição e usando o quadro abaixo, que contém valores de r e V para quatro dos Grandes Lagos, determine: a) quanto tempo levará até que 90% da poluição seja removida do Lago Erie; b) para que 99% seja removida.

Quadro: Volume e escoamento nos Grandes Lagos

Lago V (milhares de km3_{) r (km}3_/ano)

Superior 12,2 65,2

Michigan 4,9 158

Erie 0,46 175

41

2) A mistura de duas soluções de sal de concentrações diferentes resulta em uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Vamos supor que um tanque de mistura grande comporte 300 litros de salmoura. Outra solução de salmoura é bombeada para dentro desse tanque grande a uma taxa de 3 litros por minuto; a concentração de sal neste fluxo é de 2kg de sal por litro. Quando a solução do tanque estiver bem misturada, ela é bombeada para fora à mesma taxa da solução de entrada. Se 𝐴(𝑡) corresponde a taxa de sal (medida em quilos) no tanque no instante de tempo 𝑡, a taxa com a qual 𝐴(𝑡) se modifica é uma taxa líquida:

𝑑𝐴

𝑑𝑡 = (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙) − (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙) = 𝑅𝑖𝑛− 𝑅𝑜𝑢𝑡 A taxa de entrada 𝑅_𝑖𝑛 com a qual o sal entra no tanque é o produto do fluxo da concentração de sal e o fluxo da concentração de fluído. Observe que 𝑅_𝑖𝑛 é medido em quilos por minuto

𝑅_𝑖𝑛 = (2 𝑘𝑔/𝑙) ∙ (3 𝑙/𝑚𝑖𝑛) = (6 𝑘𝑔/𝑚𝑖𝑛)

Agora, como a solução está sendo bombeada para fora do tanque com a mesma taxa que ela é bombeada para dentro, a quantidade de litros de salmoura no tanque no instante de tempo 𝑡 é um valor constante de 300 litros. Consequentemente, a concentração de sal no tanque, assim como no fluxo para fora, é

𝑐(𝑡) = 𝐴(𝑡) 300 𝑘𝑔/𝑙 e assim, a taxa de saída 𝑅_𝑜𝑢𝑡 de sal é

𝑅_𝑜𝑢𝑡 = (𝐴(𝑡)

300 𝑘𝑔/𝑙) ∙ (3 𝑙/𝑚𝑖𝑛) = 𝐴(𝑡)

100 𝑘𝑔/𝑚𝑖𝑛 A taxa líquida então se escreve

𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 6 − 𝐴 100 Ou 𝑑𝐴 𝑑𝑡 + 1 100𝐴 = 6

Assim, propõe-se a seguinte questão: se existissem 50kg de sal inicialmente dissolvidos em 300 litros, qual é a quantidade de sal no tanque após um longo período de tempo?

42

Solução: Para obter a quantidade de sal 𝐴(𝑡) no tanque no instante t, resolvemos o problema de valor inicial

𝑑𝐴 𝑑𝑡 +

1

43

3) Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a segunda Lei de Kirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem do indutor (L(di/dt)) e no resistor (iR) é igual à voltagem aplicada no circuito (E(t)). Obtemos, assim, a equação diferencial linear para a corrente i(t):

𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡) (1)

onde L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. A corrente i(t) é também chamada de resposta do sistema.

A queda de voltagem em um capacitor com capacitância C é dada por q(t)/C, em que q é a carga no capacitor. Assim, para o circuito em série, a segunda Lei de Kirchhoff nos dá

𝑅𝑖 +1

𝐶𝑞 = 𝐸(𝑡) (2)

Mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por i=dq/dt; desta forma, (2) transforma-se na equação diferencial linear

𝑅𝑑𝑞

𝑑𝑡 + 1

𝐶𝑞 = 𝐸(𝑡) (3)

Considerando que uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série, no qual a indutância é ½ henry e a resistência é 10 ohms, determine a corrente i se a corrente inicial for 0.

44

4) Encontre a solução geral de 6 x e x 4y dx dy x   . Solução:

Escreva a equação como

x 5 e x y 4 dx dy   x (dividindo por x) (1)

Como P(x) = -4/x, o fator integrante é _  _  xdx 4 -P(x)dx ) (x e e  = e-4 lnx _{= x} –4_.

Aqui, usamos a identidade básica blogbN = N, N > 0. Agora, multiplicamos (1) por este termo x –4_. 4 4 5 x e x x. y x 4 x. dx dy _{ }   x –4_. 5 x xe y x. 4 dx dy _  _{ (2)} e obtemos

 

4 x xe .y x. dx d   _{. (3)}

Segue-se da integração por partes que

x –4_{y = xe}x _{– e}x _{+ c}

ou

45

LISTA DE EXERCÍCIOS 3

1) Um tanque contém 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal. Uma salmoura contendo 1 grama de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 L/min; a solução bem misturada é bombeada para fora à mesma taxa. Ache a expressão para A (t) de gramas de sal no tanque no instante t.

2) Uma força eletromotriz de 100 volts é aplicada a um circuito em série RC no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância é de 10-6 _{farads. Ache a carga q(t) no}

capacitor se q(0)=0. Ache a corrente i(t).

3) Depois de cessar a administração de uma droga no corpo de um paciente, a taxa à qual a droga deixa o corpo é proporcional à quantidade de droga que permanece no corpo. a) Se Q representar a quantidade remanescente, encontre uma EDO que expresse Q. b) Sabendo-se que ácido volpróico é uma droga usada para controlar epilepsia e que

sua meia-vida no corpo humano é de cerca de 15h, use esta meia-vida para achar a constante k da EDO obtida na questão anterior.

c) A qual tempo restarão 10% da droga?

4) Um fumante em cadeia fuma cinco cigarros por hora. De cada cigarro, 0,4mg de nicotina são absorvidas na corrente sanguínea da pessoa. A nicotina deixa o corpo a uma taxa proporcional à quantidade presente, com constante de proporcionalidade -0,346.

a) Escreva uma equação diferencial para o nível de nicotina no corpo, N, em mg, como função do tempo, t, em horas.

b) Resolva a EDO anterior. Suponha que inicialmente não há nicotina no sangue. c) A pessoa acorda às 7h da manhã e começa a fumar. Quanta nicotina há no seu

46

5) Resolver cada EDO abaixo:

a) x e y dx dy 3 5   h) dy3x2ydxx2dx b). x e y dx dy 2 3    i) xdy – 5ydx = (4x + x6)dx c). 3  x32 x y dx dy _j) 2 3 ) 4 ( 2    y x dx dy x d). 2 x25 x y dx dy _{k) (1x}2_{)dy2xydx3x}2_dx e). 2xy e3 (3 2x) dx dy_{ } x _{ l)} x x y dx dy sen tan   f) 3x2ye (3x2 1) dx dy x _m) 7 2 4 2 _{  } x xy dx dy x g) dy4ydx x2e4xdx n) 2 _{2 } 3_5 x xy dx dy x

6) Determinar uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas.

a) x e y dx dy 2 3   ; y (0) = 2 c) ecx y x dx dy cot cos   ; y (/2) = 3/2 b)  x23 x y dx dy _{; y (1) = 3} d)dy



x3y



dx; y (0) = 1

47

Gabarito Lista de Exercícios 3

1) 𝐴(𝑡) = 200 − 170𝑒−𝑡/50 2) 𝑞(𝑡) = 1 100− 1 100𝑒 −50𝑡_{; 𝑖(𝑡) =}1 2𝑒 −50𝑡 3) a) 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = −𝑘𝑄 b) 𝑘 ≈ 0,0462 c) 𝑡 ≈ 49,84 4) a) 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 2 − 0,346𝑁 b) 𝑁(𝑡) = 5,78 − 5,78𝑒−0,346𝑡 c) 5,76𝑚𝑔 5) .. a) y = -1/2e3x _{+ Ce}5x _{g) y = 1/3x³e}4x _{+ C} 4x e m) 5x²y = x5 – 35x + C b) y = e-2x _{+ Ce}-3x h) y = (-1/3) + C _x3 e n) y = x². lnx – (5/3x) + C.x² c) y = x 4 _{/7– x/2+ Cx}-3 _{i) y = x} 6 _{– x + Cx} 5 d) y = x³ - 5x + Cx² j) y =



₂



₂ 4 2 x C x 8 4 x  _ e) _{3x x}2 ce e y   k) (1 + x²).y = x³ + C f) y = - e x _{+ C} x3 e l) y = -cos(x)/2 + c/cos(x)

48

6) a) y = e 2x _(3e x _{– 1)} b) y = (x³/2) + 3x.lnx + Cx c) y.senx = x +  d) y = (x/3) – (1/9) + Ce -3x

49

7 – EQUAÇÃO DE BERNOULLI A equação diferencial

 

n

Q(x).y

.y

x

P

dx

d

y

_

_

(1)

em que n é um número real qualquer, é chamada de equação de Bernoulli. Para n = 0 e n = 1, a equação (1) é linear em y. Agora, se y  0, (1) pode ser escrita como

 

x

.y

Q(x)

P

dx

d

y

-n

y



1-n



₍₂₎ Se fizermos w = y1 – n_{, n}  _{0, n}  _{1, temos}





dx

dy

y

n

1

dx

dw





n

Com essa substituição, (2) transforma-se na equação linear

(1

n).P

 

x

.w

(1

n).Q(x)

dx

dw









₍₃₎

Resolvendo (3) e depois fazendo y1 – n _{= w, obtemos uma solução para (1), ou seja,}

y

e



n

Q

x

e

dx

C



n









    (1-n).P(x)dx (1-n).P(x)dx 1

).

(

).

1

(

50

Exemplos 1) Resolva 1 y xy2. x dx dy _{ } (1) Solução

Em (1), identificamos P(x) = 1/x, Q(x) = x e n = 2. Logo, a mudança de variável w = y1-2

= y –1 _e dx dy dx dw  2 y nos dá

x.

w

x

1

dx

dw

_

_

_

(*)

O fator de integração para essa equação linear é ln 1 1       x e e xdx x .

Multiplicando ambos os lados de (*) pelo seu fator integrante x –1_{, obtemos:}

x

w

x

1

dx

dw

1 1 1   

_

_

_

x

x

x

ou

1

w

dx

dw

₂ 1

_



_

_



x

x

assim

 

.

1

dx

d

_1

_

_

w

x

.

Integrando essa última forma, obtemos: x -1 _{w = - x + c ou w = - x}2 _{+ cx.}

51

2) Uma parte de uma corrente uniforme de 8m de comprimento está enrolada de forma livre em torno de uma estaca na beirada de uma plataforma horizontal elevada, estando a parte restante da corrente pendurada em repouso além da beirada da plataforma. Suponha que o comprimento da corrente pendurada seja de 3m, que o peso da corrente seja de 2N/m, e que a direção positiva seja para baixo. Iniciando em t=0 segundos, o peso da parte pendurada faz com que a corrente na plataforma se desenrole suavemente e caia no chão. Considerando que x(t) represente o comprimento da corrente pendurada no instante de tempo t>0, então v=dx/dt é sua velocidade. Quando todas as forças de resistência são ignoradas, pode-se mostrar que um modelo matemático relacionando v a x é dado por

𝑥𝑣𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 𝑣

2 _{= 9,81𝑥}

52

3) No estudo da dinâmica de população, um dos mais famosos modelos para o crescimento de uma população de modo limitado consiste na equação logística

𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 𝑃(𝑎 − 𝑏𝑃) onde a e b são constantes positivas. Resolva esta EDO.

53

LISTA DE EXERCÍCIOS 4

54

8. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM HOMOGÊNEAS

8.1. Definição – Função Homogênea

Se uma função f satisfaz

f(tx,ty)tnf(x,y)

Para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.

Exemplos:

(1) f(x,y) = x2 _{– 3xy + 5y}2

(2) f(x,y) = x3 _{+ y}3 _{+ 1.}

OBS: Muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida examinando o grau de cada

termo.

Exemplos: (1) f(x,y) = 6xy3 _{– x}2_y2

   A função é homogênea de grau quatro. grau 4 grau 4

55

(2) f(x,y) = x2 _{– y}

   A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são diferentes grau 2 grau 1

8.2. Definição: Equação Homogênea

Uma equação diferencial da forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

é chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau.

Para resolver uma equação diferencial homogênea pelo método de separação de variável, basta fazer a mudança de variáveis dada pelo Teorema a seguir.

Teorema Mudança de Variáveis para Equações Homogêneas

Se M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é homogênea, então ela pode ser transformada em uma equação diferencial cujas variáveis são separáveis pela mudança de variável y = u.x onde u é uma função diferenciável de x e dy = u dx + x du.

OBS: São válidas também as substituições x = y.v e dx = y dv + v dy.

56

Exemplo 1: Resolva (𝑥2_{+ 𝑦}2_{)𝑑𝑥 + (𝑥}2_{− 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0}

Exemplo 2: Resolva o PVI 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑦 + 𝑥𝑒

57

LISTA DE EXERCÍCIOS 5

1) Resolva cada uma das equações:

a) 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑦−𝑥 𝑥 b)

𝑦

′

=

2𝑦+𝑥 𝑥 c) (𝑥2+ 2𝑦2) 𝑑𝑥 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦=0 d)

𝑦

′

=

𝑥 2_+𝑦2 2𝑥𝑦 e)

𝑦

′

=

𝑥 4_+3𝑥2_𝑦2_+𝑦4 𝑥3𝑦 f) 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

2𝑥𝑦 𝑦2−𝑥2 g) (2𝑦4+ 𝑥4) 𝑑𝑥 − 𝑥𝑦3𝑑𝑦 = 0 h) (𝑦2+ 𝑦𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑦 = 0 i) (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 j) (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 k) 𝑥𝑑𝑥 + (𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑦 = 0

58

l) (𝑦2+ 𝑦𝑥)𝑑𝑥 − 𝑥2𝑑𝑦 = 0

m) 𝑥𝑦2 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑦

3_{− 𝑥}3_{, 𝑦(1) = 2}

Gabarito Lista de Exercícios 5

a) 𝑦 = 𝑥 ln (𝑐 𝑥) b) 𝑦 = 𝑐𝑥2− 𝑥 c) 𝑦2 = 𝑥4𝑐 − 𝑥2 d) 𝑦2 = 𝑥2− 𝑐𝑥 e) 𝑦2 = −𝑥2( 1 2ln 𝑥+𝑐+ 1) f) 𝑦3− 3𝑦𝑥2 = 𝑐 g) 𝑦4 = 𝑥8𝑐 − 𝑥4

h) 𝑦 =

𝑐(𝑦+2𝑥) 𝑥2

i) 𝑦 = −𝑥𝑙𝑛(𝑥) + 𝑐𝑥

j) 𝑦 =

𝑐 𝑥

−

𝑥 2

k) 𝑙𝑛 (

𝑦−𝑥_𝑥

) −

𝑥 𝑦−𝑥

= − ln(𝑥) + 𝑐

l) 𝑦 =

−𝑥 ln(𝑥)+𝑐

m) 𝑦

3

= −3𝑥

3

ln(𝑥) + 8𝑥

3

59

9. EQUAÇÃO EXATA

9.1. Definição – Equação Exata

Uma expressão diferencial

0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy M

é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f (x, y). Uma equação diferencial da forma

0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy M

é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.

9.2. Teorema – Critério para uma diferencial exata

Sejam M (x, y) e N (x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que 0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy M

seja uma diferencial exata é

x N y M      9.3. Método de Solução Dada a equação 0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy M

Mostre primeiro que

x N y M     

60

) , (x y M x f   

daí podemos encontrar f integrando M(x, y) com relação a x, considerando y constante. Escrevemos,



  ( , ) ( ) ) , (x y M x y dx g y f

em que a função arbitrária g (y) é a constante de integração. Agora, derivando f(x,y) com relação a y e supondo f y N(x,y):



       ) , ( ) ´( ) , (x y dx g y N x y M y y f Assim,

_

    ( , ) ( , ) . ) ´( M x y dx y y x N y g

Finalmente, integre g’(y) com relação a y e substitua o resultado em f(x,y). A solução para a equação é f (x, y) = c.

61

LISTA DE EXERCÍCIOS 6

1) Resolva 2xy dx + (x2 _{– 1) dy = 0}

R: x2_{y – y = c.}

2) Resolva o problema de valor inicial

(cosx senx – xy2_{) dx + y.(1 - x}2_{) dy = 0, y (0) = 2.}

R: y2 _{(1 – x}2_{) – cos}2_{x = 3}

3) Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral. a) (2x – 3y)dx + (2y – 3x)dy = 0 R: x² - 3xy + y² = C

b) yex_{dx + e}x_{dy = 0 R: ye}x _{= C}

c) (3y2 _{+ 10xy}2_{)dx + (6xy – 2 + 10x}2_{y)dy = 0 R: 3xy² + 5x²y² - 2y = C}

d) 2.cos(2x – y)dx - cos(2x – y)dy = 0 R: sen(2x – y) = C

e) (4x3 _{– 6xy}2_{)dx + (4y}3 _{– 6xy)dy = 0 R: não é exata}

4) Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada. a) e3x(sen3ydxcos3ydy)0; y(0) = 

R: e3x_{.sen3y = 0}

b) (x2 _{+ y}2_{)dx + 2xydy = 0; y(3) = 1}

R: xy² + 3

62

10. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS REDUTÍVEIS A EXATAS

Algumas vezes, é possível converter uma equação diferencial não exata em uma equação exata multiplicando-a por uma função (x,y) chamada fator de integração. Porém, a equação exata resultante:

 M(x,y) dx +  N(x,y) dy = 0

pode não ser equivalente à original no sentido de que a solução para uma é também a solução para a outra. A multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de soluções.

Exemplo Se a equação diferencial

2y dx + x dy = 0 (Não é uma equação exata)

for multiplicada pelo fator integrante (x,y) = x, a equação resultante

2xy dx + x2 _{dy = 0 (Equação exata)}

é exata, ou seja, x x N y M 2       _. Exercício: Verificar se 𝐹 = 1

𝑥, em (0, ∞) é um fator de integração que torna a EDO (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 +