Lista 4 – Teoria dos Jogos Prof. Sergio Almeida
Questão 1
Considere o seguinte jogo:
Jogador 1 c1 c2 c3 c4 Jogador 2 r1 3, 8 0, 4 1, 6 -2, 9 r2 4, 2 1, -3 3, 5 1, 4 r3 0, -3 2, 2 4, -1 -3, 2 r4 6, 5 -1, 3 0, 1 0, 7
a) Quais são as estratégias que sobrevivem eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas? Mostre seu raciocínio claramente.
b) A cada passo da eliminação, que suposições sobre racionalidade e conhecimento de cada jogador estão sendo feitas?
Questão 2
Duas empresas, denominadas 1 e 2, produzem um bem homogêneo cuja demanda de mercado ao preço p é 1 − p. O custo médio da empresa 1 é constante e igual a 0. O custo médio da empresa 2 também é constante e igual a c > 0. As duas empresas competem definindo simultaneamente seus preços para o bem. A empresa 2 vende para o mercado inteiro (em qual caso a empresa 1 vende nada) se, e somente se, seu preço é mais baixo do que o preço da empresa 1; caso contrário, a empresa 1 vende para todo o mercado e a empresa 2 vende nada.
a) Suponha que p é o preço entre 0 e min c,12. Explique por que existe um equilíbrio em que no qual ambas as empresas escolhem o preço p [Dica: Se a empresa 1 fosse monopolista escolheria cobrar um preço de 12]
b) Podem existir outros equilíbrios?
c) Esses equilíbrios são previsões razoáveis dos preços que essas firmas cobrariam? [Dica: Considere os equilíbrios em que firma 2 escolhe vender o bem por menos do que c]
Questão 3
No sábado, 15 de agosto de 2009, o Sr. Antonio Ribeiro, de 56 anos de idade, estava voltando para casa do trabalho. Enquanto ele se aproximava da entrada de sua casa, ele foi
atacado e esfaqueado por dois rapazes, depois identificados como Miguel e Carlos. Apesar dos repetidos gritos de ajuda do Sr. Ribeiro, nenhuma das dúzias de pessoas que passavam no local ou estavam nas casas vizinhas que ouviram seus gritos chamaram a polícia para ajudá-lo. O ataque começou às 18:30, mas só por volta das 19:50 é que alguém telefonou para a polícia.. (Fonte: “Jornal de Brasilia")
A história acima é um exemplo do que os psicólogos chamam de bystander effect (“efeito espectador”). Vejamos como a teoria dos jogos pode explicar tal efeito. Suponha que você e outros N − 1 indivíduos observam um crime ocorrendo. Cada um de vocês gostaria que alguém ligasse para a polícia porque interromper a ocorrência do crime (assuma que uma coisa implica a outra) dá um payoff de R$ 20 a cada um de vocês, mas nenhum de vocês deseja fazer a ligação porque o esforço de ligar subtrai R$ 6 do seu payoff. Se você estiver certo que alguém ligará para apolícia, você escolherá ignorar a ocorrência do crime. Assim, os resultados, em termos de payoff, obtidos por cada umde vocês são os seguintes: R$0, se ninguém faz ligação, R$ 14 se você mesmo faz aligação, e R$20 se você ignora e pelo menos um dos outros N − 1 indivíduos liga para a polícia. Suponha que todos vocês escolhem Ignorar com a mesma probabilidade, digamos λ.
a) Escreva o jogo em forma normal que representa a situação acima, quando N = 2 e encontre todos os possíveis equilíbrios de Nash em estratégia pura e mista.
b) Mostre que, em equilíbrio (em estratégia-mista), quanto mais pessoas assistirem ao crime (ou seja, quando N aumenta), o crime é menos provável de ser comunicado à polícia.
Questão 4
Considere o seguinte jogo. Há dois jogadores, chamados 1 e 2, e um “jogador-mestre”. O “jogador-mestre” tem uma moeda que é curva de tal forma que, jogada para o ar aleato-riamente, cairá no chão mostrando “cara” 80% das vezes. O viés desta moeda é conhecido por ambos os jogadores. O “jogador-mestre” joga a moeda e o resultado desse lançamento é mostrado para o jogador 1. O jogador 1 então anuncia para o jogador 2 o resultado. O jogador 1 pode apenas dizer “cara” ou “coroa” (e nada mais). O jogador 2, depois de ter ouvido o que o jogador 1 diz mas sem ter visto o resultado do lançameneto da moeda, deve tentar adivinhar qual foi o resultado de fato – “cara” ou “coroa” – depois do que o jogo ter-mina. Os payoffs do jogo são os seguintes: o jogador 2 recebe R$1 se o seu palpite coincide com o resultado real do lançamento da moeda, ou recebe R$ 0 caso contrário. Para o jo-gador 1, as coisas são mais complexas. Ele recebe R$2 se o palpite do jojo-gador 2 é que deu “coroa” e R$0 se o palpite do jogador 2 é que deu “cara” (independente de como a moeda foi jogada). Adicionalmente, o jogador 1 recebe R$1 (adicional) se o que ele (jogador 1) diz para o jogador 2 é mesmo o lado da moeda que apareceu, ao passo que o jogador 1 receberá R$0 (adicionalmente) se sua mensagem para o jogador 2 é diferente do resultado verdadeiro do lançamento de moeda.
Questão 5
Considere o seguinte jogo (em forma extensiva) com informação completa e perfeita.
a) Ache o equilíbrio perfeito de subjogo para este jogo. [Dica: Escreva a estratégia completa, i.e., as ações de equilíbrio em todos os “nós” de decisão, mesmo que não seja previsto que todos esses “nós” serão “ativados”).]
b) Desenhe a representação em forma normal desse jogo. c) Encontre todos os equilíbrios de Nash em estratégia pura.
Questão 6
Considere o seguinte jogo de informação completa mas imperfeita. Uma agência de namoro e relacionamentos telefonou para João e Maria para agendar um encontro entre os dois. Local do encontro: um café. Primeiro, João e Maria devem decidir simultaneamente se vão ou não para esse encontro. Se algum deles disser que não, então cada um recebe R$80. Se os dois disserem que sim, então eles precisam decidir como irão se vestir para o encontro. Eles podem escolher se vestirem de forma “casual” (C) ou “formal” (F). Suas decisões de como se vestir trarão as seguintes recompensas (monetariamente representadas na matriz abaixo): a) Quantos sub-jogos existem nesse jogo inteiro?
João
F C
Maria F 60, 60 0, 60 p C 60, 0 100, 100 (1-p)
q (1-q)
b) Encontre todos os equilíbrios de Nash perfeitos de sub-jogo do jogo inteiro.
Questão 7
Considere o jogo em forma normal abaixo:
col trair cooperar row trair (0,0) (g,l)
cooperar (l,g) (c,c) Assumaque g > c > 0 > l.
a) Suponha que este jogo seja jogado uma única vez, e que as escolhas são feitas simultane-amente. Qual é o equilíbrio de Nash?
Na versão em que esse jogo é jogado várias vezes, os jogadores valorizam os fluxos de resultados de acordo com a função
U =
N
X
t=0
δt xt,
onde xt é o retorno obtido no período t e δ é a taxa de desconto.
b) O que acontece se este jogo for jogado duas vezes? E se joga N vezes, com N finito e conhecido pelos jogadores?
Questão 8
Dois jogadores, Amy e Beth, se revezam escolhendo números; Amy começará. Na sua vez, um jogador pode escolher qualquer número entre 1 e 10, inclusive, e este número é adicionado a um total em contagem. Quando o total de ambas as escolhas dos jogadores atinge 100, o jogo termina. Considere dois fins alternativos: (i ) o jogador cuja escolha de número leva o total para exatamente 100 é o vencedor e (ii ) o jogador cuja escolha de número faz com que este total seja igual ou superior a 100 é o perdedor. Para cada caso, responda as seguintes perguntas:
a) Quem vencerá o jogo?
b) Qual é a estratégia ótima de cada jogador (plano completo de ação)?
Questão 9
Dois colegas de quarto estão planejando limpar o quarto em um domingo. Cada um tem uma hora para gastar e eles podem gastá-la assistindo esportes na TV ou limpando a sala. Denotemos a quantidade de tempo contribuído por pessoa i por ci, onde 0 ≤ ci ≤ 1; essa
pessoa gasta o tempo restante 1 − ci assistindo TV. Cada pessoa se preocupa tanto com
a limpeza da sala quanto com a quantidade de tempo que eles têm para assistir TV. Em particular, assuma que a função de remuneração de i (i = 1, 2) é dada por
ui(c1, c2) = bi ln(c1 + c2) + 1 − ci,
onde bi ln(c1 + c2) representa a utilidade que o indivíduo i deriva por ter uma sala limpa e
1 − ci representa a utilidade de assistir TV. Você pode interpretar bi como o valor relativo
individual i atribui a uma sala limpa. Encontre o equilíbrio de Nash deste jogo quando ( it i)) b1 > b2; e ( ii) b1 = b2.
Questão 10
O país 1 deve decidir se ataca ou não o país 2, que está ocupando uma ilha entre os dois países. No caso de um ataque, o país 2 pode lutar ou recuar sobre uma ponte para o continente. Cada país prefere ocupar a ilha do que não ocupá-la; uma conflito bélico é o pior resultado para ambos os exércitos. Modele esta situação como um jogo em forma extensiva e mostre que o país 2 pode aumentar seu payoff ao queimar a ponte para o continente, eliminando sua opção de retirada se for atacado.
