Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 1
POSSIBILIDADES DE DESENVOLVIMENTO DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA EM DIFERENTES NÍVEIS DE
ESCOLARIDADE
Elaine Cristina Ferruzzi Universidade Tecnológica Federal do Paraná
elaineferruzzi@utfpr.edu.br Rodolfo Eduardo Vertuan Universidade Tecnológica Federal do Paraná
rodolfovertuan@yahoo.com.br Karina Alessandra Pessôa da Silva Universidade Estadual de Londrina
karinapessoa@gmail.com Lourdes Maria Werle de Almeida Universidade Estadual de Londrina
lourdes@uel.br
Resumo: Este artigo tem como objetivo apresentar possibilidades de encaminhamento para uma situação de Modelagem Matemática frente aos diferentes níveis de escolaridade em que pode ser utilizada e aos conteúdos matemáticos pertinentes a estes níveis. O texto apresenta, inicialmente, considerações sobre a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica para o ensino e a aprendizagem da Matemática. A partir disso, o texto discute uma situação de Modelagem via abordagens distintas: usando conteúdos do Ensino Fundamental, do Ensino Médio e do Ensino Superior. Conclui, ainda, que a dinâmica de uma atividade de Modelagem depende do grupo de alunos que discute a situação e dos conhecimentos matemáticos que estes alunos possuem.
Palavras-chave: Educação Matemática; Modelagem Matemática; Diferentes níveis de escolaridade.
1. INTRODUÇÃO
Entendemos que uma atividade de Modelagem Matemática consiste em partir de uma situação-real, preferencialmente do cotidiano dos alunos, e criar, por meio da coleta, análise e organização dos dados coletados, uma expressão em linguagem matemática que possa servir de parâmetro para descrição e compreensão da realidade. Neste sentido, o modelo matemático construído é uma representação da realidade sob a
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 2 ótica daqueles que investigam a situação. Quando a atividade de Modelagem é desenvolvida por alunos sob orientação do professor, a atividade atende, ainda, a fins educacionais, relativos ao ensino e à aprendizagem da Matemática.
Tratar de uma mesma situação com diferentes grupos de alunos implica na possibilidade de construção de representações distintas para esta situação. Isso sinaliza que, se estudada em diferentes séries da Educação Básica ou do Ensino Superior, uma mesma situação pode tomar encaminhamentos distintos. Neste texto, apresentamos possíveis encaminhamentos que os alunos podem dar a uma atividade de Modelagem – com um mesmo tema e/ou uma mesma problemática – frente aos interesses que têm e aos conhecimentos matemáticos que possuem.
Neste sentido, serão apresentadas três abordagens para a situação da “determinação da área da fachada de uma igreja”; a primeira utilizando conteúdos pertinentes ao Ensino Fundamental, a segunda, conteúdos pertinentes ao Ensino Médio e a terceira, finalmente, conteúdos pertinentes ao Ensino Superior. Com a análise desta atividade podemos inferir que uma mesma situação pode ser abordada em diferentes níveis de ensino, desde que sejam feitas as adequações ao contexto escolar e considerados os conhecimentos matemáticos e extramatemáticos dos alunos envolvidos. 2. MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
De modo geral, uma atividade de Modelagem Matemática compreende a busca de uma representação matemática para um fenômeno em estudo, que pode ser matemático ou não. Considerando que a construção desta representação pode ser realizada em aulas de matemática, assumimos que a Modelagem Matemática é uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática, de uma situação-problema não essencialmente matemática (ALMEIDA e FERRUZZI, 2009).
Almeida e Ferruzzi (2009) defendem que uma atividade de Modelagem Matemática requer do aluno a formulação de um problema e a definição de metas para sua resolução, a definição de hipóteses, a formulação de previsões e a apresentação de explicações e respostas para o fenômeno que observam bem como a comunicação destas respostas e/ou explicações para outros. Neste sentido, o desenvolvimento de uma
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 3 atividade de Modelagem Matemática requer uma transição do problema original para uma representação matemática formal, o modelo matemático.
Embora a construção de um modelo matemático seja importante em uma atividade de Modelagem Matemática, não a consideramos como o fim deste tipo de atividade, mas como uma alternativa que pode permitir uma compreensão mais global sobre a situação investigada e a Matemática utilizada. É importante termos em mente que ao trabalharmos com a obtenção de modelos matemáticos, estamos interessados também na compreensão da Matemática envolvida na obtenção de tal modelo. Dependendo da abordagem dada ao desenvolvimento do modelo, diferentes objetos matemáticos podem ser estudados de acordo com o nível de escolaridade na qual se encontra o estudante. Dessa forma, não consideramos que o modelo obtido corresponde à realidade que estamos estudando, mas uma representação dessa realidade obtida por meio de ferramentas matemáticas das quais nos utilizamos.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática apontam aspectos da investigação e compreensão em Matemática que devem ser contempladas no ensino:
[...] identificar o problema; procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema; formular hipóteses e prever resultados; selecionar estratégias de resolução de problemas; fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades (BRASIL, 1999, p. 259). Tais aspectos, de modo geral podem ser observados durante o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática, a qual, segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio, leva o aluno a mobilizar uma variedade de procedimentos, tais como:
[...] selecionar variáveis que serão relevantes para o modelo a construir; problematizar, ou seja, formular o problema teórico na linguagem do campo matemático envolvido; formular hipóteses explicativas do fenômeno em causa; recorrer ao conhecimento matemático acumulado para a resolução do problema formulado, o que, muitas vezes, requer um trabalho de simplificação quando o modelo originalmente pensado e matematicamente muito complexo; validar, isto é, confrontar as conclusões teóricas com os dados empíricos existentes; e eventualmente ainda, quando surge a necessidade, modificar o modelo para que esse melhor corresponda a situação real (BRASIL, 2006, p. 85).
A literatura em geral que trata da utilização da Modelagem Matemática na sala de aula aponta a necessidade de adequação da atividade ao contexto escolar. De modo
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 4 geral, os alunos estão acostumados com ambientes de aprendizagem que constituem aulas discursivas e expositivas, nas quais existe pouca interação entre professor e aluno e entre alunos, bem como pouca discussão acerca de situações e de problemas que poderiam ser relacionados com a Matemática.
Ao investigar uma situação-problema em uma atividade de Modelagem Matemática, professor e alunos não sabem de antemão os conteúdos matemáticos de que farão uso. No entanto, como são os alunos que conduzem a investigação e utilizam, geralmente, os conhecimentos que têm de Matemática, é possível obtermos diferentes abordagens para um mesmo problema e um mesmo conjunto de informações. Isso vem ao encontro da ideia de que o modelo matemático construído é, na verdade, “uma” representação da realidade sob a ótica daqueles que investigam a situação. Logo, se abordada em diferentes níveis de escolaridade, uma mesma situação pode tomar encaminhamentos distintos. Discutir alguns destes encaminhamentos em uma atividade de Modelagem é objetivo deste trabalho.
3. UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA: DIFERENTES POSSIBILIDADES DE ENCAMINHAMENTO
Problema: Determinar a área da parte que recebe tinta na fachada do Santuário
localizado na cidade de Cianorte (PR), apresentado na Figura 1.
Figura 1- Fachada do Santuário Eucarístico Diocesano
Coleta de dados: Alguns dados referentes a este problema foram encontrados
com o auxílio de uma trena a laser e um inclinômetro (que fornece o ângulo de inclinação da trena). Estas medidas estão apresentadas na Figura 2.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 5 Figura 2 – Medidas encontradas empiricamente
3.1 SUGESTÃO DE ENCAMINHAMENTO PARA O ENSINO FUNDAMENTAL Em se tratando do Ensino Fundamental, a área da fachada da igreja poderia ser determinada por partes, considerando que cada parte da fachada poderia ser representada por meio de figuras planas, tal como semicircunferência, retângulo e triângulo (figura 3). Deste modo, a área total (At) seria a soma das áreas das três partes.
Como a fachada parece simétrica, vamos determinar a área do triângulo à direita e multiplicar o resultado por 2, encontrando a área das duas regiões triangulares.
No entanto, antes de calcular a área de cada região, é preciso determinar as medidas destas figuras planas. Algumas destas medidas, já indicadas na figura acima, podem ser encontradas por meio da investigação in loco. Usando as fórmulas para a área de uma semicircunferência (região 1), de um retângulo (região 2) e de um triângulo (região 3), obtemos 2 1 153,56m A , 2 2 122,44m A , 2 3 11,49m A e At 298,98m2como
resultado. Para determinar a área do triângulo é necessário, antes, encontrar a altura deste triângulo, o que implica em usar semelhança de triângulos e proporcionalidade.
Figura 3 – Divisão da fachada da igreja em figuras planas – abordagem para o ensino fundamental
Desta área, subtraímos a área das regiões que não recebem tinta, referente às portas e aos vitrais, e adicionamos as áreas relativas à marquise – área lateral, área da parte superior e inferior. Deste modo, a área total (AT) será assim determinada: AT = At
– Avitrais – Aportas + Alateral da marquise+Asupe e inf marquise.
Área das portas: As portas são quadrados de lado 3m, logo, Aportas = 27m2.
Área dos vitrais onde não se utilizou tinta: Os vitrais são compostos por tijolos
de vidro dispostos conforme a Figura 4a os quais podem ser aproximados a quadrados e retângulos. Deste modo, A total dos vitrais = 17,70m2.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 6 Figura 4a – Vitrais Figura 4b - Marquise
Área das laterais da marquise: A marquise, cujas dimensões também podem ser
medidas in loco, pode ser considerada um prisma retangular, como mostra a figura 4b, assim, ALM = 5,24 m² .
Área das faces inferior e superior da marquise: Estas faces podem ser
consideradas retângulos de 4,23m de largura por 16m de comprimento. Desconsiderando a interseção dos pilares com a marquise, obtemos Aism = 135,36 m2.
Deste modo, temos: AT = At – Avitrais – Aportas + Alateral da marquise+Asupe e inf marquise (1)
AT = 394,88 m2.
Nesta abordagem da atividade, os conteúdos “área de figuras planas”, “semelhança de triângulos” e “proporção” são utilizados para possibilitar a determinação da área da fachada da igreja e, neste caso, o modelo matemático (ou a representação matemática) associado ao problema corresponde à área total da parte fachada que recebe tinta dada pela expressão (1).
3.2 SUGESTÃO DE ENCAMINHAMENTO PARA O ENSINO MÉDIO
Uma possível abordagem desta atividade no Ensino Médio consiste em aproximar as regiões referentes à fachada do Santuário a figuras planas, como trapézios, retângulos e triângulos. Neste caso, a fachada poderia ser dividida em 3 regiões. Uma região central (AC), a região à direita (AD) e a região à esquerda (AE) (Figura 5). Deste
modo, a área total (At) seria a soma das áreas das três partes. Como a fachada parece
simétrica, vamos determinar a área da região direita e multiplicar por dois encontrando a área das duas regiões laterais.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 7 Figura 5 – Divisão da fachada em três regiões – abordagem para o Ensino Médio
Desta área, assim como no encaminhamento anterior, é preciso subtrair a área das regiões que não recebem tinta e adicionar as áreas relativas às laterais dos pilares – não considerada anteriormente – e da marquise, e a parte superior e inferior da marquise. Deste modo, a área total (AT) será: AT = AC + 2.A1 + 2. A2 +2.A3 – Avitrais –
Aportas + Alateral dos pilares + Alateral da marquise+Asupe e inf marquise + Afrontal dos pilares.
A região central pode ser aproximada a um retângulo e a região lateral pode ser aproximada a trapézios e um triângulo retângulo, conforme apresentamos na Figura 6a. Para o cálculo das medidas apresentadas na Figura 6a será necessário que o aluno utilize as medidas encontradas empiricamente e os conceitos de trigonometria no triângulo retângulo. Com o auxilio da trigonometria o aluno encontra a altura total do Santuário (15,19m) e a espessura da marquise1.
Colocando-se a fachada do Santuário em um eixo cartesiano temos os pontos B e C apresentados na Figura 6b. Com estes dados e com a hipótese de que o arco do santuário representa uma parábola, o aluno determina o modelo matemático que representa o arco do santuário. A curva que representa o arco da fachada passa pelos pontos: (-13.2, 0); (0, 15.19) e (13.2, 0). Aproximando-se a uma função quadrática, temos o modelo: f(x) = - 0.0872 x2 + 15.19.
De posse deste modelo, e tomando-se alguns pontos do domínio (eixo x), pode-se determinar a medida de qualquer ponto do arco da fachada. Com estes dados, encontra-se AC = 56,20 m2, A1 =49,93 m2, A2= 34,43 m2 e A3 = 9,41 m2.
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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 8 Figura 6a – Aproximação das regiões em figuras planas Figura 6b – Representação do eixo cartesiano
A área referente aos vitrais, às portas e à lateral da marquise é calculada do mesmo modo que no encaminhamento anterior. Quanto à área das faces inferior e superior da marquise, consideraremos, agora, que a intersecção desta região com os quatro pilares não recebe tinta. Logo, Aism = 132,08 m2.
Laterais dos pilares: A lateral de cada pilar é formada por retângulos de mesma
profundidade (1,28 m) e altura variando de acordo com o pilar. No caso do primeiro pilar (o mais alto) e do segundo pilar (o do meio) deve-se retirar da área, a parte encoberta pela marquise. Para determinar a altura interna de cada pilar é necessário encontrar a função g(x), apresentada na Figura 7, e com ela, as respectivas alturas. A função g(x) pode ser encontrada do mesmo modo que a função f(x). Assim, a área total das laterais dos pilares é: AL=145,162 m2.
Figura 7 – Região sob o beiral. Representação das funções f(x) e g(x).
Região frontal dos pilares: Como podemos observar na Figura 8, a região frontal
dos pilares pode ser aproximada a trapézios cuja altura é 0,32 m e as bases variam de acordo com a posição. Assim, A frontal dos pilares =2.AP1 +2.AP2 +2.AP3 = 21,34 m2.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 9 Figura 8 – Área frontal dos pilares
Deste modo, temos AT = AC + 2.A1 + 2. A2 +2.A3 – Avitrais – Aportas + Alateral dos
pilares + Alateral da marquise+Asupe e inf marquise + Afrontal dos pilares. Ou seja,AT = 502,87 m2.
Com esta atividade podem ser abordados os tópicos matemáticos: área de figuras planas, conceitos de trigonometria no triângulo retângulo e funções quadráticas (determinação da função e valores da função para determinados valores do domínio). Apenas alguns pontos da “altura” do Santuário são apresentados aos alunos, os outros pontos, que se configuram como as “alturas” dos pilares podem ser encontrados após a determinação destas funções quadráticas.
3.3 SUGESTÃO DE ENCAMINHAMENTO PARA O ENSINO SUPERIOR
Neste encaminhamento podemos considerar o arco da fachada como sendo uma parábola e encontrar a área sob esta curva utilizando-se conceitos do Cálculo Diferencial e Integral (C.D.I) de onde temos que a área sob uma curva f(x) no intervalo de a até b é A=
b
a
dx x
f( ) . Desta área (A1) subtraímos a área das regiões que não
recebem tinta adicionamos as áreas relativas às laterais dos pilares e da marquise, a parte superior e inferior da marquise e a área referente à parte de baixo do beiral. Assim, A = A1 - Aportas - A total dos vitrais + Alateral dos pilares + Alateral da marquise+Asupe e inf marquise + Abeiral.
A área das portas, vitrais, lateral dos pilares, superior e inferior da marquise e lateral da marquise, podem ser determinadas como apresentadas no item 3.2. Deste modo, basta determinar a área da região frontal da fachada (A1) e a área sob o beiral.
Cálculo da área da região frontal da fachada do Santuário: Em 3.2, aproximando o
arco da fachada a uma função quadrática, obtivemos: f(x) = - 0.0872 x2 + 15.19.
Logo, 2 . 13 2 . 13 2 1 0.0872x 15.19dx A = 267.3 m2.
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Área da parte de baixo do beiral - Abeiral: Esta área pode ser aproximada a um retângulo de largura 1,28m e comprimento igual ao comprimento do arco da curva representada pela função g(x) (Veja Figura 7). A função g(x) pode ser encontrada do mesmo modo que a função f(x). Do C.D.I temos: Seja g uma função suave no intervalo [a,b]. O
comprimento de arco do gráfico de g de A(a, g(a)) até B(b, g(b)) é dado por: dx x g L b a b a 2 )) ( ' (
1 . Assim, o comprimento do arco de g no intervalo [-13,2, 13,2] é
dx x g 2 , 13 0 2 )) ( ' ( 1 2 = x dx 2 , 13 0 2 ) 188 , 0 ( 1 2 = 44,0421m.
Deste comprimento devemos descontar o comprimento do encontro dos pilares com a região interna e assim o comprimento a ser considerado para cálculo da área sob o beiral é: C = 41,03m e a área desta região é: AB = C x L = 41,03 x 1,28 = 52,52m2.
Assim, a área da região frontal da fachada que recebe tinta é dada por:
A = A1 - Aportas - A total dos vitrais + Alateral dos pilares + Alateral da marquise+Asupe e inf marquise + Abeiral
A = 267,3- 27- 17,70 + 145,162 + 5,24 +132,08 + 52,52 = 576,60 m2.
Observa-se que o resultado encontrado pelos dois últimos modelos difere em aproximadamente 70m2, visto que para o Ensino Médio não determinamos a área sob o beiral. Já para o Ensino Fundamental, em que realizamos uma abordagem mais simples, sem considerar as laterais dos pilares bem como a área sob o beiral, a diferença mostrou-se maior.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Frente ao entendimento de que uma atividade de Modelagem Matemática compreende a busca de uma representação matemática para um fenômeno e frente a ideia de que a atividade de Modelagem é realizada, essencialmente, pelos alunos com orientação dos professores, é que consideramos que tal atividade adquire o que por ora designamos de um “sentido muito seu”, muito próprio daquele contexto em que se dá sua realização.
Neste sentido, a investigação da situação-problema toma um encaminhamento que depende das experiências e dos conhecimentos dos envolvidos com a situação. Além disso, nem professor nem alunos sabem, de antemão, os conteúdos matemáticos
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 11 de que farão uso. Isso contribui para que diferentes formas de resolução sejam apresentadas, mesmo quando o problema e o conjunto de informações forem os mesmos. Assim, entendemos que o modelo matemático construído é, na verdade, “uma” representação construída sob a ótica daqueles que investigam a situação.
No texto, procuramos apresentar três distintas abordagens para a situação da determinação da área da fachada de uma igreja, considerando, para isso, diferentes níveis de escolaridade – Ensino Fundamental, Médio e Superior. As abordagens, embora essencialmente geométricas, diferem quanto às hipóteses elencadas, aos valores encontrados, aos conteúdos utilizados e a profundidade de detalhes considerados.
Com a análise da atividade podemos inferir, ainda, que uma mesma situação pode ser abordada em diferentes níveis de ensino, desde que sejam feitas as adequações ao contexto escolar e considerados os conhecimentos matemáticos e extramatemáticos dos alunos envolvidos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALMEIDA, L. M. W. ; FERRUZZI, E. C. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria, v. 2, p. 117-134, 2009.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações
Curriculares para o ensino médio – Volume 2: Ciências da Natureza, Matemática e
suas Tecnologias. Brasília, 2006.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio – Ciências da Natureza, Matemática e
