Estatística e Probabilidade

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Estatística e Probabilidade

Prof. Dr. Alysson Steimac her . Dr. Alys son Stei macher

Aula 2 – Cap 02

Estatística Descritiva

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Estatística e Probabilidade

estudaremos formas de organizar e

descrever conjuntos de dados. O objetivo

é tornar os dados mais compreensíveis

de modo a enxergar neles tendências,

médias e variações.

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Dados etários da população de

Akhiok-Alasca

63 56 55 54 53 52 51 50 50 49 48 47 46 45 42 41 39 36 34 33 33 32 32 31 31 30 29 28 28 27 27 26 25 25 24 23 22 21 21 17 17 16 16 15 13 12 12 11 11 11 10 10 10 9 8 8 7 7 6 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 2 2 2 1 1 1 0

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Distribuição de freqüência e seus gráficos

Distribuição de freqüências é uma tabela que mostra

classes

ou intervalo de entrada de dados com um número

total de entradas em cada classe. A freqüência f de uma

classe é o número de entrada de dados na classe.

As classes possuem

amplitudes iguais e cada

classe possui um

limite inferior da classe

, que

é menor número que pode

pertencer à

classe, e o

limite superior

que é o maior

número que pode pertencer

a classe.

4 26-30 5 21-25 8 16-20 6 11-15 8 6-10 5 1-5 Frequência, f Classe

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Estatística e Probabilidade

Amplitude das classes: Distância entre os limites inferiores (ou superiores) de classes consecutivas.

Amplitude total:

4 26-30

5 21-25

8 16-20

6 11-15

8 6-10

5 1-5

Frequência,f

Classe

O número de classes deve

estar entre 5 e 20.

Diferença entre o máximo e o mínimo das entradas.

Amplitude total:

30 - 1 = 29

Amplitude das classes:

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102 124

108

86

103

82

71

104

112

118

87

95

103

116

85

122 87 100

105

97

107

67 78 125

109

99

105

99

101

92 Faça uma tabela de distribuição de freqüência com

5 classes.

Minutos/mês gastos na internet para 30 assinantes

Valores-chave:

Valor mínimo

=

Valor máximo

=

67

125

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4. Marque um risco | em cada entrada de dado na classe apropriada. 1. Decida o número de classes, que deve ficar entre 5 e 20.

2. Calcule a amplitude das classes.

3.

Calcule os limites das classes. (Para este problema use 5.)

Primeiro calcule: amplitude total = valor máximo – mínimo. Em seguida, divida o resultado pelo número de classes. Por fim, arredonde até o

próximo número conveniente. (125 – 67)/5 = 11,6 (arredondado para 12)

O limite inferior da classe é o valor mais baixo que pertence a ela e o limite superior é o mais alto. Use o valor mínimo (67) como limite inferior da primeira classe.

Quando todos os valores estiverem marcados, conte os riscos em cada classe para determinar a freqüência dessa classe.

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Mínimo = 67, Máximo = 125

Número de classes = 5

Amplitude de classe = 12

5 | | | |

115 - 126

9 | | | | | | | |

103 - 113

8 | | | | | | |

91 - 102

5 | | | |

79 - 90

3 | | |

67 - 78

Freqüência

Riscos

Classe

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Ponto médio de uma classe: é a caracteristica de uma classe. É a metade da

soma entre os limites inferior e superior da classe

(limite inferior + limite superior) / 2

Freqüência relativa de uma classe: é a porção ou porcentagem dos dados

que entra nessa classe.

f_rel= (freqüência da classe) / (tamanho da amostra n)

Freqüência cumulativa de uma classe: é a soma da frequencia daquela

classe com a de todas as classes anteriores. A frequencia cumulativa da última classe é igual ao tamanho da amostra n.

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Prof. Dr. Alysson Steimac her . Dr. Alys son Stei macher 0,17 0,30 0,27 (5 / 30) = 0,17 (3 / 30) = 0,10 Freqüência relativa ( f / n) 120,5 108 96,5 84,5 72,5 Ponto médio (67 + 78)/2 5 9 8 5 3 f 30 115-126 25 103-113 16 91-102 8 79-90 3 67-78 Freqüência cumulativa Classe

Definições importantes

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Gráficos das distribuições

de freqüência

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Histograma de freqüência

é um gráfico de barras que representa a distribuição de freqüência de um conjunto de dados. Um histograma possui as seguintes propriedades: 1 – A escala horizontal é quantitativa

2 – A escala vertical mede as freqüências das classes

3 – Barras consecutivas devem estar encostadas umas as outras Como as barras de freqüência devem se encostar elas começam e terminam na fronteira das classes, e não nos limites das classes.

Fronteira das classes são os números que separam as classes sem deixar uma falha entre elas.

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Prof. Dr. Alysson Steimac her . Dr. Alys son Stei macher 126,5 114,5 102,5 90,5 78,5 66,5 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5 9 8 5 3

Tempo na internet

minutos 5 9 8 5 3 f 114,5–126,5 115-126 102,5–114,5 103-113 90,5–102,5 91-102 78,5–90,5 79-90 66,5–78,5 67-78 Fronteiras Classe

Para determinar a fronteira de classe encontre a média do valor entre o

limite inferior da segunda classe e o limite superior da primeira classe. Subtraia este valor da fronteira inferior da primeira classe e some ao valor superior da primeira classe e assim sucessivamente para as outras classes.

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Para traçar um polígono de freqüência marque o ponto médio no topo de cada barra. Conecte os pontos médios consecutivos. Estenda o polígono até os eixos.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5 9 8 5 3

Tempo na internet

minutos

72,5 _84,5 96,5 _108,5 _120,5

Polígono de freqüência

é um gráfico em forma de linha que enfatiza a mudança contínua nas freqüências.

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Apresenta em sua escala vertical as freqüências relativas.

Tempo na internet

minutos

Freqüência

relativa

0,30 0,20 0,10 0,10 0,17 0,27 0,30 0,17 66,5 78,5 90,5 102,5 114,5 126,5 0

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Um gráfico de freqüência cumulativa (ou ogiva) mostra o número de valores, em um conjunto de dados, que são iguais ou inferiores a um dado valor x. 0 3 8 16 25 30 66,5 78,5 90,5 102,5 114,5 126,5 0 10 20 30

Freqüência

cumulativa

minutos

Tempo na internet

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Prof. Dr. Alysson Steimac her . Dr. Alys son Stei macher 102 124 108 86 103 82 71 104 112 118 87 95 103 116 85 122 87 100 105 97 107 67 78 125 109 99 105 99 101 92

Diagrama de tronco e folhas

é similar ao histograma, mas com a vantagem de que o gráfico ainda contém os valores dos dados originais.

Se o valor mais baixo é 67 e o mais alto é 125,

o tronco vai de 6 a 12.

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Prof. Dr. Alysson Steimac her . Dr. Alys son Stei macher 102 124 108 82 103 85 71 104 112 118 86 95 103 116 87 122 87 100 105 97 107 67 78 125 109 99 105 99 101 92

Diagrama de tronco e folhas

6 | 7 7 | 1 8 8 | 2 5 6 7 7 9 | 2 5 7 9 9 10 | 0 1 2 3 3 4 5 5 7 8 9 11 | 2 6 8 12 | 2 4 5 Chave: 6|7 significa 67 tronco folhas

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Prof. Dr. Alysson Steimac her . Dr. Alys son Stei macher 6 | 6 | 7 7 | 1 7 | 8 8 | 2 8 | 5 6 7 7 9 | 2 9 | 5 7 9 9 10 | 0 1 2 3 3 4 10 | 5 5 7 8 9 11 | 2 11 | 6 8 12 | 2 4 12 | 5 Chave: 6|7 significa 67 Dígitos da 1a _{linha 0 1 2 3 4} Dígitos da 2a _{linha 5 6 7 8 9} Dígitos da 1a _{linha 0 1 2 3 4} Dígitos da 2a _{linha 5 6 7 8 9}

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Plote de pontos

Em um plote de pontos cada entrada é desenhada, usando um ponto ●

sobre um eixo horizontal.

Um plote de pontos permite que se veja como os dados estão distribuídos e se determinem entradas específicas de dados.

66

76

86

96

106

116

126 minutos/mês na Internet

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Diagrama de Pizza

tem a forma de um círculo que mostra as relações das partes como um todo.

Para encontrar o angulo central para uma entrada de dados multiplique 3600 _{pela frequência relativa da entrada de dados.}

O orçamento da Nasa (em bilhões de dólares) dividido em

três categorias

Construa um diagrama de pizza para esses dados.

Vôo espacial humano

5,7

Tecnologia

5,9

Apoio às missões

2,7

Bilhões de US$

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Orçamento da Nasa

(em bilhões de dólares)

Vôo espacial humano

40%

Total

Bilhões de US$

Vôo espacial humano

5,7

Tecnologia

5,9

Apoio às missões

2,7

14,3

Graus

143

149

68

360

Apoio às missões 19% Tecnologia 41% 5,7 14,3 5,9 14,3

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Diagrama de Pareto

é um gráfico de dados qualitativos no qual a altura de cada barra representa a freqüência ou a freqüência relativa. É frequentemente usado no contexto de negócios.

Exemplo: Recentemente uma industria varejista perdeu 45 milhões de dólares de seus ativos. Os dados das perdas são mostrados na tabela abaixo: 2,9 fraudes nas vendas 14,7 assaltos a lojas 15,6 furtos de funcionários 7,8 administrativas Valores (em milhões) Causas

Se você fosse o varejista qual causa escolheria para atacar primeiro?

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 administrativas furtos de funcionários assaltos a lojas fraudes nas vendas M il h õe s de d ó la re s

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Gráficos de conjuntos de dados

emparelhados

Se dois conjuntos de dados têm o mesmo número de entradas e cada entrada do primeiro corresponde a uma entrada do segundo, eles são chamados de conjuntos de dados emparelhados.

Uma maneira de fazer o gráfico de dados emparelhados é usar um mapa de dispersão.

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é um plote dos pares (x,y) de dados sendo a horizontal o eixo x e a vertical o eixo y.

Exemplo:

Na tabela abaixo temos a duração do vínculo empregatício e o salário anual correspondente de dez trabalhadores

28000 3 45100 9 39225 6 41650 7 43000 10 25000 2 27350 4 40000 8 32500 4 32000 5 Salário (R$) Permanência no emprego (anos)

Mapa de Dispersão

2 4 6 8 10 25000 30000 35000 40000 45000

salario (em reais)

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Gráfico da série temporal

Exemplo:

Na tabela ao lado, número de

assinantes de telefones celulares em milhões e o valor médio da conta mensal local.

41.24 86 1999 39.43 69.2 1998 42.78 55.3 1997 47.7 44 1996 51 33.8 1995 56.21 24.1 1994 61.48 16 1993 68.68 11 1992 72.74 7.6 1991 80.9 5.3 1990 89.3 3.5 1989 98.02 2.1 1988 96.83 1.2 1987 Conta média (em reais) Assinantes (em milhões) Ano

é um plote de um conjunto de entradas de dados tomadas a intervalos regulares durante um período de tempo.

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 0 20 40 60 80 100

Assinantes (em milhoes)