Módulo 1 – Conjuntos Noção de conjuntos
A noção de conjuntos em matemática, é a mesma que a noção de conjunto que se tem no dia a dia, ou seja, conjunto, em matemática, é um agrupamento de “coisas” que possuem uma característica em comum.
Exemplo:
Conjunto dos números pares: 0, 2, 4, 6, 8,...
Conjunto dos dias da semana em que uma pessoa pratica natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta- feira.
Um conjunto é formado
por elementos. Entre elementos e conjuntos podemos determinar duas relações. Essas relações serão descritas a seguir.
Relações de Pertinência
Dizemos que se o elemento x está dentro de um conjunto A, então este elemento x pertence ao conjunto A. Matematicamente temos: x A. Mas, se um elemento x não está dentro de um conjunto A, dizemos que este elemento não pertence ao conjunto A. Matematicamente, temos: x
Conjunto universo, unitário e vazio Conjunto universo
Considere a seguinte situação:
Uma empresa de consultoria foi contratada para fazer um estudo sobre a faixa salarial dos funcionários de uma indústria. Para isso, é necessário que a empresa conheça o universo em que ela realizará seu estudo, ou seja, o conjunto ao qual os funcionários pertencem. Esse conjunto pode ser considerado como conjunto universo. Conjunto universo, que indicamos por U, é o conjunto formado por todos os elementos utilizados para estudar uma situação.
Por exemplo, ao resolver a equação x² = 4, considerando como conjunto universo U tal que U é o conjunto dos números naturais, encontramos uma única solução: x = 2
Agora, se considerarmos U como o conjunto dos números inteiros, a equação terá duas soluções:
x = −2 ou x = 2 Conjunto unitário
Considere o conjunto C = {x | x é um número natural primo e par}. Como o único número natural primo e par é o 2, pois os outros números naturais pares são divisíveis por 2, o conjunto C é formado por um único elemento. Chamamos esse conjunto de conjunto unitário. Podemos representar o conjunto C por: C = {2}
Conjunto unitário é o conjunto formado por um único elemento.
Conjunto vazio
Considere o conjunto B = {x | x é um número primo par maior que 5}. Como não existe nenhum número primo par maior que 5, o conjunto B não
possui nenhum elemento. Nesse caso, podemos chamar esse conjunto de conjunto vazio.
Conjunto vazio, cuja notação é Ø ou { }, é o conjunto que não tem elementos.
Representação de um conjunto
Podemos representar os conjuntos utilizando três formas:
• Levando em consideração uma propriedade que todos os elementos do conjunto, e somente eles, verificam;
• Enumerando os elementos;
• Desenhando uma figura (diagrama de Venn).
Exemplos:
Vamos representar de diferentes formas o conjunto A formado pelos elementos 1, 3, 5, 7 e 9:
• Considerando uma propriedade que todos os elementos do conjunto, e somente eles, verificam:
A = { x | x é um número ímpar menor que 10}
(Lemos: “x tal que x é um número ímpar menor que 10”.)
• Enumerando os elementos: A = {1, 3, 5, 7, 9}
• Utilizando o Diagrama de Venn:
Igualdade de conjuntos
Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais (A = B) se e somente se todos os elementos de A também forem elementos de B. Porém, se o conjunto A tem um elemento que não pertence ao conjunto B, dizemos que A é diferente de B (A≠B).
Subconjunto de um conjunto
Dizemos que A é subconjunto do conjunto B se, e somente se, todos os elementos de A pertencem a B.
Exemplo: Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Sendo assim, podemos afirmar que A é subconjunto de B, já que todos os elementos de A, também pertencem a B.
Para indicar a relação entre os conjuntos A e B, usamos a notação: A B(Lemos: “A está contido em B”.)
Como o conjunto A está contido em B, também dizemos que B contém A. Usando notação: B ⊃ A (Lemos: “B contém A”.)
Se um conjunto A não é subconjunto de B, afirmamos que A não está contido em B. Indicamos por:A ⊃ B.
Por exemplo, considere os conjuntos abaixo:
A = {1, 2, 3, 7}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
C = {0}
A ⊄ B C ⊄ B C ⊄ A
Operações com Conjuntos União de conjuntos
Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7} e B = {0, 2, 4, 6}. Unindo em um conjunto C os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao B, temos:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Dizemos que C é o conjunto resultante da união de A e B e indicamos por:
A B = C (Lê-se: “A união B é igual a C”.). Assim, definimos a união de conjuntos como:
Dados dois conjuntos, A e B, a união de A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B.
A B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Intersecção de conjuntos
Considere A = {x | x é um número natural menor que 8} e B = { x | x é um número natural par menor que 10}. Se formarmos um conjunto C com os elementos comuns a A e a B, ou seja, com elementos que pertencem tanto a A quanto a B, obteremos: C = {0, 2, 4, 6}
Dizemos que C é o conjunto resultante da intersecção de A e B e indicamos por:
A B = C (Lemos: “a intersecção de A e B é igual a C, ou A inter B é igual a C”.). Assim, podemos definir a intersecção como:
Dados dois conjuntos, A e B, a intersecção de A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e a B.
A ⋂ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Observação:
Quando A ⋂ B = Ø, dizemos
que A e B são conjuntos disjuntos
.
Diferença de conjuntos Considere os conjuntos:
A = {x | x é um número natural e está entre 20 e 30} e
B = {x | x é um número primo menor que 30}
Podemos formar um conjunto D com os elementos que pertencem ao conjunto A, mas não pertencem a B. Dizemos que o conjunto D é a
diferença entre A e B. Listando os elementos do conjunto D, temos: D = {21, 22, 24, 25, 26, 27, 28}.
Definimos então a diferença de conjuntos, como:
Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.
A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Complementar de um conjunto
Considere agora dois conjuntos, A e B, tais que B ⊂ A. Chamamos de complementar do conjunto B em relação a A o conjunto dado por A − B, que indicamos por .
Assim, podemos definir o complementar de um conjunto como sendo:
Matematicamente, temos:
Observação: O complementar de um conjunto A em relação ao conjunto universo U também pode ser escrito com a notação AC.
Aplicação das operações com conjunto
Em alguns problemas que envolvem a noção de conjuntos, especialmente aqueles que se referem a pesquisas, não importa saber quais elementos pertencem a um ou a outro conjunto, mas sim estabelecer o número de elementos de cada conjunto. Problemas dessa natureza podem ser resolvidos pela aplicação das operações com conjuntos. Vamos analisar o que ocorre com o número de elementos de um conjunto resultante de algumas operações.
No quadro abaixo, considere as seguintes representações:
• A e B são dois conjuntos finitos quaisquer;
• n(A) é o número de elementos do conjunto A;
• n(B) é o número de elementos do conjunto B.
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Naturais
Conjunto dos números naturais: A origem dos números naturais está associada à necessidade de contagem.
O conjunto dos números naturais tem infinitos elementos e é indicado por: {0, 1, 2, 3, …}.
Todo número natural pode ser associado a um ponto da reta.
Para representar o subconjunto dos números naturais sem o zero, utilizamos a notação: {1, 2, 3,...}
Obs.: Em geral, o asterisco junto ao símbolo de um conjunto significa que o elemento zero foi retirado desse conjunto.
No conjunto dos números naturais, são definidas as operações de adição e de multiplicação, nas quais verificamos que quaisquer dois números naturais somados ou multiplicados resultam em um número natural. Mas se efetuarmos a subtração de dois números naturais, nem sempre o resultado será um número natural. Subtraindo, por exemplo, 78 de 73, a diferença será −5, e −5 ∉ .
Conjunto dos Números Inteiros ℤ
Se acrescentarmos os números negativos aos naturais, formamos o conjunto de números ainda maior que o conjunto dos naturais e que recebe do
nome de conjunto dos números
inteiros, representado por:
ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}
Os números inteiros também podem ser representados em uma reta ordenada, assim como a maioria dos conjuntos.
No conjunto dos números inteiros, dizemos que dois números são opostos ou simétricos, quando eles possuem mesmo valor absoluto (desconsiderando o seu sinal) e sinais opostos, por exemplo: 1 e -1 são opostos.
O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros:
⊂ ℤ
Algumas notações especiais:
• Conjunto dos inteiros não nulos: ℤ* = {…, −2,
−1, 1, 2, …}
• Conjunto dos inteiros não negativos: ℤ+ = {0, 1, 2, 3, …}
• Conjunto dos inteiros não positivos: ℤ– = {…,
−3, −2, −1, 0}
Em ℤ, além da adição e da multiplicação, podemos operar livremente com a subtração, porém na divisão entre dois números inteiros nem sempre o resultado será um número inteiro. Daí a necessidade de ampliar o conjunto ℤ.
Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de uma razão 𝑎
𝑏, com a ∈ ℤ e b ∈ ℤ*. ℚ = {x | x = 𝑎
𝑏, a ∈ ℤ e b ∈ ℤ*}
Todo número inteiro pode ser expresso por meio de uma fração, então todo número inteiro também é um número racional, o mesmo acontece para os números naturais, visto que, todo número natural também é inteiro. Pelo diagrama de conjuntos, temos:
Além disso, temos que os números racionais também podem ser representados na forma decimal. Sendo assim, tem-se que os números racionais podem ser escritos como números decimais na forma de um decimal exato ou de uma dízima periódica.
Algumas notações especiais dos subconjuntos de ℚ:
• Conjunto dos números racionais não nulos: ℚ*
• Conjunto dos números racionais não negativos: ℚ+
• Conjunto dos números racionais não positivos:
ℚ–.
Conjunto dos Números Reais
Sabemos que os números racionais podem ser escritos na forma de razão entre inteiros e sua representação decimal pode ser um decimal exato ou uma dízima periódica. Mas há números que não podem ser escritos na forma de fração e sua representação decimal é infinita e não periódica.
Esses números são chamados de números irracionais. Exemplo: √2.
A reunião do conjunto dos números racionais com o dos números irracionais resulta no conjunto dos números reais, representado por R.
Utilizando o diagrama, temos que R é:
Outros subconjuntos de R que têm notação especial são:
• Conjunto dos números reais não nulos: R*
• Conjunto dos números reais não negativos: R+
• Conjunto dos números reais não positivos: R–
Intervalos Numéricos
Representação de subconjuntos por intervalos
Certos subconjuntos de R podem ser representados pela notação de intervalos. A representação pode ser algébrica ou geométrica.
Veja alguns exemplos:
• O intervalo dos números reais entre −4 e 0.
A representação geométrica desse intervalo na reta numérica é:
Observe que, nas extremidades −4 e 0, usou-se uma bolinha aberta (o). Isso significa que os números −4 e 0 não estão dentro do intervalo.
Nesse caso, chamamos o intervalo de intervalo aberto. A representação algébrica desse intervalo pode ser: {x ∈ R | −4 < x < 0} ou ]−4, 0[
A indicação −4 < x < 0 é o agrupamento de x > −4 (portanto, −4 < x) e x < 0.
• O intervalo dos números reais entre 1
3 (inclusive o 1
3) e 1
2.
A representação geométrica desse intervalo é:
Observe que o extremo 1
3 pertence ao intervalo, por isso foi usada uma bolinha fechada (•) no ponto correspondente a esse número. Dizemos, então, que o intervalo é fechado à esquerda.
A representação algébrica desse intervalo pode ser: {y ∈ R | 1
3 ≤ y < entre 1
2 } ou
No entanto, se o intervalo fosse { y ∈ R | 1
3 ≤ y ≤ 1
2 }, ou seja, se os dois extremos pertencessem ao intervalo, diríamos que o intervalo é fechado.
• O intervalo dos números reais maiores que −3.
A representação geométrica desse intervalo é:
A representação algébrica desse intervalo pode
ser: {z ∈ R | z > −3}
ou ]−3, + ∞[. O símbolo ∞ representa infinito.
Nesse caso, dizemos que é uma semirreta aberta de origem em −3.
Agora, se o intervalo fosse {z ∈ R | z ≥ −3}, ou seja, se o −3 pertencesse ao intervalo, diríamos que a representação geométrica é uma semirreta de origem em −3.
Observe o quadro resumo de todas as possibilidades de representação de um intervalo de números reais (consideramos a e b números reais tais que a < b).
Observação:
O intervalo em que aparece +∞ é aberto à direita e o intervalo em que aparece –∞ é aberto à esquerda.
Operações com Intervalos
Vamos analisar como realizar as operações de união, intersecção e diferença com intervalos numéricos utilizando o recurso da representação geométrica.
Exemplos
a. Dados os conjuntos A = {x ∈ R | −3 ≤ x < 2}
e B = {x ∈ R | 0 < x ≤ 8}, determine A ⋃ B. Inicialmente, representamos a união desses conjuntos A e B em retas de números reais, paralelas. Em seguida, representamos a união desses conjuntos em uma terceira reta real paralela às anteriores.
Como o conjunto procurado é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B, temos:
A ⋃ B = {x ∈ R| –3 ≤ x ≤ 8} ou [–3, 8]
b. Dados os conjuntos A = {x ∈ R| –1 ≤ x < 4} e B = {x ∈ R| 2 ≤ x ≤ 7}, determine A ⋂ B.
Inicialmente, representamos os conjuntos A e B. Em seguida, representamos a intersecção desses conjuntos.
O conjunto procurado será o conjunto de todos os elementos que pertencem a A e a B ao mesmo tempo:
A ⋂ B = {x ∈ R| 2 ≤ x < 4} ou [2, 4[
c. Dados os conjuntos A = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ 3}
e B = {x ∈ R | −4 < x ≤ 7}, determine A − B.
Vamos determinar A − B:
Como a operação A − B indica que devemos encontrar o conjunto de todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B, temos:
A − B = {x ∈ R | x ≤ −4 ou x > 7} ou ]−∞, −4] ⋃ ]7, +∞[
Módulo 2 – Função
Função – definição
A ideia de função é encontrada no dia a dia com facilidade e muitas vezes não é levada em consideração, sendo assim, vamos exemplificar situações nas quais podemos identificar a ideia de função.
Consumo: Sabendo que, em certa padaria, o preço do pão integral é R$ 1,81 por unidade, podemos calcular o valor a ser pago em uma compra relacionando duas grandezas: a quantidade de pães comprados e o preço correspondente a essa quantidade. A variável preço está em função da variável quantidade de pães, sendo assim, na medida que aumentar o número de pães, aumenta o preço a ser pago.
Meteorologia: Todos os dias, antes de ir para o trabalho, Luciana consulta a previsão do tempo pela internet. Pelas medições do serviço meteorológico, é possível fazer a relação mensal da temperatura média de uma cidade a cada dia e registrar em uma tabela.
Assim sendo, podemos então definir função da seguinte forma: Dados os conjuntos A e B, uma função definida em A e com valores em B é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é chamado domínio de f e é simbolizado por D(f). B é chamado contradomínio ou campo de valores de f.
Representação:
: A→
x→(x)
Exemplos: Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7}
a) : A→, representado no diagrama abaixo, é uma função de A em B (para cada elemento de A só há um elemento de B):
Domínio de uma Função - D(f)
Quando definimos uma função y=f(x) , o domínio D(f) é o conjunto dos possíveis valores reais assumidos por x. Esses possíveis valores podem estar implícitos ou explícitos:
- Se é dado apenas f(x)=3x + 2, sem esclarecer qual é o domínio, está implícito que x pode ser qualquer número real, ou seja, D(f)=R
- Se é dado f(x)=3x + 2, com 5 < x < 20, está explícito que o domínio da função dada pertence ao conjunto dos número reais entre 5 e 20, ou seja, D(f) = {xR | 5
< x < 20}.
- Se é dado apenas vejamos:
- O domínio D(f) não está explícito;
- Há valores variáveis no divisor;
- Divisão por zero não é definida em R.
Logo, o domínio D(f)={x R | x 4 }, ou seja, x será qualquer número real, com exceção de 4, pois se x = 4, teremos uma divisão por 0. Note que quando x
= 4, o divisor ficará ((2 . 4)-8).
- Se é dado apenas f(x)= , sem explicitar D(f), está implícito que (x-5) pode ser qualquer número real não negativo, ou seja, x-5 0 ou x 5. Logo, D(f)={x R | x 5}
Conjunto Imagem de uma Função - Im(f) O conjunto imagem, ou simplesmente imagem de uma função y=f(x), é o conjunto dos valores de y que estão associados a algum valor de x do domínio da função. A letra x pode assumir qualquer valor do primeiro conjunto e é por isso que é chamada variável independente. A letra y é a variável dependente, pois depende do valor de x.
Exemplos:
Procurando D(f) e Im(f), sendo f(x)= 2x+3, função de A em B, onde:
A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 5, 7, 9,11, 13, 15}
A função f(x) multiplica x por 2 e adiciona 3.
Observe a tabela abaixo:
Veja os diagramas:
D(f) = {1, 2, 3, 4, 5}
Im(f) = {5, 7, 9, 11, 13}
Conjunto B é o contradomínio Im(f) B
No exemplo dado:
5 é a imagem de 1 e pela função, indica-se f(1)=5;
7 é a imagem de 2 e pela função, indica-se f(2)=7;
9 é a imagem de 3 e pela função, indica-se f(3)=9;
11 é a imagem de 4 e pela função, indica-se f(4)=11;
13 é a imagem de 5 e pela função, indica-se f(5)=13.
Gráfico de uma Função
Sendo f uma função, o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, f(x) = y) de um plano cartesiano (plano coordenado) , onde x pertence ao domínio de f.
Exemplos:
O gráfico da função f(x)= 2x+3, consiste em todos os pares (x, y) ou (x, f(x)) R tais que y=2x+3.
Em outras palavras, é a coleção de todos os pares ordenados (x, 2x+3) do plano xy.
Vamos utilizar uma tabela de valores para traçarmos o gráfico:
Estudo do Gráfico no Plano Cartesiano
Observando o gráfico de uma função no plano cartesiano, podemos determinar o seu domínio e a sua imagem da seguinte forma.
No gráfico abaixo temos:
O domínio de uma função é o intervalo expresso pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas. E a imagem é o intervalo expresso pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas.
Para cada x do domínio deve existir em correspondência um único y na imagem.
Este gráfico não representa uma função, pois ao ser projetada uma reta sobre o eixo das abscissas encontra-se o gráfico em dois pontos diferentes. Ou seja, há para o mesmo x dois y correspondentes.
Exemplo: f(-3)=4 e f(-3)=-4 Quando x=-3, temos y=-4 e y=4
Função Crescente e Decrescente a) Função Crescente :
Se A B, então f é crescente em A [x2 > x1 = f ( x2 ) > f ( x1 ) , x1 , x2 A]
Isto é, a um maior valor de x corresponde um maior valor de f(x).
b) Função Decrescente : Se A B
f é decrescente em [A x2 > x1 = f ( x2 ) < f ( x1 ) , x1 , x2 A]
Função Inversa
Denomina-se função inversa da função bijetora f : A→ B a função f-1: B→ A que se obtém trocando de posição os elementos de todos os pares ordenados da função f.
f = {(1, 4) , (2, 5) , (3, 6)} f-1 = {(4,1), (5, 2), (6, 3)}
Observação:
Para se obter a inversa de uma função, devemos proceder da seguinte forma:
- isola-se o x
- troca-se x por y e y por x
O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa.
Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são simétricas em relação à reta y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.
Exemplo:
Dar a inversa da função:
Resolução:
( 5x + 1)y = 2x - 3 5xy + y = 2x - 3 5xy - 2x = - y - 3 x(5y - 2) = - y – 3
x = =
Assim:
Função Constante
Uma função é chamada de função constante quando é do tipo f(x) = k , onde k não depende de x.
Exemplos:
a) f(x) = 5 b) f(x) = -3
Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .
Veja o gráfico a seguir:
Função Composta
Devemos entender que a função composta nada mais é que uma função “dentro” de outra.
Usam-se duas notações para se representar uma composição de funções, ou seja: (1) F(g(x)) (2) Fog.
Cálculo de uma função composta
Para podermos calcular essa composição, devemos começar representando as funções de fora para dentro, ou seja, primeiro a função f(x) e logo em seguida a função g(x), “dentro” da primeira função.
Quando por exemplo, calculamos f(1) na função f(x)
= x + 2, basta substituirmos todas variáveis x pelo valor 1, então teríamos, pelo exemplo f(1) = 1 +2, então f(1) = 3. No caso da função composta é a mesma coisa, a mudança é apenas que ao invés de substituirmos o “x” por algum número, substituímos o “x” por uma função correspondente.
Função Inversa
Devemos entender que a função inversa
“transforma” o que é domínio em imagem e
“transforma” o que é imagem em domínio. Antes de fazermos essa transformação, devemos tomar cuidado para ver se a função é bijetora (injetora e sobrejetora) ao mesmo tempo), pois se não for, não existirá função inversa.
Siga então os passos listados para encontrar a função inversa de dada função: (1) Verifique se a função dada é bijetora (2) Em caso afirmativo, substitua, onde existir “x” na função troque por “y” e vice-versa. (3) Isole o “y” Esses são os passos para se encontrar a função inversa.
A notação para a função inversa é dada a seguir: Função inversa= f-1 Ou seja, a notação da inversa é a função “elevada” a menos 1. Devemos lembrar que a notação f(x) é a mesma coisa que y.
Definição: Dada a função ƒ: A em B, chama-se função inversa de ƒ, indicada por ƒ -1(x), a função ƒ -1 : B em A que associa cada y de B ao elemento x de A, tal que y = ƒ(x).
OBS.:
1) Apenas as funções bijetoras admitem função inversa.
Nota sobre Função Bijetora
Uma função ƒ: A em B é bijetora quando ƒ é sobrejetora e injetora.
Exemplo:
2) Regra Prática para obtenção de uma Função Inversa:
• Trocar ƒ(x) ou a função que está representada por y.
• Trocar x por y e y por x.
• Isolar y para representá-lo como função de x.
• Trocar y por ƒ -1 (x).
Exemplo:
1) Obter a função inversa da função ƒ(x) = 3x – 2.
ƒ(x) = 3x – 2 y = 3x – 2 x = 3y – 2 3y = x + 2 y = (x + 2)/3 ƒ -1 (x) = (x + 2)/3
Módulo 3 - Função Afim
Lei de formação da função afim
A lei de formação da função afim é dada por:
y=f(x)=ax+b com a≠0, pois com a=0 a função seria constante.
Exemplos de função afim:
a) y=2x+3 em que a=2 e b=3 b) y=-12x em que a=-12 e b=0
O que é coeficiente angular (taxa de crescimento)?
Dada uma função f(x)= ax + b, o termo a é denominado de taxa de crescimento ou de coeficiente angular (em caso de gráfico), porque é ele que determina o quanto a função cresce.
Exemplo: Um táxi cobra um valor fixo de bandeirada no valor de R$ 5,20 e a cada quilômetro rodado cobra um valor adicional de R$ 3,00. Determine a função que modela o preço da corrida em função dos quilômetros rodados.
Caso uma pessoa entre no táxi e não ande, o preço da corrida será de R$ 5,20.
Ao andar 1 quilômetro, o preço subirá para R$ 8,20.
Ao andar 2 quilômetros, o preço será de R$ 11,20.
Repare que a taxa de crescimento a cada quilômetro é de R$ 3,00. Logo, a taxa de crescimento da função é 3 e a lei de formação será f(x) = 3x+5,20, onde x é a quantidade de quilômetros rodados.
O que é coeficiente linear?
Dada uma função afim f(x) = ax + b, bé o coeficiente linear da função. Pelo coeficiente linear, é possível determinar onde o gráfico da função afim intersecta, ou seja, toca o eixo das ordenadas (eixo dos y) e isso acontece com o x=0.
Exemplo: f(x) = 3x + 2
A função irá intersectar (tocar) a o eixo das ordenadas no ponto (0,2)
f(0)=3.0+2=2
O gráfico de uma Função Afim
O gráfico da função afim sempre será uma reta e ela pode ser crescente (caso a taxa de crescimento seja
maior que zero – a>0) ou decrescente (caso a taxa de crescimento seja menor que zero – a<0).
Exemplos de gráfico de uma função crescente:
Em uma função crescente quanto maior o x, maior será o f(x).
Exemplos de gráficos decrescente:
Em uma função decrescente quanto maior o x, menor será f(x).
Raiz da função afim
A raiz da função afim ocorre quando f(x)=0. Assim, em uma função f(x)=ax+b, a raiz da função será ax+b=0.
ax=-b x=-b/a
Estudo do Sinal de uma Função Afim Agora como base nestes conhecimentos, já podemos voltar ao tema central desta página.
Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 1° grau nada mais é que identificar para quais valores de x temos f(x) com valor negativo, nulo ou positivo.
Vamos voltar ao gráfico da
função e analisá-lo deste outro ponto de vista.
Para valores de x menores que a raiz, isto é, x < 3, vemos que f(x) < 0, pois estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.
Para valores de x iguais à raiz temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0.
Para valores de x maiores que a raiz, ou seja, x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas.
Generalizando o Estudo da Variação do Sinal de uma Função Afim
Já que para realizarmos o estudo da variação do sinal precisamos conhecer previamente a raiz da função, de uma forma geral, uma função afim definida por , terá a seguinte raiz:
Coeficiente Angular Maior que Zero (a > 0)
Como citado acima, para saber se uma função afim é crescente ou decrescente isto vai depender do seu coeficiente angular (a) ser maior ou menor que zero. Então para a > 0 temos um gráfico crescente que pode ser semelhante a este:
Neste gráfico vemos que f(x) < 0 para valores de x menores que a raiz. Nestas condições o sinal da função é oposto ao sinal de a, já que f(x) < 0 e estamos analisando a situação quando a > 0.
Ao continuar a análise do gráfico vemos que para valores de x maiores que a raiz, temos f(x) > 0, então neste caso a função possui o mesmo sinal de a.
Nem é preciso dizer que para valores de x iguais à raiz temos que f(x) = 0, isto é, a função é nula.
Coeficiente Angular Menor que Zero (a < 0)
Agora vamos analisar a situação quando temos a < 0, a qual representamos através deste outro gráfico:
Podemos notar que quando a < 0 o sinal da função se comporta de maneira oposta ao que tínhamos quando a > 0.
Para valores de x menores que a raiz podemos observar que f(x) > 0, possuindo a função, portanto, sinal oposto ao de a, que é menor que zero.
Já para valores de x maiores que a raiz vemos que f(x) < 0, logo possuindo a função o mesmo sinal de a.
Lembrando que a raiz da
função é , para uma melhor
compreensão dos textos acima, podemos assim resumir estas explicações na seguinte tabela:
a < 0 a > 0 f(x) < 0
f(x) = 0 f(x) > 0
Estudando o sinal da
função , porém através da tabela:
Como a = 3 e, a > 0, utilizaremos os dados a última coluna, além disto foi visto anteriormente que a raiz desta função também é igual a 3.
Vamos reconstruir a tabela substituindo a raiz pelo seu valor 3 e eliminando a coluna a < 0 só para facilitar o entendimento, visto que neste caso a é positivo:
a > 0 f(x) < 0
f(x) = 0 f(x) > 0
Concluindo o estudo da
função , partir da tabela temos que:
• A função é
negativa para .
• A função é nula para .
• A função é
positiva para .
Inequações de 1º grau
Uma inequação é uma expressão que conterá, ao contrário do sinal de igual (=) de uma equação, outros sinais que determinarão uma relação de ordem entre os seus elementos. Geralmente, o conjunto solução de inequações será definido no conjunto dos números Reais. Abaixo as desigualdades e relações de ordem de números Reais:
• Se x≥y, dizemos que x é maior ou igual a y;
• Se x>y, então x é maior do que y;
• Se x≠y, dizemos que x é diferente de y.
Agora, algumas propriedades a respeito das desigualdades:
• Reflexiva: x≥x
• Antissimétrica: x≥y e y≥x⇒x=y
• Transitiva: x≥y e y≥z⇒x≥z
• Compatibilidade com a
Adição: x≥y⇒x+z≥y+z
• Compatibilidade com a
Multiplicação: x≥y e z≥0⇒xz≥yz
Exemplo:Tomemos agora x, y, z e w, quaisquer números Reais e vamos descobrir se há uma relação de ordem entre eles dados x≤y e z≤w.
Pela compatibilidade com a adição podemos dizer que:
x≤y⇒x+z≤y+z z≤w⇒y+z≤y+w
Agora, pela propriedade transitiva temos:
x+z≤y+zy+z≤y+w}⇒x+z≤y+w Concluindo:
x≤yz≤w}⇒x+z≤y+w
Resolvendo inequações do primeiro grau
Exemplo: Resolver a inequação: 3x+4<x−8, inicialmente solucionamos como uma equação do primeiro grau comum, isolando as variáveis conservando a regra de sinais:
3x−x<−4−8 2x<−12 x<−122 x<−6
Dessa forma, o conjunto solução da equação será:
S={x∈R:x<−6}
A solução também pode ser escrita na notação de intervalos reais ou representado na reta real como:
S=]−∞,−6[
Exemplo: Agora, note a solução da inequação 3x+4≤7x−8:
3x−7x≤−4−8
−4x≤−12
Pode-se perceber que neste ponto, ambos os lados da desigualdade estão negativos.
Convenientemente, podemos trocar o sinal de ambos os lados da igualdade multiplicando toda a expressão por (-1), essa relação é garantida pelo princípio multiplicativo das equações e inequações.
Porém, numa inequação (ou seja, desigualdade), quando invertemos o sinal de toda a expressão, também invertemos a desigualdade, o que nos leva a:
4x≥12 x≥124 x≥3
Escrevendo então o conjunto solução desta equação nas três possíveis representações temos:
S={x∈R:x≥3}
S=[3,+∞[
Sinais de inequações
Estudar sinais de inequações permite saber todas as possibilidades para determinar o valor de variáveis em uma expressão. Veja os exemplos abaixo:
Exemplo: Estudar o sinal da expressão x-4.
Perceba que esta expressão não está definida em uma igualdade ou desigualdade. Podemos dizer então que existem três possibilidades, são elas:
• x−4>0⇒x>4
• x−4<0⇒x<4
• x−4=0⇒x=4
Escolhendo valores maiores, menores ou iguais a 4, vemos que o seu sinal sofrerá mudanças à medida que variarmos o valor de x. Supondo que escolha um valor de x que seja menor do que 4, por exemplo, 3.
Pela expressão teríamos:
x−4⇒3−4=−1
Então, para qualquer valor menor do que quatro, o resultado da expressão será sempre um número negativo. Agora um valor maior que 4, pode ser o 5:
x−4⇒5−4=1
Qualquer valor maior do que 4 a expressão resultará sempre em um número positivo. E se o valor de x fosse 4, teríamos o zero:
x−4⇒4−4=0
Por fim, se analisarmos o resultado obtido pelo nosso estudo de sinal na reta real, chegaríamos à seguinte representação:
O que significa que qualquer valor à direita da reta sempre nos retornaria um valor positivo, à esquerda valores negativos e quando x for 4 a expressão será igual a zero.
Exemplo: Existem algumas inequações onde, para obtermos uma solução, é necessário estudar o comportamento do sinal. Vamos solucionar a inequação 3x+1x−5>0:
Como esta inequação está na forma de uma fração, devemos inicialmente estudar o sinal dos dois termos separadamente assim como fizemos no exemplo 4 e depois comparar as análises com a inequação completa:
Como a nossa inequação originalmente era 3x+1x−5>0 vemos que após o estudo do sinal, nossa solução não estará entre −13 e 5, pois neste intervalo qualquer valor de x terá valor negativo.
Substituindo o valor de x na equação original por −13 temos:
3⋅(−13)+1−13−5=0−13−5=0
A nossa inequação originalmente dizia quer o valor da expressão deve ser maior do que zero, logo −13não estará contido no nosso conjunto solução. Vamos agora substituir por 5:
3⋅(5)+15−5=160=∄
Então, 5 também não estará contido no intervalo do conjunto solução. Por fim, a solução para esta equação será:
S={x∈R:x<−13 ou x>5}
S=]−∞,−13[∪]5,+∞[
Módulo 4 – Função quadrática Função Quadrática
Função quadrática ou função do segundo grau é uma aplicação F de → que associa a cada x o elemento (ax² + bx + c) ∈ , em que a, b e c são números reais dados e a ≠ 0. Pois se a = 0, não teremos mais uma função quadrática e sim uma função afim: y = bx +c.
O que é função?
Sendo A e B conjuntos não vazios, uma relação F de A → B (lê-se A em B) é denominada aplicação de A – domínio, conjunto de partida – em B – contradomínio, conjunto de chegada –, ou função definida em A com imagens em B se para todo x ∈ A existe um só y ∈ B, tal que (x,y) ∈ F.
Exemplos de funções quadráticas:
2x² + 5x + 7, em que a = 2, b = 5 e c = 7.
-x², em que a = -1 e b = c = 0.
x² + x + 1, em que a = b = c = 1.
6x² + 5, em que a = 6, b = 0 e c = 5.
Gráfico da Função Quadrática
O gráfico da função quadrática é uma parábola (isso será provado em Geometria Analítica):
Concavidade
A parábola representativa da função quadrática pode ter sua concavidade voltada para cima ou para baixo. Isso dependerá do sinal de a:
• Se a > 0, a concavidade será voltada para cima.
• Se a < 0, a concavidade será voltada para baixo.
Zeros da Função Quadrática
Os zeros ou raízes da função são os valores de x
para os quais .
Utilizando a forma canônica temos:
i)
ii) Mas sabemos que , então:
Portanto:
Observemos que, para existir raízes reais na equação do segundo grau, precisamos que seja real. Logo, temos três casos:
i) e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e distintas, que
serão: .
ii) e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e iguais, que serão: . iii) e sabemos que, neste caso, , portanto, diremos que a equação não apresentará raízes reais.
Interpretando geometricamente, os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x.
Máximo e Mínimo
Sendo o conjunto imagem, dizemos que é o valor de máximo da função se, e somente se, para
qualquer . E então, o
número , sendo o conjunto
domínio, é chamado de ponto de máximo da função.
Dizemos que é o valor de mínimo da função se, e somente se, para
qualquer . E então, o
número é chamado de ponto de mínimo da função.
Sucintamente, podemos dizer que:
i) Se , a função quadrática admite o valor
máximo .
ii) Se , a função quadrática admite o valor
mínimo .
Vértice da Parábola
O ponto é chamado vértice da parábola.
Estudo do Sinal de uma Função Quadrática Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 2° grau é identificar para quais valores de x temos f(x) com
valor negativo, nulo ou positivo.
Vamos analisar novamente o gráfico da
função :
• Para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas.
• Para x = 1 ou x = 3 temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0.
• Para x > 1 e x < 3 vemos no gráfico que f(x) < 0, visto que estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.
Então para a
função temos que:
• A função é
negativa para
.
• A função é
nula para
.
• A função é
positiva para
.
A representação também pode ser assim realizada:
• •
•
Módulo 5 – Função modular Módulo de um número real
O módulo ou valor absoluto de um número real r, que é representado por |r| é considerada igual a r se r ≥ 0 e igual a – r se r ≤ 0.
Exemplo: |2| = 2 𝑒 |−2| = −(−2) = 2 Em resumo, temos:
|r| = r, se r ≥ 0
|r| = – r se r ≤ 0.
Propriedades envolvendo módulos
1ª propriedade: Para todo r R, temos que |r| = | − r|
2ª Propriedade: Para todo x R, temos que |x²| =
|x|2 = 𝑥². Daqui, podemos concluir que: √x² = |x|
3ª propriedade: Para todo x e y R, temos que
|x . y| = |x| . |y|
4ª propriedade: Para todo x e y R, |x + y| ≤ |x| + |y|
5ª propriedade: Para todo x e y R, ||x| − |y|| ≤ |x − y|
Valor de x a partir do módulo de x
• |x| = 0 → 𝑥 = 0
• Não existe x R, tal que o |x| = a com a < 0.
• |x| = a e a >0 → x = a ou x = - a.
Distância entre dois pontos na reta real
Na reta, se a é a coordenada do ponto A e b é a coordenada do ponto B, a distância entre A e B pode ser escrita como |a − b| ou |b − a| que são iguais.
Equação modular
Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita.
Exemplos de equações modulares:
|x| = 7
|x + 6| = x + 6
|x – 3| + 4x = 7
|x + 2| = 4
Formas de resolução Exemplo 1
|x + 2| = 4 Condições:
x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4 Resolução:
x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2 x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6 S = {–6; 2}
Exemplo 2
|4x – 8| = x + 1
Condições:
|4x – 8| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1.
|4x – 8| = x + 1
4x – 8 = x + 1 ou 4x – 8 = – (x + 1) Resolução:
4x – 8 = x + 1 → 4x – x = 1 + 8 → 3x = 9 → x = 9/3 → x = 3
4x – 8 = – (x + 1) → 4x – 8 = – x – 1 → 4x + x = – 1 + 8
→ 5x = 7 → x = 7/5
Verifique que x = 3 e x = 7/5, satisfazem a condição x ≥ – 1, portanto o conjunto solução é {7/5; 3}
Exemplo 3
|x + 1| = |x – 3|
x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (impossível)
x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x
= 2 → x = 1 Solução: {1}
Exemplo 4
|x² – 5x + 6| = 2
x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais)
x’ = 1 e x” = 4
x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais)
Solução: {1,4}
Função Modular
Função é uma lei ou regra que associa cada
elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B de contradomínio. A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação.
De maneira mais formal, podemos definir função modular como:
f(x) = |x| ou y = |x|
A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características:
f(x) = x, se x≥ 0 ou
f(x) = – x, se x < 0
Essas características decorrem da definição de módulo.
Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x|
Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x)
= – x
O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x
“reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica:
A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo.
Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
Solução: pela definição de módulo, temos que:
f(x) = x2 – 3x, se x≥ 0 e
f(x) = – (x2 – 3x), se x<0 Daí, segue que:
x2 – 3x = 0
x = 0 ou x = 3, logo :
Temos também que:
– (x2 – 3x) = 0 x = 0 ou x = 3
Daí, segue que:
Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
Inequação modular
Inequação modular é toda inequação cuja incógnita aparece em módulo. Veja alguns exemplos:
• |x| > 6
• |x| ≤ 4
• |x + 3| > 7
• |4x + 1| ≥ 3
Podemos utilizar as propriedades a seguir para resolver esse tipo de inequação:
• |x| > a → x < – a ou x > a.
• |x| < a → – a < x < a.
• |x| ≤ a → – a ≤ x ≤ a.
• |x| ≥ a → x ≤ – a ou x ≥ a.
• |x – a| ≤ b → – b ≤ x – a ≤ b → a – b ≤ x
≤ a + b
Resolução de inequações modulares
Para resolver os exemplos a seguir, será preciso aplicar as propriedades vistas anteriormente. As resoluções estão feitas a seguir, mas antes disso, tente resolver cada um dos exemplos, sem utilizar da resposta formalizada!
Veja as resoluções a seguir:
• |x| > 6 x < – 6 ou x > 6
S = {x ∈ R | x < – 6 ou x > 6}
• |x| ≤ 4 – 4 ≤ x ≤ 4
S = {x ∈ R | – 4 ≤ x ≤ 4}
• |x + 3| > 7 x + 3 < – 7 ou x + 3 > 7
Se x + 3 < – 7, então:
x < – 7 – 3 x < – 10
Se x + 3 > 7, então:
x > 7 – 3 x > 4
S = {x ∈ R | x < – 10 ou x > 4}
• |4x + 1| ≥ 3 4x + 1 ≤ – 3 ou 4x + 1 ≥ 3 Se 4x + 1 ≤ – 3, então:
4x ≤ – 3 – 1 4x ≤ – 4 x ≤ – 1
Se 4x + 1 ≥ 3, então:
4x ≥ 3 – 1 4x ≥ 2 x ≥ ½
S = {x ∈ R | x ≤ – 1 ou x ≥ ½}
Módulo 6 – Potenciação e função exponencial Potenciação
Potência de um número real com expoente natural
Dado um número real “a” qualquer e um número natural “n” sendo n>1, a potência an é o produto de n fatores iguais ao fator a.
a n = a . a . a . a .... a Exemplos:
a) 5³ = 5 . 5 . 5 b) 4² = 4 . 4
Potência de um número real com expoente inteiro
Os números inteiros dividem-se em inteiros positivos, inteiros negativos e o número zero. Sendo assim, a maneira de calcular as potências quando o expoente é negativo, difere do cálculo para expoentes positivos.
Potência com expoente negativo
Seja x - y uma potência de expoente negativo, o resultado dessa operação é: o inverso de x elevado a y, em termos matemáticos:
(1/x) –y. Exemplos:
a) b)
Definições
Todo número elevado à zero é igual a um a0=1
Potência com expoente 1
Qualquer número, elevado a 1 será igual a ele mesmo. De modo geral: a¹=a
Toda potência de base 1 é igual ao próprio 1.
Nas potências com base 1, dados por 1n, sendo n pertencente aos reais, não importa o valor de "n", será sempre 1.
1n =1
Potências com base igual a 0
Toda potência com base igual a 0, 0n, sendo o expoente n >0, será igual a zero.
0n = 0 Propriedades de Potência
Produto de Potências de mesma base: No produto de potências de mesma base, repete-se a base e soma-se os expoentes.
Exemplo: 2³ . 2² = 23+2 = 25.
Quociente de Potências de mesma base: No quociente de potências de mesma base, repete-se a base e subtrai-se os expoentes.
Exemplo: 2³ . 2² = 23-2 = 21.
Potência de Potência: Nos casos em que há uma potenciação elevada a um outro expoente, existem duas situações que devem ser analisadas.
1ª situação: Caso em que a primeira potência está separada da segunda por parênteses.
Exemplo: (3²)³ - Nesses casos, resolve-se primeiro a primeira potência para que assim, possa-se resolver a potência externa aos parênteses. Assim, 3² = 3 . 3 = 9 e 9³ = 9 . 9 .9 = 729. Mas há uma outra maneira de resolver estes tipos de potências, basta que se multiplique o expoente de dentro do parêntese pelo expoente que está fora. Desse modo, temos: (3²)³ = 36 = 3. 3. 3. 3. 3. 3 = 729.
2ª situação: Caso a primeira potência não esteja separada por parênteses da segunda, elevamos primeiro os expoentes um ao outro, e depois resolvemos a potência com a base inicial. Potência de uma multiplicação: A multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um dado expoente é igual a multiplicação desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente:
Exemplo: (a . b)n = (an . bn)
Potência de uma divisão: A divisão de dois fatores elevados a um dado expoente é igual a divisão desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente.
Exemplo:
Potência de base 10
Na potência de base 10 algumas definições são importantes:
1ª: O número de zeros na potência é igual ao valor do expoente.
Exemplo: 10² = 100; 10³ = 1000.
2º: Quando a potência possui expoente negativo, o resultado será um número decimal, onde o número de zeros a esquerda do 1, é igual ao valor absoluto do expoente.
Exemplo: 10 -1 = 0,1; 10 -2 = 0,01; 10 -3 = 0,001 3º: Quando se multiplica um número decimal por 10, 10², 10³, ..., a vírgula do número decimal se desloca para a direita, ou seja, o valor desse número tende a aumentar.
Exemplo: 0,65 . 10 = 6,5; 7,6 . 10² = 7,6 . 100 = 760,0 4º: Quando se multiplica um número decimal por uma potência de base 10, porém com expoente negativo, o produto será também um decimal, e a vírgula, desloca-se para a esquerda, ou seja, o valor desse número diminuirá.
Exemplo: 45,8 . 10-1 = 45,8 . 1/10 = 45,8/10 = 4,58.
Notação científica
Em notação científica, um dos fatores é um número maior ou igual a 1 e menor ou igual a 10 e o outro fator é uma potência de 10.
Equação exponencial
Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente.
Exemplos de equações exponenciais:
3x =81 (a solução é x=4) 2x-5=16 (a solução é x=9)
16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1)
32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1).
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:
1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base;
2º) aplicação da propriedade:
Exemplo: 3x=81
Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x
= 34. Logo, x=4.
Função exponencial
Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.
A função f:IR→IR+ definida por f(x)=ax, com a
IR+ e a1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).
Gráfico cartesiano da função exponencial Temos 2 casos a considerar:
➔ quando a>1;
➔ quando 0<a<1.
Acompanhe os exemplos seguintes:
Exemplo 1: y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
x -2 -1 0 1 2
y 1/4 1/2 1 2 4
Exemplo 2: y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
x -2 -1 0 1 2
y 4 2 1 1/2 1/4
) 0 e 1 (
=
= a m n a a
a
m nNos dois exemplos, podemos observar que:
• o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;
• o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);
• os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+. Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
a>1
f(x) é crescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1 y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)
0<a<1
f(x) é decrescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)
Inequações exponenciais
Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente.
Exemplos de inequações exponenciais:
) 3 x 2 para satisfeita é
(que 0 3125 150.5
- 25 4)
-3) x para satisfeita é
(que 5
4 5 4 3)
real) x todo para satisfeita é
(que 2 2 2)
) 4 x é solução (a
81 3 1)
x x
3 x
1 x 2 - 2x x
2
+
−
−
Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
2º) aplicação da propriedade:
a>1 0<a<1 am > an m>n
(as desigualdades
têm mesmo
sentido)
am > an m<n (as desigualdades têm sentidos diferentes)
Exercício resolvido:
negativos) (reais
IR S Portanto
0 x 4 4
: obtemos 1,
que maior é (4) base a Como
. 4 4 1 4 Porém,
1 4 daí, e 11 4 . 11 - 11 4 ).
16 4 1 (
: seja ou , 11 4 . 16 4 . 4 4
: temos 4 por lados os ambos ndo Multiplica
4 . 4 11 . 4 4 4
4 escrita ser pode inequação A
: Resolução
4 4 11 4 4 ) 1
- 0
x
0 x x
x x
x x x x
x x x 1
x x 1 x
=
−
−
− +
−
− +
−
− +
−
−
+ +
−
Módulo 7 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA Introdução
A função f:IR+→IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais).
Gráfico cartesiano da função logarítmica Temos 2 casos a considerar:
➔ quando a>1;
➔ quando 0<a<1.
Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso:
y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
X 1/4 1/2 1 2 4
Y -2 -1 0 1 2
y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
x ¼ 1/2 1 2 4
y 2 1 0 -1 -2
Nos dois exemplos, podemos observar que
• o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;
• o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1;
• y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
a>1
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1 y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)
0<a<1
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)
Equações logarítmicas
Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.
Exemplos de equações logarítmicas:
• log3x=5 (a solução é x=243)
• log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2)
• log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4)
• logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3) Alguns exemplos resolvidos
1) log3(x+5) = 2 Resolução:
Condição de existência: x + 5 > 0 => x > -5
log3(x+5) = 2 => x + 5 = 32 => x = 9 - 5 => x
= 4
Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S={4}.
2) log2(log4 x) = 1 Resolução:
Condição de existência: x > 0 e log4x > 0 log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então:
log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x = 16
Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o conjunto solução é S={16}.
3) Resolva o sistema:
=
−
= +
1 y log . 2 x log . 3
7 y log x log
Resolução:
Condições de existência: x>0 e y>0 Da primeira equação temos:
log x+log y=7 => log y = 7-log x
Substituindo log y na segunda equação temos:
3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 =>
5.log x = 15 =>
=> log x =3 => x=103
Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos:
log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 =>
y=104.
Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto solução é S={(103;104)}.
Inequações logarítmicas
Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.
Exemplos de inequações logarítmicas:
1) log2x > 0 (a solução é x>1)
2) log4(x+3) 1 (a solução é –3<x1)
Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base;
2º) aplicação da propriedade:
a>1 0<a<1
logam > logan m>n>0 (as desigualdades têm mesmo sentido)
logam > logan 0<m<n (as desigualdades têm sentidos diferentes)
Módulo 8 – Sequência e Progressões Sequências numéricas
A ideia de sequências e/ou sucessões numéricas, acontecem diariamente na vida e dessa forma, torna-se importante que a noção matemática seja apresentada.
Temos, como exemplo de sucessão ou sequências, os seguintes casos:
• A sequência dos dias da semana;
• A sequência dos números inteiros;
• A sequência de meses do ano;
Nessas situações supracitadas, observamos sempre que para a formação desses conjuntos, obedecemos uma ordem de elementos. Esses elementos são chamados de termos de uma sequência.
Se representarmos, por exemplo, a sequência dos meses do ano, teremos os seguintes termos: (Janeiro, fevereiro, março, abril, ..., dezembro).
Os termos de uma sequência, receberão a nomenclatura de an, onde cada n representará a posição do termo na sequência dada.
Assim temos: a1 = janeiro; a2 = fevereiro ...
Definição: Uma sequência finita de n termos é uma função cujo domínio é o conjunto numérico:
{1, 2, 3, ..., n}. Os números do contradomínio são indicados por a1, a2, ...
Uma sequência infinita é uma função f cujo domínio é N* = {1, 2, 3, ..., n, ...}.
Determinação de uma sequência
Algumas sequencias são dadas por regras ou leis matemáticas, chamadas de leis de formação, que determinam a explicitação dos seus termos a partir dela.
Exemplo: A sequência de termo geral an = 2n – 1 com n pertencendo a N*. Temos:
A1 = 2 . 1 – 1 = 1; A2 = 2 . 2 – 1 = 3; A3 = 2 . 3 – 1 = 5. ...
Progressão aritmética (PA)
Definição: é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada de razão da progressão e é representada pela letra r.
Exemplos: 1. A sequência {2, 7, 12, 17...} é uma progressão aritmética infinita de razão 5, em que A1
= 2 e r = 5.
2. A sequência {20, 10, 0, -10, -20} é uma P.A de cinco termos onde o 1º termo é A1 = 20 e a razão é r = -10.
Fórmula do termo geral de uma PA.
Em uma progressão aritmética (a1, a2, a3, ..., an, ...) de razão r, partindo do 1º termo, para avançar um termo basta somar r ao 1º termo (a2 = a1 + r) para avançar dois termos tem-se que somar 2r ao primeiro termo (a3= a1+2r) e assim sucessivamente.
