FUNÇÕES POLINOMIAIS FUNÇÃO POLINOMIAL

FUNÇÃO POLINOMIAL

1 O termo ∑ ∑ ⋯ ∑^𝑚_𝑖 ^𝑛 𝑎_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛}𝑥₁^𝑖1 ∙ 𝑥₂^𝑖2 ∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑖𝑛

𝑛=0 𝑚₂

𝑖₂=0 𝑚₁

𝑖₁=0 é chamado de polinomial.

2 Um subconjunto 𝑓 ⊆ ℝ^𝑛 × ℝ é chamado de função polinomial de n variáveis reais a valores reais, se existir uma polinomial com termos 𝑎_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛} em ℝ tal que

𝑓 = {((𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) , ∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛}𝑥₁^𝑖1 ∙ 𝑥₂^𝑖2 ∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑖𝑛

𝑚_𝑛

𝑖_𝑛=0 𝑚₂

𝑖₂=0 𝑚₁

𝑖₁=0

) : (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) ∈ ℝ^𝑛}.

31 ago. 19 ESCOLA DE MATEMÁTICA https://www.escoladematematicapontal.com.br/livraria-online/

FUNÇÕES POLINOMIAIS

1) Função Polinomial

2) Grau, domínio e imagem 3) Limites

Notação. 𝑥 = (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)

3 O grau de uma função 𝑓 ⊆ ℝ^𝑛 × ℝ polinomial de n variáveis reais a valores reais, denotado por 𝜕(𝑓), será o maior número 𝑚 tal que (∃(𝑙₁, 𝑙₂, … , 𝑙_𝑛)) ((𝑎_{𝑙1𝑙2⋯𝑙𝑛} ≠ 0) ∧ (∑^𝑛_𝑗=1𝑙_𝑗 = 𝑚)).

Exemplo 1. 𝑓 = {(𝑥, 2𝑥³ + 𝑥 − 1) ∶ 𝑥 ∈ ℝ } é uma função polinomial 𝑓: ℝ → ℝ de uma variável real a valores reais de grau 3.

Exemplo 2. 𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 2𝑥³𝑦 + 𝑥𝑦² − 2) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² } é uma função polinomial 𝑓: ℝ² → ℝ de duas variáveis reais a valores reais de grau 4.

Exemplo 3. 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 2𝑥³𝑦𝑧) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ } é uma função polinomial 𝑓: ℝ³ → ℝ de três variáveis reais a valores reais de grau 5.

Exemplo 4. 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤), 𝑥⁶ + 𝑦⁶ + 𝑧⁶ + 𝑤⁶) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ ℝ⁴ } é uma função polinomial 𝑓: ℝ⁴ → ℝ de quatro variáveis reais a valores reais de grau 6.

DOMÍNIO

4 O domínio de uma função polinomial 𝑓 é o conjunto de todos os elementos do espaço ℝ^𝑛 que se relacionam com um único elemento do conjunto dos números reais; em linguagem formal:

𝐷(𝑓) = {𝑥: (∃! 𝑦)((𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓)}.

Exemplo 1. O domínio da função polinomial 𝑓 = {( 𝑥, 2𝑥³ + 𝑥 − 1) ∶ 𝑥 ∈ ℝ } é 𝐷(𝑓) = ℝ.

Exemplo 2. O domínio da função polinomial 𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 2𝑥³𝑦 + 𝑥𝑦² − 2) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² } é 𝐷(𝑓) = ℝ².

Exemplo 3. O domínio da função polinomial 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 2𝑥³𝑦𝑧) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ } é 𝐷(𝑓) = ℝ³.

Exemplo 4. O domínio da função polinomial 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤), 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² + 𝑤²) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ ℝ⁴ } é 𝐷(𝑓) = ℝ⁴.

IMAGEM

5 A imagem de uma função polinomial 𝑓 é o conjunto de todos os elementos reais que se relacionam com algum elemento do domínio de 𝑓; em linguagem formal:

𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∶ (∃𝑥)((𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓)}.

Exemplo 1. A imagem da função polinomial 𝑓 = {(𝑥, 2𝑥³ + 𝑥 − 1) ∶ 𝑥 ∈ ℝ } é 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.

Exemplo 2. A imagem da função polinomial 𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 2𝑥³𝑦 + 𝑥𝑦² − 2) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² } é 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.

Exemplo 3. A imagem da função polinomial 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 2𝑥³𝑦𝑧) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ } é 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.

Exemplo 4. A imagem da função polinomial 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤), 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² + 𝑤²) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ ℝ⁴ } é 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ⁺.

Algoritmo. A imagem de uma função polinomial de uma variável real a valores reais será

𝐼𝑚(𝑓) = {

{𝑎₀}, se 𝜕(𝑓) = 0 ℝ, se 𝜕(𝑓) é impar (−∞, 𝑓(𝑥_𝑚á𝑥^{𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙})], se 𝜕(𝑓) = 𝑚 é par e 𝑎_𝑚 < 0 [𝑓(𝑥_𝑚𝑖𝑛^{𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙}), +∞), se 𝜕(𝑓) = 𝑚 é par e 𝑎_𝑚 > 0

,

onde 𝑥_𝑚á𝑥^{𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙} e 𝑥_𝑚𝑖𝑛^{𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙} são os pontos de máximo e mínimo globais de 𝑓, respectivamente.

Desafio 1. Determine um algoritmo para a imagem de uma função polinomial de várias variáveis reais a valores reais.

LIMITES

6 Dizemos que o limite da função polinomial 𝑓 existe, quando 𝑥 se aproxima de 𝑥₀, e é igual ao número real 𝐿, se:

𝑥→𝑥lim₀𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ (∃𝐿)(∀𝜀)(∃𝛿)(0 < ‖𝑥 − 𝑥₀‖ < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖).

Escólio. Da fórmula acima notamos que, ambos 𝜖 e 𝛿, devem ser números reais positivos.

Notação. 𝑥 = (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) e 𝑥₀ = (𝑥₁⁰, 𝑥₂⁰, … , 𝑥_𝑛⁰)

Exemplo 1. O limite da função polinomial 𝑓 = {(𝑥, 𝑎₀): 𝑥 ∈ ℝ } constante é sempre a própria constante 𝑎₀.

De fato

𝑥→𝑥lim₀𝑎₀ = 𝑎₀ ⇔ (∀𝜀)(∃𝛿)(0 < ‖𝑥 − 𝑥₀‖ < 𝛿 → 0 = |𝑎₀ − 𝑎₀| < 𝜖).

Neste caso podemos tomar qualquer 𝛿, pois

(∀𝛿)(0 = |𝑎₀ − 𝑎₀| < 𝜖).

Exemplo 2. O limite da função polinomial 𝑓_𝑖 = {(𝑥, 𝑥_𝑖): 𝑥 ∈ ℝ^𝑛 } quando 𝑥 se aproxima de 𝑥₀ será 𝑥_𝑖⁰.

De fato

𝑥→𝑥lim₀𝑥_𝑖 = 𝑥_𝑖⁰ ⇔ (∀𝜀)(∃𝛿)(0 < ‖𝑥 − 𝑥₀‖ < 𝛿 → |𝑥_𝑖 − 𝑥_𝑖⁰| < 𝜖).

Neste caso podemos tomar qualquer 𝛿 ≤ 𝜖, e daí teremos que

((|𝑥_𝑖 − 𝑥_𝑖⁰| ≤ ‖𝑥 − 𝑥₀‖) ∧ (‖𝑥 − 𝑥₀‖ < 𝜖) → |𝑥_𝑖 − 𝑥_𝑖⁰| < 𝜖).

Teorema 1. Se lim

𝑥→𝑥₀𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim

𝑥→𝑥₀𝑔(𝑥) = 𝑀, então:

i) lim

𝑥→𝑥₀(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝐿 + 𝑀. (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) ii) lim

𝑥→𝑥₀(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀.

iii) (𝑀 ≠ 0) → ( lim

𝑥→𝑥₀(^𝑓

𝑔) (𝑥) = ^𝐿

𝑀).

Corolário 1. Se lim

𝑥→𝑥₀𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim

𝑥→𝑥₀ 𝑔(𝑥) = 𝑀, então:

i) lim

𝑥→𝑥₀(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝐿 − 𝑀.

ii) (∀𝑘)( lim

𝑥→𝑥₀(𝑘 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑀).

Exemplo 3. O limite da função polinomial 𝑓_𝑖 = {(𝑥, 𝑥_𝑖^𝑚): 𝑥 ∈ ℝ^𝑛 } quando 𝑥 se aproxima de 𝑥₀ será (𝑥_𝑖⁰)^𝑚.

Prova: Usando o Axioma 5 de Peano para 𝐴 = {𝑛: ( lim

𝑥→𝑥₀𝑥_𝑖^𝑛 = (𝑥_𝑖⁰)^𝑛)} mostremos que 𝐴 = ℕ.

De fato sabemos que:

𝑥→𝑥lim₀𝑥_𝑖 = 𝑥_𝑖⁰. Provemos que

( lim

𝑥→𝑥₀𝑥_𝑖^𝑘 = (𝑥_𝑖⁰)^𝑘) → ( lim

𝑥→𝑥₀𝑥_𝑖^𝑘+1 = (𝑥_𝑖⁰)^𝑘+1).

De fato

( lim

𝑥→𝑥₀ 𝑥_𝑖^𝑘+1 = lim

𝑥→𝑥₀𝑥_𝑖^𝑘 ∙ 𝑥_𝑖 = lim

𝑥→𝑥₀𝑥_𝑖^𝑘 ∙ lim

𝑥→𝑥₀ 𝑥_𝑖 = (𝑥_𝑖⁰)^𝑘 ∙ 𝑥_𝑖⁰ = (𝑥_𝑖⁰)^𝑘+1).

Algoritmo. Se 𝑥 = (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) e 𝑥₀ = (𝑥₁⁰, 𝑥₂⁰, … , 𝑥_𝑛⁰), então

𝑥→𝑥lim₀∑ ∑ ⋯ ∑^𝑚_𝑖 ^𝑛 𝑎_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛}𝑥₁^𝑖1 ∙ 𝑥₂^𝑖2 ∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑖𝑛

𝑛=0 𝑚₂

𝑖₂=0 𝑚₁

𝑖₁=0 = ∑ ∑ ⋯ ∑^𝑚_𝑖 ^𝑛 𝑎_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛}(𝑥₁⁰)^𝑖1 ∙ (𝑥₂⁰)^𝑖2 ∙

𝑛=0 𝑚₂

𝑖₂=0 𝑚₁

𝑖₁=0

⋯ ∙ (𝑥_𝑛⁰)^𝑖𝑛.

Escólio. Esse resultado mostra a continuidade das funções polinomiais!

JOÃO CARLOS MOREIRA