Construindo Gráficos de Outras Funções Trigonométricas
OBJETIVO: Está lição interativa introduz a construção de gráficos de funções tangente, cotangente, secante e cossecante. Os estudantes determinam as assíntotas verticais, as interseções de x, a simetria e o período das funções tangente, cotangente, secante, e cossecante, investigando o domínio, o limite e os intervalos nas quais estas funções são crescentes e decrescentes.
AVALIAÇÃO DOS ESTUDANTES: Os estudantes estarão aptos a (1) determinar as assíntotas verticais a partir dos gráficos das funções tangente, cotangente, secante e cossecante, (2) determinar as interseções de x das funções tangente, cotangente, secante, e cossecante, (3) determinar a simetria dos gráficos das funções tangente, cotangente, secante e cossecante, (4) encontrar os períodos das funções tangente, cotangente, secante, e cossecante, (5) especificar o domínio e o limite das funções secante e cossecante; (6) construir hipóteses com relação ao efeito do trecho vertical dos gráficos das funções secante e cossecante, e (7) determinar se as funções tangente, cotangente, secante, e cossecante são ou não pares, ímpares ou nenhuma delas.
CADERNO DO MATHVIEW : Windows: graph13.the; Macintosh: Graphing Other Trig Functs.
A primeira seção deste caderno do MathView envolve os estudantes na investigação do gráfico das funções tangentes. Os estudantes analisam-na graficamente, encontrando as assíntotas verticais, as interseções de x, o período, e aplicam a fórmula para calcular o período da curva tangente. A segunda seção deste caderno segue o mesmo formato da primeira seção e cria um paralelo com os gráficos das funções cossecantes. na terceira seção os estudantes exploram os gráficos das funções secantes. Adicionalmente encontram as assíntotas verticais, as interseções de y e o período, onde os estudantes também descrevem o comportamento dos gráficos de secantes como crescentes ou decrescentes e encontram o domínio e o limite. A quarta seção deste caderno faz um paralelo com as atividades da terceira seção quando leva os estudantes na exploração do gráfico das funções cossecantes. Na seção final deste caderno os estudantes unem seus conhecimentos sobre os gráficos das funções tangente, cotangente, secante e cossecante para funções pares e ímpares. Eles exploram o efeito de um símbolo de valor absoluto e de um sinal negativo como um coeficiente nos gráficos trigonométricos. Este caderno fornece instruções sobre o uso do “cursor mão” substituição, ajustando o ícone de detalhes gráficos, e usando a operação MathView Linear Graph e o ícone gráfico da palheta f (x).
REQUISITOS DO MATHVIEW: Os estudantes devem possuir experiência na digitação de expressões e na utilização da palheta.
TEMPO DE AULA NECESSÁRIO: dois tempos de 45-55 minutos.
MODELOS NCTM:
Modelo2: Matemática como Comunicação
- refletir sobre idéias e ter pensamentos claros sobre idéias e relacionamentos matemáticos
- expressar generalizações descobertas através de investigações - expressar idéias matemáticas por escrito
Modelo4: Relações Matemáticas
- reconhecer representações equivalentes de mesmo conceito.
- usar e avaliar as relações entre os tópicos matemáticos.
Modelo5: Álgebra
- utilizar gráficos como ferramenta para interpretar equações.
- operar com expressões e resolver equações.
- demonstrar facilidade técnica com transformações algébricas
Modelo6: Funções
- representar e analisar relações usando equações e gráficos.
- alternar entre representações de funções gráficas e simbólicas.
- analisar os efeitos de mudanças de parâmetros sobre os gráficos de funções.
- compreender as operações, as propriedades gerais e o comportamento das classes de funções.
Modelo9: Trigonometria
- aplicar técnicas para a construção geral de gráficos de funções trigonométricas.
Modelo13: Bases Conceituais de Cálculo
- analisar os gráficos de funções transcendentais.
SUGESTÕES PARA O PROFESSOR: Este caderno fornece a maioria dos gráficos na tentativa de maximizar o desenvolvimento de conceitos e a exploração dos estudantes.
Ele usa a capacidade do MathView de construção de funções trigonométricas, adicionando linhas gráficas em janelas gráficas já existentes, e representando gráficos usando cores e estilos de linhas diferentes. Quando os estudantes desenvolverem familiaridade com o MathView, você pode desejar modificar este caderno ou criar outros que incluam oportunidades para os estudantes digitarem e criarem gráficos de suas próprias funções.
Nome: Data:
Caderno do MathView: Construindo Gráficos de Outras Funções Trigonométricas
Pesquisando o Gráfico da Função Tangente
Onde estão as assíntotas verticais para y=tan x, localizada no intervalo de [ -2pi, 2pi ] ?
Quais são as interseções de x para y=tan x no intervalo de [ -2pi, 2pi ] ?______________
O gráfico de y=tan x é simétrico em relação a que?_______________________________
Quantas vezes no intervalo o gráfico da função repete o seu padrão de [ -2pi, 2pi ] ?
Faça uma suposição sobre para qual intervalo de x os valores da função tangente se repetem._________________________________________________________________
Compare os gráfico de y=tan x, y1=tan ( x + pi ) e y2=tan ( x + 2pi ).
Baseado no efeito da constante positiva k sobre o gráfico de y=tan ( x+k ), qual suposição pode ser obtida levando em consideração o período da função tangente?
Identifique as assíntotas verticais no intervalo de [ -pi,pi ] para y4 e y5.________________________
y4______________________________ y5______________________________
Onde estão localizadas as interseções de x no intervalo de [ -pi, pi ] para y3,y4,y5 ?
y3______________________________ y4___________________________________ y5_________________________________
Quantos círculos são completados em um intervalo de tamanho pi para y3,y4, e y5 ?
y3_______________________ y4______________________y5_____________________
Compare o número de ciclos completados no intervalo de tamanho pi com o coeficiente de x em y=tan ( bx ).
Qual é o tamanho de um ciclo ( período ) de y4?_______________ y5?_______________
Qual o período de y9?______________________________________________________
Descreva o efeito do coeficiente a sobre o período e a forma do gráfico de y=a * tan ( x ).
Explique o gráfico de y=tan ( x ) tem o mesmo período que o gráfico de y=tan ( -x ) ou não.
Construa uma hipótese, levando em consideração a relação de y=tan ( –x ).
Pesquisando o Gráfico da Função Cotangente
Onde estão localizadas as assíntotas verticais para y=cot (x) no intervalo de [ -2pi,2pi ]?
Quais são as interseções de x para y=cot (x) no intervalo de [ -2pi,2pi ]?
Quantas vezes o gráfico da função cotangente repete o seu padrão no intervalo [ 2pi,2pi]?
Faça uma suposição sobre para qual intervalo de x os valores da função cotangente se repetem._________________________________________________________________
Quantos ciclos são contemplados no intervalo de tamanho pi para y15 e y16?___________
Compare o número de ciclos completados no intervalo de tamanho pi com coeficiente de x em y=cot ( bx ).
Qual é tamanho de um ciclo ( período ) de y15?_____________ y16?_________________
Explique se o gráfico de y17=cot( x ) tem o mesmo período que o gráfico de y18=cot( -x ).
Descreva como duas curvas periódicas y17 e y18 estão relacionadas.__________________
Pesquisando o gráfico da Função Secante
Onde estão as assíntotas verticais para y20=sec( x ) localizadas no intervalo de [-2pi, 2pi]?
Explique por que as assíntotas verticais para y20sec(x) é simétrico em relação a que ?
O gráfico de y20=sec( x ) é simétrico em relação a que ?
Para a função secante, use a notação de intervalo para descrevê-lo:
a) domínio_______________________ b)limite____________________________
Qual a interseção de y de y20=sec ( x )?
Descreva o comportamento de y20= sec ( x ) como crescente ou decrescente no intervalo especificado.
a)[ 0, pi/2 ]_________________________________________
b)[ pi/2,pi ]_________________________________________
c)[ pi , 3pi/2 ]_______________________________________
d)[ 3pi/2,2pi ]_______________________________________
Quantos ciclos são completados em um intervalo de tamanho 2pi para y25, y26, y27?
y25____________________________________________________
y26_____________________________________________________
y27_____________________________________________________
Compare o número de ciclos completados em um intervalo de tamanho 2pi com o coeficiente de x em y=sec ( bx ).
Qual é o tamanho de um ciclo ( período ) de y26?_____________ y27?________________
Qual é o período de y28?
Baseado no gráfico de y28, qual é o tamanho de um ciclo ( período ) ?
Onde estão as assíntotas verticais de y21=3sec ( x ) ?
Qual suposição pode ser feita sobre o efeito de a em y=a * sec ( x ) no gráfico da função secante?
Investigando o Gráfico da Função Cosecante
Onde estão as assíntotas verticais de y23=cosec (x) localizados no intervalo [ -2pi,2pi ] ?
Explique por que as assíntotas verticais de y23=cosec (x) estão localizados neste local.
________________________________________________________________________
Para a função cosecante, use a notação de intervalo para descrever o :
a) domínio____________________ b) limite____________________________
Qual é a interseção de y em y23=cosec (x) ?
Descreva o comportamento de y23=cosec (x) como crescente ou decrescente no intervalo especificado.
a)[ 0, pi/2 ]_________________________________________
b)[ pi/2,pi ]_________________________________________
c)[ pi , 3pi/2 ]_______________________________________
d)[ 3pi/2,2pi ]_______________________________________
Qual o período de y29, y30, y34 ?
y29________________________________________________
y30________________________________________________
y34________________________________________________
Onde estão as assíntotas verticais de y24=1/2 cosec( x ) localizados no intervalo de [ - 2pi,2pi ] ?
Qual é a interseção de y em y24= cosec (x)?
Qual é a suposição que pode ser feita sobre o efeito de a em y=a * cosec (x) no gráfico da função cosecante?
Aprofundando seus Conhecimentos
Explique se as funções são ou não pares,ímpares ou nenhuma delas:
A) y=tan(x)_______________________ B) y=cot(x)____________________________
C) y=sec(x)_______________________ D) y=csc(x)___________________________
Descreva como obter o gráfico de y=/f (x)/ através do gráfico de y=f (x) para cada uma das funções dadas abaixo.
E) y=tan(x)________________________ F) y=cot(x)___________________________
Descreva como obter o gráfico de y=-f(x) através do gráfico de f(x) para cada uma das funções dadas abaixo.
G) y=sec(x)________________________ H) y=csc(x)__________________________
