Matemática. Exercícios Objetivos: Prismas. Exercícios

Exercícios Objetivos: Prismas

Exercícios

1.

Uma fábrica que trabalha com matéria-prima de fibra de vidro possui diversos modelos e tamanhos de caixa-d’água. Um desses modelos é um prisma reto com base quadrada. Com o objetivo de modificar a capacidade de armazenamento de água, está sendo construído um novo modelo, com as medidas das arestas da base duplicadas, sem a alteração da altura, mantendo a mesma forma. Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é

a) Oito vezes maior.

b) Quatro vezes maior.

c) Duas vezes maior.

d) A metade.

e) A quarta parte.

2.

Com o objetivo de trabalhar com seus alunos o conceito de volume de sólidos, um professor fez o seguinte experimento: pegou uma caixa de polietileno, na forma de um cubo com 1 metro de lado, e colocou nela 600 litros de água. Em seguida, colocou, dentro da caixa com água, um sólido que ficou completamente submerso. Considerando que, ao colocar o sólido dentro da caixa, a altura do nível da água passou a ser 80 𝑐𝑚, qual era o volume do sólido?

a) 0,2 𝑚³ b) 0,48 𝑚³ c) 4,8 𝑚³ d) 20 𝑚³ e) 48 𝑚³

3.

Dois cubos 𝐶1 e 𝐶2 são tais que a aresta de 𝐶1 é igual à diagonal de 𝐶2. Se 𝑉1 e 𝑉2‚ são, respectivamente, os volumes dos cubos de 𝐶1 e 𝐶2, então, a razão 𝑉1/𝑉₂‚ é igual a:

a) √3³ b) √27 c) 1/√27 d) 1/ √3³

4.

O volume de um cubo, em 𝑚³, é numericamente igual a sua área total, em 𝑐𝑚². Assim, a aresta desse cubo, em 𝑐𝑚, é igual a

a) 6 ⋅ 10⁻⁶ b) 5 ⋅ 10⁻⁴ c) 6 ⋅ 10⁴ d) 5 ⋅ 10⁶ e) 6 ⋅ 10⁶

5.

Foram feitas embalagens de presente em forma de prisma regular de altura 𝐻 = 6√3 e base triangular de lado 𝐿 = 8 𝑐𝑚, conforme ilustra a figura a seguir.

Sabendo-se que as embalagens não têm tampa e que o custo para a sua produção, por 𝑐𝑚², é de 𝑅$0,05, o custo total de fabricação de cada unidade é: (considere √3 = 1,7)

a) 𝑅$12,30 b) 𝑅$13,60 c) 𝑅$8,16 d) 𝑅$15,20 e) 𝑅$17,30

6.

A caixa-d’água de uma casa tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui dimensões externas (comprimento, largura e altura) de, respectivamente 4 𝑚, 3 𝑚 e 2,5 𝑚. É necessária à impermeabilização de todas as faces externas dessa caixa, incluindo a tampa. O fornecedor do impermeabilizante informou ao dono da casa que seu produto é fornecido em galões, de capacidade igual a 4,0 litros. Informou, ainda, que cada litro impermeabiliza uma área de 17.700 𝑐𝑚² e são necessárias três demãos de produto para garantir um bom resultado. Com essas informações, para obter um bom resultado no trabalho de impermeabilização, o dono da casa precisará comprar um número mínimo de galões para a execução desse serviço igual a

a) 9 b) 13 c) 19 d) 25 e) 45

7.

No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces 𝐴𝐵𝐶𝐷 e 𝐵𝐶𝐹𝐸 são retângulos de áreas 6 𝑐𝑚² e 10 𝑐𝑚², respectivamente. O volume desse sólido é:

a) 8 𝑐𝑚³ b) 10 𝑐𝑚³ c) 12 𝑐𝑚³ d) 16 𝑐𝑚³ e) 24 𝑐𝑚³

8.

Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo

Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?

a) 8 b) 10 c) 16 d) 28 e) 24

9.

Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a seguir. A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois hexágonos regulares, conforme a figura

Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o volume da peça?

10.

As dimensões 𝑥, 𝑦, 𝑧 de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33 𝑐𝑚 e que a área total do paralelepípedo é igual a 694 𝑐𝑚², então o volume deste paralelepípedo, em 𝑐𝑚³, é igual:

a) 1.200 b) 936 c) 1.155 d) 728 e) 834

Gabarito

1. B

Sendo 𝑎 o comprimento das arestas da base e 𝑏 a altura, pode-se escrever:

𝑉_{𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑜}= 𝑎²⋅ 𝑏

𝑉_{𝑛𝑜𝑣𝑜}= (2𝑎)²⋅ 𝑏 → 𝑉_{𝑛𝑜𝑣𝑜} = 4𝑎²⋅ 𝑏 → 𝑉_{𝑛𝑜𝑣𝑜}= 4 ⋅ 𝑉_{𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑜} 2. A

Volume de água: 600𝐿 = 600𝑑𝑚³= 0,6𝑚³

Volume após o objeto submerso: 1 ⋅ 1 ⋅ 0,8 = 0,8𝑚³. Logo, o volume do objeto submerso é 0,2 𝑚³.

3. B

Sendo 𝑐 a aresta de 𝐶2, a diagonal de 𝐶2 será 𝑑2= 𝑐√3. E, consequentemente, a aresta de 𝐶1 será 𝑐√3. O volume de 𝐶1 será (𝑐√3)³= 3𝑐³√3 e o de 𝐶2 será 𝑐³, assim, a razão entre 𝑉1 e 𝑉2 é:

3𝑐³√3

𝑐³ = 3√3 = √27 4. E

Seja a aresta do cubo 𝑥 𝑐𝑚 = (10⁻²⋅ 𝑥) 𝑚

O volume do cubo será, em 𝑚³: (10⁻²⋅ 𝑥)³= 10⁻⁶⋅ 𝑥³ A área total em 𝑐𝑚² é igual 6𝑥²

6𝑥²= 10⁻⁶⋅ 𝑥³→ 𝑥 = 6 ⋅ 10⁶ 5. B

Como a base do prisma é um triângulo regular, vale que sua altura é:

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 =^𝐿²√3

4 → 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 =^8²√3

4 → 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 16√3 ≃ 16 ⋅ 1,7 = 27,2 𝑐𝑚² Calculando a área das faces laterais:

3𝐴𝑙𝑎𝑡.= 3 ⋅ 𝑏 ⋅ ℎ = 3 ⋅ 8 ⋅ 6√3 = 244,8 𝑐𝑚²

Total = 27,2 + 244,8 = 272 𝑐𝑚². Custo total 272 ⋅ 0,05 = 𝑅$13,60.

6. D

Área que uma lata de 4 litros impermeabiliza: 17.700𝑐𝑚² = 1,77 𝑚² cada litro. Como 1 lata = 4 litros, cada lata pode cobrir o equivalente a 4 ⋅ 1,77 = 7,08𝑚².

Área do paralelepípedo: 𝐴 = (2,5 ⋅ 3) ∙ 2 + (4 ⋅ 3) ∙ 2 + (4 ⋅ 2,5) ∙ 2 = 59 𝑚²

Para garantir um bom resultado é necessário 3 demãos, logo, é necessário a quantidade de produto suficiente para 3 vezes a área do paralelepípedo. Isto é, 3 ⋅ 59 = 177 𝑚².

Como cada lada cobre 7,08 𝑚²→ 25 latas.

8. B

Temos que “𝑎” é aresta do cubo menor e “2𝑎” é aresta do cubo maior, logo, seus volumes são, respectivamente, 𝑎³ e 8𝑎³. Assim, o volume total do reservatório é 9𝑎³. Para encher metade do cubo maior, a torneira levou 8 minutos, desse modo, ela enche em cada minuto ^𝑎₂³. Consequentemente, o tempo, em minutos, para encher a parte que falta desse reservatório é de: ^5𝑎_𝑎3³

2

= 10.

9. E

𝑉 = 𝑉_{𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟}− 𝑉_{𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟}=^{6⋅122⋅√3⋅10}

4 −^{6⋅42⋅√3⋅10}

4 = 1920√3 𝑐𝑚³ 10. C

Os 3 lados em PA poderiam ser assim considerados como sendo (𝑥 − 𝑟), (𝑥) e (𝑥 + 𝑟).

𝑥 − 𝑟 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑟 = 33 → 3𝑥 = 33 𝑥 = 33/3

𝑥 = 11 Área total:

2 ⋅ [(𝑥 − 𝑟)𝑥 + (𝑥 + 𝑟)𝑥 + (𝑥 − 𝑟)(𝑥 + 𝑟)] = 694 (𝑥 − 𝑟)𝑥 + (𝑥 + 𝑟)𝑥 + (𝑥 − 𝑟)(𝑥 + 𝑟) = 694/2 = 347 𝑥² − 𝑟𝑥 + 𝑥² + 𝑟𝑥 + 𝑥² − 𝑟² = 347

3𝑥² − 𝑟² = 347 Fazendo 𝑥 = 11:

3 ⋅ 11² − 𝑟² = 347 3 ⋅ 121 − 𝑟² = 347 𝑟² = 363 − 347 = 16 𝑟 = √16

𝑟 = 4

Portanto, temos:

𝑥– 𝑟 = 11– 4 = 7 𝑥 + 𝑟 = 11 + 4 = 15

𝑉 = (𝑥 − 𝑟)(𝑥)(𝑥 + 𝑟) = 7 ⋅ 11 ⋅ 15 = 1155 𝑐𝑚³