UFPE – MA535 (INTRODU ¸ C ˜ AO ` A MATEM ´ ATICA II) – 2011.1 Transforma¸ c˜ oes lineares e fun¸ c˜ oes multilineares e alternadas do R n em R . O determinante a partir de algumas propriedades suas.
v. 1.0 Prof. Fernando J. O. Souza
Objetivos:
• Dar uma introdu¸c˜ao `as transforma¸c˜oes lineares e `as fun¸c˜oes multiline- ares e alternadas atrav´es do seu estudo limitado ao espa¸co euclidiano R n (com ˆenfase em n ≤ 3) enfatizando-se a determina¸c˜ao dos valores daquelas fun¸c˜oes;
• Chegar `a defini¸c˜ao do determinante (dada em termos de somat´orios e permuta¸c˜oes) de maneira heur´ıstica atrav´es da observa¸c˜ao do formato das fun¸c˜oes que satisfazem algumas das propriedades dele;
• Revisar determinantes de matrizes de ordem at´e 3 e algumas proprie- dades do determinante;
• Utilizar a id´eia de multilinearidade para a compreens˜ao unificada de determinados aspectos comuns a algumas das opera¸c˜oes j´a estudadas ou a serem estudadas (ex.: produto escalar, determinante, mudan¸ca de coordenadas e certas transforma¸c˜oes geom´etricas).
Transforma¸ c˜ oes Lineares do R n . Transforma¸c˜oes lineares s˜ao aquelas fun-
¸c˜oes que preservam combina¸c˜ao linear, isto ´e, fun¸c˜oes que preservam adi¸c˜ao de vetores e multiplica¸c˜ao por escalar. Elas incluem v´arias fun¸c˜oes famosas (a serem estudadas em disciplinas futuras) tais como as dilata¸c˜oes, contra-
¸c˜oes, rota¸c˜oes, proje¸c˜oes, diferentes tipos de reflex˜oes e, mais abstratamente, derivadas e integrais. Diversos aspectos compartilhados por estas opera¸c˜oes podem ser estudados de maneira unificada ao se introduzir o conceito de transforma¸c˜ao linear.
Uma fun¸c˜ao T : R n −→ R m ´e dita uma transforma¸ c˜ ao linear ( “linear
map” ) quando preserva as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de vetores e multiplica¸c˜ao por
escalar no sentido de que, para todos os vetores − → v e − → u do R n , e para todo
escalar r ∈ R , tem-se que:
T ( − → v + − → u ) = T ( − → v ) + T ( − → u ) (1) T (r − → v ) = r T ( − → v ) (2) (Aplicando-se a opera¸c˜ao no dom´ınio, antes da transforma¸c˜ao, ou na imagem, ap´os a transforma¸c˜ao, obt´em-se o mesmo resultado.) Um modo equivalente de se exprimir linearidade ´e combinando-se as duas opera¸c˜oes (como nas C.L.s - combina¸c˜oes lineares), ou seja, para todos k vetores − → v 1 , . . . − → v k do R n e para todos k escalares reais c 1 , . . . , c k , tem-se que:
T (c 1 − → v 1 + · · · + c k − → v k ) = c 1 T ( − → v 1 ) + · · · + c k T ( − → v k ) (3) Investigar-se-´a, a partir de agora, o formato gen´erico de transforma¸c˜oes lineares do R n no R m , dando-se ˆenfase ao caso em que n ≤ 3 e, para efeito de determinantes, m = 1. O(a) leitor(a) ´e familiar com o caso de R em R : T (x) = ax para alguma constante a. Considere-se, agora, um vetor − → v qualquer do R n e suas coordenadas (x 1 , . . . , x n ). Este vetor ´e uma C.L. dos vetores (unit´arios)
e 1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0), e 2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0), · · · , e n = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) os quais, nesta ordem, constituem o que ´e conhecido como base canˆ onica do R n . Em particular, para a reta R , tem-se e 1 = (1) (o vetor − →
01); para o plano R 2 , tem-se e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1); e, para o espa¸co R 3 , tem-se e 1 = (1, 0, 0) = b ı, e 2 = (0, 1, 0) = b , e 3 = (0, 0, 1) = b k. De fato:
−
→ v = (x 1 , . . . , x n ) = x 1 e 1 + x 2 e 2 + · · · + x n e n (4) Em particular, no R 3 , − → v = (x, y, z) = xe 1 + ye 2 + ze 3 .
Agora, aplicando-se uma transforma¸c˜ao linear T : R n −→ R m a − → v , tem- se das equa¸c˜oes (4) e (3), respectivamente, que:
T ( − → v ) = T (x 1 e 1 + x 2 e 2 + · · · + x n e n ) = x 1 T ( e 1 ) + x 2 T ( e 2 ) + · · · + x n T ( e n )
ou seja, o valor de uma transforma¸ c˜ ao linear est´ a determinado
por seus valores nos vetores da base canˆ onica ! Dado um vetor
qualquer do dom´ınio, o valor de T nele ´e dado em termos das coordenadas
dele e dos valores de T nos n vetores da base canˆonica. Estes n valores
s˜ao vetores do R m e, para cada transforma¸c˜ao linear T , eles s˜ao constantes (ou seja, est˜ao fixados) ! Claro, o que se verificou acima foi que, se uma fun¸c˜ao T : R n −→ R m ´e linear, ent˜ao ela ´e da forma abaixo, onde − → a 1 , . . . , − → a n
s˜ao vetores do R m (no caso, dados por − → a = T (e )), e onde T ((x 1 , . . . , x n )) tamb´em ´e escrito como T (x 1 , . . . , x n ):
T ( − → v ) = T ((x 1 , . . . , x n )) = x 1 − → a 1 + x 2 − → a 2 + · · · + x n − → a n (5) Obs. T ((x 1 , . . . , x n )) costuma ser escrito como T (x 1 , . . . , x n ).
Ex.: No caso familiar T : R −→ R , o vetor unit´ario e 1 ´e, simplesmente, o n´ umero (coordenada) 1 e, assim, T (x) = x T (1) = xa = ax.
Ex.: Para uma transforma¸c˜ao linear T : R 3 −→ R , tem-se que cada T (e ) ´e um n´ umero real. Denotem-se tais valores por a = T (e 1 ) = T ((1, 0, 0)), b = T ( e 2 ) = T ((0, 1, 0)) e c = T ( e 3 ) = T ((0, 0, 1)). Tem-se que: T ( − → v ) = T ((x, y, z)) = ax+by+cz. Por exemplo, T ((x, y, z)) = 2x+ 1 3 y−z. Contraste- se isto com T : R 3 −→ R 3 dada por T ((x, y, z)) = x(2e 1 ) + y( 1 3 e 2 ) + z(−e 3 ) = (2x, 1 3 y, −z), que ´e uma combina¸c˜ ao (por composi¸c˜oes de fun¸c˜oes) de uma di- lata¸c˜ ao na dire¸c˜ao x, uma contra¸c˜ ao na dire¸c˜ao y e uma reflex˜ ao na dire¸c˜ao z.
Ex.: T : R 3 −→ R 2 dada por
T ((x, y, z)) = x(1, 2) + y(3, 4) + z(0, 1) = (x + y, 2x + 4y + z).
Ex.: (Este exemplo e o pr´oximo s˜ao estudados com mais detalhes den- tro de outros t´opicos, tais como mudan¸ca de coordenadas e transforma-
¸c˜oes geom´etricas). A rota¸c˜ ao do R 2 pelo ˆangulo de π/2 radianos no sen- tido sinistr´ogiro (anti-hor´ario) leva, respectivamente, e 1 em e 2 , e e 2 em −e 1 . Sabendo-se que rota¸c˜oes com centro na origem s˜ao lineares, tal rota¸c˜ao ´e dada por T ( − → v ) = T ((x, y)) = x e 2 + y(−e 1 ) = x(0, 1) + y(−1, 0), ou seja, T ((x, y)) = (−y, x) (Recomenda-se que o(a) leitor(a) verifique graficamente para alguns vetores).
Ex.: No R 3 , a reflex˜ ao com rela¸c˜ao ao plano yz preserva os vetores e 2 e e 3 , mas manda o vetor e 1 em seu oposto, −e 1 . Ela ´e linear e dada por:
T ((x, y, z)) = x(−e 1 ) + y e 2 + z e 3 = x(−1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) e,
portanto, T ((x, y, z)) = (−x, y, z).
Ex. opcional para os fan´ aticos: A proje¸c˜ ao Π yz sobre o plano yz preserva os vetores e 2 e e 3 , mas projeta o vetor e 1 sobre o vetor nulo − →
0 : Π yz ( − → v ) = Π yz ((x, y, z)) = x − →
0 + y e 2 + z e 3 = (0, y, z).
Por sua vez, a proje¸c˜ ao Π y sobre o eixo Oy preserva e 2 , mas projeta e 1 e e 3 sobre o vetor nulo. Logo:
Π y ( − → v ) = Π y ((x, y, z)) = x − →
0 + y e 2 + z − →
0 = (0, y, 0).
Dada uma fun¸c˜ao com o formato especificado pela Equa¸c˜ao (5), ser´a que ela ´e uma transforma¸c˜ao linear ? Ou ser´a que o conceito imp˜oe restri¸c˜oes adicionais ? Conforme verificado abaixo, n˜ao h´a restri¸c˜oes sobre os vetores
−
→ a de (5). Verificando-se a condi¸c˜ao (1), onde − → u = (y 1 , . . . , y n ):
T ( − → v + − → u ) = T ((x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n )) =
(x 1 + y 1 ) − → a 1 + (x 2 + y 2 ) → − a 2 + · · · + (x n + y n ) − → a n = x 1 − → a 1 + y 1 − → a 1 + x 2 − → a 2 + y 2 − → a 2 + · · · + x n − → a n + y n − → a n =
(x 1 − → a 1 + x 2 − → a 2 + · · · + x n − → a n ) + (y 1 − → a 1 + y 2 − → a 2 + · · · + y n − → a n ) =
= T ((x 1 , . . . , x n )) + T ((y 1 , . . . , y n )) Verificando-se a condi¸c˜ao (2):
T (r − → v ) = T (r(x 1 , x 2 , . . . , x n )) = T ((r x 1 , r x 2 , . . . , r x n )) = (r x 1 ) − → a 1 + (r x 2 ) − → a 2 + · · · + (r x n ) − → a n =
r(x 1 − → a 1 ) + r(x 2 − → a 2 ) + · · · + r(x n − → a n ) = r(x 1 − → a 1 + x 2 − → a 2 + · · · + x n − → a n ) =
= rT ((x 1 , x 2 , . . . , x n )) = r T ( − → v )
Isto poderia ser aplicada aos exemplos geom´etricos acima caso n˜ao se soubesse
que as transforma¸c˜oes envolvidas s˜ao lineares. Mais precisamente, partindo-
se de suas leis de forma¸c˜ao T ((x, y, z)) = · · · (bem conhecidas), manipular-
se-iam estas express˜oes at´e se chegar ao formato especificado pela Equa¸c˜ao
(5), ou seja, ler-se-iam os exemplos de tr´as para frente. Da´ı, com base no que
foi deduzido atrav´es das duas verifica¸c˜oes acima, concluir-se-ia que aquelas
transforma¸c˜oes geom´etricas s˜ao lineares.
Ex.: (O(a) leitor(a) deve escrever casos particulares deste exemplo para n ≤ 3 e m ≤ 3). Dada uma matriz A m×n para servir de matriz de coeficientes para sistemas de equa¸c˜oes lineares, considerem-se as inc´ognitas x 1 , . . . , x n
como coordenadas de um vetor qualquer do R n , representado como o vetor- coluna X n×1 . Aplicando-se A a X, obt´em-se um vetor-coluna AX de tipo m × 1, o qual representa um vetor do R m : AX =
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
... ... ...
a m1 a m2 · · · a mn
x 1
x 2
...
x n
= x 1
a 11
a 21
...
a n1
+ x 2
a 12
a 22
...
a n2
+ · · · + x n
a 1n
a 2n
...
a mn
(6)
Observe-se que cada coluna de A representa um vetor fixado do R m : A
−´esima coluna de A ´e o que se obteria como AX quando X representa e , o −´esimo vetor da base canˆonica do R n !
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
... ... ...
a m1 a m2 · · · a mn
0 ...
0 1 0 .. . 0
=
a 1
a 2
...
a n
Por exemplo:
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
... ... ...
a m1 a m2 · · · a mn
1 0 ...
0
=
a 11
a 21
...
a n1
Da Equa¸c˜ao (5), conclui-se que X 7−→ AX ´e uma transforma¸c˜ao linear do R n no R m . O detalhe ´e que A ´e qualquer matriz de ordem m × n e, portanto, suas n colunas podem representar quaisquer n vetores do R m , ou seja, qual- quer transforma¸c˜ao linear do R n no R m pode ser representada desta forma!
Em suma: Dada uma transforma¸c˜ao linear T : R n −→ R m , formando-se a
matriz de ordem m × n cuja −´esima coluna representa o valor T ( e ) de T
no −´esimo vetor da base canˆonica do R n , codifica-se T completamente, e
se permite seu c´alculo num vetor qualquer do R n de acordo com a Equa¸c˜ao (6). Tal matriz ´e denominada matriz da transforma¸ c˜ ao T com rela¸c˜ao `as bases canˆonicas do R n e R m . O estudo da representa¸c˜ao das transforma¸c˜oes lineares por matrizes toma uma por¸c˜ao consider´avel de um primeiro curso de Algebra Linear, onde constitui um instrumento fundamental. ´
Observe-se que, com essa interpreta¸c˜ao em mente, dizer que um sistema AX = b ´e poss´ıvel ´e dizer que o vetor do R m representado pelo vetor-coluna b pertence `a imagem da transforma¸c˜ao linear X 7−→ AX , ou seja, que ele
´e a imagem de, pelo menos, um vetor X do R n por aquela transforma¸c˜ao.
Por sua vez, dizer dizer que um sistema AX = b ´e determinado implica a injetividade de X 7−→ AX, pois a determina¸c˜ao daquele sistema se traduz na nulidade de A ser nula, o que s´o depende de A (ou seja, da trasnforma¸c˜ao), levando `a determina¸c˜ao de todos os sistemas poss´ıveis cuja matriz de coefi- cientes ´e igual `aquela matriz A. Finalmente, a invertibilidade (como matriz) de A se traduz como a invertibilidade (como fun¸c˜ao) de X 7−→ AX.
Algumas Propriedades do Determinante. O(a) leitor(a) deve recordar as seguintes propriedades dos determinantes, estudadas no Ensino M´edio:
• Se se multiplica uma linha de uma matriz quadrada por um escalar r, o determinante da matriz ´e multiplicado pelo mesmo r;
• Se duas matrizes quadradas A e B diferem apenas por suas −´esimas linhas, ent˜ao a matriz C que difere delas apenas por sua −´esima linha, a qual ´e a soma das −´esimas linhas de A e B , tem determinante dado pelas somas dos determinantes de A e B ;
• Permutando-se duas linhas de uma matriz quadrada, troca-se o sinal do determinante;
• Transpondo-se uma matriz quadrada, n˜ao se altera seu determinante.
Da´ı, as trˆes propriedades acima tamb´em valem ao se substituir “li- nha(s)” por “coluna(s)”;
• O determinante da matriz-identidade (a qual ´e diagonal) ´e igual a 1.
Observe-se que as duas primeiras se parecem muito com linearidade, mas
se aplicam a uma linha particular, fixando-se as outras, embora se tenha a
liberdade de se fixar qualquer uma das linhas. Isto ´e denominado multili- nearidade e ser´a discutido neste texto. A terceira propriedade ´e chamada alternˆ ancia . As trˆes, juntamente com a quinta, completamente caracterizam o determinante (em qualquer ordem), determinando sua express˜ao em ter- mos dos elementos da matriz quadrada em quest˜ao ! A quarta propriedade amarra o determinante em termos de matrizes como um todo, e n˜ao apenas de suas linhas ou de suas colunas. Juntas, estas cinco propriedades implicam todas as outras propriedades dos determinantes !
Fun¸ c˜ oes Bilineares. Uma fun¸c˜ao f : R n × R n −→ R m ´e dita bilinear quando, fixando-se um dos vetores do par ordenado ao qual ela se aplica e considerando-se o outro como vari´avel, obt´em-se uma transforma¸c˜ao linear deste outro vetor. Mais precisamente, ( − → v , − → u ) 7−→ f ( − → v , − → u ) ´e tal que, para todo os vetores − → v , − → v 1 , − → v 2 , − → u , − → u 1 e − → u 2 do R n , e para todo escalar real r, tem-se que:
f( − → v 1 + − → v 2 , − → u ) = f( − → v 1 , − → u ) + f ( − → v 2 , − → u ) (fixado − → u ) (7) f(r − → v , − → u ) = r f ( − → v , − → u ) (fixado − → u ) (8) f( − → v , − → u 1 + − → u 2 ) = f( − → v , − → u 1 ) + f ( − → v , − → u 2 ) (fixado − → v ) (9) f( − → v , r − → u ) = r f ( − → v , − → u ) (fixado − → v ) (10) Apesar de alguns exemplos dados neste texto para fixar as id´eias, este curso estar´a interessado apenas no caso m = 1, ou seja, quando o valor de f
´e sempre um n´ umero real.
Ex.: O(a) leitor(a) est´a bem familiarizado(a) com o produto escalar ou pro- duto interno euclidiano − → v · − → u (ou < − → v , − → u >, que ´e uma nota¸c˜ao mais geral) de vetores − → v = (x 1 , . . . , x n ) e − → u = (y 1 , . . . , y n ) do R n , o qual ´e definido como:
f ( − → v , − → u ) = f ((x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n )) := x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · x n y n
Como esta fun¸c˜ao ´e sim´ etrica , isto ´e, f( − → v , − → u ) = f ( − → u , − → v ), constuma-se apresentar sua bilinearidade em termos das condi¸c˜oes (7) e (8), mas fun¸c˜oes bilineares em geral n˜ao tˆem que satisfazer a simetria. Observe-se que a norma euclidiana n˜ao ´e uma fun¸c˜ao bilinear, pois ela ´e dada por ||− → v || = f ( − → v , − → v ), o que j´a n˜ao ´e uma fun¸c˜ao de um par ordenado de vetores quaisquer.
Ex.: Considere-se o determinante de matrizes quadradas de ordem 2 como
uma fun¸c˜ao dos vetores − → v = (x 1 , x 2 ) e − → u = (y 1 , y 2 ) representados pelas
linhas daquelas matrizes:
f( − → v , − → u ) = det
x 1 x 2
y 1 y 2
= x 1 y 2 − x 2 y 1 (11) Tal fun¸c˜ao ´e bilinear e anti-sim´ etrica ou, como se diz no contexto de multi- linearidade, alternada ou alternante: f( − → v , − → u ) = −f ( − → u , − → v ).
Analogamente ao que foi feito para transforma¸c˜oes lineares, aqui se per- gunta qual ´e o formato geral das fun¸c˜oes bilineares. Novamente, considere-se a base canˆonica do R n : − → v = (x 1 , . . . , x n ) = x 1 e 1 + x 2 e 2 + · · · + x n e n e
−
→ u = (y 1 , . . . , y n ) = y 1 e 1 + y 2 e 2 + · · · + y n e n . Dada uma fun¸c˜ao bilinear f : R n × R n −→ R m :
f ( − → v , − → u ) = f((x 1 e 1 + x 2 e 2 + · · · + x n e n ), − → u ) =
x 1 f(e 1 , − → u ) + x 2 f(e 2 , − → u ) + · · · + x n f(e n , → − u ) =
= x 1 f ( e 1 , y 1 e 1 + y 2 e 2 + · · · + y n e n )+
+ x 2 f (e 2 , y 1 e 1 + y 2 e 2 + · · · + y n e n ) + · · ·
· · · + x n f (e n , y 1 e 1 + y 2 e 2 + · · · + y n e n ) =
= [x 1 y 1 f (e 1 , e 1 ) + x 1 y 2 f(e 1 , e 2 ) + · · · + x 1 y n f (e 1 , e n )]+
+ [x 2 y 1 f (e 2 , e 1 ) + x 2 y 2 f (e 2 , e 2 ) + · · · + x 2 y n f (e 2 , e n )] + · · ·
· · · + [x n y 1 f ( e n , e 1 ) + x n y 2 f ( e n , e 2 ) + · · · + x n y n f( e n , e n )] (12) Ex.: Uma fun¸c˜ao bilinear f : R 2 −→ R ´e da forma:
f ((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) =
x 1 y 1 f( e 1 , e 1 ) + x 1 y 2 f( e 1 , e 2 ) + x 2 y 1 f( e 2 , e 1 ) + x 2 y 2 f ( e 2 , e 2 ) = Ax 1 y 1 + Bx 1 y 2 + Cx 2 y 1 + Dx 2 y 2
onde as constantes reais da ´ ultima linha s˜ao os valores de f na base canˆonica:
A = f (e 1 , e 1 ), B = f (e 1 , e 2 ), C = f (e 2 , e 1 ) e D = f(e 2 , e 2 ). Logo, fun¸c˜oes bilineares do R 2 em R s˜ao determinadas por 4 coeficientes. Por exemplo, A = D = 1 e B = C = 0 para o produto interno euclidiano, enquanto A = D = 0, B = 1 e C = −1 para o determinante do Exemplo (11).
Observe-se que 4 = 2 2 , onde o 2 da base vem do n´ umero de vetores na base
canˆonica do R 2 (o que ´e denominado dimens˜ ao do R 2 ), e o 2 do expoente vem de “bilinearidade”: H´a duas entradas “•” em f (•, •) e, para cada uma delas, faz-se uma escolha de vetor na base canˆonica do R 2 .
Ex.: Em geral, uma fun¸c˜ao bilinear f : R 2 −→ R m ´e da forma:
f((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) = x 1 y 1 − → a + x 1 y 2
−
→ b + x 2 y 1 − → c + x 2 y 2
−
→ d onde − → a , − →
b , − → c e − →
d s˜ao vetores do R m fixados.
Ex.: Analogamente, uma fun¸c˜ao bilinear f : R 3 −→ R ´e determinada por 3 2 = 9 constantes reais, tendo a forma:
f ((x 1 , x 2 , x 3 ), (y 1 , y 2 , y 3 )) =
Ax 1 y 1 + Bx 1 y 2 + Cx 1 y 3 + Dx 2 y 1 + Ex 2 y 2 + F x 2 y 3 + Gx 3 y 1 + Hx 3 y 2 + Ix 3 y 3
onde os ´ındices das coordenadas est˜ao ordenados lexicograficamente (como na ordem alfab´etica): 11, 12, 13, 21, 22, . . ., 33. Assim, A = f (e 1 , e 1 ), . . ., I = f(e 3 , e 3 ). Por exemplo, no produto interno euclidiano do R 3 , A = E = I = 1, enquanto as outras constantes s˜ao iguais a 0.
Generalizando-se estes exemplos, conclui-se que uma fun¸c˜ao bilinear f : R n −→ R ´e determinada por n 2 constantes reais, e uma fun¸c˜ao bilinear f : R n −→ R m , por n 2 vetores do R m .
Uma pergunta semelhante `a que foi feita para transforma¸c˜oes lineares cabe aqui: Ser´a que os n 2 valores de f podem ser escolhidos arbitraria- mente e ainda mantˆe-la bilinear, ou h´a restri¸c˜oes adicionais a eles ? Por exemplo, se se escolhessem constantes A = B = 2, C = −5 e D = 1, obtendo-se f ((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) = 2x 1 y 1 + 2x 1 y 2 − 5x 2 y 1 + x 2 y 2 , ou se se es- colhessem F = −4 e todas as outras 8 constantes iguais a zero, obtendo-se f ((x 1 , x 2 , x 3 ), (y 1 , y 2 , y 3 )) = −4x 2 y 3 , seriam as fun¸c˜oes obtidas ainda biline- ares ? A resposta ´e sim, os valores de f na base canˆ onica s˜ ao ar- bitr´ arios. Ao inv´es de se seguirem os passos tomados para transforma¸c˜oes lineares, verificando-se as condi¸c˜oes (7) a (10), utilizar-se-´a o resultado (5).
Para facilitar a leitura, verificar-se-´a para o caso f : R 3 −→ R , sendo o caso
geral (f : R n −→ R m ) completamente an´alogo. Fixado o vetor − → u 0 = (a, b, c),
tem-se a seguinte fun¸c˜ao de uma vari´avel vetorial − → v = (x 1 , x 2 , x 3 ):
T ( − → v ) = f ( − → v , − → u 0 ) =
Ax 1 a + Bx 1 b + Cx 1 c + Dx 2 a + Ex 2 b + F x 2 c + Gx 3 a + Hx 3 b + Ix 3 c = (Aa + Bb + Cc)x 1 + (Da + Eb + F c)x 2 + (Ga + Hb + Ic)x 3 =
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3
onde a 1 = Aa + Bb + Cc, a 2 = Da + Eb + F c, e a 3 = Ga + Hb + Ic s˜ao constantes reais (servindo como valores T ((e) 1 ), T ((e) 2 ) e T ((e) 3 )). Segundo o que foi mostrado para fun¸c˜oes com formato especificado pela Equa¸c˜ao (5), T acima ´ e uma transforma¸ c˜ ao linear de − → v . Analogamente, fixado o vetor − → v 0 = (˜ a, ˜ b, c), a fun¸c˜ao ˜ T e da vari´avel vetorial − → u = (y 1 , y 2 , y 3 ) dada por T e ( − → u ) = f ( − → v 0 , − → u ) ´ e uma transforma¸ c˜ ao linear de acordo com a Equa¸c˜ao (5) porque tem formato T e ((y 1 , y 2 , y 3 )) = a 1 y 1 + a 2 y 2 + a 3 y 3 , onde a 1 = A˜ a + D ˜ b + G˜ c, a 2 = B ˜ a + E ˜ b + H˜ c e a 3 = C˜ a + F ˜ b + I˜ c, como o(a) leitor(a) pode verificar.
Exerc´ıcio opcional: Verificar que as condi¸c˜oes f (e , e ı ) = f (e ı , e ), onde ı, ∈ {1, . . . , n}, completamente caracterizam as fun¸c˜oes bilineares sim´etricas (isto ´e, aquelas que satisfazem f ( − → v , − → u ) = f ( − → u , → − v ) para todos os vetores
−
→ v , − → u ∈ R n ). Vale observar o que as condi¸c˜oes dizem para os casos parti- culares n = 2 e n = 3 com m = 1. Para f : R 2 −→ R , elas significam que B = C, ou seja, f((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 ) = Ax 1 y 1 + B(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + Dx 2 y 2
com A, B, D quaisquer. J´a para o caso de f : R 3 −→ R , elas significam que B = D, C = G e F = H, ou seja, f ((x 1 , x 2 , x 3 ), (y 1 , y 2 , y 3 ) ´e da forma Ax 1 y 1 + B(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + C(x 1 y 3 + x 3 y 1 ) + Ex 2 y 2 + F (x 2 y 3 + x 3 y 2 ) + Ix 3 y 3
com A, B, C, E, F, I quaisquer.
Fun¸ c˜ oes Trilineares e Multilineares. Uma fun¸c˜ao f : R n × R n × R n −→
R m ´e dita trilinear quando, fixando-se dois dos vetores da tripla orde-
nada ao qual ela se aplica e considerando-se o vetor restante como vari´avel,
obt´em-se uma transforma¸c˜ao linear deste vetor. Mais precisamente, a fun¸c˜ao
( − → v , − → u ) 7−→ f ( − → v , − → u ) ´e tal que, para todo os vetores − → v , − → v 1 , − → v 2 , − → u , − → u 1 , − → u 2 ,
−
→ w , − w → 1 e − w → 2 do R n , e para todo escalar real r, tem-se que:
f( − → v 1 + − → v 2 , − → u , − → w ) = f( − → v 1 , − → u , − → w ) + f ( − → v 2 , − → u , − → w ) (fixados − → u e − → w ) (13) f(r − → v , − → u , − → w ) = r f ( − → v , − → u , − → w ) (fixados − → u e − → w ) (14) f( − → v , − → u 1 + − → u 2 , − → w ) = f( − → v , − → u 1 , − → w ) + f ( − → v , − → u 2 , − → w ) (fixados − → v e − → w ) (15) f( − → v , r − → u , − → w ) = r f ( − → v , − → u , − → w ) (fixados − → v e − → w ) (16) f ( − → v , − → u , − w → 1 + − w → 2 ) = f( − → v , − → u , − w → 1 ) + f( − → v , − → u , − w → 2 ) (fixados − → v e − → u ) (17) f( − → v , − → u , r − → w ) = r f ( − → v , − → u , − → w ) (fixados − → v e − → u ) (18) Ex.: Considere-se o determinante de matrizes quadradas de ordem 3 como uma fun¸c˜ao dos vetores − → v = (x 1 , x 2 , x 3 ), − → u = (y 1 , y 2 , y 3 ) e − → w = (z 1 , z 2 , z 3 ) representados pelas linhas daquelas matrizes:
f ( − → v , − → u , − → w ) = det
x 1 x 2 x 3
y 1 y 2 y 3
z 1 z 2 z 3
=
x 1 y 2 z 3 − x 1 y 3 z 2 + x 2 y 3 z 1 − x 2 y 1 z 3 + x 3 y 1 z 2 − x 3 y 2 z 1 (19)
Como no caso das fun¸c˜oes bilineares, aplicando-se uma fun¸c˜ao trilinear qualquer aos vetores da base canˆonica do R n , obt´em-se o formato geral destas fun¸c˜oes para n e m fixados. Uma vez que s˜ao n vetores poss´ıveis para cada uma das trˆes entradas na tripla, h´a n 3 valores arbitr´arios T (e ı , e , e k ) que determinam cada fun¸c˜ao trilinear no R n .
Ex.: As fun¸c˜oes trilineares no R 2 com valores em R tˆem 2 3 = 8 coeficientes, sendo da forma:
f ((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 ), (z 1 , z 2 )) =
Ax 1 y 1 z 1 +Bx 1 y 1 z 2 +Cx 1 y 2 z 1 +Dx 1 y 2 z 2 +Ex 2 y 1 z 1 +F x 2 y 1 z 2 +Gx 2 y 2 z 1 +Hx 2 y 2 z 2
(20) J´a as trilineares no R 3 com valores em R possuem 3 3 = 27 coeficientes reais.
O determinante (19), por exemplo, tem 3 deles iguais a 1, 3 deles iguais a
−1, e os 21 coeficientes restantes iguais a 0.
Como o(a) leitor(a) j´a percebeu, isto est´a ficando complexo. De fato, a
defini¸c˜ao de fun¸c˜ao multilinear ´e an´aloga e ser´a dada de maneira informal
(sem a parte que sucede o “mais precisamente”): Denotando-se por ( R n ) p o produto cartesiano de p > 1 c´opias do R n , uma fun¸c˜ao f : ( R n ) p −→ R m ´e dita p− linear quando, fixando-se todos menos um dos vetores da p−upla or- denada ao qual ela se aplica e considerando-se o vetor restante como vari´avel, obt´em-se uma transforma¸c˜ao linear deste vetor. Isto se exprime mais precisa- mente atrav´es de 2p condi¸c˜oes an´alogas `as condi¸c˜oes (13)–(18). Aplicando-se estas fun¸c˜oes a vetores da base canˆonica, verifica-se que estas fun¸c˜oes s˜ ao determinadas por n p coeficientes reais. De modo an´alogo a (11) e (19), um exemplo ser´a o determinante das matrizes quadradas de ordem p visto como fun¸c˜ao da p−upla de vetores representados pelas linhas daquelas ma- trizes. Para se chegar `a lei de forma¸c˜ao (express˜ao em termos dos p vetores) de tal determinante, ser´a utilizado o conceito de alternˆancia.
Fun¸ c˜ oes Multilineares Alternadas (devido ao enfoque em determinan- tes, ser˜ao discutidos apenas os casos em que m = 1). Uma fun¸c˜ao p−linear f : ( R n ) p −→ R ´e dita alternada ou alternante quando troca de sinal sem- pre que se permutam dois vetores da p−upla de vetores `a qual f se aplica.
Assim, no caso p = 2 (bilinear), tem-se que f ( − → v , − → u ) = −f( − → u , − → v ). Em ge- ral, uma permuta¸ c˜ ao de um conjunto ´e uma correspondˆencia biun´ıvoca dele nele mesmo. Uma permuta¸c˜ao que apenas troca dois elementos da p−upla ´e denominada uma tranposi¸ c˜ ao . Cada transposi¸c˜ao dos vetores leva a uma troca de sinal no valor de f . Por exemplo, no caso p = 3 (trilinear), tem-se que, com uma transposi¸c˜ao:
−f ( − → u , − → v , − → w ) = f ( − → u , − → w , − → v ) = f( − → w , − → v , − → u ) = f ( − → v , − → u , − → w ) (21) Mas, com duas transposi¸c˜oes:
f ( − → u , − → v , → − w ) = f( − → w , − → u , − → v ) = f ( − → v , − → w , − → u ) (22) Para p vetores, h´a p! permuta¸c˜oes poss´ıveis. Recordar que:
0! := 1;
p! := p · (p − 1)! (se p > 0)
Logo: 1! = 0! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120; 6! = 720; . . .
Uma propriedade simples e muito importante de fun¸c˜oes alternadas ´e a
seguinte: E igual a zero o valor de uma fun¸ ´ c˜ ao alternada f apli-
cada a uma p−upla de vetores em que dois deles s˜ ao iguais. De
fato, trocando-se os dois vetores, f muda de sinal. Mas os vetores s˜ao iguais e, portanto, a p−upla ´e a mesma. Assim, f calculada nesta p−upla tem valor r que ´e igual ao seu oposto, −r. O ´ unico n´ umero real a satisfazer isto ´e zero.
Um exemplo cl´assico ´e o determinante de uma matriz quadrada com duas linhas iguais: Ele ´e igual a 0.
Aplicando-se essas id´eias aos vetores da base canˆonica, podem-se deter- minar os formatos gerais das fun¸c˜oes p−lineares alternadas do R n em R : Se dois vetores b´asicos da p−upla s˜ao iguais, ent˜ao f naquela p−upla d´a 0. Se eles s˜ao todos distintos, ent˜ao o coeficiente pode ser 0 ou n˜ao, mas muda de sinal ao se permutarem dois dos vetores.
Ex.: As fun¸c˜oes bilineares alternadas do R 3 em R satisfazem:
f (e 1 , e 1 ) = f (e 2 , e 2 ) = f(e 3 , e 3 ) = 0;
f(e 2 , e 1 ) = −f (e 1 , e 2 ); f(e 3 , e 1 ) = −f (e 1 , e 3 ) e f (e 3 , e 2 ) = −f (e 2 , e 3 ) Logo, elas s˜ao da forma abaixo com B, C, F arbitr´arios:
f ((x 1 , x 2 , x 3 ), (y 1 , y 2 , y 3 )) = B(x 1 y 2 − x 2 y 1 ) + C(x 1 y 3 − x 3 y 1 ) + F (x 2 y 3 − x 3 y 2 ) Ex.: A ´ unica fun¸c˜ao trilinear alternada do R 2 em R ´e a fun¸c˜ao nula ! O motivo ´e simples: Como s´o h´a dois vetores na base canˆonica do R 2 , todos os coeficientes T (e ı , e , e k ) tem pelo menos dois vetores iguais nas triplas em que s˜ao computados, reduzindo-os a zero devido `a alternˆancia. Pelo mesmo motivo, dado p > 2, a ´ unica fun¸c˜ao p−linear alternada do R 2 ´e a fun¸c˜ao cons- tante com valor zero ! Analogamente, dado p > n, a ´ unica fun¸c˜ao p−linear alternada do R n ´e a fun¸c˜ao constante com valor zero !
Ex.: As fun¸c˜oes bilineares alternadas do R 2 em R satisfazem:
f( e 1 , e 1 ) = f ( e 2 , e 2 ) = 0 e f( e 2 , e 1 ) = −f( e 1 , e 2 )
Logo, elas s˜ao da forma f ((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) = B(x 1 y 2 − x 2 y 1 ), ou seja, elas s˜ao m´ ultiplos reais (B ∈ R ) do determinante dado em (11) !
Ex.: Analogamente, as fun¸c˜oes trilineares alternadas do R 3 tˆem coeficientes
f (e ı , e ı , e k ) iguais a 0 sempre que pelo menos dois dos vetores na tripla s˜ao
iguais, restando apenas os coeficientes em que cada um dos trˆes vetores da
base canˆonica do R 3 aparece exatamente uma vez, ou seja, a tripla ´e uma das
seis permuta¸c˜oes de (e 1 , e 2 , e 3 ), incluindo esta tripla (quando a permuta¸c˜ao
´e trivial). Como a alternˆancia amarra os valores de f de acordo com as per- muta¸c˜oes como descrito pelas equa¸c˜oes (21) e (22), tem-se que o coeficiente F = f(e 1 , e 2 , e 3 ) determina os outros cinco (eles s˜ao iguais a −F quando as permuta¸c˜oes correspondentes s˜ao transposi¸c˜oes, e iguais a F quando elas consistem de duas transposi¸c˜oes cada). O resultado ´e:
f ( − → v , − → u , − → w ) =
F (x 1 y 2 z 3 − x 1 y 3 z 2 + x 2 y 3 z 1 − x 2 y 1 z 3 + x 3 y 1 z 2 − x 3 y 2 z 1 ) ou seja, f ´e um m´ ultiplo real (F ∈ R ) do determinante expresso em (19).
Como o(a) leitor(a) j´a pode ter inferido, todas as fun¸ c˜ oes n−lineares alternadas do R n s˜ ao os m´ ultiplos reais da fun¸ c˜ ao que calcula, para cada n−upla de vetores do R n dada, o determinante da ma- triz quadrada de ordem n cujas linhas representam os vetores daquela n− upla . Como se escreve aquele determinante explicitamente ?
Em geral, uma fun¸c˜ao n−linear alternada f do R n tem seus coeficientes dados pelos seus valores nas n−uplas de vetores do R n , os quais s˜ao neces- sariamente iguais a zero caso algum vetor esteja repetido na n−upla devido
`a alternˆancia. Se todos eles s˜ao distintos, ent˜ao, devido ao fato de que h´a exatamente n vetores na base canˆonica, tem-se que a n−upla ´e da forma (e σ(1) , . . . , e σ(n) ), onde σ ´e uma permuta¸c˜ao de (1, . . . , n). Da alternˆancia:
f(e σ(1) , . . . , e σ(n) ) = (−1) |σ| · f(e 1 , . . . , e n ) = (−1) |σ| · D (23) onde o coeficiente D ´e dado por D = f ( e 1 , . . . , e n ), e |σ| ´e o n´ umero de transposi¸c˜oes necess´arias para se chegar de (1, . . . , n) a (σ(1), . . . , σ(n)). 1 Agora, aplique-se f a uma n−upla de vetores quaisquer do R n , onde sua coordenada a ı ser´a identificada como a −´esima coordenada do ı−´esimo vetor, facilitando a representa¸c˜ao dos vetores como as linhas de uma matriz quadrada [a ı ] de ordem n. Assim, − → v ı = (a ı1 , a ı2 , . . . , a ın ), isto ´e:
−
→ v 1 = (a 11 , a 12 , . . . , a 1n ); − → v 2 = (a 21 , a 22 , . . . , a 2n ); . . . ; − → v n = (a n1 , a n2 , . . . , a nn )
1
