PME MECÂNICA A 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS - CINEMÁTICA

PME2100 - MECÂNICA A

2

LISTA DE EXERCÍCIOS - CINEMÁTICA

LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES AO LIVRO TEXTO (Cap. 6 e 7) (FRANÇA, L. N. F.; MATSUMURA, A. Z. Mecânica Geral. Ed. Edgard Blücher, 2ª ed., 2004)

1) Os pontos A(1,2), B(2,1) e C(−1,1) pertencem a um mesmo sólido. Sabendo que j

i vr_A r r

−2

= e que vr_B ir mrj +

=3 , pedem-se:

a) O valor de m.

b) A velocidade vr_C

do ponto C.

Respostas: a)m=0 b)Vr_C ir rj 6 3 −

=

2) São dadas num determinado instante as posições dos pontos A(0,2,1), B(0,3,1), C(1,3,1) e D(0,3,2) e as velocidades v_A j

r r

= e v_D i k r r

r =2 + . Considere duas situações para a velocidade de C: v_C i

r r

= e v_C i r r

−

= . Pede-se:

a) Verificar se A, C e D podem pertencer a um mesmo sólido; considere as duas situações do ponto C e justifique a resposta.

b) Determinar a velocidade de B para que A, B, C e D pertençam ao mesmo sólido;

c) Determinar o vetor rotação Ωr

desse sólido.

Respostas: a) sim V_C i r r

= b) V_B i j k r r r

r = + + c) i j k

r r r

r = + −

Ω

3) A e B são dois pontos genéricos de um sólido em movimento qualquer. Demonstrar que:

a)

( )

dt A B

d −

é ortogonal a

(

)

b) A projeção das velocidades de B e A sobre a reta AB são iguais.

c) A diferença de velocidades

(

)

− é um vetor ortogonal a

(

)

4) Mostre que se dois pontos P e Q de um mesmo corpo rígido têm, em um dado instante, a mesma velocidade, então:

i)

(

)

ii) O corpo realiza, neste instante, um ato de movimento translatório puro.

5) Seja A um ponto de uma figura plana em movimento plano e rr_A

o seu vetor de posição. Pede-se mostrar que:

a) O vetor de posição rr_C

do centro instantâneo de rotação C é dado por

(

)

A

C r v

rr r r r

∧ +

= , onde ω^r é o vetor de rotação da figura.

b) A aceleração do centro instantâneo de rotação C será nula se, para um ponto A:

( )

(

)

A v v

a r r r

&

r = ω /ω+ ω∧

6) O chassi de um tanque de guerra (localizado entre as rodas A e B da figura) translada com velocidade iv

r

(v > 0, constante). A roda de centro B e raio r é ligada à anterior por uma esteira, não havendo escorregamento entre a esteira e as rodas. Não havendo escorregamento entre a esteira e o solo inclinado por onde anda o tanque, determinar por suas componentes na base

( )

a) As velocidades vr₁ , vr₂

, vr₃

dos pontos P1, P2 e P3 indicados.

b) Os vetores de rotação ω^r_A e ω^r_B das roda de centro A e B, respectivamente.

c) A aceleração do ponto P indicado; (P - A) paralelo a i

r .

d) Trace a distribuição de velocidades do pontos do segmento de reta que vai de P a ₁ P₂.Obs.: todas as perguntas se referem ao movimento das rodas em relação ao solo.

Respostas:

a) ₁ 0 r r

=

v ; vr vir

2 =2 ; ₃ 0

r r

=

v b)

r k k R

R

v _A

B A

r r

r r ω ω

ω =− e =−

c) ^{aP R Ai}

r ₂r

ω

= R

A

B P

j r

i r ωA

r

P₁ P₂

P3

7) O disco de centro A e raio R rola sem escorregar sobre um plano horizontal com velocidade angular constante ω. A barra CD de comprimento L é articulada em C e D. A luva em D pode deslizar ao longo da guia vertical. Na condição indicada na figura (φ = 45^o), pede-se:

a) Determinar a velocidade vetorial vr_C do ponto C, e o centro instantâneo de rotação I, da barra CD, indicando graficamente.

b) O vetor de rotação Ωr

, da barra CD.

c) A velocidade vr_D

do ponto D.

d) A aceleração ar_C

do ponto C.

Respostas:

a) ^vC ^R

( )

r r r

+

−

= ω _{b) L}^{R k}

r ₌₋ ² ω r

Ω

c) v_D Rj r r

ω

−2

= d) a_C Ri

r ₂ r

ω

=

8) Os discos da figura formam um corpo rígido, o qual gira sem escorregar sobre o trilho EF. A barra AB tem comprimento r 2 e tem sua extremidade B arrastada sobre o trilho EF. Sabendo que o ponto O tem velocidade escalar v, aceleração escalar a, e que o conjunto se desloca na direção de i

r

, determinar, em função de r, R, v e a:

a) O vetor de rotação ω^r do disco.

b) A aceleração ar_C

do ponto C.

c) A velocidade vr_A

do ponto A.

d) A velocidade vr_B

do ponto B.

e) O vetor de rotação ω^r_AB da barra AB.

Resposta:

a) rk v r r=−

ω b) r j a_C v

r ² r

= c)

r j vR i v v_A

r r r

+

= d)

r i v R v_B

r r



 



 +

= 1

e)

r k vR

AB

r r

= 2

ω

φ ^{= 45o R}

C A

B O

D

L

j r

i r

ω

R A

B

O

j r

i

r _r

C

E F

9) O sistema indicado move-se no plano Oi j r r

. A barra OA gira em torno de O, de maneira que ϕ = ωt (ω > 0, constante). No ponto A as barras estão ligadas por uma articulação. A extremidade B percorre um trecho do eixo Oj

r

. Pedem-se:

a) A posição do CIR da barra AB.

b) A velocidade vr_B

de B e a velocidade vr_A de A.

c) O vetor de rotação Ωr

da barra AB.

d) A velocidade vrM

, do ponto médio M da barra AB.

e) Os valores máximo e mínimo de vr_M , indicando para quais valores de ϕ ^eles ocorrem.

Obs. i) Admitir que o sistema possibilita

0≤ϕ ≤π2.

ii) Os vetores pedidos devem ser expressos na base (i,j,k) r r r

.

iii) Os escalares pedidos devem ser expressos em função da variável ϕ. Resposta: b) ^{vB l j}

r r

ϕ ωcos

=2 ; ^{vA l ( sen i cos j)} r r r

ϕ ϕ

ω − +

= c) ^k

r r ω

−

= Ω

d) ( sen 3cos )

2 i j

v_M l

r r r

ϕ ω − ϕ +

= e) v lω

M máx

2

=3

r ; v lω

M mín

2

=1 r

10) A extremidade A da barra AB move-se com velocidade horizontal v constante, conforme indicado na figura. Pede-se:

a) As coordenadas do CIR em relação ao sistema de coordenadas dado.

b) A velocidade angular da barra AB.

c) O vetor velocidade do ponto B.

Respostas: a) sin²(θ) y_CIR = h

b)

h k

v r

r sin²(θ)

ω=−

c) j

h v vl

h i V_B vl

r r r







 +

−

= sin³(θ) sin²(θ)cos(θ)

ϕ

l

A B

O

l j

r

i ϕ r

x y

A

B l

v θ ^h

θ _A B

C R O

E F

D

j r

i r

v

11) Na figura está representado o esquema de uma guilhotina. A lâmina móvel L da guilhotina é acionada pelas alavancas AOB e BD. É conhecida a velocidade angular ω da alavanca AOB e as seguintes dimensões: OB = l; O₁D = 8l, BD = 6l.

Determinar:

a) O Centro Instantâneo de Rotação (CIR) da alavanca BD.

b) O vetor velocidade vr_B

do ponto B.

c) O vetor de rotação ω^r_BDda alavanca BD.

d) O vetor velocidade vrD

do ponto D.

e) O vetor de rotação _ω^r_L da lâmina móvel L.

Resp.: b) V_B l j r r =ω c)

BD k r r

10 ω =ω

d) V_D li lj

r r

r =^0,48ω +^0,64ω e)

L k r r

10 ω =ω

12) No mecanismo plano da figura, a barra EF é paralela ao eixo x e tem velocidade constante vi

− r. A barra AB é articulada em A, não havendo escorregamento entre o disco e as barras EF e AB nos seus pontos de contato D e C. Pede-se determinar em função de v, R e θ^:

a) O centro instantâneo de rotação I do disco, assim como (I − O).

b) vr_O

e o vetor de rotação ω^r_d do disco.

c) vr_C

e o vetor de rotação ω^r_b da barra AB.

d) A aceleração ar_O

do ponto O.

e) ar_D

, supondo que D pertença à barra EF.

Respostas:

a) R j

O I

r θ

=cos

− b) v i

v_O r r

θ cos 1+

−

= ;

( )

R v

d

r r

θ ω θ

cos 1

cos

− +

=

c)

( )

θ θ θ

θ cos 1

cos sen

sen +

− +

= v i j

v_C

r r

r ;

( )

R v

b

r r

θ θ

ω θ

cos 1 cos

sen²

− +

=

d)^{aO R v}

( )

r r

3 3 2

cos 1 cos

sen θ θ

θ

− +

= ; e) 0

r r

E = a i

r

B

D

O O1 A

L

ω j

r

13) A barra AB é articulada em A e o ponto B escorrega sobre o plano; o disco de centro O e raio R rola sem escorregar sobre o plano, com velocidade angular ω=θ& constante.

Pede-se determinar:

a) Graficamente o CIR do disco e o da barra.

b) A relação entre os ângulos ϕ e θ. c) O vetor de rotação Ωr

da barra.

d) A velocidade vetorial do ponto B.

e) A aceleração vetorial do ponto A.

f) Os valores de θ para os quais a barra tem um ato de movimento de translação.

Obs.: utilize os versores i r

, j r

e k r

indicados.

Resp.: b)^Lsenϕ=R

(

)

r r

ϕθ ω

− cos

= Ω

d)^vB

[

( )

]

r r

ϕ θ

ω + +Ω

= 1 cos

e)^aA ^R

(

)

r r r

θ θ

ω² sen +cos

−

= f)θ =0 ou θ =π

14) Um disco de raio R e centro O rola, sem escorregar, com velocidade angular ω constante, conforme indica a figura. A barra AB tem comprimento L e está presa, em B, numa sapata deslizante e, em A, num pino a uma distância a do centro do disco. Pedem- se, em função de ω, a, L, e R, para a posição mostrada na figura:

a) A velocidade vrA

do ponto A.

b) O CIR da barra AB.

c) O vetor de rotação _ω^r_AB da barra AB.

d) A velocidade vr_B

do ponto B.

Resp.: a)^vA

(

)

r r

+

=ω c)

a k R

a R

AB

r r



 





−

=ω + ω

d)

j a R L a L R

a v_B R

r _{2 2}r

) ( −

−



 





−

=ω +

θ

R A

B

L O

j r

i r

ω

ϕ

R A

B

O

j L

r

i r

ω a

α

15) No sistema da figura os dois discos (O, r) e (O, R) são unidos entre si por um eixo em O, mas podem girar independentemente um do outro, sem atrito, em torno do eixo comum. O disco menor (O, r) rola sem escorregar sobre o plano horizontal com velocidade angular ω constante. A barra AC apóia-se no disco (O, R) e não há escorregamento no contato. Pedem-se em função de ω, r, R e ϕ usando os versores

( )

a) A posição do CIR do disco (O, R).

b) A velocidade angular Ω do disco (O, R).

c) A velocidade angular ωb da barra AC.

d) A aceleração ar_B

do ponto B da barra.

Respostas:

a)

R j O CIR

r ϕ ) cos

( − =

b)

R k

r r

r ₌ω ^cosϕ

Ω

c)

rk R

r

B

r r

− +

= ω ϕ ϕ

ω cos

sin²

d)

[ ]











 





+ + +

+ −

− +

= + j

r R

R i r

r R

r R r R

a_B r

r r r

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ω

cos cos 1 cos

cos cos cos

sin )

( ^{2 3}

16) Os discos indicados (de raios R e r) movem-se num plano, rolando sem escorregar sobre a horizontal fixa. Num certo instante o vetor de rotação do disco de centro O1 é

).

, 0 (

, k i j

k

r r r r

r =Ω Ω> = ∧

Ω Nesse instante a barra AB, cujas extremidades são articuladas a dois pontos na periferia dos discos, ocupa a posição indicada, na qual A, B e O2 estão alinhados. Pedem-se nesse instante , em função das constantes. R, r e Ω, expressando os vetores na base (i,j,k):

r r r

a) As velocidades vr_A e vr_B

dos pontos A e B.

b) O vetor de rotação ωr

do disco de centro O2

Respostas:

a) v_B R ( 3i 3j) r r r

+ Ω

−

= ;

) 3

( i j

R

vr_A r r

+ Ω

−

=

R

A B

O r C

ω

j r

i r

ϕ

R A

B O₁

r

j r

i r

O₂ 60^o

17) Os discos de raios r, centros A e B rolam sem escorregar, externa e internamente à circunferência fixa de centro O e raio R. O movimento se dá no plano do sistema móvel Oi j

r

r indicado. Dado o vetor de rotação do disco de centro A: _{A A}k

r r ω

ω = , (ωA, constante, k i j r r r

∧

= ), determinar por suas componentes na base

( )

a) O vetor de rotação Ωr

da barra AB que está articulada aos centros dos discos.

b) O vetor de rotação _ω^r_B do disco de centro B.

c) A aceleração ar_M

do ponto médio M do segmento AB.

Respostas: a)

r k R

r

A

r

r ω



 





− +

= Ω

b) k

r R

r R

A B

r r

ω

ω 



 



 +

− −

= c) ^{aM =−}

(

)

r r r

2

2 2ω

18) A haste rígida OA gira com velocidade angular constante ω, movimentando o disco de centro A que rola sem escorregar sobre o disco de centro O, que é fixo. Determine:

a) O CIR da barra OA e do disco de centro A.

b) A velocidade vr_A

do ponto A.

c) O vetor de rotação Ωr

do disco de centro A.

d) A velocidade vr_B

e a aceleração ar_B

do ponto B.

Respostas:

b) ^ωτ

r

r R

v_A=3

c) k

r r =3ω Ω

d) ^vB ^R

(

)

r r

r =³ ω τ − ; r ω₂ r ω₂τr

9

3R u R

a_B =− −

O B

ωA A

y x

O A

ω ur

τ^r

R

2R B

19) No sistema da figura a barra AB move-se com velocidade vi

− r de módulo constante.

Não ocorre escorregamento no ponto K entre o disco de raio r e a barra OC. Utilizando a base (u, ,k)

r r

rτ , fixa em relação à barra OC, pede-se:

a) Determinar graficamente o CIR do disco.

b) O vetor de rotação Ωr

do disco.

c) O vetor de rotação ω^r da barra OC.

d) O vetor aceleração angular Ω&r do disco.

e) Os vetores aceleração ar_K

dos pontos K do disco e da barra OC.

Respostas:

a)(CIR−A)=rtanϕu^r+rτ^r b) r k

v r

r ϕ

ω− cos c)

r k

v r

&r

ϕ ϕ cos sin³

2



 



= Ω

d)







 +

−

=







  −







 +



 



=

τ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ τ

ϕ ϕ

r r

r

r r

r

2 3

2

2 2 2

2

cos cos , sin

cos tan 1 sin cos

,

r u a v

r u a v

D K

B K

20) O mecanismo plano de quatro barras é constituído por barras com dimensões: AB = CD = L e AD = BC = 2L. As barras estão articuladas em A, B, C, D conforme a figura. O disco de raio r e centro G rola sem escorregar sobre a barra BC com velocidade angular constanteω. O ângulo entre as barras AB e AD segue a lei horária θ=Ωt (Ω = constante).

O ponto E de contato está situado na metade da barra BC e o ponto F está na periferia do disco e na vertical definida pelos pontos E e G. Pedem- se:

a) a velocidade do ponto E (vr_E );

b) a velocidade do ponto F (v^r_F);

c) as coordenadas do centro instantâneo de rotação para o disco quando θ=45°;

d) a aceleração do ponto E pertencente ao disco.

) cos sen

( i j

L v

r r r

θ θ +

− Ω

= v L r i L j

r r r

θ ω

θ ^{2 ) cos} sen

( Ω + + Ω

−

=

ϕ _B

C

O

K

r A ur

τ^r

j r

i r

v

θ

B C

r

A

j r

i r

D E

F

G ω

21) Na figura os discos concêntricos são solidários. A barra AB move-se horizontalmente com velocidade constante v. Não há escorregamento em D. Um fio, flexível e inextensível, é enrolado no disco menor e sua extremidade E tem velocidade absoluta igual a 2v como mostrado na figura. Adotando como referencial móvel a barra AB e utilizando os versores(i,j,k)

r r

r , pede-se:

a) A velocidade relativa (vD,rel) e absoluta (vD,abs) do ponto D.

b) O vetor de rotação absoluta (ω^r) dos discos.

c) O CIR dos discos.

d) As acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto D do disco.

Resposta:

a) ⁰

r r r r

=

−

= D, rel

D vi; v

v b)

rk

=- v ω

r r 4 3

c)

(

)

3

=4

−

d) j

r a v

a

; a

;

a_{D, arr D, cor D D, rel}

r r r r

r r r

16 0 27

0

2

=

=

=

=

22) No guindaste ilustrado na figura, a velocidade de içamento do peso A é v, constante.

A cabine e a lança BO do guindaste giram com velocidade angular ω, constante, em torno de um eixo vertical passando por O. Supondo AB sempre vertical e sendo a cabine o referencial móvel e o solo o referencial fixo, pede-se, usando (i,j,k)

r r

r :

a) A velocidade absoluta do ponto A, supondo α constante.

b) A aceleração absoluta do ponto A, supondo α constante.

c) A velocidade absoluta do ponto A, supondo α^&=Ω constante.

Respostas:

a) v_A vj b αk r r

r = −ω cos

A B

v D

C

E 2v

j r

i

r ^r

3r

y ω

A B

h

b α x O

v

23) A plataforma circular mostrada na figura tem velocidade angular ω constante. A barra AO e o disco de raio a e centro A giram com a plataforma, permanecendo sempre no plano Oyz do sistema de coordenadas (O, x, y, z) de versores (i, j,k)

r r r

solidário à plataforma. O ângulo ϕ0 é constante.

Pede-se em função de θ,θ^&,θ^&& e demais dados do problema:

a) os vetores velocidade relativa, de arrastamento e absoluta do ponto B, pertencente à periferia do disco;

b) os vetores aceleração relativa, arrastamento e absoluta do mesmo ponto B.

Resp.: a) ^{vB, rel θa( θj θk) vB, arr -(l a θ)ωi} r r

r r

&

r = cos +sen = cosϕ₀ + sen

b) a_{B, rel} ( θ a θ θa θ)j (θ a θ θa θ)k

& r

&

&

& r

&

&

r = − ² sen + cos + ² cos + sen

θ)j a ω (l

a_{B, arr} r r

sen cos ₀

2 +

−

= ϕ a_{B, cor} ωθa θi

& r

r =−2 cos

24) Um caminhão de bombeiros avança com velocidade v_C constante. Ao mesmo tempo, sua escada gira em torno de um eixo normal ao plano da figura e que passa por O, com velocidade angular Ψ&. Um homem sobe a escada com velocidade relativa a esta v=s&. São dados s(t) e ψ(t), portanto também conhecidos v, v&, Ψ&, Ψ&& Obter em função dos dados:

a) Sendo a escada o referencial móvel, vrel, varr, v, do homem, usando os versores (i,j,k)

r r r

.

b) Idem, usando os versores )

, , (u k

r r

rτ .

c) Também para o homem, e sendo a escada ainda o referencial móvel, a_rel, a_arr, a, usando os versores

) , , (u k

r r

rτ .

Respostas:

a) v_rel v i v j

r r r

ψ ψ ^sen

cos +

= ^varr

(

)

r

&

r

&

r = −ψ ^senψ +ψ ^cosψ

r r

r + − r r

=

O s

v_C i

j r r

ur τ^r

v v,&

ψ ψ ψ, ^&,^&&

A a B

O

x y

z

ϕ0

ω

θ θ θ, &,&&

l

25) O triedro (Oxyz) gira em torno de Oz, fixo, com velocidade angular ω1. O plano AOB gira em torno do eixo Oy com velocidade angular ω2, relativa ao triedro (Oxyz). O ângulo θ entre as barras AO e OB é constante. Na posição mostrada na figura, em que o plano AOB coincide com o plano Ozy, pede-se, utilizando como referencial móvel o triedro (Oxyz):

a) As velocidades vetoriais relativa, de arrastamento e absoluta do ponto B.

b) As acelerações vetoriais relativa, de arrastamento, complementar (Coriolis) e absoluta de B.

Resp.: a) ^{vabs (ω θ ω θ)li} r r

cos

sen ₁

2 −

= b)

θk ω l θ)lj ω

θ ω ω ( θ)li ω θ ω ( a_abs

r r r

&

&

r = ₂sen − ₁cos + 2 _{1 2}sen − ₁²cos − ₂² sen

26) A figura mostra um sistema de captação de energia eólica composto por um rotor horizontal acionado por uma hélice de 3 pás e raio R. A carcaça do rotor AB pode girar em torno do eixo vertical Oz. Uma rajada de vento imprime rotação à hélice dada por

)

ϕ&(t e provoca um movimento de rotação do conjunto em torno de Oz dado por θ&(t). Em função de ϕ,ϕ&,ϕ&&,θ&,θ&& e dos parâmetros geométricos, pede-se, expressando os resultados na base móvel(i,j,k)

r r r

, solidária à carcaça AB:

a) o vetor de rotação absoluto da hélice ω^r e a velocidade vr_B

do ponto B;

b) a velocidade vetorial do ponto P da pá nº 1, situado em sua linha central a uma distância r de B;

c) a aceleração vetorial do ponto P;

d) a aceleração de Coriolis do ponto Q, na extremidade da pá.

Respostas: r

&

r r

= r

&

r =−

A l

B

O z

y x

1 1,ω

ω ^&

2 2,ω ω &

θ

R

r

P

Q

a ϕ&

θ^&

x

y z

O

B A

ϕ

27) O mecanismo da figura consiste de uma barra AO que gira em torno da extremidade O com velocidade angular ω constante. A extremidade A é presa por um pino no cursor (ver figura) que pode deslizar internamente ao garfo DB, articulado em D. Usando como referencial móvel o garfo DB, determine em função de ω, l, a e s para θ = 90º:

a) A velocidade absoluta do ponto A.

b) A velocidade relativa e de arrastamento do ponto A.

c) A velocidade angular Ω do garfo DB.

Resp.: b)

si ωla v_{A, rel}

r r

−

=

;

s j ωl vr_{A, arr} ² r

−

=

c)

s k Ω ω.l

r r

2 2

−

=

28) No mecanismo da figura a barra OC apresenta movimento de rotação em torno de O, com velocidade angular ω constante. O anel A escorrega sobre a barra OC e a barra AB, articulada no anel, tem liberdade de movimento apenas na vertical. Pede-se calcular a velocidade relativa de A com respeito à barra

OC.

Resp.:

ωl i v_{A, rel} r r

ϕ ϕ cos2

= sen

ϕ

C

O

l B

A

j r

i r

ω

s θ l

ω

A B

O

D a

i r j r