1 Equação de Transporte de Quantidade de Movimento
1.1 Introdução
A equação de transporte de quantidade de movimento tem a forma de qualquer equação de evolução:
( . ) =(Fluxo difusivo)+(Fontes-Poços) +
=
∫∫∫ ∫∫
∫∫∫
dV t dV v n dAdt d
surface vc
sistema
r r β
∂ β β ∂
Esta equação relaciona a taxa de variação da propriedade no interior de um volume material (sistema) de fluido com a taxa de variação num volume de controlo (vc) fixo do espaço, com o fluxo advectivo e com o fluxo difusivo, as fontes e os poços.
A equação estabelece que a variação de uma propriedade no interior de um sistema material é resultante da difusão através da superfície e das fontes e dos poços. NO case de o volume de controlo não ser um sistema material de fluido, mas ser um volume de controlo fixo, ao fluxo difusivo há que juntar o fluxo advectivo devido ao facto de o fluido estar a atravessar o volume de controlo. No caso de o volume se deslocar, mas a uma velocidade diferente da do fluido, o fluxo advectivo a considerar é devido à velocidade relativa do fluido em relação à parede do volume de controlo.
O caso mais complexo que se pode considerar é o de um volume de controlo deformável, que se desloca a velocidade diferente da do fluido. Neste caso a velocidade relativa seria variável no tempo e de ponto para ponto.
No caso a propriedade transportada ser a quantidade de movimento por unidade de volume (ρvi), de acordo com a lei nde Newton, as fontes e os poços são as forças de pressão e gravíticas, sendo as forças viscosas responsáveis pelo fluxo difusivo.
1.2 Forças que actual sobre um fluido
Vamos agrupar as forças de acordo com o ponto de aplicação. Assim podemos dividir as forças em dois grandes grupos: (i) forças de superfície e forças volúmicas, consoante actuem na superfície ou no seio do fluido. As primeiras são as devidas à pressão e ao atrito e as segundas são as forças mássicas São exemplo de forças mássicas o peso e a força electromagnética. As forças de superfície podem ser normais ou tangenciais. As forças de atrito são forças tangenciais e as de pressão são forças normais.
1.2.1 O peso
A peso é uma força mássica vertical, dirigida de cima para baixo, cuja intensidade, por unidade de volume é dada por ρgi, onde gi é a aceleração da gravidade. Num referencial com um eixo vertical, esta força tem por conseguinte uma única componente.
Figura 1: Decomposição do peso nas suas componentes, num referencial em que nenhum dos eixos é vertical.
A Figura 1 mostra um plano inclinado com inclinação θ e a decomposição do peso nas suas componentes paralela perpendicular ao plano. A componente perpendicular ao plano é equilibrada pela reacção do plano e é responsável por uma força de pressão exercida pelo corpo sobre o plano. A força tangencial tem que ser equilibrada por uma força tangencial também (e.g. força de atrito). Se não for equilibrada, então, de acordo com a lei de Newton dá origem a uma aceleração paralela ao plano.
A força tangencial é dada por:
1
1 ( ) gsen( ) g
vol Psen P
P = θ => =ρ θ =ρ
Consideremos um eixo vertical “z” e relacionemos a componente da aceleração da gravidade, g1, com a variação da coordenada “z” ao longo do eixo “x1”. A figura mostra no pormenor incluído no círculo que:
∆X1
∆z Z
θ X1
X2
P=ρg
1 1
)
( x
z x
sen z
∂
− ∂
∆ =
− ∆ θ =
A componente do peso por unidade de volume num eixo de um referencial genérico pode por conseguinte ser escrita como:
i i
i x
g z g
vol gsen P
∂
− ∂
=
=
=
ρ (θ) ρ ρ
1.2.2 A pressão
A pressão é um escalar que quando aplicada sobre uma superfície origina uma “força de pressão” perpendicular à superfície. Um corpo imerso no seio de um fluido fica por conseguinte sujeito a uma força de pressão em toda a sua superfície.
Figura 2: Corpo imerso no seio de um fluido e representação da normal e da decomposição da pressão num ponto, nas suas componentes em cada um dos eixos.
A Figura 2 mostra um corpo imerso no seio de um fluido, a normal ao corpo em dois pontos e a decomposição da força de pressão nas suas duas componentes num dos pontos. A componente da força de pressão na direcção “j” numa área elementar “dA” é dada por:
dA pn Fpi =− i
Podemos por conseguinte olhar para esta força como a projecção da força de pressão na área dA na direcção “j” ou como a pressão vezes a projecção da área na mesma
dAi
ni X2
X1
direcção. Como a projecção da “metade esquerda” da figura na direcção “j” é igual à projecção da metade direita na mesma direcção, é fácil verificar que a força de pressão resultante, depende do gradiente de pressão e não da pressão propriamente dita. Com efeito se a pressão for uniforme na superfície então a força que actua na metade esquerda equilibra a que actua na metade direita. Essa mesma conclusão se retiraria integrando a força de pressão acima em toda a área. Sendo p constante na área pode sair do integral, e o integral da normal anula-se numa superfície fechada.
No caso de um corpo paralelipipédico, com as faces perpendiculares aos eixos, as forças de pressão em cada uma das faces serão paralelas a um dos eixos. Vamos considerar um corpo mergulhado no seio de um fluido com superfície livre e analisar a pressão hidrostática.
Figura 3: Forças de pressão aplicadas sobre um volume mergulhado no seio de um fluido.
A força de pressão aplicada na parte superior é igual à força que este volume exerce sobre o fluido acima dele (fluido mais claro) e tem que ser igual ao peso deste mais a força de pressão exercida na superfície livre. Se fosse diferente, a resultante originaria aceleração.
A Figura 1 as forças de pressão aplicadas sobre um volume mergulhado no seio de um fluido. A força de pressão aplicada na parte superior é igual à força que este volume exerce sobre o fluido acima dele (fluido mais claro) e tem que ser igual ao peso deste mais a força de pressão exercida na superfície livre. Se fosse diferente, a resultante originaria aceleração.
∆z
A componente da pressão no seio do fluido devida à coluna de líquido que está acima tem por conseguinte de equilibrar o peso e por isso a pressão (força por unidade de área) é dada por:
∫
=
sup
) (
z
gdz z
p ρ
Se a massa volúmica for constante na coluna de fluido, então a pressão é dada pelo peso volúmico vezes a coluna de fluido. A equação acima pode ser expressa em termos diferenciais calculando a diferença de pressão entre dois pontos a uma distância infinitesimal. Nesse caso, em vez de obtermos a pressão obtemos a taxa de variação da pressão:
z g p =−ρ
∂
∂
Onde a massa volúmica, no caso genérico (e.g. no mar e na atmosfera) é função do ponto em consideração.
A figura acima e a equação da pressão mostram que na direcção horizontal, só há diferenças de pressão se existir um gradiente de superfície livre (variam os limites de integração) ou se existir gradiente horizontal de massa volúmica.
Se existisse variabilidade horizontal da massa volúmica, a pressão variaria ao longo de uma linha horizontal e por isso o fluido ganharia aceleração horizontal. Suponhamos que a massa volúmica em ambos os lados do volume representado na figura era superior à massa volúmica do fluido. Nesse caso a pressão do lado de fora do volume seria superior à pressão no seu interior e as paredes laterais iriam mover-se em direcção ao centro do volume. Como consequência a área do volume iria diminuir e a sua altura iria aumentar, obrigando a superfície livre a subir. Quando a superfície livre sobe, deixa de ser horizontal e por isso gera um escoamento divergente à superfície, fazendo diminuir a pressão de novo no interior do fluido menos denso e mantendo assim o movimento horizontal/vertical, até que todo o fluido menos denso venha para a superfície. E por esta razão que, no oceano a água mais salgada tende a afundar-se e a a água mais quente tende a ficar à superfície.
1.2.3 Forças viscosas
As forças viscosas quantificam a interacção entre as moléculas. Como vimos aquando da introdução do conceito de viscosidade, esta interacção pode ser ao nível de moléculas individuais (gases e vapores), ou ao nível de grupos de moléculas (líquidos).
Em qualquer dos casos a força gerada depende do fluido (através da viscosidade) e do escoamento (através do gradiente de velocidade).
As forças viscosas são paralelas à velocidade (daí serem por vezes também designadas por tangenciais). Aquando da introdução do conceito de viscosidade dissemos que as forças tangenciais são dadas pela expressão:
dy µdv τ =−
Onde τ é a tensão tangencial (ou de corte), µ é a viscosidade, v é a velocidade de y é o eixo perpendicular à velocidade. Para escrever esta equação, não foram feitas considerações sobre a compressibilidade do fluido e foi admitido que o sistema de eixos era tal que a velocidade só tinha uma componente, e que esta só variava ao longo do eixo dos yy.
No caso geral, a velocidade tem mais do que uma componente, e o escoamento pode ser compressível. Por outro lado, as equações que regem o movimento do fluido, são necessárias para determinar as propriedades do escoamento (velocidade incluída) e por isso, nos escoamentos mais complexos, quando o referencial é escolhido, a velocidade é desconhecida. Assim temos que escrever a equação da tensão de corte numa forma genérica.
A tensão de corte é então uma força que actua tangencialmente à velocidade. Então em cada ponto ela pode ter 3 componentes. Se pensarmos num volume de controlo paralelipipédico, temos 3 orientações possíveis para as faces (perpendiculares a xx, a yy e a zz). Em cada uma destas faces temos tensão de corte a actuar, e cada uma delas pode ter 3 componentes. Para descrevermos as tensões de corte que actuam nesse volume precisamos então de 9 quantidades. O efeito da tensão de corte sobre o fluido contido no volume de controlo dependerá da divergência dessas quantidades no volume.
Uma expressão geral para a tensão de corte pode ser obtida resolvendo o sistema de equações que se obtém das afirmações seguintes:
• A tensão de corte é igual à viscosidade vezes a taxa de deformação (gradiente de velocidades).
• O momento resultante das tensões de corte é nulo (o tensor é simétrico)
• Não há efeito de compressibilidade associado à tensão de corte (o traço do tensor é nulo).
A partir destas condições obtém-se a equação:
k k ij i
j j i
ji x
v x
v x v
∂ + ∂
∂ +∂
∂
− ∂
= µ δ µ
τ 3
2
A tensão de corte é o produto da viscosidade pelo gradiente de velocidades. O tensor é simétrico e o seu traço (a soma dos termos obtidos fazendo i=j ) é igual a zero.
3 0 32 2
3 3 2 2 1 1 3
3 2 2 1 1 33
22
11 =
∂ +∂
∂ +∂
∂ + ∂
∂ +∂
∂ +∂
∂
− ∂
= + +
= x
v x v x v x
v x v x v
ii τ τ τ µ µ
τ
No caso de um fluido incompressível a tensão de corte simplifica-se para:
∂ +∂
∂
− ∂
=
i j j i
ji x
v x µ v τ
Se a velocidade tiver só uma componente (e.g. escoamento sobre uma placa plana inclinada ou no interior de um tubo, então a tensão de corte reduz-se à sua expressão mais simples, apresentada aquando da introdução do conceito de viscosidade.
1.3 Balanço de forças e variação da quantidade de Movimento
A taxa de variação da quantidade de movimento pode então ser calculada através do balanço da quantidade de movimento que entra/sai e das forças aplicadas ao volume de controlo:
( )
( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
= + = + − +vc i surface
i surface
j ji surface
j j i vc
i sistema
i v dV v v n dA n dA pn dA g dV
dV t dt v
d ρ ρ τ ρ
∂ ρ ∂
Esta equação estabelece que: a taxa de acumulação de quantidade de movimento no interior de um volume de controlo é o resultado do que entra e sai por advecção, e da resultante das forças viscosas, de pressão e mássicas.
Esta equação pode ser simplificada quando as propriedades são uniformes em cada uma das faces e no interior do volume de controlo. Nesse caso as funções integradas podem sair dos integrais. É o caso dos volumes infinitesimais. Nesse caso esta
equação integral transforma-se numa equação diferencial. Em alguns casos particulares a equação diferencial obtida tem solução analítica e permite resolver o problema. Nos casos em que a equação não tem solução analítica são necessárias mais hipóteses.
Uma hipótese tradicional em engenharia é admitir que mesmo em volumes finitos se pode admitir que as propriedades são uniformes nas faces. Esta hipótese é particularmente útil em escoamentos estacionários, quando o único integral de volume que se mantém é o das forças mássicas, que dá a componente do peso na direcção do movimento em consideração.
Depois do advento dos computadores a hipótese anterior pode ser melhorada, aproximando-a da solução analítica para o volume infinitesimal. Neste caso o escoamento é dividido em volumes de controlo de dimensões suficientemente pequenas para que a hipótese de uniformidade das propriedades nas faces e no volume de controlo seja realista. Neste caso os fluxos que saem de um volume entram nos volumes adjacentes, obtendo-se um sistema de equações que permite calcular as propriedades no interior de cada volume de controlo, conhecidos os fluxos através da fronteira do domínio em estudo.
1.4 Equação Diferencial de Transporte de Quantidade de Movimento
Para a componente da quantidade de movimento segundo x1, na hipótese de um volume infinitesimal com faces perpendiculares aos eixos coordenados, o balanço de força e de quantidade de movimento daria:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 2 31) 3 ( 1 2 31) 3 3 1 2 3 1
2 21 2 3 2 1
21 3 1 1
11 1 3 1 2
11 3 2
1 3 1
1 2 3 2
3 1 3 3 2 3 1
1 3 2 2 1
1 2 2 3 2 1
1 2 3 1
1 1 1 1 3 1 2
1 1 3 2 1
1 3 2 1
g x x x x
x x
x
x x x
x x
x x
x
p x x p
x x
v v x x v
v x x v
v x x v
v x x
v v x x v
v x t x
v x v
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
t t
t
ρ τ
τ
τ τ
τ τ
ρ ρ
∆
∆
∆ +
∆
∆
−
∆
∆
+
∆
∆
−
∆
∆ +
∆
∆
−
∆
∆
+
∆
∆
−
∆
∆
=
∆
∆ +
∆
∆
−
∆
∆ +
∆
∆
−
∆
∆ +
∆
∆
−
∆
∆ −
∆
∆
∆ +
∆ +
∆ +
∆ +
∆ +
∆ +
∆ +
∆ +
Dividindo a equação pelo volume (∆x1∆x2∆x3), substituindo a componente da aceleração da gravidade em função da inclinação do eixo obtém-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 3
3 31 3 31 3
2
2 21 2 21 2
1
1 11 1 11 1
1 1 1 1
3
3 1 3 3 3
1 3 2
2 1 2 2 2
1 2 1
1 1 1 1 1
1 1 1
1
x g z x
x x
x p p
x v v v
v x
v v v
v x
v v v
v t
v v
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
t t
t
∂
− ∂
∆ + −
∆ + −
∆ + −
∆
−
∆ =
− −
∆
− −
∆
− −
∆
−
∆ +
∆ +
∆ +
∆ +
∆ +
∆ +
∆ +
∆ +
τ ρ τ
τ τ
τ τ
ρ ρ
Fazendo tender o volume e o intervalo de tempo para zero, esta equação dá origem à equação diferencial de transporte de quantidade de movimento, que para uma direcção genérica se escreve como:
i j
ji i
j i i j
x g z x x
p x
v v t
v
∂
− ∂
∂
−∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂
∂ρ ρ τ ρ
As derivadas dos produtos no primeiro membro podem ser desenvolvidas e a equação simplificada, usando a equação da continuidade:
j j j
j j
j j
j
x v dt
d x
v v x
t x
v
t ∂
− ∂
=
=>
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂
=> ∂
=
∂ + ∂
∂
∂ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρ 0
i j
ji i
j j i
j i j i
x g z x
x p x
v v t
x v v t v
∂
− ∂
∂
−∂
∂
− ∂
=
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂ ρ ρ τ ρ
ρ ρ
i j
ji i
j i j i
x g z x x
p x
v v t v
∂
− ∂
∂
−∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂
∂ τ ρ
ρ ρ
Substituindo nesta equação a equação da tensão de corte para um fluido newtoniano incompressível, obtém-se a equação de Navier-Stokes:
i j
i j
i j
i j i
x g z x
v x
x p x
v v t v
∂
− ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂
∂ ρ µ ρ
ρ
ou
∂
∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂
∂
j i j
i j
i j i
x v x
x P x
v v t
v ρ µ
ρ
Onde P=p+ρgz é a pressão piezométrica.
Ou ainda:
∂
∂
∂ + ∂
∂
− ∂
=
j i j
i i
x v x
x P dt
dv µ
ρ
Que estabelece que a aceleração de um fluido incompressível depende da resultante das forças de (pressão + gravidade) e das forças viscosas.
2 Balanços a sistemas de dimensões finitas
A equação descrita no parágrafo 1.3 está na forma integral e por conseguinte é aplicável a sistemas de dimensões finitas. O problema nesses sistemas é que normalmente não são conhecidas nem as distribuições de velocidade, nem as distribuições de pressão nas superfícies de entrada e de saída.
Nesse caso deve usar-se a melhor aproximação possível. Veremos aquando da introdução da turbulência, que em escoamentos turbulentos o perfil de velocidade é bastante uniforme, desde que as linhas de corrente sejam aproximadamente rectilíneas.
Neste caso também as distribuições de pressão são bastante uniformes. Nestas condições a velocidade e a pressão podem sair dos integrais.
Por outro lado, só existe fluxo advectivo através das faces abertas. Nas outras a velocidade é nula, na hipótese de “não escorregamento” e mesmo que existisse velocidade, ela seria paralela à superfície e por isso o produto interno pela normal seria nulo. As faces abertas são de entrada quando a o produto interno da normal pela velocidade é negativo e de saída no caso contrário.
Através das superfícies sólidas não existe fluxo advectivo, mas existe fluxo difusivo de quantidade de movimento, devido às tensões de corte. Sobre estas superfícies actua também uma distribuição de pressão. O conhecimento das distribuições de tensão de corte e de pressão exigiria a resolução da equação diferencial descrita no parágrafo 1.4.
Assim, o balanço integral é útil para calcular o valor de um integral da equação conhecidos os de todos os outros. Se conhecermos as condições de entrada e de saída e ainda o peso do fluido contido no interior do volume (este é normalmente um dado), poderemos obter a resultante das forças exercidas pela parede sólida.
No caso de as propriedades serem uniformes nas secções de entrada e de saída e de o escoamento ser estacionário, a equação pode escrever-se como:
(ρUiQ)S −(ρUiQ)E =(−PAni)E +(−PAni)S +FPS +ρVgi
onde Q é o caudal em cada uma das secções de entrada e de saída, A é a área de cada uma das secções FPS é a resultante das forças na parede sólida e V é o volume.
As pressões na entrada e saída podem ser calculadas pela Equação de Bernoulli. O seu uso deve ter em consideração que a normal na secção de entrada é negativa e positiva na de saída. Se a área for perpendicular à direcção “i” em que estamos a fazer o balanço, os termos de Pressão simplificam-se para: (PA)E −( )PA S.
