Compêndio I - 3 Bimestre 2021

(1)

GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO

A.O.S. DIOCESE DE ABAETETUBA E.E.E.F.M SÃO FRANCISCO XAVIER

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA ANO/SÉRIE: 2º ANO PROFESSOR(A):

ALUNO (A):

Compêndio I - 3° Bimestre 2021

3º BIMESTRE PLANEJAMENTO

AULA 1: Matrizes: Introdução, definição, representação geométrica, tipos de Matriz: quadrada, triangular, diagonal, identidade, nula, matriz linha, matriz coluna.

AULA 2: Igualdade e desigualdade de matrizes, transposta de uma matriz e matriz simétrica AULA 3: Teste avaliativo 1

AULA 4: Operações com matrizes:

a) Adição e subtração b) oposta

c) multiplicação por um número real d) multiplicação por outra matriz AULA 5: Teste avaliativo 2

AULA 6: Matriz inversa AULA 7: Determinantes

a) ordem 1 b) ordem 2 c) ordem 3

AULA 8: Teste avaliativo 3

AULA 1

Você já deve ter ouvido falar ou manuseado uma ferramenta de cálculos, construção de expressões e gráficos

semelhante a uma planilha eletrônica e presente na maioria dos computadores. Essas planilhas são formadas por

tabelas compostas de linhas (horizontal) e colunas (vertical), gerando espaços de inserção de dados conhecidos

como células da planilha.

(2)

composta de linhas e colunas, além dos valores inseridos denominados de elemento ou termo.

De forma genérica, representamos uma matriz por meio de uma letra maiúscula qualquer e cada elemento por meio de uma letra minúscula acompanhada de dois índices (i e j), respectivamente, posição na linha e posição do elemento na coluna. Veja:

1. Dada a matriz a seguir, responda as perguntas solicitadas.

[

4 −3

√3 1/2

0 7

]

2. Se uma matriz possui 45 elementos ela pode ser de qual ordem?

Resp.: 1 x 45 (ou 45 x 1); 3 x 15 (ou 15 x 3); 5 x 9 (ou 9 x 5).

3. Dada a matriz 𝐴 = [ 3 1 0

−2 5 −3 ], determine:

a) 𝑎

₁₁

+ 𝑎

₂₂

b) 𝑎

₂₃

. 𝑎

₁₂

c) 5𝑎

₂₁

− 𝑎

₃₃

Resp.: Resp.: Resp.:

3 + 5 = 8 (– 3) . 1 = – 3 5 . (– 2) – (– 3)

– 10 + 3 = – 7 4. Escreva a matriz (𝑎

_𝑖𝑗

)

2𝑥2

, seguindo a lei 𝑎

_𝑖𝑗

= 3𝑖 − 𝑗

a) Qual a ordem dessa matriz? b) Qual o elemento da 3ª linha e 2ª coluna?

Resp.: matriz 3 x 2 Resp.: 7

c) Em que linha está o elemento √3 d) Qual o valor representa o termo (𝑎

₁₂

)

_2𝑥2

?

Resp.: 2ª linha Resp.: – 3

(3)

Resp.:

( 𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

) →

Logo, a matriz (𝑎

_𝑖𝑗

)

2𝑥2

é composta pelos termos 𝐴 = ( 2 1

5 4 )

Algumas matrizes possuem algumas características peculiares e, por isso, recebem nomes especiais. Nessa tópico conheceremos algumas delas.

1. Matriz quadrada: É aquela matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas. Temos como exemplo as matrizes de tamanho 2 x 2 (ordem 2), 3 x 3 (ordem 3), 4 x 4 (ordem 4) e assim por diante.

𝐴 = ( 1 −3

4 4 ) 𝐵 = [

9 15 0

−7 8 23

7 −5 −1 ]

Matriz de ordem 2 (m = n = 2) Matriz de ordem 3 (m = n = 3)

2. Matriz triangular: É aquela matriz quadrada cujos elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, ou seja, são todos iguais a zero.

𝐴 = ( 1 −3

0 4 ) 𝑃 = [

9 0 0

−7 8 0

7 −5 −1

] 𝑀 = [

2 −4 15

0 3 0

0 0 −1

]

3. Matriz diagonal: É aquela matriz quadrada cujos elementos que não estão na diagonal principal são nulos.

𝐴 = ( 1 0

0 4 ) 𝐵 = [

9 0 0 0 8 0 0 0 −1

] 𝐶 = [

2 0 0 3 0 0 0 −1

]

4. Matriz identidade: É aquela matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais, iguais a zero.

𝐼

₂

= ( 1 0

0 1 ) 𝐼

₃

= [

1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

5. Matriz nula: É qualquer matriz onde todos os elementos são iguais a zero.

0

₂

= ( 0 0

0 0 ) 0

₃

= [

0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] 𝑎

₁₁

= 3.1 − 1 𝑎

₁₂

= 3.1 − 2 𝑎

₂₁

= 3.2 − 1 𝑎

₂₂

= 3.2 − 2

𝑎

₁₁

= 2 𝑎

₁₂

= 1 𝑎

₂₁

= 5 𝑎

₂₂

= 4

→

Diagonal principal Diagonal principal

Diagonal principal

Diagonal principal Diagonal principal

Diagonal principal

(4)

6. Matriz linha: É a matriz do tipo 1 x n 𝑀 = (−5 0 3) matriz do tipo 1 x 3 7. Matriz coluna: É a matriz do tipo m x 1

𝐶 = ( 7

−5 4

) Matriz do tipo 3 x 1

AULA 2

Duas ou mais matrizes são iguais se, e somente se, elas pertençam a mesma ordem e os seus termos que ocupam a mesma posição nessas matrizes (termos correspondentes) também são iguais. Veja:

𝑀 = ( 1 4

5 8 ) 𝑃 = ( 1 (2.2)

10

2

√64 )

As matrizes M e P são iguais (M = P), devido apresentarem a mesma ordem (2 x 2) e os seus elementos correspondentes são iguais.

Observe a matriz 𝐴 = ( 5 0 −3

√2 17 4 ). Ao trocarmos os elementos das linha pelos elementos das colunas, teremos uma outra matriz denominada de matriz transposta e simbolizamos por 𝐴

^𝑡

= ( 5 √2

0 17

−3 4 )

Note que a ordem da matriz A é 2 x 3, enquanto que a ordem da matriz transposta de A é 3 x 2 e que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de 𝐴

^𝑡

e que a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de 𝐴

^𝑡

.

É uma matriz quadrada em que 𝐴 = 𝐴

^𝑡

. Na prática, verifica-se se os elementos dispostos na matriz em relação a diagonal principal são iguais. Veja:

𝐴 = [

3 −1 7

−1 5 0

7 0 8

] → 𝐴

^𝑡

= [

3 −1 7

−1 5 0

7 0 8

] 𝑀 = ( 1 5

5 8 ) → 𝑀

^𝑡

= ( 1 5

5 8 )

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❶ Dada as matrizes a seguir, classifique-as conforme a sua característica, indicando “V” para as afirmativas verdadeiras e “F” para as afirmativas falsas.

𝐼 = ( 1 0

0 1 ) 𝑁 = [

0 0 0 0 0 0 0 0 0

] 𝑃 = [

9 0 0

−7 8 0

7 −5 −1

] 𝐴 = ( 1 −3 4 4 )

𝐵 = [

2 0 0

0 7 0

0 0 −3

] 𝐶 = (

17 −5 3

) 𝐿 = (−4 1 3) 𝐹 = [

3 2 −7

2 5 0

−7 0 6

]

( ) A matriz N é uma matriz nula. ( ) A matriz A é uma matriz quadrada ( ) A matriz A é uma matriz identidade. ( ) A matriz I é uma matriz identidade ( ) A matriz B é uma matriz nula ( ) A matriz B é uma matriz diagonal ( ) A matriz C é uma matriz linha ( ) A matriz L é uma matriz coluna ( ) A matriz F é uma matriz simétrica . ( ) A matriz F é uma matriz quadrada ( ) A matriz P é uma matriz simétrica ( ) A matriz P é uma matriz triangular ( ) A matriz P é uma matriz quadrada ( ) A matriz P é uma matriz nula ( ) A matriz B é uma matriz triangular. ( ) A matriz B é uma matriz quadrada ( ) A matriz B é uma matriz nula ( ) A matriz C é uma matriz coluna

❷ Considerando as matrizes A = B, determine os valores de “x”, “y” e “z”

𝐴 = [

3 −3

√3 1/5 𝑦 + 4 9

] e 𝐵 = [

3 −3

𝑥 1/5

0 2𝑥 − 1 ]

❸ Considerando as matrizes M = N, determine os valores de “x” “y”

𝑀 = [ 𝑥

²

+ 2𝑥 + 1 8 −5

0 3 2𝑦 + 3 ] 𝑁 = [0 √64 −5

0 3 11 ]

(6)

❹ O quadro a seguir mostra a quantidade de produtos defeituosos ao final de um processo de produção em cada unidade de uma empresa localizada em cidades diferentes.

Unidades Produto A B C Vaso 4 1 2 Cadeira 3 2 3 Cama 1 5 7

❺ Construa a matriz (𝑎

_𝑖𝑗

)

2𝑥4

, seguindo a lei 𝑎

_𝑖𝑗

= 2𝑖 + 𝑗

❻ Dentre as matrizes a seguir, marque a única alternativa que não apresenta uma matriz simétrica?

(𝑎) 𝐴 = [

1 2 −3

2 7 4

−3 4 8

] (𝑏) 𝐵 = (𝑏

_𝑖𝑗

)

3𝑥3

, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏

_𝑖𝑗

= (−1)

^𝑗

(𝑐) 𝐶 = (𝑐

_𝑖𝑗

)

3𝑥3

, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑐

_𝑖𝑗

= 𝑖 + 𝑗 (𝑑) 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 4 𝑥 4 (𝑒) 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 3

Com base nessas informações, apresente a resposta ao que se pede:

a) Escreva a matriz D que represente as informações dessa tabela.

b) Escreva a matriz 𝐷

^𝑡

.

c) Construa a tabela com os dados da matriz 𝐷

^𝑡

d) Em sua opinião, qual unidade dessa empresa precisa de mais atenção com relação

ao processo de controle de qualidade?

(7)

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AULA 3

Nessa aula iremos realizar o Teste avaliativo 1 utilizando questões propostas em slides programados com tempo de resolução para cada questão/slide e transição automática dos mesmos para verificar o progresso do processo de ensino-aprendizagem dos assuntos até aqui explicados.

AULA 4

1. Adição

Em uma pesquisa realizada pelo bibliotecário do C.S.F.X. verificou-se que a quantidade e gênero textual solicitados pelos alunos do Ensino Fundamental e Médio durante os dois primeiros bimestre de 2020 e organizou esses dados em duas tabelas.

Vamos escrever esses dados sob a forma de matrizes, sendo A a matriz referente ao Ens. Fundamental e B, a matriz com as informações de leituras do Ensino Médio.

𝐴 = [

18 20 25 23 17 27

] 𝐵 = [

6 8

30 32 21 35 ]

Para saber a quantidade total de livros solicitados no C.S.F.X. considerando os dois níveis de ensino (fundamental e médio, basta determinar a soma entre os elementos correspondentes dessas matrizes. Veja:

𝐴 + 𝐵 = [

18 + 6 20 + 8 25 + 30 23 + 32 17 + 21 27 + 35

] → 𝐴 + 𝐵 = [

24 28 55 55 38 62 ]

Ensino Médio

Gênero textual 1º Bimestre 2º Bimestre

Poesia 6 8

Crônica 30 32

Romance 21 35

Ensino Fundamental

Gênero textual 1º Bimestre 2º Bimestre

Poesia 18 20

Crônica 25 23

Romance 17 27

(8)

Propriedades da adição de matrizes 1. Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 2. Comutativa: A + B = B + A

3. Elemento neutro: A + 0 = A 4. Elemento oposto: A + ( – A) = 0

2. Subtração

Para subtração, o processo é o mesmo. Veja o exemplo:

𝑀 = [

42 85 33 74 28 17

] 𝑃 = [

35 70 52 45 8 23 ]

𝑀 − 𝑃 = [

42 − 35 85 − 70 33 − 52 74 − 45 28 − 8 17 − 23

] → 𝑀 − 𝑃 = [

7 15

−19 29 20 −6

]

3. Matriz oposta

Dada uma mátria M, a matriz oposta de M, indicada por – M é aquela que adicionada à matriz M, resulta em uma matriz nula de mesma ordem.

Na prática, para determinarmos a matriz oposta, basta trocar os sinais dos elementos da matriz de referência.

Veja:

𝑀 = [

1 −3

√2 0

−5 4

] → −𝑀 = [

−1 3

−√2 0 5 −4

]

4. Multiplicação e matriz por número real

Imagine que cinco estudantes resolveram verificar entre si qual seria o melhor rendimento no 2º bimestre nos componentes curriculares Matemática, L. portuguesa, Ed. Física e Geografia. Sabe-se que a média de cada componente no 2º bimestre possui peso igual a 3, ou seja, será multiplicado por 3.

Mat. L.P. Ed. Fís. Geog.

Carlos 7,5 8,0 8,0 10,0

Marcela 8,0 8,5 10,0 9,0

Bianca 8,5 8,5 9,0 9,5

André 8,0 7,5 9,5 9,5

Priscila 7,5 7,0 10,0 10,0

.

(9)

5. Multiplicação de matriz por outra matriz

A tabela a seguir mostra o desempenho dos cinco primeiros colocados na Copa do Brasil em um determinado ano, durante certo período da competição.

Sabe-se que cada vitória vale 3 pontos. Cada empate, 1 ponto e não há pontuação nas derrotas.

Podemos determinar o total de pontos de cada clube, multiplicando cada resultado (vitória, empate ou derrota) pela respectiva pontuação, presente em uma outra tabela.

Assim, temos a matriz A com dados do desempenho dos time e a matriz B com as pontuações para cada resultado.

No caso de multiplicação de matriz por matriz (A . B), teremos a matriz produto P, composta pelos termos resultantes da soma dos produtos dos elementos das linhas pelas colunas. Nesse caso temos:

S. P Santos Fla Flu Cruzeiro

Vitória 3 3 3 3 3

Empate 1 1 1 1 1

Derrota 0 0 0 0 0

.

(10)

colunas da 1ª matriz possui o mesmo número de linhas da 2ª matriz. Isso nos dará a ordem da matriz produto correspondendo à quantidade de linhas da 1ª matriz e a quantidade de colunas da 2ª matriz.

Propriedades da multiplicação de matrizes 1. Associativa: A . (B . C) = (A . B) . C

2. Distributiva à esquerda: A . (B + C) = A . B + A . C 3. Distributiva à direita: (A + B) . C = A . C + B . C 4. Comutativa: Não vale

5. Elemento neutro: A . I = A

6. Sendo 𝐴

_𝑚𝑥𝑛

𝑒 𝐵

_𝑛𝑥𝑝

, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 (𝐴. 𝐵)

^𝑡

= 𝐴

^𝑡

. 𝐵

^𝑡

7. Sendo 𝐴

_𝑚𝑥𝑛

𝑒 𝐵

_𝑛𝑥𝑝

, 𝑒 𝑘 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 (𝑘. 𝐴). 𝐵 = 𝐴. (𝑘. 𝑏) = 𝑘(𝐴. 𝐵)

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❶ Calcule o produto matricial caso seja possível.

𝑎) ( 4

2 ) . (5 1) 𝑏) ( 2 3 5

−1 0 4 ) . (

5 6

1 −4

−2 3 )

❷ Dada as matrizes 𝐴 = ( 3 −2

8 0 ) 𝐵 = ( 5 −4

−3 7 ) 𝐶 = ( −5 0 7

6 −3 4 ) 𝐷 = (

1 2 3

3 2 1

−2 −1 0 ) Determine:

a) 3D b) – 5C c) A + B d) A – B e) B – A

f) 2B – A g) B² h) D.C i) C.D f) – C

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AULA 5

Nessa aula iremos realizar o Teste avaliativo 2 propondo pesquisa de informações para serem tabuladas e depois construídas as respectivas matrizes, que servirão de base para as perguntas que serão propostas sobre o tema pesquisado.

AULA 6

Dada duas matrizes A e B, ambas de ordem n, Se o produto 𝐴. 𝐵 = 𝐼

_𝑛

, a matriz B será chamada de matriz inversa de A, a qual indicaremos por 𝐴

⁻¹

.

1. Vamos determinar a inversa da matriz ( 1 3

1 2 ), caso exista.

Lembrando da definição 𝐴. 𝐵 = 𝐼

_𝑛

, logo:

( 1 3

1 2 ) . ( 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 ) = ( 1 0 0 1 )

( 1. 𝑎 + 3. 𝑐 1. 𝑏 + 3. 𝑑

1. 𝑎 + 2. 𝑐 1. 𝑏 + 2. 𝑑 ) = ( 1 0 0 1 )

( 𝑎 + 3𝑐 𝑏 + 3𝑑

𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑 ) = ( 1 0 0 1 )

{ 𝑎 + 3𝑐 = 1

𝑎 + 2𝑐 = 0 { 𝑏 + 3𝑑 = 0

𝑏 + 2𝑑 = 1 Resolvendo os sistemas, temos:

a = – 2 b = 3 c = 1 d = – 1

Assim, 𝐵 = ( 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 ) = ( −2 3

1 −1 )

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❶ Determine a inversa das matrizes 𝑎) ( 1 5

1 6 ) 𝑏) ( 2 3

7 5 ) 𝑐) ( 2 3

1 2 )

❷ Três equipes de handebol do 2º ano disputaram um torneio onde a regra para definir o campeão é pela soma total dos pontos conquistados após os jogos. Pelo regulamento, cada vitória vale 3 pontos, o empate vale 2 pontos e no caso de derrota, a equipe perde 1 ponto.

O quadro a seguir mostra o desempenho dessas equipes Vitórias Empates Derrotas

Equipe A 2 2 2

Equipe B 3 1 2

Equipe C 3 0 3

a) Escreva a matriz C para representar os dados da tabela ao lado.

b) Determine por meio do produto entre matrizes a pontuação alcançada por cada equipe.

c) Determine o elemento 𝑐

21

𝑑𝑒 𝐶

⁻¹

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AULA 7

Determinante é um número obtido a partir de operações envolvendo elementos de uma matriz quadrada de ordem n, representada por det A (Caso a matriz seja A).

1. Determinante de ordem 1

Como a matriz de ordem 1 possui apenas um elemento, ou seja, 𝐴 = (𝑎

₁₁

), esse número será o próprio determinante.

Exemplos:

𝑖) 𝑀 = (−3) → det 𝑀 = −3 𝑖𝑖) 𝑁 = (5) → det 𝑁 = 5

2. Determinante de ordem 2

Em uma matriz quadrada de ordem 2 (2 x 2) possui duas diagonais: principal e secundária. Nesses casos, o determinante será a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

𝐴 = [ 𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

] 𝑑𝑒𝑡𝐴 = [ 𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

] = 𝑎

₁₁

. 𝑎

₂₂

− 𝑎

₂₁

. 𝑎

₁₂

Exemplos:

𝑖) 𝑑𝑒𝑡 𝑃 = [ 3 2

1 5 ] = 3 . 5 − 1 . 2 i𝑖) 𝑑𝑒𝑡 𝐹 = [ −4 3

8 7 ] = (−4) . 7 − 8 . 3

det P = 15 – 2 det F = (– 28) – 24

det P = 13 det F = – 52

Diagonal principal

Diagonal secundária

(15)

3. Determinante de ordem 3

Para matrizes quadradas de ordem 3, existem vários procedimentos para calcular o determinante. Nesse curso, adotaremos o método conhecido como regra de Sarrus (lê-se: regra de “Sarrí”).

Veja os passos:

1º - Repete-se as duas primeiras colunas à esquerda da matriz.

2º - Faz-se a multiplicação dos elementos de cada uma das 3 diagonais principais, somando-se esses produtos.

3º - Faz-se a multiplicação dos elementos de cada uma das 3 diagonais secundárias, somando-se esses resultados 4º - Subtrai-se o resultado entre a diagonal principal e a diagonal secundária.

Veja o processo de forma genérica.

[

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₁₃

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

𝑎

₂₃

𝑎

₃₁

𝑎

₃₂

𝑎

₃₃

]

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

𝑎

₃₁

𝑎

₃₂

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz A=[

1 0 4

5 −1 10

3 4 2

].

Det A=[

1 0 4

5 −1 10

3 4 2

] 1 0 5 −1 3 2

det 𝐴 = [(𝑎

₁₁

. 𝑎

₂₂

. 𝑎

₃₃

) + (𝑎

₁₂

. 𝑎

₂₂

. 𝑎

₃₁

) + (𝑎

₁₃

. 𝑎

₂₁

. 𝑎

₃₂

)] − [(𝑎

₃₁

. 𝑎

₂₂

. 𝑎

₁₃

) − (𝑎

₃₂

. 𝑎

₂₃

. 𝑎

₁₁

) − (𝑎

₃₃

. 𝑎

₂₁

. 𝑎

₁₂

)]

Diagonal principal Diagonal secundária

det 𝐴 = [(1. (−1). 2) + (0.10.3) + (4.5.2)] − [(3. (−1). 4) − (4.10.1) − (2.5.0)]

det 𝐴 = [−2 + 0 + 40] − [−12 − 40 − 0]

det 𝐴 = 38 − (−52)

det 𝐴 = 38 + 52 → det 𝐴 = 90

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❶ Calcule o determinante de cada uma das matrizes quadradas a seguir.

𝑎) 𝐴 = [ 4 2

7 3 ] 𝑏)𝐵 = [ −2 8

−3 5 ] 𝑐) 𝐶 = [ 1/2 3/4

8 6 ]

𝑑)𝐷 = [

1 −3 4

7 0 9

5 2 −2

] 𝑒)𝐷 = [

1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

❷ Após construir a matriz B= (𝑏

_𝑖𝑗

)

3𝑥3

= 𝑖 + 2𝑗, calcule det B.

❸ Dadas as matrizes 𝐴 = [ 5 2

3 −4 ] 𝑒 𝐵 = [ −7 9

0 1 ], calcule det (2A – B)

(17)