30 ° 60 °

COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III PROVA FINAL DE VERIFICAÇÃO – MATEMÁTICA II - 2013

1º ANO DO ENSINO MÉDIO

NOTA:

Professor (a): Coordenadora: Maria Helena M. M. Baccar Data:

Nome: GABARITO Nº: Turma:

ATENÇÃO:

 Resolva as questões de maneira clara e organizada.

 Questões sem desenvolvimento ou justificativa NÃO serão consideradas.

 A prova é individual e sem consulta.

 Esta prova vale 5,0 pontos.

1ª QUESTÃO (valor: 1,0)

A torre Eiffel tem sua base em um piso plano e horizontal. De um ponto A desse piso, distante

m 3

108 do centro da base, vê-se o ponto mais alto da torre sob um ângulo de 60°com o piso.

Calcule a altura da torre.

Solução. Aplicando a razão trigonométrica no triângulo retângulo, vem:

  ^{3 ( 108 ).( )3 324 m}

.3 108 H 3 3

108 H 3 108 º H 60 tg

3 º 60 tg











 



 







.

2ª QUESTÃO (valor: 1,0)

O ângulo agudo de um losango mede 30°e seus lados medem 5cm. Calcule as medidas das diagonais menor e maior desse losango.

Solução. O losango possui os quatro lados iguais e ângulos adjacentes suplementares. Logo, se os dois ângulos agudos medem 30º cada, os dois ângulos obtusos medem 150º cada. Usando a lei dos cossenos para calcular a diagonal menor (d) e a diagonal maior (D), temos:

i)

 



^{2 3}



⁵



^{2 3}



^cm

25 d

3 2 25 3 25 2 50

). 3 25 .(

2 25 25 d

º 30 cos ).

5 )(

5 .(

2 ) 5 ( ) 5 ( d

2

2 2 2



























 











.

1

ii)

 



^{2 3}



⁵



^{2 3}



^cm

25 D

3 2 25 3 25 2 50

). 3 25 .(

2 25 25 D

º 150 cos ).

5 )(

5 .(

2 ) 5 ( ) 5 ( D

2

2 2 2









































.

3ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Calcule o valor da expressão



 



 



 



  



 



 

cossec 4 2

3 tg 2 2 + sen 3

, simplificando o resultado.

Solução. Substituindo os valores e efetuando, vem:

   

4 6 2 4

3 1 2 2 4

3 1 2 2 2

3 1

22 2 1

3 ) 1 (

sen4 2 1

3 2 +

sen 3

cossec 4 2

3 tg 2 2 + sen 3

 

 



 





 



 





 





















 



















 



 



  





 



 



 



  



 



 

.

4ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Resolva a equação trigonométrica 3

tg 2 



 

 π =

x , para x  IR.

Solução. Resolvendo, temos:

 



 

   



 





 



 





 

 



 





 



 





 

 



 

 





 



 





 

 



 

 



 



 

  

Zk;

6 k2 xouk 6 2 x/R 7 xS

6 k2 6 k2 x 13 ou

6 k2 x 7

3 k2 5 x 2 ou

3 k2 2 x 2

3 k2 5 x 2 ou

3 k2 2 x 2 2 3=

xtg

.

OBS. O resultado acima pode ser resumido em uma única expressão.







     































 



 



 

Z k;

6 k x/ 7 R x S

6 k x 7 3 k 2 x 2 3 k 2 x 2 3 2 = x tg

.

5ª QUESTÃO (valor: 1,0) Dado cossecx = 5 e π<x<π

2 , calcule cosx, tgx, cotgx e secx:

Solução. O arco x pertence ao 2º quadrante.

12 6 5 6 . 6 6 2

5 6

2 5 x

cos x 1 sec ) v

6 tgx 2

gx 1 cot ) iv

12 6 6

. 6 6 2

1 6

2 1 6

2 . 5 5 1 5

6 2

5 1 x

cos tgx senx ) iii

5 6 2 25 24 25

1 25 25

1 1 5

1 1 x cos x

sen 1 x cos ) ii

5 senx 1 senx 5

5 1 x sec cos ) i

2 2

2































 



 







 

















 









 



 

























.