Sistema de Conversão de Energia
Competências
1- Analisar e definir os circuitos magnéticos.
2- Analisar os princípios da conversão eletromecânica de energia.
3- Identificar os conceitos básicos e tecnológicos da indução eletromagnética.
4- Especificar componentes eletromagnéticos e suas características.
5- Identificar e avaliar o campo magnético criado por correntes elétricas.
6- Interpretar fatores que influem na variação do fluxo magnético.
Habilidades
1- Aplicar os conceitos magnéticos e os seus princípios.
2- Identificar gráficos, plantas e esquemas de circuitos magnéticos.
3- Aplicar técnicas de análise de fluxo magnético.
4- Executar testes e ensaios aplicados à indução eletromagnética.
5- Aplicar métodos de utilização de equipamentos de medição eletromagnéticos.
6- Realizar montagens e instalações de circuitos magnéticos.
Bases Tecnológicas
1- Cargas, força e campo elétrico.
2- Noções básicas de eletrostática
3- Campo, indução, fluxo e força magnéticos.
4- Campo magnético criado por correntes elétricas 5- Lei de Faraday e Lenz
6- Correntes de Foucault 7- Circuitos magnéticos
8- Princípio de funcionamento de dispositivos eletromagnéticos (Solenóide;
Eletroímã; Relé; Contator; Disjuntor; Transformador) 9- Princípios da conversão eletromecânica de energia
1. Lei de Faraday.
Quando um condutor retilíneo sofre a ação de linhas de campo variáveis, é induzida uma diferença de potencial entre seus terminais. Se em seu lugar for colocada uma bobina de N espiras, sua tensão induzida obedece a lei de Faraday:
V dt Nd e Sendo N o número de espiras;dt d
a taxa de variação do fluxo que atravessa a bobina.
2. Lei de Lenz.
A variação do fluxo magnético em uma bobina induz uma tensão em seus terminais, cuja polaridade tende a estabelecer uma corrente que produz um fluxo no sentido contrário ao original. Isto significa que um aumento na variação da corrente provoca uma polaridade no sentido de diminuí-la e vice-versa.
A lei de Lenz estabelece:
“Um efeito induzido ocorre sempre de forma a se opor à causa que o produziu”.
3. Auto-indutância.
É chamada de auto-indutância (L), ou simplesmente indutância, à propriedade de uma bobina se opor a qualquer variação de corrente. A indutância é medida em henries (H).
Os indutores são bobinas projetadas para introduzir quantidades específicas de indutância em um circuito. Sua indutância depende das propriedades magnéticas de seu núcleo e pode ser calculada pela equação:
H S L N
2
Sendo N o número de espiras;
a permeabilidade do núcleo;
S a área da secção transversal, em metros quadrados; e l o comprimento do núcleo, em metros.
Podemos calcular uma bobina com qualquer núcleo a partir de seu valor com núcleo a ar. Assim:
L0
Lr
Sendo L0 indutância da bobina com núcleo a ar;
r a permeabilidade relativa do núcleo escolhido; e L a indutância da bobina com núcleo ferromagnético.
Exemplo1:
Encontre a indutância da bobina de núcleo a ar, sabendo que: seu comprimento l é igual a 100 mm, o diâmetro do núcleo d é igual a 4 mm e a quantidade de espiras é igual a 100.
Solução:
S H L N
m d m
S
58 , 1 1
, 0
10 57 , 12 10 4
100
1 , 0
10 57 , 4 12
10 4 4
6 7
2 2
0
2 6 3 2
2
Exemplo 2:
Repita o exemplo anterior, para núcleo de ferro, supondo que r = 2000.
H L
L r 0 20001,58106 3,16103
4. Mo delo Equivalente de Indutor Real.
Na prática, todo indutor apresenta uma indutância, uma resistência devido ao seu fio e uma capacitância devida a aproximação de suas espiras.
Sendo assim, temos o circuito equivalente abaixo:
Para efeito de análise, o capacitor pode ser desprezado, mas o resistor precisa ser considerado, pois afeta diretamente o circuito em alguns casos.
5. Tensão Induzida em um Indutor.
A indutância de um indutor também é dada pelo produto da taxa de variação do fluxo no seu interior pela corrente aplicada ao seu número de espiras.
) di (H Nd L
A indutância depende da curva de histerese que, se for muito inclinada, uma pequena variação de corrente provoca uma grande variação no fluxo e assim fazendo com que a indutância seja elevada. Já próximo à saturação, uma grande variação da corrente quase não altera a indutância.
Os manuais e folhas de dados de especificações dos indutores indicam o valor máximo e corrente contínua que pode ser aplicado ao componente sem que ele entre na região de saturação.
Relacionando a lei de Faraday com a definição de indutância, i e,
dt di di Nd dt Nd
eL Obtemos:
) dt (V L di eL
Isto significa que a tensão entre os terminais de um indutor é diretamente proporcional a sua indutância e a taxa de variação da corrente que o atravessa.
Para efeito de análise de circuitos, trocaremos eL (aplicado a geradores) por vL (aplicado a circuitos).
Então:
) dt (V Ldi vL
A tensão média entre os terminais do indutor é dada pela equação:
) t (V L i vLav
Sendo: a variação finita, i e, uma variação que possa ser medida.
Exemplo 3:
Encontre a forma de onda da tensão média entre os terminais de um indutor de 4mH, sabendo que a corrente no indutor varia com o tempo na forma indicada abaixo.
t V t L
L i
vL 0 0
b) De 2 a 4ms temos:
t V L i
vL 3 3 3
3 3
3 20 10
10 2 10 4
10 0 10 10 10
4
c) De 4 a 9ms tiramos:
t V L i
vL 3 3 3
3 3
3 8 10
10 4 10 9
10 10 10 10 0
4
d) De 9 a ∞ sai:
t V t L
L i
vL 0 0
A figura abaixo representa a forma de onda resultante da tensão na bobina.
Nota; A Área positiva e a negativa são iguais, o que significa que não há dissipação de energia. O indutor simplesmente devolve a energia acumulada (de 2 a 4) durante o período de 4 a 9ms.
6. Ca rga em Circuito RL.
Uma vez que um indutor armazena energia em forma de campo magnético, temos variações de corrente e tensão em um circuito de corrente contínua. Este fenômeno pode ser entendido através do circuito abaixo.
Imediatamente após o fechamento da chave o indutor, em oposição à variação da corrente, provoca uma queda de tensão, vl, igual à tensão aplicada E, obedecendo a lei de Kirchhoff para tensões, fazendo vR= iR = (0)R = 0V. A corrente que parte do zero continua a crescer diminuindo a queda de tensão em vL até que, finalmente, vL seja zero e vR = E. A corrente aumenta rapidamente no início e perde velocidade ao longo do tempo até atingir E/R. Assim podemos concluir que:
“Quando um circuito de corrente contínua atinge o estado estacionário, qualquer indutor real (R=0) passa a se comportar como um curto- circuito”.
A equação para a corrente iL durante a fase de carga é:
) / /(
/ ) (1
1
( t t L R
M
L e
R e E
I
i
Observe que o valor máximo de iR é E/R e que a taxa de variação da corrente diminui com o tempo, expressa em constante de tempo (), dada
por R
L
em segundos (s). Como a carga tende ao infinito, na prática admite- se que a carga está completa após 5.
Obs.: A corrente não pode mudar instantaneamente em um circuito indutivo.
Por outro lado a tensão no indutor salta bruscamente para E voltes quando a chave é fechada e cai exponencialmente obedecendo a fórmula:
/ t
L Ee
v
Sendo assim, após 5vL = 0. E o indutor pode ser substituído por um curto circuito.
Sendo vL = iR.R = iL.R => vR =
1 /
. R .
1 t/
t R v E e
R e
E
Ou seja, vR tem a mesma forma de IL.
Exemplo: Encontre as expressões matemáticas para iL e vL em função do tempo no circuito da figura abaixo, depois que a chave é fechada. Esboce as curvas correspondentes.
Solução:
= RL 24kH 2ms
1
k mA V R
IL E 25
2 50
1
25.103
.
1 /2.103
t
L e
I
103
. 2
. /
50
t
L e
V
7. Descarga em Circuito RL.
Um indutor isolado não pode reter a energia armazenada, pois um circuito aberto faz com que a corrente caia a zero, perdendo toda sua energia. Se a chave do circuito abaixo fosse aberta bruscamente provavelmente ocorreria uma centelha entre os contatos devido ao curtíssimo tempo de queda da corrente de E/R para zero. “A variação de corrente di/dt na equação vL = L(di/dt) induziria uma alta tensão no indutor que provocaria uma descarga elétrica entre os contatos da chave”.
Para analisarmos a fase de descarga em um indutor utilizaremos o circuito abaixo:
Quando a chave é fechada, a tensão no resistor R2 é E voltes e o ramo RL tem um comportamento idêntico ao descrito anteriormente, com as mesmas formas de onda e os mesmos valores de tensão e corrente. Um circuito equivalente de Thévenin de E em paralelo com R2 se reduziria apenas à fonte, pois R2 seria curto-circuitada ao substituirmos a fonte de tensão E por um curto-circuito para determinar a resistência de Thévenin.
Depois que a fase de carga termina, o circuito atinge o estado estacionário, a chave pode ser aberta sem que ocorra centelhamento ou descarga instantânea porque o resistor R2 oferece um caminho para a corrente iL. A tensão vL no indutor muda de polaridade e assume o valor:
2
1 R
R
L v v
v
A tensão induzida pode variar instantaneamente, mas não a corrente. O resultado é que a corrente iL mantém os mesmos valor e sentido. Assim, logo após a abertura da chave, iL ainda é dada por IM = E/R1 e
R E R R R R
R R R E R i
R i R i v v v
L
R R L
) (
) (
) (
1 2 1 1 2
1 2
1
2 2 1
2 1
1
ou seja,
R E vL (1 R )
1
2
Que é necessariamente maior do que E. Assim, no momento em que a chave é aberta, a tensão troca de polaridade, mudando instantaneamente de E para –[1+(R2/R1)]E voltes. O sinal negativo mostra que a polaridade de vL é oposta da considerada positiva.
Durante a liberação da energia armazenada, a tensão entre os terminais do indutor diminui de acordo com a seguinte equação:
/, t i
L Ve
v sendo
R E Vi (1 R )
1
2
e
2 1 ,
R R
L
A queda de corrente é descrita pela equação:
/,
t M
L I e
i sendo
R1
IM E e
2 1 ,
R R
L
A expressão matemática para a ddp entre os terminais dos resistores pode ser determinada com o auxílio da definição de resistência:
, , 1 1
/ 1 1
1 /
1 1
t t M
L R
R
e R R
E
R e I
R i R i v
logo
, 1
/ t
R Ee
v
A polaridade de vR é a mesma que durante a carga, pois a corrente iL tem o mesmo sentido. A tensão vR2 é dada por:
, , 2 2
/ 2 1
2 /
2 2
t t M
L R
R
e R R
E
R e I
R i R i v
logo,
, 2
/ 1
2 t
R Ee
R v R Exemplo:
Para o circuito abaixo:
a. Encontre as expressões matemáticas para iL, vL, vR1 e vR2 em função do tempo se a chave for aberta após terminada a carga.
b. Esboce as formas de onda das tensões e correntes para carga e descarga, supondo que a descarga começa depois de transcorridas cinco constantes de tempo. Use as polaridades definidas na figura.
Soluções:
ms k s
k R R
L 0,8 10 0,8 3
2
4 3
2 1
,
sendo
125 ) 50 2 )(
1 3 ( ) 1 (
1
2
k
E k R Vi R
e
) 10 8 , 0 /(
/ 125 3
i t t
L Ve e
v
ainda
k mA R
IM E 25
2 50
) 10 8 , 0 /(
3
/ , (25 10 ) 3
M t t
L I e e
i
e, por fim
) 10 8 , 0 /(
/ , 3
1 t 50 t
R Ee e
v
e
) 10 8 , 0 /(
) 10 8 , 0 /(
/ 1 2 2
3 3
, 50 75
2
3
t t t
R e e
k Ee k
R
v R
Esboçando...
8. Va lores Iniciais.
A fase transitória de uma carga ou descarga de um circuito indutivo pode começar de um valor diferente do zero, ie, um valor que depende dos parâmetros do circuito.
Usando a expressão dada para o transitório podemos escrever uma equação para a corrente iL que é válida em todo o intervalo:
) 1
)(
( f i t/
i
L I I I e
i
Sendo (If + Ii) a variação total durante a fase transitória. Assim finalizamos:
) /
( i f t f
L I I I e
I
Exemplo:
Na figura abaixo, o valor da corrente inicial no indutor é 4mA no sentido indicado.
a. Encontre uma expressão matemática para a corrente na bobina depois que a chave é fechada.
b. Encontre uma expressão matemática para a tensão na bobina durante o mesmo período.
c. Esboce as formas de onda da corrente e da tensão, desde seus valores inicias até os finais.
Soluções:
k mA k
k R
R
If E 1,78
9 16 8 , 6 2 , 2
16
2 1
A constante de tempo é dada por:
k s m k
k m R
L
T
11,11
9 100 8
, 6 2 , 2
100
Aplicando a equação:
) /
( i f t
f
L I I I e
I
s t
s t
mAe mA
e mA mA
mA
11 , 11 /
11 , 11 /
22 , 2 78
, 1
) 78 , 1 4
( 78
, 1
b. Como a corrente no indutor é constante (4mA) antes do fechamento da chave, a tensão tem um valor inicial de 0V. No instante em que a chave é fechada, a corrente na bobina não pode variar instantaneamente; assim, a corrente nos elementos resistivos continuará em 4mA. A tensão é máxima em t = 0s e seu valor pode ser calculado com o auxílio da lei de Kirchhoff para tensões:
V V
V
V V E V
M M
R R M
20 36 16 2 , 27 8 , 8 16
10 8 , 6 10 4 10 2 , 2 10 4
16 3 3 3 3
2 1
Logo:
vL é oposta a indicada no circuito.
c. As formas de onda de corrente e tensão, desde seus valores iniciais até os finais são:
9. Valores Instantâneos.
Em certas ocasiões é necessário determinar a tensão ou a corrente em um instante particular que não seja um múltiplo inteiro de . Assim:
/ 1
ln ln
1 ln
1 1
1
/
/ /
/
I t e i
I i
I e e i
I e i
I i
M t L
M L
t M t L
M t L
M L
Seguindo o desenvolvimento, temos:
L M
M
i I t ln I
Da mesma forma para vL:
vL
t ln E
10. Co nstante de tempo em circuito complexo (=
L/R
th).
Quando um determinado circuito possuir uma configuração mais complexa, é preciso determinar o equivalente de Thèvenin antes de encontrar sua constante de tempo.
Considere o exemplo a seguir:
a. Encontre a expressão matemática para iL e vL depois de fechar a chave (iL = 0mA).
Solução:
Aplicando Thèvenin:
k k
N
RTH Req 10 2
20
Aplicando a regra de divisores de tensão:
k V V k k
k k
V k
k R
R R
E R
ETh R 6
40 12 20 4
16 20
12 ) 16 4
) ( (
3 2 1
3
2
Assim:
) 1
( t/
eq Th
L e
R
i E ;
s x x
H x R
L
Th
6 3
3
10 10 8
10 10
80
;
A x x
V R
I E
Th Th M
3 3 0,6 10 10
10
6
Portanto:
e
106
8 /
/ 6
Th t t x
L E e e
v
b. Desenhe as formas de ondas de iL e vL.
11. Indutores em Série e em Paralelo.
De modo semelhante aos resistores e aos capacitores, os indutores podem ser ligados em série ou em paralelo.
No caso de ligação em série eles são calculados assim:
N
s L L L L
L 1 2 3
E seu circuito:
e na ligação paralela:
N
p L L L L
L
1 1
1 1 1
3 2 1
De modo que podemos inferir todas as fórmulas derivadas das associações atribuídas aos resistores.
Exemplo: Reduza o circuito da figura abaixo à forma mais simples.
Solução: Os indutores L2 e L3 possuem valores idênticos e estão em paralelos; assim a indutância equivalente é dada por
H H N
Lp L 0,6 2
2 ,
´ 1
O indutor de 0,6H resultante está em paralelo com o de 1,8H e, portanto temos:
H H H
H H L
L L L L
p p
p 0,45
8 , 1 6 , 0
) 8 , 1 )(
6 , 0 ) ( )(
(
4
´ 4
´
´´
O indutor L1 está em série com o indutor equivalente a L2, L3 e L4 e, portanto
H H
H L
L
LEq 1 ´´p 0,56 0,45 1,01
O circuito equivalente aparece na figura abaixo:
12. Circuitos R - L e R - L - C no estado estacionário.
Para todos os efeitos práticos o indutor pode ser substituído por um curto-circuito em corrente contínua e o capacitor por um circuito aberto após um intervalo de 5. Assim sendo, nos exemplos a seguir iremos supor que as tensões nos capacitores e as correntes nos indutores tenham atingido seus valores finais. Nessas condições, os indutores podem ser substituídos por curtos-circuitos, e os capacitores, por circuitos abertos.
Encontre a corrente IL e a tensão VC para o circuito da figura abaixo.
Solução:
V
VR R
E V R
V A R
R I E
C L
2 6 3
10 3 5 2 10
2 1
2 2 1
Encontre as correntes I1 e I2 e as tensões V1 e V2 para o circuito da figura abaixo.
Solução:
A A VR I V
V A V
R R R I E
I I
35 7
5
10 5 50 7
1 2
50
5 2 2
5 3 1 1
2 1
Aplicando a regra de divisores de tensão:
V
V
VR R R
E R
V R 40
10 50 8 7
1 2
50 7 1
5 3 1
5
1 3
13. Energia Armazenada por um Indutor.
O indutor ideal não dissipa a energia elétrica que recebe. Antes, ela é armazenada em um campo magnético. Essa energia é determinada pela fórmula:
2
2 1
M
armazenada LI
W
Exemplo:
Encontre a energia armazenada pelo indutor no circuito abaixo quando a corrente no circuito atinge o valor final.
Solução:
X H
A X J mJLI W
V A V
R R I E
m armazenada
M
27 2 10
3 54 10
2 6 1 2
1
5 3 15 2
3 15
2 3 3
2
2 1
