Métrica de Gödel

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DEPARTAMENTO DE F´ISICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM FÍSICA

THIAGO FEL´ICIO DE SOUZA

M ´ETRICA DE G ¨ODEL

FORTALEZA 2019

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Dissertação de Mestrado apresentada ao Pro-grama de Pós-Graduação em F´ısica da Univer-sidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do T´ıtulo de Mestre em F´ısica.

´

Area de Concentração: F´ısica da Matéria Con-densada.

Orientador: Prof. Dr. Ricardo Renan Landim de Carvalho.

FORTALEZA 2019

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Biblioteca Universitária

Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

S236m Souza, Thiago Felício de.

Métrica de Gödel / Thiago Felício de Souza. – 2019. 74 f. : il. color.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Programa de Pós-Graduação em Física, Fortaleza, 2019.

Orientação: Prof. Dr. Ricardo Renan Landim de Carvalho.

1. Universo de Gödel. 2. Linhas de mundo de matéria. 3. Violação de causalidade. 4. Níveis de Landau. 5. Algumas teorias f de gravidade. I. Título.

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Dissertação de Mestrado apresentada ao Pro-grama de Pós-Graduação em F´ısica da Univer-sidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do T´ıtulo de Mestre em F´ısica.

´

Area de Concentração: F´ısica da Matéria Con-densada.

Aprovada em 18/12/2019.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Geov´a Maciel de Alencar Filho Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Marcony Silva Cunha Universidade Estadual do Cear´a (UECE)

Prof. Dr. Ricardo Renan Landim de Carvalho (Orientador) Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Roberto Vinhaes Maluf Cavalcante Universidade Federal do Cear´a (UFC)

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e amigos.

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Agradeço, de forma especial, a Deus, por tudo, pois não cabe na minha mente tamanha gratidão. Só a alma sabe medir isso.

Agradeço à FUNCAP – Fundação Cearense de Apoio ao Desenvolvimento Ci-ent´ıfico e Tecnológico pela bolsa de pesquisa, durante o per´ıodo do meu mestrado stricto sensus. Agradeço pelo total suporte dado pelo meu orientador, Prof. Dr. Ricardo Renan Landim de Carvalho, que tem me auxiliado bastante na construção deste trabalho.

Agradeço a todos os meus amigos, colegas e familiares pela motivação no progresso dos meus estudos.

Agradeço aos que fazem parte do Departamento de F´ısica da Universidade Federal do Ceará e ao nosso grupo de pesquisa, em F´ısica Teórica, LABGMC2.

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O cenário de Gödel é uma estrutura geométrica estática e espacialmente homogênea do Uni-verso – porém não aceitável, já que é ausente na expansão de Hubble – gerado pela rotação simétrica e uniforme de matéria-fonte tipo-poeira (densidade de momento, p_{≥ 0), livre de} qualquer interação, em torno de um eixo inercial, de acordo com as expectativas da Cosmologia Moderna. As linhas de mundo de matéria serão todas paralelas e equidistantes, entre si. O con-ceito kantiano de tempo é respaldado, aqui, ou seja, não há uma estrutura temporal que possa ser determinada pela relativização das linhas de mundo principais. A possibilidade de viajar ao passado desde o futuro é trazida nesse contexto via as fam´ılias de geodésicas causais com o mesmo eixo temporal absoluto, ou de curvas fechadas do tipo-tempo (as denominadas CTC’s, que vem da sigla em inglês) com a mesma torção. Qualquer evento pode conter uma geodésica causal, descartando qualquer singularidade. Neste trabalho, será desenvolvida, de forma deta-lhada, essa região métrica do espaço-tempo curvo, ou com a métrica original ou com a métrica adaptada, de acordo com a natureza dos problemas investigados. Por exemplo, a equação de Klein-Gordon exigirá uma classe de parametrização da métrica de Gödel. Essas soluções das equações de campo de Einstein (Λ_{6= 0) têm intrigado bastante a F´ısica Teórica, especialmente,} a Gravitação Quântica e a própria Relatividade Geral. Portanto, alguns backgrounds gravitaci-onais foram escolhidos, aqui, para ilustrar isso.

Palavras-chave: Universo de Gödel. Linhas de Mundo de Matéria. Violação de Causali-dade. N´ıveis de Landau. Algumas Teorias f de GraviCausali-dade.

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The G¨odel scenario is a static and spatially homogeneous geometric structure of the universe – but not acceptable as it is absent from Hubble expansion – generated by the symmetrical and uniform rotation of dust-like source matter (moment density, p_{≥ 0), free from any interaction} around a inertial axis according to the expectations of Modern Cosmology. The world lines of matter will all be parallel and equidistant. The Kantian concept of time is supported here, that is, there is no temporal structure that can be determined by the relativization of the main world lines. The possibility of traveling to the past from the future is brought about in this context through the families of causal geodesics with the same absolute time axis, or time-type closed

curves(the so-called CTC’s, which comes from the acronym in english) with the same twist. Any event can contain a causal geodesic, discarding any singularity. In this work, this metric region of the curved spacetime will be developed, either with the original metric or with the adapted metric, according to the nature of the problems investigated. For example, the Klein-Gordon equation will require a parameterization class of the G¨odel metric. These solutions of Einstein’s field equations (Λ_{6= 0) have greatly intrigued Theoretical Physics, especially} Quan-tum Gravity and General Relativity itself. Therefore, some gravitational backgrounds have been chosen here to illustrate this.

Keywords: G¨odel’s Universe. World Lines of Matter. Causation Violation. Landau Le-vels. Some Theories f of Gravity.

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Figura 1 – Kurt Friedrich G¨odel. . . 15

Figura 2 – Kurt G¨odel e Albert Einstein, nos EUA. . . 16

Figura 3 – Algumas CTC’s para t= 0 e ρ = 0. . . 21

Figura 4 – Uma poss´ıvel viagem ao passado, saindo de Q e chegando `a P. . . . 22

Figura 5 – Perfil do estado fundamental como função do fluxo magnético para M= 1 e ξ = 1. A energia é simétrica em relação ao número quântico m. O comporta-mento para pequenas variações do fluxo magnético para m_{= −3 é mostrado} pela inserção. . . 34

Figura 6 – Perfil do estado fundamental como função do fluxo magnético para M= 1 e ξ = 1. Claramente, têm-se regiões em que as energias não são definidas para alguns valores de m, existindo somente em pequenos intervalos. . . . 34

Figura 7 – Estado fundamental[E0m]1(ponto azul) e[E0m]2(ponto vermelho) como funções do número quântico m para M= 1, ξ = 1 e Φ = 0 (a) e Φ = 4, 8 (b). . . 35

Figura 8 – Estado fundamental[E0m]1,2 como função do número quântico m para M= 1 eξ = 1. . . 35 Figura 9 – Estado fundamental como função do número quântico m para M= 1 e Ω = 1. 35

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i=√₋₁ Unidade imagin´aria

e Carga el´etrica elementar

c= 1 Unidades em c

X Quantidade vetorial ou matricial

x Quantidade vetorial

X, x Quantidades escalares

Xµ Quantidade 4-tensorial de ordem 1 com 4 componentes Xi1,i2,i3,...,im

j1, j2, j3,..., jn Quantidade N-tensorial de ordem m+ n com N

m+n_componentes gµν Tensor m´etrico no espac¸o curvo

g Determinante da matriz gµν

√

−g Jacobiano do espaço-tempo curvo ηµν Tensor métrico no espaço de Minkowski

Γλ_µν S´ımbolos de Christoffel

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FUNCAP Fundac¸˜ao Cearense de Apoio ao Desenvolvimento

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 13

2 O UNIVERSO DE G ¨ODEL . . . 15

2.1 Uma breve biografia de Kurt G¨odel . . . 15

2.2 Dinˆamica de uma part´ıcula num 4-Espac¸o Curvo . . . 16

2.3 As coordenadas-padr˜ao de G¨odel . . . 19

2.4 Interpretação f´ısica das soluções de Gödel . . . 20

2.5 Repercussão pós-descobertas de Gödel . . . 23

3 A DIN ÂMICA DE B ÓSONS LIVRES NO ESPAÇ O-TEMPO DE TIPO-G ÖDEL . . . 25

3.1 1ocaso: espac¸o-tempo de tipo-G¨odel-Som–Raychaudhuri . . . 28

3.2 2ocaso . . . 30

4 A DIN ÂMICA DE B ÓSONS NO ESTADO FUNDAMENTAL E NO ESPAÇ O-TEMPO DE TIPO-G ÖDEL NA PRESENÇ A DOS POTENCIAIS DE TIPO-COULOMB E DE AHARONOV-BOHM . . . 31

5 A TEORIA DE GRAVIDADE DE HORAVA-LIFSHITZ E O ESPAC¸ O-TEMPO DE G ¨ODEL . . . 36

6 SOLUÇ ÕES TIPO-G ÖDEL DENTRO DE UMA GRAVIDADE DEPEN-DENTE DE R E Q . . . . 41

6.1 Uma breve revisão sobre a métrica de Gödel . . . 42

6.2 A gravidade f(R, Q) . . . . 43

6.3 M´etricas de tipo-G¨odel na gravidade f(R, Q) . . . . 44

6.4 Soluções causais na presença de fontes de matéria . . . 48

7 N ÃO-COMUTATIVIDADE GRAVITACIONAL E ESPAÇ OS SEMELHAN-TES AO UNIVERSO DE G ÖDEL . . . 50

7.1 Espac¸os estacion´arios e eletromagnetismo . . . 50

7.2 N´ıveis de Landau e n˜ao-comutatividade na gravidade . . . 52

7.3 Geometrias de Som-Raychaudhuri . . . 54

7.4 N´ıveis de Landau e geometrias de SR n˜ao-comutativas . . . 55

7.4.1 Espac¸os-tempos de SR . . . 55

7.4.2 Espac¸os-tempos de G¨odel . . . 56

7.5 Relac¸˜ao para a esfera difusa . . . 56

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AP ÊNDICE A -- M ÉTODO DE NU PARA RESOLVER EQUAÇ ÕES TIPO-HIPERGEOM ÉTRICAS . . . 61 AP ÊNDICE B -- DEMONSTRAÇ ÃO DA EQUAÇ ÃO DA DIN ÂMICA DE B ÓSONS . . . 63 AP ÊNDICE C -- SOLUÇ ÕES DAS EQUAÇ ÕES DAS GEOD ÉSICAS GO-DELIANAS . . . 64 REFER ÊNCIAS . . . 67

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1 INTRODUC¸ ˜AO

O universo de Gödel é um ambiente 4-dimensional (três coordenadas espaciais mais uma temporal), constitu´ıdo por geodésicas completas. Por ser um espaço-tempo homogêneo, contendo fam´ılias de geodésicas do tipo-tempo com a mesma torção, é poss´ıvel detectar cir-cuitos geodésicos causais1 passando por algum evento, mesmo sabendo que não existem sin-gularidades nessas soluções regulares extra´ıdas das equações de Einstein para uma constante cosmológica negativa, retratando a rotação do cenário massivo sem pressão, da Relatividade Geral [1, 2]. A falta de isotropia também é saliente nesse espaço [3] já que as linhas de mundo fechadas são caracterizadas por campos vetoriais axiais diferentes,ωµ.

Isso é o problema principal quando é usada a métrica de Gödel para estudar vários problemas de gravidade ou de causalidade. Tal problema é chamado de defeito causal e tem desafiado bastante a F´ısica Teórica. Essas soluções foram divulgadas por Kurt Gödel, em 1951, como presente de aniversário de 70 anos de Albert Einstein [4].

Essa métrica não é única, em produzir essas anomalias [5–8]. Algumas outras métricas têm mostrado esse comportamento. São estas:

• A de van Stockum, com um cilindro de poeira em rotação; • A de Gott, com duas cordas cósmicas e

• A de Kerr.

Pelo fato da métrica de Gödel descrever globalmente o universo em rotação, foi descartada a hipótese do Princ´ıpio de Mach ser completamente incorporado na Relatividade Geral Clássica [9–11]. O modelo oferecido por essa métrica não é viável para descrever o universo, pois não pode ser inclu´ıdo como expansão na Lei de Hubble [12]. Isso permitiu não somente o apare-cimento das tais violações de causalidade como também das propriedades gerais de cenários relativ´ısticos, culminando na postulação da conjetura de proteção cronológica formulada por Stephen Hawking [13].

Como foi dito acima, este trabalho mostrará alguns backgrounds gravitacionais (as teorias HL e f(R, Q) da gravidade) utilizados para detectar aquelas patologias de quebra de causalidade no próprio espaço-tempo godeliano. E ainda, admitindo uma simetria cil´ındrica polar naquelas soluções, serão apresentadas as suas aproximações, tentando filtrar informações de animação dos mesmos defeitos.

1_{S˜ao trajet´orias fechadas orientadas de part´ıculas que devem viajar, sempre, do passado para o futuro, dentro} do cone de luz.

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Finalmente, como aplicações, serão estudadas a dinâmica bosônica (sem e com campo eletromagnético) sobre o tecido de Gödel. Desde o confinamento de part´ıculas em po-tenciais à Termodinâmica de Buracos Negros, é poss´ıvel enxergar fisicamente com a métrica idealizada, apesar de incompleta, de Gödel. Variedades de Riemann-Gödel e Riemann-Cartan, por exemplo, têm servido, também, para procurar circuitos geodésicos causais [2].

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2 O UNIVERSO DE G ¨ODEL

2.1 Uma breve biografia de Kurt G¨odel

Kurt Friedrich Gödel (1906-1978)1, ou simplesmente chamado de Goedel, era um matemático, filósofo e lógico nascido, em Brünn, na Morávia (atual Império Austro-Húngaro de Manchester), hoje, conhecida como Brno, na atual República Tcheca, naturalizado, poste-riormente, norte-americano: muitas vezes, a sua nacionalidade era vista como austr´ıaca. Ele ficou famoso pela descoberta do teorema da incompletude – um dos feitos mais importantes de toda a matemática moderna. Por causa disso, é considerado, até hoje, como um dos maiores lógicos da humanidade, desde Aristóteles, Tarski e Frege [14].

Figura 1 – Kurt Friedrich G¨odel.

Fonte: Google Imagens.

O teorema da incompletude [15] foi publicado, em 1931, em Viena, na Áustria, du-rante a sua fase adulta de vida, após concluir o seu doutorado na Universidade de Viena. Era conhecido como Der Herr Warum, em meio familiar, porque era um bom observador de deta-lhes, permitindo-lhe que fizesse aos outros muitas perguntas afim de sanar as suas curiosidades. Isso, de fato, é um traço marcante de um bom matemático.

Em Viena, em sua adolescência, o interesse em estudar f´ısica teórica ficava saliente, apesar de ter conseguido, de forma rápida, o mestrado em filosofia e matemática. Depois, ingressou num grupo informal de filosofia da Universidade de Viena, onde estudou teoria dos números quando participava de um seminário ao lado do l´ıder do grupo, o Moritz Schlick. O nome desse trabalho era Introduction to Mathematical Philosophy [16, 17].

Ao mesmo tempo, casou-se. Em seguida, comec¸ava a escrever e publicar sobre

(17)

lógica, quando frequentava as aulas de David Hilbert sobre a completude e consistência de sistemas matemáticos. Em 1929, ganhou a sua cidadania austr´ıaca e defendeu a sua tese de doutorado, sob orientação de Hans Hahn, cujo tema era Teorema da Completude de Gödel. Esse teorema – de fato, é um pacote de dois teoremas – encerrou a discussão centenária sobre a busca de uma canonicidade matemática2, ou melhor, o Principia Mathematica. Isso impedia a eficiência de programação de computadores para responder problemas matemáticos.

Figura 2 – Kurt G¨odel e Albert Einstein, nos EUA.

Fonte: BBC.

Em 1932-1933, diplomou-se e foi admitido como professor voluntário da Universi-dade de Viena. Logo, depois, ficou depressivo após saber da morte de Schlick por um estudante acadêmico da mesma universidade adepto do nazismo. No ano seguinte, Gödel viajou para os EUA, onde teve a oportunidade de encontrar com Albert Einstein (Figura 2). Associou-se à So-ciedade Americana de Matemática, contribuindo, relevantemente, para o estudo da teoria dos números. Teve a oportunidade de trabalhar permanentemente no IAS (Institute for Advanced

Study), e em 1938, com o objetivo de fortalecer a sua Hipótese do Continuum, demonstrou o axioma da Escolha, defendendo que a teoria dos conjuntos era constitu´ıda por postulados con-sistentes. Mas, essa prova era parcial, deixando para 1940, a divulgação da prova completa. Ao mesmo tempo, tornou-se mais fácil entender o famoso Problema de Hilbert.

A sua vida não teve um final feliz. Gödel dependia muito de sua esposa, Adele, porque cuidava da sua alimentação. Por causa da morte do seu colega, por questões pol´ıticas, entrou em paranóia, ficando sedado, em hospitais psiquiátricos americanos. Após a morte de Adele, adquiriu a inanição, levando-o à morte, em 1978.

2.2 Dinˆamica de uma part´ıcula num 4-Espac¸o Curvo

Tome um espac¸o curvo 4-dimensional caracterizado pelo tensor m´etrico gµν (µ, ν

= 0, 1, 2 e 3), cujo quadrado do elemento de linha, ds2, ser´a expresso por

ds2= gµνdxµdxν. (2.1)

(18)

Então, uma part´ıcula livre terá a seguinte ação [18] τ = Z gµν dxµ dλ dxν dλ 1/2 dλ := Z p f dλ , (2.2)

ondeλ é um parâmetro, que não prejudicará a perda de generalidade considerada3_{. Fazendo}

uma variac¸˜ao de primeira ordem em (2.2), vem δ τ = Z δpf dλ =1 2 Z f−1/2δ f dλ . (2.3)

Particularmente, ao fazer aquele parâmetro ser o tempo próprio,τ, f será dado por

f = gµνdx µ dτ dxν dτ f = gµνUµUν f = UνUν f = U2= 1 (geod´esica causal), (2.4)

j´a que a assinatura de Lorentz adotada ´e_{(+ − −−). Disso} δ τ = 1 2 Z δ f dτ = 1 2 Z δ gµν dxµ dτ dxν dτ + gµν d(δ xµ) dτ dxν dτ + gµν dxµ dτ d(δ xν) dτ dτ, (2.5)

ou, quando ´e usada a expans˜ao linear de xµ e gµν, vem

δ τ = 1 2 Z ∂σgµν dxµ dτ dxν dτ δ x σ_{+ g} µν d(δ xµ) dτ dxν dτ + gµν dxµ dτ d(δ xν) dτ dτ. (2.6) Os dois ´ultimos termos de (2.6) podem ser integrados por partes. Por exemplo

I0:= 1 2 Z gµνd(δ x µ₎ dτ dxν dτ dτ = 1 2 " xµgµν dxν dτ 2 1 − Z _d dτ gµν dxν dτ δ xµdτ # = −1 2 Z gµν d2xν dτ2 + dgµν dτ dxν dτ δ xµdτ = −1₂ Z gµν d2xν dτ2 + ∂σgµν dxσ dτ dxν dτ δ xµdτ, (2.7)

pois, nas bordas 1 e 2, xµ = 0, por serem fixas. Na integral (2.7), quando ´e trocado µ por ν, obt´em-se a forma integrada por partes do terceiro termo de (2.6). Nessas integrais, fazendo mais

(19)

duas respectivas trocas_{σ → µ e σ → ν, vem} δ τ = − Z gµσ d2xµ dτ2 + 1 2(∂µgνσ+ ∂νgσ µ− ∂σgµν) dxµ dτ dxν dτ δ xσdτ, (2.8) sendoδ xσ independentes entre si, segue

gµσd 2_xµ dτ2 + 1 2(∂µgνσ+ ∂νgσ µ− ∂σgµν) dxµ dτ dxν dτ = 0. (2.9)

Contraindo (2.9) por gωσ, vem

gωσgµσ d2xµ dτ2 + 1 2g ωσ_(∂ µgνσ+ ∂νgσ µ− ∂σgµν) dxµ dτ dxν dτ = 0 δ_µωd 2_xµ dτ2 + 1 2g ωσ_(∂ µgνσ+ ∂νgσ µ− ∂σgµν) dxµ dτ dxν dτ = 0 d2xω dτ2 + Γ ω µν dxµ dτ dxν dτ = 0, (2.10)

onde Γω_µν s˜ao os s´ımbolos de Christoffel4[18, 19] para um dado conjunto de n´umeros(ω, µ, ν), definidos por

Γω_µν :=1 2g

ωσ_(∂

µgνσ+ ∂νgσ µ− ∂σgµν) e (2.11)

(2.10) são equações paramétricas da geodésica dessa part´ıcula. Fisicamente, as equações da geodésica podem ser interpretadas como equações de movimento da mesma part´ıcula. No Cap´ıtulo 5, foram determinados esses s´ımbolos para a métrica godeliana. Assim, as equações paramétricas da geodésica para a métrica de Gödel, com Γω_µν _{6= 0 [20], serão}

d2x0 dτ2 + 2 dx0 dτ dx1 dτ + e x1dx1 dτ dx2 dτ = 0, d2x1 dτ2 + e x1dx0 dτ dx2 dτ + e2x1 2  dx2 dτ 2 = 0, d2x2 dτ2 − 2e−x1 dx1 dτ dx0 dτ = 0 e d2x3 dτ2 = 0, (2.12)

cujas soluções, em termos das coordenadas cil´ındricasρ, ϕ e z, junto com a coordenada tem-poral, t, serão expressas por (2.15) [1], quando há simetria axial, com a presença do subespaço

x3= constante. A obtenção dessas soluções está bem detalhada no Apêndice C.

(20)

2.3 As coordenadas-padr˜ao de G¨odel

A homogeneidade espacial do universo godeliano permite que qualquer par de even-tos distineven-tos estejam conectados via uma certa transformação de trajetória m´ınima, que é a geodésica [1]. Todas as geodésicas de interesse – as do tipo-tempo – permitem esse trânsito m´ınimo entre dois eventos, por isso, diz-se que tal universo é geodesicamente completo. A matéria gira simetricamente sem expansão em torno de um eixo inercial com velocidade fixa tal que 2Ω2= 1/a2_{. A métrica desse espaço é dada por}

ds2:= a2 (dx0+ ex1dx2)2− (dx1)2− 1 2e 2x1_(dx 2)2− (dx3)2 , (2.13)

sendo a−2:= 8πGρm, onde G é a constante gravitacional newtoniana eρm é a densidade média de matéria. As conhecidas soluções godelianas são determinadas a partir das equações de

Einstein da Relatividade Geral para uma constante cosmol´ogica, Λ_{6= 0, tal que [18, 19, 21]}

Rµν−

1

2gµνR= 8πGρmUµUν+ Λgµν. (2.14) A 4-velocidade, na direc¸˜ao x0, tem componentes contravariantes dados por (1/a, 0, 0, 0) e

co-variantes, (a, 0, aex1_{, 0) [1]. Perceba que (2.13) tem uma parte plana (em x}

3)5 que pode ser

separada da parte n˜ao-trivial (em x0, x1e x2, ou simplesmente, em t, x e y, respectivamente). A

variedade escolhida será M = R1+3. Para isso, é bom escrevê-la, em coordenadas cil´ındricas polares, t, ρ, ϕ, já que o intuito é mostrar a invariância rotacional daquelas soluções. Esse último conjunto ordenado de variáveis formam as coordenadas-padrão de Gödel, tais que

ex1 _{= cosh(2ρ) + cos ϕ sinh(2ρ),} x3= 2y, x2ex1 = √ 2 sinϕ sinh(2ρ) e e−2ρtan ϕ 2 = tan ϕ 2 + x0− 2t 2√2 , com |x0− 2t| < π √ 2. (2.15)

Disso, (2.13) passa a ser igual a

ds2= 4a2[dt2_{− dy}2_{− dρ}2+ (sinh4ρ − sinh2_ρ)dϕ2_{+ 2}√_{2 sinh}2_ρdϕdt]. _(2.16)

5_{O espaço godeliano, G, é a soma direta de dois subespaços: um em (x}

0, x1, x2), G0, e o outro em(x3), X3, ou seja, G= G0⊕ X3. Portanto, na parte espacial, há um conjunto infinito de linhas paralelas, chamado de região de Lobachevski. O subespaço G0é mapeado sobre uma coleção de linhas tipo-tempo de Clifford, com proporção direcional√2 : 1, permitindo que a métrica seja alongada por um fator de campo de 4-velocidades, isto é ds′2=

(21)

Os tensor e escalar de Ricci ser˜ao dados por Rµν=        1 0 ex1 ₀ 0 0 0 0 ex1 _{0 e}2x1 ₀ 0 0 0 0        e (2.17) R= 1 a2. (2.18)

Tomando o traço de (2.14), é poss´ıvel obter Λ. Então −1 2δ ω ν R+ R = RUωUν+ Λδνω −2R + R = R + 4Λ Λ = −R 2 = − 1 2a2 < 0. (2.19)

Isso significa que as equações de Einstein, para Λ< 0 e 4-velocidades daquela natureza, dão as soluções de Gödel. E, finalmente, o tensor de Ricci pode ser compactado como

Rµν = RUµUν. (2.20)

No artigo original do Gödel [1], estão todas as propriedades matemáticas, com suas demonstrações, do espaço descrito por suas soluções, podendo ser consultadas, já que o forma-lismo puramente matemático delas, aqui, foi deixado de lado, e as suas consequências na F´ısica foram salientadas.

2.4 Interpretação f´ısica das soluções de Gödel Este é o resumo do seu artigo6:

Todas as soluções cosmológicas conhecidas até o momento e para as quais a densi-dade de matéria não é nula, possuem a propriedensi-dade que, em um certo sentido, elas contêm uma coordenada temporal absoluta, pois existe um conjunto de 3-espaços que são funções de um só parâmetro e são ortogonais em todo lugar às linhas de mundo da matéria. Vê-se claramente que a não existência de tal sistema de espaços tridimensionais é equivalente à rotação da matéria relativa ao referencial inercial. Neste artigo proponho uma solução (como um termo cosmológico _{6= 0)} que apresenta tal rotação (...).

As linhas de mundo de mat´eria poder˜ao ser abertas ou fechadas. O primeiro

(22)

junto identifica a presença de objetos maciços e o segundo, obtido da ausência de torção das do primeiro [22]. Partindo de (2.16), quandoρ > ρ0= ln

1+√2(raio cr´ıtico), ds2> 0, ou seja, as curvas fechadas estar˜ao sempre dentro do cone de luz – as chamadas curvas fechadas

causais7 (Figura 3) –, e quando ρ < ρ0, tem-se curvas fechadas n˜ao-causais (ds2< 0). Os

cones de luz tombam no sentido anti-horário (caracterizando a causalidade dessas curvas) e fi-cam mais abertos à medida que cresceρ. As curvas abertas têm comprimentos infinitos sem interceptarem seus pontos anteriores novamente.

Figura 3 – Algumas CTC’s para t= 0 e ρ = 0.

Fonte: Retirado do artigo [4].

Para obter aquele raio cr´ıtico, basta tomar dt= 0, dy = 0 e dρ = 0, pois ρ = ρ0 ´e

uma constante (0_{≤ ϕ ≤ 2π), em (2.16). Disso}

ds2= 4a2sinh2ρ0(sinh2ρ0− 1)dϕ2= 0 sinhρ0= 1 > 0 eρ0_{− e}−ρ0 _{= 2 (e}ρ0 _{= w} 0) w2₀_{− 2w}0− 1 = 0 w0= 1 + √ 2 ρ0= ln 1+√2. (2.21)

Uma interpretação geométrica para t_{= −αϕ (ρ = constante e y = 0)}8, com 0_{< α ≪ 1, ocorre}

7_{Ou da sigla, em inglˆes, CTC (Closed Type-time Curves)} 8_{A (2.16) torna-se} ds2∼= 4a2sinh4ρ¯0− sinh2ρ¯0− 2 √ 2 sinh2ρ¯0α dϕ2_{= 0,}

(23)

na Figura 4. Nela, Q temϕ = 0 e P, ϕ = 2π. Na Figura 4, entre P e Q deve existir uma trajet´oria causal permitindo a viagem ao passado sempre no futuro.

A simultaneidade dos eventos ocorrerá quando um hiperplano tipo-espaço cortar to-das as linhas de mundo de matéria de objetos maciços (estrelas ou galáxias, por exemplo) numa direção ortogonal (Figura 3). Essa visão é também usada pela Cosmologia atual e discorda completamente da simultaneidade colocada pela Relatividade Especial pois o tempo é relativo a algum referencial inercial. Gödel disse que a Relatividade Geral abraça de forma forte o con-ceito idealista de tempo (não depende de objetos individuais para existir), totalmente, vinculado ao de uma linha de mundo de matéria sem torção.

Figura 4 – Uma poss´ıvel viagem ao passado, saindo de Q e chegando `a P.

Fonte: Extra´ıdo do artigo [4].

Uma prova do resumo anterior pode ser feita tomando a ortogonalidade9 de dois campos vetoriais, Uµ e ωµ. O último campo é proporcional aos tensores de torção, τµνλ,

definidos por

τ_µνλ = Uµ(∂λUν− ∂νUλ) +Uν(∂µUλ− ∂λUµ) +Uλ(∂νUµ− ∂µUν), (2.22)

tais que d˜ao os componentes deωµ

ωθ = ε

θ µνλ

6√g τµνλ. (2.23)

que nos d´a ¯ρ0∼= α + ln

1+√2= α + ρ0, j´a queρ > 0. 9_G

(24)

Para a m´etrica de G¨odel g= a 8 2 e 2x1_, _(2.24) disso ω0= ω1= ω2= 0 e ω3= √ 2 a2 , (2.25)

nos dando suficientemente a ortogonalidade das superf´ıcies tridimensionais às linhas de mundo de matéria, exceto paraθ = 3, porque no subespaço x3= constante não existe superf´ıcies

nor-mais `as mesmas linhas.

O tensor (2.22) ´e sim´etrico, pois

τµνλ = τλ µν = τνλ µ, (2.26)

diferente do tensor de Levi-Civitaεθ µνλ, onde foi definidoε0123_{= 1.}

2.5 Repercussão pós-descobertas de Gödel

O trabalho de Gödel sobre a possibilidade de viajar para o passado intrigou muitos do público geral, apesar disso não ser o objetivo principal dele [23]. A sua real preocupação era mostrar que a Relatividade Geral apresentava um tempo condizente com a concepção idea-lista. Os f´ısicos não se interessavam muito com a viagem ao tempo proposto por Gödel, porém, o público leigo deu ênfase a isso. No texto escrito por ele, sobre os 70 anos de aniversário de Einstein, abordou essa possibilidade, calculando quanto uma espaçonave gastaria de com-bust´ıvel nessa viagem, usando a equação de Einstein: E = mc2_{. Toda a massa de combust´ıvel}

deveria ser convertida em energia. A conclus˜ao foi in´util. O que Einstein disse foi isto [4]:

O tratado de Kurt Gödel representa, na minha opinião, uma importante contribuição à teoria da Relatividade Geral, em particular, à análise do conceito de tempo. O problema com o qual ele [o tratado] se ocupa já me causara preocupação quando da criação da teoria, sem que eu conseguisse no entanto entendê-lo. Desconsi-derando a questão acerca da relação entre a teoria da relatividade e a filosofia idealista e mais do que isso questões de ordem filosófica, o problema que se nos apresenta é o seguinte:

Se P é um ponto no espaço-tempo, então a ele está associado um cone de luz (ds2= 0). Tracemos por P uma linha de mundo tipo-tempo e consideremos, sobre

esta linha, dois pontos próximos A e B. Há sentido dotarmos a linha de mundo com uma seta e dizer, B antecede P e A sucede P? Seria, na teoria da relatividade, aquilo que resta acerca da relação temporal entre dois pontos uma relação

(25)

as-simétrica ou poder´ıamos, do ponto de vista f´ısico, orientarmos esta seta na direção oposta e dizer: A é anterior a P e B posterior a P? Esta alternativa deve ser descar-tada caso possamos dizer: se for poss´ıvel enviar (telegrafar) um sinal de P para A (ou das imediações de P), mas não de P para B, então o caráter unidirecional (as-simétrico) do tempo está garantido, ou seja não há uma livre escolha no que tange à orientação de nossa seta. O essencial nisto porém é que a emissão de um sinal é um processo irrevers´ıvel no sentido termodinâmico, i.e., é um processo ao qual está associado um aumento de entropia (ao passo que de acordo com nosso conhe-cimento atual, todos os processos elementares são revers´ıveis). Assim, sendo A e B dois pontos suficientemente próximos no Universo, tais que possam ser conecta-dos por uma curva tipo-tempo, então a afirmação B é anterior a A tem um sentido f´ısico objetivo. Teria ainda esta afirmação um sentido quando estes pontos conec-tados por uma curva tipo-tempo estivessem suficientemente distantes? Certamente não, se houver uma sequência de pontos conectáveis por uma curva tipo-tempo, de modo que todo ponto anterior na linha antecede temporalmente o posterior e a sequência for fechada em si. Neste caso, para pontos muito distantes um dos outros em sentido cosmológico a diferença antes-depois desaparece e surgem os parado-xos relativos à conexâo causal sobre os quais Gödel falou. Tais foram as soluções das equações cosmológicas descobertas por ele. Seria interessante ponderar se estas não deveriam ser descartadas por razões f´ısicas.

A polêmica das soluções godelianas orbitava em torno de que elas tratassem de uma descrição puramente matemática do universo de Gödel. Tais soluções davam curvas fechadas do tipo-tempo, violando a conjetura de proteção cronológica de Hawking, onde defende que as leis da F´ısica não conseguem prever essas curvas. A visão godeliana desse ambiente poderia, em algum dia, tornar-se realidade. O universo de Gödel é estático, não permitindo a medição de desvio para o vermelho. A constante cosmológica, por ser negativa, dava uma pressão positiva. Nem todo espaço em rotação não se expande. Existem outras métricas que permitem essa dilatação do espaço-tempo. Isso estampa o seu platonismo, já que defende a coexistência das deduções matemáticas. Diga-se, de passagem, que Gödel usava a imaginação para sustentar os seus trabalhos. Em contra partida, decidiu acompanhar, até o resto da sua vida, um grupo de fenômenos, afim de validar as suas previsões.

(26)

3 A DIN ÂMICA DE B ÓSONS LIVRES NO ESPAÇ O-TEMPO DE TIPO-G ÖDEL

A equação de Klein-Gordon mostra a dinâmica quântica de uma part´ıcula bosônica sujeita a campos [18, 24]. No ambiente relativ´ıstico oferecido por tipo-Gödel, tal equação1terá a seguinte aparência [2]

D2_{+ [M +V (ρ)]}2_{Ψ(x,t) = 0,} _(3.1)

onde V(ρ) é um potencial elétrico escalar, de acordo com o calibre de Coulomb; D é um operador diferencial definido por

D2:= _√1

gDµ(

√_ggµν_D

ν) , (3.2)

com Dµ:= ∂µ+ ieAµ [25]. As quantidades R e M2 n˜ao depender˜ao do 4-vetor de Minkowski.

Essa equação é para um bóson, sem spin, imerso num campo eletromagnético com calibre coulombiano, já que Bω = ˜εωµν∂µAν [18].

A tarefa é resolver (3.1) para uma função de onda particular – do ponto de vista de simetria espacial adotada –, e submetida à métrica de tipo-Gödel. Considere as funções desconhecidas paramétricas F(ρ), G(ρ) e H(ρ), que servirão na investigação de alguma quebra de causalidade nas equações métricas de tipo-Gödel. Disso

ds2:= dt+F(ρ) G(ρ)dϕ 2 −_G21_(ρ)dρ 2_{+ H}2_(ρ)dϕ2_{− dz}2 ds2= dt2+F 2 G2dϕ 2 +2F G dtdϕ − 1 G2dρ 2 −H 2 G2dϕ 2 − dz2 ds2= dt2₋ 1 G2_(ρ)dρ 2 − H 2 (ρ) − F2(ρ) G2_(ρ) dϕ2_{− dz}2+F(ρ) G(ρ)dtdϕ + F(ρ) G(ρ)dϕdt, (3.3)

cujo tensor m´etrico ser´a

gµν=           1 0 F_G(ρ)_(ρ) 0 0 ₋ 1 G2_(ρ) 0 0 F(ρ) G(ρ) 0 −H2_(ρ)+F2_(ρ) G2_(ρ) 0 0 0 0 ₋₁           . (3.4) ´

E preciso obter a inversa de gµν para desenvolver D2. Alguns termos sumir˜ao pois gµν n˜ao

1_{Veja o Apˆendice B.}

(27)

dependerá de ϕ e de z. `A medida que se alteram aquelas funções desconhecidas, a obtenção das soluções anal´ıticas ficará mais complicada, justamente, para refinar a percepção da referida causalidade geométrica no espaço-tempo de tipo-Gödel.

Aproveitando isso, segue a tal inversa

gµν =        1₋_HF22(ρ)_(ρ) 0 F(ρ)G(ρ) H2_(ρ) 0 0 _−G2(ρ) 0 0 F(ρ)G(ρ) H2_(ρ) 0 − G2(ρ) H2_(ρ) 0 0 0 0 ₋₁        . (3.5)

E finalmente, o determinante de gµν, usando o M´etodo de Laplace [26–28], valer´a

g= 1 G2 1 F_G 0 F G −H 2_+F2 G2 0 0 0 ₋₁ = − 1 G2 1 F_G F G −H 2_+F2 G2 g_{= −} 1 G2  −H2_{+ F}2 G2 − F2 G2 = H 2_(ρ) G4_(ρ). (3.6)

O cenário de tipo-Gödel é homogêneo, não tem singularidades e possui geodésicas completas. As geodésicas causais, as quais serão protagonistas nesse cap´ıtulo, para esse ambi-ente, admitem a mesma torção. Isso é por causa da homogeneidade e da falta de horizontes de eventos, apesar desses eventos conterem esse tipo de fam´ılia de geodésicas. Isso é paradoxal. Esses defeitos são denominados de anomalias causais ou do tipo-tempo [2].

Na Relatividade Geral clássica, onde tudo não tem dependência temporal, o tensor métrico de tipo-Gödel apresentará anomalias causais, mesmo considerando simetrias triviais – particularmente, a simetria axial. Essas propriedades são muito complicadas de serem estu-dadas, mas, são geradoras principais, por quebra de causalidade, daquelas geodésicas causais. Muitos autores tentaram generalizar esse tensor para fugir dessas imperfeições, mas, não obti-veram sucesso.

(28)

Para simplificar, os bósons serão livres, ou seja, Aµ= 0 e V = 0. Disso D2₌ G 2 H ∂µ  H G2g µν_∂ ν = G 2 H ∂0  H G2 g 00_∂ 0+ g01∂1+ g02∂2+ g03∂3 + ∂1  H G2 g 10_∂ 0+ g11∂1+ g12∂2+ g13∂3 + ∂2  H G2 g 20_∂ 0+ g21∂1+ g22∂2+ g23∂3 + ∂3  H G2 g 30_∂ 0+ g31∂1+ g32∂2+ g33∂3 , então D2₌ G 2 H  H G2g 00_∂2 0+ H G2g 02_∂ 0∂2+ ∂1  H G2(g 11_∂ 1) + H G2g 20_∂ 2∂0+ H G2g 22_∂2 2+ H G2g 33_∂2 3 = g00∂₀2+ g22∂₂2+ g33∂₃2+ 2g02∂0∂2+ G2 H ∂1  H G2(g 11_∂ 1) = 1₋F 2 H2 ∂02+ FG H2∂0∂2− G2 H2∂ 2 2+ g11∂12 + ∂1(g11)∂1+ FG H2∂2∂0− ∂ 2 3 + g11 G2 H  H′ G2− 2HG′ G3 ∂1. Assim D2₌ 1₋F 2 H2 ∂₀2₋G 2 H2∂ 2 2− G2∂12− ∂32− H′G2 H ∂1+ 2FG H2 ∂0∂2. (3.7)

Conforme mencionado, a função de onda terá simetria cil´ındrica dada por

Ψ(x,t) = exp(−iEt + imϕ + ikz)φ(ρ), (3.8) sendo E a energia do n´ıvel do espectro; m a massa do bóson, e k o número de onda. Antes, estão sendo definidas as coordenadas x0= t, x1= ρ, x2= ϕ e x3= z.

(29)

Usando a equac¸˜ao de Klein-Gordon, vem D2

+ M2_{exp(−Et + mϕ + kz)φ = 0} D2_{[exp(−Et + mϕ + kz)φ] + M}2exp_{(−Et + mϕ + kz)ϕ = 0}

expθ G2φ′′+H ′_G2 H φ ′ + + φ − F 2 H2− 1 E2exp_{θ −}G 2 H2m 2_exp θ − k2expθ +2mEFG H expθ − M2expθ φ = 0, disso G2φ′′+H ′_G2 H φ ′₊₋ F2 H2− 1 E2₋G 2 H2m 2 − k2−2FG_H2 mE− M 2 φ = 0. (3.9) A seguir, dois casos serão abordados, onde são escolhidos formas algébricas di-ferentes para F, G e H. O 1o caso é do espaço-tempo de tipo-Gödel-Som–Raychaudhuri3, onde serão consideradas F(ρ) = αΩρ2, G(ρ) = 1 e H(ρ) = αρ e no 2o caso, F(ρ) = αΩρ2,

G(ρ) = 1 +_4ρ12 0

ρ2_{e H}_{(ρ) = αρ}2_{. Acompanhe:}

3.1 1ocaso: espac¸o-tempo de tipo-G¨odel-Som–Raychaudhuri

Como foi dito antes, aqui, será feita a seguinte escolha funcional: F(ρ) = αΩρ2_, G(ρ) = 1 e H(ρ) = αρ. Disso, a equação diferencial (3.9) torna-se

φ′′+ 1 ρφ ′₊ E2_{− k}2_{− M}2₋2mEΩ α − m2 α2_ρ2− E 2_Ω2_ρ2 φ = 0, (3.10)

e colocando a mudança de variável, y= ρ2_{, obtém-se uma forma tipo-hipergeométrica [29, 30]}

de (3.10), que ser´a dada por

d2φ dy2 + 1 y dφ dy + 1 y2 −L 4y 2₊N 4y− Q 4 φ = 0, (3.11) onde L := E2_Ω2_{, N :}_{= E}2_{− k}2_{− M}2₋2mEΩ

α e Q := m2/α2. Usando o m´etodo de

Nikiforov-Uvarov [31] para resolver (3.11), chega-se, fracamente, a uma forma hipergeom´etrica reduzida de (3.11), dada por yd 2_Y dy2 + ±√Ly_{+ 1 ∓}pQ dY dy + λY = 0, (3.12) com λ := λn= ∓n √ L (n = 0, 1, 2, ...), (3.13)

(30)

sendoφ (y) = ψ(y)Y (y)4_{. As soluções de (3.12) são obtidas pela Fórmula de Rodrigues,} ex-pressas por Yn= Bn ρ dn dyn(y n_ρ), _(3.14)

sendo Bn, as constantes de normalização. A funçãoρ(y) é de peso, nesse caso, dada por ρ = exp _±√Ly y−√Q, sem perda de generalidade na escolha das constantes integrativas. Pelo outro lado,ψ = exp_±√₂Lyy−√Q/2. Desenvolvendo (3.14), chega-se à conclusão de que são proporcionais aos polinômios de Laguerre [30] do tipo√Q. Desse jeito, segue

Yn= n!L−n/2Bny √ Q L √ Q n √ Ly , (3.15) com L √ Q n √ Ly = _n1_!exp √Ly_dydnn h √ Lynexp ₋√Lyi. Finalmente φn= n!L−n/2Bny √ Q/2 exp ₋ √ L 2 y ! L √ Q n √ Ly , (3.16) ou ainda φn(ρ) = Anρ √ Q exp ₋ √ L 2 ρ 2 ! L √ Q n √ Lρ2, An= n!L−n/2Bn. (3.17) Para o espectro energético, é escolhido o parâmetro polinomial5 como sendo k=

n+1₂ √L, disso n+1 2 √ L_{= −} √ LQ 2 + N 4 N= 2√L 2n+ 1 +pQ E_n2_{− 2ΩE}n  2m α + n + 1 = M_n2+ k2_n. (3.18)

4_{São autofunções com ortogonalidade especial.} 5_{Toda equação tipo-hipergeométrica,} _η_′′₊τ˜

ση′+ ˜ σ

σ2η = 0, cujas soluções η(t) são funções ortogonais, é separável, onde uma das equações reduzidas é parecida com uma equação hipergeométrica,σ γ′′+ τγ + λ γ = 0, comσ (t) e ˜σ (t) sendo polinômios de graus máximos iguais a dois; τ(t) e ˜τ(t, k) são polinômios de graus máximos iguais a um. O número k é o parâmetro polinomial, decisivo na determinação do grau de τ, com

τ = ˜τ + 2   σ′− ˜τ 2 ± s σ′_{− ˜τ} 2 2 − ˜σ + kσ  .

(31)

3.2 2ocaso

Neste caso, F(ρ) = αΩρ2, G(ρ) = 1 +_4ρ12 0

ρ2_{e H(ρ) = αρ}2_{. Com isso, segue}

a equac¸˜ao associada dada por φ′′+2 ρφ ′₊ 1 ρ2₁₊ ρ2 4ρ2 0 2 −Rρ 4_{+ Sρ}2 − T φ = 0, (3.19) onde R := k2+ M2+ (Ω2_{− 1)E}2+_16ρm42 0α2 +_2αρmEΩ2 0 , S :_{= −}_2αm22_ρ2 0 − 2mEΩ α e T := m2/α2.

Ana-logamente, ao que foi feito no caso anterior, é tomado novamente y= ρ2_{, e a equação (3.19)}

passa ser reescrita como

d2φ dy2 +   3 2+ 3 8R2y y1+_4Ry2   dφ dy + 1 y2₁₊ y 4ρ2 0 2 −R 4y 2₊S 4y− T 4 φ = 0. (3.20)

Pelo método de NU, as soluções para (3.20) serão

φn(ρ) = ρ β −1 2 1+ ρ 2 4ρ2 0 1−µ 2 Pn 1+ ρ 2 2ρ2 0 , (3.21)

onde Pn(x) são os polinômios de Jacobi [32], que nesse caso, é do tipo (β /2, µ), onde

β :=√4T_{+ 1, µ := −ρ}₀2 s 16R+4Sρ 2 0+ T + 1 ρ4 0 .

Finalmente, a equação de autovalores será

(32)

4 A DIN ˆAMICA DE B ´OSONS NO ESTADO FUNDAMENTAL E NO

ESPAÇ O-TEMPO DE TIPO-G ÖDEL NA PRESENÇ A DOS POTENCIAIS DE TIPO-COULOMB E DE AHARONOV-BOHM

Não será levado em conta o spin do bóson, aqui. A interação surge, somente, por causa da manifestação corpuscular bosônica [33]. A equação (3.1) será corrigida: o termo de adição à M dependerá do tempo. O eletromagnetismo do bóson aparece quando é utilizado o 4-momento canônico pµ, ou seja, pµ_{− eA}µ 1[34–37]. Considere a seguinte métrica do espaço-tempo tipo-Gödel2, onde Ω é a vorticidade desse ambiente

ds2= dt+ Ωsinh 2_{(ℓ ˜}_ρ) ℓ2 dϕ 2 −sinh 2_{(2ℓ ˜}_ρ) 4ℓ2 dϕ 2 − d ˜ρ2− dz2. (4.1)

Comparando isso com (2.16), Ω=√2 e ℓ = 1, nos dando, ρm = 1/π. Tomando ℓ → 0, (4.1)

será a métrica de tipo-Gödel-Som-Raychaudhuri paraα = 1. Para resolver a equação de Klein-Gordon com interações eletromagnéticas3, o 4-potencial Aµ será imposto4como

Aµ= ξ e ˜ρ, 0, − Φ e ˜ρ, 0 , (4.2)

que, obviamente, admite simetria axial. Note que Φ é o fluxo magnético paramétrico dentro do solenóide do efeito Aharonov-Bohm [38].

Nesse caso, o operador D2ser´a D2_{= P}µ_P_µ _{= −} ∂ 2 ∂ ˜ρ2− 1 ˜ ρ ∂ ∂ ˜ρ− 1 ˜ ρ2 ∂ ∂ ϕ+ iΦ − Ω ˜ρ 2 ∂ ∂ t+ iξ ˜ ρ 2 + ∂ ∂ t+ iξ ˜ ρ 2 − ∂ 2 ∂ z2. (4.3)

Para uma função de onda sem dependência em z, isto é, Ψ( ˜_{ρ, ϕ,t) = exp(−iEt + imφ)φ( ˜ρ),}

1_{Na teoria quântica relativ´ıstica, o 4-momento linear de um bóson com spin-0 é p}µ _{= i∂}µ_{, tal que, p}µ_p µ = −M2_{, onde M é a sua massa de repouso. Disso, a sua equação de movimento livre será}_{( + M}2_{)Ψ = 0, com :=} ∂µ∂µ. Na presença de um background eletromagnético, Pµ = iDµ e PµPµ= −(M +V )2, sendo Dµ= ∂µ+ ieAµ, respeitando aquela substituição m´ınima imposta.

2_{A dimensão de}_{ℓ é o inverso do comprimento, pois, ˜}_{ρ tem dimensão de comprimento, deixando ℓ ˜ρ} adimensi-onal.

3_{Veja o Apˆendice B.} 4_{E ainda, V} _{= 0.}

(33)

vem D2_{Ψ + M}2_{Ψ = exp(imϕ − iEt)}d 2_R d ˜ρ2+ 1 ˜

ρexp(imϕ − iEt)

dR d ˜ρ +

1 ˜

ρ2exp(imϕ − iEt)R(m + Φ) 2 − 2ΩR mE₋mξ ˜ ρ + ΦE − Φξ ˜ ρ

exp_{(imϕ − iEt)} + Ω2ρ˜2 −E2+2ξ E ˜ ρ − ξ2 ˜ ρ2

Rexp_{(imϕ − iEt) + M}2exp_{(imϕ − iEt)R} − exp(imϕ − iEt)R −E2+2ξ E ˜ ρ − ξ2 ˜ ρ2 = 0, (4.4) ou seja d2R d ˜ρ2+ 1 ˜ ρ dR d ˜ρ− j2 ˜ ρ2R− a ˜ ρR+ b ˜ρR − ω 2_ρ_˜2_R_{+ k}2_R_{= 0,} _(4.5) onde j2:= (m + Φ)2_−ξ2_{, a :}_{= 2ξ [E − Ω(m + Φ)], b := 2Eξ Ω}2_,_ω2_{:= E}2_Ω2_{e k}2_:_{= E}2_−M2₋ ξ2_Ω2

− 2ΦΩE − 2mΩE. Fazendo as seguintes mudanc¸as de vari´aveis, R( ˜ρ) = ˜ρ−1/2µ( ˜ρ)5 _e x= ˜ρ√ω, (4.5) passa a ser " d2 dx2− j2₋1₄ x2 − a′ x + b ′_x_{− x}2₊k2 ω # µ(x) = 0, (4.6)

com a′:= a/√ω e b′:= b/√ω3_{. A equação (4.6) admite um comportamento assintótico quando} x_{→ ±∞. Por isso, é viável escolher a solução-teste, para que os postulados de tipo-Schrödinger}

n˜ao sejam violados, como µ(x) = xj+1

2exp−1

2x(x − b′) y(x). Continuado usando a notac¸˜ao

de Leibniz, tem-se xd 2_y dx2+ (1 + α − β x − 2x 2₎dy dx+ (γ − α − 2)x −1 2[δ + (1 + α)β ] y= 0, (4.7)

com_{α := 2 j, β := −b}′,γ :=k_ω2+b₄′2 eδ := 2a′. A equação (4.7) é de Heun [32,39], biconfluente e admite singularidades em x_{= 0 (regular) e x → ∞ (irregular de ordem dois). Por isso, é}

5_{Considere duas funções reais ordinárias, f}_{(x) e g(x), tais que, f (x) = x}l_g_{(x), com l sendo um número racional.}

Com isso, f′′(x) = l(l − 1)xl−2_g_{(x) + 2lx}l−1_g′_{(x) + x}l_g′′_{(x), e} 1 xf ′_{(x) = lx}l−2_g_{(x) + x}l−1_g′_(x), assim f′′(x) +1 xf ′_{(x) = x}l_g′′_{(x) + (2l + 1)x}l−1_g′_{(x) + l}2_xl−2_g_(x).

Isso n˜ao depender´a de g′(x), se e somente se, l = −12, disso

f′′(x) +1

xf

′_{(x) = x}−1/2_g′′_{(x) +}1 4x

(34)

poss´ıvel resolvê-la usando o Método de Fröbenius [30], e escolher a seguinte série de potências como solução y(x) = xq ∞

∑

k=0 ckxk, (4.8)

onde a escolha das constantes c_k ´e proposital e dada por

ck:= Γ(α + 1) Γ(k + α + 1) dk k!. (4.9) Substituindo (4.8) em (4.7), obt´em-se6 dk+2= (k + 1)β +1 2[δ + β (1 + α)] dk+1 − (k + 1)(k + 1 + α)(γ − 2 − α − 2k)dk (k = 2, 3, ...) e (4.10)

para k= 0, d0= 1 e para k = 1, d1= 1₂[δ + (1 + α)β ]. A s´erie (4.8) passa a ser um polinˆomio

de grau finito, igual a n, se k′ _{≥ k + 1, onde o truncamento ocorrerá para γ − α − 2 = 2n.} Com isso, as soluções de (4.7) serão os polinômios de Heun [40, 41], N(x) := y(2n + 2 + α; x). Os polinômios x−αN_{(−α;x) também serão soluções. Disso, a combinação linear c}1N(α; x) + c2x−αN(−α;x) será solução de (4.7). Finalmente, vem o espectro energético7dos autovalores

dado por

E_nm2 _{− 2Ω(n + j + m + Φ + 1)E}nm− M2= 0. (4.11) ´

E interessante perceber que a condic¸˜ao dn+1= 0 permite um v´ınculo forte entre a

vorticidade de tipo-G¨odel e a energia dos b´osons. Para o estado fundamental, n= 0, tem-se,

d1= 0, ou ainda, δ + β (1 + α) = 0. Para ω > 0, (Ω0m)1= 2E0m 2( j + m + Φ) + 1 e (4.12) paraω < 0, (Ω0m)2= 2E0m 2_{(− j + m + Φ) − 1}. (4.13)

Usando (4.12) e (4.13) em (4.11), vem as energias poss´ıveis para o estado fundamental do b´oson dadas por (E0m)1= ±M s −2( j + m + Φ) + 1_{2( j + m + Φ) + 3} e (E0m)2= ±M s −2_{2(3 j + m + Φ) + 5}(− j + m + Φ) − 1. (4.14)

Tomando as quantizações de Φ e de m, as expressões em (4.14) são simétricas para m= 0 e para(E0m)1,2 = 0. Essa última nos diz que as energias, com ω < 0 e ω > 0, (E0m)1 e(E0m)2

6_{Vem da equação indicial para q}_{= 0. Para q = −α, as soluções y(x) são antissimétricas com respeito ao} parâmetro f´ısicoα, enquanto, para δ , β e γ são simétricas.

7_{Se a condic¸˜ao d}

(35)

pertencem, respectivamente, aos bósons e anti-bósons. Jamais, por exemplo,(E0m)1serão

ener-gias de anti-part´ıculas. Quando m< 0, as energias são ligadas, sempre, estando no intervalo −1 ≤ (E0m)1,2 ≤ 1. Se m ≥ 0, o fluxo magnético Φ = 0,±2,±4,... é invertido, ou seja, a

corrente elétrica no solenóide deve ter sentido oposto ao convencional. Com isso, o espectro energético para um bóson, no seu estado fundamental, é discreto para um fluxo magnético-escada descont´ınuo. Veja as figuras abaixo:

Figura 5 – Perfil do estado fundamental como função do fluxo magnético para M= 1 e ξ = 1. A energia é simétrica em relação ao número quântico m. O comportamento para pequenas variações do fluxo magnético para m_{= −3 é mostrado pela inserção.}

Figura 6 – Perfil do estado fundamental como função do fluxo magnético para M= 1 e ξ = 1. Claramente, têm-se regiões em que as energias não são definidas para alguns valores de m, existindo somente em pequenos intervalos.

(36)

Figura 7 – Estado fundamental[E0m]1(ponto azul) e[E0m]2(ponto vermelho) como func¸˜oes do

n´umero quˆantico m para M= 1, ξ = 1 e Φ = 0 (a) e Φ = 4, 8 (b).

Figura 8 – Estado fundamental[E0m]_1,2 como função do número quântico m para M= 1 e

ξ = 1.

Figura 9 – Estado fundamental como função do número quântico m para M= 1 e Ω = 1.

(37)

5 A TEORIA DE GRAVIDADE DE HORAVA-LIFSHITZ E O ESPAC¸ O-TEMPO DE G ¨ODEL

A teoria de gravidade de Horava-Lifshitz [42] nasce da imposição assimétrica entre as coordenadas espaciais, xi (i= 1, 2 e 3), e do tempo, x0= t, de acordo com as mudanças de

escala

xi→ ℓxi e x0→ ℓnx0, (5.1)

com n1sendo um número inteiro. As transformações (5.1) tornam invariante tal teoria. As pro-priedades dessa teoria têm renormalização melhor quando atingem eficientemente um espectro assintótico do ultravioleta.

As equações de campo de Einstein [18] ficam consistentes com as soluções clássicas obtidas daquela teoria. Uma teoria grav´ıtica forte é o problema-chave da F´ısica Teórica mo-derna. Isso é motivado quando aquela consistência permite a verificação observacional da gra-vidade HL ou da teoria de gragra-vidade de Horava-Lifshitz2. Neste cap´ıtulo, será investigado a presença de geodésicas fechadas do tipo-tempo na gravidade HL, tornando-a compat´ıvel com o espaço-tempo de Gödel. Considere a seguinte métrica de Gödel

ds2= a2 dt2_{− dx}2+1 2e 2x_dy2 − dz2+ 2exdtdy (a > 0), (5.2) cujo tensor m´etrico ser´a

gµν = a2        1 0 ex 0 0 ₋₁ 0 0 ex 0 e2x/2 0 0 0 0 ₋₁        , (5.3)

cuja inversa ser´a

gµν = 1 a2        −1 0 2e−x 0 0 ₋₁ 0 0 2e−x 0 _−2e−2x 0 0 0 0 ₋₁        . (5.4)

1_{Denominado de expoente cr´ıtico.}

2_{As soluções de buracos negros obtidas pela métrica de Schwarzchild têm propriedades semelhantes às da} gravidade HL, e as métricas AdS, Friedmann-Robertson-Walker e Wormhole, quando tomadas numa aproximação assintótica, têm equações de movimento equivalentes às da mesma teoria.

(38)

Os s´ımbolos de Christoffel não-nulos, Γk_{i j}, serão Γ1₂₂e Γ2₂₁. Começando pelo último, vem Γ2₂₁ =1 2g 2ℓ_(∂ 2g1ℓ+ ∂1gℓ2− ∂ℓg21) =1 2 − 2 a2e −2x a2 22e 2x = 1 (5.5)

e o outro como sendo

Γ1₂₂ =1 2g 1ℓ_(∂ 2g2ℓ+ ∂2gℓ2− ∂ℓg22) = −1 2g 11_∂ 1g22 =e 2x 2 . (5.6) e ainda √_g₌ a2 √ 2e x_. _(5.7)

Para o tensor de curvatura de Riemann, o único componente R_{i jk}_ℓnão-nulo será

R1212= − a2

2 e

2x_, _(5.8)

E para o tensor de Ricci, vem

R11= −1 e R22= e2x

2 , (5.9)

com o escalar de Ricci dado por

R= 2

a2. (5.10)

Pela parametrizac¸˜ao ADM

N= a2 e Ni= N(0, aex, 0), (5.11) e as definições para Ki j3e Ci j4serão

Ki j := 1 2N( ˙gi j− ∇iNj− ∇jNi) e C i j _: = ε ikℓ √_g∇_k R_ℓj₋R 4δ j ℓ . (5.12) 3_{Com K} i jKi j= −1/a4e K= 0.

(39)

Disso, a lagrangeana para a gravidade HL ser´a L := N√g α(Ki jKi j− λ K2) + βCi jCi j + γε i jk √_gRiℓ∇jRℓk+ ζ Ri jRi j + ηR2+ εR + σ + Lm , (5.13)

onde Lm ´e a lagrangeana de mat´eria, e as constantes foram definidas como

α := 2 κ2, β :=− κ2 2w4, γ := κ2_µ 2w2, ζ :=− κ2_µ2 8 , η := κ 2_µ2_{(1 − 4λ )} 32_{(1 − 3λ )} , ε := κ2_µ2_Λ 8_{(1 − 3λ )} e σ := − 3κ2_µ2_Λ2 8_{(1 − 3λ )}. (5.14)

Construindo uma ação para (5.13), e estudando seus extremos variando-a com res-peito aos parâmetros gµν, vem

1. com respeito a N = g00:

−α(Ki jKi j− λ K2) + βCi jCi j+ γ εi jk

√_gR_i_ℓ∇_jR_kℓ+ ζ Ri jRi j+ ηR2+ εR + σ = T00, (5.15) usando a métrica do espaço de Gödel, tem-se ainda

−αKi jKi j+ ζ Ri jRi j+ ηR2+ εR + σ = T00. (5.16) O componente quadrático temporal da equação de Einstein, será

G00= α a4+ 2ζ a4 + 4η a4 + 2ε a2 + σ = T 00_, _(5.17)

ou seja, T00 ´e uma constante, dependendo daquelas constantes. 2. Agora, usando os parˆametros ADM restantes, N_ℓ= g0ℓ, segue

2α∇k(Kkℓ− λ Kgkℓ) = T0ℓ=⇒ G0ℓ= 2α∇kKkℓ= T0ℓ, (5.18) ou ainda

T01= T03= 0 e T02 = 2α(∂1K12+ 3K12), (5.19)

e usando contrações de gµν com a primeira equação de (??), obtém-se

K12_{= −}1

a4e−x=⇒ G 02

= −4α_a4e−x= T

02_. _(5.20)

(40)

a uma forma bastante complicada de Ti j5. Disso, seguem os componentes não-nulos da equação de Einstein G00= −3Θ − α − 2Σ, G02= −(Θ + 2α + Σ)ex, G11= α + Σ, G22= − 1 2(3α + Σ)e 2x _e G33= − α 2 + Θ, (5.21) com 4η + 2ζ = 4δ , 4δ + 2εa2+ σ a4= Θ e σ a4_{− 4δ = Σ.} (5.22)

Para parte de mat´eria, o tensor de momento-energia ser´a dado por

Tµν := ρmUµUν+ p(gµν−UµUν) +Uµqν+Uνqµ+ Πµν, (5.23) onde ρm= TµνUµUν, p= 1 3Tµνh µν_, qµ = TνλUν(gµλ−UµUλ) e Π_µν = 1 2(h α µhβν+ hανhβµ)Tαβ− 1 3hµνh αβ T_αβ, (5.24) com hµν = gµν_−UµUν. (5.25) Para a gravidade de HL ρm= − 1 a2(α + 3Θ + 2Σ) e p = 1 a2 Θ −7 2α , (5.26)

válidas para α > 0, p > 0 e ρm > 0. Quando ρm < 0 e p < 0, a matéria é fantasma

ou matéria-X. Esse tipo de matéria permite resolver os problemas sobre a aceleração cósmica. Mesmo tomando valores pequenos para Λ, teremos uma matéria vazia, ou me-lhor, matéria fantasma.

Para interesse de consulta, estes s˜ao os componentes n˜ao-nulos do tensor

momento-5_{Veja, em detalhes, a determinac¸˜ao de T}

(41)

energia para a teoria HL T00= − 2 κ2+ κ2_µ2 8 1 − 2λ 1_{− 3λ} − 3κ 2_µ2_Ω 4_{(1 − 3λ )}+ 15κ2_µ2_Ω2 8_{(1 − 3λ )}, T02= − 4 κ2+ κ2_µ2_Ω 4_{(1 − 3λ )}− 3κ2_µ2_Ω2 4_{(1 − 3λ )} ex, T11= 2 κ2+ κ2_µ2 8 1 − 2λ 1_{− 3λ} − 3κ 2_µ2_Ω2 8_{(1 − 3λ )}, T22= −_κ32− κ2_µ2 16 1 − 2λ 1_{− 3λ} + 3κ 2_µ2_Ω2 16_{(1 − 3λ )} e2x e T33= − 1 κ2− κ2_µ2 8 1 − 2λ 1_{− 3λ} + κ 2_µ2_Ω 4_{(1 − 3λ )}− 3κ2_µ2_Ω2 8_{(1 − 3λ )}. (5.27)

A teoria de gravidade de Horava-Lifshitz, aqui discutida, foi tomada paraℓ = 1, 2 e 3. O problema da causalidade de Gödel, quando usamos esse tipo de interação, aparece, no m´ınimo, para três valores de ℓ. Quanto mais valores de ℓ, mais a presença de fam´ılias de geodésicas com a mesma torção.

(42)

6 SOLUÇ ÕES TIPO-G ÖDEL DENTRO DE UMA GRAVIDADE DEPENDENTE DE R E Q

Agora, na teoria de gravidade f(R, Q), onde R ´e o escalar de Ricci e Q := RµνRµν,

que é uma invariante, obviamente, será provada a existência de soluções no vácuo, no ambi-ente tipo-Gödel, com a constante cosmológica diferambi-ente de zero, contrariando a estrutura da Relatividade Geral. As soluções causais aparecerão em discordância com a previsão feita pela teoria clássica da relatividade de Einstein. Será escolhida uma forma particular, para obter a tal causalidade, dada por

f(R, Q) := αR2+ β Q + R, (6.1)

para_{α 6= 0 e β sendo constantes [43].}

A Relatividade Geral, classicamente, tomada, não conseguiu, no momento, resolver dois problemas: (i) experimentalmente, saber a explicação da expansão do Universo, e (ii) teoricamente, quantizar a gravidade. Isso faz com que a teoria grav´ıtica de Einstein seja não-renormalizável. O seu contexto quântico é praticamente fraco para sustentar futuras teorias.

Diversas sa´ıdas para fugir desse problema foram usadas. Uma delas foi a alteração na ação de Einstein-Hilbert [44], colocando mais termos com ordens maiores na curvatura do espaço-tempo curvil´ıneo usado, dependendo, ainda, de mais campos (escalar e tensorial, por exemplo) [45]. A eficácia de uma teoria é a quantidade de graus de liberdade considerados. Isso permitindo que a teoria ficasse renormalizável. Esses graus de liberdade são fict´ıcios, ca-racterizando os chamados modos fantasmas. Esse tratamento é utilizado em teorias de Cordas.

Apesar daquela dificuldade, que perturba muito a cosmologia experimental, existem defeitos geométricos presentes nas periferias dos eventos: máquinas temporais, no espaço tipo-Gödel, denominadas de geodésicas fechadas do tipo-tempo ou circuitos geodésicos causais, permitindo o surgimento de violação na causalidade. Outros ambientes também geram essa anomalia: o de Gott [7] e o de van Stockum [46]. Essas métricas tinham a liberdade de anular o efeito de ação daquelas geodésicas.

No cap´ıtulo anterior, é feito um estudo de teoria da gravidade, com espécie f(R), que é a teoria de gravidade de Horava-Lifshitz. Nela, perceberam-se problemas de causalidade para algumas ordens de transformação assimétrica na escala do espaço-tempo de Gödel (a sa-ber, para ℓ = 1, 2 ou 3). O termo Q é quadrático na curvatura, disso, será investigado a sua interferência no surgimento das patologias de causalidade do espaço tipo-Gödel.

(43)

6.1 Uma breve revisão sobre a métrica de Gödel

O espaço-tempo de Gödel é confeccionado por uma métrica que satisfaz as equações relativ´ısticas de campo de Einstein, para uma constante cosmológica negativa. Isso modela um ambiente cósmico em rotação do tipo-poeira1. A homogeneidade é presente nesse espaço, apre-sentando eventos reveladores de torção comum em geodésicas causais, gerando aqueles defeitos de causalidade no tecido do espaço godeliano. O comprimento infinitésimo, ds, de uma linha nesse espaço é tal que

ds2:= [dt + H(x)dy]2_{− D}2(x)dy2_{− dx}2_{− dz}2, (6.2) onde H(x) = emx e D(x) =e mx √ 2, (6.3)

cujos parâmetros estão relacionados com o conteúdo de matéria por

m2= 2Ω2= κ2ρm e Λ= −

κ2

2 ρm< 0, (6.4)

sendoκ a constante de Einstein e Ω, a vorticidade da matéria. Note que m e Ω dependem da homogeneidade do espaço. Para métricas mais gerais, as do tipo-Gödel, vem

ds2= [dt2+ H( ˜ρ)dϕ]2_{− D}2( ˜ρ)dϕ2_{− d ˜ρ}2_{− dz}2, (6.5) para H′( ˜ρ) D( ˜ρ) = 2Ω e D′′( ˜ρ) D( ˜ρ) = m 2 (Ω 6= 0 e − ∞ ≤ m2≤ ∞). (6.6) Para facilitar, apenas, espaços homogêneos serão trabalhados neste cap´ıtulo.

Resolvendo as equações (6.6), são obtidas três classes de soluções: 1. Hiperbólicas (m2> 0): D( ˜ρ) = 1 msinh(m ˜ρ) e H( ˜ρ) = 2Ω m2[cosh(m ˜ρ) − 1]; (6.7) 2. Trigonométricas (m2_{= −µ}2< 0): D( ˜ρ) = 1 µ sin(µ ˜ρ) e H( ˜ρ) = 2Ω µ2[1 − cos(µ ˜ρ)], e (6.8) 3. Lineares (m2= 0): D( ˜ρ) = ˜ρ e H( ˜ρ) = Ω ˜ρ2. (6.9) De (6.4), a métrica de Gödel é recoberta por soluções hiperbólicas, pois Ω é real. Com respeito à