Fundamentos de Matematica Elementar Vol 02 Logaritmos

(1)

(2)

GELSON IEZZI

OSVALDO DOLCE

CARLOS MURAKAMI

FUNDAMENTOS DE

-

2 MATEMATICA

ELEMENTAR

LOGARITMOS

54 exercícios resolvidos

250 exercícios propostos com resposta

234 testes de vestibular com resposta

3~

edição

ATUt\L

EDITORA

(3)

Capa

Roberto Franklin Rondino

Sylvio Ulhoa Cintra Filho

Rua Inhambu,

1235 - S. Paulo

Composição e desenhos

AM Produções Gráficas Ltda.

Rua Castro Alves,

135 - S. Paulo

Artes

Atual Editora Ltda.

Fotolitos

H.O.P. Fotolitos Ltda.

Rua Delmira Ferreira,

325 - S. Paulo

Impressão e acabamento

Gráfica Editora Hamburg Ltda.

Rua Apeninos,

294 278-1620 - 278-2648 - 279-9776

São Paulo - SP - Brasil

ClP-Brasil. Catalogação-na-Fonte Câmara Brasileira do Livro, SP

Fundamentas de matemétlce elementBr rpor) Gel-F97? l!IOnIezzl (e outros) 580 Paulo, 'AtUl!!l1 v.I-2, Ed ••

1977-4-&

CO-Butoree: Carlos Hurakl!llll, Osvaldo Dolce e 5smuel Hl!lZZBn;B Butor1B dos volumes indi-vidueis varia entre os ,. autores.

ContBúdo: '1.1.Con1untos, funções.-v.2.

LOQarltmos.-v.4. SeQÜencll!lB, ml!l.~rize!l

determi-nantes, slBtem8s.-v.5. Combln!tor1l!l, prob!bl-lid8de.-v.6. CamplexoB, pol1namioB, equaçoes. 1. Matemática (2Qgrau) t. Dolee, Osvaldo, 1938- Il. Iezzl, Gelaon, 1939- III. Hazzan, Samuel, 1946- 1\1. HurakBllll, Carlos,

1943-77-1333 &00-510

fndice para catálogo sistemático: 1. HeltemáUCfI 510

Todos os direitos reservados a

ATUAL EDITORA LTOA

Rua José Antônio Coelho,

785 Telefones:

71-7795 e 549-1720

CEP

04011 - São Paulo - SP - Brasil

APRESENTACÃO

I

"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes

elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática,

ao n(vel da escola de

'P.

grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para

o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames

vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e

também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha

das ciências" .

No desenvolvimento dos inúmeros cap(tulos dos livros de "Fundamentos"

procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades.

Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições

e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações.

Na estruturação das séries de exerc(cios, buscamos sempre uma ordenação

crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões

que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A

seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exerc(cios. Os exercl'cios

resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação

sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar

a resposta para cada problema proposto e assim, ter seu reforço positivo ou partir

à

procura do erro cometido.

A última parte de cada volume é constitUl'da por testes de vestibulares até

1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria

estudada.

Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando

Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescind(vel para que pudéssemos homenagear

nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas

vidas e suas obras.

Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores

e o valor de sua obra, gostar(amos de receber dos colegas professores uma

apre-ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários crfticos, os quais

agra-decemos.

(4)

CAPfTULO I

POTÊNCIAS E RAfzES

ÍNDICE

I. Potência de expoente natural

1-8

11. Potência de expoente inteiro negativo

5-8

111. Raiz enézima aritmética

8-8

IV. Potência de expoente racional

15-8

V. Potência de expoente irracional

18-8

V

I. Potência de expoente real

20-8

CAPITULO

li -

FUNÇÃO EXPONENCIAL

I. Definição

23-8

11. Propriedades

23-8

111. Imagem

28-8

IV. Gráfico

29-8

V. Equações exponenciais

34-8

VI. Inequações exponenciais

42-8

CAPITULO 111 - LOGARITMOS

I. Conceito de logaritmo

51-8

11 ..Antilogaritmo

52-8

111. Conseqüências da definição

54-8

IV. Sistemas de logaritmos

55-8

V. Propriedades dos logaritmos

56-8

(5)

CAPITULO IV - FUNÇÃO LOGARliMICA

I. Definição

69-8

11. Propriedades

69-8

111. Imagem

72-8

IV. Gráfico

72-8

CAPITULO

V - EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS

I. Equações exponenciais

77-8

11. Equações logarítmicas

79-8

CAPITULO VI - INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS

I. Inequações exponenciais

95-8

11. Inequações logarítmicas

97-8

CAPITULO VII - LOGARITMOS DECIMAIS

I. Introdução

109-8

11. Característica e mantissa

11 0-8

111. Regras da característica

110-8

IV. Mantissa

112-8

V. Exemplos de aplicações da tábua de logaritmos

115-8

RESPOSTAS DOS EXERCICIOS

121-8

TESTES

139-8

RESPOSTAS DOS TESTES

171-8

Leonhard Euler

(1707 - 1783)

(6)

Cego enxerga longe

CAPÍTULO I

Desta definição decorre que:

1. Definição

I. POTENCIA DE EXPOENTE NATURAL

.A

POTENCIAS

E RAÍZES

1 •

a

=

a

a· a

(a • a) • a

=

a • a • a

an-

1 •

a,

V-

n, n;;;'

1.

2.

Exemplos

19) 3°

=

1 29) (_2)°

=

1 39) 51

=

5 49) (1)1 1

7

59) {_3)1 -3

para

_P

natur,* e p;;;' 2, temos que a

P

é um produto de

e, de modo geral,

p fatores iguais a

a.

I

número natural. Potência de base

a

e

Sejam

a

um número rea e

n

um

expoente

n

é o número a

n

tal que:

Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Suíça, onde seu pai era ministro religioso e pos-suia alguns conhecimentos matemáticos.

Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel, receben-do ampla ínstrução em Teología, Medicina, Astronomia, Física, Línguas orientais e Matemática. Com o auxílio de Bernoulli entrou para a Academia de S. Petersburgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seção de Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando á seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de Daniel. Tornando-se

o principal matemático já aos vinte e seis anos, dedicou-se profundamenteá pesquisa

com-pondo uma quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da Academia.

Em 1735 perdeu a visilo do olho direito mas suas pesquisas continuaram intensas che-gando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos.

Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academia das Ciências de Paris bem como vários prêmios em concursos.

Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlim,

voltandoáRússia em 1766.

Euler ocupou-se de quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada sendo o maior responsável pela linguagem e notações que usamos hoje; foi o primeiro a empregar a letra e

como base do sistema de logaritmos naturais, a le}G' grega 7r para razão entre comprimento

e diâmetro da circunferência e a simboloipara

V-I.

Deve-se a ele também o uso de letras

minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos;

simboli-zou logaritmo de x por Ix, usou

L

para indicar adição e fi x) para função de x, além de outras

notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e Análise.

Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos numsóramo mais geral da

Mate-mática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra, em 1748, a "Introdução à Anàlise Infinita", baseando-se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares Itrigonométricas, logarítmicas, trigonométricas-in-versas e exponenciais!.

Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com idéia correta sobre loga-ritmo de números negativos.

Muito interessado no estudo de séries infinitas, obteve notáveis resultados que o

leva-ram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria, Euler dedicou um Apên-dice da "Introdução" onde dá a representação da Geometria Analítica no espaço.

Euler escreveu em todos os níveis, em várias Iinguas, publicando mais de 500 livros e artigos.

Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxo de suas pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros-negros ou di-tando para seus filhos.

Manteve sua mente poderosa até os 76 anos quando morreu.

Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria "Análise encarnada".

(7)

6l?) 7l?) 8l?) 9l?) 10l?) 11l?) 12l?)

3

2 =

3· 3

=

9

(_2)3

=

(-2)(-2)(-2)

=

-8

(1.)4

=

1. . 1. . 1. .

-1. _

16

3

3 3 -

81

(-O,l)s

= (-0,1)(-0,1)(-0,1)(-0,1)(-0,1)

0

3 =

O, O· O

=

O

0°

=

1 Oi

=

O

-0,00001

39 caso

{

a20

>

O

'V

n

E N

a

<

O

~

'a20+

I

<

O

'V

n

E N

isto é, toda potência de base negativa e expoente par é um número real positivo

e toda potência de base negativa e expoente (mpar

é

um número real negativo.

EXERCICIOS

EXERCICIO

6.1 Calcular:

ai

(_312

6.3 Se o E t,I, calcular o valor de

Solução

ai

(_3)2 = (-3) • (-3) = 9 c) _2 3

= -

(2)(2) (21

=

-8 6.2 Calcular: b) _32= -(3) • (3) = -9 d) _(_2)3= -(-2)(-2)(-2) =8

4. Propriedades

Se a

E IR,

b

E

IR,

m

EN

e n

E N,

então valem as seguintes

proprie-.'

dades:

Demonstração de

P

_I

(por indução sobre n).

Consideremos m fixo.

~

m

•

~ =

am-o

a

=F

O em;;;' n

aO

'

(a.

b)o

=

aO • bO

a) (_3)3 b) (_2)1 _c) ₃4 d) 17 e)

(3.

)3 _f) (_ !)4 _g)

_(-.!.

₎₃ h) (.3.)0 3 ₃ ₂ 3 i) _22 _j) _(_~)3 _k) _{(_11}10 I) (-1)13 2 m) 07 o) (-4)0 _o) _{_5°} p)

_(_1I

1S

3. Na

defi~ição

da potência aO, a base a pode ser um número real positivo

nulo ou negativo.

'

Vejamos o que ocorre em cada um desses casos:

P

s •

b=FO

19 caso

_{ao

=

O

a

=

O

~

0°

=

1 'V

n E N, n;;;' 1

1l?)

A propriedade é verdadeira para n

=

O, pois

29 caso

a

>

O

~

aO

>

O

'V

n E N

isto é, toda potência de base real positiva e expoente

n E

til

é

um número

real positivo.

2-8

29)

Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para

n

=

p, isto é

am • a

P =

am+p,

e mostremos que

é

verdadeira para

n

=

p

+

1,

isto

é,

am • ap+

1

₌

_am+p+

_{l .}

_{De fato}

(8)

Demonstração de P3

(por indução sobre n).

B.5

Simplificar (04 • b3)3 . (a 2 • b)2

1'?)

A propriedade é verdadeira para

n

~

0, pois

(a • b)o

~

1

~

1 • 1

~

aO • bO

Solução

(é,

b3)3. la2. bl 2

~

(a4 •

3 •

b3'3) ·la2 •2 . b2)

~

a12 . b9 • a

4 • b

2 " a12+4 . b9+2 " a16 . b".

2'?)

Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para

n

~

p,

(a • b)P

~

aP . bP ,

mostremos que

é verdadeira para

n

~

p

+

1,

(a' b)P+'

~

ap+ 1 • b p+

l .

De fato

(a • b)P+ I

~

(a • b)P • (a • b)

~

ap+1 • bP+

I

(aP • bP ) • (a • b) (aP • a) •(bP •b)

isto é,

isto

é,

B.6

Simplificar as expressões supondo a •b =1=O:

(a4 • b2

)3

b)

(a' b2)2

(a2 • b3)4 • (a3 . b4)2

e) (a3 • b 213 Demonstração de Pó

Consideremos m

fixo.

(por indução sobre n).

B.7

d" -

(+ b)2 - a2 + b27

Se a e b são números reais, então em que con lçoes a - .

1~')

A propriedade

é verdadeira para n

~

0,

pois

(am)o

~

1

~

aO

~

am '

°

2'?)

Supondo que a propriedade seja verdadeira para

n

~

p,

isto é,

(am)P

~

a m ' P,

mostremos que

é verdadeira para n

~

p

+

1, isto

é,

(a m )p+

1~

amo (P+I). De fato

As demonstrações das propriedades (P2 ) e (P4 ) ficam como exercícios.

As propriedades

(PI )

a

(Pó)

têm grande aplicação nos cálculos com

po-tências. A elas nos referiremos com o nome simplificado de

propriedades (P)

nos

itens seguintes.

Nas "ampliações" que faremos logo a seguir no conceito de potência.

procuraremos manter sempre válidas as propriedades (P), isto

é, estas propriedades

serão estendidas sucessivamente para potências de expoente inteiro. raciónal e real.

EXERCICIOS

B.4 Classificar em verdadeira

(VI

ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo:

a) 53. 52 " 56

bl 36

-O-

32

o

33 c) 23 . 3

o

63 d) (2 + 3)4

=

24

+"

34 e) (53)2 "_ 56

f)

1_2)6 _ 26

g) ~; _

(_2)2

h)

52 - 42 _ 32

11. POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO

5. Definição

Dado um número real

a,

não nulo, e um número

n

natural, define-se a

potência a-n

pela relação

~

Isto é, a potênCia de base real, não nula, e expoent.e inteiro negativo é definida

como o inverso da correspondente potência de inteiro POSitiVO.

6. Exemplos

19)

2"-1

~

1

21

2 29)

r

3

_23-

1

8 (_2)-3

~

1

1 39)

(_2)3

-8

8 5-8

(9)

Estas potências tem as

propriedades (P)

8. Com as definições de potência de expoente natural e potência

de expoente

inteiro negativo, podemos estabelecer a seguinte definição:

49) (_1.)-2

,

_{= - - =}

,

9

3

_{(-1. )2} 4 4

3

9

59) (--!.)-.

,

2

_{(_-.l).}

-,-=

-32

2

32

EXERCICIOS B.8 Calcular: a) 3-1 b) 1_2)-1 c) _3-1 d) _1_3)-1 e) 2-2 f) (-3)-2 g) _5-2 h) (2.) -2 (~rl 1_~)-3 3 i) j) k) _(~)-2 _(_~)-3 3 2 I) (0,1)-2 5 3 m) n) (0,25) -3 o) (-0.5)-3 p) (0,75) -2 q) _1_ _r) 1 s) 1 1 2-3 (0,2)-2 (_3)-3 t) _(0,01)_-2

B.9 Calcular o valor das expressões: a) 2-1 - (_2)2 -+: (-2)-I 22

+

2 2

Se a

E IR

e n

E;Z

então

{ 'n-I

a

• a

n ₌

1

a-n am . an

=

am+n am m-n - =

a

n (a • b)n = an •bn

(~)n

=

~

b

n (am)n =

a

m ' n

se

n =

O

a

se

n

>

O

se

n<O e a*O

onde a

E

R',

b

E

R',

m

E

Z e n

E

Z.

EXERCfclOS

B.10 Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma da~sentenças abaixo:

'9)

Com a definição de potência de expoente'

.

dade (P4)

Inteiro negativo a

proprie-b) 2- 4 = -16 d) 3-4 •3' = 1 3 f) 52 = 58 5-6 h) 11'1 +rr-1 = 1 j) 32 •

r

2 = 1 a3(-2) • b(-2) '1-2) a-4·3. b3 ' 3 a) 153 ) -2 = ç 6 c) (11'+2)-2 = 11'-2 + 2-2 7-2 e) _ - 7-3 7 -. -g) 2-1 _ 3-1= 6-1 j) (T3 )-2 =26 Solução la3 • b-2) -2 (a- 4 • b3)3 (a

*

O)

Se a

=

O

e n

E N',

o-n '

_{e um símbolo sem significado.}

Observações

29)

7. passa a ter significado para m

<

n.

(10)

nE

z..

e a E RI<-, simplificar as expressões:

-if8

~

-2,

-V4

~

-2,

±V9

~

±3

39)

Devemos estar atentos no cálculo da raiz quadrada de um quadrado

perfeito:

Exemplos

1 t?)

..JT-5)2

~

I-51

5 e não..JT-5)2

-5

mas

R

~

lal

são sentenças verdadeiras onde o radical "não é causador" do sinal que o antecede.

b) (aS. b3)2

(a 4 •

b)

3

d) (a3 • b-413 a-2 •b2

fi

(a-I+b-I) •(a +b)-I

b) a2n+3 •an - l a2(n-1) dJ 8n+4 - a3 •a n a4 •a n a • b

*-

O, simplificar as expressões: el la 3 • b- 21-2 . la· b-213 la 1 •b2) 3 (a-2 - b-2I • Ia-I _ b-1)-1

111. RAIZ ENÉZIMA ARITMÉTICA

2t?)

R

~

Ixl

e não

R

~

x

9. Definição

Dados um número real a;;'

O e um número natural

n,

demonstra-se que

existe sempre um número real positivo ou nulo

b tal que b

n

~ a.

Ao número

b

chamaremos raiz enézima aritmética de

a

e indicaremos

pelo simbolo

,ifã

onde

a

é chamado radicando e

n

é o indice.

EXERCICIOS

8.14 Classificar em verdadeira (VI ou falsa (FI cada uma das sentenças abaixo:

ai

if27

=3 b )

V4

=±2 cI

~

=1

r::

e)

.1

3

1 ~

=

~

fi

ifO

= O d)

··v

9 = -3

V

"8

2 Exemplos

1t?)

{./32

~ 2 porque 2s

_~

₃₂

2t?)

if"8~

2 porque 2

3 _~

₈

3<?)

..J9~

3 porque 3

2 _~

₉

4t?)

VO~

O

porque

0

7 ~

O

5t?)

t"1~

1 porque

1

6 ~

1

8.15 Classificar em verdadeira (V),ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo: ai

V0

= x2 ,

V

xE IR

-l

bl

v';;!o

= xS ,

V

x E IR

~

c)

-v;6

= x3 •

V

x

E

If:l±) .} di

~

Ix - 112 ₌ _x-I,

_V

_{x E IR} _e _{x;;' 1}

..J

e)

~

= 3 - x,

V

x E R e x';; 3

TI

10. Observações

2t?)

Observemos na definição dada que:

V36

~

6 e não

v'36

~

±6

Determinar a raiz quadrada aritmética de (x - 1)2.

b) . (2x - 3)2 cl x2 - 6x +9 d) 4x2

₊

_4x

₊

₁

x>

1

x = 1

x

<

1

a) (x +2)2

Determinar a raiz quadrada aritmética de Solução

~

(x _ 1)2 =

I

x - I

I

=

{~-

1 :: 1 - x se 8.17 8.16

Da definição decorre

({f;)n

~ a.

1<?)

8-8

(11)

Demonstrações

RI'

yr;;m

=

n~

Façamos

yr;;m

=

x, então:

x

np

=

(yr;;m )np

= [(

yr;;m)n]p

=

[am]P == x

=

_{ne; amP .}

R

2 •

~

•

.lfb

=

~

Façamos x

=

~

•

.lfb,

então:

x

n

=

(~

•

lfb)n

=

(~)n

. (lfb)n

=

ab= x

=

~

R

4 •

(~)m

= .cr;rn

Considerando n fixo em;;" 0, provaremos por indução sobre m.

EXERCíCIOS

Notemos que se b E IR e n E 1\J·.··temos:

para

b;;" 0,

b· if;;

=

~

para

b

<

0,

b·

~

=

-!Y

a •

I

b In

isto é,

O

coeficiente do radical (a menos do sinal) pode ser colocado no radicando

com expoente igual ao índice do radical.

11. Propriedades

Se a

E R+.

b

E R+,

m

E

z..

n

E IW'

e p

E IW',

temos:

RI'

~

=

n'~

R

2 •

~

=

i f ; •

.lfb

R

3 •

Ir

=

~

(b

"*

O)

R

4 •

(~)m

=.cr;rn R

_{s •}

~

=

p'~

R

s ·

12. f/

v;-

=

Pif;

Façamos x

=

f/

if;, então:

xP

=

({/if;)P

=

if; == (xP)n

=

(~)n==

xpn

=

a== x

=

P~

A verificação da propriedade (R

3 )

fica como exercfcio.

Observação

Exemplos

1?)

2.if3

=

~

=

if24

2?)

-5v'2

=

-~

=

-V5D

3?)

-2\12

=

-\12.2

4

=

-~

B.18 Simplificar os radicais:

1?)

A propriedade é verdadeira para m

=

°

pois

(~)o=

1

={Y"1

=~

a)

{/64

bl

V576

c)

.,Ji2

_dllf27

aI

~ ~

lf26

~

22

~

4

bl

v's76

=

...[26:32

=

#

.

H

~

23 •3

~

24

c)

.,Ji2

=

y22:3

=

n .

..[3

=

2..[3

d)

W

~~ =w.~

=

22.~ ~4~

29)

Supondo a propriedade verdadeira para m

=

P. isto é

(~)P

=

.çr;;p,

provemos que é verdadeira para m

=

p

+

1,

isto é

(~)P+l =

{YaP+I .

De fato:

(~)P+I

=

(if;;)p • if;;

=

if;,> .

if;;

=

~ =

{Yap+1

Se m

<

0, façamos -m

=

q

>

0, então

10-B

Solução B.19 Simplificar os radicais: b)

vG24

g)

.Ji2ã

c)

.vm

h)

lf72

dI

Vi96

i)

\1512

e)

\1625

(12)

B.22 Reduzir ao mesmo índice

.,[3,

Vi

e

~.

Solução

O mínimo múltiplo comum entre

2. 3

e

4

é

12.

então reduzindo ao índice

12,

temos:

v3 ifi\f5~W

B.23 Reduzir ao mesmo índice B.20 Simplificar as expresspes:

a)

via

+

Vii

+

vn -

v50

b)

5V1D8

+

2V243 - V27

+

2v'12

c)

vSO -

v'24

+

.J125 - V54

di

";2000

+

V2õõ

+

f i

+

Vi

el

if12s -

~

+

ij54 -

if16

fi

~

375 -

~

+

.vB1 -

if192

gl

aij;;i;4

+

b M

+

~

a4 b4 - 3ab<r.b

8.25 Efetuar as operações indicadas com as ral'zes:

a)

Vi .

Y18

bl

Vi .

Y15 . vSO

dI

Vi .

Y6

el

VS' Y12

gl

VS:

V3

hl

vS4 :

VS

jl

Vi·

Vi

kl

lf3.

lf2 .

V5

ml

Vi :

Vi

n)

Y2 •

lf2

~

Solução a)

v'12 . V3 - 2V27 . -/3

+

3Y75 • v'3

~

v36 -

2vB1

+

3·

vG25

~

~ 6 -

2·9

+

3 '15

=

33

b)

(3

+

v'21 . (5 - 3v'21

=

15 - 9Y2

+

5Y2 -

6 =

9 - 4Y2

c)

(5 - 2V31 2

=

25 - 20-/3

+

12

=

37 - 20v'3

B.26 Efetuar as operações: a)

(y'12 -

2V27

+

3Y751 . v'3

b)

(3

+

Vi) .

(5 - 3v'2)

cl

(5 - 2v'3)2

dI

VBx2

b) ..;

45x

3 y 2 B.21 Simplificar

al~

8.24 Efetuar as operações indicadas com as rafzes:

a)

-/3.

v12

bl

-v24 :

ij3

aI v'2.

$,

lf3

c)

W .

.,[3,

W

d)

.,[3 .

:çr:;-

el

-Y4":

\12

b)

.,[3.

-Y4,

\12.

t's

d)

W,

.J23.

W. t'2s

fI

3fr.

s!T"

'12' '12

B.27

Efetuar as operações: a)

2v'3 (3V5 - 2vSO - V451

b)

(VSO -

v45

+

3~)

: 2V5

cl (6

+

Y2) • (5 - v'2,

di

(3

+

V5) .

(7 -

V51

el

(Y2

+

31 . (Y2 - 4)

fi

(2-/3

+

3Y21 . (5v'3 - 2Y2)

gl

(2V5 - 4V7) • (V5

+

2V71

hl

(3

+

vS-1 2

il

(4 _ V51 2

j)

(2

+

3V71 2

k)

(1 _ Y21

4

Solução B.28 Efetuar

aI (4

via -

2Y181 :

lf2

bl (3v'12

+

2Y481 :

V3

cI

(3Y18

+

2 via

+

3V32 -

v50)

.lf2

d)

(VS

+

{.fi2

+

~I

:

Y2

B.29 Efetuar ai

-/'-0=2---1 . )0

+ 1

bl

)7

+

V24 .

)7

-.J24

c)

-/5

+

2Y6 .

-/5 -

2Y6

di

Vi .

-/2

+.J2.

)2

+

-/2

+

Vi·

)2 - -/2

+.J2

12-8

(13)

B.30 Simplificar: aI

Ja

+

v'b.

Ja

-v'b.

~

bl

(2~

+

xV;

+

vvÍxl:

~

c) (a •

J+

+

2

y'";;b

+

b •

~)

•

~

d)Jp+~.Jp-~

e)

Vx+.Jx

2 _V 3

.1x-~

Racionalizar os denominadores das frações:

B.31 Simplificar as raizes:

a)

~.J6i

d) • b)

Simplificar a expressão

2a~

sabendo que x =

..!.- (

~

_

/1l)

.

x

+

1

+

x

2 ₂

Y

b

Y

a

(O

<

b

<

a),

Mostre que

19 ({!2 -

1) = 1 -

if2

+

.v4.

B.37 B.36 B.35 Simplificar a express~o:

x+~

x-~

x-~-x+~

B.34 Simplificar: aI

j

2 +..[3 +

j

2 - ..[3

2-.,[3

2+.,[3

4s

+

vS7 -

v'125

cl

V12

+

.J1õã -

.J1ãõ

d) 1 1

+...[2-Y3

c)

JaVa..[;

cl 5 3

-Vi

blJ~

1 b)

-t'2

a)_1

Y3

B.32

IV. POTI:NCIA DE EXPOENTE RACIONAL

B.39 Calcular o valor de: x =

J2

+

J2

+

J2

+

~

Solução aI _1_ = _1_ •

Y3 _

V3

.J3

Y3

..[3-

3

_1_ __1_

(f22

~

b)

~

=

~

•

Vii

= 2 -_ -=-5-= 5 3 +

v0

cl

3-.,f7= 3-.,f7· 3+.,f7=

5(3

+

Vi)

2 B.38 Mostre que 3

+

4 _ 1

J7 -

2.J1Q

J8

+

4Y3 -

J11 -

2vf3õ

Se a

=

O

e

J:.

>

O,

adotamos a seguinte definição especial

q

R: e

J:.

E O (p E

~

e q E

1\1*)

define-se potência de base

q

pela relação

a

P/q =~.

Dados a E

a

~

expoente

.!!..

q

13. Definição

Exemplos

19) 3

1_/2

~

v'3

39) T

2I3 =

</T

2 =

~

d) 1 1 (1

+ ...[2) + Y3

1

+

'h -

Y3

(1

+ ...[2) - Y3 .

(1

+ ...[2) +

..[3

= = 1

+ ...[2 + Y3 . ...[2 _

(1

+ ...[2 + Y3) •

V2

2...[2

...[2 -

4

Racionalizar o denominador de cada fração:

a)~

b)~

c)....L

d)~

V2

.J5

..[6

3.j5"

e) _4_ 1

2

3 2Y3

f)

{14

g) ~ h)

(/2

il

1 ') 1

2

6

2 +.J3

J

../3-V2

k)

3 +

~...[2-I) 5 -

3../.2

m) 1 nl 4 1 • 5

3...[2 - Y3

2..[5 - 3...[2

o)

2+Y3+~

p)

2-..;5+.../2

q) 3

~-1

"-ÇIJ

-13-...[2+1

3 - 1 B.33

14-8

15-8

(14)

P ~ ~

(a . b)Q

=

{Y (a . b)P

=

~

=

{l? .

{YbP =

a

q

bO

(a~)~

=

,y(a

t

)r

=

yI(

i j ) r

=

j{Yapr

=

°

yr;;p.r

=

r&'s

p r

a

q "

Deixamos a demonstração das propriedades

P2 e P

4

como exercício.

14. Observações

19)

O

simbolo

Op/o

com

~

<

O não tem significado, pois,

~

E (Q

q

e q

E

"l*

==

p

<

O

==

oP

não tem significado.

29)

Toda potência de base positiva e expoente racional

é um número

real positivo

a

>

0==

aP_/o ₌

U

>

_O

EXERCICIOS

8.40 Expressar na forma de potência de expoente racional os seguintes radicais:

aI

v5

b)

ij4

c)

V27

dI

~

e)~

(ij22I'

1 1

(~)'

fi

g ) -hl

\19

i)

vS

Demonstrações

r

aS

qo~

aPs+ rq

8.41 Calcular, substituindo as potências de expoente racional pelos correspondentes radicais:

EXERCICIOS

8.42

Simplificar fazendo uso das propriedades

IPI

S,,!ução

ai

163/4 _~ ₍₂_{4 )'114} _~ ₂3 _~ ₈ bl 27-413 ~ (331-413 ~3-4 ~ 1 . 81 c) 181 21"4 = 1134₁2

_1"

4 = 3' ~ 9 bl 27-4/ 3

ai

163/4 e) (2..1-115 32

dI

1~)1/2 4

il

10,011-0•5 c) 10,25)-112 hl 10,81)-112 bl 64-112 91 I2..13/4 16

Propriedades

aI

8"3

15.

8.43 Simplificar fazendo uso das propriedades IPI

ai

93/' b) 8413 . cl (2..1-A 112

di

64 -2/3 el 81-0·25 fi 2565/4 g) 1024"10 hl 1165/4 )215 il (322)-0.4 _jl 1343 -211/3 kl (243-2) -2/5 I) (216 2)1/3 8.44

Simplificar

.!'.

..é

l ' +~

p!.

aO

aS

aO

s

p

aO:

.!'.

r

P,.

aO

s

r

aS

E. p

p

P

3 ·

(a

b)O

li

bO:

P

.!'..

P

4 •

(~)'i

aO

b

_E.

bO

As propriedades

(P)

se verificam para as potências de expoente racional.

Se a

E R:,

b

E R:,

~

E (Q

e

~

E (Q

então valem as seguintes

proprie-dades:

q 5

(15)

8.45 Simplificar supondo a

>

O e b

>

O:

(n+3/n-Ir-;::- n+I[""""""";")nLI a) \ Y Va2 • V a-I

b) a5/6 •bl/2 •

~

a-1I2 • b-I •

yr

_a--"'"I-.-b"72-:::-/3

c) (a2/3 ₊₂_{113 ) •} _{(a{/; -}

{t'2a2

₊

.if4)

b • 112 + bll2

d)

----=-..!! •

[a ll2 • (a 1l2 _ bll2) -I _ ( a )-1]

a

+

b bll2

17. Definição

Seja a E

IR, a

>

O e

a

um número irracional, consideremos os conjuntos

AI = {r E

o.

I

r

<

a}

e

A

2

= {s E

o.

I

s

>

a}.

Notemos que

a) todo número de A

1

é menor que qualquer número de A

_{2 •}

b) existem dois racionais

r e s tais que

r

<

a

<

s e a diferença s - r

é menor que qualquer número positivo e arbitrário.

Em correspondência aos conjuntos AI e A

2

consideremos os conjuntos

16. Dados um número real

a

>

O

e um número irracional

a,

podemos

construir, com base nas potências de expoente racional, um único número real

positivo

aa

que é a potência de base

a

e expoente irracional

a.

Seja por exemplo a potência

3 12 .

Sabendo quais são os valores racionais

aproximados por falta ou por excesso de

V2,

obtemos em correspondência os

valores aproximados por falta ou por excesso de

3J'i

(potências de base

3 e

expoente racional, já definidas):

V. POTt:NCIA DE EXPOENTE IRRACIONAL

B

1

={a

r

lrEA I}

e

B

2

={aS lsEA

2 }

Se

a

>

1,

demonstra-se(') que:

a) todo número de

B,

é menor que qualquer número de

B

2 •

b) existem dois números ar e aS tais que a diferença aS - ar

é menor que

qualquer número positivo e arbitrário.

Nestas condições, dizemos que ar e aS são aproximações por falta e por

excesso, respectivamente, de aa e que

B

1

e

B

2

são classes que definem aa.

Se

O

<

a

<

1,

tudo acontece de forma análoga.

Exemplos de potências com expoente irracional

212,

4J3,

511",

(~

)1+12,

m-

12 ,

(V2)J3

19. Observações

18. Se a =

O

e.a

é irracional e positivo, daremos a seguinte definição especial

Oa =

O

4

2(.'/4 _ 1)

8.46 Se a

>

O mostre Que

1 1

-a71/"4-+--'a71/"'8-+-1 + al/4 _ a1l8 +

19)

Se a

=

então

la

=

1,

'ti

a

irracional

1

2 1,4

1,5

1,41

1,42

1,414

1,415

1,4142

1,4143

--- ... V2

...----8

1

8

2

3

1

3

2

3

1,4

3

1,S

3

1,41

3

1,42

3

1,414

3

1,415

3

1,4142

3

1,4143

29)

Se a

<

O e

a

é irracional e positivo então o símbolo

aa

não tem

significado.

Exemplos:

(_2)12, (_5)J3

e

(_V2)J3

não tem significado.

39)

Se

a

é irracional e negativo

(a

<

O)

então

Oa

não tem significado.

49)

Para as potências de expoente irracional são válidas as propriedades (P).

(.) A demonstração está nas páginas24, 25 e 26.

(16)

EXERCICIO 8.47

Simplificar

a) 3. 2J3 .2-

J3

d) (3

J2 -1)J2+1

g) (5

J2

+

Ji :

25

J2 -

Ji)Ji

b) 12'if3)

lf:i

a) 21

_{+Ji .}

_4-Ji2 h) (4

15 :

a

J2õ

)-IIJ'S

VI. POTÊNCIA DE EXPOENTE REAL

20. Considerando que já foram definidos anteriormente as potências de base

a

la E IR:)

e expoente

b

(b

racional ou irracional) então já está definida

a potência ab

c~m

a E IR: e b E IR.

21. Observações

OS MAIORAIS EM ALGEBRA

Solicitado a relacionar os vinte maiores algebristas de todos os tempos. o

grande matemático francês André Veil. um dos componentes do grupo Bourbaki.

alinhou os seguintes nomes:

1!lI

positivo.

2~)

isto

é.

Toda potência de base real e positiva e expoente real é um número

a>

0==

a

b

>

O

Para as potências de expoente real são válidas as propriedades (Pl.

ab • aC

'=

ab

+

c (a E IR:. bE IR e cE IR)

a

b

b-c

_{(a E}

IR:,

bE IR

cE IR)

- '=

a

_e

a

C

(a • b)C

'=

aC . bC (a E IR:, b E IR: e c E IR)

c

(~)C

'=

~

(a E IR:. b E IR: e c E IR)

b

C

(ab)C

'=

ab ' c

la E IR:, b E IR

e c E IR)

Fermat

Euler

Lagrange

Legendre

Gauss

Dirichlet

Kummer

Hermite

Eisenstein

Kronecker

Riemann

Dedekind

H.Weber

Hensel

Hilbert

Takagi

Hecke

Artin

Hasse

Chevalley

(1601 - 1665)

(1707 - 1783)

(1736 - 1813)

(1752 - 1833)

(1777 - 1855)

(1805 - 1859)

(1810 - 1893)

(1822 - 1901)

(1823 - 1852)

(1823 - 1891)

(1831 - 1921)

(1842 - 1913)

(1861 - 1941)

(1862 - 1943)

(1875 - 1960)

(1887 - 1947)

(1898 - 1962)

(1898 -

)

(1909 -

)

20-8

Esta lista é. no entanto, considerada incompleta uma vez que, por uma ques·

tão de elegância, Veil não se incluiu na relação. faltando com a verdade.

(17)

CAPÍTULO II

-FUNÇAO

EXPONENCIAL

I. DEFINiÇÃO

22. Dado um número real a, tal que O

<

a

i=

1,

chamamos função exponencial

de base

a

a função f de

IR

em FI que associa a cada x real o número a

X

•

Em símbolos:

f:

R

--->

IR

x---+

a

X

Exemplos de funções exponenciais em

R

1 a) f(x)

=

2

x

b) g(x)

=

("2)X

d) p(x)

=

lO

x

e) r(x)

= (.J2)X

11. PROPRIEDADES

c)

h(x)

=

3x

H)

Na função exponencial f(x)

=

a

X ,

temos

x

=

0 = fIO)

=

aO

=

1 isto

é, o par ordenado

(O, 1)

pertence a função para todo

a

E

IR: -

{1}.

Isto significa que o gráfico cartesiano de toda função exponencial corta o eixo

y

no ponto de ordenada 1.

2'!)

A função exponencial

f(x)

=

a

X

_{é crescente (decrescente) se, e}

somente se, a

>

1

(O

<

a

<

1),

Portanto, dados os reais Xl e X2, temos:

I) quando a

>

1:

11) quando O

<

a

<

1:

XI

<

X2

==

f(XI)

>

f(x2)

(18)

A demonstração desta propriedade exige a seqüência de lemas e teoremas

apresentadas nos itens

23 a 30.

3~)

A função exponencial

f( x)

~

a

X

,

com

O

<

a

=/= 1,

é injetora

pois, dados

XI e X2

tais que

XI

=/= X2

(por exemplo

XI

<

X2)

vem:

Se

a> 1,

temos:

f(xI!

<

f(X2)

Se

O

<

a

<

1,

temos:

f(xI! > f(X2)

e, portanto, nos dois casos,

f(xl)

=/= f(X2).

24. Lema

2 Sendo a E

IR,

a > 1 e r E

0., temos:

ar > 1 se, e somente se,

r >

O

Demonstração

li! Parte

Provemos a proposição

r > 0 = ar > 1

1

-Pelo lema

1,

se

,

-::

(aq)q >

1

e

q >

O então a

q

>

1.

Ainda

pelo

1

~

1

-

-mesmo lema, se a

q

>

1

e p>O então

(aq )p >

1,

ou seja,

23. Lema 1

Sendo a E

R, a> 1 e n EZ, temos:

a

n

>

se, e somente se,

n >

O

Demonstração

Façamos r

~ ~

com

q

p, q E

~*,

então:

P

ar

~

a

q P 1

ar

=

aq

=

(aq)p.

Supondo agora, q

<

O, isto

é, -q > O, pelo lema 1 temos

2?

Parte

Provemos agora a proposição:

ar > 1==> r >

O

Façamos r

=

E..

com

p E:l. e q E

z.,*

então

q

p

>

O

q 1 P

(aq)p

~

aq

=

ar > 1

1 1

e

(aq)p

~

(a q

r

P > 1

=

-p >

O==> p

<

O

q

<

O

e

p

<

0== r

1 1

aq >

e

(aq)p > 1==> P > O

"--"

q >

O e

p > 0== r

=

~

>

O

q

1

a

q

>

Logo

1

Supondo, q >

O e considerando que na 1

~

parte provamos que a

q

> 1,

temos pelo lema 1:

I? Parte

Provemos, por indução sobre n, a proposição:

n > 0 = a

n

> 1

1'?)

é verdadeira para

n

~ 1,

pois

ai

~

a >

1

2'?)

suponhamos que a proposição seja verdadeira para

n

~

p,

isto

é,

lP

> 1 e provemos que

é

verdadeira para

n

~

p

+

1. De fato, de

a > 1, multiplicando ambos os membros desta desigualdade

lor a

P

e mantendo a desigualdade pois a

P

_{é positivo, temos:}

a >

1=

a • a

P

> a

P ""

a

P+

I > a

P

>

1

2?

Parte

Provemos, por redução a absurdo, a proposição:

a

n

>

1==> n

>

O

Supondo n";:

O temos, -n;;' O.

Notemos que n

~

O

=

aO

=

1 e pela primeira parte

-n >

O==> a-n > 1

portanto

Multiplicando ambos os membros dessa desigualdade por a

n

e mantendo

o sentido da desigualdade pois a

n

é positivo, temos

a-n ;;, 1

==>

an • a-n ;;, an

==>

1 ;;, an

o que é um absurdo, pois contraria a hipótese a

n

> 1.

Logo, n >

O.

(19)

Z5.

lema 3

Demonstraçaã

Sejam os dois conjuntos que definem o número irracional

CI,

Sendo a E IR, a >

1,

r e s racionais, temos:

aS > ar se, e somente se,

s > r.

Sendo a E

IR,

a >

1

e

CI

E

li -

lO, temos

a

Cl

>

1 se, e somente se,

CI

> O

a

Cl

> O, vem:

redução a absurdo, agora a proposição:

i

Jl

>1=CI>0

CI

<

O,

isto é,

-a

> O.

parte deste teorema, temos:

a> 1,

-a

E IR - CIl}

=

a-

Cl

>

₁

-a>

O

ambos os membros da desigualdade obtida por

a-

Cl_•

_a

Cl

_>

_a

Cl

Mu Itipl icando

2i! Parte

Provemos, por

Suponhamos,

Pela primeira

isto é,

o que contraria a hipótese, logo

CI>O

S-r>O-=>

(lema 2)

==

Demonstração

aS > ar -=> aS • a-r> ar • a-r -=> as-r>

1 -=> s> r

lema

4

26. AI

=

f

r E lO

I

r

<

O'}

e

_A2

=

{s E lO

j

s > O'}

27. Teorema

1 e em correspondência os conjuntos de potências de expoentes racionais que

definem

aO',

E IR

a >

1 e b E

R,

temos:

Sendo a

,

a

b

>

1 se, e somente se,

b

>

O.

Demonstração

(a

b

>

1 -=> b> O)

lf1

Parte

Provemos a proposição

b E IR

lIema 21

lab

>

1

<===> { b E

lO

~ema 4~u

bEIR-lO

=

b

>

O)

Pela definição do número O' irracional e positivo, existem r E

AI

e sE

A

2 tal que O

<

r

<

CI

<

s.

Pelo lema

2,

como a>

1,

r> O e s > O, temos: ar >

1

e aS>

1.

Pelo lema 3, como

a > 1 e r

<

s, temos: 1

<

ar

<

aS

e, agora, pela

definição de potência de expoente irracional, vem

28. Teorema

2 Sendo a E

IR,

a>

1,

Xl E IR

e X2 E IR, temos:

aXl > aX2

se, e somente se,

Xl > x2

isto é,

1 <

ar

<

aO'

<

aS

Ileorema1) : :

26-8

27-8

(20)

IV. GRAFICO

29. Teorema 3

Sendo

a

E IR, O <

a

< 1

e

b

E IR,

temos:

a

b

>

1 se, e somente

se

b

<

O.

32. Com relação ao gráfico cartesiano da fu nção f (x)

=

ax'

podemos dizer

su bstituindo

x x y=a

(0<a<1I

x

a curva representativa está toda acima do eixo dos x, pois

y

=

a

X

>

_O

x E

IR.

corta o eixo

y

no ponto de ordenada 1.

é

o de uma função crescente e se

O

<

a

<

1 é

o de Uma

v

1

ÇI)

para todo

2?)

3?)

se

a

>

1 função decrescente.

4?)

toma um dos aspectos da figura abaixo.

Se

O

<

a

<

1 então

~

>

L

a

Demonstração

Seja

c

=

~

>

1, pelo teorema 1, vem:

a

c-

b

> 1

<==>

-b> O

1 c

= - ,

temos:

a

Sendo

a E

IR,

O

<

a

<

1,

XI

E

IR

e, x

2

E

IR,

temos:

a

XI

>

a

X2

se, e SOmente se,

Xl

<

x

2•

30. Teorema

4

y

.-

i---

r--+--f---

~

6

_I

5

I

4

1/1(;<)-

2 x 3

J

2

1/

V

I--

,./1 _~ -4 -3 -2

-,

1 2 3 4 x X

Y

=

2

x

1 -3

8

1 -2

-4

1 -1

2 O

1

2

4

3

8

1

?)

33. Exemplos

Construir o gráfico da função exponencial

de

base 2,

f(x)

>

1 ~ aX1 - X2

>

1 lteo=rema3)

~ XI - x2

<

O <==>

Demonstração

111. IMAGEM

31. Vimos anteriormente, no estudo de potências de expoente real que se

a

E

IR:,

então

a

X

>

O para todo

X

real.

Afirmamos, então, que a imagem da função exponencial

é

(21)

1

)X 2?) Construir o gráfico da função exponencial de base

2"'

f(x)

~

(2"

.

EXERCICIOS 7 Y ex ₆ y ~ 5 4

I

. _ - -

r··

3 - -

-1---2

/

r--

r

--_.-

---/

1

r--

- . . -_."

V

-4,-3 -2 -1 O 1 2 3 x

r--

r'l .

f--r-- f--

-L...L.-. e) y =: 10-x x eX -3 005 -2,5 008 -2 0,14 -1,5 0,22 -1 0,36 -0,5 0.60 O 1 0,5 1,65 1 2.72 1,5 4,~ª---2 7,39 2.5 12,18 3 20,80 . f nções exponenciais:

Construir os g-áficos cartesianos dasseguintes u

b) y " (

2..

3 )x c) Y " 4 x ai y " 3x 1 x f ) y " l e l B.48 y 8 7

\

6

\

,

5 4 flxl"(·~·f

_1\

₃ f-~;' .. _

\

/2

t-- _

r\.

1

---r-I-- --- - -,~ - l 3 -2 -1 1 2 3 4 x t-- -, x y

~ (~)X

2 -3

₈

-2

₄

-1

₂

O

1

-

1

2

-

1

4

3

1

8

3?) Construir o gráfico da função exponencial de base e, f(x)

~

eX, Um número irracional importantíssimo para a análise matemática é indicado pela letra

e

e definido pela relação:

6.49 Construir o gráfico cartesiano da funçao em- IR definida por f(x) ~ 22x-l

Solução:

maneira: atribuímos valores a 2x - 1, Vamos construir uma tabela da seguinte

calculamos 22X- 1 e finalmente x.

e ~ Iim

x ....

O

'/=

A demonstração de que o citado limite existe será feita futuramente quando fizermos o estudo de limites. A tabela abaixo sugere um valor para

e

(com quatro casas decimais): e

==

2,7183

x 1 _0,1 0,01 _0,001 _0,0001 0,00001 1 (1 + xIx 11+1)1=2 _{11+0,1)10=2,594} 11 +0,01)100" 2,705 _2,717 _2,7182 2,7183

30-8

y t--= 22X-1 f-" x 2x - 1 y 8 . - . .--_{.. 1} -1 ₇ -3 - - - -_t-

r

-1 8 6 1

r

-flx)=22X-! 1 5

2"

-2

"4

f-' - --- -4 1 1---. O -1 2 3 1 - f-1 O ₂ 1---2 _1

:/

I 2 - 1-1

l--'

3 2 4 2 3 4 ,5 x -2 -1 2 _..

r--i--2 3 8 ._-~_.

~--31-8

(22)

8.50 Construir os gráficos das funções em IR definidas por:

X+l

b) f(x) ~ 3

Z-cl f(x) = 2 1X1

8.53 Construir os gráficos das funções em

a) t(x) = 2x - 3 1 x 1 b) t(x) ~ (:3) + IR definidas por: c) f(x) = 2 _ 3 x d) f(x) = 3 _ (

.1

)x 2

8.52 Construir o gráfico da função em IR definida por f(x) = 2 x+ 1_

8.51 Construir os gráficos das funções em IR definidas por:

a) f(x)

~

2x +2-x bl f(xl = 2x _ 2- x

Solução:

Notemos que o gráfico deve apresentar para cada x uma ordenada y que

é o valor de 2x mais uma unidade.

Assim, se cada 2x sofre um acréscimo

de 1, tudo se passa OOmo Seaexponen~

cial y = 2x sofresse uma translação

de Urna unidade "para cima",

x - I e calculando 2 X --1, 3. 2X-1 x x - 1 2 X - 1 y=3'2x-1 1 3 -2 -3 8 8 1 3 -1 -2

₄

_"4

1 3 O -1

_"2

1 O 1 3 2 1 2 6 3 2 4 12 4 3 8 24

v

13

12

11

10

.

9

8 L

-c---6

!i

7

4

3 I

-I

. / - - . -_I---

r..-i/

1

2

3

4

5

6

7

8

X x - I

Con struir o gráfico da função em IR definida por t(x) = 3 • 2 . 8.54

Solução

Vamos construir uma tabela dando valores a

e x. Temos: x 2x y=2x+1 -3 1 9 8 8 -2 1 5

"4

"4 -1 1 3

"2

2 O 1 2 1 2 3 2 4 5 3 8 9 T ' -y 8 I f----t--- 7 Y~2x+l.1

lJí

6 !'i I 4

l '

.' - .3

Vi

21/

/-

=2)(

-

V,

,,

--

-

-r_--4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x x 2x y = 2x

+

1 1 -3 8 --2 1

"4

-1 1

"2

O 1 1 2 2 4 3 8 (~)2X+1 2 (-.!..)Ixl 2 di f(x) el f(x) x 2x y=2x +1 -3 -2 -1 O 1 2 3

32-8

(23)

EXERCíCIOS

8.55 _{Construir os !Táficos das funções em IR definidas por:}

1 x

a) f(x) ~

2" •

3

b) f(x) ~ 0,1 •22X-3

8.56 Resolver as seguintes equações exponenciais:

x 1 a) 2x _~ ₆₄ b) 8 _~

32

c) (y3)X

~

{!81

S

~

{'_{. 3}

~}

1 bl 8x ~ 32

S~{- ~}

Solução x _ 2x _~ ₂₆

=-

_x _~ ₆ ai 2 ~ 64 ~

S

~

{6}

d) f(x)

V. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

c) f(x) di

(~Ix"

125 5 4 3

r::

f) 1\(3)x _~ y 9 x 1 h) 4 =

8

SI.x 1

il

(y41

~--Vã

Ii 8x = 0,25 n)

(~)x

=2,25 3 g) 9x = 27 I) (_1_ IX = 25 125 k) 100x " 0,001 ml 125x = 0,04

Resolver as seguintes equações exponenciais:

bl 3x " 243 a) 2x " 128 x 1 cl 2 =

16

el

1~lx

= 8 8.57

Equações exponenciais são equações com incógnita no eXpoente.

Exemplos

2

x =

64,

(.,(3)X

=~,

4

x _-

₂

x ₌

_2.

Existem

dois

_{métodos fundamentais para resolução das equações}

ex-ponenciais.

Faremos a apresentação agora do primeiro método, sendo que o segundo

será apresentado quando do estudo de logarítmos.

34. Definição

16 nl Sx2 -x =4 x+1 2 f) 52X +3x-2 := 1 hl 7 3X + 4 =492X-3 il (y'2)3X-1₌ _1Z!i6)2X-I g) 81 1-3X = 27 53X - 1 = (_1_)2X+3 il 25 k) 82X+1 =

~

m)27x2+1=95X

cl

112X

+s

= 1 2 e) 3x +2x = 243

Resolver aS _{seguintes equações exponenciais:}

b) 74X+3 = 49 x2-x-16 di 2 a) 23X-1 ~ 32 8.58

(O

<

8=1oHI

35. Método

da

redução a uma

base

comum

Este método, como o próprio nome já nos diz, será aplicado quando,

ambos os membros da equação, com as transformações convenientes baseadas

nas propriedades

de

_{potências, forem redutíveis a potências de mesma base}

a (O

<

a

=lo

1).

_{Pelo fato de a função exponencial f(x)}

₌

_a

X

_{ser injetora,}

podemos concluir que potências iguais e de mesma base têm os expoentes iguais,

isto é:

35-8

34-8

(24)

8.59 Resolver as equações exponenciais abaixo: a) (2 X )X-1 = 4 b) 32x-1. 9JX+4 = 27 x+1 c)

y'5X=2.

V"252X -S _ 2,j'5JX-:I = O

8.63 Resolver as se90 .ntes equaç. ões exponenciais: +1

. bl 4x a) 4x - 2x = 56 - 9 • 2x

+

2

_o

bj 3 2X -1 •9 3X + 4 " 27X+1

=

_{3 2X - 1 • (3 2)3X+4 = (3 J)X+1}

=

3 2X -1• 36X+8= 33x+ J

=

3 8x +7 _{3 JX + 3}

=

Solução a) (2 X )X-l = 4

=

2 x2 -x 22

=

x

2 _ x 2

=

x = 2 ou x = -1, S={2,-I} 0 = - 9 • 2x +2 1 2 ou y = 4 (2X)2 _ 2x _56 =O - 2x - 56 =O

=

r

= y, temos: temos: pondo 2x = y, temos:

5

=

{3}

De y = 8, y2 _Y _ 56 = Observemos que y = -7. 2x = 8

=

2x 4 / - 9 y + 2 = 0 = Y x bl 4x+1- 9' 2x + 2 = 0 = 4 · 4

=

4, (2x)2 - 9 • 2x O Solução 2x aI 4x - 2x = 56

=

(2 )

d ma incógnita auxiliar, isto é, pondo

empregan o u

O

=

y =8 ou y = -7

não convém, pois y = 2x

>

O

3x -2 _

~

3X-2 5

_{2X _}

x 4x - 10 + -3x -2 5 2 ) ( = X - 2 ~ 4

<==>

8x + 7 = 3x + 3

<==>

x = -

5'

X-2 + 4x-IO = 5 -2- x

=

x 2 + 3x - 18 = O _ x = 3 ou x = -6

S

=

{3, -6}

x 2x ~ 2X-S c)

~.

V252X-S = Y53X-2

<==>

5 2 • (52) x B.60 -2 81 -(x +...!...) 3 x = x 1

""""4

3x -2 ou 30 2x -1 2X 'x+l 28X+12 _ 26X+S - 16" =

seguintes equações exponenciais: x b) 9x +3 = 90 x di 4x +4 = 5 • 2 f) 52X

+

5x

+

6 = O x-I 1 O h) 102X-I - 11 •

I?

+ = 2x 42X- 2" _8 = O j) 5· 2

-as seguintes equações exponenciais 3 mas y = 2x• então: 2X = 2

=

x = 1 S={l,-2} x __1_5

+

ai 3 - 3_{x -}₁ b) 2x+1 + . /

Resolver a equação exponencial

.(x2+

...!.

I 3 x2 c

"fX

25 25" x _ 124 • 5 = 1 • Resolver a equação Resolver Resolver as a) 4x - 2x - 2 =O c) 4x - 20' 2x + 64 = O X+1 4 e) 9X

+

3 = gl 22 x + 2 x +1 = 80 il 4x+1+ 4 3 -X = 257 B.65 B.64 8.67 B.66

<==>

2X-1 • 15" 120

<==>

X - I = 3

<==>

x = 4, S = {4}. Resolver as seguintes equações exponenciais:

a) (2 x )x+4 = 32 b) (9X+1)x-1 = _{3 x2 +} x+4 c) 2 3X -1 •4 2X +J = 83-x d) (3 2X -7)3: 9X+1 _{= (3 JX - 1)4} 3X+2•9

x

81 2X e) 2JX+2:82x-7

=

4X -1 _f)

_{= _}

243S_{X+ 1} ₂₇₃_-4x gl

X+~

= 2

x

-

s

h) 83X "

~:

4_x -1 i)

x-1~

_ 3X-.yr8x-3=0

j)~. X+~

=

~

Resolver a equação exponencial: 2 X -1+ 2 x + 2X+1 _2X+2 + 2x+J = 120 Solução

Resolvemos colocando 2 x - 1 em evidência 2X-1+ 2x + 2 x +J _ 2X+2+ 2X+ 3 = 120

=

2x-1(1 + 2 +2 2 - 23 + 24) = 120

=

2X-1 =8

==o-

2X - 1 =2₃

==o-Resolver as seguintes equações exponenciais: a) 3x-1- 3x + 3X+1+3X+2 = 306 b) 5x- 2 _ 5 x + 5 x + 1= 505 c) 23x+ 23X+ 1 + 23X +2 + 2 3X + J " 240 d) 5 4X -1- 54X_ 5 4X + 1 + 54X+2 = 480 e) 3· 2x - 5· 2X+1+ 5. 2x+3 _2x+s = 2 f) 2· 4 x + 2 - 5 • 4 x + 1 _ 3 • 22 x + 1 _ 4 x = 20 B.61 8.62

36-8

(25)

0 6 = 1 (falso)

~

Resolver a equação (2X2 -3X-2) ₁

(x

2 -

x

+

1) ₌ _• Resolver em IR a equação 2x _{(2 + x) xX + x3 =} _O. Resolver em IR + a equação x - x a equaçao- 4x + eX ~ 2' gX. Resolver 8.77 8.76 8.75

Resolver as equações em IR+:

8.74 a) xx = x b) xx+l = x c) x4 - 2X = x dI 2X2 - 5x+ 3 _ x x e) xx2 - 2X-7 = x

8. 73 _{Resolver as equações em A+:} a) x2 -3x b)

x

2X+5 ₁ c) xx2-2~1 d) xx2 -7x +12 ~ 1 el xx2 -3X-4 = 1 x 2

Resolver as equações em IR+:

a) xX2-5X+6 == 1

Solução

a) Devemos examinar inicialmente se O ou _{são soluções da equação.}

Substituindo _x ₌

O na equação proposta, temoS: B.71 _{Resolver a equação}

SX _ 3 • 4x _3 • 2x₊₁₊ ₈ _O

B.72

8.68 _{Resolver a equação exponencial}

3x ₊_3-x 3x _ 3-x

~solver

a equação exponencial

L /

1 1

4X_{_} _aX-2

=3X+2 _22X_-1

logo, O não é solução.

Substituindo _x = 1 na equação, temos: 12 ~ 1 (verdadeirol

Solução

Dividindo por

gX,

temos:

x

4

x

+

4x + eX = 2 • 9

<==>

gx y, temos: Fazendo _ (~)2X

+

(~)x _ 2 = O. . 3 3 (~)x 3 ,lSB0 é sglucão da equação.

Supondo agora O

<

x

*

1, temos:

xx2-5x+ 6

~

1 ==>

i _

_{5x + e =}

_o

=

_x

₌

2 ou x

=

3 Os valores x= 2 ou x=_{3 são soluções pois satisfazem a condição}

O

<

x

*

1. (~)x = 1 <== x ~ O 3

S

~

{O}

Resolver as equações:

x

gX ) 4x

+

2' 14 = 3·4 :) 22X+2 _ eX _ 2 • 32X +2 = O S={1.2,3}.

b) Examinemos inicialmente se O ou 1 são soluções_{da equação proposta:} 04= O (verdadeiro)

_{= '}

_x _~ _{O é solução} 1-I = 1 (verdadeiro)

=

_{x = 1 é SOlução.} Supondo, O

<

x

*

1, temos: 2X 2-7X+4 ₂ • 2 ₁ x ~x=2x -7x+4=1=2x _-7x+3=0=x~3 ou x=2"' Os valores x = 3 ou x =

~

_{são soluções pois satisfazem a condição O}

<

x

*

1. B.78 i + y - 2=0

<==>

2 x -mas Y ~

(3"

I , entao { y = 1 ou Y=-2 (não convém)

39-8

38-8

(26)

8.79

Resolver os Seguintes si.temas de equações:

Resolver o sistema de equações [xv2-lSV+S6= 1

Lv - x

= 5 12 m .111,·,111111111111111111111111111 2 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 HI IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIH m O 11 ',IImmIIJJJJJJJJJJJ. '1IIii':':::"""'IIIII"1

J'"'"""I1I""'

"11I1I1I1"""IIII"I.""""I1"""I1"""'""'R"""""""""""""'~'~""""""""""""""'""

m - - - eUllllllllllllllllllllllllllllll1 m

@

J EIRim;;;'12} 51 = lm .- é positiva

b) somente uma rBIL

®

(Dn@n@

b) d) 24 16

_v

= 4

_v

a) c) B.80 1 = <O ==?m <-"2 m;;;' 12}. ou 1 2 Proposta, admita equação exponencial para que a m, VI >0>Y2 ~a' 1(01= 2m+1 ==>52=

{m

E IR

Im

<-

+}

VI > O e V2

=

O

=

5

=

m 0 = m > 2 e =2m +

=

dos valores de O conjunto real é: s uma raiz pelo mano U 52 U 53 =

{m

E R

I

rn

<

-5 = 51 b)

[=:

Resolver Os sislemas de equações para X E IR+ e y E IR+

a)

ReSOlver o sistema de equações para X > O e y > O e sendo m. n > O

Para que valores reais de m a equação 4 x _ (m _ 2) • 2x +2m + 1 O admite pelo menos Uma raiz real?

B.81 8.82 B.83 O O raiz real. admita pelo menos uma

equações abaixo, rea I, para que as

m

a equação m real, para que

menos uma raiz real. Determine 2x 12 +31 • 3x + (m + 3) = O ai 3 - m X+ 1 + 17 _ 2ml 22X+1 _ (2m _ 31 • 2 b) 1}3x+(m-1) =O cl m' gx - (2m

+

Determine admita pelo 6.84 B.85 y2 - (m - 2) v + (2m + 1) = O V, temos: Solução Pondo 2 x

Lembrando que a equação exponencial admitirá pelo menos uma raiz real se eXistir y = 2

x

>

O, a equação acima deveráterpelo menosUmaraizreal e Positiva. Sendo f(y) = y2 - (m - 2) v + (2m + 1), temos:

a) as duas ra(zes são positivas

O < a * l , com

m,

. elo menos uma raiz 2x +2- x = m admitep

m, a equação admite raiz real?

Para Que valores reais de

reais de m a equação Para que valores

real? 8.87 6.86 m - 2 > 0 >

~

= m 2

=

.::l ;;;;, O,

~

₂ > O e a' 1(0) > O .::l;;;;, O<==.::l= m2- 12m;;;;' O

=

m

.ç

O ou m;;;;' 12

S

2

>0

= 2

Mostre Que

40-8

a • fIO)

>

O

=

a.fIO) 2m + 1

>

O

_{=m>_}

₁ 2 8.88 a equação a2X _{_} _(m ₊

admite pelo menos uma

11 aX+ Im - 11 =O, com . real qualquer que seja raiz ,

O < a * l ,