Apostila de
TEORIA DE CONTROLE
e-mail: elenilton@superig.com.brProf. Dsc. Elenilton Teodoro Domingues
2011
SUMÁRIO
1. APRESENTAÇÃO... 5
1.1. DEFINIÇÕES ... 5
1.2. EXEMPLOS DE SISTEMA DE CONTROLE ... 7
1.3. APRESENTAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE ... 8
1.4. CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE ... 9
1.5. SISTEMA DE CONTROLE A MALHA ABERTA (SCMA) E MALHA FECHADA (SCMF) ... 10
1.6. COMPARAÇÃO ENTRE O SISTEMA DE MALHA FECHADA E ABERTA ... 11
1.7. EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLE DE MALHA ABERTA ... 12
1.8. CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO (RETROALIMENTAÇÃO) – FEEDBACK CONTROL ... 12
1.9. CONTROLE POR PRÉ-ALIMENTAÇÃO - FEEDFOWARD CONTROL ... 13
1.10. COMO RESOLVER UM PROBLEMA DE CONTROLE ? ... 15
1.11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ... 16
1.12. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ... 18
2. MODELAGEM MATEMÁTICA ... 20
2.1. CONSIDERAÇOES GERAIS ... 20
2.2. TIPOS DE SISTEMAS E OS MODELOS MATEMATICOS ... 20
2.3. MODELAGEM MATEMÁTICA ... 23
2.4. CONTROLE CLÁSSICO ... 23
2.4.1. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ... 23
2.4.2. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ... 24
2.4.3. REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ... 25
2.4.4. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA RACIONAL PRÓPRIA, TOTALMENTE PRÓPRIA, BIPRÓPRIA E IMPRÓPRIA ... 25
2.4.5. SISTEMAS ELÉTRICOS ... 26
2.4.5.1. COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS ... 26
2.4.5.2. EXEMPLOS: SISTEMAS ELÉTRICOS ... 27
2.4.5.3. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS ... 31
2.4.5.4. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DOS NÓS ... 34
2.4.6. MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA ... 35
2.4.7. SISTEMAS MECÂNICOS ... 36
2.4.7.1. SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL ... 36
2.4.7.2. COMPONETES DOS SISTEMAS MECÂNICOS ... 36
2.4.7.2.1. MASSA ... 36
2.4.7.2.2. MOLA ... 37
2.4.7.2.3. AMORTECEDOR ... 37
2.4.7.3. 2° LEI DE NEWTON ... 38
2.4.7.4. SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL ... 43
2.4.8. SISTEMAS HIDRÁULICOS ... 45
2.5. CONTROLE MODERNO ... 49
2.5.1. MODELAGEM POR VARIÁVEIS DE ESTADO ... 49
2.5.1.1. REPRESENTAÇÃO POR ESPAÇO DE ESTADOS QUANDO A FUNÇÃO EXCITAÇÃO NÃO ENVOLVE TERMOS EM DERIVADAS ... 49
2.5.1.2. REPRESENTAÇÃO POR ESPAÇO QUANDO A FUNÇÃO EXCITAÇÃO ENVOLVE TERMOS EM DERIVADAS ... 51
2.5.2. ALGUMAS DEFINIÇÕES ... 54
2.5.2.1. CORRELAÇÃO ENTRE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA E EQUAÇÕES DE ESPAÇO DE ESTADOS ... 54
3. DIGRAMA DE BLOCOS ... 59
3.1. INTRODUÇÃO: DIGRAMA DE BLOCOS ... 59
3.4. PONTO DE SOMA OU DETECTOR DE ERRO ... 60
3.5. PONTO DE JUNÇÃO OU DERIVAÇÃO ... 61
3.6. DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE MALHA FECHADA ... 61
3.7. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA ABERTA ... 62
3.8. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE ALIMENTAÇÃO DIRETA ... 63
3.9. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA (FORMA CANÔNICA) ... 63
3.10. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA COM REALIMENTAÇÃO UNITÁRIA ... 65
3.11. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA SUJEITA A PERTURBAÇÃO (DISTÚRBIO) ... 66
3.12. REDUÇÃO DE DIGRAMAS DE BLOCOS ... 68
3.13. COMBINAÇÃO DE BLOCOS EM SÉRIE ... 68
3.14. COMBINAÇÃO DE BLOCOS EM PARALELO ... 69
3.15. ELEMINAÇÃO DE UMA MALHA DE REALIMENTAÇÃO ... 70
3.16. REMOVENDO UM BLOCO DE UM RAMO DIRETO ... 71
3.17. REMOVENDO UM BLOCO DE UMA MALHA DE REALIMENTAÇÃO ... 72
3.18. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO Á FRENTE DE UM BLOCO ... 73
3.19. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO ATRÁS DE UM BLOCO ... 73
3.20. DESLOCANDO UM PONTO DE SOMA Á FRENTE DE UM BLOCO ... 73
3.21. DESLOCANDO UM PONTO DE SOMA ATRÁS DE UM BLOCO ... 74
3.22. REDISPONDO PONTO DE SOMA (1) ... 75
3.23. REDISPONDO PONTO DE SOMA (2) ... 76
3.24. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO Á FRENTE DE UM PONTO DE SOMA ... 77
3.25. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO ATRÁS DE UM PONTO DE SOMA ... 77
3.26. REAGRUPAMENTO DE PONTOS DE SOMA ... 78
3.27. RESUMO DA SIMPLIFICAÇÃO DOS DIAGRMAS DE BLOCOS ... 79
3.28. REDUÇÃO DE DIGRAMAS DE BLOCOS COM O MATLAB ... 81
3.29. BLOCOS EM SÉRIE COM MATLAB... 81
3.30. BLOCOS EM PARALELO COM MATLAB ... 82
3.31. REALIMENTAÇÃO (FEEDBACK) ... 83
4. RESPOSTA TRANSITÓRIA ... 93
4.1. INTRODUÇÃO ... 93
4.2. SINAIS DE TESTE TIPÍCOS ... 93
4.3. RESPOSTA TRANSITÓRIA E RESPOSTA ESTACIONÁRIA ... 94
4.4. PÓLOS, ZEROS E RESPOSTA DO SISTEMA ... 94
4.4.1. PÓLOS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA... 94
4.4.2. ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ... 95
4.4.3. EXEMPLO DE PÓLOS E ZEROS DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM ... 95
4.5. SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM ... 99
4.5.1. EQUAÇÃO PADRÃO PARA UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM ... 99
4.5.2. FUNÇAO DE TRANSFERÊNCIA DE PRIMEIRA ORDEM OBTIDA EXPERIMENTALMENTE . 102 4.5.3. EXEMPLO DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM ... 104
4.5.4. RESPOSTAS DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM ... 105
4.5.4.1. RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO ... 105
4.5.4.1.1. MANEIRAS DE IDENTIFICAR EXPERIMENTALMENTE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM 108 4.5.4.2. RESPOSTA À RAMPA UNITÁRIA ... 109
4.5.4.3. RESPOSTA AO IMPULSO UNITÁRIO ... 111
4.6. SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM ... 113
4.6.1. INTRODUÇÃO ... 113
4.6.2. DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM ... 115
4.6.3. ANALISE DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA DIFERENTES VALORES DO AMORTECIMENTO
ζ
... 1174.7. RESPOSTAS DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM ... 118
4.7.1. RESPOSTAS AO DEGRAU UNITARIO ... 118
4.9. ALGUNS COMENTÁRIOS SOBRE ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTAS TRANSITÓRIAS .... 127
4.10. SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM E ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTA TRANSITÓRIA .... 127
5. ERRO EM REGIME PERMANENTE ... 136
5.1. INTRODUÇÃO ... 136
5.2. ERRO EM REGIME PERMANENTE ... 136
5.3. ERRO NOS SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA ABERTA ... 136
5.4. ERRO NOS SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA FECHADA ... 137
5.5. CLASSIFICAÇÃO ... 139
5.6. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA DEGRAU ... 140
5.7. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA RAMPA ... 141
5.8. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA PARABÓLICA ... 143
5.9. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADAS DIFERENTES ... 145
5.10. ERRO EM REGIME PERMANETE DEVIDO AO DISTURBIO ... 146
6. ESTABILIDADE ... 150
6.1. DEFINIÇÕES DE ESTABILIDADE ... 150
6.2. TEOREMA DA ESTABILIDADE ... 150
6.3. CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWTIZ ... 151
6.4. ESTABILIDADE RELATIVA ... 153
7. LUGAR DAS RAÍZES ... 154
7.1. INTRODUÇÃO ... 154
7.2. GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM ... 155
7.3. GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES ... 156
7.4. RESUMO DAS REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES ... 158
7.5. REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES ... 159
7.6. COMENTÁRIOS SOBRE OS GRÁFICOS DO LUGAR DAS RAÍZES ... 163
7.7. CANCELAMENTO DOS PÓLOS DE G(S) COM ZEROS DE H(S) ... 164
7.8. CONFIGURAÇÕES TÍPICAS DE PÓLOS E ZEROS E O LUGAR DAS RAÍZES CORRESPONDENTES ... 165
8. CONTROLADORES ... 176
8.1. INTRODUÇÃO ... 176
8.2. AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS ... 176
8.3. AÇÕES DE CONTROLE ON-OFF (LIGA-DESLIGA) ... 177
8.4. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL (P) ... 178
8.5. AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL ... 180
8.6. AÇÃO DE CONTROLE DERIVATIVA ... 182
8.7. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL MAIS INTEGRAL ... 184
8.8. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL MAIS DERIVATIVA ... 186
8.9. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO ... 188
8.10. REGRAS DE SINTONIA PARA CONTROLADORES PID ... 197
8.11. REGRAS DE ZIGLER-NICHOLS PARA SINTONIA DE CONTROLADORES PID ... 197
9. BIBLIOGRAFIA ... 207
9.1. INTRODUÇÃO ... 207
10. ANEXO 1- TRANSFORMADA DE LAPLACE ... 208
10.1. INTRODUÇÃO ... 208
10.4. REVISÃO DAS VARIAVEIS COMPLEXAS E DAS FUNÇOES COMPLEXAS ... 210
10.5. TRANSFORMADA DE LAPACE ... 210
10.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES ... 211
10.7. FUNÇÃO EXPONENCIAL ... 211 10.8. FUNÇÃO DEGRAU ... 213 10.9. FUNÇÃO RAMPA ... 215 10.10. FUNÇÃO SENO ... 217 10.11. FUNÇÃO COSENO ... 219 10.12. TEOREMA DA TRANSLACÃO ... 221
10.13. FUNÇÃO PULSO OU GATE ... 224
10.14. FUNÇÃO IMPULSO ... 225
10.15. ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ... 227
10.16. LINEARIDADE ... 227
10.17. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR
e
−αt ... 22810.18. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR tn ... 229
10.19. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS ... 230
10.20. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS ... 231
10.21. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ... 232
10.22. MÉTODO PARA OBTER A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ... 232
10.23. MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS ... 232
10.24. F(S) ENVOLVE SOMENTE PÓLOS REAIS E DISTINTOS ... 235
10.25. F(S) ENVOLVE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS ... 238
10.26. F(S) ENVOLVE PÓLOS MÚLTIPLOS ... 243
10.27. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARTIANTES NO TEMPO ... 247
10.28. TEOREMA DO VALOR INICIAL (TVI) ... 250
10.29. TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF)... 250
11. ANEXO 2... 252
11.1. SISTEMAS ELÉTRICOS ... 252
11.2. COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS ... 252
11.3. RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NO CAPACITOR ... 252
11.4. RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NO INDUTOR ... 254
11.5. RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NA RESISTÊNCIA ELÉTRICA ... 255
CAPÍTULO 1
1.
APRESENTAÇÃO
1.1. DEFINIÇÕES
Sistema: é um conjunto de componentes que atuam conjuntamente e realizam um certo
objetivo. Assim um sistema é um arranjo de partes ou componentes, sem limitações de quantidade ou qualidade. Um sistema pode ter qualquer tamanho ou de quaisquer proporções dimensionais. Por exemplo: o sistema elétrico de uma casa tem dimensões completamente diferentes das de um sistema elétrico de um país. Além disso, um sistema não está limitado a algo físico. O conceito de sistema também pode ser aplicado para fenômenos dinâmicos abstratos como aqueles encontrados em economia.
Dinâmica: refere-se a uma situação ou estado que é dependente do tempo. Mesmo uma
variável que não sofre mudanças em função do tempo é considerada dentro do estudo da dinâmica uma vez que uma constante é também uma função do tempo.
O estudo de um sistema dinâmico pode ser entendido como sendo o estudo do comporta-mento, em função do tempo, de grandezas relacionadas com uma parte do universo que foi imagi-nariamente separada para esse fim.
Controle: é o ato de comandar, dirigir, ordenar, manipular alguma coisa ou alguém.
Assim, um Sistema de controle: é uma disposição de componentes, conectados ou relaci-onados de maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmos ou a outros sistemas. A Figura 1.1 mostra um sistema de controle elementar onde um espelho controla o feixe de luz.
Figura 1.1 - Espelho controlando feixe de luz
Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um sistema podem ser chamadas de entra-das ou saíentra-das.
Entrada: é o estimulo ou excitação aplicados a um sistema de controle por meio de uma
ENTRADAS = SINAIS ATUANTES = EXCITAÇÕES
Saída: é a resposta, obtida de um sistema de controle. Ela pode ser ou não igual à resposta
específica inferida da entrada.
SAÍDAS = VARIAVEIS CONTROLADAS
Variável controlada: é uma grandeza ou condição que é medida e controlada.
Normal-mente é a saída ou resposta do sistema.
Variável manipulada: é uma grandeza ou condição que é variada pelo controlador para
que modifique o valor da variável controlada.
No controle pode-se medir o valor da variável controlada do sistema e aplicar uma ação ao sistema através da variável manipulada para corrigir ou limitar o desvio do valor medido em rela-ção a um valor desejado.
Perturbações (ou distúrbios): Sinais indesejados (internos ou externos). São sinais que
tendem a afetar adversamente o valor da saída do sistema. Se a perturbação for gerada dentro do sistema, ela é denominada perturbação interna, enquanto que uma perturbação (distúrbio) externa é gerada fora do sistema e constitui uma entrada.
Planta: é uma parte de um equipamento, eventualmente um conjunto de itens de uma
má-quina que funcionam juntos, cuja finalidade é desempenhar uma certa operação. No nosso caso é qualquer objeto físico a ser controlado. Exemplo: um forno, uma aeronave, etc.
Processo: é uma operação ou desenvolvimento natural, que evolui progressivamente,
ca-racterizado por mudanças graduais que se sucedem, um em relação às outras, de um modo relati-vamente fixo (ordenado) e conduzindo a um resultado ou finalidade particular; - uma operação artificial ou voluntária, que evolui progressivamente e que consiste em uma série de ações contro-ladas ou movimentos sistematicamente dirigidos objetivando um resultado ou finalidade particular.
Processo é qualquer operação a ser controlada. Ex: processos químicos, econômicos biológicos. Controle realimentado: refere-se a uma operação que, mesmo na presença de
perturba-ções ou distúrbios, tende a reduzir a diferença entre a saída do sistema e alguma entrada de refe-rência e que opera com base nessa diferença.
Sistema de controle realimentado: é um sistema que mantém uma determinada relação
entre a saída e alguma entrada de referência comparando-as e utilizando a diferença como um meio de controle.
Sistema regulador automático: é um sistema de controle realimentado em que a
entra-da de referência ou a saíentra-da desejaentra-da ou é constante ou varia lentamente com o tempo e que tem como tarefa principal manter a saída real no valor desejado na presença de perturbações.
1.2. EXEMPLOS DE SISTEMA DE CONTROLE 1) Controle da temperatura de um ambiente
Um aquecedor ou estufa, termostaticamente controlado, regulando automaticamente a peratura de uma sala ou caixa, é um sistema de controle. A entrada para este sistema é uma tem-peratura de referência, geralmente especificada pelo ajuste apropriado de um termostato. A saída é a temperatura desejada da caixa. Quando o termostato detecta que a saída é menor que a en-trada, a estufa proporciona calor até que a temperatura da caixa se torne igual à entrada de refe-rência. Então a estufa é automaticamente desligada. A
Figura 1.2 mostra o sistema de controle de temperatura de uma sala.
Figura 1.2 - Sistema de controle de temperatura de uma sala
2) Controle da temperatura do corpo humano
Uma parte do sistema de controle humano de temperatura é o sistema de perspiração. Quando a temperatura do ar exterior à pele torna-se muito elevada, as glândulas sudoríparas se-gregam fortemente, induzindo ao resfriamento da pele por evaporação. As secreções são reduzidas quando o efeito de resfriamento desejado é obtido ou quando a temperatura do ar cai suficiente-mente.
A entrada para este sistema é a temperatura “normal” ou confortável da pele. A saída é a temperatura presente da pele.
3) Comutador elétrico
Um comutador elétrico é um sistema de controle artificial, controlando o fluxo da eletricida-de. Por definição, o aparelho ou a pessoa que aciona o comutador não é parte desse sistema de controle.
O acionamento do comutador para ligado ou desligado pode ser considerado como a entra-da. A entrada pode ser um dos dois estados – ligado ou desligado. A saída é o fluxo ou não fluxo (dois estados) da eletricidade.
O comutador elétrico é provavelmente um dos sistemas de controle mais rudimentares.
4) Ato de apontar um objeto com o dedo
O ato de aparentemente de apontar para um objeto com o dedo requer um sistema de con-trole biológico, consistindo principalmente dos olhos, do braço, da mão, do dedo e do cérebro de um homem. A entrada é a direção precisa do objeto (deslocando-se ou não) com respeito a algu-ma referência e a saída é a direção apontada presentemente com respeito a algualgu-ma referência.
5) Homem dirigindo um automóvel
O sistema de controle, consistindo num homem dirigindo um automóvel, tem componentes que são claramente artificiais e biológicos. O motorista deseja manter o automóvel na faixa apro-priada da rodovia. Ele consegue isto observando constantemente o rumo do automóvel com res-peito à direção da estrada. Neste caso, a direção da estrada, representada pela guias ou linhas de cada lado de sua faixa, pode ser considerada a entrada. A orientação do automóvel é à saída do sistema. O motorista controla esta saída medindo constantemente com os olhos e cérebro, corri-gindo-a com as mãos sobre o volante. Os componentes principais desse sistema de controle são: as mãos, os olhos e o cérebro do motorista, e o veículo.
1.3. APRESENTAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE
Servosistema (servomecanismo): é um sistema de controle realimentado em que a
saí-da é alguma posição, velocisaí-dade ou aceleração mecânicas. O termo servosistema e sistema de controle de posição (ou velocidade ou aceleração) são sinônimos. São sistemas extensivamente usados na indústria moderna.
Sistema de controle de processos: é um sistema regulador automático no qual a saída é
uma variável tal como temperatura, pressão, fluxo, nível de líquido ou pH. É exaustivamente usado na indústria.
Sistema de controle robusto: é um sistema de controle que é insensível a Variações de
parâmetros.
Sistema de controle adaptativo: é aquele sistema que tem a habilidade de se
auto-ajustar ou automodificar de acordo com variações imprevisíveis nas condições de ambiente ou de estrutura. O próprio sistema de controle detecta variações nos parâmetros da planta e faz os ajus-tes necessários no nos parâmetros do controlador a fim de manter um desempenho ótimo.
Sistema de controle com aprendizado: é aquele sistema de controle que tem habilidade
de aprender.
1.4. CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE
Sistema de controle não-linear Sistema de controle linear
& A rigor, os sistemas físicos são não lineares em vários pontos;
& Não é valido o princípio da superposição dos efeitos;
& Elementos não-lineares, tipo on-off, são intro-duzidos intencionalmente no sistema para otimi-zar o desempenho. Exemplo: controle de mísseis.
& Se a faixa de variações das variáveis do sistema não for ampla, então o sistema pode ser linearizado dentro de uma faixa de varia-ção relativamente pequena das variáveis; & É valido o princípio da superposição dos efeitos.
Sistema de controle invariante no tempo Sistema de controle variante no tempo
& Um SCIT é aquele cujos parâmetros não vari-am com o tempo (sistema de controle de coefici-entes constantes);
& A sua resposta é independente do instante em que a entrada é aplicada;
& Um SCVT é aquele em que um ou mais parâmetros variam com o tempo (sistema de controle de coeficientes variáveis);
& A sua resposta é dependente do instante em que a entrada é aplicada;
Exemplo: sistema de controle de um veículo espacial. (a massa varia com o tempo confor-me o combustível vai sendo consumido).
Sistema de controle de tempo contínuo Sistema de controle de tempo discreto
& Todas as variáveis do sistema são funções de um tempo contínuo t.
& Envolve uma ou mais variáveis que são co-nhecidas somente em instantes de tempo dis-creto.
Sistema de controle de entrada simples saída simples (SISO)
Sistema de controle de múltiplas entradas múltiplas saídas (MIMO)
& Exemplo: sistema de controle de posição, onde há uma entrada de comando (posição desejada) e uma saída controlada (posição fi-nal).
& Exemplo: sistema de controle de processo, onde as entradas são pressão e temperatura e duas saída, também pressão e temperatura.
Sistema de controle centralizado Sistema de controle distribuído
& É controlado através de processador de cen-tral conectado a varias unidades I/O (de entra-da e saíentra-da);
& Capacidade de processamento distribuída através de pontos ou nós. Os vários controlado-res de sistema são interconectados por um vin-culo de comunicação;
sador e as unidades I/O consiste somente em mensagens de dados. Outros tipos de mensa-gens não têm nenhum significado para um sis-tema centralizado;
& A comunicação entre o controlador e as uni-dades I/O é feita somente através de pedidos de dados e respostas pré-definidas.
& A comunicação entre os diferentes nós con-siste então de mensagens de dados (medidas, etc.), mensagens de configuração, pedidos e respostas, estado, mensagens de erro, até mensagens de controle de diferentes tipos; & Como conseqüência, a complexidade de um Sistema de Controle Distribuído pode ser bem mais alta do que aquela para o Sistema de Con-trole Centralizado.
Sistema de controle de parâmetros Con-centrados
Sistema de controle de parâmetros distri-buídos
& Podem ser descritos por equações diferenci-ais ordinárias.
& Podem ser descritos por equações diferenci-ais parcidiferenci-ais.
Sistema de controle determinístico Sistema de controle estocástico
& Se sua resposta à uma entrada é prognosti-cável e é repetível.
& Se sua resposta à uma entrada não é prog-nosticável e repetível.
Sistema de controle de malha aberta Sistema de controle de malha fechada
& Sistema de controle não realimentado. & Sistema de controle realimentado.
1.5. SISTEMA DE CONTROLE A MALHA ABERTA (SCMA) E MALHA FECHADA (SCMF) Sistema de controle a malha aberta (SCMA): é aquele sistema em que a saída não tem
nenhum efeito sobre a ação de controle. Em outras palavras, em um SCMA a saída não é medida nem realimentada para comparação com a entrada. Exemplo: máquina de lavar roupas. A Figura 1.3 mostra um sistema de controle de malha aberta.
Figura 1.3 - Sistema de controle de malha aberta
Sistema de controle a malha fechada (SCMF): nome dado ao sistema de controle
rea-limentado. Num SCMF a diferença entre a referência (sinal de entrada) e a medida da variável controlada (sinal realimentado), também chamada de sinal de erro atuante, é introduzido no con-trolador de modo a reduzir o erro e trazer a saída do sistema a um valor desejado. O termo
contro-le a malha fechada sempre implica o uso de ação de controcontro-le realimentado a fim de reduzir o erro do sistema. A Figura 1.4 mostra um sistema de controle de malha fechada.
Figura 1.4 - Sistema de controle de malha fechada
1.6. COMPARAÇÃO ENTRE O SISTEMA DE MALHA FECHADA E ABERTA
Sistema de controle a malha fechada Sistema de controle a malha aberta
& Uso da realimentação torna a resposta do sistema relativamente insensível a distúrbios externos e variações internas nos parâmetros do sistema;
& Possuem vantagens somente quando os distúrbios e/ou variações imprevisíveis nos componentes estão presentes;
& A estabilidade é sempre um problema fun-damental no SCMF, o qual pode tender a corri-gir erros que podem causar oscilações de am-plitude constante ou variável;
& É possível usar componentes baratos e sem muita precisão para obter o controle preciso de uma planta (processo);
& Maior número de componentes utilizados em relação ao SCMA;
& Geralmente resultam em sistemas cujo custo e potência são mais altos;
& Na presença de perturbações, um SCMA não desempenhará a tarefa desejada;
&Uso aconselhável quando as entradas são conhecidas antecipadamente e nas quais não há distúrbio;
& É mais fácil construir porque a estabilidade não constitui um problema significativo;
& A precisão do sistema depende de uma cali-bração;
& São usados componentes mais precisos (mais caros);
& Onde aplicável, o SCMA pode ser usado para diminuir a potência requerida de um sistema;
1.7. EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLE DE MALHA ABERTA
O sistema mostrado na Figura 1.5 é normalmente classificado como “malha aberta”.
Siste-mas de controle de malha aberta são aqueles nos quais a informação sobre a variável
contro-lada (nesse caso, a temperatura de saída do líquido) não é usada para ajustar nenhuma das entra-das do sistema para compensar as variações nas variáveis do processo.
Figura 1.5 - Processo simples de troca de calor
Um sistema de controle malha fechada implica que a variável controlada é medida e o resultado dessa medida é usado para manipular uma das variáveis do processo, como o calor.
1.8. CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO (RETROALIMENTAÇÃO) – FEEDBACK CONTROL
A realimentação ou feedback pode ser feita através de um operador humano (controle ma-nual) ou pelo uso de instrumentos (controle automático).
Controle manual: um operador periodicamente mede a temperatura; se a temperatura,
por exemplo, estiver abaixo do valor desejado, ele aumenta a vazão de vapor, pela abertura da válvula de vapor.
Controle automático: Um dispositivo sensor de temperatura é usado para produzir um
si-nal (elétrico, pneumático, mecânico,....) proporciosi-nal à temperatura medida. Esse sisi-nal alimenta um controlador que a compara com um valor desejado pré-estabelecido, ou ponto de ajuste. Se existir alguma diferença, o controlador muda a abertura da válvula controladora de vapor para corrigir a temperatura. Ver Figura 1.6.
Figura 1.6 - Controle automático de um processo de troca de calor por realimentação
1.9. CONTROLE POR PRÉ-ALIMENTAÇÃO - FEEDFOWARD CONTROL
O controle por pré-alimentação está se empregando largamente. Distúrbios do processo
são medidos e compensados sem se esperar que uma mudança na variável controlada indique que um distúrbio ocorreu. O controle pré-alimentado é também útil onde a variável de controle final não pode ser medida.
Figura 1.7 - Controle automático de um processo de troca de calor por pré-alimentação
No exemplo mostrado na Figura 1.7, o controlador Feedfoward possui habilidade computaci-onal: usa a taxa de vazão e temperatura medidas na entrada do líquido para calcular a taxa de vapor necessária para manter a temperatura desejada do líquido de saída.
A equação resolvida pelo controlador relaciona:
a) o calor contido no líquido de entrada b) vazão de vapor
é geralmente denominado modelo do processo.
Raros são os modelos e controladores perfeitos; assim, é preferível uma combinação de con-trole pré e realimentado. Ver Figura 1.8.
Figura 1.8 - Controle automático de um processo de troca de calor por pré e re-alimentação combinadas
O arranjo de um controlador fornecendo o ponto de ajuste para outro controlador é conhecido como controle em cascata e é comumente usado no controle por realimentação.
1.10. COMO RESOLVER UM PROBLEMA DE CONTROLE ?
A seguir é mostrado um diagrama de blocos de como resolver problemas em sistemas de controle:
1.11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) Identifique as quantidades que são entradas e saídas para o espelho ajustá-vel pivotante da Figura 1.10.
Figura 1.10 - Espelho controlando feixe de luz
A entrada é o ângulo de inclinação do espelho θ, regulado pela rotação do parafuso. A saída é a posição angular do feixe refletido θ+α da superfície de referência.
02) Identifique uma entrada possível e uma saída possível para um gerador de eletricidade rotacional.
A entrada pode ser a velocidade rotacional de um motor primário (e.g. uma turbina a va-por), em revoluções por minuto. Supondo que o gerador não tenha carga aplicada a seus terminais de saída, a saída pode ser a tensão induzida, nos terminais de saída.
Alternativamente, a entrada pode ser expressa como momento angular do eixo do motor primário e a saída em unidades de potência elétrica (watts) com uma carga ligada ao gerador.
03) Identifique a entrada e a saída para uma máquina automática de lavar.
Muitas máquinas de lavar (mas nem todas) são operadas da seguinte maneira:
Depois que as roupas forem colocadas na máquina, o sabão ou detergente, o alvejante, e a Água dão entrada nas quantidades apropriadas. A programação para lavar e torcer é então fixada pelo regulador de tempo e a lavadeira é ligada. Quando o ciclo é completado a máquina se desliga por si própria. Se as quantidades apropriadas de detergente, alvejante e água e a temperatura desta são predeterminadas pelo fabricante da máquina, ou entram, automaticamente, então a entrada é o tempo em minutos para o cicio da lavagem e espremedura. O regulador de tempo é geralmente ajustado por um operador humano.
A saída de uma máquina de lavar é mais difícil de identificar. Definamos limpo como a au-sência de todas as substancias estranhas dos itens a serem lavados. Então podemos identificar a saída como, a porcentagem de limpeza. Portanto, no inicio de um ciclo, a saída é menos do que 100 %, e, no fim de um ciclo, a saída ideal é igual a 100% (roupas limpas não são sempre obti-das).
Para muitas máquinas, operadas com moedas, o ciclo é fixado e a máquina começa a funci-onar quando a moeda entra. Neste caso, a porcentagem de limpeza pode ser controlada,
ajustan-do-se a quantidade de detergente, alvejante, água, e a temperatura desta. Podemos considerar todas as quantidades como entrada.
Outras combinações de entradas e saídas são também possíveis.
04) Identifique os componentes entrada e saída, e descreva a operação de um sistema de controle biológico, consistindo num ser humano que tenta apanhar um ob-jeto.
Os componentes básicos desse sistema de controle são: o cérebro, o braço, a mão e os olhos.
O cérebro envia pelo sistema nervoso o sinal desejado para o braço e a mão, a fim de apa-nhar o objeto. Este sinal é amplificado nos músculos do braço e da mão, que servem como atuado-res de potência para o sistema. Os olhos são empregados como um dispositivo sensível, continua-mente “retroagindo" á posição das mãos para o cérebro.
A posição da mão é a saída para o sistema. A entrada é a posição do objeto.
O objetivo do sistema de controle é reduzir a zero a distância entre a posição da mão e a posição do objeto.
05) Explique como uma máquina automática de lavar de malha fechada pode operar.
Suponha que todas as quantidades descritas como entradas possíveis no problema 03), a saber: ciclo, tempo, volume de água, temperatura da água, quantidade de detergente, quantidade de branqueador, podem ser ajustados por dispositivos tais como válvulas e aquecedores. Uma má-quina de lavar de ciclo fechado mediria continuamente ou periodicamente a porcentagem de lim-peza (saída) dos itens que estão sendo lavados, ajustaria as quantidades de entrada e desligar-se-ia quando 100% de limpeza fossem atingidos.
06) Como são calibrados os seguintes sistemas de ciclo aberto: (a) máquina au-tomática de lavar (b) Torradeira auau-tomática (c) voltímetro?
(a) As máquinas automáticas de lavar são calibradas considerando-se qualquer combinação das seguintes quantidades de entrada: (1) quantidade de detergente, (2) quantidade de alvejante, (3) quantidade de água, (4) temperatura da água, (5) ciclo de tempo.
Em algumas máquinas de lavar uma ou mais dessas entradas são predeterminadas pelo fa-bricante.
As restantes quantidades devem ser fixadas pelo usuário c dependem de fatores tais como, grau de dureza da água, tipo de detergente e tipo ou eficácia do alvejante. Uma vez determinada
esta calibração para um tipo especifico de lavagem (e.g. só roupas brancas, roupas muito sujas) em geral não terá que ser alterada durante a vida da máquina.
Se a máquina apresenta defeito e são instaladas pelas de reposição, provavelmente será ne-cessária uma recalibração.
(b) Conquanto o mostrador do regulador de tempo em muitas torradeiras automáticas seja calibrado pelo fabricante (e.g. clara-média-escura), a quantidade de calor produzido pelo elemento aquecedor pode variar dentro de uma ampla faixa. Além disso, a eficiência do elemento aquecedor normalmente se reduz com o tempo. Em conseqüência, o prazo exigido para uma “boa torrada" deve ser fixado e periodicamente reajustado pelo usuário. Primeiramente, a torrada em geral mui-to clara ou escura. Depois de várias tentativas diferentes, sucessivas, o tempo de mui-torração neces-sário para uma qualidade desejada de torrada é obtido.
(c) Em geral, um voltímetro, é calibrado pela comparação com uma fonte padrão de tensão conhecida, e apropriadamente marcada a escala de leitura a intervalos especificados.
07) Identifique a ação de controle nos sistemas dos problemas 01, 02 e 04.
Para o sistema de espelho do problema 01, a ação de controle é igual á entrada, isto é, o ângulo de inclinação do espelho θ. Para o gerador do problema 02 a ação de controle é igual à entrada, a velocidade de rotação ou momento angular do eixo do motor primário. A ação de con-trole, no sistema humano do problema 04, é igual á distância entre a mão e a posição, do objeto.
08) Quais dos sistemas de controle dos problemas 01, 02 e 04 são de malha aber-ta? De malha fechada?
Visto que ação de controle é igual à entrada para o sistema do problema 01 e 02, não existe realimentação e os sistemas são de malha aberta. O sistema humano do problema 04 é de malha fechada porque ação de controle é dependente da saída, posição da mão.
1.12. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) (a) Explique a operação dos sinais ordinários de tráfego, que controlam o fluxo automo-bilístico nas interseções das rodovias. (b) Por que são eles sistemas de controle em malha aberta? (c) Como pode o tráfego ser controlado mais eficientemente? (d) Porque é o sistema (c) de malha fechada?
02) (a) Indique os componentes e as variáveis do aparelho de controle biológico envolvido na marcha em uma direção determinada (b) Porque é a marcha uma operação de malha fechada ? (c) Sob quais condições o aparelho marcha humana se torna um sistema de malha aberta?
03) Desenvolva um sistema de controle simples que ligue automaticamente a lâmpada da sala ao anoitecer e desligue-a a luz do dia. Mostre um esboço do seu sistema.
04) Desenvolva um sistema de controle para levantar ou abaixar automaticamente uma pon-te levadiça a fim de permitir a passagem de navios. Não é permissível um operador humano contí-nuo. O sistema deve funcionar inteiramente automático.
CAPÍTULO 2
2.
MODELAGEM MATEMÁTICA
2.1. CONSIDERAÇOES GERAIS
Modelos de sistemas são representações que permitem estabelecer relações entre causa e efeito de sistemas dinâmicos. Os modelos podem ser físicos ou matemáticos. Modelos físicos as-semelham-se a sistemas reais, porém mais simples, embora representativos das características mais importantes. Os modelos matemáticos procuram representar o comportamento dinâmico dos sistemas por meio de equações matemáticas (equações de derivadas, equações de diferenças).
Pode-se prever o comportamento dinâmico de uma planta pela análise do seu modelo físico ou matemático. Por exemplo, seja o sistema dinâmico mostrado na Figura 2.1, composto por uma massa m, uma mola de coeficiente k e um amortecedor de amortecimento b. Este sistema, que se desloca na vertical, pode representar um sistema de suspensão de um veículo. A equação mate-mática que descreve o movimento do conjunto em função do deslocamento xo da massa e da
ex-tremidade do amortecedor e mola, xi, é também mostrada na figura.
0 0 i 0 i
mx +b(x −x ) k(x+ −x ) 0=
Figura 2.1 - Um sistema composto por uma massa, mola e amortecedor pode representar a sus-pensão de um veículo.
2.2. TIPOS DE SISTEMAS E OS MODELOS MATEMATICOS
O diagrama mostrado Figura 2.2 ilustra os diferentes tipos de sistemas e os modelos mate-máticos utilizados na sua representação. Sistemas dinâmicos estocásticos possuem um comporta-mento imprevisível, e portanto não podem ser modelados. Um ruído é um exemplo de uma dinâ-mica estocástica. Sistemas determinísticos, ao contrário, possuem uma dinâdinâ-mica previsível que pode ser modelada matematicamente. Se o sistema for determinístico, ele pode ser modelado por parâmetros concentrados ou distribuídos. Sistema a parâmetros concentrados significa que, dado as condições do sistema num instante, é possível prever a sua condição em qualquer instante. Já com parâmetros distribuídos, o estado é uma função de outros parâmetros. Um exemplo de um sistema com parâmetros concentrados é o sistema massa-mola-amortecedor mostrado na Figura 2.1. Este tipo de sistema é descrito por uma equação diferencial no tempo (df/dt). A distribuição
de temperatura numa placa aquecida, por sua vez, é um sistema com parâmetros distribuídos, uma vez que a temperatura em cada ponto depende da posição do ponto e do tempo. Sistemas a parâmetros distribuídos são governados por equações diferenciais parciais (∂f/∂x). Quando o sis-tema possuir parâmetros concentrados, ele poderá ser modelado por funções contínuas ou discre-tas no tempo. Sistemas discretos são aqueles que assumem valores apenas em determinados ins-tantes de tempo. Eles podem, eventualmente, ser modelados por funções contínuas. A propriedade discreta pode tanto estar no próprio sistema quanto na forma de se medir o sistema. Se a medição for discreta, a intervalos regulares no tempo, este sistema é considerado discreto. Exemplos de sistema discretos são: o número de habitantes contaminados a cada ano pelo vírus da gripe, a temperatura máxima do dia observada durante um ano num dado local, etc. Se um sistema dinâ-mico contínuo for simulado num computador, ele passa a ser discreto, uma vez que é impossível obter o valor do estado a cada instante de tempo, mas somente nos pontos calculados pelo com-putador. Na prática, porém, considera-se que o cálculo efetuado pelo computador é preciso o sufi-ciente para que o sistema possa ser admitido como contínuo.
Dentro de sistemas contínuos, o comportamento dinâmico pode ser linear ou não linear. Sis-temas lineares são descritos por equações lineares (definidas logo a seguir) que se assemelham à equação de uma reta, ao passo que sistemas não lineares possuem termos com o quadrado, ou o cubo, ou o seno ou ainda a função exponencial das variáveis de estado. Se o sistema for linear, os coeficientes da equação linear podem ser constantes ou então variar lentamente no tempo. Se os coeficientes variam rapidamente no tempo, é muito provável que este sistema não seja linear. Exemplos de sistemas com parâmetros variantes no tempo são aeronaves e foguetes. Neles, a massa do veículo varia conforme o combustível é consumido, e as características dinâmicas sofrem influência desta variação. Finalmente, os sistemas podem ainda depender de apenas uma ou de mais de uma variável de estado. No primeiro caso tem-se os sistemas monovariáveis e no segundo tem-se sistemas multivariáveis. A Figura 2.1 mostra um exemplo de sistema monovariável. Porém, o conjunto completo de suspensão de um veículo seria um sistema multivariável, já que depende-ria do número de rodas presentes no veículo. Para cada roda, acrescenta-se uma equação a mais no modelo matemático e, portanto, mais uma variável de estado.
Serão utilizados aqui apenas modelos matemáticos, uma vez que eles permitem efetuar a análise do comportamento dinâmico dos sistemas, bem como sua controlabilidade, isto é, a verifi-cação se estes sistemas podem ou não ser controlados e como deve ser este controle. Além disso, serão abordados sistemas lineares na quase totalidade do curso, principalmente em virtude de que a teoria de controle moderna deriva exclusivamente de sistemas lineares. Um sistema y = H(x) é linear se obedece à relação:
1 2 1 2 1 2
H( xα + βx )= αH(x )+ βH(x )= αy + β y
Seja, por exemplo, a equação diferencial ordinária de 2a ordem y mx bx kx= + + y.
Esta equação é linear, pois se x = x1 + x2, então:
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 y mx bx kx m(x x ) b(x x ) k(x x ) mx bx kx mx bx kx = + + = + + + + + = + + + + +
De onde se conclui que: y = y1 + y2
Nem todos os sistemas físicos reais são lineares. Na verdade, a grande maioria deles é não linear até um certo grau. Isto não significa que a teoria de controle de sistemas lineares não possa ser aplicada a sistemas não lineares, mas sim que se deve proceder a uma linearização (quando possível) do sistema a fim de tornar o controle menos suscetível às não linearidades. Infelizmente nem sempre esta prática resulta num sistema controlável.
2.3. MODELAGEM MATEMÁTICA
A maioria dos sistemas dinâmicos, independente de serem biológicos, elétricos, hidráulicos, etc, podem ser caracterizados por equações diferenciais utilizando as leis físicas.
Modelos matemáticos é a descrição matemática das características dinâmicas de um siste-ma. Na obtenção de um modelo, devemos estabelecer um compromisso entre a simplicidade do modelo e precisão dos resultados da analise. Por exemplo:
O exemplo acima mostra um motor de indução com seu respectivo modelo matemático.
2.4. CONTROLE CLÁSSICO
2.5. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Em teoria de controle, funções chamadas Funções de Transferência são comumente usadas para caracterizar as relações de entrada-saída de componentes ou sistemas que podem ser descri-tos por equações diferencias lineares invariantes no tempo.
A Função de Transferência de um sistema de equações diferenciais lineares invariantes no tempo é definida como a relação da Transformada de Laplace da saída (função resposta) para a Transformada de Laplace da entrada (função de excitação) sob a hipótese de que todas as condi-ções iniciais são nulas.
Considerando o sistema linear invariante no tempo definido pela seguinte equação diferenci-al:
(n) (n 1) (m) (m 1)
0 1 n 1 n 0 1 m 1 m
a y a y+ − + … +a − y a y b u b+ = + u− + +b −u b u+ (n≥m) (2.1)
Onde y é chamada de variável de saída e u é a variável de entrada.
A Função de Transferência deste sistema é obtida tomando-se as Transformadas de Laplace de ambos os membros da eq.(2.1) e sob hipótese de que todas as condições iniciais são nulas, ou:
n n 1
0 1 n 1 n
m m 1
0 1 m 1 m
a s Y(s) a s Y(s) a sY(s) a Y(s)
b s U(s) b s Y(s) b sU(s) b U(s)
− − − − + + … + + = + + + +
n n 1 m m 1 0 1 n 1 n 0 1 m 1 m Y(s) a s a s a s a U(s) b s b s b s b − − − − ⎡ + + … + + ⎤= ⎡ + + + + ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ m m 1 0 1 m 1 m n n 1 0 1 n 1 n b s b s b s b Y(s) F(s) U(s) a s b s a s a − − − − + + + + = = + + + + (2.2)
Condições iniciais nulas
L [saída] Função de transferência F(s)
L [entrada]
= = (2.3)
Usando o conceito de Função de Transferência, é possível representar a dinâmica do sistema pelas equações algébricas em s.
2.6. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A Função de Transferência de um sistema tem várias propriedades úteis:
1) A Função de Transferência de um sistema é a Transformada de Laplace da sua resposta ao impulso. Isto é, se a entrada para um sistema com Função de Transferência F(s) é o impulso em todos os valores iniciais zero, a transformada da saída é F(s).
2) A Função de Transferência de um sistema pode ser determinada a partir da equação dife-rencial do sistema tomando-se a Transformada de Laplace e ignorando todos os termos que resul-tam dos valores iniciais. A Função de Transferência F(s) é então dada pela eq.(2.3).
3) A equação diferencial do sistema pode ser obtida da Função de Transferência substituin-do-se a variável s pelo operador diferencial d dt .
4) A estabilidade de um sistema linear, invariante com o tempo, pode ser determinada a par-tir da equação característica. O denominador da Função de Transferência de um sistema igualado a zero é a equação característica. Conseqüentemente, se todas as raízes do denominador tiverem partes reais negativas, o sistema é estável.
5) As raízes do denominador são os pólos do sistema e as raízes do numerador são os
ze-ros do sistema. A Função de Transferência do sistema pode então ser especificada, a menos de uma constante, especificando-se os pólos e zeros do sistema. Esta constante, geralmente repre-sentada por K, é o fator-ganho do sistema. Os pólos e zeros do sistema podem ser representados esquematicamente por um mapa pólo-zero no plano-s.
2.7. REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Considerando novamente a Função de Transferência dada pela equação a seguir:
m m 1 0 1 m 1 m n n 1 0 1 n 1 n b s b s b s b Y(s) F(s) U(s) a s b s a s a − − − − + + + + = = + + + + (2.4)
Fatorando o polinômio do numerador e do denominador esta mesma Função de Transferên-cia pode ser expressa em termos do produto dos fatores como:
(
)(
) (
)(
)
(
11)(
22) (
n 1m 1)(
nm)
K s z s z s z s z Y(s) F(s) U(s) s p s p s p s p − − − − − − = = − − − − (2.5)Quando s = , s é referido para ser um zero da função transferência e quando zi s p= , s é i referido para ser um pólo da Função de Transferência.
Assumindo agora que os pólos
{ }
p
i são reais ou complexos mas distintos, podemos escrever a eq.(2.4) como uma fração parcial:1 2 n 1 n 1 2 n 1 n C C C C Y(s) F(s) U(s) s p s p s p s p − − = = + + + + − − − − (2.6)
Onde C , C , , C1 2 n 1− , Cn são chamados de resíduos e podem ser calculado pelo método fra-ções parciais visto no capitulo 2.
2.8. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA RACIONAL PRÓPRIA, TOTALMENTE PRÓPRIA, BI-PRÓPRIA E IMBI-PRÓPRIA
Dada uma Função de Transferência F(s), diz-se que é uma Função de Transferência racional porque ambos (numerador e denominador) são polinômios.
m m 1 0 1 m 1 m n n 1 0 1 n 1 n b s b s b s b Y(s) F(s) U(s) a s b s a s a − − − − + + + + = = + + + +
As raízes do numerador são chamadas de zeros da Função de Transferência.
As raízes do denominador são conhecidas como os pólos da Função de Transferência.
Se m > n, F(s) é chamada uma Função de Transferência imprópria. Se m ≤ n, F(s) é chamada uma Função de Transferência própria.
Se m < n, F(s) é chamada uma Função de Transferência estritamente própria.
Se m = n, F(s) é chamada uma Função de Transferência biprópria, porque sua inversa é também própria.
2.9. SISTEMAS ELÉTRICOS
2.10. COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS
Os componentes dos circuitos elétricos são: o capacitor, o indutor e a resistência. Estes componentes, bem como a relação de tensão e corrente entre eles são descritos no anexo 1.
RESUMO:
Quando uma corrente elétrica flui através de cada um dos três componentes básicas de um sistema elétrico, nominalmente resistência, indutor e capacitor, ela flui de forma proporcional à diferença de potencial no caso da resistência, como uma integral no tempo para o indutor e como uma derivada no tempo para o capacitor.
Porém, a função de transferência a ser considerada em cada um destes casos, depende de qual é a fonte considerada, isto é, a diferença de potencial ou a corrente elétrica. Ou seja, qual das duas é suposta a variável de entrada e qual delas será a variável de saída. saída. Assim,
R
i
e
⎩
⎨
⎧
=
=
=
⎩
⎨
⎧
=
=
=
saída
i
entrada
e
se
R
e
i
saída
e
entrada
i
se
i
R
e
R
R
1
e
e
i
i
C
i
e
⎩
⎨
⎧
=
=
=
⎩
⎨
⎧
=
=
=
∫
saída
i
entrada
e
se
t
d
e
d
C
i
saída
e
entrada
i
se
dt
i
C
e
1
C
s
1
s
C
i
e
e
i
⎩
⎨
⎧
=
=
=
⎩
⎨
⎧
=
=
=
∫
e
dt
se
i
e
saída
entrada
L
i
saída
e
entrada
i
se
t
d
i
d
L
e
1
L
i
e
s
L
s
L
1
e
i
e
i
2.11. EXEMPLOS: SISTEMAS ELÉTRICOS
Exemplo 01: Obter a Função de Transferência do sistema elétrico mostrado na Figura Abaixo, considerando que a entrada é a tensão de alimentação vE(t) e a saída é a carga vS(t) nos terminais
do capacitor.
Solução:
Como todos os elementos estão em série, a corrente i(t) que passa pelo circuito é única. A tensão ve(t) é então dividida entre os diversos elementos, ou seja, a soma das tensões nos
termi-nais dos 3 elementos é igual à tensão de alimentação. Aplicando a segunda lei de Kirchhoff (Lei da tensão na malha) temos:
Malha 01 E R L C V (t) V (t) V (t) V (t)= + + E 1 di(t) V (t) R i(t) i(t)dt L c dt = +
∫
+ (I) Malha 02 S C V (t) V (t)= S 1 V (t) i(t)dt c =∫
(II) Aplicando Laplace na eqs.(I e II) temos:E I(s) V (s) R I(s) LsI(s) Cs = + + (III) S I(s) V (t) Cs = (IV)
Função de Transferência é a relação da transformada de Laplace da saída pela entrada quando as condições iniciais são nula, logo dividindo a eq.(IV) pela eq.(III) temos:
S E
I(s) CsI(s)
V (s) Cs Cs
I(s) Cs I(s)
V (s) R I(s) LsI(s) CRs I(s) CLsI(s)
Cs Cs
= =
S 2 2 2 E 1 V (s) 1 1 CL R 1 V (s) CRs 1 CLs CLs CRs 1 s s L CL = = = + + + + + + S 2 E 1 V (s) CL R 1 V (s) s s L CL = + + (Função de Transferência)
Exemplo 02: Obter a Função de Transferência do sistema elétrico mostrado na Figura abaixo, considerando que a entrada é a tensão de alimentação VE(t) e a saída é a carga VS(t) nos terminais
do capacitor C2. Solução: Malha 01 1 1 E R C V (t)=V (t)+V (t) E 1 1 1 2 1 1 V (t) R i (t) [i (t) i (t)]dt C = +
∫
− (I) Malha 02 1 2 2 C R C 0= V (t)+V (t)+V (t) 2 1 2 2 2 1 2 1 1 0 [i (t) i (t)]dt R i (t) i (t)dt C C =∫
− + +∫
(II) Malha 03 2 S C V (t) V (t)= S 2 2 1 V (t) i (t)dt C =∫
(III)Aplicando Laplace na eqs.(I e II e III) temos: E 1 1 1 2 1 1 V (s) R I (s) I (s) I (s) C s = + ⎡⎣ − ⎤⎦ (IV) 2 1 2 2 2 1 2 1 1 0 I (s) I (s) R I (s) I (s) C s C s = ⎡⎣ − ⎤⎦+ + (V) S 2 2 1 V (s) I (s) C s = (VI) Da equação (V), obtemos I1(s): 2 1 2 2 2 1 1 2 I (s) I (s) R I (s) I (s) 0 C s − C s + + C s = 1 2 2 2 2 1 1 2 I (s) I (s) R I (s) I (s) C s = C s + + C s 2 1 1 I (s) C s I (s)= 1 C s 2 1 1 2 2 I (s) C s C s R I (s) + + 2 C s 1 1 2 1 2 2 2 2 C I (s) I (s) C R s I (s) I (s) C = + +
Substituindo I1(s) na equação (IV)
E 1 1 1 2 1 1 V (s) R I (s) I (s) I (s) C s = + ⎡⎣ − ⎤⎦ 1 1 E 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 C 1 C V (s) R I (s) C R s I (s) I (s) I (s) C R s I (s) I (s) I (s) C C s C ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = ⎢ + + ⎥+ ⎢⎜ + + ⎟− ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎝ ⎠ ⎦ 1 1 2 2 E 1 2 1 1 2 2 2 1 C R I (s) I (s) V (s) R I (s) C R R s I (s) C C s = + + + 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 C R s I (s) C I (s) I (s) C s C C s C s + + − 1 1 1 2 1 E 2 1 1 1 2 2 1 2 1 C R C R s C V (s) I (s) R C R R s C C s C C s ⎡ ⎤ = ⎢ + + + + ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 E 2 2 1 C C R s C C R R s C R s C C R s C V (s) I (s) C C s ⎡ + + + + ⎤ = ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 E 2 2 1 C C R R s (C C R C R C C R )s C V (s) I (s) C C s ⎡ + + + + ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (VII)
Dividindo a equação (VI) pela (VII) temos: 2 S E I (s) V (s) V (s)= 2 C s 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 C C R R s (C C R C R C C R )s C I (s) C + + + + 1 C s = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ S 2 E 2 1 V (s) 1 V (s)= C C 2 1 2 2 1 R R s +(C C 2 1 1 R +C R1+C C2 1R )s2 +C1 1 C = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ S 2 E 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 V (s) 1 V (s)=C C R R s +(C R +C R +C R )s 1+ (Função de Transferência) Exercícios
2.12. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS
Para resolver circuitos elétricos complexos (os de múltiplas malhas e nós) usando o método das malhas, podemos executar os seguintes passos:
1. Substituir todos os valores dos elementos passivos por suas impedâncias.
2. Substituir todas as fontes e todas as variáveis no domínio do tempo pelas respectivas Transformadas de Laplace.
3. Arbitrar um sentido para a corrente do circuito transformado em cada malha. 4. Resolver a lei de Kirchhoff das tensões ao longo de cada malha.
5. Resolver o sistema de equações em termos da saída. 6. Elaborar a função de Transferência.
Exemplo 01:
Dado o circuito abaixo, obter a Função de Transferência I2(s)/V(s)
O primeiro passo na solução consiste em converter o circuito em Transformada de Laplace das impedâncias e das variáveis de circuito, supondo condições iniciais nulas. O resultado está mostrado abaixo.
O circuito com qual estamos lidando requer duas equações simultâneas para se obter a Fun-ção de Transferência. Estas equações podem ser determinadas somando as tensões ao longo de cada malha através da quais se supõe que circulem as correntes I1(s) e I2(s). Ao longo da Malha 1,
onde circula I1(s), 1 1 1 2 R I (s) Ls I (s) I (s)+ ⎡⎣ − ⎤⎦=V(s) ou 1 1 2 [R +Ls] I (s) LsI (s) V(s)− =
Ao longo da Malha 2, onde circula I2(s), 2 1 2 2 2 1 Ls[I (s) I (s)] R I (s) I (s) 0 Cs − + + = ou 1 2 1 2 LsI (s) [Ls R ] I (s) 0 Cs − + + + =
Combinando os termos, as equações anteriores se tornam equações simultâneas em I1(s) e
I2(s): 1 1 2 [R +Ls] I (s) LsI (s) V(s)− = 1 2 1 2 LsI (s) [Ls R ] I (s) 0 Cs − + + + =
Podemos usar a regra de Cramer (ou qualquer outro método para resolver sistemas de equações) para resolver a equação anterior em termos de I2(s). Assim:
1 2 1 2 R Ls V(s) Ls 0 I (s) R Ls Ls 1 Ls Ls R Cs + − = + − − + +
Elaborando a Função de Transferência, Resulta
1 2 1 2 [(R Ls) (0)] [( Ls) V(s)] I (s) 1 (R Ls) Ls R [( Ls) ( Ls)] Cs + × − − × = = ⎡ + ×⎛ + + ⎞⎤− − × − ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ 2 2 2 1 1 1 2 LsV(s) I (s) R R Ls R R L s Cs = + + + +R Ls2 +CsLs −L s2 2 = 2 2 2 1 1 2 1 2 LsV(s) I (s) R LCs R R Cs R R CLs Ls Cs = = + + + + 2 2 2 1 2 1 2 1 LCs V(s) I (s) R LC R CL s R R C L s R = = + + + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 2 1 2 1 2 1 I (s) LCs V(s) =⎡⎣R LC R CL s+ ⎤⎦ +⎡⎣R R C L s R+ ⎤⎦ +
A seguir é mostrada uma forma geral para escrever rapidamente as equações das malhas do circuito elétrico.
1 2
Soma das Soma das impe- Soma das tensões
impedâncias ao I (s) dâncias comuns às I (s) applicadas ao longo da Malha 1 duas malhas longo da Malha 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 2
Soma das impe- Soma das Soma das tensões
dâncias comuns às I (s) impedâncias ao I (s) applicadas ao duas malhas longo da Malha 2 longo da Malha 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ +⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Exercícios
01) Obter a Função de Transferência I3(s)/V(s)
Resp: 3 2 3 4 3 2 I (s) 8s 13s s V(s) 24s 30s 17s 16s 1 + + = + + + +
2.13. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DOS NÓS
Frequentemente, o meio mais fácil de obter a Função de Transferência é utilizar o método dos nós em vez do método das malhas. O número de equações diferenciais simultâneas que de-vem ser escritas é igual ao número de nós cujas tensões são desconhecidas. No exemplo anterior, escrevemos as equações de malha usando a lei de Kirchhoff das tensões. Para nós múltiplos, usa-mos a lei de Kirchhoff das correntes e somausa-mos as correntes que deixam cada um dos nós. Nova-mente, por convenção, as correntes que saem do nó são consideradas positivas e as correntes que chegam ao nó são consideradas negativas.
Antes de prosseguir com um exemplo, definamos primeiro admitância, Y(s), como o inverso da impedância, ou seja,
= I = I(s) Y(s)
2.14. MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA
O motor CC é um dispositivo atuador de potência que entrega energia a uma carga, como está mostrado na Fig. 2.15(a); um esboço de um motor CC está mostrado na Fig. 2.15(b). Uma vista em corte de um motor CC do tipo panqueca é fornecida na Fig. 2.16.
O motor CC converte energia elétrica de corrente contínua (CC) em energia mecânica rotati-va. Uma grande parte do torque gerado no rotor (armadura) do motor está disponível para acionar uma carga externa. Devido a recursos tais como torque elevado, possibilidade de controle de velo-cidade sobre uma ampla faixa de valores, portabilidade, característica velovelo-cidade-torque bem com-portada e adaptabilidade a vários tipos de métodos de controle, os motores CC ainda são usados largamente em numerosas aplicações de controle, incluindo manipuladores robóticos, mecanismos de transporte de fitas, acionadores de disco, máquinas-ferramentas e atuadores de servoválvulas.
A função de transferência do motor CC será deduzida por meio de uma aproximação linear do motor real, e os efeitos de segunda ordem, como histerese e queda de tensão nas escovas, serão desprezados. A tensão de entrada pode ser aplicada aos terminais de campo ou de armadu-ra. O fluxo no entreferro do motor é proporcional à corrente de campo, desde que o campo não esteja saturado, ou seja:
f f
K i φ =
2.15. SISTEMAS MECÂNICOS
2.16. SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL
Sistemas mecânicos translacionais são aqueles nos quais os deslocamentos seguem linhas retas.
2.17. COMPONETES DOS SISTEMAS MECÂNICOS
Existem 3 componentes lineares nos sistemas mecânicos translacionais: a massa, a mola e o amortecedor. Cada um deles possui uma equação que define seu comportamento dinâmico e serão vistos a seguir.
2.18. MASSA
Massa corresponde à idéia intuitiva de "quantidade de matéria existente em um corpo". Aplicando-se a lei de Newton numa massa m, por exemplo, tem-se que
f ma mv my= = = ’
Que pode ser interpretada na forma: a força aplicada à massa é igual ao produto da massa pela aceleração. Nota-se que a aceleração pode ser expressa por meio da derivada temporal da velocidade v ou então pela segunda derivada do deslocamento y. A massa pode estar submetida a mais de uma força, e neste caso a equação pode ser generalizada na forma:
i
f =ma mv my= =
∑
Aplicando-se a Transformada de Laplace nesta relação, tem-se o resultado: 2
i
F (s) mA(s) msV(s) ms y(s)= = =
∑
Onde A(s), V(s) e Y(s) representam a Transformada de Laplace da aceleração, velocidade e deslocamento, respectivamente. A figura a seguir mostra a representação esquemática de uma massa sujeito à ação de forças.
2.19 gia m da m deslo des d mola força funçã à açã 2.20 ment exem ção d . MOLA Uma mola mecânica . As ola é dada p f = − Onde k é a ocamento, ist da mola pode na Figura 2. f= − Nota-se qu nas suas ex ão da velocid k f = Aplicando a K F (s A figura a ão de forças. Figura 2.4 . AMORTEC Um amorte to de seus mplo deste co do veículo ca a é um objet s molas são pela lei de Ho K y − a constante d to é, se o de em estar sub .5, e portanto 1 2 K (y y ) − − ue a mola é xtremidades dade das sua
1 2 K (y y ) − − agora a trans 1 )= − ⎡⎣K Y (s) seguir mostr - Represent CEDOR ecedor é um terminais. U omponente, e ausada pela m to elástico fle feitas geralm ook: da mola. Not slocamento f bmetidas a d o a equação admitida co são iguais e s extremidad
(
1 )= −k∫
V dt sformada de 2 ) Y (s)− ⎤⎦= − ra a represen tação de uma m componen Um amortec e sua função mola. A força exível usado mente de aço ta-se que a f for positivo a deslocamento fica: mo ideal, o e contrárias. des:)
2 t−∫
V dt Laplace a es 1 2 K V (s) V s − ⎡⎣ − ntação esque a mola de co nte capaz de cedor autom o é dissipar a a no amorte o para armaz o endurecido força gerada a força é neg os distintos, que significa A força na m sta equação, 2 V (s)⎤⎦ emática de u oeficiente k s e resistir ao motivo é um a energia de ecedor é prop zenar a ener-o. A equação pela mola é gativa e vice como mostr a que sua m mola pode s , tem-se uma mola de ubmetida a a movi-m bomovi-m oscila- porcio -o é sempre con -versa. As ex a a represen massa é nula er posta tam e coeficiente ação de força ntrária ao xtremida-ntação da a e que a mbém em K sujeita asnal à velocidade com que as sua extremidades se aproximam ou se afastam, como mostra o es-quema da Figura 2.6, ou seja:
= −
⎡
⎣
−
⎤
⎦
= −
⎡
⎣
−
⎤
⎦
b 1 2 1 2
f
b v
v
b y
y
A transformada de Laplace da equação acima resulta em:
= −
⎡
⎣
−
⎤
⎦
= −
⎡
⎣
−
⎤
⎦
b 1 2 1 2
F (s)
b V (s) v (s)
bs Y (s) Y (s)
É claro que amortecedores mecânicos são também idealizados, isto é, admite-se que possu-em massa nula. A figura a seguir mostra a representação esqupossu-emática de uma amortecedor sujeito à ação de forças.
Figura 2.5 - Representação de um amortecedor b submetido a ação de forças
2.21. 2° LEI DE NEWTON
A Lei fundamental que governa os sistemas mecânicos é a 2° Lei de Newton. Para sistemas de translação a lei estabelece que:
F ma=
∑
Onde: m = massa, kg; a = aceleração m2/s; F = força, N.Um quilograma é uma unidade de massa. Quando é acionado por uma força de 1N, a massa de 1 kg acerela com 1 m/s2.
“Na 2ª lei de Newton, a massa é igual à razão entre a força aplicada num corpo e a respec-tiva aceleração”.
Exemplo 01: Obter a Função de Transferência do sistema mecânico mostrado na Figura abaixo, considerando que o termo forçante f(t) é a entrada e a posição da massa, x(t) é a saída.
Solução:
As forças que atuam na massa m são o termo forçante f(t), a força da mola e a força do amortecedor. Aplicando a lei de Newton nesta massa tem-se:
f(t) kx(t) bx(t) mx(t)− − =
Nota-se que, para deslocamentos positivos, isto é, deslocamentos da massa no sentido posi-tivo de x, as forças tanto da mola quanto do amortecedor são negativas (direção contrária à de x). Em virtude disso, deve-se acrescentar o sinal negativo nestas forças quando se calcula a resultan-te. Aplicando a transformada de Laplace na equação acima tem-se
2
F(s) ms X(s) bsX(s) kX(s)= + +
A Função de Transferência é então dada por:
2 X(s) 1 G(s) F(s) ms bs k = = + +
Dividindo a equação anterior por m, temos:
2 1 X(s) m G(s) b k F(s) s s m m = = + +
Exemplo 02: Sismógrafo. A Figura a seguir mostra um diagrama esquemático de um sis-mógrafo. Um sismógrafo indica o deslocamento de sua carcaça em relação espaço inercial. É utili-zada para medir deslocamentos de terra durante terremoto (abalos sísmicos).
Vamos definir:
xi = deslocamento da carcaça relativo ao espaço inercial
xo = deslocamento da massa m relativa ao espaço inercial
y = xo - xi = deslocamento da massa m relativamente a carcaça
(Note que, desde que há a produção e uma deflexão estacionária na mola devido á gravidade, medimos, o deslocamento Xo da massa m em relação à posição de equilíbrio estático.) A equação
para este sistema e dada por:
0 0 i 0 i
mx +b(x −x ) k(x+ −x ) 0=
Substituindo x0 = + nesta última equação, obtemos; uma equação diferencial em y. y xi (note que y é um sinal que podemos realmente medir.)
i
my by ky+ + = −mx
Tomando a Transformada de Laplace da equação anterior, supondo condições iniciais nulas, obtemos:
2 2
i ms Y(s) bsY(s) kY(s)+ + = −ms X (s)
2 2
i
Considerando xi como entrada e y como saída, a Função de Transferência: 2 2 i Y(s) ms X (s) ms bs k − = + + 2 2 i Y(s) s b k X (s) s s m m − = + +
Exemplo 03: A Figura a seguir mostra um diagrama esquemático de um sistema de sus-pensão do automóvel. Quando o carro se move ao longo da estrada, os deslocamentos verticais em pneus a agir como o movimento de excitação do automóvel sistema de suspensão. A resolução deste sistema consiste em um movimento de translação da centro de massa e de um movimento rotacional sobre o centro de massa. Modelagem matemática do completar o sistema é bastante complicada.
Pela 2 lei de Newton temos: f ma=
∑
amor mola f +f = −ma 0 i 0 i 0 b(y −y ) k(y+ −y )= −my 0 i 0 i 0 by −by +ky −ky = −myAplicando a Transformada de Laplace temos: 2
0 0 0 i i
bsY (s) kY (s) ms Y (s) bsY(s) kY(s)+ + = +
2 0 i ms bs k Y (s) bs k Y (s) ⎡ + + ⎤ =⎡⎣ + ⎤⎦ ⎣ ⎦ 0 2 2 i bs k Y (s) bs k m m b k Y (s) ms bs k s s m m + + = = + + + +
Exemplo 03: O sistema de suspensão de uma das rodas de uma camionete clássica está ilustrado na Figura abaixo. A massa do veículo é m1, e a massa da roda, m2. A mola da suspensão possui
uma constante de mola k1, e o pneu, uma constante de mola k2. A constante de amortecimento do
amortecedor é b. Obter a função de transferência Y1(s)/X(s), a qual representa a resposta do
veí-culo aos solavancos devidos a irregularidades da estrada.
Suspensão de uma camionete
Pela 2 lei de Newton temos:
1 1 1 2 1 1 2
m y +b(y −y ) k (y+ −y ) 0=
2 2 2 1 1 2 1 2 2 2
m y +b(y −y ) k (y+ −y ) k y+ =k x
Aplicando a Transformada de Laplace temos: 2 1 1 1 2 1 1 1 2 m s Y (s) bsY (s) bsY (s) k Y (s) k Y (s) 0+ − + − = 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 m s Y (s) bsY (s) bsY (s) k Y (s) k Y (s) k Y (s) k X(s)+ − + − + =
