thiago rodrigo alves
estruturas lineares na teoria de domínios de
existência
CAMPINAS 2015
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Alves, Thiago Rodrigo,
AL87e AlvEstruturas lineares na teoria de domínios de existência / Thiago Rodrigo Alves. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.
AlvOrientador: Jorge Tulio Mujica Ascui.
AlvTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Alv1. Funções holomórficas. 2. Análise funcional. I. Mujica Ascui, Jorge Tulio,1946-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Linear structures in the theory of domains of existence Palavras-chave em inglês:
Holomorphic functions Functional analysis
Área de concentração: Matemática Titulação: Doutor em Matemática Banca examinadora:
Jorge Tulio Mujica Ascui [Orientador] Ary Orozimbo Chiacchio
Daniel Marinho Pellegrino
Geraldo Márcio de Azevedo Botelho Mary Lilian Lourenço
Data de defesa: 20-02-2015
Programa de Pós-Graduação: Matemática
Abstract
Let 𝑈 be a domain of existence of a locally convex space. In this thesis we study the set ℰ(𝑈 ) of all holomorphic functions 𝑓 : 𝑈 → C such that 𝑈 is the domain of existence of 𝑓. More specifically, we will see that under some hypotheses there are several algebraic structures inside the set ℰ (𝑈 ). Our goal is not only to prove the existence of distinct linear/algebraic structures in ℰ (𝑈 ), but also to show that these structures are in some way “large”. First we study the algebra of the holomorphic functions whose domains are open subsets of separable Banach spaces. Next we investigate the algebra of the holomorphic functions whose domains are open subsets of 𝒟ℱ 𝒞 spaces, which are in turn restricted to spaces of the form 𝐸 = 𝐹𝑐′ with 𝐹 a separable Fréchet space.
Keywords: Holomorphic functions, Domains of existence, Lineable, Spaceable, Closely strongly algebrable, Densely strongly algebrable.
Resumo
Seja 𝑈 um domínio de existência de um espaço localmente convexo. O principal objetivo da tese é estudar o conjunto ℰ (𝑈 ) constituído pelas funções holomorfas 𝑓 : 𝑈 → C tais que 𝑈 é o domínio de existência de 𝑓 . Mais especificamente, é verificado que sob certas condições o conjunto ℰ (𝑈 ) contém variadas estruturas algébricas. Ressalta-se que a meta não é apenas demonstrar a existência de diferentes estruturas lineares/algébricas inseridas em ℰ (𝑈 ), mas também constatar que essas estruturas são em certo sentido “grandes”. Num primeiro momento o estudo é centrado nas funções holomorfas definidas em abertos de um espaço de Banach separável. Posteriormente, sairemos do contexto de espaços de Banach para iniciarmos o estudo
das funções holomorfas definidas em abertos de espaços 𝒟ℱ 𝒞, os quais se restringirão àqueles espaços da forma 𝐸 = 𝐹𝑐′ com 𝐹 espaço de Fréchet separável.
Palavras-chave: Funções holomorfas, Domínios de existência, Lineável, Espaçável, Forte-mente fechadaForte-mente algebrável, ForteForte-mente densaForte-mente algebrável.
SUMÁRIO
Agradecimentos xi
Lista de Símbolos xiii
Introdução 1
1 Preliminares 4
1.1 Domínios de existência . . . 4
1.2 Estruturas lineares em ambientes não lineares . . . 11
2 Estruturas lineares na teoria de domínios de existência em espaços de Banach 14 2.1 Lineabilidade . . . 14
2.2 Algebrabilidade forte . . . 23
2.3 Espaçabilidade e algebrabilidade fortemente fechada . . . 25
2.4 Algebrabilidade fortemente densa . . . 33
3 Estruturas lineares na teoria de domínios de existência em espaços 𝒟ℱ 𝒞 36 3.1 Preliminares . . . 36
3.2 Lineabilidade . . . 39
3.3 Algebrabilidade forte . . . 46
3.4 Algebrabilidade fortemente fechada e algebrabilidade fortemente densa . . . 47
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais por sempre me apoiarem. A eles dedico este trabalho.
Ao meu orientador Prof. Jorge Mujica, pela escolha do tema, presteza, paciência, generosi-dade e compreensão durante todo o trabalho de orientação. Professor, muito obrigado!
Ao meu orientador de mestrado Prof. Geraldo Botelho, pelo incentivo e apoio para continuar os estudos, e pelas sugestões e correções que muito ajudaram para melhorar o texto da tese.
Aos professores Ary Chiacchio, Daniel Pellegrino e Mary Lourenço, pelas correções. Aos funcionários do IMECC, em especial aos da pós-graduação, pela eficiência. À CAPES e ao CNPq, pelo suporte financeiro.
LISTA DE SÍMBOLOS
N – Números naturais. R – Números reais. C – Números complexos.
C[𝑥1, . . . , 𝑥𝑛] – Conjunto de todos os polinômios a coeficientes complexos com 𝑛 variáveis.
𝜏0 – Topologia compacto-aberta.
𝜏𝜔 – Topologia localmente convexa gerada pelas seminormas que são portadas pelos compactos
de 𝑈 .
𝜏𝛿 – Topologia localmente convexa gerada pelas seminormas 𝜏𝛿-contínuas.
𝑅𝑒(𝑧) – Parte real de 𝑧.
c – Cardinalidade do contínuo.
𝐸 – Espaço localmente convexo complexo. 𝐸′ – Dual topológico de 𝐸.
𝐹𝑐′ – Dual de 𝐹 , 𝐹 espaço de Fréchet, com a topologia compacto-aberta. C ⊕ 𝐸′ – Espaço das formas afins em 𝐸.
𝐾, 𝐾𝑚, 𝐿𝑗 – Subconjuntos compactos de 𝐸.
𝑖𝑛𝑡(𝐴) – Interior do conjunto 𝐴. 𝐴 – Fecho do conjunto 𝐴. 𝜕𝐴 – Fronteira do conjunto 𝐴.
𝑐𝑜(𝐴) – Envoltória convexa do conjunto 𝐴.
𝑐𝑜(𝐴) – Envoltória convexa fechada do conjunto 𝐴.
F(𝐴) – Família das funções complexas cujo domínio coincide com o conjunto 𝐴. Δ(𝜉; 𝑟) – {𝜁 ∈ C : |𝜁 − 𝜉| < 𝑟}.
Δ(𝜉; 𝑟) – {𝜁 ∈ C : |𝜁 − 𝜉| ≤ 𝑟}.
𝐵(𝑥; 𝑟) – {𝑦 ∈ 𝐸 : ‖𝑥 − 𝑦‖ < 𝑟}, se 𝐸 for um espaço normado. 𝐵(𝑥; 𝑟) – {𝑦 ∈ 𝐸 : ‖𝑥 − 𝑦‖ ≤ 𝑟}, se 𝐸 for um espaço normado. 𝑑𝑈(𝑥) – sup{𝑟 > 0 : 𝐵(𝑥; 𝑟) ⊂ 𝑈 }.
𝑑𝑈(𝐴) – inf𝑥∈𝐴𝑑𝑈(𝑥).
𝐵(𝑥) – 𝐵(𝑥; 𝑑𝑈(𝑥)). ̂︀
𝐴F(𝑈 ) – {𝑥 ∈ 𝑈 : |𝑓 (𝑥)| ≤ sup𝐴|𝑓 | para cada 𝑓 ∈ F(𝑈 )}.
ℋ(𝑈 ) – Álgebra das funções holomorfas com domínio igual a 𝑈 .
(ℋ(𝑈 ), 𝜏0) – Álgebra das funções holomorfas munida com a topologia compacto-aberta.
ℰ(𝑈 ) – {𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) : 𝑈 é o domínio de existência de 𝑓 }. 𝐸𝜌 – Espaço vetorial 𝐸 munido com a métrica 𝜌.
𝑐𝑠(𝐸) – Seminormas contínuas em 𝐸. 𝐼𝐸 – Aplicação identidade de 𝐸 em 𝐸.
𝜌(𝜉) – inf{𝜌(𝜉, 𝑦) : 𝑦 ∈ 𝐾 ∖ 𝑈 }, onde 𝜌 é uma métrica em 𝐸, 𝐾 é um subconjunto compacto de 𝐸 e 𝑈 é um subconjunto aberto de 𝐸.
𝐵(𝜉) – {𝑥 ∈ 𝐾 : 𝜌(𝜉, 𝑥) < 𝜌(𝜉)}, onde 𝜌 é uma métrica em 𝐸 e 𝐾 é um subconjunto compacto de 𝐸.
𝑑𝛼(𝐴, 𝐵) – inf{𝑑𝛼(𝑥, 𝐵) : 𝑥 ∈ 𝐴} = inf{𝛼(𝑥 − 𝑦) : 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵}, onde 𝛼 é uma seminorma de
𝐸 e 𝐴, 𝐵 são subconjuntos de 𝐸.
𝜌𝑚(𝜉) – inf{𝜌(𝜉, 𝑦) : 𝑦 ∈ 𝐾𝑚∖ 𝑈 }, onde 𝜌 é uma métrica em 𝐸, 𝐾𝑚 é um subconjunto compacto
de 𝐸 e 𝑈 é um subconjunto aberto de 𝐸.
𝐵𝑚(𝜉) – {𝑥 ∈ 𝐾𝑚 : 𝜌(𝜉, 𝑥) < 𝜌𝑚(𝜉)}, onde 𝜌 é uma métrica em 𝐸 e 𝐾𝑚 é um subconjunto
compacto de 𝐸.
𝐷𝑚 – Subconjunto denso e enumerável de 𝐾𝑚∩ 𝑈 .
𝐵𝜌(𝑥, 𝑟) – {𝑦 ∈ 𝐸 : 𝜌(𝑥, 𝑦) < 𝑟}, se 𝐸 for um espaço métrico munido com a métrica 𝜌.
𝑑𝑈,𝜌(𝑥) – sup{𝑟 > 0 : 𝐵𝜌(𝑥, 𝑟) 𝜌
INTRODUÇÃO
No estudo das funções holomorfas definidas em espaços cujas dimensões são maiores do que um, busca-se muitas vezes a generalização de propriedades que são conhecidas (e importantes) no caso 1-dimensional. Evidentemente algumas das propriedades são naturalmente estendidas do caso 1-dimensional para dimensões maiores: Princípio da Identidade, Princípio da Aplicação Aberta, Princípio do Máximo, Teorema de Liouville, propriedades de interpolação de sequên-cias, etc. Em outros casos a generalização não é completamente possível, apesar de resultados mais fracos ainda serem verdadeiros e possíveis de serem verificados; um exemplo desse tipo é brevemente discutido no Capítulo 2, e diz respeito a conjuntos localmente determinantes em zero.
Entretanto, muitas vezes mais interessantes do que os fenômenos encontrados na análise complexa de uma variável que podem ser reproduzidos de alguma maneira em dimensões mai-ores, são aqueles fenômenos exclusivos da análise complexa de dimensão diferente de um, i.e., fenômenos que não ocorrem no caso 1-dimensional mas que aparecem quando estudamos holo-morfia em dimensões maiores. Um exemplo clássico, e de grande relevância na análise complexa, diz respeito a questão de quando podemos definir uma função holomorfa num conjunto aberto de modo que ela não possa ser holomorficamente estendida. Para deixar as ideias mais preci-sas, considere dois subconjuntos abertos 𝑈 e 𝑉 de C𝑛 tais que 𝑈 𝑉 ; perguntamos assim se
existe uma função holomorfa 𝑓 : 𝑈 → C tal que 𝑓 não pode ser estendida em todo 𝑉 . Ora, no caso 𝑛 = 1 essa questão é trivial e não tem grandes consequências. De fato, se existisse um subconjunto aberto conexo 𝑉 de C tal que 𝑈 𝑉 , então a função holomorfa 𝑓 : 𝑈 → C tal que 𝑓 (𝑧) = (𝑧 − 𝑎)−1, com 𝑎 ∈ 𝑉 ∩ 𝜕𝑈 , evidentemente não pode ser estendida em todo o conjunto 𝑉 . Em contrapartida, é sabido dos cursos de análise complexa de várias variáveis que para 𝑛 ≥ 2
existem exemplos que contradizem esse fato, o mais conhecido deles é a figura de Hartogs (veja [16, Example 10.2]). Nesse exemplo são fornecidos dois abertos conexos do espaço C2 tais que
um deles está contido estritamente no outro e, além disso, toda função holomorfa cujo domínio é igual ao menor aberto pode ser estendida holomorficamente para uma função com domínio que coincide com o maior aberto.
À luz da propriedade supracitada concernente à figura de Hartogs, nasce um conceito extre-mamente explorado na análise complexa; a saber, o conceito de domínio de holomorfia. Para o interesse desta introdução, podemos informalmente pensar que um domínio de holomorfia é um subconjunto aberto 𝑈 de um espaço localmente convexo complexo 𝐸 (podendo ou não ter dimensão finita) tal que para cada aberto 𝑉 , que contém estritamente o subconjunto 𝑈 , exista pelo menos uma função holomorfa 𝑓 : 𝑈 → C que não pode ser estendida holomorficamente em todo 𝑉 . Próximo do conceito de domínio de holomorfia está o conceito de domínio de existência. Ainda informalmente, diz-se que um subconjunto aberto 𝑈 de um espaço localmente convexo complexo 𝐸 é o domínio de existência de uma função holomorfa 𝑓 : 𝑈 → C quando a função 𝑓 não puder ser estendida holomorficamente além da fronteira de 𝑈 .
É claro que todo domínio de existência é domínio de holomorfia. Se as propriedades de do-mínios de holomorfia e dodo-mínios de existência são considerados no contexto de análise complexa de dimensão finita, então ambas as propriedades coincidem. De fato, esse é um resultado fa-moso devido aos matemáticos H. Cartan e P. Thullen, recomendamos a referência [16, Theorem 11.5] para uma demonstração deste resultado. No entanto, não está claro se todo domínio de holomorfia é um domínio de existência no caso de dimensão infinita.
Nesta tese estamos interessados na teoria de domínios de existência em dimensão infinita. Mais especificamente, quando 𝑈 for um domínio de existência num espaço de Banach (ou um espaço 𝒟ℱ 𝒞), queremos investigar a existência de estruturas lineares/algébricas (fechadas) inseridas no conjunto formado por todas as funções holomorfas 𝑓 : 𝑈 → C tais que 𝑈 é o domínio de existência de 𝑓 . Esse tipo de estudo está sendo bastante explorado nos últimos anos em variados contextos, sendo um de seus objetivos determinar se certos conjuntos que não são espaços vetoriais possuem (grandes) estruturas algébricas inseridas neles. Para um apanhado acerca desses tipos de estudos recomendamos fortemente a referência [9].
A tese está estruturada da seguinte maneira:
∙ O Capítulo 1 está dividido em duas seções. Na primeira delas a definição de domínio de existência é fornecida, e são discutidas algumas propriedades referentes a esse conceito. Ademais, introduzimos nesta seção o objeto de estudo desta tese, a saber, o conjunto ℰ (𝑈 ) que é formado pelas funções holomorfas 𝑓 : 𝑈 → C tais que 𝑈 é o domínio de existência de 𝑓 . Veremos ainda que o conjunto ℰ (𝑈 ) é em certo sentido um conjunto “grande”. Na segunda seção veremos
de que modo queremos estudar o conjunto ℰ (𝑈 ), ou seja, trataremos dos tipos de estruturas lineares que estamos interessados em encontrar inseridas em ℰ (𝑈 ).
∙ O Capítulo 2 é baseado nos trabalhos [2] e [3]. Nele estudamos o conjunto ℰ(𝑈 ) no contexto de espaços de Banach. Este Capítulo é dividido em quatro seções. Nas duas primeiras iremos nos preocupar exclusivamente com estruturas algébricas inseridas em ℰ (𝑈 ). Na Seção 2.3 a álgebra ℋ(𝑈 ) das funções holomorfas definidas num aberto 𝑈 é munida com a topologia compacto-aberta 𝜏0, e voltaremos assim o estudo para as estruturas algébricas contidas em
ℰ(𝑈 ) que também são fechadas nessa topologia. A última seção é dedicada a um resultado que comprova ser possível encontrar uma álgebra dentro de ℰ (𝑈 ) que também é densa no espaço (ℋ(𝑈 ), 𝜏0).
∙ No Capítulo 3 vemos que vários resultados do Capítulo 2 continuam verdadeiros no con-texto de espaços 𝒟ℱ 𝒞. Para isso, além de certas construções executadas no Capítulo 2, usaremos fortemente o trabalho [15]. O Capítulo está dividido em quatro seções. Na primeira delas for-necemos algumas propriedades fundamentais referentes aos espaços 𝒟ℱ 𝒞. Já os resultados das três últimas seções são similares aos resultados das quatro seções do Capítulo 2: os resultados das Seções 3.2 e 3.3 correspondem respectivamente aos apresentados nas Seções 2.1 e 2.2, e os resultados da Seção 3.4 são similares aos das Seções 2.3 e 2.4. De fato, a diferença reside particularmente no fato dos resultados do Capítulo 3 serem exclusivamente referentes às funções holomorfas cujos domínios são abertos de espaços 𝒟ℱ 𝒞, e assim as demonstrações se mostram um pouco mais técnicas.
Recomendamos as referências [12] e [16] para resultados básicos sobre análise complexa em dimensão infinita. Ademais, indicamos as referências [12] e [21] para os termos topológicos não definidos na tese. Ressaltamos ainda que os símbolos não definidos no texto devem ser consultados na lista de símbolos.
CAPÍTULO 1
PRELIMINARES
O objetivo deste capítulo é oferecer certa terminologia acerca dos tópicos abordados nesta tese. Na Seção 1.1 relembraremos a definição de domínio de existência e também introdu-ziremos o principal objeto de estudo, a saber, o conjunto ℰ (𝑈 ). Na Seção 1.2 discutiremos brevemente sobre quais perspectivas desejamos estudar o conjunto ℰ (𝑈 ), forneceremos assim algumas terminologias juntamente com alguns poucos exemplos para melhor compreendê-las.
1.1
Domínios de existência
Sempre que não explicitado o contrário, a letra 𝐸 denotará um espaço localmente convexo complexo de Hausdorff. Seja 𝑈 um subconjunto aberto não vazio de 𝐸, denotaremos por ℋ(𝑈 ) a álgebra constituída por todas as funções holomorfas em 𝑈 . Ademais, o símbolo 𝜏0 denotará a
topologia compacto-aberta. Desse modo, o símbolo (ℋ(𝑈 ), 𝜏0) representará a álgebra formada
pelas funções holomorfas definidas em 𝑈 e munida com a topologia compacto-aberta.
Definição 1.1.1. Dizemos que um subconjunto aberto 𝑈 ⊂ 𝐸 é o domínio de existência de uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) se não existirem subconjuntos abertos 𝑉, 𝑊 de 𝐸 e uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑉 )̃︀
que satisfazem
(𝑎) 𝑉 é conexo e 𝑉 ̸⊂ 𝑈 ; (𝑏) ∅ ̸= 𝑊 ⊂ 𝑈 ∩ 𝑉 ; (𝑐) 𝑓 = 𝑓 em 𝑊 .̃︀
Observação 1.1.2. Caso exista uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) de modo que o conjunto 𝑈 ⊂ 𝐸 seja o domínio de existência de 𝑓 , diremos apenas que 𝑈 é um domínio de existência em 𝐸.
Cabe aqui um breve comentário acerca da definição de domínio de existência. Esta defi-nição nasce com a intenção de caracterizar o maior domínio possível para uma dada função holomorfa, i.e., um domínio além do qual a função não possa ser estendida holomorficamente. Mais especificamente, dada uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ), gostaríamos de saber se existem um aberto 𝑉 e uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑉 ) de modo que 𝑈 esteja contido estritamente em 𝑉 e 𝑓 =̃︀ 𝑓 em 𝑈 .̃︀
De fato, se 𝑈 é o domínio de existência de uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ), então obtemos prontamente da Definição 1.1.1 que 𝑓 não pode ser estendida além da fronteira de 𝑈 . Em contrapartida, não podemos supor que um aberto 𝑈 seja o domínio de existência de uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) apenas pelo fato dela não poder ser estendida holomorficamente além da fronteira de 𝑈 , o que pode ser comprovado pelo Exemplo 1.1.3. Apesar disso, os exemplos de conjuntos abertos que não são domínios de existência de uma dada função holomorfa, a qual por sua vez não pode ser estendida holomorficamente, são bastante típicos. Com efeito, esses exemplos funcionam apenas devido a existência de um ponto 𝑎 ∈ 𝜕𝑈 que pode ser “aproximado” indistintamente por pontos pertencentes a duas componentes conexas distintas de 𝑈 ∩ 𝑉 , para um dado aberto 𝑉 de 𝐸. Desse modo, em todos os outros casos, podemos pensar no domínio de existência de uma dada função holomorfa como sendo aquele conjunto aberto no qual a função não pode ser estendida além de sua fronteira.
Exemplo 1.1.3. Seja 𝐸 um espaço de Banach complexo. Defina
𝑈1 := {𝑥 : ‖𝑥‖ < 1}, 𝑈2 := {𝑥 : ‖𝑥‖ > 1} e 𝑈 := 𝑈1∪ 𝑈2.
Seja 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) tal que 𝑓 (𝑥) = 0 sempre que 𝑥 ∈ 𝑈1 e 𝑓 (𝑥) = 1 sempre que 𝑥 ∈ 𝑈2. Note que
a função 𝑓 não pode ser estendida holomorficamente além da fronteira de 𝑈 . Apesar disso, o subconjunto aberto 𝑈 não é um domínio de existência de 𝑓 . De fato, basta considerar 𝑉 := 𝐸, 𝑊 := 𝑈1 e𝑓 := 0 na Definição 1.1.1.̃︀
Veremos no exemplo seguinte que todo subconjunto aberto convexo de um espaço de Banach separável é um domínio de existência. Para verificar este fato, devemos primeiramente introduzir uma notação conveniente e enunciar um teorema que será de grande valia no decorrer da tese. Definição 1.1.4. Seja F(𝑈 ) uma família de funções complexas definidas sobre um conjunto 𝑈 . Definimos a F(𝑈 )-envoltória de um conjunto 𝐴 ⊂ 𝑈 por
̂︀
𝐴F(𝑈 ):= {𝑥 ∈ 𝑈 : |𝑓 (𝑥)| ≤ sup
𝐴
Teorema 1.1.5 (veja [16, Theorem 11.4]). Seja 𝐸 um espaço de Banach complexo separável, e seja 𝑈 um subconjunto aberto de 𝐸. Então 𝑈 é um domínio de existência em 𝐸 se, e somente se, 𝑈 é a união de uma sequência crescente de subconjuntos abertos 𝐴𝑗 tais que 𝑑𝑈((𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 )) > 0
para cada 𝑗 ∈ N.
Exemplo 1.1.6 ([16, Proposition 11.8]). Todo subconjunto aberto convexo de um espaço de Banach complexo separável é um domínio de existência. De fato, se 𝑈 é um subconjunto aberto e convexo de um espaço de Banach separável 𝐸, então 𝑈 é constituído pela união dos conjuntos convexos e abertos
𝐴𝑗 := {𝑥 ∈ 𝑈 : ‖𝑥‖ < 𝑗 e 𝑑𝑈(𝑥) > 1/𝑗} ⊂ 𝐴𝑗+1, 𝑗 ∈ N.
Afirmamos que
̂︂
(𝐴𝑗)C⊕𝐸′ ⊂ 𝐴𝑗
para cada 𝑗 ∈ N, onde C ⊕ 𝐸′ é o espaço de todas as formas afins em 𝐸. Com efeito, se 𝑦 ̸∈ 𝐴𝑗,
então segue do Teorema de Hahn-Banach que existem 𝜙 ∈ 𝐸′ e 𝛼 ∈ R tais que 𝑅𝑒(𝜙(𝑥)) < 𝛼 < 𝑅𝑒(𝜙(𝑦))
para todo 𝑥 ∈ 𝐴𝑗. Visto que 𝜙(𝐴𝑗) é limitado, podemos escolher um disco Δ(𝜉; 𝑟) tal que
𝜙(𝐴𝑗) ⊂ Δ(𝜉; 𝑟) e 𝜙(𝑦) ̸∈ Δ(𝜉; 𝑟).
Desse modo, se 𝑓 ∈ C ⊕ 𝐸′ é definido de modo que 𝑓 (𝑥) = 𝜙(𝑥) − 𝜉, então sup 𝐴𝑗 |𝑓 | ≤ sup 𝐴𝑗 |𝑓 | ≤ 𝑟 < 𝑓 (𝑦), e portanto 𝑦 ̸∈(𝐴̂︂𝑗)
C⊕𝐸′. Daí, segue que
̂︂
(𝐴𝑗)ℋ(𝑈 )⊂(𝐴̂︂𝑗)
C⊕𝐸′ ⊂ 𝐴𝑗
para cada 𝑗 ∈ N. Logo, 𝑑𝑈((𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 )) ≥ 1/𝑗 para cada 𝑗 ∈ N, e portanto segue do Teorema
1.1.5 que 𝑈 é um domínio de existência em 𝐸.
Definição 1.1.7. Seja 𝐸 um espaço localmente convexo complexo, e seja 𝑈 um subconjunto aberto de 𝐸. Denotamos por ℰ (𝑈 ) o conjunto constituído pelas funções 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) tais que 𝑈 é o domínio de existência de 𝑓 .
O principal objetivo desta tese é estudar o conjunto ℰ (𝑈 ) sempre que ele não for o conjunto vazio. Neste caso, veremos que ℰ (𝑈 ) ∪ {0}, apesar de não ser subespaço vetorial de ℋ(𝑈 ) em geral (veja Observação 1.1.13), possui várias estruturas lineares inseridas nele. Este tipo de estudo está sendo bastante explorado na última década, e será melhor discutido na seção seguinte. Ressaltamos apenas que a finalidade não será exclusivamente encontrar estruturas lineares inseridas em ℰ (𝑈 ) ∪ {0}, mas também fazer com que essas estruturas sejam em certo sentido “grandes”. A palavra grande é subjetiva e pode englobar diversos sentidos; apenas para ilustrar dois deles, iremos encerrar a seção com dois resultados que indicam que o conjunto ℰ (𝑈 ) é deveras grande. O primeiro resultado é bem conhecido e nos diz, sob certas hipóteses, que ℋ(𝑈 ) ∖ ℰ(𝑈 ) é de primeira categoria em (ℋ(𝑈 ), 𝜏0), o que implica prontamente que ℰ (𝑈 ) é de
segunda categoria sempre que (ℋ(𝑈 ), 𝜏0) for um espaço de Fréchet. Já o segundo resultado,
que é inédito, nos dirá que o conjunto ℰ (𝑈 ) é denso em ℋ(𝑈 ) com respeito às três topologias usualmente consideradas em ℋ(𝑈 ).
Proposição 1.1.8 (veja [16, Lemma 10.10]). Seja 𝑈 um domínio de existência em um espaço de Banach separável 𝐸. Então o conjunto ℋ(𝑈 ) ∖ ℰ (𝑈 ) é de primeira categoria em (ℋ(𝑈 ), 𝜏0).
Em particular, o conjunto ℰ (𝑈 ) é de segunda categoria sempre que (ℋ(𝑈 ), 𝜏0) for um espaço
de Fréchet.
Além da topologia 𝜏0, que é a topologia da convergência uniforme sobre os subconjuntos
compactos, o espaço ℋ(𝑈 ) é frequentemente munido com outras duas topologias. Definição 1.1.9. Seja 𝑈 um subconjunto aberto de um espaço localmente convexo 𝐸.
(𝑎) Uma seminorma 𝑝 em ℋ(𝑈 ) é dita ser portada por um subconjunto compacto 𝐾 ⊂ 𝑈 se para cada aberto 𝑉 que satisfaça 𝐾 ⊂ 𝑉 ⊂ 𝑈 existir uma constante 𝐶(𝑉 ) > 0 tal que
𝑝(𝑓 ) ≤ 𝐶(𝑉 ) · sup
𝑉
|𝑓 |
para cada 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ). A topologia 𝜏𝜔 em ℋ(𝑈 ) é a topologia localmente convexa gerada pelas
seminormas que são portadas pelos subconjuntos compactos de 𝑈 .
(𝑏) Uma seminorma 𝑝 em ℋ(𝑈 ) é dita ser 𝜏𝛿-contínua se para cada cobertura aberta
enu-merável e crescente de 𝑈 , (𝑉𝑛)∞𝑛=1, existirem 𝑛0 ∈ N e 𝐶 > 0 tais que
𝑝(𝑓 ) ≤ 𝐶 · sup
𝑉𝑛0
|𝑓 |
para cada 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ). A topologia 𝜏𝛿 em ℋ(𝑈 ) é a topologia localmente convexa gerada pelas
Lema 1.1.10 (veja [15, Lemma 2.2]). Sejam 𝐸 um espaço localmente convexo e 𝑈 um sub-conjunto aberto de 𝐸. Sejam 𝑉 e 𝑊 subsub-conjuntos abertos conexos de 𝐸 tais que 𝑉 ̸⊂ 𝑈 e ∅ ̸= 𝑊 ⊂ 𝑈 ∩ 𝑉 . Se 𝑊 for a componente conexa de 𝑈 ∩ 𝑉 que contém 𝑊 , então existẽ︁
𝑎 ∈ 𝜕𝑈 ∩ 𝑉 ∩ 𝜕𝑊 .̃︁
O próximo resultado é bastante conhecido e pode ser encontrado inserido na demonstração de [16, Theorem 11.4].
Lema 1.1.11. Sejam 𝐸 um espaço de Banach, 𝑈 um subconjunto aberto de 𝐸 e 𝐷 um sub-conjunto denso de 𝑈 . Se 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) é ilimitada em 𝐵(𝑥) := 𝐵(𝑥, 𝑑𝑈(𝑥)) para cada 𝑥 ∈ 𝐷, então
𝑈 é o domínio de existência de 𝑓 .
Demonstração. Suponha que 𝑈 não seja o domínio de existência de 𝑓 . Logo, existem abertos 𝑉, 𝑊 de 𝑈 e uma função ˜𝑓 que satisfazem as condições (𝑎)-(𝑐) na definição de domínio de existência. Podemos supor, sem perda de generalidade, que 𝑊 é uma componente conexa de 𝑈 ∩ 𝑉 . Segue do Lema 1.1.10 que existe um ponto 𝑎 ∈ 𝑉 ∩ 𝜕𝑈 ∩ 𝜕𝑊 . Seja 𝑟 > 0 tal que 𝐵(𝑎; 2𝑟) ⊂ 𝑉 , e tome 𝑥 ∈ 𝐷 ∩ 𝑊 ∩ 𝐵(𝑎; 𝑟). Visto que 𝑥 ∈ 𝐵(𝑎; 𝑟) e 𝑎 ∈ 𝜕𝑈 , segue que 𝑑𝑈(𝑥) < 𝑟, e portanto 𝐵(𝑥) ⊂ 𝐵(𝑎; 2𝑟) ⊂ 𝑉 . Desse modo, temos 𝐵(𝑥) ⊂ 𝑈 ∩ 𝑉 e 𝑥 ∈ 𝑊 . Como
𝐵(𝑥) é conexo, concluímos que 𝐵(𝑥) ⊂ 𝑊 . Além disso, visto que 𝑓 = ˜𝑓 em 𝑊 e 𝑓 é uma função ilimitada em 𝐵(𝑥), segue que ˜𝑓 é uma função ilimitada em 𝐵(𝑥) ⊂ 𝐵(𝑎; 2𝑟). Concluímos que ˜𝑓 não é localmente limitada em 𝑎, pois 𝑟 > 0 pode ser escolhido arbitrariamente pequeno.
Proposição 1.1.12. Seja 𝑈 um domínio de existência em um espaço de Banach separável 𝐸. Então o conjunto ℰ (𝑈 ) é denso em (ℋ(𝑈 ), 𝜏 ), com 𝜏 = 𝜏0, 𝜏𝜔 ou 𝜏𝛿.
Demonstração. É fácil ver que 𝜏0 ⊂ 𝜏𝜔 ⊂ 𝜏𝛿. Desse modo, é suficiente mostrar que ℰ (𝑈 ) é
denso em (ℋ(𝑈 ), 𝜏𝛿). Sejam 𝑓0 ∈ ℋ(𝑈 ), 𝑝 : ℋ(𝑈 ) → R uma seminorma 𝜏𝛿-contínua e 𝜀 > 0.
Seja 𝐷 um subconjunto denso e enumerável de 𝑈 , e seja (𝑥𝑛)∞𝑛=1 uma sequência em 𝑈 na qual
cada ponto de 𝐷 aparece infinitas vezes. Visto que 𝑈 é um domínio de existência, segue do Teorema 1.1.5 que 𝑈 é a união de uma sequência crescente de conjuntos abertos 𝐴𝑗 tais que
𝑑𝑈((𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 )) > 0 para cada 𝑗 ∈ N. Como a seminorma 𝑝 : ℋ(𝑈) → R é 𝜏𝛿-contínua, existem
𝐶 > 0 e 𝑗0 ∈ N tais que
𝑝(𝑓 ) < 𝐶 · sup
𝐴𝑗0
|𝑓 | (1.1.1)
para cada 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ). Vejamos que se 𝐵𝑗 := (𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 ), então (𝐵̂︂𝑗)ℋ(𝑈 ) = 𝐵𝑗 para cada 𝑗 ∈ N.
De fato, provemos a inclusão não trivial, i.e., (𝐵̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 )⊂ 𝐵𝑗 para cada 𝑗 ∈ N. Se 𝑧 ∈(𝐵̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 ),
|𝑓 (𝑧)| ≤ sup 𝑤∈𝐵𝑗 |𝑓 (𝑤)| ≤ sup 𝑤∈𝐵𝑗 sup 𝐴𝑗 |𝑓 | = sup 𝐴𝑗 |𝑓 | para toda 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ). Logo 𝑧 ∈ (𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 ) = 𝐵𝑗, e portanto (𝐵̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 ) ⊂ 𝐵𝑗 para cada 𝑗 ∈ N.
Visto que 𝐵(𝑥) = 𝐵(𝑥, 𝑑𝑈(𝑥)) ̸⊂ 𝐵𝑗 para cada 𝑥 ∈ 𝑈 e cada 𝑗 ∈ N, podemos substituir (𝐵𝑗)∞𝑗=1
por uma subsequência conveniente, a qual continuaremos a denotar por (𝐵𝑗)∞𝑗=1, e podemos
também encontrar uma sequência (𝑦𝑗)∞𝑗=1 em 𝑈 de modo que
𝑦𝑗 ∈ 𝐵(𝑥𝑗), 𝑦𝑗 ̸∈ 𝐵𝑗+𝑗0−1 e 𝑦𝑗 ∈ 𝐵𝑗+𝑗0
para cada 𝑗 ∈ N. Logo, existem duas sequências (𝜙𝑗)∞𝑗=1 em ℋ(𝑈 ) e (𝑏𝑗)∞𝑗=1 em R tais que
sup
𝐵𝑗+𝑗0−1
|𝜙𝑗| < 𝑏𝑗 < |𝜙𝑗(𝑦𝑗)|
para cada 𝑗 ∈ N. Desse modo, se fizermos 𝜓𝑗 := 𝜙𝑗/𝑏𝑗 para cada 𝑗 ∈ N, então
sup
𝐵𝑗+𝑗0−1
|𝜓𝑗| < 1 < |𝜓𝑗(𝑦𝑗)|
para cada 𝑗 ∈ N. Logo,
lim
𝑛→∞𝐵sup
𝑗+𝑗0−1
|𝜓𝑗|𝑛= 0 e 𝑛→∞lim |𝜓𝑗(𝑦𝑗)|𝑛 = ∞ (1.1.2)
para cada 𝑗 ∈ N. Segue de (1.1.2) que existe 𝑛1 ∈ N tal que 𝑔1 := 𝜓𝑛11 satisfaz
sup
𝐵𝑗0
|𝑔1| ≤ 2−1𝐶−1𝜀 e |𝑔1(𝑦1)| ≥ 1 + |𝑓0(𝑦1)| + 𝐶−1𝜀.
Novamente por (1.1.2), existe 𝑛2 ∈ N tal que 𝑔2 := 𝜓2𝑛2 satisfaz
sup
𝐵𝑗0+1
|𝑔2| ≤ 2−2𝐶−1𝜀 e |𝑔2(𝑦2)| ≥ 2 + |𝑓0(𝑦2)| + 𝐶−1𝜀 + |𝑔1(𝑦2)| .
Aplicando (1.1.2) novamente, podemos achar 𝑛3 ∈ N tal que 𝑔3 := 𝜓𝑛33 satisfaz
sup 𝐵𝑗0+2 |𝑔3| ≤ 2−3𝐶−1𝜀 e |𝑔3(𝑦3)| ≥ 3 + |𝑓0(𝑦3)| + 𝐶−1𝜀 + ∑︁ 𝑖<3 |𝑔𝑖(𝑦3)| .
sup 𝐵𝑗0+𝑗−1 |𝑔𝑗| ≤ 2−𝑗𝐶−1𝜀 e |𝑔𝑗(𝑦𝑗)| ≥ 𝑗 + |𝑓0(𝑦𝑗)| + 𝐶−1𝜀 + ∑︁ 𝑖<𝑗 |𝑔𝑖(𝑦𝑗)| (1.1.3)
para cada 𝑗 ∈ N. Logo a série∑︀∞
𝑗=1𝑔𝑗 converge uniformemente em cada subconjunto 𝐵𝑗, 𝑗 ≥ 𝑗0,
para uma função contínua 𝑓 : 𝑈 −→ C. Visto que cada compacto de 𝑈 está contido em algum 𝐵𝑗, segue que 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ). Ademais, temos
|𝑔(𝑦𝑗)| = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∞ ∑︁ 𝑖=1 𝑔𝑖(𝑦𝑗) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ≥ |𝑔𝑗(𝑦𝑗)| − 𝐶−1𝜀 − ∑︁ 𝑖<𝑗 |𝑔𝑖(𝑦𝑗)| (1.1.4)
para cada 𝑗 ∈ N. Portanto, concluímos pelas desigualdades (1.1.3) e (1.1.4) que
|𝑔(𝑦𝑗)| ≥ 𝑗 + |𝑓0(𝑦𝑗)| (1.1.5)
para cada 𝑗 ∈ N. Assim, se fizermos ℎ := 𝑓0+ 𝑔, então segue de (1.1.5) que lim𝑗→∞|ℎ(𝑦𝑗)| = ∞.
Logo, como 𝑦𝑗 ∈ 𝐵(𝑥𝑗) para cada 𝑗 ∈ N, e como cada elemento de 𝐷 aparece em (𝑥𝑗)∞𝑗=1infinitas
vezes, obtemos que ℎ é ilimitada em 𝐵(𝑥, 𝑑𝑈(𝑥)) para cada 𝑥 ∈ 𝐷. Portanto, pelo Lema 1.1.11,
temos ℎ ∈ ℰ (𝑈 ). Para encerrar a demonstração é suficiente verificar que 𝑝(ℎ − 𝑓0) < 𝜀. Ora,
segue das desigualdades (1.1.1) e (1.1.3) que
𝑝(ℎ − 𝑓0) = 𝑝(𝑔) < 𝐶 · sup 𝐴𝑗0 |𝑔| ≤ 𝐶 · sup 𝐵𝑗0 |𝑔| ≤ 𝐶 · sup 𝐵𝑗0 ∞ ∑︁ 𝑗=1 |𝑔𝑗| ≤ 𝐶 · ∞ ∑︁ 𝑗=1 2−𝑗𝐶−1𝜀 = 𝜀,
e portanto a demonstração está completa.
Observação 1.1.13. Apesar do conjunto ℰ (𝑈 ) ser grande no sentido indicado nas Proposições 1.1.8 e 1.1.12, não salta aos olhos nenhuma indicação de que ℰ (𝑈 ) possua algum tipo de estrutura linear. De fato, é fácil ver que podem existir 𝑓, 𝑔 ∈ ℰ(𝑈 ) ∪ {0} tais que 𝑓 + 𝑔 ̸∈ ℰ(𝑈 ) ∪ {0}. Para verificar isto, é suficiente supor que 𝑈 ̸= 𝐸 seja um domínio de existência de um espaço
de Banach separável 𝐸, e tomar
ℎ ∈ ℱ (𝑈 ) := {𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) : sup
𝑧∈𝐵(𝑥)
|𝑓 (𝑧)| = ∞ para todo 𝑥 ∈ 𝐷},
onde 𝐷 é um subconjunto denso em 𝑈 . Constate que na demonstração da Proposição 1.1.12 foi demonstrado que ℱ (𝑈 ) ̸= ∅. Agora, basta notar que 𝐾 − ℎ ∈ ℱ (𝑈 ) ⊂ ℰ(𝑈 ), com 𝐾 ∈ C ∖ {0}, mas (𝐾 − ℎ) + ℎ = 𝐾 ̸∈ ℰ(𝑈 ).
Com esta observação, a seção é assim encerrada. Na próxima seção discutiremos quais os tipos de estruturas lineares estamos interessados em encontrar inseridas no conjunto ℰ (𝑈 ) ∪ {0}.
1.2
Estruturas lineares em ambientes não lineares
Um ramo de pesquisa que está sendo muito explorado nos últimos anos diz respeito à busca por grandes estruturas algébricas inseridas em conjuntos pré-estabelecidos que não são espaços vetoriais, conjuntos estes constituídos por elementos que gozam de propriedades particularmente especiais. Frequentemente, uma característica inerente a estes conjuntos é referente à não trivialidade na obtenção de elementos pertencentes a eles, o que faz a intuição sugerir que sejam conjuntos pequenos. No entanto, surpreendentemente muitos destes conjuntos demonstram conter grandes estruturas algébricas. Antes de fornecer alguns poucos exemplos de conjuntos ditos “especiais”, vamos introduzir alguma terminologia com o intuito de deixar preciso o que queremos dizer com grandes estruturas algébricas.
Seja 𝑋 um espaço vetorial topológico. Um subconjunto 𝑀 ⊂ 𝑋 é dito ser lineável (resp. espaçável) em 𝑋 se o conjunto 𝑀 ∪ {0} contém um espaço vetorial de dimensão infinita (resp. um espaço fechado de dimensão infinita). Em algumas partes da tese, para ser mais preciso, iremos dizer que um dado subconjunto 𝑀 de um espaço 𝑋 é c-lineável ou c-espaçável, com a intenção de deixar indicado que o espaço vetorial contido em 𝑀 ∪ {0} é c-dimensional.
Exemplo 1.2.1. Em [18] é mostrado que o conjunto ℓ𝑝∖ ℓ𝑞 é c-lineável sempre que 𝑝 > 𝑞 ≥ 1.
Este resultado é melhorado em [10], no qual é verificado que o conjunto ℓ𝑝(𝐸) ∖⋃︀𝑞∈Γℓ𝑞(𝐸) é
vazio ou c-espaçável para cada subconjunto Γ ⊂ (0, ∞], onde 𝐸 é um espaço de Banach. Exemplo 1.2.2. Seja 𝑋 um espaço de sequências, e seja 𝑍(𝑋) o subconjunto de 𝑋 constituído por todas as sequências que contém apenas um número finito de termos nulos. Dentre outros resultados, em [11] é mostrado que o conjunto 𝑍(ℓ𝑝) ∪ {0}, 𝑝 ∈ [1, ∞], não é espaçável. Este
perguntaram se ℓ∞ contém um subespaço fechado de dimensão infinita de modo que cada
elemento não nulo possua no máximo um número finito de termos nulos.
Seja 𝒜 uma álgebra comutativa complexa, e seja 𝑋 := {𝑥𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} um subconjunto de 𝒜.
Para cada 𝑆 ⊂ 𝒜 o símbolo 𝒜(𝑆) denotará a subálgebra gerada por 𝑆. O conjunto 𝑋 é dito ser um conjunto minimal de geradores de 𝒜 se 𝒜 = 𝒜(𝑋) e 𝑥𝑖0 ̸∈ 𝒜(𝑋 ∖ {𝑥𝑖0}) para cada 𝑖0.
De acordo com [7], um subconjunto 𝐴 ⊂ 𝒜 é algebrável se existe uma álgebra ℬ ⊂ 𝐴 ∪ {0} que contenha um conjunto minimal infinito de geradores. Ademais, o conjunto 𝑋 é dito ser algebricamente independente ou livre se 𝑃 (𝑥𝑖1, . . . , 𝑥𝑖𝑛) = 0 implicar 𝑃 = 0 sempre que 𝑃 ∈ C[𝑥1, . . . , 𝑥𝑛] e 𝑥𝑖1, . . . , 𝑥𝑖𝑛 ∈ 𝑋. Um subconjunto 𝐴 ⊂ 𝒜 é denominado fortemente algebrável se existe uma álgebra ℬ ⊂ 𝐴∪{0} que contenha um conjunto de geradores infinito e algebricamente independente. O conceito de fortemente algebrável foi introduzido por Bartoszewicz e Gł¸ab, [8]. É evidente que todo conjunto fortemente algebrável é também algebrável. No entanto, como mostra o próximo exemplo, nem sempre um conjunto algebrável é fortemente algebrável. Exemplo 1.2.3 ([8, Proposition 1]). Considere 𝑐0 a álgebra comutativa complexa de todas as
sequências em C que convergem para zero, cujas soma e multiplicação sejam definidas ponto a ponto. Afirmamos que o subconjunto 𝑐00 de 𝑐0, das sequências cujos termos se anulam a partir
de certo índice, é algebrável em 𝑐0 mas não é fortemente algebrável. Com efeito, se tomarmos
𝑋 := {𝑒𝑖 : 𝑖 ∈ N}, então claramente 𝑐00= 𝒜(𝑋) e 𝑒𝑖0 ̸∈ 𝒜(𝑋 ∖{𝑒𝑖0}) para cada 𝑖0 ∈ N. Por outro
lado, se 𝑥 = (𝑥𝑖)∞𝑖=1 ∈ 𝑐00, então existe 𝑛 ∈ N tal que (𝑥𝑘)𝑝 = 0 para cada 𝑘 ≥ 𝑛 e cada 𝑝 ∈ N.
Desse modo, o espaço vetorial gerado pelo conjunto {𝑥, 𝑥2, 𝑥3, . . .} tem dimensão menor do que
ou igual a 𝑛. Portanto, exitem 𝑘 ∈ N e 𝑛1, 𝑛2, . . . , 𝑛𝑘 ∈ N tais que 𝑎1𝑥𝑛1+𝑎2𝑥𝑛2+· · ·+𝑎𝑘𝑥𝑛𝑘 = 0
e 𝑎𝑖 ̸= 0 para cada 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑘, o que mostra que 𝑐00 de fato não é fortemente algebrável.
Observação 1.2.4. Note que no último exemplo foi mostrado que o conjunto 𝑐00 nem mesmo
contém um subconjunto de geradores algebricamente independente que seja 1-dimensional. Exemplo 1.2.5. Seja 𝐸 um espaço de Banach de dimensão infinita, e seja ℋ𝑏(𝐸) o espaço das
funções holomorfas limitadas nos limitados, i.e., ℋ𝑏(𝐸) := {𝑓 ∈ ℋ(𝐸) : sup
𝑥∈𝐵
|𝑓 (𝑥)| < ∞ para cada limitado 𝐵 ⊂ 𝐸}.
Segue de [12, p.157] que ℋ𝑏(𝐸) é um subconjunto próprio de ℋ(𝐸). É provado em [14] que o
conjunto ℋ(𝐸) ∖ ℋ𝑏(𝐸) é fortemente algebrável e espaçável. Ademais, é verificado que existe
Se a álgebra 𝒜 também possui uma estrutura topológica, é possível introduzir um conceito mais forte do que os já citados. A saber, se 𝒜 é uma álgebra topológica comutativa complexa, então um conjunto 𝐴 ⊂ 𝒜 é dito ser fortemente fechadamente algebrável se 𝐴 ∪ {0} contém uma subálgebra fechada ℬ de 𝒜 que, por sua vez, contém um conjunto de geradores infinito e algebricamente independente. Além disso, um conjunto 𝐴 ⊂ 𝒜 é dito ser fortemente densamente algebrável se 𝐴∪{0} contém uma subálgebra densa ℬ em 𝒜 que contém um conjunto de geradores infinito e algebricamente independente.
Como explicitado na última seção, esta tese objetiva estudar o conjunto ℰ (𝑈 ) (veja Defini-ção 1.1.7). Mais especificamente, verificaremos que inserido neste conjunto existem estruturas algébricas como aquelas mencionadas nesta seção; i.e., verificaremos, sob certas hipóteses, que o conjunto ℰ (𝑈 ) é c-lineável, espaçável, fortemente fechadamente algebrável e densamente forte-mente algebrável. De acordo com o caso a ser investigado, será necessário produzir construções diferentes em ℰ (𝑈 ), e para algumas construções precisaremos supor que 𝑈 seja conexo. Res-saltamos que o estudo de ℰ (𝑈 ) não ficará exclusivamente restrito ao caso no qual 𝑈 é um subconjunto aberto de um espaço de Banach, mas também veremos que o conjunto ℰ (𝑈 ) satis-faz as propriedades supracitadas sempre que 𝑈 for um aberto de um espaço 𝒟ℱ 𝒞. Para este último caso, apesar das construções serem similares, precisaremos de algumas particularidades inerentes aos espaços 𝒟ℱ 𝒞.
CAPÍTULO 2
ESTRUTURAS LINEARES NA TEORIA DE
DOMÍNIOS DE EXISTÊNCIA EM ESPAÇOS
DE BANACH
Neste capítulo começaremos a estudar o conjunto ℰ (𝑈 ) no que diz respeito a lineabilidade, algebrabilidade e espaçabilidade. Mais especificamente, nas Seções 2.1 e 2.2 focaremos o nosso estudo na procura de estruturas tipicamente algébricas, e provaremos assim que ℰ (𝑈 ) é lineável e fortemente algebrável. Já nas outras duas seções, Seções 2.3 e 2.4, consideraremos que a álgebra das funções holomorfas ℋ(𝑈 ) esteja munida com a topologia compacto-aberta, e com isso veremos que ℰ (𝑈 ) é espaçável, fortemente fechadamente algebrável e fortemente densamente algebrável. Ressaltamos que em todo este capítulo o conjunto 𝑈 é um subconjunto aberto de um espaço de Banach.
2.1
Lineabilidade
Iniciemos a seção com um lema que será de extrema importância no decorrer do capítulo. Lema 2.1.1. Sejam 𝐸 um espaço de Banach, 𝑈 um subconjunto aberto de 𝐸 e (𝑟𝑗)∞𝑗=0 uma
(𝑦𝑗)∞𝑗=1 uma sequência de pontos em 𝑈 tais que 𝑈 = ∞ ⋃︁ 𝑗=1 𝐴𝑗, 𝐴𝑗 ⊂ 𝐴𝑗+1, 𝑦𝑗 ̸∈(𝐴̂︂𝑗) ℋ(𝑈 ) e 𝑦𝑗 ∈ \(𝐴𝑗+1)ℋ(𝑈 )
para cada 𝑗 ∈ N. Então existe uma sequência de funções (𝑓𝑗)∞𝑗=1 em ℋ(𝑈 ) tal que
𝑓 := ∞ ∑︁ 𝑗=1 𝑓𝑗 ∈ ℋ(𝑈 ), sup 𝐵𝑗 |𝑓𝑗| ≤ 2−𝑗𝑟0 e |𝑓 (𝑦𝑗)| ≥ 𝑟𝑗
para cada 𝑗 ∈ N, onde 𝐵𝑗 :=(𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 ).
Demonstração. Como 𝑦𝑗 ̸∈ 𝐵𝑗 = (𝐵̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 ) para cada 𝑗 ∈ N, existe uma sequência (𝜓𝑗)∞𝑗=1 em
ℋ(𝑈 ) de modo que
lim
𝑛→∞sup𝐵
𝑗
|𝜓𝑗|𝑛= 0 e 𝑛→∞lim |𝜓𝑗(𝑦𝑗)|𝑛 = ∞ (2.1.1)
para cada 𝑗 ∈ N. Segue de (2.1.1) que existe 𝑛1 ∈ N tal que 𝑓1 := 𝜓1𝑛1 satisfaz
sup
𝐵1
|𝑓1| ≤ 2−1𝑟0 e |𝑓1(𝑦1)| ≥ 𝑟1+ 𝑟0.
Novamente usando (2.1.1), podemos encontrar 𝑛2 ∈ N tal que 𝑓2 := 𝜓2𝑛2 satisfaz
sup
𝐵2
|𝑓2| ≤ 2−2𝑟0 e |𝑓2(𝑦2)| ≥ 𝑟2 + 𝑟0+ |𝑓1(𝑦2)| .
Ainda por (2.1.1), existe 𝑛3 ∈ N tal que 𝑓3 := 𝜓3𝑛3 satisfaz
sup 𝐵3 |𝑓3| ≤ 2−3𝑟0 e |𝑓3(𝑦3)| ≥ 𝑟3+ 𝑟0+ ∑︁ 𝑖<3 |𝑓𝑖(𝑦3)| .
Prosseguindo com este argumento podemos recursivamente encontrar uma sequência (𝑓𝑗)∞𝑗=1 em
ℋ(𝑈 ) tal que sup 𝐵𝑗 |𝑓𝑗| ≤ 2−𝑗𝑟0 e |𝑓𝑗(𝑦𝑗)| ≥ 𝑟𝑗+ 𝑟0+ ∑︁ 𝑖<𝑗 |𝑓𝑖(𝑦𝑗)| (2.1.2)
para cada 𝑗 ∈ N. Daí, segue que a série ∑︀∞
𝑗=1𝑓𝑗 converge uniformemente em cada subconjunto
|𝑓 (𝑦𝑗)| = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∞ ∑︁ 𝑖=1 𝑓𝑖(𝑦𝑗) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ≥ |𝑓𝑗(𝑦𝑗)| − ∑︁ 𝑖<𝑗 |𝑓𝑖(𝑦𝑗)| − 𝑟0 (2.1.3)
para cada 𝑗 ∈ N, concluímos pelas desigualdades (2.1.2) e (2.1.3) que |𝑓 (𝑦𝑗)| ≥ 𝑟𝑗 para cada
𝑗 ∈ N.
A demonstração do último lema foi inspirada na demonstração de [16, Theorem 11.4]. Teorema 2.1.2. Seja 𝐸 um espaço de Banach separável, e seja 𝑈 um domínio de existência em 𝐸. Se 𝐷 é um subconjunto denso e enumerável de 𝑈 , então o conjunto
ℱ (𝑈 ) := {︃ 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) : sup 𝑧∈𝐵(𝑥) |𝑓 (𝑧)| = ∞ para todo 𝑥 ∈ 𝐷 }︃ é lineável.
Demonstração. A demonstração consiste na construção de uma sequência linearmente indepen-dente (𝑓𝑘)∞𝑘=1 em ℱ (𝑈 ) de maneira que o conjunto ℱ (𝑈 ) ∪ {0} contenha o subespaço gerado
por (𝑓𝑘)∞𝑘=1. Seja (𝑥𝑗)∞𝑗=1 uma sequência em 𝐷 na qual cada ponto de 𝐷 aparece infinitas vezes.
Visto que 𝑈 é um domínio de existência em 𝐸, segue pelo Teorema 1.1.5 que 𝑈 é a união de conjuntos abertos 𝐴𝑗 tais que
𝐴𝑗 ⊂ 𝐴𝑗+1 e 𝑑𝑈((𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 )) > 0
para cada 𝑗 ∈ N. Seja 𝐵𝑗 := (𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 ) para cada 𝑗 ∈ N, e relembre que 𝐵(𝑥) := 𝐵(𝑥, 𝑑𝑈(𝑥)).
Note que 𝐵(𝑥) ̸⊂ 𝐵𝑗 para cada 𝑥 ∈ 𝐷 e cada 𝑗 ∈ N. Desse modo, após substituir (𝐵𝑗)∞𝑗=1 por
uma subsequência conveniente, podemos encontrar uma sequência (𝑦𝑗)∞𝑗=1 em 𝑈 tal que
𝑦𝑗 ∈ 𝐵(𝑥𝑗), 𝑦𝑗 ̸∈ 𝐵𝑗 e 𝑦𝑗 ∈ 𝐵𝑗+1
para cada 𝑗 ∈ N. Logo, pelo Lema 2.1.1 podemos encontrar uma função 𝑓1 ∈ ℋ(𝑈 ) tal que
|𝑓1(𝑦𝑗)| ≥ 𝑗
para todo 𝑗 ∈ N. Novamente pelo Lema 2.1.1, conseguimos uma função 𝑓2 ∈ ℋ(𝑈 ) tal que
para cada 𝑗 ∈ N. Ainda pelo Lema 2.1.1, obtemos uma função 𝑓3 ∈ ℋ(𝑈 ) tal que |𝑓3(𝑦𝑗)| ≥ 𝑗 (︃ 1 +∑︁ 𝑖<3 |𝑓𝑖(𝑦𝑗)| )︃
para cada 𝑗 ∈ N. Prosseguindo com este argumento, podemos recursivamente construir uma sequência (𝑓𝑘)∞𝑘=1 em ℋ(𝑈 ) tal que
|𝑓1(𝑦𝑗)| ≥ 𝑗 e |𝑓𝑘(𝑦𝑗)| ≥ 𝑗 ⎛ ⎝1 + ∑︁ 𝑖<𝑘 |𝑓𝑖(𝑦𝑗)| ⎞ ⎠ (2.1.4)
para cada 𝑘 ∈ N ∖ {1} e cada 𝑗 ∈ N.
Afirmamos que a sequência (𝑓𝑘)∞𝑘=1 satisfaz o desejado. De fato, primeiro provemos que
ℱ (𝑈 ) ∪ {0} contém o subespaço gerado por (𝑓𝑘)∞𝑘=1. Seja
𝑓 := 𝜆1𝑓1+ · · · + 𝜆𝑛𝑓𝑛,
onde 𝜆1, . . . , 𝜆𝑛∈ C, 𝜆𝑛 ̸= 0 e 𝑛 ∈ N. Relembremos que cada ponto de 𝐷 aparece na sequência
(𝑥𝑗)∞𝑗=1 infinitas vezes. Assim, visto que 𝑦𝑗 ∈ 𝐵(𝑥𝑗) para cada 𝑗 ∈ N, segue que a condição
lim
𝑗→∞|𝑓 (𝑦𝑗)| = ∞ (2.1.5)
implica que 𝑓 é uma função ilimitada em 𝐵(𝑥) para cada 𝑥 ∈ 𝐷. Desse modo, é suficiente verificar que 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) satisfaz a Propriedade (2.1.5). Para isso, constate inicialmente que
|𝑓 (𝑦𝑗)| = |𝜆1𝑓1(𝑦𝑗) + · · · + 𝜆𝑛𝑓𝑛(𝑦𝑗)|
≥ |𝜆𝑛𝑓𝑛(𝑦𝑗)| − ∑︁
𝑖<𝑛
|𝜆𝑖𝑓𝑖(𝑦𝑗)|
para cada 𝑗 ∈ N. Segue daí e de (2.1.4) que
|𝑓 (𝑦𝑗)| ≥ 𝑗|𝜆𝑛| (︃ 1 +∑︁ 𝑖<𝑛 |𝑓𝑖(𝑦𝑗)| )︃ −∑︁ 𝑖<𝑛 |𝜆𝑖𝑓𝑖(𝑦𝑗)| = 𝑗|𝜆𝑛| + ∑︁ 𝑖<𝑛 (𝑗 |𝜆𝑛| − |𝜆𝑖|) |𝑓𝑖(𝑦𝑗)|
lim𝑗→∞|𝑓 (𝑦𝑗)| = ∞.
Provemos agora que (𝑓𝑘)∞𝑘=1 é uma sequência linearmente independente. Seja
𝜆1𝑓1 + · · · + 𝜆𝑛𝑓𝑛 = 0,
onde 𝜆1, . . . , 𝜆𝑛 ∈ C e 𝑛 ∈ N. Suponha, por absurdo, que 𝜆𝑛 ̸= 0. Se repetirmos o argumento
fornecido no parágrafo anterior, então teremos
0 = |𝜆1𝑓1(𝑦𝑗) + · · · + 𝜆𝑛𝑓𝑛(𝑦𝑗)| ≥ 𝑗|𝜆𝑛|
para 𝑗 suficientemente grande, o que é um absurdo. Logo devemos ter 𝜆𝑛= 0. Suponha agora
que 𝜆𝑛−1 ̸= 0. Assim, pelo mesmo argumento, obtemos
0 = |𝜆1𝑓1(𝑦𝑗) + · · · + 𝜆𝑛−1𝑓𝑛−1(𝑦𝑗)| ≥ 𝑗|𝜆𝑛−1|
para 𝑗 suficientemente grande, o que mais uma vez é uma contradição. Portanto devemos ter 𝜆𝑛−1= 0. Prosseguindo, obtemos 𝜆1 = · · · = 𝜆𝑛= 0.
Observação 2.1.3. A demonstração do último resultado poderia ter sido produzida de ma-neira bem mais simples, sendo para isto suficiente utilizar a Proposição 2.3.7, a qual não exige nenhum requisito adicional para o entendimento de sua demonstração. No entanto preferimos usar a demonstração acima pois as ideias nela envolvidas ajudarão a melhor compreensão da demonstração do Teorema 2.1.5, o qual constituirá um melhoramento do Teorema 2.1.2. Teorema 2.1.4. Seja 𝐸 um espaço de Banach separável, e seja 𝑈 um domínio de existência em 𝐸. Então o conjunto ℰ (𝑈 ) é lineável.
Demonstração. Pelo Lema 1.1.11 ℱ (𝑈 ) ⊂ ℰ (𝑈 ), e portanto o Teorema 2.1.4 segue do Teorema 2.1.2.
Fecharemos a seção com dois teoremas, os quais nos dirão que ℰ (𝑈 ) é c-lineável.
Teorema 2.1.5. Seja 𝐸 um espaço de Banach separável, e seja 𝑈 um domínio de existência em 𝐸. Se (𝑥𝑗)∞𝑗=1 é uma sequência densa de 𝑈 , então o conjunto
ℱ (𝑈 ) := {︃ 𝑔 ∈ ℋ(𝑈 ) : sup 𝑧∈𝐵(𝑥𝑗) |𝑔(𝑧)| = ∞ para todo 𝑗 ∈ N }︃ é c-lineável.
Demonstração. Como citado no Exemplo 1.2.1, ℓ2 ∖ ℓ1 é lineável. Seja Λ um subespaço
c-dimensional de ℓ2 tal que Λ ⊂ (ℓ2 ∖ ℓ1) ∪ {0}. A demonstração reside na construção de uma
sequência (𝑔𝑘)∞𝑘=1 em ℋ(𝑈 ) tal que
𝐻 := {︃∞ ∑︁ 𝑘=1 𝜆𝑘𝑔𝑘 : (𝜆𝑘)∞𝑘=1 ∈ Λ }︃
satisfaz as seguintes condições:
(𝑖) 𝐻 é um subespaço c-dimensional de ℋ(𝑈 ). (𝑖𝑖) 𝐻 ⊂ ℱ (𝑈 ) ∪ {0}.
Iniciemos a demonstração com a construção da sequência (𝑔𝑘)∞𝑘=1 supramencionada. Visto
que 𝑈 é um domínio de existência em 𝐸, segue do Teorema 1.1.5 que 𝑈 compõe-se da união de conjuntos abertos 𝐴𝑗 tais que
𝐴𝑗 ⊂ 𝐴𝑗+1 e 𝑑𝑈((𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 )) > 0
para cada 𝑗 ∈ N. Defina 𝐵𝑗 :=(𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 ) para cada 𝑗 ∈ N. Como 𝐵(𝑥𝑗) ̸⊂ 𝐵𝑘 para cada 𝑗 ∈ N e
cada 𝑘 ∈ N, podemos encontrar uma subsequência (𝐵1,𝑗)∞𝑗=1de (𝐵𝑗)∞𝑗=1e uma sequência (𝑦1,𝑗)∞𝑗=1
em 𝑈 tais que
𝑦1,𝑗 ∈ 𝐵(𝑥𝑗), 𝑦1,𝑗 ̸∈ 𝐵1,𝑗 e 𝑦1,𝑗 ∈ 𝐵1,𝑗+1
para cada 𝑗 ∈ N. Segue do Lema 2.1.1 que existe uma sequência (𝑔1,𝑗)∞𝑗=1 em ℋ(𝑈 ) tal que
𝑔1 := ∞ ∑︁ 𝑗=1 𝑔1,𝑗 ∈ ℋ(𝑈 ), sup 𝐵1,𝑗 |𝑔1,𝑗| ≤ 2−𝑗−1 e |𝑔1(𝑦1,𝑗)| ≥ 1
para cada 𝑗 ∈ N. Outrossim, visto que 𝐵(𝑥𝑗) ̸⊂ 𝐵1,𝑘 para cada 𝑗 ∈ N e cada 𝑘 ∈ N, podemos
encontrar uma subsequência (𝐵2,𝑗)∞𝑗=1 de (𝐵1,𝑗)∞𝑗=1 e uma sequência (𝑦2,𝑗)∞𝑗=1 em 𝑈 tais que
𝐵1,2 ⊂ 𝐵2,1, 𝑦2,𝑗 ∈ 𝐵(𝑥𝑗), 𝑦2,𝑗 ̸∈ 𝐵2,𝑗 e 𝑦2,𝑗 ∈ 𝐵2,𝑗+1
para cada 𝑗 ∈ N. Assim, novamente pelo Lema 2.1.1, conseguimos uma sequência (𝑔2,𝑗)∞𝑗=1 em
ℋ(𝑈 ) tal que 𝑔2 := ∞ ∑︁ 𝑗=1 𝑔2,𝑗 ∈ ℋ(𝑈 ), sup 𝐵2,𝑗 |𝑔2,𝑗| ≤ 2−𝑗−2 e |𝑔2(𝑦2,𝑗)| ≥ 22(1 + |𝑔1(𝑦2,𝑗)|)
de (𝐵𝑘−1,𝑗)∞𝑗=1, uma sequência (𝑦𝑘,𝑗)∞𝑗=1 em 𝑈 e uma sequência (𝑔𝑘,𝑗)∞𝑗=1 em ℋ(𝑈 ) tais que 𝐵𝑘−1,𝑘 ⊂ 𝐵𝑘,1, 𝑦𝑘,𝑗 ∈ 𝐵(𝑥𝑗), 𝑦𝑘,𝑗 ̸∈ 𝐵𝑘,𝑗, 𝑦𝑘,𝑗 ∈ 𝐵𝑘,𝑗+1, (2.1.6) 𝑔𝑘 := ∞ ∑︁ 𝑗=1 𝑔𝑘,𝑗 ∈ ℋ(𝑈 ), sup 𝐵𝑘,𝑗 |𝑔𝑘,𝑗| ≤ 2−𝑗−𝑘 (2.1.7) e |𝑔𝑘(𝑦𝑘,𝑗)| ≥ 𝑘2 ⎛ ⎝1 + ∑︁ 𝑖<𝑘 |𝑔𝑖(𝑦𝑘,𝑗)| ⎞ ⎠ (2.1.8)
para cada 𝑘 ∈ N ∖ {1} e cada 𝑗 ∈ N.
Afirmamos que a sequência (𝑔𝑘)∞𝑘=1 satisfaz o desejado. Para mostrar isto, vejamos
inicial-mente que
∞
∑︁
𝑘=1
𝜆𝑘𝑔𝑘∈ ℋ(𝑈 ) sempre que (𝜆𝑘)∞𝑘=1 ∈ Λ.
Devido a (𝐵𝑘,1)∞𝑘=1 ser uma subsequência de (𝐵𝑗)∞𝑗=1, é suficiente mostrar que a sequência (︃ 𝜆1𝑔1, 𝜆1𝑔1+ 𝜆2𝑔2, . . . , 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝜆𝑘𝑔𝑘, . . . )︃
converge uniformemente em 𝐵𝑝,1 para cada 𝑝 ∈ N. Ora, se 𝑧 ∈ 𝐵𝑝,1, então
|𝜆𝑖𝑔𝑖(𝑧)| ≤ ∞ ∑︁ 𝑗=1 |𝜆𝑖𝑔𝑖,𝑗(𝑧)| ≤ ∞ ∑︁ 𝑗=1 |𝜆𝑖|2−𝑖−𝑗 = |𝜆𝑖|2−𝑖
para cada 𝑖 ≥ 𝑝, e o resultado almejado segue pelo teste de Weierstrass, pois (𝜆𝑖)∞𝑖=1∈ Λ ⊂ ℓ2.
Portanto 𝐻 é um subespaço de ℋ(𝑈 ).
Provemos agora que ℱ (𝑈 ) ∪ {0} contém o subespaço 𝐻. Seja
𝑔 :=
∞
∑︁
𝑘=1
onde (𝛼𝑘)∞𝑘=1 ∈ Λ ∖ {0} ⊂ ℓ2∖ ℓ1. Visto que
(𝛼𝑚)∞𝑚=1 ̸∈ ℓ1 e (1/𝑚2)∞𝑚=1 ∈ ℓ1,
segue que
(𝛼𝑚𝑚2)∞𝑚=1 ̸∈ ℓ∞.
Logo existe uma subsequência (𝛼𝑚𝑖)
∞ 𝑖=1 de (𝛼𝑚)∞𝑚=1 tal que lim 𝑖→∞|𝛼𝑚𝑖|𝑚 2 𝑖 = ∞. (2.1.9)
Fixe arbitrariamente 𝑗 ∈ N, e note que
𝐵𝑚,𝑗 ⊂ 𝐵𝑚,𝑚+1 ⊂ 𝐵𝑚+1,1 (2.1.10)
para cada 𝑚 > 𝑗. Seja (𝛼𝑚𝑖)
∞
𝑖=1 a subsequência definida em (2.1.9), e seja 𝑖0 ∈ N tal que 𝑚𝑖 > 𝑗
sempre que 𝑖 > 𝑖0. Desse modo, ao aplicar as Propriedades (2.1.6), (2.1.7) e (2.1.10), obtemos
|𝑔(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| ≥ |𝛼𝑚𝑖𝑔𝑚𝑖(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ∑︁ 𝑘<𝑚𝑖 |𝛼𝑘𝑔𝑘(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ∑︁ 𝑘>𝑚𝑖 |𝛼𝑘𝑔𝑘(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| ≥ |𝛼𝑚𝑖𝑔𝑚𝑖(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ∑︁ 𝑘<𝑚𝑖 |𝛼𝑘𝑔𝑘(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ∑︁ 𝑘>𝑚𝑖 (︃ |𝛼𝑘| ∞ ∑︁ 𝑡=1 |𝑔𝑘,𝑡(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| )︃ ≥ |𝛼𝑚𝑖𝑔𝑚𝑖(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ∑︁ 𝑘<𝑚𝑖 |𝛼𝑘𝑔𝑘(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ∑︁ 𝑘>𝑚𝑖 (︃ |𝛼𝑘| ∞ ∑︁ 𝑡=1 2−𝑘−𝑡 )︃ = |𝛼𝑚𝑖𝑔𝑚𝑖(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ∑︁ 𝑘<𝑚𝑖 |𝛼𝑘𝑔𝑘(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ∑︁ 𝑘>𝑚𝑖 2−𝑘|𝛼𝑘| ≥ |𝛼𝑚𝑖𝑔𝑚𝑖(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ∑︁ 𝑘<𝑚𝑖 |𝛼𝑘𝑔𝑘(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ‖(2 −𝑘 𝛼𝑘)∞𝑘=1‖1
|𝑔(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| ≥ |𝛼𝑚𝑖𝑔𝑚𝑖(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ∑︁ 𝑘<𝑚𝑖 |𝛼𝑘𝑔𝑘(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ‖(2 −𝑘 𝛼𝑘)∞𝑘=1‖1 ≥ |𝛼𝑚𝑖|𝑚 2 𝑖 ⎛ ⎝1 + ∑︁ 𝑘<𝑚𝑖 |𝑔𝑘(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| ⎞ ⎠− ∑︁ 𝑘<𝑚𝑖 |𝛼𝑘𝑔𝑘(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ‖(2 −𝑘 𝛼𝑘)∞𝑘=1‖1 ≥ |𝛼𝑚𝑖|𝑚 2 𝑖 ⎛ ⎝1 + ∑︁ 𝑘<𝑚𝑖 |𝑔𝑘(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| ⎞ ⎠− sup 𝑘 |𝛼𝑘| ∑︁ 𝑘<𝑚𝑖 |𝑔𝑘(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ‖(2 −𝑘 𝛼𝑘)∞𝑘=1‖1 = |𝛼𝑚𝑖|𝑚 2 𝑖 + (︃ |𝛼𝑚𝑖|𝑚 2 𝑖 − sup 𝑘 |𝛼𝑘| )︃ ∑︁ 𝑘<𝑚𝑖 |𝑔𝑘(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| − ‖(2 −𝑘 𝛼𝑘)∞𝑘=1‖1
para cada 𝑖 > 𝑖0. Desse modo, segue de (2.1.9) que
|𝑔(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| ≥ |𝛼𝑚𝑖|𝑚
2
𝑖 − ‖(2
−𝑘
𝛼𝑘)∞𝑘=1‖1
para 𝑖 suficientemente grande. Assim, novamente por (2.1.9), obtemos lim𝑖→∞|𝑔(𝑦𝑚𝑖,𝑗)| = ∞. Visto que 𝑦𝑚𝑖,𝑗 ∈ 𝐵(𝑥𝑗) para cada 𝑖, segue que 𝑔 é uma função ilimitada em 𝐵(𝑥𝑗). Mas como 𝑗 ∈ N foi fixado arbitrariamente, concluímos que 𝑔 ∈ ℱ(𝑈 ).
O subespaço 𝐻 é c-dimensional, pois a transformação linear 𝑇 : Λ → ℋ(𝑈 ), dada por
𝑇 ((𝜆𝑘)∞𝑘=1) :=
∞
∑︁
𝑘=1
𝜆𝑘𝑔𝑘,
é injetiva e 𝑇 (Λ) = 𝐻. De fato, verifiquemos a primeira afirmação: Seja (𝛼1,𝑘)∞𝑘=1 ̸= (𝛼2,𝑘)∞𝑘=1
em Λ. Devido a (𝛼1,𝑘−𝛼2,𝑘)∞𝑘=1 ∈ ℓ2∖ℓ1, podemos encontrar uma subsequência (𝛼1,𝑚𝑖−𝛼2,𝑚𝑖)
∞ 𝑖=1 de (𝛼1,𝑚− 𝛼2,𝑚)∞𝑚=1 tal que lim 𝑖→∞|𝛼1,𝑚𝑖 − 𝛼2,𝑚𝑖|𝑚 2 𝑖 = ∞.
Logo, por um argumento utilizado no parágrafo precedente, obtemos
|𝑇 ((𝛼1,𝑘)∞𝑘=1)(𝑦𝑚𝑖,1) − 𝑇 ((𝛼2,𝑘) ∞ 𝑘=1)(𝑦𝑚𝑖,1)| ≥ |𝛼1,𝑚𝑖 − 𝛼2,𝑚𝑖|𝑚 2 𝑖 − ‖(2 −𝑘 (𝛼1,𝑘 − 𝛼2,𝑘))∞𝑘=1‖1
para 𝑖 suficientemente grande, e portanto 𝑇 é injetiva.
Teorema 2.1.6. Seja 𝐸 um espaço de Banach separável, e seja 𝑈 um domínio de existência em 𝐸. Então o conjunto ℰ (𝑈 ) é c-lineável.
Demonstração. Pelo Lema 1.1.11, ℱ (𝑈 ) ⊂ ℰ(𝑈 ), e portanto o Teorema 2.1.6 segue do Teorema 2.1.5.
2.2
Algebrabilidade forte
Proposição 2.2.1. Seja 𝑋 um conjunto arbitrário, e seja 𝒜 uma álgebra de funções 𝑓 : 𝑋 → C. Se existem uma sequência (𝑓𝑛)∞𝑛=1 em 𝒜 e uma sequência (𝑥𝑘)∞𝑘=1 em 𝑋 tais que
|𝑓1(𝑥𝑘)| ≥ 𝑘 e |𝑓𝑛(𝑥𝑘)| ≥ ∏︁ 𝑚<𝑛
|𝑓𝑚(𝑥𝑘)|𝑘 (2.2.1)
para cada 𝑛 ∈ N ∖ {1} e 𝑘 ∈ N, então (𝑓𝑛)∞𝑛=1 é um conjunto infinito e algebricamente
indepen-dente. Mais ainda, se a função 𝑔 é uma combinação algébrica não trivial da sequência (𝑓𝑛)∞𝑛=1,
então lim𝑘→∞|𝑔(𝑥𝑘)| = ∞.
Demonstração. Seja 𝑔 uma combinação algébrica não trivial da sequência (𝑓𝑛)∞𝑛=1:
𝑔 = 𝑚 ∑︁ 𝑛=1 𝑔𝑛, onde 𝑔𝑛 = 𝜆𝑛 𝑝 ∏︁ 𝑖=1 𝑓𝛼𝑛𝑖 𝑖 .
Suponhamos 𝑚 ∈ N, 𝑝 ∈ N, 𝜆𝑛∈ C ∖ {0}, 𝛼𝑛𝑖∈ N ∪ {0} e para cada 𝑛 existe 𝑖 tal que 𝛼𝑛𝑖 ̸= 0.
Por convenção 𝑓0
𝑖 = 1 para cada 𝑖 ∈ N. Podemos também supor que 𝑔1 < 𝑔2 < · · · < 𝑔𝑚
com a seguinte ordem: 𝑔𝑛 < 𝑔𝑛′ se existe 𝑗 ∈ {1, . . . , 𝑝} tal que 𝛼𝑛𝑗 < 𝛼𝑛′𝑗 e 𝛼𝑛𝑖 = 𝛼𝑛′𝑖 para
𝑖 ∈ {𝑗 + 1, . . . , 𝑝}. Por exemplo, a função
𝜆1𝑓32+ 𝜆2𝑓1𝑓3+ 𝜆3𝑓1𝑓32+ 𝜆4𝑓2
seria reescrita como
𝜆4𝑓10𝑓2𝑓30+ 𝜆2𝑓1𝑓20𝑓3+ 𝜆1𝑓10𝑓 0 2𝑓 2 3 + 𝜆3𝑓1𝑓20𝑓 2 3.
Observemos que a Propriedade (2.2.1) implica que |𝑓𝑛(𝑥𝑘)| ≥ 1 para todos 𝑛, 𝑘 ∈ N e
também lim𝑘→∞|𝑓𝑛(𝑥𝑘)| = ∞. Calculemos o seguinte quociente:
𝑔(𝑥𝑘) ∏︀𝑝 𝑖=1𝑓𝑖(𝑥𝑘)𝛼𝑚𝑖 = 𝑚−1 ∑︁ 𝑛=1 (︃ 𝜆𝑛 ∏︀𝑝 𝑖=1𝑓𝑖(𝑥𝑘)𝛼𝑛𝑖 ∏︀𝑝 𝑖=1𝑓𝑖(𝑥𝑘)𝛼𝑚𝑖 )︃ + 𝜆𝑚.
Sejam 𝛾 = max{𝛼𝑛𝑖 : 1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝} e 1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑚 − 1. Como 𝑔𝑛 < 𝑔𝑚, existe
∏︀𝑝 𝑖=1|𝑓𝑖(𝑥𝑘)|𝛼𝑛𝑖 ∏︀𝑝 𝑖=1|𝑓𝑖(𝑥𝑘)|𝛼𝑚𝑖 = ∏︀𝑗−1 𝑖=1|𝑓𝑖(𝑥𝑘)|𝛼𝑛𝑖 ∏︀𝑗−1 𝑖=1|𝑓𝑖(𝑥𝑘)|𝛼𝑚𝑖 · |𝑓𝑗(𝑥𝑘)| 𝛼𝑛𝑗 |𝑓𝑗(𝑥𝑘)|𝛼𝑚𝑗 ≤ 𝑗−1 ∏︁ 𝑖=1 |𝑓𝑖(𝑥𝑘)|𝛼𝑛𝑖 · 1 |𝑓𝑗(𝑥𝑘)| ≤ ⎛ ⎝ 𝑗−1 ∏︁ 𝑖=1 |𝑓𝑖(𝑥𝑘)| ⎞ ⎠ 𝛾 · 1 |𝑓𝑗(𝑥𝑘)| . Por (2.2.1), ∏︀𝑝 𝑖=1|𝑓𝑖(𝑥𝑘)|𝛼𝑛𝑖 ∏︀𝑝 𝑖=1|𝑓𝑖(𝑥𝑘)|𝛼𝑚𝑖 ≤ |𝑓𝑗(𝑥𝑘)| 𝛾 𝑘 · 1 |𝑓𝑗(𝑥𝑘)| = 1 |𝑓𝑗(𝑥𝑘)|1− 𝛾 𝑘 𝑘→∞ → 0.
Isto prova que
lim 𝑘→∞ 𝑔(𝑥𝑘) ∏︀𝑝 𝑖=1𝑓𝑖(𝑥𝑘)𝛼𝑚𝑖 = lim 𝑘→∞ 𝑚−1 ∑︁ 𝑛=1 (︃ 𝜆𝑛 ∏︀𝑝 𝑖=1𝑓𝑖(𝑥𝑘)𝛼𝑛𝑖 ∏︀𝑝 𝑖=1𝑓𝑖(𝑥𝑘)𝛼𝑚𝑖 )︃ + 𝜆𝑚 = 𝜆𝑚 ̸= 0. Como lim 𝑘→∞ 𝑝 ∏︁ 𝑖=1 |𝑓𝑖(𝑥𝑘)|𝛼𝑚𝑖 = ∞,
devemos também ter
lim
𝑘→∞|𝑔(𝑥𝑘)| = ∞.
Portanto, 𝑔 ̸= 0 e a sequência (𝑓𝑛)∞𝑛=1 é um conjunto algebricamente independente.
Teorema 2.2.2. Seja 𝐸 um espaço de Banach separável, e seja 𝑈 um domínio de existência em 𝐸. Se 𝐷 é um subconjunto denso e enumerável de 𝑈 , então
ℱ (𝑈 ) := {︃ 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) : sup 𝑧∈𝐵(𝑥) |𝑓 (𝑧)| = ∞ para todo 𝑥 ∈ 𝐷 }︃
é fortemente algebrável. Em particular, o conjunto ℱ (𝑈 ) é lineável.
Demonstração. Com o objetivo de mostrar o teorema, construiremos uma sequência (𝑓𝑘)∞𝑘=1
em ℱ (𝑈 ) e uma sequência (𝑦𝑘)∞𝑘=1 em 𝑈 de modo a satisfazerem a Propriedade (2.2.1). Para
Seja (𝑥𝑗)∞𝑗=1 uma sequência em 𝐷 na qual cada ponto de 𝐷 aparece infinitas vezes. Visto que 𝑈
é um domínio de existência em 𝐸, segue do Teorema 1.1.5 que 𝑈 é igual à união de conjuntos abertos 𝐴𝑗 tais que
𝐴𝑗 ⊂ 𝐴𝑗+1 e 𝑑𝑈((𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 )) > 0
para cada 𝑗 ∈ N. Defina 𝐵𝑗 := (𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 ) para cada 𝑗 ∈ N, e observe que 𝐵(𝑥) ̸⊂ 𝐵𝑗 para
cada 𝑥 ∈ 𝐷 e cada 𝑗 ∈ N. Assim, após substituir (𝐵𝑗)∞𝑗=1 por uma subsequência conveniente,
podemos encontrar uma sequência (𝑦𝑗)∞𝑗=1 em 𝑈 tal que
𝑦𝑗 ∈ 𝐵(𝑥𝑗), 𝑦𝑗 ̸∈ 𝐵𝑗 e 𝑦𝑗 ∈ 𝐵𝑗+1
para cada 𝑗 ∈ N. Logo, pelo Lema 2.1.1, podemos recursivamente construir uma sequência (𝑓𝑘)∞𝑘=1 em ℋ(𝑈 ) tal que |𝑓1(𝑦𝑗)| ≥ 𝑗 e |𝑓𝑘(𝑦𝑗)| ≥ ∏︁ 𝑖<𝑘 |𝑓𝑖(𝑦𝑗)| 𝑗 (2.2.2) para cada 𝑘 ∈ N ∖ {1} e cada 𝑗 ∈ N. Segue da Proposição 2.2.1 que
lim
𝑗→∞|𝑔(𝑦𝑗)| = ∞
sempre que 𝑔 for uma combinação algébrica não trivial da sequência (𝑓𝑘)∞𝑘=1. Visto que 𝑦𝑗 ∈
𝐵(𝑥𝑗) para cada 𝑗 ∈ N e na sequência (𝑥𝑗)∞𝑗=1 cada ponto de 𝐷 aparece infinitas vezes, segue
que 𝑔 ∈ ℱ (𝑈 ) sempre que 𝑔 for uma combinação algébrica não trivial da sequência (𝑓𝑘)∞𝑘=1.
Logo a álgebra gerada pela sequência (𝑓𝑘)∞𝑘=1 está contida em ℱ (𝑈 ) ∪ {0}. Ademais, ainda pela
Proposição 2.2.1, segue que o conjunto {𝑓𝑘}∞𝑘=1 é infinito e algebricamente independente.
Teorema 2.2.3. Seja 𝐸 um espaço de Banach separável, e seja 𝑈 um domínio de existência em 𝐸. Então o conjunto ℰ (𝑈 ) é fortemente algebrável. Em particular, o conjunto ℰ (𝑈 ) é lineável. Demonstração. Pelo Lema 1.1.11, ℱ (𝑈 ) ⊂ ℰ(𝑈 ), e portanto o Teorema 2.2.3 segue do Teorema 2.2.2.
2.3
Espaçabilidade e algebrabilidade fortemente fechada
Abrimos a seção com um resultado referente à interpolação de sequências via funções holo-morfas. Na demonstração deste resultado usaremos muitas das ideias fornecidas em [17, Section 2].
