Abrimos a seção com um resultado referente à interpolação de sequências via funções holo- morfas. Na demonstração deste resultado usaremos muitas das ideias fornecidas em [17, Section 2].
Proposição 2.3.1. Seja 𝐸 um espaço de Banach separável, e seja 𝑈 um domínio de existência em 𝐸. Então:
(𝑎) Para cada sequência (𝑥𝑛)∞𝑛=1de pontos distintos de 𝑈 que satisfaz lim𝑛→∞𝑑𝑈(𝑥𝑛) = 0, existe
uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) tal que lim
𝑛→∞|𝑓 (𝑥𝑛)| = ∞ e 𝑓 (𝑥𝑛) ̸= 𝑓 (𝑥𝑚)
sempre que 𝑛 ̸= 𝑚.
(𝑏) Para cada sequência (𝑥𝑛)∞𝑛=1 de pontos distintos de 𝑈 que satisfaz lim𝑛→∞𝑑𝑈(𝑥𝑛) = 0, e
cada sequência (𝛼𝑛)∞𝑛=1em C, existe uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑈) tal que 𝑓 (𝑥𝑛) = 𝛼𝑛para cada 𝑛 ∈ N.
Para provar a Proposição 2.3.1, precisaremos dos seguintes dois lemas.
Lema 2.3.2 (veja [17, Lema 2.2]). Seja 𝐸 uma espaço de Banach, e seja 𝑈 um subconjunto aberto em 𝐸. Para cada conjunto finito 𝐷 ⊂ 𝑈 ∖𝐵̂︀ℋ(𝑈 ) existe uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) tal que
|𝑓 (𝑦)| > sup
̂︀
𝐵ℋ(𝑈 )|𝑓 | para cada 𝑦 ∈ 𝐷.
Lema 2.3.3 (veja [1]). Seja (𝛽𝑛)∞𝑛=1 uma sequência de pontos distintos em C de modo que
lim𝑛→∞|𝛽𝑛| = ∞, e seja (𝛼𝑛)∞𝑛=1 uma sequência arbitrária em C. Então existe uma função
𝑓 ∈ ℋ(C) tal que 𝑓 (𝛽𝑛) = 𝛼𝑛 para cada 𝑛.
Demonstração da Proposição 2.3.1. Como a propriedade (𝑏) segue prontamente da propriedade (𝑎) e do Lema 2.3.3, é necessário apenas demonstrar a propriedade (𝑎). Pelo Teorema 1.1.5, 𝑈 compõe-se da união de conjuntos abertos 𝐴𝑗 tais que
𝐴𝑗 ⊂ 𝐴𝑗+1 e 𝑑𝑈((𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 )) > 0
para cada 𝑗. Seja (𝑥𝑛)∞𝑛=1 uma sequência de pontos distintos de 𝑈 tal que lim𝑛→∞𝑑𝑈(𝑥𝑛) =
0. Defina 𝐵𝑗 := (𝐴̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 ) para cada 𝑗 ∈ N. Desse modo, após substituir (𝐵𝑗) ∞
𝑗=1 por uma
subsequência conveniente, obtemos que
𝐷𝑗 := {𝑥𝑛: 𝑛 ∈ N} ∩ (𝐵𝑗+1∖ 𝐵𝑗)
é um subconjunto finito e não-vazio de 𝑈 ∖ 𝐵𝑗 para cada 𝑗 ∈ N. Portanto, pelo Lema 2.3.2,
podemos encontrar 𝜙𝑗 ∈ ℋ(𝑈 ) tal que
|𝜙𝑗(𝑦)| > 1 > sup 𝐵𝑗
para cada 𝑦 ∈ 𝐷𝑗 e cada 𝑗 ∈ N. Daí,
lim
𝑛→∞sup𝐵
𝑗
|𝜙𝑗|𝑛= 0 e 𝑛→∞lim |𝜙𝑗(𝑦)|𝑛 = ∞ (2.3.1)
para cada 𝑦 ∈ 𝐷𝑗 e cada 𝑗 ∈ N. Assim, segue de (2.3.1) que existe 𝑛1 ∈ N tal que 𝑔1 := 𝜙𝑛11
satisfaz
sup
𝐵1
|𝑔1| ≤ 2−1 e |𝑔1(𝑦)| ≥ 2 + ‖𝑦‖2
para cada 𝑦 ∈ 𝐷1. Novamente por (2.3.1), podemos encontrar 𝑛2 ∈ N tal que 𝑔2 := 𝜙𝑛22 satisfaz
sup
𝐵2
|𝑔2| ≤ 2−2 e |𝑔2(𝑦)| ≥ 3 + ‖𝑦‖2+ |𝑔1(𝑦)|
para cada 𝑦 ∈ 𝐷2. Se aplicarmos (2.3.1) mais uma vez, então podemos encontrar 𝑛3 ∈ N tal
que 𝑔3 := 𝜙𝑛33 satisfaz sup 𝐵3 |𝑔3| ≤ 2−3 e |𝑔3(𝑦)| ≥ 4 + ‖𝑦‖2+ ∑︁ 𝑖<3 |𝑔𝑖(𝑦)|
para cada 𝑦 ∈ 𝐷3. Logo, obtemos uma sequência (𝑔𝑗)∞𝑗=1 em ℋ(𝑈 ) tal que
sup 𝐵𝑗 |𝑔𝑗| ≤ 2−𝑗 e |𝑔𝑗(𝑦)| ≥ 𝑗 + 1 + ‖𝑦‖2+ ∑︁ 𝑖<𝑗 |𝑔𝑖(𝑦)| (2.3.2)
para cada 𝑦 ∈ 𝐷𝑗 e cada 𝑗 ∈ N. Assim, concluímos que a série∑︀∞𝑖=1𝑔𝑖 converge uniformemente
em cada subconjunto 𝐵𝑗 para uma função 𝑔 ∈ ℋ(𝑈 ). Além disso, temos
|𝑔(𝑦)| = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∞ ∑︁ 𝑖=1 𝑔𝑖(𝑦) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ≥ |𝑔𝑗(𝑦)| − ∑︁ 𝑖<𝑗 |𝑔𝑖(𝑦)| − 1 (2.3.3)
para cada 𝑦 ∈ 𝐷𝑗 e cada 𝑗 ∈ N. Segue das desigualdades (2.3.2) e (2.3.3) que
|𝑔(𝑦)| ≥ 𝑗 + ‖𝑦‖2
para cada 𝑦 ∈ 𝐷𝑗 e cada 𝑗 ∈ N. Usaremos agora um argumento devido a Hervier [13], o qual
𝑉𝑛𝑚 := {𝜑 ∈ 𝐸′ : 𝜑(𝑥𝑛) − 𝜑(𝑥𝑚) ̸= 𝑔(𝑥𝑛) − 𝑔(𝑥𝑚)}
é aberto e denso em 𝐸′. Segue pelo teorema de Baire que existe 𝜑 ∈⋂︀
𝑛̸=𝑚𝑉𝑛𝑚. Afirmamos que
𝑓 = 𝑔 − 𝜑 satisfaz a Propriedade (𝑎). Com efeito, 𝑓 (𝑥𝑛) − 𝑓 (𝑥𝑚) ̸= 0 e fixado 𝑗 ∈ N,
|𝑓 (𝑥𝑛)| ≥ |𝑔(𝑥𝑛)| − |𝜑(𝑥𝑛)|
≥ 𝑗 + ‖𝑥𝑛‖2− ‖𝜑‖‖𝑥𝑛‖
= 𝑗 + (‖𝑥𝑛‖ − ‖𝜑‖/2)2− ‖𝜑‖2/4
≥ 𝑗 − ‖𝜑‖2/4
sempre que 𝑥𝑛∈⋃︀∞𝑖=𝑗𝐷𝑖. Fixe 𝐶 > 0. Sejam 𝑗0 e 𝑛0 números naturais tais que
𝑗0 ≥ 𝐶 + ‖𝜑‖2/4 e 𝑥𝑛 ∈
∞
⋃︁
𝑖=𝑗0 𝐷𝑖
sempre que 𝑛 ≥ 𝑛0, o que é possível pois 𝐷𝑗 é finito para cada 𝑗 ∈ N. Segue que |𝑓 (𝑥𝑛)| ≥ 𝐶
sempre que 𝑛 ≥ 𝑛0, e portanto lim𝑛→∞|𝑓 (𝑥𝑛)| = ∞.
Relembre que um subconjunto 𝐿 de um espaço localmente convexo 𝐸 é dito ser localmente determinante em zero quando para cada vizinhança aberta e conexa 𝑈 de zero e cada 𝑓 ∈ 𝐻(𝑈 ), se 𝑓 = 0 em 𝑈 ∩ 𝐿, então 𝑓 = 0 em 𝑈 .
Se 𝑈 ⊂ C é uma vizinhança aberta e conexa de zero, então sabemos que qualquer sequência em 𝑈 que converge a zero é localmente determinante em zero. No entanto, este resultado não é verdadeiro para dimensões maiores do que um. Com efeito, basta considerar a função holomorfa 𝑓 : C2 → C definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦, e notar que 𝑓(𝑥, 0) = 0 ̸= 𝑓(1, 1) para qualquer 𝑥 ∈ C.
Apesar do resultado não funcionar para dimensões maiores, o seguinte resultado devido a J. M. Ansemil e S. Dineen é verdadeiro:
Teorema 2.3.4 (veja [4]). Seja 𝐸 um espaço localmente convexo metrizável e separável, e seja 𝐿 um conjunto localmente determinante em zero. Então 𝐿 contém uma sequência que converge a zero que é localmente determinante em zero.
Com este resultado em mãos, podemos agora demonstrar uma proposição que exercerá papel crucial na construção de um espaço vetorial fechado em ℰ (𝑈 ) ∪ {0}.
Proposição 2.3.5. Seja 𝐸 um espaço de Banach separável, e seja 𝑊 um subconjunto aberto de 𝐸. Se 𝑎 ∈ 𝜕𝑊 e 𝛿 > 0, então existe uma sequência (𝑥𝑝)∞𝑝=1 em 𝑊 tal que
(𝑎) sup𝑝∈N‖𝑎 − 𝑥𝑝‖ < 𝛿 e lim𝑝→∞𝑥𝑝 = 𝑎.
(𝑏) Se 𝑈 é um subconjunto aberto e conexo de 𝐸 tal que 𝑎 ∈ 𝑈 e 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) satisfaz 𝑓 (𝑥𝑝) = 0
sempre que 𝑥𝑝 ∈ 𝑈 , então 𝑓 = 0.
Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos supor que 𝑎 = 0 ∈ 𝜕𝑊 . Se 𝑈 é uma vizinhança aberta e conexa de zero, então 𝑈 ∩ 𝐵(0; 𝛿/2) ∩ 𝑊 é um subconjunto não-vazio. Pelo teorema da Identidade, se 𝑓 ∈ 𝐻(𝑈 ) e 𝑓 = 0 em 𝑈 ∩ 𝐵(0; 𝛿/2) ∩ 𝑊 , então 𝑓 = 0 em 𝑈 . Portanto, 𝐵(0; 𝛿/2) ∩ 𝑊 é localmente determinante em zero. Segue do Teorema 2.3.4 que existe uma sequência (𝑥𝑝)∞𝑝=1 em 𝐵(0; 𝛿/2) ∩ 𝑊 tal que lim𝑝→∞𝑥𝑝 = 0 e (𝑥𝑝)∞𝑝=1 também é localmente
determinante em zero, o que implica as propriedades (𝑎) e (𝑏).
Antes de exibir uma demonstração que comprove que o conjunto ℰ (𝑈 ) é espaçável, precisa- remos de mais duas proposições.
Proposição 2.3.6. Sejam 𝐸 um espaço de Banach separável e 𝑈 um subconjunto aberto de 𝐸. Seja (𝑥𝑛)∞𝑛=1 uma sequência densa de 𝜕𝑈 , i.e., (𝑥𝑛)∞𝑛=1 é uma sequência em 𝜕𝑈 tal que
{𝑥𝑛 : 𝑛 ∈ N} = 𝜕𝑈. Então 𝑈 não é um domínio de existência de 𝑓 ∈ ℋ(𝑈) se, e somente se,
existirem (𝑖, 𝑗) ∈ N × N, um subconjunto aberto 𝐺 de 𝐸 e uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝐵(𝑥̃︀ 𝑖; 1/𝑗)) que
satisfaçam as seguintes condições: (𝑎) ∅ ̸= 𝐺 ⊂ 𝐵(𝑥𝑖; 1/𝑗) ∩ 𝑈 .
(𝑏) 𝑓 =𝑓 em 𝐺.̃︀
Demonstração. Demonstraremos a implicação não-trivial. Suponha que 𝑈 não seja o domínio de existência de 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ); em particular 𝜕𝑈 ̸= ∅. Assim, existem subconjuntos abertos 𝑉, 𝑊 de 𝐸 e uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑉 ) que satisfazem as condições (𝑎)-(𝑐) na definição de domíniõ︀
de existência. Visto que podemos supor que 𝑊 é uma componente conexa de 𝑈 ∩ 𝑉 , existe 𝑎 ∈ 𝑉 ∩ 𝜕𝑈 ∩ 𝜕𝑊 . Logo existe 𝑗 ∈ N tal que 𝐵(𝑎; 1/𝑗) ⊂ 𝑉 . Podemos escolher 𝑖 ∈ N tal que 𝑥𝑖 ∈ 𝐵(𝑎; 1/2𝑗). Daí,
𝑎 ∈ 𝐵(𝑥𝑖; 1/2𝑗) ⊂ 𝐵(𝑎; 1/𝑗) e 𝐵(𝑥𝑖; 1/2𝑗) ∩ 𝑊 ̸= ∅.
Portanto, se 𝐺 := 𝐵(𝑥𝑖; 1/2𝑗) ∩ 𝑊 , então
̃︀
𝑓 |𝐵(𝑥𝑖;1/2𝑗) ∈ ℋ(𝐵(𝑥𝑖; 1/2𝑗)), ∅ ̸= 𝐺 ⊂ 𝐵(𝑥𝑖; 1/2𝑗) ∩ 𝑈 e 𝑓 = 𝑓 |̃︀𝐵(𝑥𝑖;1/2𝑗) em 𝐺.
Proposição 2.3.7. Seja 𝑋 um conjunto arbitrário, e seja 𝒜 uma álgebra de funções 𝑓 : 𝑋 → C. Se existem uma função 𝑓 ∈ 𝒜 e uma sequência (𝑥𝑘)∞𝑘=1 em 𝑋 tais que lim𝑘→∞|𝑓 (𝑥𝑘)| = ∞,
então 𝒜 contém um subespaço vetorial de dimensão infinita.
Demonstração. É suficiente demonstrar que a sequência (𝑓𝑛)∞𝑛=1 é linearmente independente. Suponha 𝑔 := 𝜆1𝑓 + 𝜆2𝑓2+ · · · + 𝜆𝑛𝑓𝑛= 0. Se 𝜆𝑛̸= 0, então lim 𝑘→∞|𝑔(𝑥𝑘)| = lim𝑘→∞|𝑓 𝑛(𝑥 𝑘)| ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜆1 𝑓𝑛−1(𝑥 𝑘) + 𝜆2 𝑓𝑛−2(𝑥 𝑘) + · · · + 𝜆𝑛 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ = ∞,
o que é uma contradição. Logo 𝜆𝑛= 0. O mesmo argumento mostra que 𝜆𝑛−1= 0, 𝜆𝑛−2= 0, . . .,
𝜆1 = 0.
Agora sim temos todos os ingredientes necessários para mostrar que ℰ (𝑈 ) é espaçável. Teorema 2.3.8. Seja 𝐸 um espaço de Banach separável, e seja 𝑈 um domínio de existência conexo em 𝐸. Então o conjunto ℰ (𝑈 ) é espaçável.
Demonstração. Sejam (𝑥𝑛)∞𝑛=1 uma sequência densa de 𝜕𝑈 e 𝛿 ∈ (0, 1). Para cada par (𝑖, 𝑗) ∈
N × N defina 𝐵𝑖𝑗 := 𝐵(𝑥𝑖; 1/𝑗), e seja {𝑉𝑖𝑗𝑘 : 𝑘 ∈ 𝐴𝑖𝑗 ⊂ N} o conjunto de todas as componentes
conexas de 𝐵𝑖𝑗 ∩ 𝑈 . Pelo Lema 1.1.10 existe 𝑎𝑖𝑗𝑘 ∈ 𝐵𝑖𝑗 ∩ 𝜕𝑈 ∩ 𝜕𝑉𝑖𝑗𝑘 para cada (𝑖, 𝑗) ∈ N × N e
cada 𝑘 ∈ 𝐴𝑖𝑗. Como o conjunto
𝐴 := {(𝑎𝑖𝑗𝑘, 𝑉𝑖𝑗𝑘) : (𝑖, 𝑗) ∈ N × N e 𝑘 ∈ 𝐴𝑖𝑗}
é enumerável, podemos escrever
𝐴 = {(𝑦𝑗, 𝑊𝑗) : 𝑗 ∈ N}.
Segue da Proposição 2.3.5 que para cada 𝑗 ∈ N existe uma sequência (𝑦𝑗𝑘)∞𝑘=1 em 𝑊𝑗 tal que
(𝑖) sup𝑘∈N‖𝑦𝑗− 𝑦𝑗𝑘‖ < 𝛿𝑗 e lim𝑘→∞𝑦𝑗𝑘 = 𝑦𝑗.
(𝑖𝑖) Se 𝑉 é um subconjunto aberto e conexo em 𝐸, 𝑓 ∈ ℋ(𝑉 ), 𝑦𝑗 ∈ 𝑉 e 𝑓 (𝑦𝑗𝑘) = 0 sempre que
𝑦𝑗𝑘 ∈ 𝑉 , então 𝑓 = 0.
𝑦11 //𝑦12 || 𝑦13 //𝑦14 || . . . 𝑦21 𝑦22 << 𝑦23 || 𝑦24 == . . . }} 𝑦31 << 𝑦32 ~~ 𝑦33 << 𝑦34 ~~ . . . .. . ... >> .. . ... . .. Isto é, (𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, . . .) = (𝑦11, 𝑦12, 𝑦21, 𝑦31, 𝑦22, . . .). Defina 𝒜 := {𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) : 𝑓 (𝑧𝑘) = 0 para cada 𝑘 ∈ N}.
Afirmamos que o espaço vetorial 𝒜 satisfaz as propriedades desejadas. Com efeito, é claro que 𝒜 é uma subálgebra fechada de (ℋ(𝑈 ), 𝜏𝑐). Ademais, temos 𝒜 ⊂ ℰ(𝑈 ) ∪ {0}. De fato,
caso contrário, encontraríamos 𝑓 ∈ 𝒜 ∖ (ℰ (𝑈 ) ∪ {0}). Logo, seguiria da Proposição 2.3.6 que existiriam um subconjunto aberto 𝐺 de 𝐸 e uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝐵̃︀ 𝑖𝑗) tais que
∅ ̸= 𝐺 ⊂ 𝐵𝑖𝑗 ∩ 𝑈 e 𝑓 =𝑓 em 𝐺.̃︀
Como podemos supor que 𝐺 é uma componente conexa de 𝐵𝑖𝑗∩ 𝑈 , podemos supor que 𝐺 = 𝑊𝑝
para algum 𝑝 ∈ N. Assim, 𝑦𝑝 ∈ 𝐵𝑖𝑗 e (𝑦𝑝𝑘)∞𝑘=1 é uma sequência em 𝑊𝑝 ⊂ 𝐵𝑖𝑗 tal que 𝑓 (𝑦̃︀ 𝑝𝑘) =
𝑓 (𝑦𝑝𝑘) = 0 para cada 𝑘 ∈ N. Desse modo, segue da propriedade (𝑖𝑖) que 𝑓 = 0. Portanto, pelõ︀
teorema da identidade 𝑓 = 0, o que é claramente uma contradição.
Vejamos que 𝒜 contém um subespaço vetorial de dimensão infinita. Visto que 𝛿 ∈ (0, 1) e sup𝑘∈N‖𝑦𝑗 − 𝑦𝑗𝑘‖ < 𝛿𝑗 para cada 𝑗 ∈ N, segue prontamente que lim𝑘→∞𝑑𝑈(𝑧𝑘) = 0. Para cada
𝑘 ∈ N tome
𝑧𝑘′ ∈ 𝑈 ∖ {𝑧𝑘 : 𝑘 ∈ N},
de modo que ‖𝑧𝑘− 𝑧′𝑘‖ < 2
−𝑘. Seja (𝑤
𝑘)∞𝑘=1 a sequência em 𝑈 definida por
(𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, 𝑤4, . . .) := (𝑧1, 𝑧1′, 𝑧2, 𝑧2′, 𝑧3, 𝑧3′, . . .).
Desse modo, temos claramente lim𝑘→∞𝑑𝑈(𝑤𝑘) = 0. Agora, escolha uma subsequência (𝑤′𝑘)
∞
constituída por pontos distintos de (𝑤𝑘)∞𝑘=1 e que satisfaça
{𝑤𝑘 : 𝑘 ∈ N} = {𝑤′𝑘: 𝑘 ∈ N}.
É evidente que lim𝑘→∞𝑑𝑈(𝑤𝑘′) = 0. Com o objetivo de aplicar a Proposição 2.3.1(𝑏), tomemos
(𝛼𝑘)∞𝑘=1 ⊂ C tal que 𝛼𝑛 = 0 sempre que 𝑤𝑛′ ∈ {𝑧𝑘 : 𝑘 ∈ N} e 𝛼𝑛 = 𝑛 sempre que 𝑤𝑛′ ∈ {𝑧
′
𝑘 :
𝑘 ∈ N}. Assim, pela Proposição 2.3.1(𝑏), existe uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) tal que 𝑓 (𝑤′𝑘) = 𝛼𝑘
para cada 𝑘 ∈ N. Segue que 𝑓 ∈ 𝒜 e lim𝑘→∞|𝑓 (𝑧′𝑘)| = ∞. Portanto, pela Proposição 2.3.7 a
demonstração está completa.
Vejamos agora que com o auxílio da Proposição 2.2.1, podemos melhorar o último resultado. Teorema 2.3.9. Seja 𝐸 um espaço de Banach separável, e seja 𝑈 um domínio de existência conexo em 𝐸. Então o conjunto ℰ (𝑈 ) é fortemente fechadamente algebrável.
Demonstração. Defina
𝒜 := {𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) : 𝑓 (𝑧𝑘) = 0 para cada 𝑘 ∈ N},
onde (𝑧𝑘)∞𝑘=1 é a sequência em 𝑈 que foi construída na demonstração do Teorema 2.3.8. Ob-
viamente o subconjunto 𝒜 é uma subálgebra fechada de (ℋ(𝑈 ), 𝜏𝑐). Ademais, relembre que
no Teorema 2.3.8 provamos que 𝒜 ⊂ ℰ(𝑈 ) ∪ {0}. Desse modo, basta mostrar que a álgebra 𝒜 contém um conjunto infinito de geradores algebricamente independentes. Para mostrar isto, iniciemos com a mesma argumentação utilizada na demonstração do Teorema 2.3.8. Para cada 𝑘 ∈ N seja
𝑧𝑘′ ∈ 𝑈 ∖ {𝑧𝑛: 𝑛 ∈ N}
de modo que ‖𝑧𝑘− 𝑧′𝑘‖ < 2
−𝑘. Seja (𝑤
𝑘)∞𝑘=1 a sequência em 𝑈 definida por
(𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, 𝑤4, . . .) := (𝑧1, 𝑧1′, 𝑧2, 𝑧2′, 𝑧3, 𝑧3′, . . .).
Segue que lim𝑘→∞𝑑𝑈(𝑤𝑘) = 0, pois lim𝑘→∞𝑑𝑈(𝑧𝑘) = 0. Logo podemos encontrar uma sub-
sequência (𝑤′
𝑘)∞𝑘=1 de pontos distintos de (𝑤𝑘)∞𝑘=1 tal que
{𝑤𝑘: 𝑘 ∈ N} = {𝑤′𝑘 : 𝑘 ∈ N} e lim 𝑘→∞𝑑𝑈(𝑤
′
𝑘) = 0.
De agora em diante, para cada 𝑗 ∈ N usaremos a notação
onde |𝐴| denota o número de elementos pertencentes ao conjunto 𝐴. Com o propósito de aplicar a Proposição 2.3.1(𝑏), tome (𝛼1𝑗)∞𝑗=1 ⊂ C tal que 𝛼1𝑗 = 0 sempre que 𝑤′𝑗 ∈ {𝑧𝑘 : 𝑘 ∈ N}
e 𝛼1𝑗 = 𝑙(𝑗) sempre que 𝑤′𝑗 ∈ {𝑧𝑘′ : 𝑘 ∈ N}. Assim, obtemos pela Proposição 2.3.1(𝑏) que
exite 𝑓1 ∈ ℋ(𝑈 ) tal que 𝑓1(𝑤𝑗′) = 𝛼1𝑗 para cada 𝑗 ∈ N. Tomemos agora (𝛼2𝑗)∞𝑗=1 ⊂ C tal
que 𝛼2𝑗 = 0 sempre que 𝑤′𝑗 ∈ {𝑧𝑘 : 𝑘 ∈ N} e 𝛼2𝑗 = |𝑓1(𝑤′𝑗)|𝑙(𝑗) sempre que 𝑤𝑗′ ∈ {𝑧𝑘′ : 𝑘 ∈ N}.
Consequentemente, pela Proposição 2.3.1(𝑏), podemos encontrar 𝑓2 ∈ ℋ(𝑈 ) tal que 𝑓2(𝑤′𝑗) = 𝛼2𝑗
para cada 𝑗 ∈ N. Agora, se tomarmos (𝛼3𝑗)∞𝑗=1 ⊂ C tal que 𝛼3𝑗 = 0 sempre que 𝑤𝑗′ ∈ {𝑧𝑘 : 𝑘 ∈ N}
e 𝛼3𝑗 = ∏︀𝑚<3|𝑓𝑚(𝑤𝑗′)|𝑙(𝑗) sempre que 𝑤
′
𝑗 ∈ {𝑧
′
𝑘 : 𝑘 ∈ N}, então novamente pela Proposição
2.3.1(𝑏), existe 𝑓3 ∈ ℋ(𝑈 ) tal que 𝑓3(𝑤𝑗′) = 𝛼3𝑗 para cada 𝑗 ∈ N. Prosseguindo, obtemos uma
sequência (𝑓𝑛)∞𝑛=1 em 𝒜 tal que
|𝑓1(𝑤′′𝑘)| = 𝑘 e |𝑓𝑛(𝑤′′𝑘)| = ∏︁ 𝑚<𝑛 |𝑓𝑚(𝑤𝑘′′)| 𝑘 (2.3.4) para cada 𝑛 ∈ N ∖ {1} e cada 𝑘 ∈ N, onde (𝑤𝑘′′)∞𝑘=1 é a única subsequência de (𝑤𝑘′)∞𝑘=1 tal que
{𝑤𝑘′′: 𝑘 ∈ N} = {𝑧′𝑘: 𝑘 ∈ N}. Portanto, pela Proposição 2.2.1 a demonstração está completa.