No Capítulo 2 provamos o seguinte teorema: Se 𝐸 é um espaço de Banach separável e 𝑈 é o domínio de existência conexo de uma dada função 𝑔 ∈ ℋ(𝑈 ), então o conjunto constituído por todas as funções 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) tais que 𝑈 é o domínio de existência de 𝑓 é espaçável. Para mostrar esse teorema, foi necessária a verificação de vários outros resultados; à luz desses resultados, trabalharemos agora para comprovar a veracidade dos seus análogos para espaços 𝒟ℱ 𝒞. Antes de começarmos, relembremos que na Seção 2.3, concernente a espaçabilidade, existem dois resultados fundamentais explicitados logo de início: o primeiro é sobre interpolação de sequências
e o segundo diz respeito a sequências determinantes em zero. Dito isto, abramos a seção com a comprovação de que estes dois resultados continuam válidos para espaços 𝒟ℱ 𝒞.
Proposição 3.4.1. Seja 𝐸 = 𝐹𝑐′, onde 𝐹 é um espaço de Fréchet separável. Sejam 𝑈 um domínio de existência em 𝐸 e
𝑑𝑈,𝜌(𝑥) := sup{𝑟 > 0 : 𝐵𝜌(𝑥, 𝑟) 𝜌
⊂ 𝑈 },
onde 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝜌 é a métrica definida na Proposição 3.1.6 e 𝐵𝜌(𝑥, 𝑟) := {𝑦 ∈ 𝐸 : 𝜌(𝑥, 𝑦) < 𝑟}.
Então as propriedades (𝑎) e (𝑏) da Proposição 2.3.1 são satisfeitas substituindo 𝑑𝑈(𝑥𝑛) por
𝑑𝑈,𝜌(𝑥𝑛).
Para exibir uma demonstração para a última proposição, vejamos primeiramente que o Lema 2.3.2 ainda funciona para espaços localmente convexos. De fato, a demonstração não é muito diferente daquela fornecida em [17, Lema 2.2].
Lema 3.4.2. Sejam 𝐸 um espaço localmente convexo e 𝑈 um subconjunto aberto de 𝐸. Se 𝐵 ⊂ 𝑈 é tal que 𝐵 =𝐵̂︀ℋ(𝑈 ), então para cada subconjunto finito 𝐷 ⊂ 𝑈 ∖ 𝐵 existe uma função
𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) de modo que |𝑓 (𝑦)| > sup𝐵|𝑓 | para cada 𝑦 ∈ 𝐷.
Demonstração. Afirmamos que existe uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) tal que |𝑓 (𝑦)| > 1 > sup
𝐵
|𝑓 |
para cada 𝑦 ∈ 𝐷. Provaremos esta afirmação por indução sobre a cardinalidade de 𝐷. Se 𝐷 = {𝑦} ̸⊂ 𝐵 =𝐵̂︀ℋ(𝑈 ),
então claramente existe uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) tal que |𝑓 (𝑦)| > 1 > sup
𝐵
|𝑓 |.
Suponhamos que o resultado seja válido sempre que |𝐷| ≤ 𝑛. Logo, se 𝐷′ = {𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑛+1}
existem 𝑔1, 𝑔2 ∈ ℋ(𝑈 ) tais que |𝑔1(𝑦𝑛+1)| > 1 > sup 𝐵 |𝑔1| e |𝑔2(𝑦𝑘)| > 1 > sup 𝐵 |𝑔2|
para cada 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑛. Podemos evidentemente supor |𝑔2(𝑦𝑘)| > 2 > 1 > sup 𝐵
|𝑔2|
para cada 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑛. Logo, existe 𝑛0 ∈ N de modo que as seguintes condições são satisfeitas:
(𝑖) sup𝐵|𝑔𝑛0
1 | < 1 − sup𝐵|𝑔2|.
(𝑖𝑖) |𝑔𝑛0
1 (𝑦𝑛+1)| > |𝑔2(𝑦𝑛+1)| + 1.
(𝑖𝑖𝑖) Para cada 𝑘 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} temos |𝑔𝑛0
1 (𝑦𝑘)| > 1 + |𝑔2(𝑦𝑘)| ou |𝑔2(𝑦𝑘)| > 1 + |𝑔1𝑛0(𝑦𝑘)|.
Por conseguinte, se tomarmos 𝑓 := 𝑔𝑛0
1 + 𝑔2, então 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) e
|𝑓 (𝑦𝑘)| > 1 > sup 𝐵
|𝑓 | para cada 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑛 + 1. Isto completa a demonstração.
Demonstração da Proposição 3.4.1. Similarmente à Proposição 2.3.1, é suficiente mostrar a pro- priedade (𝑎). Seja (𝐿𝑗)∞𝑗=1 uma sequência de subconjuntos compactos de 𝑈 tais que cada com-
pacto de 𝑈 esteja contido em algum 𝐿𝑗 e (𝐿̂︂𝑗)
ℋ(𝑈 ) = 𝐿𝑗 ⊂ 𝐿𝑗+1 para cada 𝑗 ∈ N, o que já
vimos ser possível devido ao Corolário 3.1.10 e às Proposições 3.1.3(𝑐) e 3.1.11. Desse modo, se (𝑥𝑛)∞𝑛=1 é uma sequência de pontos distintos de 𝑈 satisfazendo lim𝑛→∞𝑑𝑈,𝜌(𝑥𝑛) = 0, então
podemos encontrar uma subsequência conveniente de (𝐿𝑗)∞𝑗=1 de modo que
𝐷𝑗 := {𝑥𝑛 : 𝑛 ∈ N} ∩ (𝐿𝑗+1∖ 𝐿𝑗)
é um subconjunto finito e não vazio de 𝑈 ∖ 𝐿𝑗 para cada 𝑗 ∈ N. Segue da Proposição 3.1.6 que
existe uma sequência de seminormas (𝛼𝑗)∞𝑗=1 em 𝑐𝑠(𝐸) que determinam as vizinhanças de zero
de 𝐸. Analogamente ao que foi feito na Proposição 2.3.1, podemos aplicar o Lema 3.4.2 para construir recursivamente uma sequência (𝑔𝑗)∞𝑗=1 em ℋ(𝑈 ) tal que
sup 𝐿𝑗 |𝑔𝑗| ≤ 2−𝑗 e |𝑔𝑗(𝑦)| ≥ 𝑗 + 1 + ∑︁ 𝑖<𝑗 (︁ 𝛼𝑖(𝑦)2+ |𝑔𝑖(𝑦)| )︁ (3.4.1)
para cada 𝑦 ∈ 𝐷𝑗 e cada 𝑗 ∈ N. Logo, visto que 𝑈 é um 𝑘-espaço (Proposição 3.1.5(b)) e∑︀∞𝑖=1𝑔𝑖
primeira desigualdade em (3.4.1) temos |𝑔(𝑦)| = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∞ ∑︁ 𝑖=1 𝑔𝑖(𝑦) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ≥ |𝑔𝑗(𝑦)| − ∑︁ 𝑖<𝑗 |𝑔𝑖(𝑦)| − 1
para cada 𝑦 ∈ 𝐷𝑗 e cada 𝑗 ∈ N. Logo, segue daí e da segunda desigualdade em (3.4.1) que
|𝑔(𝑦)| ≥ 𝑗 +∑︁ 𝑖<𝑗
𝛼𝑖(𝑦)2 (3.4.2)
para cada 𝑦 ∈ 𝐷𝑗 e cada 𝑗 ∈ N. Visto que 𝐸 = 𝐹𝑐′ é hemicompacto, segue que 𝐸𝑐′ é um espaço de
Fréchet. Por conseguinte, podemos ainda utilizar o argumento de Hervier, o qual foi explicitado na Proposição 2.3.1. Com efeito, se 𝑛 ̸= 𝑚, então o conjunto
𝑉𝑛𝑚:= {𝜑 ∈ 𝐸𝑐′ : 𝜑(𝑥𝑛) − 𝜑(𝑥𝑚) ̸= 𝑔(𝑥𝑛) − 𝑔(𝑥𝑚)}
é aberto e denso em 𝐸𝑐′. Segue assim do teorema de Baire que existe 𝜑 ∈ ⋂︀
𝑛̸=𝑚𝑉𝑛𝑚. Sejam
𝑐 > 0 e 𝑖0 ∈ N tais que
|𝜑(𝑥)| ≤ 𝑐 · 𝛼𝑖0(𝑥) (3.4.3)
para cada 𝑥 ∈ 𝐸. Se definirmos 𝑓 := 𝑔 − 𝜑, então 𝑓 (𝑥𝑛) − 𝑓 (𝑥𝑚) ̸= 0. Ademais, fixado 𝐽 > 𝑖0,
segue das desigualdades (3.4.2) e (3.4.3) que
|𝑓 (𝑥𝑛)| ≥ |𝑔(𝑥𝑛)| − |𝜑(𝑥𝑛)| ≥ 𝐽 +∑︁ 𝑖<𝑗 𝛼𝑖(𝑥𝑛)2− 𝑐 · 𝛼𝑖0(𝑥𝑛) ≥ 𝐽 + 𝛼𝑖0(𝑥𝑛) 2 − 𝑐 · 𝛼 𝑖0(𝑥𝑛) = 𝐽 + (𝛼𝑖0(𝑥𝑛) − 𝑐/2) 2 − 𝑐2/4 ≥ 𝐽 − 𝑐2/4
sempre que 𝑥𝑛 ∈ ⋃︀∞𝑖=𝐽𝐷𝑖. Com uma argumentação análoga à realizada na verificação da
Proposição 2.3.1, podemos prontamente finalizar a demonstração.
Proposição 3.4.3. Seja 𝐸 = 𝐹𝑐′, onde 𝐹 é um espaço de Fréchet separável. Sejam 𝑊 um aberto de 𝐸, 𝑎 ∈ 𝜕𝑊 , 𝜌 a métrica definida na Proposição 3.1.6 e 𝛿 > 0. Então existe uma sequência (𝑥𝑝)∞𝑝=1 em 𝑊 tal que
(𝑏) Se 𝑈 ⊂ 𝐸 é um conjunto aberto e conexo tal que 𝑎 ∈ 𝑈 e 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) satisfaz 𝑓 (𝑥𝑝) = 0
sempre que 𝑥𝑝 ∈ 𝑈 , então 𝑓 = 0.
Demonstração. A demonstração desta proposição segue linha após linha as mesmas argumen- tações descritas na demonstração da Proposição 2.3.5. De fato, a única alteração necessária é escrever 𝐵𝜌(0, 𝛿/2) ao invés de 𝐵(0, 𝛿/2), onde 𝐵𝜌(0, 𝛿/2) = {𝑦 ∈ 𝐸 : 𝜌(0, 𝑦) < 𝛿/2}. Além
disso, é bom notar que o Teorema 2.3.4 pode ser aplicado devido ao Corolário 3.1.7.
Proposição 3.4.4. Sejam 𝐸 um espaço de Fréchet separável, 𝑈 um subconjunto aberto de 𝐸 e (𝑥𝑖)∞𝑖=1 uma sequência densa de 𝜕𝑈 . Seja (𝑉𝑗)∞𝑗=1 uma base de vizinhanças de zero em 𝐸 com
𝑉𝑚 simétrico para cada 𝑚 ∈ N. Então 𝑈 não é um domínio de existência de 𝑓 ∈ ℋ(𝑈) se,
e somente se, existem (𝑖, 𝑗) ∈ N × N, um aberto 𝐺 ⊂ 𝐸 e uma função 𝑓 ∈ ℋ(𝑥̃︀ 𝑖 + 𝑉𝑗) que
satisfazem as seguintes condições: (𝑎) ∅ ̸= 𝐺 ⊂ (𝑥𝑖+ 𝑉𝑗) ∩ 𝑈 .
(𝑏) 𝑓 =𝑓 em 𝐺.̃︀
Demonstração. É suficiente provar a asserção não trivial. Se 𝑈 não é o domínio de existência de 𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ), então podemos encontrar abertos 𝑉, 𝑊 de 𝐸 e uma função𝑓 ∈ ℋ(𝑉 ) satisfazendo as̃︀
condições (𝑎)-(𝑐) da definição de domínio de existência. Suponha, sem perda de generalidade, que 𝑊 é uma componente conexa de 𝑈 ∩ 𝑉 ; logo, 𝑉 ∩ 𝜕𝑈 ∩ 𝜕𝑊 ̸= ∅. Desse modo, existem 𝑎 ∈ 𝑉 ∩ 𝜕𝑈 ∩ 𝜕𝑊 e 𝑘 ∈ N tais que 𝑎 + 𝑉𝑘 ⊂ 𝑉 . Sejam 𝑉0 uma vizinhança de zero e 𝑖, 𝑗 ∈ N
tais que
𝑉0+ 𝑉0 ⊂ 𝑉𝑘, 𝑉𝑗 ⊂ 𝑉0 e 𝑥𝑖 ∈ 𝑎 + 𝑉𝑗.
Logo,
𝑎 ∈ 𝑥𝑖+ 𝑉𝑗 ⊂ 𝑎 + 𝑉0+ 𝑉0 ⊂ 𝑎 + 𝑉𝑘 e (𝑥𝑖+ 𝑉𝑗) ∩ 𝑊 ̸= ∅.
Desse modo, se fizermos 𝐺 := (𝑥𝑖+ 𝑉𝑗) ∩ 𝑊 , então
̃︀
𝑓 |(𝑥𝑖+𝑉𝑗)∈ ℋ(𝑥𝑖+ 𝑉𝑗), ∅ ̸= 𝐺 ⊂ (𝑥𝑖+ 𝑉𝑗) ∩ 𝑈 e 𝑓 =𝑓 |̃︀(𝑥𝑖+𝑉𝑗) em 𝐺,
o que completa a demonstração.
Teorema 3.4.5. Seja 𝐸 = 𝐹𝑐′ com 𝐹 espaço de Fréchet separável, e seja 𝑈 um domínio de existência conexo em 𝐸. Então existe uma sequência (𝑧𝑘)∞𝑘=1 em 𝑈 tal que
lim
e
{𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) : 𝑓 (𝑧𝑘) = 0 para cada 𝑘 ∈ N} ⊂ ℰ(𝑈) ∪ {0}. (3.4.5)
Demonstração. Segue da Proposição 3.1.6 que 𝐸 possui uma base enumerável de vizinhanças de zero (𝑉𝑗)∞𝑗=1. Seja (𝑥𝑛)∞𝑛=1 uma sequência densa de 𝜕𝑈 , e seja 𝛿 ∈ (0, 1). Logo, se para cada
(𝑖, 𝑗) ∈ N × N tomarmos 𝐵𝑖𝑗 = 𝑥𝑖+ 𝑉𝑗, então com a mesma linha de argumentações descritas
no Teorema 2.3.8, podemos construir uma sequência (𝑧𝑗)∞𝑗=1 em 𝑈 de modo a satisfazer as
propriedades (3.4.4) e (3.4.5). Para isso, ressaltemos apenas que ao invés das Proposições 2.3.5 e 2.3.6, aplicadas para comprovar que condições análogas às propriedades (3.4.4) e (3.4.5) são satisfeitas quando 𝐸 é espaço de Banach separável, devemos respectivamente utilizar as Proposições 3.4.3 e 3.4.4.
Com o último teorema em mãos, podemos agora enunciar os dois principais resultados desta seção: o conjunto ℰ (𝑈 ) é fortemente fechadamente algebrável e fortemente densamente algebrável.
Teorema 3.4.6. Seja 𝐸 = 𝐹𝑐′, onde 𝐹 é um espaço de Fréchet separável. Se 𝑈 é um domínio de existência em 𝐸, então o conjunto ℰ (𝑈 ) é fortemente fechadamente algebrável.
Demonstração. Seja (𝑧𝑛)∞𝑛=1 a sequência estabelecida no Teorema 3.4.5, e considere a álgebra
fechada
𝒜 := {𝑓 ∈ ℋ(𝑈 ) : 𝑓 (𝑧𝑘) = 0 para cada 𝑘 ∈ N}.
Pelo Teorema 3.4.5 já sabemos que 𝒜 ⊂ ℰ (𝑈 ) ∪ {0}. Logo, é necessário apenas mostrar que 𝒜 contém um conjunto infinito de geradores algebricamente independentes. Ora, a demonstração se completa devido às mesmas argumentações fornecidas na segunda parte do Teorema 2.3.9, apenas com a ressalva de considerarmos 𝑑𝑈,𝜌 no lugar de 𝑑𝑈, a métrica 𝜌 ao invés da norma ‖ · ‖
para determinar a distância entre dois pontos do espaço 𝐸, e a Proposição 3.4.1 no lugar da Proposição 2.3.1.
Teorema 3.4.7. Seja 𝐸 = 𝐹𝑐′ com 𝐹 espaço de Fréchet separável, e seja 𝑈 um domínio de existência em 𝐸. Então o conjunto ℰ (𝑈 ) é fortemente densamente algebrável.
Demonstração. Seja (𝑧𝑛)∞𝑛=1 a sequência definida no Teorema 3.4.5, e seja
para cada 𝑛 ∈ N. Então a álgebra ℬ := ⋃︀∞
𝑛=1ℬ𝑛satisfaz o desejado. De fato, as justificativas que
comprovam que ℬ deveras goza das propriedades almejadas são similares àquelas explicitadas na demonstração do Teorema 2.4.1, no qual mostramos que uma específica álgebra ℬ (lá definida) goza de propriedades iguais às que agora desejamos. As únicas diferenças nas argumentações deste para aquele caso, é que devemos utilizar o Teorema 3.4.6 no lugar do Teorema 2.3.9, o Lema 3.4.2 no lugar do Lema 2.3.2 e os conjuntos compactos 𝐿𝑗′𝑠 ao invés dos conjuntos 𝐵𝑗′𝑠,
onde 𝐿𝑗′𝑠 são os mesmos conjuntos usados diversas vezes neste capítulo e com a propriedade de
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