Entendimentos produzidos por alunos do 6° ano do ensino fundamental sobre significados da multiplicação

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1 _{Texto Elaborado para o Componente Curricular Estágio Curricular Supervisionado: Trabalho de} Sistematização do Curso em Matemática, sob orientação da professora Ma Isabel Koltermann Battisti. 2 _{Graduanda do Curso de Matemática - Licenciatura da UNUJUI- Universidade do Noroeste do Estado} do Rio Grande do Sul.

Paula Maria dos Santos Pedry 2 Resumo: O presente artigo constitui-se a partir de uma pesquisa que tem como objetivo analisar o desempenho e as estratégias de estudantes do 6º ano do Ensino Fundamental na resolução de situações problemas que envolvem ossignificados da multiplicação. A pesquisa é de cunho qualitativo, cuja análise está fundamentada, especialmente, por Brasil (1997, 1998 e 2014) e em Magina (2012). Para a produção de dados empíricos foi elaborado e aplicado um teste em uma turma de alunos do 6º ano, de uma Escola Pública do município de Crissiumal-RS. As discussões estão centradas em quatro significados da multiplicação: multiplicação comparativa, comparação entre razões, configuração retangular e ideia de combinatória. A partir das análises foi possível concluir que ainda há muitas lacunas na aprendizagem dos anos iniciais do Ensino Fundamental, em se tratando do significado da multiplicação. Os alunos apresentaram saber resolver as questões as quais tinham os dados explícitos na situação problema e para se chegar à resposta precisava apenas o domínio da tabuada.

Palavras-chave: estrutura multiplicativa; significados da multiplicação; ensino fundamental.

Introdução

Documentos oficiais que norteiam o currículo do ensino fundamental são unânimes ao ressaltar a importância do ensino de Matemática na formação integral do estudante, colaborando para a construção da sua cidadania. O currículo desta área do conhecimento do Ensino Fundamental, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs- (BRASIL, 1998), está organizado em quatro blocos de conteúdos: números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas e tratamento da informação.

O bloco Números e Operações tem como objetivo fazer com que os alunos construam um processo em que os números aparecem como um instrumento para resolver determinados problemas. E com relação às operações, deve ser realizado um trabalho para que o aluno compreenda os diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo do cálculo.

Esse bloco considera uma importante gama dos conceitos matemáticos, engloba conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais e irracionais. Nos ciclos finais do ensino fundamental este bloco se amplia, envolvendo também conceitos da álgebra.

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Nos anos iniciais do ensino fundamental para o primeiro e segundo ciclo, no que se refere a este bloco de conteúdos, de acordo com PCNs (BRASIL, 1997, p. 47- 56), entre outros objetivos, os alunos deverão:

- Resolver situações-problemas e construir, a partir delas, os significados das operações fundamentais, buscando reconhecer que uma mesma operação está relacionada a problemas diferentes e um mesmo problema podem ser resolvidos pelo uso de diferentes operações;

- Ampliar o significado do número natural pelo seu uso em situações-problemas e pelo reconhecimento de relações e regularidades;

- Resolver problemas, consolidando alguns significados das operações fundamentais e construir novos, em situações que envolvam números naturais e, em alguns casos, racionais;

- Ampliar os procedimentos de cálculos, refletir sobre procedimentos de cálculos que levam a ampliação do número e das operações.

- Utilizar diferentes registros gráficos- desenhos, esquemas, escritas numéricas- como recurso para expressar ideias, ajudar a descobrir formas de resolução e comunicar estratégias e resultados.

As operações matemáticas elementares estão relacionadas aos conceitos de adição, subtração, multiplicação e divisão, sendo estes, às estruturas aditivas e multiplicativas.

1.A Multiplicação no Currículo dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental

Para os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) uma abordagem frequente na multiplicação é o estabelecimento da relação da adição com a multiplicação. No caso, a multiplicação é apresentada como uma adição de parcelas iguais. A partir dessa interpretação, definem-se papéis diferentes para o multiplicando (número que se repete) e para o multiplicado (número de repetições) não sendo possível tomar um pelo outro.

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Os conceitos do campo aditivo estão presentes no currículo de todas as etapas da educação básica. De acordo com Vergnaud (1996), o campo conceitual das estruturas aditivas é, ao mesmo tempo, o conjunto de situações cujo tratamento implica uma (ou mais) adição e subtração ou uma combinação dessas duas operações e o conjunto de conceitos e teoremas que permitem analisar tais situações como tarefas matemáticas. Com base nisso, de acordo com o referido autor, as estruturas aditivas referem-se ao conjunto de problemas que tem como solução a exploração tanto da adição como da subtração.

Vale salientar que para Vergnaud (1982) o conhecimento deve ser visto dentro de campos conceituais - um domínio que se desenvolve num longo período de tempo por meio da experiência, maturação e aprendizagem. Considerando que as crianças normalmente constroem um campo conceitual através da experiência na vida diária e na escola, esses fatores perpassam necessariamente pela vida escolar delas. Nesse sentido, os conceitos fazem parte de um conhecimento que o aluno adquire ao longo dos anos escolares, e são constitutivos de estruturas, das quais destacam-se as aditivas e multiplicativas. As estruturas aditivas, de acordo com Nunes et al (2009), podem ser classificadas como mostra o Quadro 1.

Quadro 1- Classificação das estruturas aditivas por Nunes et al (2009)

Composição Nessa classe é possível relacionar parte–todo.

Transformação Nessa classe é possível relacionar estado inicial, uma transformação que leva a um estado final.

Comparação Nessa classe é possível relacionar duas partes comparando–as, tendo sempre duas partes as quais são denominado referente e referido e uma relação.

Mistos Nessa classe é possível combinar problemas das classes anteriores. Fonte: Nunes et al (2009, p.45- 81).

Segundo Nunes, Campos, Magina & Bryant (2001) esta classificação oferece uma estrutura teórica que ajuda a entender o significado das diferentes representações simbólicas da adição e subtração, além de servir de base para o cenário de experiências sobre esses processos matemáticos na sala de aula. Tal classificação contribui, ainda, para que o professor possa compreender o amplo espectro de significações das operações, evidenciando a complexidade do trabalho a ser realizado para que os estudantes estendam os conceitos envolvidos nessas operações.

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No entanto, essa abordagem não é suficiente para que os alunos compreendam e resolvam outras situações relacionadas com a multiplicação, é apenas possível solucionar aquelas situações que são essencialmente aditivas.

1.2 O Campo Conceitual Multiplicativo

Segundo Vergnaud, podemos mencionar o campo conceitual das estruturas multiplicativas como sendo um conjunto de problemas ou situações, cuja análise e tratamento requerem vários tipos de conceitos, procedimentos e representações simbólicas. Assim, o campo conceitual multiplicativo pode ser definido como um conjunto de situações cujo domínio requer uma operação de divisão ou de multiplicação, ou ainda, a combinação entre elas.

Conforme aborda Merlini (2013), no Ensino Fundamental as estruturas multiplicativas são vistas como o ensino da tabuada e no manejo dos algoritmos, convertendo assim a memorização das multiplicações básicas em um dos objetivos centrais do ensino da Matemática no Ensino Fundamental. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) apontam para a necessidade de se realizar um ensino baseado na resolução de problema, o que irá promover uma ação docente que atendam as seguintes características:

O ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema; o problema não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório; aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros; o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas; a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se podem apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas (BRASIL, 1998, p. 43).

A identificação dos diferentes esquemas feitos pelos alunos e sua discussão pode contribuir para que eles trabalhem de forma autônoma utilizando seus conhecimentos prévios, suas próprias maneiras de resolver problemas e situações que lhe são propostas.

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Como abordam os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), se faz necessário desenvolver o conceito de número. Para isso é necessário propor situações-problema que envolvam as quatro operações básicas além da potenciação e radiciação, e à medida que se depara com a diversidade de situações os alunos vão buscar estratégias pessoais para resolver os problemas, fazendo com que esse processo possibilite o desenvolvimento da sua autonomia.

O ensino de Matemática prestará sua contribuição à medida que forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios. (BRASIL, 1998, p.26).

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) a operação multiplicação deve ser abordada considerando conexões com a divisão, necessitando um trabalho que envolva para além do significado de parcelas iguais quatro outros grupos de significados: multiplicação comparativa, comparação entre razões (ideia de proporcionalidade), configuração retangular e as associadas à ideia de combinatória.

Quadro 2- Estrutura Multiplicativa por PCNs -1997

Multiplicação Comparativa Envolve a ideia de comparação entre duas

quantidades/grandezas. A partir de situações de multiplicação comparativa é possível formular situações que envolvem a divisão.

Comparação entre razões Envolvem a ideia de proporcionalidade sem que haja necessidade de verificar a quantidade unitária.

Configuração retangular Envolve a ideia de uma organização retangular. Operar com as ideias de área e da propriedade comutativa da multiplicação

Ideia de combinatória Envolve a ideia de organizar agrupamentos diferenciados, de modo que todos possam se combinar entre si.

Fonte: Adaptação de Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997).

Os diferentes significados da multiplicação segundo os PCNs (1997) consideram aspectos da estrutura multiplicativa. Dentre as situações relacionadas à multiplicação e à divisão conforme aborda Magina, Santos e Merlini (2010) (apud, MAGINA, 2012, p. 4) devem ser exploradas duas relações sendo ela a quaternária e a ternária, conforme a Figura 1 e o Quadro 3 revelam.

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Figura 1- Esquema da Estrutura Multiplicativa elaborada por Magina, Santos e Merlini, em 2000 e ajustado por Magina em 2012

Fonte: Magina et al. (2010).

Quadro 3- Classificação das Estruturas Multiplicativas Conforme Magina, Santos e Merlini – 2012

EIXO 1- Proporção simples

Pertencente a relação quaternária, a proporção simples envolve uma relação entre quatro

quantidades, sendo duas de um tipo e as outras duas de outro tipo ou, ainda, uma simples proporção direta entre duas variáveis do tipo: pessoas e objetos, bens e custos, tempo e distância, entre outras

Classes Exemplo

Correspondência um para muitos acontece quando a relação entre as variáveis está explicita.

Uma bicicleta tem duas rodas. Quantas rodas têm cinco bicicletas?

Correspondência muitos para muitos nesta classe não está explícito a relação, cabendo ao sujeito identificá‐la. Ela pode envolver duas situações: na primeira é possível chegar à relação um para muitos.

4 bicicleta tem 8 rodas, quantas rodas tem 6 bicicletas?

EIXO 2 - Proporções múltiplas

Trata‐se de problemas com várias proporções. Assim, ela envolve pelo menos duas proporções simples. O eixo refere‐se às situações que envolvem uma relação quaternária entre mais de duas variáveis relacionadas duas a duas. Por exemplo: pessoas, litros de água e dias.

Classes Exemplo

Correspondência um para muitos a relação proporcional do problema está explícita. Só que neste caso não se trata apenas de uma relação, mas sim de duas ou mais relações proporcionais.

Uma pessoa costuma beber em média 3 litros de água em dois dias. Qual é o consumo de água de uma família com 4 pessoas em 10 dias?

Correspondência muitos para muitos a relação entre as vaiáveis não está explícita. Nessa classe há três ou mais variáveis envolvidas na situação.

Um grupo de 50 escoteiros vai passar 14 dias no campo. Eles querem comprar a quantidade de açúcar suficiente para suprir a todos. Eles sabem que a média de consumo por 7 dias para 10 pessoas é de 3Kg. Quantos quilos de açúcar elas precisam comprar?

EIXO 3- Comparação multiplicativa:

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variáveis de mesma natureza.

Classes Exemplos

Relação desconhecida quando se conhece o valor das duas variáveis envolvidas, mas não está explícita a relação multiplicativa entre elas.

Comprei uma corda por R$ 5,00 e um DVD por R$20,00. Quantas vezes a corda foi mais barata que o DVD?

Referido desconhecido quando se conhece uma das variáveis do problema e ainda a relação estabelecida entre essa variável e outra ainda desconhecida.

A idade de Luiz é 5 vezes menor que a idade do seu pai. Luiz tem 6 anos. Qual é a idade do pai do seu pai?

EIXO 4 – Produto de medidas

Esse eixo é constituído por duas classes (a) situações envolvendo a ideia de configuração retangular, (b) situações envolvendo a ideia de combinatória.

Classes Exemplos

Configuração retangular envolvem situações em que as variáveis representam certas medidas dispostas na horizontal e na vertical de forma retangular.

Qual a área de um terreno de formato retangular, que tem 12 metros de frente e 30 metros de comprimento?

Combinatória, a ideia presente nessa classe remete á noção do produto cartesiano entre dois conjuntos disjuntos.

Numa festa há quatro meninas e três meninos. Cada menino quer dançar com cada uma das meninas, e cada menina também quer dançar com cada um dos

meninos. Quantos pares

diferentes de menino‐menina são possíveis de serem formados? Fonte: Magina et al. (2010 ).

Diante do exposto, pode-se indicar que os problemas cumprem um importante papel no sentido de propiciar oportunidades às crianças, do primeiro e segundo ciclos de interagirem com os diferentes significados das operações, levando-as a reconhecer que um mesmo problema pode ser resolvido por diferentes operações, assim como uma mesma operação pode estar associada a diferentes problemas (PIRES, 2013).

Sendo assim, o ensino das estruturas multiplicativas se dá por meio da identificação e classificação de situações-problema.

De acordo com Santos (2004) a estrutura multiplicativa é um campo conceitual que já está relativamente explorado. Constitui-se de situações e procedimentos que implicam em uma ou várias multiplicações e divisões e em um conjunto de conceitos e teoremas que permitem analisar essas situações e representá-las. As estruturas multiplicativas são de suma importância para o aluno, já que o mesmo deve se apropriar das ideias e procedimentos matemáticos pertinentes às operações envolvidas. Isso possibilitará o desenvolvimento de diferentes estratégias na resolução de situações-problema apresentadas, tanto no contexto escolar como os da própria vida fora da

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escola. Se apropriar das operações adição, subtração, multiplicação e divisão implicam em aprender muito além de procedimentos de cálculo.

1.3 Intencionalidades de pesquisa

Como licencianda de um curso de matemática, durante o desenvolvimento da disciplina Estágio curricular supervisionado: ensino fundamental, no qual ministrei aulas em uma turma do 9°ano do ensino fundamental, o que mais me chamou atenção foi a grande dificuldade que os alunos apresentavam em realizar cálculos que envolvesse, principalmente, as operações básicas da Matemática, ou seja, adição, subtração, multiplicação e divisão. No decorrer da realização do referido estágio, observei que para a grande maioria o fato de não “gostar” de matemática está relacionado ao não conseguir efetuar essas operações simples.

A matemática constitui-se de um enorme campo de ideias, procedimentos, raciocínios e conceitos que juntos e articulados, permitem aos estudantes desenvolver competências e habilidades para garantir a continuidade dos estudos e também contribuir na preparação para o trabalho e no exercício da cidadania. Sendo assim, para o aluno se apropriar de significados dos conceitos matemáticos é preciso que se estabeleçam processos de construção fundamentais para a aprendizagem, o que dará sentido para os cálculos e operações que efetuará.

O entendimento das estruturas multiplicativas se faz presente tanto no currículo escolar durante toda educação básica como muitas vezes no dia a dia das pessoas, sendo de suma importância o aluno se apropriar desse conhecimento. Diante do exposto, a pesquisa que embasa a presente escrita tem como objetivo identificar e analisar entendimentos, referentes aos significados da multiplicação, apresentadas por alunos de uma turma do 6° ano do ensino fundamental, e com e a partir desta análise, apontar alguns indicativos acerca do seu ensino e aprendizagem. Para tanto, proponho a seguinte questão de pesquisa: “Que entendimentos, a partir da proposição de questões que envolvem situações problemas, alunos do 6º ano do ensino fundamental apresentam sobre os diferentes significados da operação multiplicação?”.

2.Procedimentos Metodológicos

A presente pesquisa apoia-se na abordagem qualitativa, pois tem como foco entender e interpretar dados e discursos. A pesquisa qualitativa exige um contato direto

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com o ambiente pesquisado fazendo com o que o pesquisador consiga se aproximar da realidade a ser estudada e tendo seus dados mais precisos. Um importante viés da pesquisa qualitativa é o da não neutralidade do pesquisador que, durante o processo interpretativo, vale-se de suas perspectivas e filtros vivenciais prévios dos quais não consegue se desvencilhar, e a constituição de suas compreensões dá-se não como resultado, mas numa trajetória em que essas mesmas compreensões e também os meios de obtê-las podem ser (re) configuradas. (GARNICA, 2004).

A escolha em desenvolver o teste em uma turma do 6º ano do ensino fundamental se fez pelo fato de que estes alunos já encerraram a primeira etapa deste nível de ensino, ou seja, os anos iniciais do ensino fundamental (1º ao 5º ano). E, sendo assim, de acordo com documentos que orientam o currículo de matemática neste nível de ensino, os conceitos tratados na presente pesquisa já devem ter sido elaborados pelos alunos do 6º ano.

Para analisar os entendimentos de uma turma do 6º ano do ensino fundamental será aplicado um instrumento de produção de dados empíricos, sendo este um teste com sete questões (Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6 e Q7). As referidas questões contemplam os significados da multiplicação apresentados pelos PCN (BRASIL, 1997): Multiplicação Comparativa; Comparação entre Razão; Configuração retangular e Ideia Combinatória, os quais consideram ideias apresentadas por Magina (2012) Proporção Simples e Produto de Medida, conforme mostra o Quadro 4.

Quadro 4- Estrutura Multiplicativa

Questão Magina- 2012 PCNs – 1998a

Q1; 2 ;7

Proporção Simples Multiplicação Comparativa

5; 6 Comparação entre Razão

3

Produto de Medida Configuração retangular

4 Ideia Combinatória

Fonte: Magina (2012) e Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998).

O teste foi aplicado em uma turma do 6º ano do ensino fundamental de uma escola pública localizada na cidade de Crissiumal-RS. A escolha da escola se deu em função da autora ter cursado toda a educação básica nesta e já ter feito uma intervenção, como licencianda, em uma das turmas do ensino fundamental. A referida turma é

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composta por 18 alunos e todos desenvolveram o teste, na presente escrita estes serão identificados como A1, A2, A3 e assim sucessivamente.

As respostas dadas pelos alunos a cada questão foram tabuladas e analisadas a partir dos seguintes referenciais, de forma especial, por Brasil (1997, 1998, 2014) e por Magina (2012).

Considerando o referencial adotado, foi feita a opção em organizar as análises a partir da classificação da estrutura multiplicativa apresentada por Brasil (1997): multiplicação comparativa, comparação entre razões, configuração retangular e as associadas à ideia combinatória.

3. Entendimentos apresentados por alunos de uma turma do 6º ano acerca dos significados da multiplicação

Conforme aborda Magina (2013), no Ensino Fundamental as estruturas multiplicativas são vistas como o ensino da tabuada e no manejo dos algoritmos, convertendo assim a memorização das multiplicações básicas em um dos objetivos centrais do ensino da Matemática no Ensino Fundamental. Sendo assim o aluno não constrói um conceito para cada problema e sim um campo de conceitos que lhe de sentido num campo de problemas.

Para Magina (2012) estruturas multiplicativas é um conjunto de problemas ou situações, cuja análise e tratamento requerem vários tipos de conceitos, procedimentos e representações simbólicas, os quais se encontram em estreita conexão uns com os outros. Entre os conceitos estão: proporção simples, proporções múltiplas, comparação multiplicativa e produto de medidas. No entanto, os PCN (BRASIL, 1997) apresentam o significado da multiplicação organizada em quatro grupos: multiplicação comparativa, comparação entre razões, configuração retangular e as associadas à ideia de combinatória, os quais, de certa forma, consideram as proposições de Magina (2012). 3.1 Significado: Multiplicação Comparativa

Nesse momento são apresentadas discussões relacionadas à ideia de multiplicação comparativa. O teste aplicado propõe três situações-problema que de forma especial, considera tal significado.

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As questões Q1, Q2 e Q7 se referem à operação multiplicação comparativa, pois envolve a ideia de comparação entre duas quantidades/grandezas. A partir de situações de multiplicação comparativa é possível formular situações que envolvem a divisão (PCNs- 1998a).

Na situação-problema Q1, como mostra a Figura 2, é possível observar que dos 18 alunos apenas um aluno (A2) errou a questão.

Figura 2- Questão 1

Fonte: Dados produzidos na pesquisa.

Ao analisar as respostas da Q1 dos alunos é possível indicar que por ser um problema simples que envolve uma multiplicação entre duas variáveis e considera um contexto familiar para o aluno, houve uma grande quantidade de acerto, como mostra o Quadro 5.

Quadro 5- Representação dos dados da Q1

Fonte: dados produzidos pela pesquisadora.

Todos os 16 alunos que consideraram a ideia da multiplicação efetuaram a operação três vezes R$ 6,00. O problema apresenta a informação de que Pedro possuía seis reais e Sandra o triplo. O número três é o número que indica a quantidade de vezes que o valor seis repete. Saber distinguir o valor que se repete do número a ser repetido é um aspecto importante para a resolução de situações como esta.

Entretanto, a propriedade comutativa da multiplicação garante que, em uma multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto, porém, salienta-se que na

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situação considerada na questão 1 ter três vezes o seis é diferente do que representar seis vezes o três. Os PCNs (BRASIL, 1997, p. 71) trazem o seguinte exemplo para tratar desta colocação: “Tenho que tomar 4 comprimidos por dia, durante 5 dias. Quantos comprimidos preciso comprar?”

A essa situação associa-se a escrita 5 vezes 4, na qual o 4 é interpretado como o número que se repete e o 5 como o número que indica a quantidade de repetições. A partir dessa interpretação, definem-se papéis diferentes para o multiplicador (o número que se repete) e para o multiplicador (o número de repetições), não sendo possível tomar um pelo outro. No exemplo dado, não se pode tomar o número de comprimidos pelo número de dias. Saber distinguir o valor que se repete do número de repetições é um aspecto importante para a resolução de situações como esta.

Os alunos A6 e A10 apresentaram como resoluções as respostas reveladas na Figura 3 e 4:

Figura 3- Representação da Q1, A6

A operação na forma vertical foi a mais usada entre os estudantes, na forma horizontal apenas a aluna A10 usou. Salienta-se que não há necessidade do uso do algoritmo da multiplicação, pois a operação envolve dois números naturais na ordem das unidades. Ainda a aluna A11 considerou esta ideia, iniciando a questão com o cálculo como os demais, porem salientou “ eu usei a tabuada”.

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Apenas o A17 optou pela ideia constitutiva da estrutura aditiva, ou seja, desenvolveu o cálculo considerando a soma das parcelas iguais para efetuar a operação necessária à resolução da situação problema, como revela a Figura5.

Fonte: Dados produzidos pela pesquisadora.

De acordo com os PCNs (BRASIL- 1997), o significado de parcelas iguais é uma abordagem frequente no trabalho com a multiplicação, estabelecendo uma relação entre a multiplicação e a adição. Nesse caso, a multiplicação é apresentada como um caso particular da adição porque as parcelas envolvidas são todas iguais. No entanto, essa abordagem não é suficiente para que os alunos compreendam e resolvam outras situações relacionadas com a multiplicação, é apenas possível solucionar aquelas situações que são essencialmente aditivas. PCNs (BRASIL -1997, p. 71)

O aluno A2 não conseguiu chegar à resposta adequada e analisando a forma que efetuou a operação percebe-se que o fez ao contrário dos demais, ou seja, fez seis vezes o três o que não consiste com o que se pedia no problema como foi salientando anteriormente como demonstra a Figura 6. Porém, pode-se conjecturar que tal aluno considerou a propriedade comutativa da multiplicação.

Figura 6- Representação da Q1, A2.

A situação- problema Q2, como mostra a Figura 7, assim com a Q1, aborda o significado de multiplicação comparativa, entretanto, de outra forma.

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Na Q2 os alunos deveriam analisar as representações figurais dadas e a partir delas identificar os valores para realizar e chegar a uma resposta. A análise das respostas possibilita apontar que a resolução da situação Q2 foi uma das mais problemáticas para os alunos, sendo que somente oito alunos conseguiram desenvolver corretamente, indicando o resultado esperado, como revela o Quadro 6.

Quadro 6- Representação dos dados da Q2

A Questão 2 considera a ideia de área apresentando informações apenas na forma figural como já foi mencionado. A resolução da questão exige a mobilização da ideia de medida, pois solicita quantas vezes uma determinada área cabe em outra. Os alunos buscaram meios diferentes de representar o resultado.

A análise das resoluções apresentadas pelos alunos A1; A7; A11; A17 E A18 indica que os mesmos não compreenderam de fato o solicitado na questão. Cada um

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deles buscou um meio diferente de demonstrar seu entendimento. A análise do apresentado por A1 indica que ele utilizou o número 6 que acredito que seja o número de quadradinhos da primeira figura e somou duas vezes totalizando 12 quadrados, como o mesmo escreve. Nas demais resoluções ele utilizou o 6 e fez a soma como demostra o item a). Somou duas vezes os seis quadradinhos do projeto 1 que deu 12, e para isso ele fez 4 vezes o 3, ou seja todas as letras ele apresentou um cálculo, dando indícios de que não compreendeu o que realmente o problema solicitava.

Os alunos A11 e A17 indicam em suas respostas que o Projeto 2 é duas vezes maior que o primeiro. Explicaram como obtiveram tal resultado.

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Figura 10- Representação Q2, A17

Para os alunos A6 e A8 percebe-se que a representação figural possibilitou o estudante a perceber a forma e as medidas de cada superfície. Pois eles não possuíam os números de vezes que o 1º projeto cabia no 2º, então posso supor que o Aluno8 trouxe o número 4 e apresentou o cálculo de multiplicação, o que dá indícios de considerar a ideia de medida.

Figura 11- Representação Q2, A8

Na questão Q7, como mostra a Figura 12, para obter-se a resposta pode-se fazer uso da ideia de divisão, os dois valores necessários para realizar a operação estavam expostos na questão.

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Dezessete dos dezoito alunos chegaram ao resultado esperado, apenas o A3 errou a questão e optou em resolvê-la pelo uso da adição.

Quadro 7- Estratégia de resolução da Q7

A Análise do Quadro 7 possibilita indicar que quatro alunos apenas apresentaram a resposta correta, não explicitando a maneira que chegaram à mesma. Por exemplo, o Aluno A9 disse “Cada uma receberá 4 balas”. Os demais alunos que acertaram a questão utilizaram à ideia de divisão, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, p 72) a operação multiplicação deve ser abordada considerando conexões com a divisão. A Figura 13 demonstra como a maioria dos alunos desenvolveu a questão.

Figura 13- Representação da Q7,A10

Teve apenas uma aluna que não chegou ao resultado esperado. A Aluna A3 usou a ideia de adição para resolver o problema. Porém, analisando a cálculo realizado é possível conjecturar que a mesma não compreendeu o que foi solicitado na questão. A3 somou os dois números apresentados na questão, como a Figura 14 revela.

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Após a análise das respostas das questões Q1, Q2 e Q7 podemos indicar que as questões Q1 e Q7 eram mais simples do que Q2. Ou seja, os dados estão mais explícitos nestas questões, os alunos obtiveram um rendimento de quase 100%. Já, na questão Q2 que trazia uma representação geométrica, exigia uma análise do desenho e a partir dele buscar os dados. Nesta teve-se um rendimento inferior a 50%. O quadro a baixo sintetiza o número de acertos de cada questão.

Quadro 8- Acertos da Q1, Q2 e Q7

Questão Total dos 18 alunos (Acertos)

1 17 alunos

2 8 alunos

7 17 alunos

3.2 Significado: Comparação entre Razão

Para se analisar os entendimentos dos alunos considerando o significado da multiplicação comparação entre razão, ou seja, onde o aluno envolva a ideia de proporcionalidade sem que haja necessidade de verificar a quantidade unitária. Foi elaborada duas questões e como os PCNs (BRASIL, 1997, p.72) trazem, os problemas que envolvem essa ideia são muito frequentes nas situações cotidianas e, por isso, são mais bem compreendidos pelos alunos. O que o Quadro 9 a baixo demonstra.

Quadro 9- Acertos da Q5 e Q6

Questão Total dos 18 alunos ( Acertos)

5 15 alunos

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A questão Q5 traz a seguinte situação problema, como a Figura 15 demonstra: Figura 15- Questão 5

Dos 18 alunos sujeitos da pesquisa, 14 optaram em utilizar a ideia de divisão, sendo que todos optaram em dividir os 18 brindes pela a quantia que cada amigo iria ganhar, ou seja, por 3.

Dois alunos realizaram a questão por meio da ideia de adição, porém, apenas um deles conseguiu chegar à resposta desejada. O aluno A5 considerou na resolução da questão a ideia de parcelas iguais, foi somando o número de brindes que cada amigo iria receber até achar o número total de brindes que Carlos possuía, chegando assim na resposta desejada. A aluna A3, que também fez pela adição, escreveu “Carlos vai

receber 21 amigos”. Ao invés de dividir o número de brindes pela quantidade ou somar

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Já a questão seis trás a seguinte situação problema. Figura 19- Questão 6

Um grande número de alunos acertou a Questão 6, seja por meio do cálculo da multiplicação ou da divisão. O Quadro 10 apresenta a síntese das estratégias usadas pelos alunos.

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Quadro 10- Estratégia de resolução da questão 6

A ideia de multiplicação e divisão usada pelos alunos, segundo Magina, Santos e Merlini (2011) para trabalhar com problemas do campo conceitual multiplicativo, é quase sempre centrada no ensino da tabuada e no manejo dos algoritmos, convertendo a memorização das multiplicações básicas em um dos objetivos centrais do ensino da matemática no Ensino Fundamental. Em outras palavras, parece haver uma forte crença que para o domínio conceitual das operações de multiplicação e divisão, basta o estudante dominar a tabuada e alguns procedimentos de cálculo para obter sucesso na resolução de diversos problemas do campo conceitual multiplicativo.

O A12 foi o único que optou seguir a ideia da multiplicação como revela a Figura 20.

Para esse aluno parece estar claro que para se fazer sete bolos e chegar em trinta e cinco, o único número possível era o cinco. Não precisando usar a ideia de divisão como os demais alunos que acertaram a questão. A Figura 21 revela a maneira que os que optaram pela ideia de divisão fizeram.

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Como o Quadro 10 apresentou, teve três alunos que não conseguiram chegar na resposta esperada, sendo que um deles não fez, o outro apenas escreveu “são dois ovos” e o terceiro aluno somou os dois números dados no problema, ou seja, 35+7 =42 ovos.

3.3 Significado: Configuração Retangular

Na configuração retangular os alunos trabalham com as ideias de área e da propriedade comutativa da multiplicação. Magina (2012) traz isso como um produto de medidas, onde uma quantidade é produto das outras duas, tanto no plano numérico quanto no plano dimensional. Para ela configuração retangular são situações em que as quantidades representam certas medidas dispostas na horizontal e na vertical, dispostas de forma retangular. Ou seja, para esse significado foi feito apenas uma questão como a Figura 22 traz:

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Quadro 11- Dados da Q3

Para a resolução do problema, os alunos A7, A11 e A14 organizaram o desenho do cinema relacionando as duas medidas conhecidas: a quantidade de fileiras e a quantidade colunas, constituindo uma representação com linhas e colunas, cuja multiplicação expressa o produto da relação entre essas quantidades. Isto é, 9 fileiras por 7 colunas, o produto dessa multiplicação resulta em 63 cadeiras . Os alunos A11 e A14 ainda colocaram o registro numérico como demostra a Figura 23:

Este tipo de tabela é considera a forma mais natural de representação da relação entre as três medidas envolvidas em problemas dessa natureza. No caso exemplificado, têm-se as duas medidas simples conhecidas e busca-se a medida composta (o produto). (Vergnaud 2009 apud BRASIL 2014 p. 39).

No caso dos demais alunos que obtiveram a resposta desejada utilizaram a ideia de multiplicação, ou seja, os 10 alunos fizeram 9 vezes o 7 para encontrar o número de cadeiras totais do cinema.

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Para os alunos A2 e A12 que utilizaram também a mesma ideia de multiplicar o número de fileiras pelo número de colunas, o produto final foi que deu errado, sendo que para um deles deu 62 e para o outro 54 cadeiras.

Os alunos A3 e A5 somaram os dados apresentados no problema, sendo que para os dois deu 16, a A3 justifica “Vai dar 16 fileiras, eu resolvi montando uma conta e,

portanto deu a resposta 16” e o A5 representou pelo registro numérico 9+7= 16.

3.4 Significado: Ideia Combinatória

De acordo com os PCNs (BRASIL- 1997) podemos determinar a ideia combinatória como sendo um conjunto de possibilidade constituído por elementos finitos, envolvendo assim a ideia de organizar agrupamentos diferenciados, de modo que todos possam se combinar entre si.

Para a situação problema foi proposto uma questão onde os alunos a Q4.

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A análise das respostas à referida questão apresenta indícios de que os alunos A3, A5, A12 e A16 não entenderam a questão. A Aluna A3 ainda salientou que “para

falar a verdade eu não entendi”. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa

(BRASIL-2014) abordam que o que leva o aluno ao erro é a ausência ou equívoco de compreensão matemática: o aluno compreendeu o que leu mas não identificou o conceito matemático que o resolve. O Quadro 12 apresenta a síntese das estratégias usadas pelos alunos.

Quadro 12- Estratégias de resolução da Q4

A Questão 4 foi uma das situações problemas cuja resolução foi desenvolvida de diferentes formas. Percebe-se a partir das análises que seis alunos demonstram ter clareza da ideia combinatória. Os alunos A1, A6, A9 e A17 explicaram adequadamente, com suas palavras, quantas combinações a menina poderia fazer e os alunos A7 e A11fizeram uma organização tabular. As figuras a baixo revelam tal entendimento.

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Os demais alunos que chegaram a resposta correta, usaram a ideia de multiplicação fazendo 2 vezes o 3, que resultou no produto igual a 6. E com o PCN (BRASIL, 1997, p. 73) aborda que a interpretação nesse caso não se diferenciam os termos da multiplicação, sendo compatível a interpretação da operação com sua representação escrita. Combinar saias com blusas é o mesmo que combinar blusas com saias e isso pode ser expresso por 2 x 3 = 3 x 2.

Levando-se em conta tais considerações, pode-se concluir que os problemas cumprem um importante papel no sentido de propiciar as oportunidades para as crianças, do primeiro e segundo ciclos, interagirem com os diferentes significados das operações, levando-as a reconhecer que um mesmo problema pode ser resolvido por diferentes operações, assim como uma mesma operação pode estar associada a diferentes problemas.

Considerações finais

A presente pesquisa visou ampliar compreensões acerca de entendimentos, a partir da proposição de questões que envolvem situações problemas, alunos do 6º ano do ensino fundamental apresentam sobre os diferentes significados da operação multiplicação. Tais compreensões se estabeleceram a partir de quatro significados: multiplicação comparativa; comparação entre razão; configuração retangular e ideia de combinatória.

O significado de multiplicação comparativa, contemplado especialmente pelas questões Q1, Q2 e Q7, teve-se uma grande número de acertos. A pesquisa indicou que neste significado, na Questão 2, a qual tinha uma representação figural, os alunos

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apresentaram um grande número de erros. Tal indicativo torna-se um dado preocupante já que nota-se que os mesmo tendem a desconsiderar o seu pensamento de modo a optar cada vez mais pelo uso de algoritmos e a memorização da tabuada, abrindo mão de outro tipo de estratégia. O mesmo vale para o significado de configuração retangular, contemplado especialmente na Q3, foram poucos alunos que usaram a forma figural para chegar à resposta, em sua maioria os alunos apenas usaram o uso da tabuada.

O significado de ideia de combinação, considerado na Q4, mesmo com os dados expostos na questão e tendo sua representação figural, foi o significado em que um maior número de alunos deixou a questão em branco, ou seja, nem tentaram resolver a questão. Este indicativo leva a supor que tal significado da multiplicação não foi apropriado pelos alunos sujeitos da pesquisa.

O significado de comparação entre razão, especialmente considerado nas questões Q5 e Q6, a partir das análises percebe-se que os alunos não tiveram nenhum problema em resolver as situações propostas.

Pode-se concluir que, nesta turma de alunos, ainda se tem muitas lacunas no ensino dos anos iniciais do Ensino Fundamental em se tratando dos significados da operação multiplicação. Os alunos apresentaram melhor desempenho na resolução de questões as quais apresentaram os dados de forma explícita, como também há indícios de que para chegar à resposta, em várias situações, precisavam apenas o domínio da tabuada.

Como abordam os PCNs (BRASIL, 1997, p.26), se faz necessário que os alunos desenvolvam o conceito de número. Para isso precisamos, como futuros professores, propor situações-problema que envolva as quatro operações básicas e à medida que se depara com a diversidade de situações os alunos buscam estratégias pessoais para resolver os problemas, fazendo com que esse processo possibilite o desenvolvimento da sua autonomia. O ensino de Matemática prestará sua contribuição à medida que forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios.

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Magina (2010) coloca que são nos anos iniciais do ensino fundamental que os primeiros conceitos científicos começam a ser formados. Isso revela que é necessário oferecer ao aluno uma boa formação matemática no início de sua escolaridade para que não ocorra uma descontinuidade em relação a matemática dos anos iniciais do ensino fundamental e os anos posteriores da educação básica. Magina (2010) aponta que os problemas das crianças com as quatro operações básicas devam estar relacionadas tanto com o raciocínio, quanto com o domínio de procedimento.

Para Magina, Santos e Merlini (2014) esses problemas, contudo, estão longe de esgotar o campo multiplicativo. Mesmo pensando apenas no conjunto números naturais, há uma gama considerável de situações que precisa ser dominada pelo estudante para que ele possa expandir seus conhecimentos sobre esse campo conceitual. Essas situações têm graus diferentes de complexidade, o que exige do estudante um maior investimento cognitivo para compreendê-las e ter sucesso ao resolvê-las. É o interagir com esse conjunto de situações que requerem distintos raciocínios que culminará com a apropriação e expansão do campo conceitual multiplicativo.

Evidentemente, a aprendizagem de um repertório básico de cálculos não se dá pela simples memorização de fatos de uma dada operação, mas sim pela realização de um trabalho que envolve a construção, a organização e, como consequência, a memorização compreensiva desses fatos. (BRASIL, 1997, p. 113).

Referências

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática / Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília : MEC/SEF, 1997. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais : Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília : MEC / SEF, 1998.

BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Apoio à Gestão Educacional. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: Operações na resolução de problemas / Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, Diretoria de Apoio à Gestão Educacional. – Brasília: MEC, SEB, 2014.

NEHRING, Cátia Maria. A Multiplicação e seus Registros de Representação nas Séries Iniciais. Mestrado em Educação. Florianópolis: 1996.

NUNES, T.; CAMPOS, T. M. M.; MAGINA, S.; BRYANT, Introdução à Educação Matemática: números e operações numéricas. São Paulo, Brasil: PROEM, 2001

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NUNES, Terezinha et al. As estruturas aditivas: avaliando e promovendo o desenvolvimento e os conceitos de adição e subtração em sala de aula. In: Educação Matemática 1: números e operações numéricas. 2. ed. São Paulo: Cortez. 2009.

MAGINA, S.; CAMPOS,T; NUNES,T., GITIRANA,V. Repensando Adição e Subtração: Contribuições da Teoria dos Campos Conceituais, São Paulo: Ed. PROEM, 2001

MAGINA, Sandra; MERLINI, V.; SANTOS, A. A estrutura Multiplicativa sob a ótica da Teoria dos Campos Conceituais: uma visão do ponto de vista da aprendizagem. 3º Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, 2012. MERLINI, V. L; MAGINA, S; SANTOS, A. Estrutura Multiplicativa: Um Estudo Comparativo entre o que a professora elabora e o desempenho dos estudantes. Ata do VII Congresso Ibero-americano de Educação Matemática – VII CIBEM. Montevideu, 2013.

SANTOS, Aparecido dos, MAGINA Sandra, MAERLINI Vera. O campo conceitual das estruturas multiplicativas: análise comparativa entre o prognostico dos professores e o desempenho dos estudantes. In: VII CIBEM, Montevideo, Uruguai: 2013.