9-Hidrologia estatistica Josué

Hidrologia Estatística

Disciplina: Hidrologia

Profº Josué Souza de Gois

• Estatística descritiva

• A curva de permanência

• Vazões máximas

Estatística descritiva

• Média

• Desvio padrão

• Mediana

• Quantis

• Coeficiente de assimetria

• Coeficiente de variação

Média

n

x

x

n i i







1

Desvio padrão





1

1 2











n

x

x

s

n i i

Mediana

• Valor superado em 50% dos pontos da amostra ou da população.

• Valor da mediana relativamente próximo à média, mas não igual

A mediana pode ser obtida organizando os n valores x

_i

da

amostra em ordem crescente.

Sendo x

_k

com K = 1 a n, os valores de x organizados em ordem

decrescente, a mediana é obtida por:

Mediana = x

_p

com p = n - 1 + 1 se n for ímpar

E Mediana = x

_p

+ x

_{p + 1}

se for n for par

2

O coeficiente de variação

O coeficiente de variação é uma relação entre o

desvio padrão e a média. O coeficiente de variação é

uma medida da variabilidade dos valores em torno da

média, relativamente à própria média.

Coeficiente de assimetria

O coeficiente de assimetria é um valor que caracteriza o quanto

uma amostra de dados é assimétrica com relação à média. Uma

amostra é simétrica com relação à média se o histograma dos

dados revela o mesmo comportamento de ambos os lados da

média

A assimetria é chamada positiva quando o valor G é positivo e a

assimetria é negativa quando o valor de G é negativo. Algumas

variáveis importantes na hidrologia, como as vazões máximas

anuais em rios, apresentam uma assimetria positiva.

G =

∑

n i= 1

( x_i - x )³

A curva de permanência

• O que é isto?

• Histograma de freqüência de vazões

• Curva de permanência

Exemplo: Análise estatística de dados

Número Nome

Altura (cm)

1

Pedro Cabral

185

2

Charles Darwin

174

3

Leonardo da Vinci

173

4

Getúlio Vargas

161

5

Oscar Schmidt

205

6

Chico Mendes

169

7

Seu Creysson

168

..

...

N

Elvis Presley

180

Exemplo: Análise estatística de dados

Intervalo Contagem <150 0 150 a 155 3 155 a 160 10 160 a 165 43 165 a 170 120 170 a 175 134 175 a 180 76 180 a 185 23 185 a 190 16 190 a 195 13 195 a 200 6 200 a 205 1 altura Con tag em Histograma

Exemplo: Análise estatística de dados

Intervalo (cm) Contagem Contagem Acumulada

<150 0 0 150 a 155 3 3 155 a 160 10 13 160 a 165 43 56 165 a 170 120 176 170 a 175 134 310 175 a 180 76 386 180 a 185 23 409 185 a 190 16 425 190 a 195 13 438 195 a 200 6 444 200 a 205 1 445 Total = 445

Exemplo: Análise estatística de dados

Intervalo (cm) Contagem Contagem Acumulada Acumulada relativa <150 0 0 0/445 = 0,00 150 a 155 3 3 3/445 = 0,01 155 a 160 10 13 13/445 = 0,03 160 a 165 43 56 56 /445 = 0,13 165 a 170 120 176 176 /445 = 0,40 170 a 175 134 310 310 /445 = 0,70 175 a 180 76 386 386 /445 = 0,87 180 a 185 23 409 409 /445 = 0,92 185 a 190 16 425 425 /445 = 0,96 190 a 195 13 438 438 /445 = 0,98 195 a 200 6 444 444 /445 = 1,0 200 a 205 1 445 445 /445 = 1,0

Exemplo: Análise estatística de dados

Intervalo (cm) Acumulada relativa Probabilidade de uma pessoa ser menor

<150 0,00 0 % 150 a 155 0,01 1 % 155 a 160 0,03 3 % 160 a 165 0,13 13 % 165 a 170 0,40 40 % 170 a 175 0,70 70 % 175 a 180 0,87 87 % 180 a 185 0,92 92 % 185 a 190 0,96 96 % 190 a 195 0,98 98 % 195 a 200 1,00 100 % 200 a 205 1,00 100 %

Exemplo: Análise estatística de dados

Intervalo (cm)

Acumulada relativa

Probabilidade de uma pessoa ser menor <150 0,00 0 % 150 a 155 0,01 1 % 155 a 160 0,03 3 % 160 a 165 0,13 13 % 165 a 170 0,40 40 % 170 a 175 0,70 70 % 175 a 180 0,87 87 % 180 a 185 0,92 92 % 185 a 190 0,96 96 % 190 a 195 0,98 98 % 195 a 200 1,00 100 % 200 a 205 1,00 100 %

Se uma pessoa for escolhida aleatoriamente da população, a chance de que esta pessoa seja menor do que 195 cm é de 98 %.

100 % Altura Pr obab ili da de

Transformar hidrograma em histograma

Cada dia é um ponto amostral O período completo é a amostra

V

az

ão

Transformar hidrograma em histograma

Cada dia é um ponto amostral O período completo é a amostra

1 0 0 % V az ão Probabilidade

• As vazões são variáveis aleatórias no tempo.

• Sua variação normalmente apresenta alguma

sazonalidade, mas os períodos não são fixos ao

longo dos anos.

• Da mesma forma ocorre com as chuvas, níveis

d’água, etc...

Perguntas Típicas

• O rio tem uma vazão aproximadamente

• constante ou muito variável?

Perguntas Típicas

• Qual é a porcentagem do tempo em que o rio

apresenta vazões em determinada faixa?

Qual é a porcentagem do tempo em que um rio

tem vazão suficiente para atender determinada

demanda?

Perguntas Típicas

Cidade, Irrigação, Indústria... Garantia (%)?

Quanto de energia pode ser gerada durante uma

determinada porcentagem do tempo ou qual é a

potência mínima garantida em uma porcentagem

do tempo?

Estas e outras questões podem ser

respondidas mais facilmente com

o uso das CURVAS DE DURAÇÃO

ou CURVAS DE PERMANÊNCIA.

Curva de Permanência

• A curva de permanência expressa a relação

entre a vazão e a frequência com que esta

vazão é superada ou igualada.

• A curva de permanência pode ser elaborada

a partir de dados diários, mensais ou anuais de

vazão.

• De forma geral, pode-se construir curvas de

duração ou permanência para qualquer outra

variável aleatória.

Curva de Permanência

Frequência Amostral

• Assume-se que as vazões sejam variáveis

aleatórias contínuas. Assim, a probabilidade de

sua ocorrência é igual ao inverso do número de

valores da série histórica.

• Por exemplo, seja uma série de vazões médias

anuais observadas em um período de N anos. A

probabilidade de ocorrer a vazão Qi observada no

ano i é de 1/N.

• Se a série observada for colocada em ordem

decrescente de seus valores, pode-se dizer que a

vazão máxima teve uma probabilidade de ser

igualada ou superada (neste caso só igualada) de

1/N.

• Da mesma forma, a segunda maior vazão da

série teve uma probabilidade de ser igualada ou

superada de 2/N.

• De forma geral, a i-ésima maior vazão da série

teve uma probabilidade de ser igualada ou

superada de i/N.

Exemplo: seja dada uma série com 12 anos de

dados de vazões médias anuais:

Frequência Amostral

Ano Vazão (m³/s) Ordem Vazão (m³/s) Freq.

Excedência (%) 1920 10.7 1 21.2 100/12 1921 10.3 2 15.7 200/12 1922 12.1 3 15.1 300/12 1923 15.7 4 14.7 400/12 1924 8.3 5 13.9 500/12 1925 8.3 6 12.9 600/12 1926 11.0 7 12.1 700/12 1927 13.9 8 11.0 800/12 1928 12.9 9 10.7 900/12 1929 21.9 10 10.3 1000/12 1930 14.7 11 8.3 1100/12 1931 15.1 12 8.3 1200/12

Curva de Permanência

Costuma-se representar a vazão que é igualada ou superada

F% do tempo como QF. Assim, do gráfico: Q90 = 8.7 m3/s.

Curva de Permanência

A vazão Q50 é a mediana da distribuição.

• A curva de permanência é utilizada na maioria

dos problemas de recursos hídricos;

• Relaciona a vazão com a sua probabilidade de

ocorrência ao longo do tempo;

• Despreza a correlação entre as vazões;

Procedimento para a construção da

Curva de Permanência

a) Dispor as vazões observadas no período considerado em

ordem decrescente;

b) Com a amplitude da variação das vazões, definem-se os

intervalos de classe. Chamando de:

n: número de dados de vazões;

A: amplitude da variação das vazões (Qmax-Qmin);

N: número de intervalo de classe;

K: amplitude do intervalo de classe.

Procedimento para a construção da

Curva de Permanência

c) Dispor os intervalos em ordem

decrescente e verificar o número de

eventos ocorridos em cada intervalo à

freqüência absoluta.

d) Calcular a freqüência relativa

(freqüência absoluta / número de dados)

para cada intervalo e acumulá-las

seguindo a ordem anterior.

e) Plotar em um gráfico o limite inferior

de cada intervalo (ordenada) e a

correspondente

freqüência

relativa

acumulada (abscissa) e obtém-se a curva

de permanência das vazões.

Análise e Interpretação de uma

Curva de Permanência

• A vazão de 75% da curva de

permanência significa que 75%

do tempo as vazões são

maiores ou iguais a Q75

• O período das grandes

estiagens geralmente ocorre

para probabilidade superior a

95%

• Esta curva é utilizada para

avaliar

a

distribuição

do

comportamento da vazão ao

longo do tempo e não para

valores extremos...

Valores característicos

• Q95: vazão de 95%, utilizada como estimador

da energia firme;

• Q50: mediana, significa que 50% dos valores

estão acima (ou abaixo) deste valor, mas

geralmente é menor que a vazão média;

• A curva de permanência é utilizada para

avaliação econômica de PCH, a navegação de

um rio, as condições de variabilidade ambiental

de um rio,entre outras aplicações.

Variação das Curvas de Duração

com a Área de Drenagem

• Para comparar o regime de sazonalidade das

vazões entre bacias hidrográficas de áreas

diferentes, costuma-se representar as vazões

específicas (m³/s/Km²), para retirar o efeito da

área da bacia sobre os valores das vazões...

Curva de Permanência - Limitação

Como se poderia obter a vazão Q5 neste exemplo? A

Curva de permanência de vazões

Q₉₀ = 40 m3_/s

Importância da curva de permanência

• Algumas vazões da curva de permanência

(por exemplo a Q

₉₀

) são utilizadas como

referências na legislação ambiental e de

recursos hídricos.

• As ações e legislações existentes, nos Sistemas

Estaduais de Gestão de Recursos Hídricos, apresentam

critérios de estabelecimento de uma “vazão ecológica”,

que visa evitar que o rio seque pelo excesso de uso.

• Nesta forma de proceder, escolhe-se uma vazão de

referência (baseada na curva de permanência de

vazões ou num ajuste de probabilidade de ocorrência

de vazões mínimas, Q

₉₀

ou Q

_7,10

, por exemplo) e

arbitra-se um percentual máximo desta vazão que pode

ser outorgado. O restante da vazão de referência é

Estado / Ato Critério da vazão de referência Vazão Residual

Bahia

Decreto no ₆₂₉₆

de 21 de março de 1997

O valor de referência será a descarga regularizada anual com garantia de 90%. O somatório dos volumes a serem outorgados corresponde a 80% da vazão de referência do manancial; 95% das vazões regularizadas com 90% de garantia, dos lagos naturais ou barragens implantados em mananciais intermitentes e, nos casos de abastecimento

humano, pode - se atingir 95%. _{20% das}

vazões regulariza das deverão escoar para jusante. Ceará Decreto no _23.067 de 11 fevereiro de 1994

O valor de referência será a descarga regularizada anual com garantia de 90%. O somatório dos volumes a serem outorgados corresponde a 80% da vazão de referência do manancial e nos casos de abastecimento humano, pode-se atingir 95%.

Rio Grande do Norte Decreto no _13.283

de 22 de março de1997

O valor de referência será a descarga regularizada anual com garantia de 90%. O somatório dos volumes a serem outorgados não poderá exceder 9/10 da vazão regularizada anual com 90% de garantia.

Vazões de referência, máximas outorgáveis e

remanescentes definidas por órgãos ambientais

de Estados brasileiros

ESTADO Vazão de referência Vazão Máxima Outorgável Vazão Remanescente

PR

Q

_7,10

50% Q

7,10

50% Q

_7,10

MG

_{30% Q}

_7,10

70% Q

_7,10

PE

Q

₉₀

80% Q

₉₀

20% Q

₉₀

BA

PB

90% Q

₉₀

10% Q

₉₀

RN

CE

Importância para geração de energia

e

H

Q

P











P = Potência (W)

 = peso específico da água (N/m3₎

Q = vazão (m3_/s)

H = queda líquida (m)

e = eficiência da conversão de energia hidráulica em elétrica

e depende da turbina; do gerador e do sistema de adução

Importância para geração de energia

e

H

Q

P











excesso déficit

Energia Assegurada

• Energia Assegurada é a energia que pode

ser suprida por uma usina com um risco de

5% de não ser atendida, isto é, com uma

garantia de 95% de atendimento.

• Numa usina com reservatório pequeno, a

energia assegurada é definida pela Q

₉₅

• A empresa de energia será remunerada

Curva de permanência de vazões

Exemplo

Uma usina hidrelétrica será construída em um rio com a curva de

permanência apresentada abaixo. O projeto da barragem prevê uma

queda líquida de 27 metros. A eficiência da conversão de energia será

de 83%. Qual é a energia assegurada desta usina?

e

H

Q

P











Uma usina hidrelétrica será construída em um rio com a curva de permanência apresentada abaixo. O projeto da barragem prevê uma

queda líquida de 27 metros. A eficiência da conversão de energia será de 83%. Qual é a energia assegurada?

Q₉₅ = 50 m3_/s H = 27 m e = 0,83  = 1000 kgf/m3 . 9,81 N/kg P = 9,81.50.27.0,83.1000 P = 11 MW

Importância da curva de permanência

• Forma da curva de permanência permite

conhecer melhor o regime do rio.

Forma da curva de permanência