GA aula11

Geometria Analítica - Retas e Planos: Distâncias

Cleide Martins

DMat - UFPE

Turmas PF e P7

Objetivos

Aprender a calcular

1 Distância de um ponto a uma reta 2 Distância de um ponto a um plano 3 Distância entre duas retas

4 Distância de uma reta a um plano 5 Distância entre dois planos

Distâncias

Agora vamos estudar maneiras de calcular distâncias

Distância entre dois pontos Distância de um ponto a uma reta Distância de um ponto a um plano Distância entre duas retas

Distância entre uma reta e um plano Distância entre dois planos

Distâncias

Agora vamos estudar maneiras de calcular distâncias Distância entre dois pontos Ver detalhes

Distância de um ponto a uma reta Distância de um ponto a um plano Distância entre duas retas

Distância entre uma reta e um plano Distância entre dois planos

Distâncias

Agora vamos estudar maneiras de calcular distâncias Distância entre dois pontos

Distância de um ponto a uma reta Ver detalhes

Distância de um ponto a um plano Distância entre duas retas

Distância entre uma reta e um plano Distância entre dois planos

Distâncias

Agora vamos estudar maneiras de calcular distâncias Distância entre dois pontos

Distância de um ponto a uma reta

Distância de um ponto a um plano Ver detalhes

Distância entre duas retas

Distância entre uma reta e um plano Distância entre dois planos

Distâncias

Agora vamos estudar maneiras de calcular distâncias Distância entre dois pontos

Distância de um ponto a uma reta Distância de um ponto a um plano Distância entre duas retas Ver detalhes

Distância entre uma reta e um plano Distância entre dois planos

Distâncias

Agora vamos estudar maneiras de calcular distâncias Distância entre dois pontos

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Distância entre uma reta e um plano Ver detalhes

Distâncias

Agora vamos estudar maneiras de calcular distâncias Distância entre dois pontos

Distância de um ponto a uma reta Distância de um ponto a um plano Distância entre duas retas

Distância entre uma reta e um plano Distância entre dois planos Ver detalhes

Distância entre dois pontos

Se A = (x0, y0, z0) e B = (x1, y1, z1) então

d(A, B) =p(x0− x1)2+ (y0− y1)2+ (z0− z1)2

Distância de um ponto a uma reta

A distância do ponto P = (x1, y1, z1)à reta r : X = A + λ →

v é a distância do ponto P ao ponto P0 _{que é a projeção de P sobre r (como determinar P}0_?).

Considere o vetorAB→ representante de →v com origem em A. A distância de P a r é a altura do triângulo ABP

A altura relativa ao vértice P do triângulo ABP é o dobro de sua área dividido pela norma de AB→

A área do triângulo ABP é a metade da norma deAB ∧→

→ AP Portanto d(P, r) = k → v ∧ → AP k k→vk Voltar

Distância de um ponto a uma reta

A distância do ponto P = (x1, y1, z1)à reta r : X = A + λ →

v é a distância do ponto P ao ponto P0 _{que é a projeção de P sobre r (como determinar P}0_?).

Em vez de determinar P0_{, podemos adotar outra estratégia.}

Considere o vetorAB→ representante de →v com origem em A. A distância de P a r é a altura do triângulo ABP

A altura relativa ao vértice P do triângulo ABP é o dobro de sua área dividido pela norma de AB→

A área do triângulo ABP é a metade da norma deAB ∧→

→ AP Portanto d(P, r) = k → v ∧AP k→ k→vk Voltar

Distância de um ponto a uma reta

A distância do ponto P = (x1, y1, z1)à reta r : X = A + λ →

v é a distância do ponto P ao ponto P0 _{que é a projeção de P sobre r (como determinar P}0_?).

Em vez de determinar P0_{, podemos adotar outra estratégia.}

Considere o vetorAB→ representante de →v com origem em A. A distância de P a r é a altura do triângulo ABP

A altura relativa ao vértice P do triângulo ABP é o dobro de sua área dividido pela norma de AB→

A área do triângulo ABP é a metade da norma deAB ∧→

→ AP Portanto d(P, r) = k → v ∧AP k→ k→vk Voltar

Distância de um ponto a uma reta

A distância do ponto P = (x1, y1, z1)à reta r : X = A + λ →

v é a distância do ponto P ao ponto P0 _{que é a projeção de P sobre r (como determinar P}0_?).

Em vez de determinar P0_{, podemos adotar outra estratégia.}

Considere o vetorAB→ representante de →v com origem em A. A distância de P a r é a altura do triângulo ABP

A altura relativa ao vértice P do triângulo ABP é o dobro de sua área dividido pela norma de AB→

A área do triângulo ABP é a metade da norma deAB ∧→

→ AP Portanto d(P, r) = k → v ∧AP k→ k→vk Voltar

Distância de um ponto a uma reta

A distância do ponto P = (x1, y1, z1)à reta r : X = A + λ →

v é a distância do ponto P ao ponto P0 _{que é a projeção de P sobre r (como determinar P}0_?).

Em vez de determinar P0_{, podemos adotar outra estratégia.}

Considere o vetorAB→ representante de →v com origem em A. A distância de P a r é a altura do triângulo ABP

A altura relativa ao vértice P do triângulo ABP é o dobro de sua área dividido pela norma de AB→

A área do triângulo ABP é a metade da norma deAB ∧→

→ AP Portanto d(P, r) = k → v ∧AP k→ k→vk Voltar

Distância de um ponto a uma reta

A distância do ponto P = (x1, y1, z1)à reta r : X = A + λ →

v é a distância do ponto P ao ponto P0 _{que é a projeção de P sobre r (como determinar P}0_?).

Em vez de determinar P0_{, podemos adotar outra estratégia.}

Considere o vetorAB→ representante de →v com origem em A. A distância de P a r é a altura do triângulo ABP

A altura relativa ao vértice P do triângulo ABP é o dobro de sua área dividido pela norma de AB→

A área do triângulo ABP é a metade da norma deAB ∧→

→ AP Portanto d(P, r) = k → v ∧AP k→ k→vk Voltar

Distância de um ponto a um plano

A distância do ponto P = (x1, y1, z1)ao plano π : ax + by + cz = d é a distância do ponto P

ao ponto P0 _{que é a projeção de P sobre π (como determinar P}0_?).

Escolha um ponto A ∈ π e considere o vetor AP→

Considere também um representante do vetor normal de π,→n= (a, b, c)que tem origem em A.

A distância de P a π é o comprimento do vetor projeção deAP→ sobre →n Portanto d(P, π) =kProj → AP → n k

Distância de um ponto a um plano

A distância do ponto P = (x1, y1, z1)ao plano π : ax + by + cz = d é a distância do ponto P

ao ponto P0 _{que é a projeção de P sobre π (como determinar P}0_?).

Em vez de determinar P0_{, podemos adotar outra estratégia.}

Escolha um ponto A ∈ π e considere o vetor AP→

Considere também um representante do vetor normal de π,→n= (a, b, c)que tem origem em A.

A distância de P a π é o comprimento do vetor projeção deAP→ sobre →n Portanto d(P, π) =kProj → AP → n k

Distância de um ponto a um plano

A distância do ponto P = (x1, y1, z1)ao plano π : ax + by + cz = d é a distância do ponto P

ao ponto P0 _{que é a projeção de P sobre π (como determinar P}0_?).

Em vez de determinar P0_{, podemos adotar outra estratégia.}

Escolha um ponto A ∈ π e considere o vetor AP→

Considere também um representante do vetor normal de π,→n= (a, b, c)que tem origem em A.

A distância de P a π é o comprimento do vetor projeção deAP→ sobre →n Portanto d(P, π) =kProj → AP → n k

Distância de um ponto a um plano

A distância do ponto P = (x1, y1, z1)ao plano π : ax + by + cz = d é a distância do ponto P

ao ponto P0 _{que é a projeção de P sobre π (como determinar P}0_?).

Em vez de determinar P0_{, podemos adotar outra estratégia.}

Escolha um ponto A ∈ π e considere o vetor AP→

Considere também um representante do vetor normal de π,→n= (a, b, c)que tem origem em A.

A distância de P a π é o comprimento do vetor projeção deAP→ sobre →n Portanto d(P, π) =kProj → AP → n k

Distância de um ponto a um plano

A distância do ponto P = (x1, y1, z1)ao plano π : ax + by + cz = d é a distância do ponto P

ao ponto P0 _{que é a projeção de P sobre π (como determinar P}0_?).

Em vez de determinar P0_{, podemos adotar outra estratégia.}

Escolha um ponto A ∈ π e considere o vetor AP→

Considere também um representante do vetor normal de π,→n= (a, b, c)que tem origem em A.

A distância de P a π é o comprimento do vetor projeção deAP→ sobre →n

Portanto d(P, π) =kProj → AP → n k

Distância de um ponto a um plano

A distância do ponto P = (x1, y1, z1)ao plano π : ax + by + cz = d é a distância do ponto P

ao ponto P0 _{que é a projeção de P sobre π (como determinar P}0_?).

Em vez de determinar P0_{, podemos adotar outra estratégia.}

Escolha um ponto A ∈ π e considere o vetor AP→

Considere também um representante do vetor normal de π,→n= (a, b, c)que tem origem em A.

A distância de P a π é o comprimento do vetor projeção deAP→ sobre →n Portanto d(P, π) =kProj → AP → n k

Fórmula de distância de ponto a plano

Se A = (x0, y0, z0) ∈ π então ax0+ by0+ cz0= de d(P, π) = | → AP .→n | k→nk = |(x₁− x₀, y_√1− y0, z1− z0).(a, b, c)| a2_{+ b}2_{+ c}2 d(P, π) = |a(x1− x0) + b(y√ 1− y0) + c(z1− z0)| a2_{+ b}2_{+ c}2 d(P, π) = |ax1+ by1+ cz√ 1− (ax0+ by0+ cz0)| a2_{+ b}2_{+ c}2 d(P, π) = |ax1√+ by1+ cz1− d| a2_{+ b}2_{+ c}2 Voltar

Distância entre duas retas

A distância entre as retas r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v depende da posição relativa entre elas

Se r e s são concorrentes, d(r, s) = 0.

Se r e s são paralelas, d(r, s) = d(A, s) = d(B, r). É distância de ponto a reta.

Se r e s são reversas, existe uma reta ` que corta r e s perpendicularmente. A distância entre r e s é a distância entre os pontos r ∩ ` e s ∩ `.

Distância entre duas retas

A distância entre as retas r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v depende da posição relativa entre elas

Se r e s são concorrentes, d(r, s) = 0.

Se r e s são paralelas, d(r, s) = d(A, s) = d(B, r). É distância de ponto a reta.

Se r e s são reversas, existe uma reta ` que corta r e s perpendicularmente. A distância entre r e s é a distância entre os pontos r ∩ ` e s ∩ `.

Distância entre duas retas

A distância entre as retas r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v depende da posição relativa entre elas

Se r e s são concorrentes, d(r, s) = 0.

Se r e s são paralelas, d(r, s) = d(A, s) = d(B, r). É distância de ponto a reta.

Se r e s são reversas, existe uma reta ` que corta r e s perpendicularmente. A distância entre r e s é a distância entre os pontos r ∩ ` e s ∩ `.

Distância entre duas retas

A distância entre as retas r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v depende da posição relativa entre elas

Se r e s são concorrentes, d(r, s) = 0.

Se r e s são paralelas, d(r, s) = d(A, s) = d(B, r). É distância de ponto a reta.

Se r e s são reversas, existe uma reta ` que corta r e s perpendicularmente. A distância entre r e s é a distância entre os pontos r ∩ ` e s ∩ `.

Distância entre duas retas reversas

Considere as retas reversas r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v.

Sabemos que não existe um plano contendo r e s mas existem dois planos paralelos, π1 e

π2, tais que π1 contem r e é paralelo a s e π2 contem s e é paralelo a r.

Note que se Q = ` ∩ r = ` ∩ π1 e Q0 = ` ∩ s = ` ∩ π2, então a distância entre r e s é a

distância entre Q e Q0 _{que é a distância entre π} 1 e π2.

Podemos calcular d(r, s) sem precisar determinar esses planos. Para isso considere o paralelepípedo gerado pelos vetores→u ,→v e

→

AB.

Escolhendo como base desse paralelepípedo, o paralelogramo gerado por →u e →u com origem em A (contido em π1), a distância entre r e s é a altura desse paralelepípedo

relativa ao vértice B.

Distância entre duas retas reversas

Considere as retas reversas r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v.

Sabemos que não existe um plano contendo r e s mas existem dois planos paralelos, π1 e

π2, tais que π1 contem r e é paralelo a s e π2 contem s e é paralelo a r.

Note que se Q = ` ∩ r = ` ∩ π1 e Q0 = ` ∩ s = ` ∩ π2, então a distância entre r e s é a

distância entre Q e Q0 _{que é a distância entre π} 1 e π2.

Podemos calcular d(r, s) sem precisar determinar esses planos. Para isso considere o paralelepípedo gerado pelos vetores→u ,→v e

→

AB.

Escolhendo como base desse paralelepípedo, o paralelogramo gerado por →u e →u com origem em A (contido em π1), a distância entre r e s é a altura desse paralelepípedo

relativa ao vértice B.

A altura do paralelepípedo é o quociente entre o volume e a área da base.

Distância entre duas retas reversas

Considere as retas reversas r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v.

Sabemos que não existe um plano contendo r e s mas existem dois planos paralelos, π1 e

π2, tais que π1 contem r e é paralelo a s e π2 contem s e é paralelo a r.

Note que se Q = ` ∩ r = ` ∩ π1 e Q0 = ` ∩ s = ` ∩ π2, então a distância entre r e s é a

distância entre Q e Q0 _{que é a distância entre π} 1 e π2.

Podemos calcular d(r, s) sem precisar determinar esses planos.

Para isso considere o paralelepípedo gerado pelos vetores→u ,→v e

→

AB.

Escolhendo como base desse paralelepípedo, o paralelogramo gerado por →u e →u com origem em A (contido em π1), a distância entre r e s é a altura desse paralelepípedo

relativa ao vértice B.

Distância entre duas retas reversas

Considere as retas reversas r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v.

Sabemos que não existe um plano contendo r e s mas existem dois planos paralelos, π1 e

π2, tais que π1 contem r e é paralelo a s e π2 contem s e é paralelo a r.

Note que se Q = ` ∩ r = ` ∩ π1 e Q0 = ` ∩ s = ` ∩ π2, então a distância entre r e s é a

distância entre Q e Q0 _{que é a distância entre π} 1 e π2.

Podemos calcular d(r, s) sem precisar determinar esses planos. Para isso considere o paralelepípedo gerado pelos vetores→u ,→v e

→

AB.

Escolhendo como base desse paralelepípedo, o paralelogramo gerado por →u e →u com origem em A (contido em π1), a distância entre r e s é a altura desse paralelepípedo

relativa ao vértice B.

A altura do paralelepípedo é o quociente entre o volume e a área da base.

Distância entre duas retas reversas

Considere as retas reversas r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v.

Sabemos que não existe um plano contendo r e s mas existem dois planos paralelos, π1 e

π2, tais que π1 contem r e é paralelo a s e π2 contem s e é paralelo a r.

Note que se Q = ` ∩ r = ` ∩ π1 e Q0 = ` ∩ s = ` ∩ π2, então a distância entre r e s é a

distância entre Q e Q0 _{que é a distância entre π} 1 e π2.

Podemos calcular d(r, s) sem precisar determinar esses planos. Para isso considere o paralelepípedo gerado pelos vetores→u ,→v e

→

AB.

Escolhendo como base desse paralelepípedo, o paralelogramo gerado por →u e →u com origem em A (contido em π1), a distância entre r e s é a altura desse paralelepípedo

relativa ao vértice B.

Distância entre duas retas reversas

Considere as retas reversas r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v.

Sabemos que não existe um plano contendo r e s mas existem dois planos paralelos, π1 e

π2, tais que π1 contem r e é paralelo a s e π2 contem s e é paralelo a r.

Note que se Q = ` ∩ r = ` ∩ π1 e Q0 = ` ∩ s = ` ∩ π2, então a distância entre r e s é a

distância entre Q e Q0 _{que é a distância entre π} 1 e π2.

Podemos calcular d(r, s) sem precisar determinar esses planos. Para isso considere o paralelepípedo gerado pelos vetores→u ,→v e

→

AB.

Escolhendo como base desse paralelepípedo, o paralelogramo gerado por →u e →u com origem em A (contido em π1), a distância entre r e s é a altura desse paralelepípedo

relativa ao vértice B.

A altura do paralelepípedo é o quociente entre o volume e a área da base.

Fórmula da distância entre duas retas reversas

As retas reversas são r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v.

O volume do paralelepípedo gerado pelos vetores→u ,→v eAB→ é o valor absoluto do produto misto entre eles, |[→u ,→v ,AB]|→

A área da base escolhida desse paralelepípedo é k→u ∧→vk Portanto, d(r, s) = |[ → u ,→v ,AB]|→ k→u ∧→vk Voltar

Fórmula da distância entre duas retas reversas

As retas reversas são r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v.

O volume do paralelepípedo gerado pelos vetores→u ,→v eAB→ é o valor absoluto do produto misto entre eles, |[→u ,→v ,AB]|→

A área da base escolhida desse paralelepípedo é k→u ∧→vk Portanto, d(r, s) = |[ → u ,→v ,AB]|→ k→u ∧→vk Voltar

Fórmula da distância entre duas retas reversas

As retas reversas são r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v.

O volume do paralelepípedo gerado pelos vetores→u ,→v eAB→ é o valor absoluto do produto misto entre eles, |[→u ,→v ,AB]|→

A área da base escolhida desse paralelepípedo é k→u ∧→vk

Portanto, d(r, s) = |[ → u ,→v ,AB]|→ k→u ∧→vk Voltar

Fórmula da distância entre duas retas reversas

As retas reversas são r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v.

O volume do paralelepípedo gerado pelos vetores→u ,→v eAB→ é o valor absoluto do produto misto entre eles, |[→u ,→v ,AB]|→

A área da base escolhida desse paralelepípedo é k→u ∧→vk Portanto, d(r, s) = |[ → u ,→v , → AB]| k→u ∧→vk Voltar

Distância entre uma reta e um plano

A distância entre a reta r : X = A + λ→u e o plano π : ax + by + cz = d depende da posição relativa entre eles

Se r ∩ π 6= ∅ então d(r, π) = 0.

Se r é paralela a π e não está contida em π então d(r, π) = d(A, π). É distância de ponto a plano.

Distância entre uma reta e um plano

A distância entre a reta r : X = A + λ→u e o plano π : ax + by + cz = d depende da posição relativa entre eles

Se r ∩ π 6= ∅ então d(r, π) = 0.

Se r é paralela a π e não está contida em π então d(r, π) = d(A, π). É distância de ponto a plano.

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Distância entre uma reta e um plano

A distância entre a reta r : X = A + λ→u e o plano π : ax + by + cz = d depende da posição relativa entre eles

Se r ∩ π 6= ∅ então d(r, π) = 0.

Se r é paralela a π e não está contida em π então d(r, π) = d(A, π). É distância de ponto a plano.

Distância entre dois planos

A distância entre os planos π1 : ax + by + cz = de π2 : mx + ny + pz = k depende da posição

relativa entre eles.

Se π1∩ π26= ∅ então d(π1, π2) = 0.

Se π1 e π2 são distintos e paralelos então d(π1, π2) = d(A, π2) onde A é qualquer ponto

de π1. É distância de ponto a plano.

Distância entre dois planos

A distância entre os planos π1 : ax + by + cz = de π2 : mx + ny + pz = k depende da posição

relativa entre eles.

Se π1∩ π26= ∅ então d(π1, π2) = 0.

Se π1 e π2 são distintos e paralelos então d(π1, π2) = d(A, π2) onde A é qualquer ponto

Distância entre dois planos

A distância entre os planos π1 : ax + by + cz = de π2 : mx + ny + pz = k depende da posição

relativa entre eles.

Se π1∩ π26= ∅ então d(π1, π2) = 0.

Se π1 e π2 são distintos e paralelos então d(π1, π2) = d(A, π2) onde A é qualquer ponto

de π1. É distância de ponto a plano.

Exercícios

Considere o ponto A = (2, 3, 5), as retas r : X = (8, 3, 5) + λ(3, 3, −2), s :



x + 3y − z = 3

3x − y + 4z = −3 e` : 2x − 3y = 5x − z = 2y + z e os planos

π1: 7x − 3y − 9z = 5 e π2: X = (−2, 0, −1) + λ(3, 1, 2) + t(3, −2, 3)

1 Determine a distância do ponto A a cada uma das retas r, s e ` e a cada um dos planos π1 e π2

2 Determine as distâncias de cada uma das retas r, s e ` a cada um dos planos π<sub>1</sub> e π<sub>2</sub>. 3 Determine as distâncias d(r, s), d(r, `) e d(`, s).