A F´
ormula de Euler e seus Desdobramentos
Maria Elenice Rodrigues Hernandes
Universidade Estadual de Maring´a Departamento de Matem´atica
Resumo Geral
Leonhard Paul Euler
F´ormula de Euler para Poliedros (V − A + F = 2)
Este ´e um problema de Topologia
Generalizac¸˜ao da F´ormula de Euler para
Superf´ıcies
Resumo Geral
Leonhard Paul Euler
F´ormula de Euler para Poliedros (V − A + F = 2)
Este ´e um problema de Topologia
Generalizac¸˜ao da F´ormula de Euler para
Resumo Geral
Leonhard Paul Euler
F´ormula de Euler para Poliedros (V − A + F = 2)
Este ´e um problema de Topologia
Generalizac¸˜ao da F´ormula de Euler para
Superf´ıcies
Resumo Geral
Leonhard Paul Euler
F´ormula de Euler para Poliedros (V − A + F = 2)
Este ´e um problema de Topologia
Generalizac¸˜ao da F´ormula de Euler para
Euler (1707 - 1783)
LEONHARD PAUL EULERfoi um dos mais c´elebres matem´aticos do s´eculo XVIII.
Vida de Euler
Nasceu em 15 de abril de 1707, em Basel, Su´ı¸ca. Faleceu 18 de setembro de 1783 (aos 76 anos), em S. Petersburgo,R´ussia.
Filho de Paul Euler (ministro protestante) e Margaret
Brucker, foi seu pai que o iniciou em matem´atica. Paul Euler foi aluno de Jacob Bernoulli.
No gin´asio estudou numa escola onde n˜ao se ensinava matem´atica, sendo necess´ario recorrer a aulas particulares. Aos quatorze anos, entrou para a Universidade de Basel e estudou teologia e l´ıngua Hebraica, onde tornou-se o disc´ıpulo predileto de Johann Bernoulli.
Aos 21 anos (1728) foi indicado por Daniel Bernoulli para a
Academia de Ciˆencias de S. Petersburgo, onde assumiu a
Vida de Euler
Nasceu em 15 de abril de 1707, em Basel, Su´ı¸ca. Faleceu 18 de setembro de 1783 (aos 76 anos), em S. Petersburgo,R´ussia.
Filho de Paul Euler (ministro protestante) e Margaret
Brucker, foi seu pai que o iniciou em matem´atica. Paul Euler foi aluno de Jacob Bernoulli.
No gin´asio estudou numa escola onde n˜ao se ensinava matem´atica, sendo necess´ario recorrer a aulas particulares. Aos quatorze anos, entrou para a Universidade de Basel e estudou teologia e l´ıngua Hebraica, onde tornou-se o disc´ıpulo predileto de Johann Bernoulli.
Aos 21 anos (1728) foi indicado por Daniel Bernoulli para a
Academia de Ciˆencias de S. Petersburgo, onde assumiu a
posi¸c˜ao de associado de Matem´atica.
Vida de Euler
Nasceu em 15 de abril de 1707, em Basel, Su´ı¸ca. Faleceu 18 de setembro de 1783 (aos 76 anos), em S. Petersburgo,R´ussia.
Filho de Paul Euler (ministro protestante) e Margaret
Brucker, foi seu pai que o iniciou em matem´atica. Paul Euler foi aluno de Jacob Bernoulli.
No gin´asio estudou numa escola onde n˜ao se ensinava matem´atica, sendo necess´ario recorrer a aulas particulares.
Aos quatorze anos, entrou para a Universidade de Basel e estudou teologia e l´ıngua Hebraica, onde tornou-se o disc´ıpulo predileto de Johann Bernoulli.
Aos 21 anos (1728) foi indicado por Daniel Bernoulli para a
Academia de Ciˆencias de S. Petersburgo, onde assumiu a
Vida de Euler
Nasceu em 15 de abril de 1707, em Basel, Su´ı¸ca. Faleceu 18 de setembro de 1783 (aos 76 anos), em S. Petersburgo,R´ussia.
Filho de Paul Euler (ministro protestante) e Margaret
Brucker, foi seu pai que o iniciou em matem´atica. Paul Euler foi aluno de Jacob Bernoulli.
No gin´asio estudou numa escola onde n˜ao se ensinava matem´atica, sendo necess´ario recorrer a aulas particulares. Aos quatorze anos, entrou para a Universidade de Basel e estudou teologia e l´ıngua Hebraica, onde tornou-se o disc´ıpulo predileto de Johann Bernoulli.
Aos 21 anos (1728) foi indicado por Daniel Bernoulli para a
Academia de Ciˆencias de S. Petersburgo, onde assumiu a
posi¸c˜ao de associado de Matem´atica.
Vida de Euler
Nasceu em 15 de abril de 1707, em Basel, Su´ı¸ca. Faleceu 18 de setembro de 1783 (aos 76 anos), em S. Petersburgo,R´ussia.
Filho de Paul Euler (ministro protestante) e Margaret
Brucker, foi seu pai que o iniciou em matem´atica. Paul Euler foi aluno de Jacob Bernoulli.
No gin´asio estudou numa escola onde n˜ao se ensinava matem´atica, sendo necess´ario recorrer a aulas particulares. Aos quatorze anos, entrou para a Universidade de Basel e estudou teologia e l´ıngua Hebraica, onde tornou-se o disc´ıpulo predileto de Johann Bernoulli.
Um pouco sobre a R´
ussia
No mesmo per´ıodo em que Euler nascia, o czar russo Pedro o Grande (1672-1725) constru´ıa a cidade de S˜ao Petersburgo.
E mudou a capital do pa´ıs de Moscou para S˜ao Petersburgo.
Pedro o Grande iniciou uma transforma¸c˜ao de seu pa´ıs de uma na¸c˜ao agr´aria e feudal dominada pela igreja, em um poderoso imp´erio. Ele queria reformar o sistema educacional russo e para tanto visitou a Royal Society of London e a Acad´emie des Sciences de Paris e ele tamb´em admirava a nova Academia de Ciˆencias de Berlim.
Por aproximadamente duas d´ecadas, Pedro e Leibniz
conversaram sobre tal reforma educacional e sobre a cria¸c˜ao de uma academia de Ciˆencias na R´ussia.
Um pouco sobre a R´
ussia
No mesmo per´ıodo em que Euler nascia, o czar russo Pedro o Grande (1672-1725) constru´ıa a cidade de S˜ao Petersburgo.
E mudou a capital do pa´ıs de Moscou para S˜ao Petersburgo.
Pedro o Grande iniciou uma transforma¸c˜ao de seu pa´ıs de uma na¸c˜ao agr´aria e feudal dominada pela igreja, em um poderoso imp´erio.
Ele queria reformar o sistema educacional russo e para tanto visitou a Royal Society of London e a Acad´emie des Sciences de Paris e ele tamb´em admirava a nova Academia de Ciˆencias de Berlim.
Por aproximadamente duas d´ecadas, Pedro e Leibniz
conversaram sobre tal reforma educacional e sobre a cria¸c˜ao de uma academia de Ciˆencias na R´ussia.
Um pouco sobre a R´
ussia
No mesmo per´ıodo em que Euler nascia, o czar russo Pedro o Grande (1672-1725) constru´ıa a cidade de S˜ao Petersburgo.
E mudou a capital do pa´ıs de Moscou para S˜ao Petersburgo.
Pedro o Grande iniciou uma transforma¸c˜ao de seu pa´ıs de uma na¸c˜ao agr´aria e feudal dominada pela igreja, em um poderoso imp´erio. Ele queria reformar o sistema educacional russo e para tanto visitou a Royal Society of London e a Acad´emie des Sciences de Paris e ele tamb´em admirava a nova Academia de Ciˆencias de Berlim.
Por aproximadamente duas d´ecadas, Pedro e Leibniz
conversaram sobre tal reforma educacional e sobre a cria¸c˜ao de uma academia de Ciˆencias na R´ussia.
Um pouco sobre a R´
ussia
No mesmo per´ıodo em que Euler nascia, o czar russo Pedro o Grande (1672-1725) constru´ıa a cidade de S˜ao Petersburgo.
E mudou a capital do pa´ıs de Moscou para S˜ao Petersburgo.
Pedro o Grande iniciou uma transforma¸c˜ao de seu pa´ıs de uma na¸c˜ao agr´aria e feudal dominada pela igreja, em um poderoso imp´erio. Ele queria reformar o sistema educacional russo e para tanto visitou a Royal Society of London e a Acad´emie des Sciences de Paris e ele tamb´em admirava a nova Academia de Ciˆencias de Berlim.
Por aproximadamente duas d´ecadas, Pedro e Leibniz
conversaram sobre tal reforma educacional e sobre a cria¸c˜ao de uma academia de Ciˆencias na R´ussia.
Um pouco sobre a R´
ussia
Pedro n˜ao viu os frutos do seu trabalho. Ele morreu no in´ıcio de 1725 e gra¸cas `a sua segunda esposa Catarina I
(1684-1727), os planos da Academia continuaram.
Estudiosos estrangeiros come¸caram a chegar `a R´ussia meses ap´os a morte de Pedro, e no final de 1727 realizaram sua primeira reuni˜ao. A Academia iniciou seus trabalhos com 16 cientistas: 13 alem˜aes, 2 su´ı¸cos, 1 francˆes e nenhum russo. Esta Academia
recebeu diversos nomes, mas atualmente ´e a Academia Russa
de Ciˆencias.
Duas de suas estrelas eram dois filhos de Johann Bernoulli: Nicolaus (1695-1726) e Daniel Bernoulli (1700-1782), amigos de Euler. Foi oferecido a Euler uma posi¸c˜ao na divis˜ao de medicina e fisiologia. A princ´ıpio Euler permaneceu na Su´ı¸ca e come¸cou a estudar anatomia e fisiologia.
Um pouco sobre a R´
ussia
Pedro n˜ao viu os frutos do seu trabalho. Ele morreu no in´ıcio de 1725 e gra¸cas `a sua segunda esposa Catarina I
(1684-1727), os planos da Academia continuaram. Estudiosos estrangeiros come¸caram a chegar `a R´ussia meses ap´os a morte de Pedro, e no final de 1727 realizaram sua primeira reuni˜ao.
A Academia iniciou seus trabalhos com 16 cientistas: 13 alem˜aes, 2 su´ı¸cos, 1 francˆes e nenhum russo. Esta Academia
recebeu diversos nomes, mas atualmente ´e a Academia Russa
de Ciˆencias.
Duas de suas estrelas eram dois filhos de Johann Bernoulli: Nicolaus (1695-1726) e Daniel Bernoulli (1700-1782), amigos de Euler. Foi oferecido a Euler uma posi¸c˜ao na divis˜ao de medicina e fisiologia. A princ´ıpio Euler permaneceu na Su´ı¸ca e come¸cou a estudar anatomia e fisiologia.
Um pouco sobre a R´
ussia
Pedro n˜ao viu os frutos do seu trabalho. Ele morreu no in´ıcio de 1725 e gra¸cas `a sua segunda esposa Catarina I
(1684-1727), os planos da Academia continuaram. Estudiosos estrangeiros come¸caram a chegar `a R´ussia meses ap´os a morte de Pedro, e no final de 1727 realizaram sua primeira reuni˜ao. A Academia iniciou seus trabalhos com 16 cientistas: 13 alem˜aes, 2 su´ı¸cos, 1 francˆes e nenhum russo. Esta Academia
recebeu diversos nomes, mas atualmente ´e a Academia Russa
de Ciˆencias.
Duas de suas estrelas eram dois filhos de Johann Bernoulli: Nicolaus (1695-1726) e Daniel Bernoulli (1700-1782), amigos de Euler. Foi oferecido a Euler uma posi¸c˜ao na divis˜ao de medicina e fisiologia. A princ´ıpio Euler permaneceu na Su´ı¸ca e come¸cou a estudar anatomia e fisiologia.
Um pouco sobre a R´
ussia
Pedro n˜ao viu os frutos do seu trabalho. Ele morreu no in´ıcio de 1725 e gra¸cas `a sua segunda esposa Catarina I
(1684-1727), os planos da Academia continuaram. Estudiosos estrangeiros come¸caram a chegar `a R´ussia meses ap´os a morte de Pedro, e no final de 1727 realizaram sua primeira reuni˜ao. A Academia iniciou seus trabalhos com 16 cientistas: 13 alem˜aes, 2 su´ı¸cos, 1 francˆes e nenhum russo. Esta Academia
recebeu diversos nomes, mas atualmente ´e a Academia Russa
de Ciˆencias.
Duas de suas estrelas eram dois filhos de Johann Bernoulli: Nicolaus (1695-1726) e Daniel Bernoulli (1700-1782), amigos de Euler.
Foi oferecido a Euler uma posi¸c˜ao na divis˜ao de medicina e fisiologia. A princ´ıpio Euler permaneceu na Su´ı¸ca e come¸cou a estudar anatomia e fisiologia.
Um pouco sobre a R´
ussia
Pedro n˜ao viu os frutos do seu trabalho. Ele morreu no in´ıcio de 1725 e gra¸cas `a sua segunda esposa Catarina I
(1684-1727), os planos da Academia continuaram. Estudiosos estrangeiros come¸caram a chegar `a R´ussia meses ap´os a morte de Pedro, e no final de 1727 realizaram sua primeira reuni˜ao. A Academia iniciou seus trabalhos com 16 cientistas: 13 alem˜aes, 2 su´ı¸cos, 1 francˆes e nenhum russo. Esta Academia
recebeu diversos nomes, mas atualmente ´e a Academia Russa
de Ciˆencias.
Duas de suas estrelas eram dois filhos de Johann Bernoulli: Nicolaus (1695-1726) e Daniel Bernoulli (1700-1782), amigos de Euler. Foi oferecido a Euler uma posi¸c˜ao na divis˜ao de medicina e fisiologia. A princ´ıpio Euler permaneceu na Su´ı¸ca e come¸cou a estudar anatomia e fisiologia.
Um pouco sobre a R´
ussia
Em 1727 Euler decidiu ir para a R´ussia, cuja jornada durou sete semanas.
Quando Euler pisou na R´ussia, Catarina I morreu.
Depois de muita confus˜ao Euler acabou ficando na divis˜ao de Matem´atica e F´ısica e n˜ao no de medicina.
Euler escreveu livros did´aticos para escolas russas, supervisionou o departamento de geografia do governo e ajudou a revisar o sistema de pesos e medidas.
Um pouco sobre a R´
ussia
Em 1727 Euler decidiu ir para a R´ussia, cuja jornada durou sete semanas. Quando Euler pisou na R´ussia, Catarina I morreu.
Depois de muita confus˜ao Euler acabou ficando na divis˜ao de Matem´atica e F´ısica e n˜ao no de medicina.
Euler escreveu livros did´aticos para escolas russas, supervisionou o departamento de geografia do governo e ajudou a revisar o sistema de pesos e medidas.
Um pouco sobre a R´
ussia
Em 1727 Euler decidiu ir para a R´ussia, cuja jornada durou sete semanas. Quando Euler pisou na R´ussia, Catarina I morreu.
Depois de muita confus˜ao Euler acabou ficando na divis˜ao de Matem´atica e F´ısica e n˜ao no de medicina.
Euler escreveu livros did´aticos para escolas russas, supervisionou o departamento de geografia do governo e ajudou a revisar o sistema de pesos e medidas.
Um pouco sobre a R´
ussia
Em 1727 Euler decidiu ir para a R´ussia, cuja jornada durou sete semanas. Quando Euler pisou na R´ussia, Catarina I morreu.
Depois de muita confus˜ao Euler acabou ficando na divis˜ao de Matem´atica e F´ısica e n˜ao no de medicina.
Euler escreveu livros did´aticos para escolas russas, supervisionou o departamento de geografia do governo e ajudou a revisar o sistema de pesos e medidas.
Vida de Euler
Em determinado momento a R´ussia passava por uma situa¸c˜ao politicamente inst´avel, era perigoso falar ou at´e mesmo sair `as ruas. Sendo um per´ıodo extremamente produtivo para Euler que concentrou seus esfor¸cos na pesquisa.
Ap´os ter ficado 14 anos na R´ussia, em 1741 Euler foi para Berlim convidado pelo Rei Frederico II (O grande), para assumir uma posi¸c˜ao na Academia de Ciˆencias e Belas Artes de Berlim.
Todavia Frederico e Euler n˜ao se deram muito bem ele decidiu em 1766 (24 anos) retornar a S. Petersburgo, lugar onde permaneceu at´e a morte.
Em 1735 (aos 28 anos), Euler perdeu a vis˜ao de um de seus
olhos, e logo ap´os seu retorno `a R´ussia, come¸cou a perder a vis˜ao do outro olho.
Vida de Euler
Em determinado momento a R´ussia passava por uma situa¸c˜ao politicamente inst´avel, era perigoso falar ou at´e mesmo sair `as ruas. Sendo um per´ıodo extremamente produtivo para Euler que concentrou seus esfor¸cos na pesquisa.
Ap´os ter ficado 14 anos na R´ussia, em 1741 Euler foi para Berlim convidado pelo Rei Frederico II (O grande), para assumir uma posi¸c˜ao na Academia de Ciˆencias e Belas Artes de Berlim.
Todavia Frederico e Euler n˜ao se deram muito bem ele decidiu em 1766 (24 anos) retornar a S. Petersburgo, lugar onde permaneceu at´e a morte.
Em 1735 (aos 28 anos), Euler perdeu a vis˜ao de um de seus
olhos, e logo ap´os seu retorno `a R´ussia, come¸cou a perder a vis˜ao do outro olho.
Vida de Euler
Em determinado momento a R´ussia passava por uma situa¸c˜ao politicamente inst´avel, era perigoso falar ou at´e mesmo sair `as ruas. Sendo um per´ıodo extremamente produtivo para Euler que concentrou seus esfor¸cos na pesquisa.
Ap´os ter ficado 14 anos na R´ussia, em 1741 Euler foi para Berlim convidado pelo Rei Frederico II (O grande), para assumir uma posi¸c˜ao na Academia de Ciˆencias e Belas Artes de Berlim.
Todavia Frederico e Euler n˜ao se deram muito bem ele decidiu em 1766 (24 anos) retornar a S. Petersburgo, lugar onde permaneceu at´e a morte.
Em 1735 (aos 28 anos), Euler perdeu a vis˜ao de um de seus
olhos, e logo ap´os seu retorno `a R´ussia, come¸cou a perder a vis˜ao do outro olho.
Vida de Euler
Em determinado momento a R´ussia passava por uma situa¸c˜ao politicamente inst´avel, era perigoso falar ou at´e mesmo sair `as ruas. Sendo um per´ıodo extremamente produtivo para Euler que concentrou seus esfor¸cos na pesquisa.
Ap´os ter ficado 14 anos na R´ussia, em 1741 Euler foi para Berlim convidado pelo Rei Frederico II (O grande), para assumir uma posi¸c˜ao na Academia de Ciˆencias e Belas Artes de Berlim.
Todavia Frederico e Euler n˜ao se deram muito bem ele decidiu em 1766 (24 anos) retornar a S. Petersburgo, lugar onde permaneceu at´e a morte.
Em 1735 (aos 28 anos), Euler perdeu a vis˜ao de um de seus
olhos, e logo ap´os seu retorno `a R´ussia, come¸cou a perder a vis˜ao do outro olho.
Vida de Euler
Por recomenda¸c˜ao de Jean D’Alembert, Frederico substituiu Euler por Joseph-Louis Lagrange.
E o rei escreveu para D’Alembert agradecendo:
“por ter trocado um matem´atico meio cego por um
matem´atico com os dois olhos, que agradou especialmente os
membros anatˆomicos da academia. ”
Euler casou-se duas vezes e teve 13 filhos, mas apenas 5 n˜ao morreram na infˆancia.
Euler era dotado de uma mem´oria excepcional, e capaz de
fazer enormes c´alculos de cabe¸ca, logo ele se preparou para
sua futura cegueira aprendendo a escrever f´ormulas em uma
t´abua e ditar matem´atica a seus filhos ou secret´aria.
Ele ficou completamente cego os ´ultimos 17 anos de sua vida, e muitos de seus trabalhos foram escritos nessa ´epoca.
Vida de Euler
Por recomenda¸c˜ao de Jean D’Alembert, Frederico substituiu Euler por Joseph-Louis Lagrange. E o rei escreveu para D’Alembert agradecendo:
“por ter trocado um matem´atico meio cego por um
matem´atico com os dois olhos, que agradou especialmente os
membros anatˆomicos da academia. ”
Euler casou-se duas vezes e teve 13 filhos, mas apenas 5 n˜ao morreram na infˆancia.
Euler era dotado de uma mem´oria excepcional, e capaz de
fazer enormes c´alculos de cabe¸ca, logo ele se preparou para
sua futura cegueira aprendendo a escrever f´ormulas em uma
t´abua e ditar matem´atica a seus filhos ou secret´aria.
Ele ficou completamente cego os ´ultimos 17 anos de sua vida, e muitos de seus trabalhos foram escritos nessa ´epoca.
Vida de Euler
Por recomenda¸c˜ao de Jean D’Alembert, Frederico substituiu Euler por Joseph-Louis Lagrange. E o rei escreveu para D’Alembert agradecendo:
“por ter trocado um matem´atico meio cego por um
matem´atico com os dois olhos, que agradou especialmente os
membros anatˆomicos da academia. ”
Euler casou-se duas vezes e teve 13 filhos, mas apenas 5 n˜ao morreram na infˆancia.
Euler era dotado de uma mem´oria excepcional, e capaz de
fazer enormes c´alculos de cabe¸ca, logo ele se preparou para
sua futura cegueira aprendendo a escrever f´ormulas em uma
t´abua e ditar matem´atica a seus filhos ou secret´aria.
Ele ficou completamente cego os ´ultimos 17 anos de sua vida, e muitos de seus trabalhos foram escritos nessa ´epoca.
Vida de Euler
Por recomenda¸c˜ao de Jean D’Alembert, Frederico substituiu Euler por Joseph-Louis Lagrange. E o rei escreveu para D’Alembert agradecendo:
“por ter trocado um matem´atico meio cego por um
matem´atico com os dois olhos, que agradou especialmente os
membros anatˆomicos da academia. ”
Euler casou-se duas vezes e teve 13 filhos, mas apenas 5 n˜ao morreram na infˆancia.
Euler era dotado de uma mem´oria excepcional, e capaz de
fazer enormes c´alculos de cabe¸ca, logo ele se preparou para
sua futura cegueira aprendendo a escrever f´ormulas em uma
t´abua e ditar matem´atica a seus filhos ou secret´aria.
Ele ficou completamente cego os ´ultimos 17 anos de sua vida, e muitos de seus trabalhos foram escritos nessa ´epoca.
Vida de Euler
Por recomenda¸c˜ao de Jean D’Alembert, Frederico substituiu Euler por Joseph-Louis Lagrange. E o rei escreveu para D’Alembert agradecendo:
“por ter trocado um matem´atico meio cego por um
matem´atico com os dois olhos, que agradou especialmente os
membros anatˆomicos da academia. ”
Euler casou-se duas vezes e teve 13 filhos, mas apenas 5 n˜ao morreram na infˆancia.
Euler era dotado de uma mem´oria excepcional, e capaz de
fazer enormes c´alculos de cabe¸ca, logo ele se preparou para
sua futura cegueira aprendendo a escrever f´ormulas em uma
Vida de Euler
Sob o comando de Catarina II (A Grande) a Educa¸c˜ao
passou a ser prioridade. Euler recebeu o dobro do sal´ario que recebia no per´ıodo anterior. Recebeu uma casa mobiliada, sua esposa recebia uma bolsa, seu filho mais velho foi contratado pela academia e seus filhos mais novos tiverem futuro
emprego garantido.
Em 1771 a casa de Euler foi completamente queimada, mas a a¸c˜ao r´apida de um empregado salvou a vida de Euler. Sua biblioteca inteira foi destru´ıda, mas seus manuscritos foram resgatados.
Vida de Euler
Sob o comando de Catarina II (A Grande) a Educa¸c˜ao
passou a ser prioridade. Euler recebeu o dobro do sal´ario que recebia no per´ıodo anterior. Recebeu uma casa mobiliada, sua esposa recebia uma bolsa, seu filho mais velho foi contratado pela academia e seus filhos mais novos tiverem futuro
emprego garantido.
Em 1771 a casa de Euler foi completamente queimada, mas a a¸c˜ao r´apida de um empregado salvou a vida de Euler.
Sua biblioteca inteira foi destru´ıda, mas seus manuscritos foram resgatados.
Vida de Euler
Sob o comando de Catarina II (A Grande) a Educa¸c˜ao
passou a ser prioridade. Euler recebeu o dobro do sal´ario que recebia no per´ıodo anterior. Recebeu uma casa mobiliada, sua esposa recebia uma bolsa, seu filho mais velho foi contratado pela academia e seus filhos mais novos tiverem futuro
emprego garantido.
Em 1771 a casa de Euler foi completamente queimada, mas a a¸c˜ao r´apida de um empregado salvou a vida de Euler. Sua biblioteca inteira foi destru´ıda, mas seus manuscritos foram resgatados.
Produ¸c˜
ao Acadˆ
emica de Euler
Euler publicou cerca de 886 trabalhos entre artigos cient´ıficos e livros.
Suas obras abrangeram as mais diversas ´areas como:
Matem´atica- c´alculo de varia¸c˜oes e infinitesimal, geometria, ´
algebra, topologia, l´ogica
F´ısica- f´ısica experimental, ´optica, astronomia, teoria lunar (mar´es), hidr´aulica
Engenharia- constru¸c˜ao de navios, mecˆanica e artilharia Qu´ımica
Geografia e demografia, economia e fisiologia M´usica, filosofia e religi˜ao.
Euler recebeu o prˆemio da Academia de Paris por doze vezes.
Ap´os a morte de Euler a Academia de S. Petersburgo
Produ¸c˜
ao Acadˆ
emica de Euler
Euler publicou cerca de 886 trabalhos entre artigos cient´ıficos e livros.
Suas obras abrangeram as mais diversas ´areas como:
Matem´atica- c´alculo de varia¸c˜oes e infinitesimal, geometria, ´
algebra, topologia, l´ogica
F´ısica- f´ısica experimental, ´optica, astronomia, teoria lunar (mar´es), hidr´aulica
Engenharia- constru¸c˜ao de navios, mecˆanica e artilharia Qu´ımica
Geografia e demografia, economia e fisiologia M´usica, filosofia e religi˜ao.
Euler recebeu o prˆemio da Academia de Paris por doze vezes.
Ap´os a morte de Euler a Academia de S. Petersburgo
continuou publicando seus trabalhos por mais de 30 anos.
Produ¸c˜
ao Acadˆ
emica de Euler
Euler publicou cerca de 886 trabalhos entre artigos cient´ıficos e livros.
Suas obras abrangeram as mais diversas ´areas como:
Matem´atica- c´alculo de varia¸c˜oes e infinitesimal, geometria, ´
algebra, topologia, l´ogica
F´ısica- f´ısica experimental, ´optica, astronomia, teoria lunar (mar´es), hidr´aulica
Engenharia- constru¸c˜ao de navios, mecˆanica e artilharia Qu´ımica
Geografia e demografia, economia e fisiologia M´usica, filosofia e religi˜ao.
Euler recebeu o prˆemio da Academia de Paris por doze vezes.
Ap´os a morte de Euler a Academia de S. Petersburgo
Produ¸c˜
ao Acadˆ
emica de Euler
Euler publicou cerca de 886 trabalhos entre artigos cient´ıficos e livros.
Suas obras abrangeram as mais diversas ´areas como:
Matem´atica- c´alculo de varia¸c˜oes e infinitesimal, geometria, ´
algebra, topologia, l´ogica
F´ısica- f´ısica experimental, ´optica, astronomia, teoria lunar (mar´es), hidr´aulica
Engenharia- constru¸c˜ao de navios, mecˆanica e artilharia Qu´ımica
Geografia e demografia, economia e fisiologia M´usica, filosofia e religi˜ao.
Euler recebeu o prˆemio da Academia de Paris por doze vezes.
Ap´os a morte de Euler a Academia de S. Petersburgo
continuou publicando seus trabalhos por mais de 30 anos.
F´
ormula de Euler para Poliedros
Um dos resultados mais famosos de Euler em Geometria foi descoberto por volta de 1750 e afirma que:
F´ormula de Euler
Dado um poliedro com V v´ertices, A arestas e F faces ent˜ao
V − A + F = 2.
Defini¸c˜ao
Umpoliedro ´e um s´olido delimitado por um n´umero finito de regi˜oes planas poligonais, denominadasfaces.
A interse¸c˜ao de duas faces s˜ao chamadasarestas do poliedro. A interse¸c˜ao de duas arestas s˜ao os v´ertices do poliedro. Do grego: POLIEDRO := poli (muitos) + hedros (faces)
F´
ormula de Euler para Poliedros
Um dos resultados mais famosos de Euler em Geometria foi descoberto por volta de 1750 e afirma que:
F´ormula de Euler
Dado um poliedro com V v´ertices, A arestas e F faces ent˜ao
V − A + F = 2.
Defini¸c˜ao
Umpoliedro ´e um s´olido delimitado por um n´umero finito de regi˜oes planas poligonais, denominadasfaces.
A interse¸c˜ao de duas faces s˜ao chamadasarestas do poliedro. A interse¸c˜ao de duas arestas s˜ao os v´ertices do poliedro. Do grego: POLIEDRO := poli (muitos) + hedros (faces)
F´
ormula de Euler para Poliedros
Um dos resultados mais famosos de Euler em Geometria foi descoberto por volta de 1750 e afirma que:
F´ormula de Euler
Dado um poliedro com V v´ertices, A arestas e F faces ent˜ao
V − A + F = 2.
Defini¸c˜ao
Umpoliedro ´e um s´olido delimitado por um n´umero finito de regi˜oes planas poligonais, denominadas faces.
A interse¸c˜ao de duas faces s˜ao chamadasarestasdo poliedro. A interse¸c˜ao de duas arestas s˜ao os v´ertices do poliedro.
F´
ormula de Euler para Poliedros
Um dos resultados mais famosos de Euler em Geometria foi descoberto por volta de 1750 e afirma que:
F´ormula de Euler
Dado um poliedro com V v´ertices, A arestas e F faces ent˜ao
V − A + F = 2.
Defini¸c˜ao
Umpoliedro ´e um s´olido delimitado por um n´umero finito de regi˜oes planas poligonais, denominadas faces.
A interse¸c˜ao de duas faces s˜ao chamadasarestasdo poliedro. A interse¸c˜ao de duas arestas s˜ao os v´ertices do poliedro. Do grego: POLIEDRO := poli (muitos) + hedros (faces)
F´
ormula de Euler para Poliedros
Contudo, em 1675 Leibniz encontrou um manuscrito de Descartes de 1639, que cont´em resultados dos quais poderia-se obter a F´ormula de Euler facilmente. O que tudo indica ´e que Descartes n˜ao observou tal fato.
Fato Interessante:
Depois que Descartes morreu em Estolcomo, o navio que trazia seus pertences para a Fran¸ca naufragou no rio Sena. E o
manuscrito que continha a prova da F´ormula de Euler estava num
ba´u que flutuou e foi encontrado no dia seguinte. A c´opia feita por
F´
ormula de Euler para Poliedros
Contudo, em 1675 Leibniz encontrou um manuscrito de Descartes de 1639, que cont´em resultados dos quais poderia-se obter a F´ormula de Euler facilmente. O que tudo indica ´e que Descartes n˜ao observou tal fato.
Fato Interessante:
Depois que Descartes morreu em Estolcomo, o navio que trazia seus pertences para a Fran¸ca naufragou no rio Sena. E o
manuscrito que continha a prova da F´ormula de Euler estava num
ba´u que flutuou e foi encontrado no dia seguinte. A c´opia feita por
Leibniz tamb´em se perdeu, e foi reencontrada em 1860.
F´
ormula de Euler para Poliedros
Euler fez in´umeras verifica¸c˜oes de sua conjectura para v´arios tipos de s´olidos, mas n˜ao apresentou, a princ´ıpio, nenhuma demonstra¸c˜ao.
Posteriormente, Euler apresentou uma demonstra¸c˜ao de seu resultado.
F´
ormula de Euler para Poliedros
Euler fez in´umeras verifica¸c˜oes de sua conjectura para v´arios tipos de s´olidos, mas n˜ao apresentou, a princ´ıpio, nenhuma demonstra¸c˜ao.
Posteriormente, Euler apresentou uma demonstra¸c˜ao de seu resultado.
F´
ormula de Euler
Em 1811 Cauchy tamb´em apresentou uma outra prova para a
F´ormula de Euler, para poliedros convexos.
Conjunto Convexo
Um conjunto C , do plano, ´e dito convexo quando qualquer
segmento de reta que liga dois pontos de C est´a inteiramente contido em C .
F´
ormula de Euler
Em 1811 Cauchy tamb´em apresentou uma outra prova para a
F´ormula de Euler, para poliedros convexos.
Conjunto Convexo
Um conjunto C , do plano, ´e dito convexo quando qualquer
segmento de reta que liga dois pontos de C est´a inteiramente contido em C .
Poliedros de Plat˜
ao (428 a.C. - 348 a.C.)
Os gregos antigos reconheceram e provaram que apenas cinco s´olidos platˆonicos podem ser constru´ıdos:
Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro e o Icosaedro.
Ums´olido platˆonico´e um objeto de trˆes dimens˜oes multifacetado convexo, cujas faces s˜ao pol´ıgonos idˆenticos, com lados de comprimento igual e ˆangulos iguais. Ele tamb´em possui o mesmo n´umero de faces que se encontram em cada v´ertice.
Algumas fontes atribuem sua descoberta `aPit´agoras (572 a.C. -497 a.C) que teria descoberto o tetraedro, o cubo e o dodecaedro. E aTeeteto(417 a.C. - 369 a.C.) que teria descoberto o octaedro e o icosaedro.
Poliedros de Plat˜
ao (428 a.C. - 348 a.C.)
Os gregos antigos reconheceram e provaram que apenas cinco s´olidos platˆonicos podem ser constru´ıdos:
Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro e o Icosaedro. Ums´olido platˆonico´e um objeto de trˆes dimens˜oes multifacetado convexo, cujas faces s˜ao pol´ıgonos idˆenticos, com lados de comprimento igual e ˆangulos iguais. Ele tamb´em possui o mesmo n´umero de faces que se encontram em cada v´ertice.
Algumas fontes atribuem sua descoberta `aPit´agoras (572 a.C. -497 a.C) que teria descoberto o tetraedro, o cubo e o dodecaedro. E aTeeteto(417 a.C. - 369 a.C.) que teria descoberto o octaedro e o icosaedro.
Poliedros de Plat˜
ao (428 a.C. - 348 a.C.)
Os gregos antigos reconheceram e provaram que apenas cinco s´olidos platˆonicos podem ser constru´ıdos:
Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro e o Icosaedro. Ums´olido platˆonico´e um objeto de trˆes dimens˜oes multifacetado convexo, cujas faces s˜ao pol´ıgonos idˆenticos, com lados de comprimento igual e ˆangulos iguais. Ele tamb´em possui o mesmo n´umero de faces que se encontram em cada v´ertice.
Algumas fontes atribuem sua descoberta `aPit´agoras (572 a.C. -497 a.C) que teria descoberto o tetraedro, o cubo e o dodecaedro. E aTeeteto(417 a.C. - 369 a.C.) que teria descoberto o octaedro e o icosaedro.
Poliedros de Plat˜
ao
Tetraedro- 4 triˆangulos equil´ateros
Hexaedro ou Cubo- 6 quadrados
Octaedro- 8 triˆangulos equil´ateros
Dodecaedro- 12 pent´agonos regulares
Icosaedro- 20 triˆangulos equil´ateros
Poliedros de Plat˜
ao
Os poliedros de Plat˜ao satisfazem a F´ormula de Euler.
F´ormula de Euler F A V Tetraedro 4 6 4 Hexaedro 6 12 8 Octaedro 8 12 6 Dodecaedro 12 30 20 Icosaedro 20 30 12
Poliedros de Plat˜
ao
Os poliedros de Plat˜ao satisfazem a F´ormula de Euler.
F´ormula de Euler F A V Tetraedro 4 6 4 Hexaedro 6 12 8 Octaedro 8 12 6 Dodecaedro 12 30 20 Icosaedro 20 30 12
Arquimedes
Poliedros Semirregulares de Arquimedes
Estes poliedros foram estudados por Arquimedes de Siracusa.
Icosaedro Truncado
Oicosaedro truncadode 32 faces ´e particularmente interessante.
As formas das bolas de futebol baseiam-se neste s´olido de Arquimedes;
Esta tamb´em foi a configura¸c˜ao usada para a disposi¸c˜ao das lentes que focaram as ondas de choque explosivas dos
detonadores, provocadas pela bomba atˆomica sobre Nagasaki
(Jap˜ao) na Segunda Guerra Mundial.
Nos anos 80 do s´eculo XX, os qu´ımicos conseguiram criar uma mol´ecula de carbono com 60 ´atomos nos v´ertices de um icosaedro truncado. As chamadas Buckyballs possuem propriedades qu´ımicas e f´ısicas fascinantes que est˜ao a ser exploradas em lubrificantes e no tratamento contra a SIDA.
Icosaedro Truncado
Oicosaedro truncadode 32 faces ´e particularmente interessante. As formas das bolas de futebol baseiam-se neste s´olido de Arquimedes;
Esta tamb´em foi a configura¸c˜ao usada para a disposi¸c˜ao das lentes que focaram as ondas de choque explosivas dos
detonadores, provocadas pela bomba atˆomica sobre Nagasaki
(Jap˜ao) na Segunda Guerra Mundial.
Nos anos 80 do s´eculo XX, os qu´ımicos conseguiram criar uma mol´ecula de carbono com 60 ´atomos nos v´ertices de um icosaedro truncado. As chamadas Buckyballs possuem propriedades qu´ımicas e f´ısicas fascinantes que est˜ao a ser exploradas em lubrificantes e no tratamento contra a SIDA.
Icosaedro Truncado
Oicosaedro truncadode 32 faces ´e particularmente interessante. As formas das bolas de futebol baseiam-se neste s´olido de Arquimedes;
Esta tamb´em foi a configura¸c˜ao usada para a disposi¸c˜ao das lentes que focaram as ondas de choque explosivas dos
detonadores, provocadas pela bomba atˆomica sobre Nagasaki
(Jap˜ao) na Segunda Guerra Mundial.
Nos anos 80 do s´eculo XX, os qu´ımicos conseguiram criar uma mol´ecula de carbono com 60 ´atomos nos v´ertices de um icosaedro truncado. As chamadas Buckyballs possuem propriedades qu´ımicas e f´ısicas fascinantes que est˜ao a ser exploradas em lubrificantes e no tratamento contra a SIDA.
Icosaedro Truncado
Oicosaedro truncadode 32 faces ´e particularmente interessante. As formas das bolas de futebol baseiam-se neste s´olido de Arquimedes;
Esta tamb´em foi a configura¸c˜ao usada para a disposi¸c˜ao das lentes que focaram as ondas de choque explosivas dos
detonadores, provocadas pela bomba atˆomica sobre Nagasaki
(Jap˜ao) na Segunda Guerra Mundial.
Nos anos 80 do s´eculo XX, os qu´ımicos conseguiram criar uma mol´ecula de carbono com 60 ´atomos nos v´ertices de um icosaedro truncado. As chamadas Buckyballs possuem propriedades qu´ımicas e f´ısicas fascinantes que est˜ao a ser exploradas em lubrificantes e no tratamento contra a SIDA.
Poliedros N˜
ao Convexos
E neste caso?
Poliedros N˜
ao Convexos
E neste caso?
V=9
A = 16 F=9
Poliedros N˜
ao Convexos
E neste caso?
Poliedros N˜
ao Convexos
E neste caso?
V=9 A = 16 F=9
Poliedros Abertos
Este Poliedro satisfaz a F´ormula de Euler?
V = 8 A = 12 F = 5
Poliedros Abertos
Este Poliedro satisfaz a F´ormula de Euler?
V = 8
A = 12 F = 5
EULER ESTAVA ERRADO???????
Poliedros Abertos
Este Poliedro satisfaz a F´ormula de Euler?
V = 8 A = 12
F = 5 EULER ESTAVA ERRADO???????
Poliedros Abertos
Este Poliedro satisfaz a F´ormula de Euler?
V = 8 A = 12 F = 5
EULER ESTAVA ERRADO???????
Poliedros Abertos
Este Poliedro satisfaz a F´ormula de Euler?
V = 8 A = 12 F = 5
Caixa com Buraco
Este Poliedro satisfaz a F´ormula de Euler?
V = 16 A = 24 F = 10
Por outro lado,
V = 16 A = 32 F = 16
Caixa com Buraco
Este Poliedro satisfaz a F´ormula de Euler?
V = 16
A = 24 F = 10
Por outro lado,
Caixa com Buraco
Este Poliedro satisfaz a F´ormula de Euler?
V = 16 A = 24
F = 10 Por outro lado,
V = 16 A = 32 F = 16
Caixa com Buraco
Este Poliedro satisfaz a F´ormula de Euler?
V = 16 A = 24 F = 10
Por outro lado,
Caixa com Buraco
Este Poliedro satisfaz a F´ormula de Euler?
V = 16 A = 24 F = 10
Por outro lado,
V = 16
A = 32 F = 16
Caixa com Buraco
Este Poliedro satisfaz a F´ormula de Euler?
V = 16 A = 24 F = 10
Por outro lado,
Caixa com Buraco
Este Poliedro satisfaz a F´ormula de Euler?
V = 16 A = 24 F = 10
Por outro lado,
V = 16 A = 32 F = 16
E Agora?!
Para que classe de poliedros a
F´
ormula de Euler
´
Uma defini¸c˜
ao mais precisa de Poliedro
Defini¸c˜ao
UmPoliedro´e uma reuni˜ao finita de pol´ıgonos convexos, chamados as faces do poliedro.
Os lados desses pol´ıgonos chamam-se arestas do poliedro e os v´ertices dos pol´ıgonos s˜ao chamados v´ertices do poliedro. Exigimos ainda que a interse¸c˜ao de duas faces quaisquer do poliedro seja uma aresta comum a essas faces, ou um v´ertice comum, ou seja vazia.
Defini¸c˜ao
Dizemos que um poliedro ´e convexo quando ele limita um s´olido
convexo no sentido da defini¸c˜ao acima. Cada aresta de um poliedro convexo ´e lado de exatamente duas faces desse poliedro.
Uma defini¸c˜
ao mais precisa de Poliedro
Defini¸c˜ao
UmPoliedro´e uma reuni˜ao finita de pol´ıgonos convexos, chamados as faces do poliedro. Os lados desses pol´ıgonos chamam-se arestas do poliedro e os v´ertices dos pol´ıgonos s˜ao chamados v´ertices do poliedro.
Exigimos ainda que a interse¸c˜ao de duas faces quaisquer do poliedro seja uma aresta comum a essas faces, ou um v´ertice comum, ou seja vazia.
Defini¸c˜ao
Dizemos que um poliedro ´e convexo quando ele limita um s´olido
convexo no sentido da defini¸c˜ao acima. Cada aresta de um poliedro convexo ´e lado de exatamente duas faces desse poliedro.
Uma defini¸c˜
ao mais precisa de Poliedro
Defini¸c˜ao
UmPoliedro´e uma reuni˜ao finita de pol´ıgonos convexos, chamados as faces do poliedro. Os lados desses pol´ıgonos chamam-se arestas do poliedro e os v´ertices dos pol´ıgonos s˜ao chamados v´ertices do poliedro. Exigimos ainda que a interse¸c˜ao de duas faces quaisquer do poliedro seja uma aresta comum a essas faces, ou um v´ertice comum, ou seja vazia.
Defini¸c˜ao
Dizemos que um poliedro ´e convexo quando ele limita um s´olido
convexo no sentido da defini¸c˜ao acima. Cada aresta de um poliedro convexo ´e lado de exatamente duas faces desse poliedro.
Uma defini¸c˜
ao mais precisa de Poliedro
Defini¸c˜ao
UmPoliedro´e uma reuni˜ao finita de pol´ıgonos convexos, chamados as faces do poliedro. Os lados desses pol´ıgonos chamam-se arestas do poliedro e os v´ertices dos pol´ıgonos s˜ao chamados v´ertices do poliedro. Exigimos ainda que a interse¸c˜ao de duas faces quaisquer do poliedro seja uma aresta comum a essas faces, ou um v´ertice comum, ou seja vazia.
Defini¸c˜ao
Dizemos que um poliedro ´e convexo quando ele limita um s´olido
convexo no sentido da defini¸c˜ao acima. Cada aresta de um poliedro convexo ´e lado de exatamente duas faces desse poliedro.
Aplica¸c˜
oes da F´
ormula de Euler
F´ormula de Euler
Dado umpoliedro convexo com V v´ertices, A arestas e F faces
ent˜ao
V − A + F = 2.
A f´ormula poli´edrica foi mais tarde generalizada para estudar
redes e gr´aficos e ajudar a compreender uma larga gama de
formas cˆoncavas e em dimens˜oes mais elevadas;
A f´ormula facilita tamb´em muitas aplica¸c˜oes pr´aticas tais como auxiliar os especialistas matem´aticos a encontrar formas de dispor fios e circuitos el´etricos;
Auxilia os cosm´ologos a pensar em modelos para encontrar a
forma do nosso universo.
Aplica¸c˜
oes da F´
ormula de Euler
F´ormula de Euler
Dado umpoliedro convexo com V v´ertices, A arestas e F faces
ent˜ao
V − A + F = 2.
A f´ormula poli´edrica foi mais tarde generalizada para estudar
redes e gr´aficos e ajudar a compreender uma larga gama de
formas cˆoncavas e em dimens˜oes mais elevadas;
A f´ormula facilita tamb´em muitas aplica¸c˜oes pr´aticas tais como auxiliar os especialistas matem´aticos a encontrar formas de dispor fios e circuitos el´etricos;
Auxilia os cosm´ologos a pensar em modelos para encontrar a
Aplica¸c˜
oes da F´
ormula de Euler
F´ormula de Euler
Dado umpoliedro convexo com V v´ertices, A arestas e F faces
ent˜ao
V − A + F = 2.
A f´ormula poli´edrica foi mais tarde generalizada para estudar
redes e gr´aficos e ajudar a compreender uma larga gama de
formas cˆoncavas e em dimens˜oes mais elevadas;
A f´ormula facilita tamb´em muitas aplica¸c˜oes pr´aticas tais como auxiliar os especialistas matem´aticos a encontrar formas de dispor fios e circuitos el´etricos;
Auxilia os cosm´ologos a pensar em modelos para encontrar a
forma do nosso universo.
Aplica¸c˜
oes da F´
ormula de Euler
F´ormula de Euler
Dado umpoliedro convexo com V v´ertices, A arestas e F faces
ent˜ao
V − A + F = 2.
A f´ormula poli´edrica foi mais tarde generalizada para estudar
redes e gr´aficos e ajudar a compreender uma larga gama de
formas cˆoncavas e em dimens˜oes mais elevadas;
A f´ormula facilita tamb´em muitas aplica¸c˜oes pr´aticas tais como auxiliar os especialistas matem´aticos a encontrar formas de dispor fios e circuitos el´etricos;
Aplica¸c˜
oes da F´
ormula de Euler
A soma V − A + F ´e uma quantidade intrinsicamente
associada com a forma do objeto.
Este conceito ´e utilizado na teoria dos n´os e grafos; Na colora¸c˜ao de mapas;
Utilizado para distinguir objetos como superf´ıcies ou mais geralmente variedades, sob o ponto de vista da Topologia.
Aplica¸c˜
oes da F´
ormula de Euler
A soma V − A + F ´e uma quantidade intrinsicamente
associada com a forma do objeto.
Este conceito ´e utilizado na teoria dos n´os e grafos; Na colora¸c˜ao de mapas;
Utilizado para distinguir objetos como superf´ıcies ou mais geralmente variedades, sob o ponto de vista da Topologia.
Aplica¸c˜
oes da F´
ormula de Euler
A soma V − A + F ´e uma quantidade intrinsicamente
associada com a forma do objeto.
Este conceito ´e utilizado na teoria dos n´os e grafos;
Na colora¸c˜ao de mapas;
Utilizado para distinguir objetos como superf´ıcies ou mais geralmente variedades, sob o ponto de vista da Topologia.
Aplica¸c˜
oes da F´
ormula de Euler
A soma V − A + F ´e uma quantidade intrinsicamente
associada com a forma do objeto.
Este conceito ´e utilizado na teoria dos n´os e grafos; Na colora¸c˜ao de mapas;
Utilizado para distinguir objetos como superf´ıcies ou mais geralmente variedades, sob o ponto de vista da Topologia.
Aplica¸c˜
oes da F´
ormula de Euler
A soma V − A + F ´e uma quantidade intrinsicamente
associada com a forma do objeto.
Este conceito ´e utilizado na teoria dos n´os e grafos; Na colora¸c˜ao de mapas;
Utilizado para distinguir objetos como superf´ıcies ou mais geralmente variedades, sob o ponto de vista da Topologia.
Topologia????
A F´
ormula de Euler
´
e um problema de Topologia e n˜
ao de
Geometria Euclideana!!!!!
Poincar´
e
E um dos matem´aticos a perceber tal fato foi Poincar´eem 1893.
Generaliza¸c˜
ao da F´
ormula de Euler
A F´
ormula de Euler
n˜
ao ´
e satisfeita apenas para
Poliedros!!!!!!
Generaliza¸c˜
ao da F´
ormula de Euler
A F´
ormula de Euler
´
e verdadeira por exemplo para
Superf´ıcies
Superf´ıcies
Intuitivamente, umasuperf´ıcie´e um objeto geom´etrico bi-dimensional.
1 Plano
2 Esfera
Superf´ıcies
Intuitivamente, umasuperf´ıcie´e um objeto geom´etrico bi-dimensional.
1 Plano
2 Esfera
3 Toro
O que ´
e Topologia?
Se esticamos ou encolhemos um pouco uma superf´ıcie, certas propriedades dela se mant´em inalteradas.
Tais propriedades constituem intuitivamente, o que chamamos
topologia da superf´ıcie.
Propriedades como ˆangulo, distˆancia, ´area, curvatura s˜ao
propriedades geom´etricasda superf´ıcie, que se alteram se esticamos ou encolhemos a superf´ıcie.
O que ´
e Topologia?
Se esticamos ou encolhemos um pouco uma superf´ıcie, certas propriedades dela se mant´em inalteradas.
Tais propriedades constituem intuitivamente, o que chamamos
topologia da superf´ıcie.
Propriedades como ˆangulo, distˆancia, ´area, curvatura s˜ao
propriedades geom´etricasda superf´ıcie, que se alteram se esticamos ou encolhemos a superf´ıcie.
O que ´
e Topologia?
Se esticamos ou encolhemos um pouco uma superf´ıcie, certas propriedades dela se mant´em inalteradas.
Tais propriedades constituem intuitivamente, o que chamamos
topologia da superf´ıcie.
Propriedades como ˆangulo, distˆancia, ´area, curvatura s˜ao
propriedades geom´etricas da superf´ıcie, que se alteram se esticamos ou encolhemos a superf´ıcie.
Topologia
O que ´
e Topologia?
“TOPOLOGIA” vem do grego topos que significa local e logos que significa estudo.
A Topologia ´e considerada o ramo da matem´atica que estuda
as propriedades das figuras geom´etricas que permanecem
invariantes sob transforma¸c˜oes topol´ogicas.
Matem´aticos como Euler, Descartes, Cauchy, Gauss, Poincar´e,
M¨obius, entre outros abordaram problemas de Topologia.
Poincar´e come¸cou a explorar este novo campo no final do s´eculo XIX, chamada a princ´ıpio de ‘Analysis Situs’ (An´alise da Situa¸c˜ao).
Considera-se que a Topologia nasceu das investiga¸c˜oes de
Augustus M¨obius (1790-1868), aluno de Gauss, que definiu de
modo preciso transforma¸c˜oes topol´ogicas.
O que ´
e Topologia?
“TOPOLOGIA” vem do grego topos que significa local e logos que significa estudo.
A Topologia ´e considerada o ramo da matem´atica que estuda
as propriedades das figuras geom´etricas que permanecem
invariantes sob transforma¸c˜oes topol´ogicas.
Matem´aticos como Euler, Descartes, Cauchy, Gauss, Poincar´e,
M¨obius, entre outros abordaram problemas de Topologia.
Poincar´e come¸cou a explorar este novo campo no final do s´eculo XIX, chamada a princ´ıpio de ‘Analysis Situs’ (An´alise da Situa¸c˜ao).
Considera-se que a Topologia nasceu das investiga¸c˜oes de
Augustus M¨obius (1790-1868), aluno de Gauss, que definiu de
O que ´
e Topologia?
“TOPOLOGIA” vem do grego topos que significa local e logos que significa estudo.
A Topologia ´e considerada o ramo da matem´atica que estuda
as propriedades das figuras geom´etricas que permanecem
invariantes sob transforma¸c˜oes topol´ogicas.
Matem´aticos como Euler, Descartes, Cauchy, Gauss, Poincar´e,
M¨obius, entre outros abordaram problemas de Topologia.
Poincar´e come¸cou a explorar este novo campo no final do s´eculo XIX, chamada a princ´ıpio de ‘Analysis Situs’ (An´alise da Situa¸c˜ao).
Considera-se que a Topologia nasceu das investiga¸c˜oes de
Augustus M¨obius (1790-1868), aluno de Gauss, que definiu de
modo preciso transforma¸c˜oes topol´ogicas.
O que ´
e Topologia?
“TOPOLOGIA” vem do grego topos que significa local e logos que significa estudo.
A Topologia ´e considerada o ramo da matem´atica que estuda
as propriedades das figuras geom´etricas que permanecem
invariantes sob transforma¸c˜oes topol´ogicas.
Matem´aticos como Euler, Descartes, Cauchy, Gauss, Poincar´e,
M¨obius, entre outros abordaram problemas de Topologia.
Poincar´e come¸cou a explorar este novo campo no final do s´eculo XIX, chamada a princ´ıpio de ‘Analysis Situs’ (An´alise da Situa¸c˜ao).
Considera-se que a Topologia nasceu das investiga¸c˜oes de
Augustus M¨obius (1790-1868), aluno de Gauss, que definiu de
O que ´
e Topologia?
“TOPOLOGIA” vem do grego topos que significa local e logos que significa estudo.
A Topologia ´e considerada o ramo da matem´atica que estuda
as propriedades das figuras geom´etricas que permanecem
invariantes sob transforma¸c˜oes topol´ogicas.
Matem´aticos como Euler, Descartes, Cauchy, Gauss, Poincar´e,
M¨obius, entre outros abordaram problemas de Topologia.
Poincar´e come¸cou a explorar este novo campo no final do s´eculo XIX, chamada a princ´ıpio de ‘Analysis Situs’ (An´alise da Situa¸c˜ao).
Considera-se que a Topologia nasceu das investiga¸c˜oes de
Augustus M¨obius (1790-1868), aluno de Gauss, que definiu de
modo preciso transforma¸c˜oes topol´ogicas.
Continuidade
Defini¸c˜ao
Sejam M e N espa¸cos m´etricos, com as m´etricas dM e dN,
respectivamente. Dizemos que uma aplica¸c˜ao f : M → N ´e
cont´ınua no ponto a ∈ M se, para todo > 0 dado, existe um δ > 0 tal que
dM(x , a) < δ implica dN(f (x ), f (a)) < .
Dizemos que f : M → N ´e cont´ınuaquando ela ´e cont´ınua em todos os pontos a ∈ M.
Continuidade
Defini¸c˜ao
Sejam M e N espa¸cos m´etricos, com as m´etricas dM e dN,
respectivamente. Dizemos que uma aplica¸c˜ao f : M → N ´e
cont´ınua no ponto a ∈ M se, para todo > 0 dado, existe um δ > 0 tal que
dM(x , a) < δ implica dN(f (x ), f (a)) < .
Dizemos que f : M → N ´e cont´ınuaquando ela ´e cont´ınua em todos os pontos a ∈ M.
Continuidade
Defini¸c˜ao
Sejam M e N espa¸cos m´etricos, com as m´etricas dM e dN,
respectivamente. Dizemos que uma aplica¸c˜ao f : M → N ´e
cont´ınua no ponto a ∈ M se, para todo > 0 dado, existe um δ > 0 tal que
dM(x , a) < δ implica dN(f (x ), f (a)) < .
Dizemos que f : M → N ´e cont´ınuaquando ela ´e cont´ınua em todos os pontos a ∈ M.
Transforma¸c˜
oes Topol´
ogicas
Defini¸c˜ao
Sejam M e N espa¸cos m´etricos. Dizemos que f : M → N ´e uma
transforma¸c˜ao topol´ogica, ou umHOMEOMORFISMO,
se f ´e uma bije¸c˜ao cont´ınua com inversa cont´ınua. Neste caso, dizemos
que M e N s˜ao homeomorfos e denotamos por M ≈ N.
Do ponto de vista da topologia n˜ao distinguimos dois objetos que s˜ao homeomorfos.
Transforma¸c˜
oes Topol´
ogicas
Defini¸c˜ao
Sejam M e N espa¸cos m´etricos. Dizemos que f : M → N ´e uma
transforma¸c˜ao topol´ogica, ou umHOMEOMORFISMO, se f ´e
uma bije¸c˜ao cont´ınua com inversa cont´ınua.
Neste caso, dizemos
que M e N s˜ao homeomorfos e denotamos por M ≈ N.
Do ponto de vista da topologia n˜ao distinguimos dois objetos que s˜ao homeomorfos.
Transforma¸c˜
oes Topol´
ogicas
Defini¸c˜ao
Sejam M e N espa¸cos m´etricos. Dizemos que f : M → N ´e uma
transforma¸c˜ao topol´ogica, ou umHOMEOMORFISMO, se f ´e
uma bije¸c˜ao cont´ınua com inversa cont´ınua. Neste caso, dizemos
que M e N s˜ao homeomorfos e denotamos por M ≈ N.
Do ponto de vista da topologia n˜ao distinguimos dois objetos que s˜ao homeomorfos.
Superf´ıcies
Um subconjunto S ⊂ R3 ´e uma superf´ıcie
se, para cada p ∈ S
existe uma vizinhan¸ca V em R3 e um homeomorfismo
h : U → V ∩ S de um aberto U ⊂ R2 sobre V ∩ S ⊂ R3.
Uma superf´ıcie regular em R3 ´e dita compactase ´e fechada e limitada.
Superf´ıcies
Um subconjunto S ⊂ R3 ´e uma superf´ıciese, para cada p ∈ S
existe uma vizinhan¸ca V em R3 e um homeomorfismo
h : U → V ∩ S de um aberto U ⊂ R2 sobre V ∩ S ⊂ R3.
Uma superf´ıcie regular em R3 ´e dita compactase ´e fechada e limitada.
Superf´ıcies
Um subconjunto S ⊂ R3 ´e uma superf´ıciese, para cada p ∈ S
existe uma vizinhan¸ca V em R3 e um homeomorfismo
h : U → V ∩ S de um aberto U ⊂ R2 sobre V ∩ S ⊂ R3.
Superf´ıcies N˜
ao Compactas
Hiperbol´oide de 1 folha
Hiperbol´oide de 2 folhas
Superf´ıcies N˜
ao Compactas
Hiperbol´oide de 1 folha
Superf´ıcies N˜
ao Compactas
Superf´ıcie Costa
Asuperf´ıcie Costafoi descoberta em 1982, pelo matem´atico brasileiro Celso Costa (UFF), como parte de sua tese de doutorado no IMPA.
Toro
Toro
Podemos construir o toro a partir de colagens dos lados de um retˆangulo.
Primeiro cole o segmento AB com o segmento CD, em
seguida cole AC com BD, a figura obtida em R3 ´e o que
Toro
Podemos construir o toro a partir de colagens dos lados de um
retˆangulo.Primeiro cole o segmento AB com o segmento CD, em
seguida cole AC com BD, a figura obtida em R3 ´e o que
chamamos de Toro.
Toro
Podemos construir o toro a partir de colagens dos lados de um
retˆangulo.Primeiro cole o segmento AB com o segmento CD, em
seguida cole AC com BD, a figura obtida em R3 ´e o que
Soma Conexa de Superf´ıcies
Sejam M e N duas superf´ıcies.
Defini¸c˜ao
Asoma conexa de M e N ´e uma superf´ıcie (M]N) obtida
removendo uma pequena regi˜ao circular de cada uma das
superf´ıcies e colando um bordo circular de uma no bordo circular da outra.
Soma Conexa de Superf´ıcies
Sejam M e N duas superf´ıcies.
Defini¸c˜ao
Asoma conexa de M e N ´e uma superf´ıcie (M]N)
obtida
removendo uma pequena regi˜ao circular de cada uma das
superf´ıcies e colando um bordo circular de uma no bordo circular da outra.
Soma Conexa de Superf´ıcies
Sejam M e N duas superf´ıcies.
Defini¸c˜ao
Asoma conexa de M e N ´e uma superf´ıcie (M]N) obtida
removendo uma pequena regi˜ao circular de cada uma das
superf´ıcies e colando um bordo circular de uma no bordo circular da outra.
Soma Conexa de Superf´ıcies
Sejam M e N duas superf´ıcies.
Defini¸c˜ao
Asoma conexa de M e N ´e uma superf´ıcie (M]N) obtida
removendo uma pequena regi˜ao circular de cada uma das
superf´ıcies e colando um bordo circular de uma no bordo circular da outra.
Soma Conexa de Superf´ıcies
Sejam M e N duas superf´ıcies.
Defini¸c˜ao
Asoma conexa de M e N ´e uma superf´ıcie (M]N) obtida
removendo uma pequena regi˜ao circular de cada uma das
superf´ıcies e colando um bordo circular de uma no bordo circular da outra.
Soma Conexa de Superf´ıcies
Soma Conexa de Superf´ıcies
O4-Toro´e a soma conexa de 4 Toros.
Superf´ıcies Compactas
Vamos construir uma outra superf´ıcie compacta a partir de colagens dos lados de um retˆangulo segundo a seguinte regra.
Primeiro cole o segmento AB com o segmento CD, em seguida cole AC com DB.
A figura obtida em R3 ´e o que chamamos deGarrafa de Klein. Realizar a Garrafa de Klein em R3 implica ter auto-interse¸c˜ao.
Superf´ıcies Compactas
Vamos construir uma outra superf´ıcie compacta a partir de colagens dos lados de um retˆangulo segundo a seguinte regra. Primeiro cole o segmento AB com o segmento CD,
em seguida cole AC com DB.
A figura obtida em R3 ´e o que chamamos deGarrafa de Klein. Realizar a Garrafa de Klein em R3 implica ter auto-interse¸c˜ao.
Superf´ıcies Compactas
Vamos construir uma outra superf´ıcie compacta a partir de colagens dos lados de um retˆangulo segundo a seguinte regra. Primeiro cole o segmento AB com o segmento CD, em seguida cole AC com DB.
A figura obtida em R3 ´e o que chamamos deGarrafa de Klein. Realizar a Garrafa de Klein em R3 implica ter auto-interse¸c˜ao.
Superf´ıcies Compactas
Vamos construir uma outra superf´ıcie compacta a partir de colagens dos lados de um retˆangulo segundo a seguinte regra. Primeiro cole o segmento AB com o segmento CD, em seguida cole AC com DB.
A figura obtida em R3 ´e o que chamamos deGarrafa de Klein.
Realizar a Garrafa de Klein em R3 implica ter auto-interse¸c˜ao.
Superf´ıcies Compactas
Vamos construir uma outra superf´ıcie compacta a partir de colagens dos lados de um retˆangulo segundo a seguinte regra. Primeiro cole o segmento AB com o segmento CD, em seguida cole AC com DB.
A figura obtida em R3 ´e o que chamamos deGarrafa de Klein.
Garrafa de Klein
A Garrafa de Klein n˜ao tem lado de dentro e lado de fora. Esta superf´ıcie foi descrita em 1882 por Felix Klein. E
originalmente denominada “Kleinsche Flache”(Superf´ıcie de
Klein); cujo nome foi interpretado como “Kleinsche Flasche”
(Garrafa de Klein).
Garrafa de Klein
A Garrafa de Klein n˜ao tem lado de dentro e lado de fora.
Esta superf´ıcie foi descrita em 1882 por Felix Klein. E
originalmente denominada “Kleinsche Flache”(Superf´ıcie de
Klein); cujo nome foi interpretado como “Kleinsche Flasche”
Garrafa de Klein
A Garrafa de Klein n˜ao tem lado de dentro e lado de fora. Esta superf´ıcie foi descrita em 1882 por Felix Klein. E
originalmente denominada “Kleinsche Flache”(Superf´ıcie de
Klein); cujo nome foi interpretado como “Kleinsche Flasche”
(Garrafa de Klein).
Felix Klein (1849-1925)
Klein descreveu a Garrafa de Klein matematicamente, mas n˜ao
Como podemos distinguir duas Superf´ıcies?
F´
ormula de Euler para Superf´ıcies
O que s˜
ao
v´
ertices
,
arestas
e
faces
de uma superf´ıcie
compacta?
Triangula¸c˜
ao
Considere a seguinte triangula¸c˜ao da Esfera:
Como Triangular uma Superf´ıcie?
Defini¸c˜ao
Uma regi˜ao simples que possui apenas 3 v´ertices com ˆangulos externos αi 6= 0, i = 1, 2, 3 ´e chamado um triˆangulo.
Defini¸c˜ao
Uma triangula¸c˜ao de uma superf´ıcie compacta S ´e uma fam´ılia finita T de triˆangulos Ti, i = 1, . . . , n tais que
1.
n
[
i =1
Ti = S
2. Se Ti∩ Tj 6= ∅ ent˜ao Ti ∩ Tj ´e um lado comum de Ti e Tj ou
Como Triangular uma Superf´ıcie?
Defini¸c˜ao
Uma regi˜ao simples que possui apenas 3 v´ertices com ˆangulos externos αi 6= 0, i = 1, 2, 3 ´e chamado um triˆangulo.
Defini¸c˜ao
Uma triangula¸c˜ao de uma superf´ıcie compacta S ´e uma fam´ılia finita T de triˆangulos Ti, i = 1, . . . , n tais que
1.
n
[
i =1
Ti = S
2. Se Ti∩ Tj 6= ∅ ent˜ao Ti ∩ Tj ´e um lado comum de Ti e Tj ou
um v´ertice comum de Ti e Tj.
Como Triangular uma Superf´ıcie?
Defini¸c˜ao
Uma regi˜ao simples que possui apenas 3 v´ertices com ˆangulos externos αi 6= 0, i = 1, 2, 3 ´e chamado um triˆangulo.
Defini¸c˜ao
Uma triangula¸c˜ao de uma superf´ıcie compacta S ´e uma fam´ılia finita T de triˆangulos Ti, i = 1, . . . , n tais que
1.
n
[
i =1
Ti = S
2. Se Ti ∩ Tj 6= ∅ ent˜ao Ti ∩ Tj ´e um lado comum de Ti e Tj ou
Triangula¸c˜
ao
Numa triangula¸c˜ao n˜ao s˜ao permitidos:
Figura : Triˆangulos sobrepostos Um v´ertice encontra uma aresta
