Boletim
Ano 0 Número 0 Outubro de 2002
Informativo do Grupo de Pesquisa
Pesquisa Operacional
--- UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS (UCG)
DEPARTAMENTO DE COMPUTAÇÃO
Núcleo de Pesquisa em Informática
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EDITORIAL
Este é o primeiro boletim editado pelo Grupo de Pesquisa intitulado Pesquisa Operacional. No momento, a nossa intenção é a de divulgar o Grupo Pesquisa Operacional para o conhecimento de professores, funcionários, alunos, empresas, indústrias, organizações e órgãos de fomento para a pesquisa em Goiás e no Brasil; informar acontecimentos na área da Pesquisa Operacional, preferencialmente com a nossa participação; divulgar Projetos Finais de Curso e Iniciações Científicas orientados e produzidos através do nosso Grupo; mostrar a nossa produção científica; e discutir algumas questões pertinentes à pesquisa de uma maneira geral.
Apesar de não termos formação em Jornalismo, Design, Marketing, dentre outras, tentaremos fornecer um boletim agradável e com qualidade científica, através da nossa capacidade de trabalho e de sugestões encaminhadas, no momento, para o endereço eletrônico (e-mail) marco@ucg.br. Desde logo, obrigado!
O Grupo Pesquisa Operacional foi criado em 17 de Maio de 2000, com a finalidade inicial de aglutinar os professores e alunos do Departamento de Computação da UCG para o desenvolvimento da ciência aplicada Pesquisa Operacional no estado de Goiás. No momento, o nosso Estado é carente neste setor e a nossa realidade é a quase inexistência e inexperiência de pesquisa nesta área. No futuro, em uma segunda etapa, objetivamos agregar professores interessados de outros departamentos da UCG e de outras instituições do nosso Estado, imbuídos dos mesmos objetivos.
De maio/2000 até maio/2002, os integrantes do Grupo Pesquisa Operacional foram os pesquisadores Ph. D. Francisco José Pfeilsticker Zimmermann, Jerônimo Moreira de Oliveira e Dr. Marco Antonio Figueiredo Menezes; os estudantes Elivelton Ferreira Bueno, Isaac Veloso Nogueira, Monica Goulart Benevenuto e Tatiane Macedo Prudêncio Lopes; e os técnicos Bercholina Honorato Alves, Eugênio Júlio Messala Candido Carvalho, José Roldão Gonçalves Barbosa, Maria Carla Faria Rodrigues de Sá e Nágela Bitar Lobo.
De maio/2002 até setembro/2002, os mesmos integrantes, com exceção dos estudantes Isaac (atualmente fazendo o mestrado na COPPE/UFRJ), Monica (atualmente trabalhando na Planalto Informática) e Tatiane (atualmente fazendo o mestrado no ITA) e os técnicos Eugênio (atualmente exercendo a função de Coordenador de Programação
Acadêmica no Departamento de Computação da UCG), Maria Carla (falecida) e Nágela (atualmente fazendo o mestrado na UFU).
A partir de setembro/2002, os integrantes são os mesmos acrescidos dos pesquisadores Dr. Antônio César Baleeiro Alves e Dr. Clarimar José Coelho, e dos estudantes bolsistas Álvaro Junio Pereira Franco, Bernhar Gobbi Rocha Coimbra, Hebert Coelho da Silva e Leizer de Lima Pinto. Também, uma mudança de titulação do professor Jerônimo: término do Doutorado em Inteligência Artificial e Tecnologias Avançadas na Gestão do Conhecimento e da Informação pela Universidade de Murcia/Espanha. E, também, uma mudança de titulação da professora Bercholina: término do Mestrado em Matemática pela Universidade Federal de Goiás.
Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais. Face ao seu caráter multidisciplinar, a Pesquisa Operacional é uma disciplina científica de características horizontais com suas contribuições estendendo-se por praticamente todos os domínios da atividade humana, da Engenharia à Medicina, passando pela Economia e a Gestão Empresarial (consulte a nossa página principal home page -http://gpo.cjb.net).
O Grupo Pesquisa Operacional possui duas linhas de pesquisa: Estatística de Negócios, cujo objetivo é o de aplicar técnicas de Estatística para a verificação da viabilidade sócio-econômica das Organizações; e Programação Linear, cujo objetivo é a construção de um LABoratório de Programação Linear (LABPL).
Apesar do Grupo ainda estar na fase inicial, algumas repercussões já podem ser contabilizadas: apresentação de trabalhos em congressos, simpósios e encontros; realização do ERMAC 2002 em Goiânia; e o envolvimento de alunos e professores na área de interesse.
No Departamento de Computação da UCG, ensinamos as disciplinas de Matemática Finita, Análise Aplicada Computacional (monitor voluntário Leizer de Lima Pinto), Pesquisa Operacional (monitor voluntário Glledson Fryttys Menezes Leite) e Complexidade de Algoritmos, dentre outras matérias afins e, também, nos sentimos responsáveis principalmente por aquelas disciplinas ligadas diretamente à nossa área na Computação, denominada Matemática Computacional. Além disso, dentre outras atividades de extensão, coordenamos um Seminário de Otimização aberto para a comunidade científica com a participação de alunos e professores interessados. E, também, participamos da proposta para a criação do Mestrado em Ciência da Computação (ou afins) com parcerias ou não, auxiliando no fortalecimento da área Pesquisa Operacional.
Neste primeiro Boletim, por razões de espaço, não divulgaremos os resultados dos professores Jerônimo e Zimmermann, o que será feito no próximo número.
Dedicamos este nosso primeiro boletim para a professora Maria Carla Faria Rodrigues de Sá, integrante deste Grupo, a qual faleceu no início da nossa jornada. Sem palavras!
Marco Antonio Figueiredo Menezes Líder do Grupo Pesquisa Operacional
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PERGUNTAS E RESPOSTAS: Caminhos no curso de Computação
Aqui, a nossa idéia é a de levantar algumas perguntas para os alunos da Computação que venham a esclarecer, viabilizar e integrar a sua formação. Em seguida, forneceremos as devidas respostas através de entrevistas com responsáveis pela área.
O que é União Nacional dos Estudantes (UNE)?
"A UNE (União Nacional dos Estudantes) representa os estudantes universitários brasileiros. A principal missão da UNE é a defesa do ensino público gratuito e de qualidade, com acesso democrático e abrangente. Desde sua fundação, em 1937, defende todos os interesses dos estudantes e também toma parte em campanhas da área social em benefício da população em geral.
A trajetória da UNE está intimamente vinculada aos principais movimentos históricos e políticos do Brasil. Em 1964, a ditadura militar proibiu as atividades da UNE, colocando-a na clandestinidade. Sua sede, na cidade do Rio de Janeiro, foi invadida e destruída. Líderes estudantis foram perseguidos, presos e mortos...
Em 1984, a UNE deu início à campanha nacional das Diretas Já, em favor da Constituição e do restabelecimento de eleições livres para a Presidência da República. Em 1985, reconquistou a sua condição de legalidade. Em 1992, coordenou a ação dos estudantes, que ficaram conhecidos por “Caras Pintadas”, nas manifestações pelo impeachment do então presidente Fernando Collor de Mello, afastado por corrupção." (CARTILHA DA UEE-SP – Contato: uee-sp@uol.com.br)
O que é Diretório Central de Estudantes (DCE)?
"O D.C.E., Diretório Central de Estudantes, é mais comum em grandes universidades, que possuem muitos cursos. Neste caso, os C.A.s [Centros Acadêmicos] e/ou D.A.s [Diretórios Acadêmicos] da instituição podem optar por criar um D.C.E., da qual todos farão parte. Este, passa a ser o órgão máximo de representação dos estudantes dos diversos cursos, dentro e fora da instituição."
(CARTILHA DA UEE-SP – Contato: uee-sp@uol.com.br)
O que é Centro Acadêmico (CA)?
“É o órgão que representa as reivindicações e sugestões dos alunos do curso, diante à Universidade em questão. É esperado que seja uma representação que esclareça os alunos sobre os assuntos que facilitem sua vida acadêmica. Ex.: monitoria, pesquisa, etc.” (Frederico Soares da Mota – Coordenador do CA de Engenharia da Computação – UCG)
O que é Estágio na Computação?
"O Estágio, de forma geral, visa proporcionar ao aluno experiência prática na sua linha de formação. Assim, as pessoas de direito privado, os órgãos da Administração Pública e as Instituições de Ensino são autorizados por lei a aceitarem como estagiários os
alunos regularmente matriculados em cursos de educação superior, de ensino médio, de educação profissional de nível médio e superior ou escolas de educação especial, que estejam comprovadamente freqüentando.
Os estágios devem propiciar a complementação do ensino e da aprendizagem a serem planejados, executados, acompanhados e avaliados em uniformidade com os currículos, programas e calendários escolares.
Os estágios oferecem outras oportunidades tão ou até mais importantes que as experiências práticas na linha de formação do aluno, que de uma forma ou outra acabará por ter quando iniciar o seu exercício profissional como “júnior”, “trainee”, ou outra designação de início de carreira. É a oportunidade de conviver com pessoas ativas dentro de uma organização que atua na sua linha de formação. Conviver com pessoas em níveis hierárquicos e culturais acima e abaixo daquele que um dia terá nessa ou em outra instituição. Isso em uma época privilegiada, porque estudante e estagiário, livre das inibições perante os superiores e sem causar temor nos “colegas” dos níveis artífices. O relacionamento e troca de informações profissionais e de vida é muito mais natural e produtivo. O aluno está muito receptivo nesta fase e os trabalhadores regulares com uma natural boa vontade.
O trabalho de um estagiário numa organização, pelos seus vínculos e remunerações especiais, não pode ser uma forma barata de obtenção e manutenção de mão-de-obra. A legislação é rigorosa, o poder judiciário tem uma atenção rigorosa para o assunto e a Instituição de Ensino é obrigada a ter os planos de estágio planejados, monitorados e avaliados para assegurar aos alunos os ganhos dos estágios e impedir sua exploração danosa no mercado de trabalho.
A instituição que oferece o estágio tem vantagens. É uma forma eficiente e barata de recrutamento. Ao mesmo tempo a instituição seleciona, observa um “período probatório” do possível futuro empregado e realiza um treinamento em serviço. O estagiário tem uma certa remuneração que pode até ajudar no pagamento de seu curso de formação.
O estágio para estudantes de Computação tem características diferentes de outras profissões. Pelo desenvolvimento e disseminação da Computação, tudo muito rápido e recente, muitas vezes o estagiário é o indivíduo que mais entende do assunto na organização, no setor de trabalho ou na sala. Corre o risco de ser o operador oficial de planilha e editor de texto, do programa gráfico, de editoração, do sistema de Projeto Assistido pelo Computador (CAD), de ser o responsável pela manutenção das máquinas, pela instalação da rede e pela sua configuração. Corre o risco até de ser o digitador de documentos. É preciso muito cuidado para não se tornar a mão-de-obra barata porque nestas situações ele já inicia o estágio produzindo para a organização.
Este caso não convém mais à instituição que ao estagiário. Se o estagiário não tem seu curso prejudicado pelo tempo dedicado à instituição, tirante a parte do descumprimento do objetivo da lei (Lei nº 6494/77 e Decreto nº 87497 de 18/08/82), acaba por ter ganhado a experiência conveniente nesta época. A instituição perde porque não vê as potencialidades do futuro profissional. Poderia tirar muito melhor proveito do relacionamento.
O estágio na Computação ainda não é curricular. Entretanto, mesmo com os riscos mencionados de se transformar em forma de burlar a lei trabalhista, o estágio é de grande relevância para o aluno de Computação. É uma antecipação do ganho de experiência na profissão." (Prof. Ms. Luiz Carlos de Sousa - Coordenador do curso de Engenharia da Computação/UCG, que vem coordenando o Estágio na Computação/UCG)
O que é Monitoria?
“A monitoria tem por finalidade aprofundar conhecimentos teórico-práticos contribuindo, também, na formação do estudante para o exercício de atividades vinculadas ao magistério, permite também intensificar a cooperação entre estudantes e professores nas atividades de ensino, pesquisa e extensão.” (Prof. Ms. Pedro Araújo Valle – Coordenador de Monitoria do Departamento de Computação – UCG)
O que é Iniciação Científica?
“É um programa que permite ao aluno iniciar a carreira de pesquisador, pela aquisição de maturidade, estímulo da criatividade e observação no que está relacionado a pesquisa científica.” (Profa. Dra. Cleonice Rocha – Assessora de Bolsas de Pesquisa – VPG/UCG)
O que é Projeto Final de Curso I e II na Computação?
"Projeto Final de Curso é definido como qualquer trabalho individual ou de grupo, de conteúdo técnico de alto nível nos diversos setores da Computação e Informática, desenvolvido por alunos matriculados nas disciplinas Projeto Final de Curso I (CMP4172) e Projeto Final de Curso II (CMP4181). Elas devem ser cursadas pelos alunos dos cursos de Ciência da Computação e de Engenharia da Computação. O pré-requisito para matricular nestas disciplinas é que o aluno tenha que cursar no máximo 72 créditos para se formar." (Prof. Ms. José Olímpio Ferreira - Coordenador de Projeto Final de Curso)
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ACONTECEU
Aqui, a nossa idéia é a de informar o que aconteceu em termos de Congressos, Simpósios, Jornadas e Encontros Científicos com a nossa participação, desde a criação do Grupo Pesquisa Operacional.
X Congresso Latino Ibero Americano de Pesquisa Operacional - CLAIO: Cidade do
México, México, agosto de 2000.
XXIII Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional - CNMAC:
Santos/SP, setembro de 2000.
III Encontro de Computação da UCG - III UCGcomp: Goiânia/GO, novembro de 2000. II Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional em Brasília - ERMAC: Brasília/DF, fevereiro de 2001.
V Encontro de Matemática e Estatística da UFG: Goiânia/GO, abril de 2001.
XXIV Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional - CNMAC: Belo
XXXIII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional - SBPO: Campos do Jordão/SP,
novembro de 2001.
IV Encontro de Computação da UCG - IV UCGcomp: Goiânia/GO, outubro de 2001. Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional em Goiânia - ERMAC 2002: Goiânia/GO, abril de 2002.
XXV Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional - CNMAC: Nova
Friburgo/RJ, setembro 2002.
VI Jornada de Produção Científica das Universidades Católicas do Centro-Oeste:
Goiânia/GO, setembro de 2002.
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ACONTECENDO
Aqui, a idéia é a de informar o que está acontecendo com relação às nossas atividades no Grupo Pesquisa Operacional. Sugerimos uma visita ao nosso MURAL, em frente ao Departamento de Computação.
Seminário de Otimização: Toda Sexta-feira, na sala Núcleo de Pesquisa em Informática,
Área 3, Bloco D, das 19:00 às 21:00 horas.
Projetos em andamento:
1. Construção de um laboratório de programação linear - Coordenador: Dr. Marco Antonio Figueiredo Menezes; VPG/UCG.
Orientações em andamento:
1. Implementação de algoritmos das famílias simplex, elipsóides e pontos interiores para programação linear - Aluno de Ciência da Computação, Elivelton Ferreira Bueno; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; Projeto Final de Curso 2.
2. Um modelo de programação linear para um problema de loja de conveniência - Aluno de Ciência da Computação, Marco Antônio Pontes Silva; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; Projeto Final de Curso 2.
3. Implementação do algoritmo afim-escala dual para programação linear - Aluno bolsista chancelaria, Álvaro Junio Pereira Franco; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; Iniciação Científica.
4. Implementação do algoritmo afim-escala primal para programação linear - Aluno bolsista dependente, Bernhar Gobbi Rocha Coimbra; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; Iniciação Científica.
5. Implementação do algoritmo de Dikin para programação linear - Aluno bolsista OVG/VPG/SECTEC, Hebert Coelho Silva; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; Iniciação Científica.
6. Implementação do algoritmo simplex tabular para programação linear - Aluno bolsista OVG/VPG/SECTEC, Leizer de Lima Pinto; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; Iniciação Científica.
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ACONTECERÁ
Aqui, a nossa idéia é a de informar o que acontecerá nos próximos meses no que concerne às nossas atividades de pesquisa.
Congressos, Simpósios e Encontros:
XXXIV Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional - SBPO: Rio de Janeiro/RJ, 8 a 11
de outubro de 2002.
XI Congresso Latino Ibero Americano de Pesquisa Operacional - CLAIO:
Concepción, Chile, 27 a 31 de outubro de 2002.
V Encontro de Computação da UCG - V UCGcomp: Goiânia/GO, 28 a 31 de outubro de
2002.
Apresentações de Projeto Final de Curso 1 e 2: 09 a 18 de dezembro de 2002.
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PRODUÇÃO CIENTÍFICA
Aqui, a nossa idéia é a de divulgar a nossa produção científica de um boletim para outro. Como este é o primeiro, vamos divulgá-la no período maio/2000-setembro/2002.
Organização de eventos: Auxiliamos na coordenação da IV UCGcomp e coordenamos o
ERMAC 2002. Este último, com a participação do professor Jeová Martins Ribeiro (UCG) e da professora Dra. Tânia Schmitt (UnB).
Projetos concluídos:
1. Estudo, desenvolvimento e implementação de algoritmos de ponto-interior-inviável para programação linear - Marco Antonio Figueiredo Menezes; VPG/UCG, 1999-2000. 2. Construção de um laboratório de programação linear: primeiro e segundo anos - Marco
Antonio Figueiredo Menezes; VPG/UCG, 2000-2002.
Orientações concluídas:
1. Implementação de algoritmos de ponto-interior-inviável para programação linear - Aluno bolsista BIC/VPG, Isaac Veloso Nogueira; Iniciação Científica; 1999-2000.
2. Implementação do algoritmo dos elipsóides para programação linear - Aluno bolsista OVG, Elivelton Ferreira Bueno; Iniciação Científica; 2000-2001.
3. Implementação de variantes do algoritmo dos elipsóides para programação linear - Aluno bolsista OVG/VPG/SECTEC, Elivelton Ferreira Bueno; Iniciação Científica; 2001-2002.
4. Implementação do algoritmo simplex primal e primal-dual para programação linear - Aluna bolsista BIC/VPG, Ângela Brígida Albarello; Iniciação Científica; 2001-2002. 5. Implementação do algoritmo simplex primal e dual para programação linear - Aluna
bolsista BIC/VPG, Beatriz Resende Souza; Iniciação Científica; 2001-2002.
6. Implementação do algoritmo simplex revisado para programação linear - Aluna bolsista BIC/VPG, Raquel Achcar do Nascimento; Iniciação Científica; 2001-2002.
Apresentações de trabalhos:
1. Um algoritmo de ponto-interior-inviável dual viável para programação linear - Autores: Marco Antonio Figueiredo Menezes e Clóvis Caesar Gonzaga; X CLAIO.
2. Um algoritmo conceitual para programação linear - Autores: Marco Antonio Figueiredo Menezes e Clóvis Caesar Gonzaga; XXIII CNMAC.
3. Um protótipo parcial para um sistema de rações para bovinos - Autores: Marco Antonio Figueiredo Menezes e Ricardo Vieira; ERMAC 2001.
4. Desenvolvendo um novo algoritmo dual viável para programação linear - Marco Antonio Figueiredo Menezes; XXIV CNMAC.
5. Um novo algoritmo dual viável para programação linear - Marco Antonio Figueiredo Menezes; XXXIII SBPO.
6. Sobre algoritmos dual viável para programação linear - Marco Antonio Figueiredo Menezes; IV UCGcomp.
7. Uma demonstração do teorema de dualidade para programação linear - Marco Antonio Figueiredo Menezes, XXV CNMAC.
8. Introdução à programação linear - Marco Antonio Figueiredo Menezes; Tutorial na III UCG comp.
9. Método simplex primal - Marco Antonio Figueiredo Menezes; Minicurso no IV Encontro de Matemática e Estatística da UFG.
10. Implementação do algoritmo dos elipsóides para programação linear - Elivelton Ferreira Bueno; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; XXIV CNMAC.
11. Sobre o método dos elipsóides - Elivelton Ferreira Bueno; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; IV UCGcomp.
12. Uma implementação do algoritmo de Khachiyan para programação linear - Elivelton Ferreira Bueno; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; ERMAC 2002.
13. O algoritmo simplex e o algoritmo de Khachiyan: uma implementação para o exemplo de Klee e Minty - Elivelton Ferreira Bueno; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; XXV CNMAC.
14. Implementação de variantes do algoritmo dos elipsóides para programação linear - Elivelton Ferreira Bueno; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; VI Jornada de Produção Científica das Universidades Católicas do Centro-Oeste.
15. Sobre o método simplex primal-dual - Ângela Brígida Albarello; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; IV UCGcomp.
16. Implementação do método simplex com uma abordagem não clássica para programação linear - Ângela Brígida Albarello; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; ERMAC 2002.
17. Implementação do algoritmo simplex primal e primal-dual para programação linear - Ângela Brígida Albarello; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; VI Jornada de Produção Científica das Universidades Católicas do Centro-Oeste.
18. Sobre o método simplex dual - Beatriz Resende Souza; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; IV UCGcomp.
19. Sobre uma abordagem não clássica para o método simplex para programação linear - Beatriz Resende Souza; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; ERMAC 2002.
20. Implementação do algoritmo simplex primal e dual para programação linear - Beatriz Resende Souza; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; VI Jornada de Produção Científica das Universidades Católicas do Centro-Oeste.
21. Sobre o método simplex revisado - Raquel Achcar do Nascimento; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; IV UCGcomp.
22. Uma implementação do método simplex fase 1 e fase 2 com regra de Bland para programação linear - Raquel Achcar do Nascimento; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; ERMAC 2002.
23. Implementação do algoritmo simplex revisado para programação linear - Raquel Achcar do Nascimento; Orientador: Marco Antonio Figueiredo Menezes; VI Jornada de Produção Científica das Universidades Católicas do Centro-Oeste.
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ARTIGO
Aqui, a nossa intenção é a de divulgar pequenos trabalhos na área de Pesquisa Operacional. Todavia, estes trabalhos são de total responsabilidade do(s) autor(es).
Tratando incertezas com o auxílio do computador
Antônio César Baleeiro Alves, UCG/UFG baleeiro@cultura.com.br
1. Introdução
A maior parte dos problemas do cotidiano tem natureza incerta [1]. Como exemplo, considere-se a desvalorização do real frente ao dólar. Há um ano, quem teria sido capaz de
prever que a cotação do dólar atingiria os elevados patamares dos últimos dias? A fig. 1 ilustra a variação da cotação do dólar no dia 10/10/2002, retratando o ‘nervosismo’ do mercado. Neste dia, por razões difíceis de serem avaliadas com precisão, o dólar ultrapassou a marca dos quatro reais.
Fig. 1 – Variação percentual da cotação do dólar em 10/10/2002 (Fonte: Folha online).
Explicar situações e fenômenos que ocorrem, quer na economia, quer na engenharia, quer em outras áreas do conhecimento, é o fator motivador do trabalho de cientistas. Em suas pesquisas, estudam alternativas de modelagem de problemas, buscando determinar o modelo que melhor traduz o comportamento dos agentes envolvidos. O objetivo muitas vezes é quantificar e qualificar uma presumida relação entre causa e efeito. Por exemplo, um virologista que precisa compreender o mecanismo de ação de um vírus no organismo humano, para, só então propor um remédio.
Nos últimos anos, o computador tem-se revelado a ferramenta mais eficaz no estudo de problemas complexos, principalmente os que possuem as características: - grande porte, - multivariável, - não admitem modelos matemáticos bem definidos. O termo ‘bem definidos’ diz respeito a problemas que podem ser descritos por equações algébricas e diferenciais ou mesmo inequações.
Problemas de natureza incerta são modelados com base na teoria das probabilidades, e são objeto de estudo do campo designado por ‘modelagem estocástica em pesquisa operacional’. Uma abordagem possível é através da simulação de Monte Carlo [1].
2. Monte Carlo
A idéia do método Monte Carlo surgiu durante uma conferência em Los Alamos, EUA, após a 2a Guerra Mundial. Naquela ocasião, após serem apresentadas as experiências adquiridas com o ENIAC, S. Ulam pressentiu a potencialidade da nova máquina para técnicas de amostragem estocástica. John von Neumann, pioneiro da computação, também presente na conferência, foi um dos precursores desse método. Monte Carlo baseia-se essencialmente na geração intensiva de números aleatórios para a solução por simulação computacional de problemas estocásticos. Serve também à solução de problemas determinísticos, como o cálculo de integrais e de equações diferenciais de difícil solução. Para conhecer mais sobre aplicações de Monte Carlo, é sugerido o acesso aos sites: www.decisioneering.com, www.analycorp.com.
3. Fundamentos teóricos
Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade (fdp), ℜ
ℜ a :
f , onde f(x)>0,
∫
D f(x)dx =1, para a<x<b. Suponha-se que y =C(x) seja uma função de x estritamente monótona. Admita-se que essa função seja derivável para todo x . Então, a variável aleatória Y , definida como Y =C(X), possui a fdp g dada por (1). dy dx x f y g( )= ( ) (1) As funções distribuição de probabilidade, F(x)=P(X ≤ x) e G(y)=P(Y ≤ y), ligam-se às fdp f e g através de f(x)= dFdx(x) e g(y)= dGdy(y), respectivamente [2].As expressões assim definidas são úteis na solução de problemas onde se conhece a relação entre y e x . Com elas se pode determinar a probabilidade de ocorrência de y. Ou seja, não só será possível anunciar o valor de y , mas também informar o grau de certeza do valor obtido.
4. Uma aplicação
O custo para executar um projeto, com duração prevista de seis meses (p=6), cresce com o índice geral de preços (IGP-M) calculado para o mês, designado por x . Através de investimentos realizados em projetos similares, a construtora determinou como varia o custo do projeto com o IGP-M, que é dado conforme a função (2).
)] 10 25 ( 100 1 [ ) (x =C + p x2− × −6 C o (2)
Em (2), Co seria o custo do projeto se o índice x , que é aleatório e suposto com distribuição uniforme, se mantivesse fixo em 0,5%.
Para a área comercial da empresa, é de interesse determinar o custo do projeto em função de uma suposta faixa de variabilidade do IGP-M. Isto é importante, entre outras razões, para a construtora se proteger de eventuais riscos de retorno do investimento.
A fig. 2 ilustra graficamente o comportamento da função custo com o índice x .
Fig. 2 – Função custo do projeto versus índice x.
Deseja-se determinar: (a) a função densidade de probabilidade do custo do projeto; (b) a probabilidade de que o custo do projeto se situe entre $ 100.000 e $ 150.000 se o IGP-M sofrer uma variação de 0,5 a 4%.
Este problema é solucionado com a implementação do algoritmo mostrado a seguir: 1. Entre com os dados;
2. Defina o número de simulações, n ; 3. Enquanto j< , faça: n
3.1 Gere números aleatórios uniformes (x);
3.2 Substitua x na função obtida a partir da equação (1); 3.3 j← j+1;
4. Faça gráficos, se for o caso;
5. Calcule a área sob a função densidade obtida no passo 3 para o intervalo pedido. O gráfico da função densidade de probabilidade do custo do projeto é ilustrado na fig. 3.
Fig. 3 – Função densidade de probabilidade.
A probabilidade do custo do projeto situar-se entre $100.000 e $ 150.000 é 69%. Esses resultados foram obtidos com n=8.000 e 25.000 simulações para o cálculo da área. Uma desvantagem que se verifica neste tipo de solução é a elevada quantidade de simulações exigidas para obter resultados com boa precisão.
5. Conclusões
Estudos que envolvem problemas mais complexos, como aqueles que aparecem no mundo real, podem ser efetuados utilizando o computador e números aleatórios com distribuição da variável x diversa da uniforme, como a exponencial e a normal. É claro que problemas reais possuem várias variáveis aleatórias e o comportamento de variáveis dependentes comumente se apresenta sob a forma de distribuições empíricas.
Os métodos de solução e análise de problemas estocásticos requerem do programador um bom nível de criatividade na concepção do modelo computacional. Quanto ao elevado tempo de processamento, a programação distribuída em rede de computadores é uma alternativa atraente para reduzir esses tempos [3].
6. Referências bibliográficas
[1] RAU, N. et al. Living with uncertainty. IEEE Power Engineering Review, nov. 1994. 24-25 pp.
[2] MEYER, Paul. L. Probabilidade: aplicações à estatística. Rio de Janeiro: LTC. 1980. 391 p.
[3] ALVES, A.C. Baleeiro, MONTICELLI, A. J., GARCIA, A. V., SATO, F. Análise de curto-circuito probabilístico pelo método de Monte Carlo utilizando ambientes paralelo e distribuído. In: Anais do XI CONGRESO CHILENO DE INGENIERIA ELECTRICA, 1995, Punta Arenas. v.A. p.053-058.
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INFORMAÇÕES E CONTATO
http://gpo.cjb.net marco@ucg.br
