Capítulo III
Fundamentos de Tensores
3.1 INTRODUÇÃO
Considere-se o problema de uma onda eletromagnética polarizada arbitrariamente e que se propaga no ar, conforme mostrado na Fig. 3.1, incidindo na interface com um meio dielétrico e sem perdas, porém, com anisotropia dielelétrica. Ênfase especial é dada ao caso de materiais cristalinos com anisotropia dielétrica uniaxial como, por exemplo, o niobato de lítio LiNbO3.
Figura 3.1- Transição de uma frente de onda de um meio isotrópico para um meio anisotrópico.
Com certeza, a onda no meio anisotrópico ainda deve satisfazer as equações de Maxwell. Contudo, a informação sobre o meio dielétrico agora é fornecida pela seguinte relação constitutiva [1]:
e
d : (3.1)
onde a notação ( : ) corresponde a operação de multiplicação entre o tensor permissividade
dielétrica, e o vetor campo elétrico e. Portanto, no caso anisotrópico, a permissividade
fenômeno da dupla refração óptica na interface, cujos raios exibem polarizações lineares diferentes. Com isso, dispositivos como prismas polarizadores e lâminas de onda podem ser implementados.
As repercussões da natureza tensorial da permissividade sobre as equações de Maxwell precisam ser investigadas. O tópico sobre álgebra tensorial constitui uma ferramenta essencial para o desenvolvimento dos capítulos que envolvem o efeito eletro-óptico e o efeito acústico-óptico em sólidos. Entretanto, como a maioria dos materiais eletro-acústico-ópticos e acústico-acústico-ópticos são empregados na forma de cristal, antes de mais nada será necessária uma breve introdução à cristalografia.
3.2 NOÇÕES GERAIS DE CRISTAIS
Um cristal é constituído por um arranjo (array) tridimensional periódico de átomos no espaço [2]. O bloco básico constitutivo do cristal é denominado de célula unitária, e apresenta dimensões da ordem de 10 Å para materiais inorgânicos. Assim, cada cristal de tamanho macroscópico (~ 1 cm3) pode ser considerado infinito em extensão, na escala de dimensões da célula unitária.
Na natureza, existem somente sete formas diferentes de células unitárias, as quais definem um conjunto de sistemas cristalográficos. Na Fig. 3.2 ilustram-se estas células unitárias, cujas arestas têm dimensões a, b e c. O ângulo entre a e b é , entre b e c é e entre a e c é Os sistemas associados às células unitárias são denominados:
i) cúbico: a = b = c, 900 P, I, F
ii) tetragonal: a = b c, 900 P,I
iii) ortorrômbico: a b c, 900 P, C, I, F
iv) monoclínico: a b c, 900 = P, C
v) triclínico: a b c, P
vi) trigonal: a = b = c, 900 00 P (também chamado romboédrico)
vii) hexagonal: a = b c, 900, P.
Além disso, as células podem receber designações: P = Primitive cell, I= Body centered, F= Face centered, C= Partially centered, conforme indicado acima, totalizando 14 possibilidades.
a
a a
Cúbico P Cúbico I Cúbico F (a) a c a Tetragonal P Tetragonal I (b) c a b
Ortorrômbico P Ortorrômbico C Ortorrômbico I Ortorrômbico F (c)
c
b
a
Monoclínico P Monoclínico C (d) c
b
a
a
a
a
a c a Triclínico Trigonal Hexagonal (e) (f) (g)
Figura 3.2 – Tipos de células cristalinas unitárias. a) Cúbico. b) Tetragonal. c) Ortorrômbico.
Quando células unitárias de um determinado tipo são empilhadas para preencher o espaço, as posições atômicas formam uma matriz de pontos da rede ou, simplesmente, rede. As arestas dessas células definem um sistema de coordenadas, com vetores de base aˆ,bˆecˆ, não necessariamente ortogonais. Se a origem desse sistema for tomado em um ponto da rede, o raio vetor para qualquer outro ponto dessa rede será:
cˆ bˆ k aˆ h r (3.2)
onde h, k e são inteiros. Uma direção particular pode ser especificada por um conjunto de inteiros [h k ] que define r . Assim, por exemplo, [0 1 0] aponta na direção do versor bˆ, enquanto [ 1 0 0] aponta na direção do versor aˆ. Num sistema cúbico, todas as três direções são equivalente, e assim, fala-se do conjunto de direções 1 0 0.
Os planos podem ser especificados pelas direções dos vetores a eles perpendiculares. Na Fig. 3.3 a) e b) ilustram-se os planos (1 0 0) e (1 1 0), respectivamente.
(a) (b)
Figura 3.3 – Planos cristalinos. a) Plano (1 0 0). b) Plano (1 1 0).
3.3 OPERAÇÕES DE SIMETRIA DOS GRUPOS DE PONTOS
A fim de reduzir o número de componentes tensoriais que descrevem as propriedades físicas de uma rede, torna-se necessário conhecer quais as operações de simetria que deixam a rede invariante. Estas operações também devem deixar qualquer descrição matemática da rede invariante. É possível referir todas as operações de simetria a um ponto conveniente numa célula pelo qual todos os elementos de simetria passam. Fala-se, assim, de propriedades de simetria de
3.3.1 Identidade: E
Equivale a uma rotação de 00 ou 3600 em torno de qualquer eixo. É um elemento comum a todas as redes.
3.3.2 Rotação com multiplicidade n: Cn
Corresponde a uma rotação de (2 p /) n rad em torno de um dado eixo, onde p e n são inteiros. Somente n = 2, 3, 4 e 6 são consistentes com redes infinitas. Assim, por exemplo, as redes cúbicas admitem 2 (p = 1 e 2) rotações C3 (n = 3), ou seja 2C3, de 2/3 (ou 1200) e 4/3
(ou 2400), em torno do eixo [1 1 1], conforme esquematizado na Fig.3.4. São similares, rotações em torno de [ 1 1 1], [1 1 1] e [ 1 1 1]. Portanto, os cristais cúbicos admitem 8C3 operações.
[1 1 1] (a) [1 1 1] (b) [1 1 1] (c)
Figura 3.4 – Rotações C3 em redes cúbicas: (a) Original (b) 2/3. (c) 4/3.
Um cristal cúbico também admite uma (p = 1) operação C2 (n = 2), ou seja, rotação de
rad em torno de [1 1 0], como mostrado na Fig. 3.5. O mesmo é válido para as demais cinco direções equivalentes. Assim, admite-se 6C2 operações.
[1 1 0]
(a)
[1 1 0]
(b)
Figura 3.5 – Rotações C2 em redes cúbicas. (a) Original (b) .
Rotações de rad em torno das direções 1 0 0 levam em conta 3C2 operações, enquanto
3.3.3 Centro de Inversão: I
A inversão é realizada transformando cada ponto com raio r na posição r em relação ao centro de simetria I, conforme esquematizado na Fig.3.6.
I 5 5' 1 1' 2 2' 3 3' 4 4' 6 6' 7 7'
Figura 3.6 – Centro de inversão em redes cúbicas.
3.3.4 Reflexão especular:
A reflexão especular é idêntica à reflexão num espelho real, na qual a rede transformada corresponde à imagem espelhada, como esquematizado na Fig. 3.7. Um espelho normal a um eixo de simetria é denotado por h, enquanto um espelho que contém o eixo de simetria é v.
1 1' 2 2' 3 3' 4 4' 5 5' 6 6' 7 7' espelho
Figura 3.7 – Reflexão especular em redes cúbicas.
Assim, por exemplo, em cristais cúbicos os planos (1 0 0), (0 1 0) e (0 0 1), denotados por planos {1 0 0}, levam em conta 3 operações. Aos planos denotados por {1 1 0} estão associadas 6 operações.
3.3.5 Inversão de rotação: Sn
Neste caso, tem-se uma rotação Cn seguida por uma inversão I através de um ponto sobre
o eixo de rotação. Cristais cúbicos admitem 6S4 operações em torno das direções 1 0 0.
Com isso, existem 48 operações de simetria associadas aos cristais cúbicos: E, 8C3, 3C2,
6C2, 6C4, I, 8S3, 3, 6 e 6S4. Na tabela da Fig. 3.8, são apresentadas as operações admitidas
para todos os 32 grupos de pontos existentes.
Figura 3.8 – Operações de simetrias em grupos de pontos.
Para maiores detalhes sobre cristalografia, recomenda-se a leitura dos livros de Kaminow [2] ou Wood [3].
3.4 CRESCIMENTO, CORTE E POLIMENTO DE CRISTAIS
Uma técnica consagrada de crescer monocristais de LiNbO3, LiTaO3 e Bi12GeO20, por
exemplo, é a técnica de Czochralski, cujo aparato experimental está esquematizado na Fig. 3.9. Utiliza-se um cadinho de platina que é aquecido indutivamente por um sistema gerador de rádio-frequência. No cadinho é colocada uma composição congruente de Li2CO3 e NbO5, a qual
constitui uma efusão denominada melt. Uma semente de LiNbO3 orientada ao longo da direção
[0 0 1] proporciona uma maior estabilidade de crescimento. Após a semente de cristal ser baixada no melt, é puxada lentamente do cadinho, em movimento vertical e no mesmo tempo que sofre rotação. O material policristalino fundido derrete a ponta da semente e, à medida que é puxada e resfriada, um monocristal é formado.
Figura 3.9 – Técnica de Czochralski para crescimento de cristais.
Na Fig.3.10 apresentam-se imagens de cristais crescidos pela técnica de Czochralski: em a) tem-se LiTaO3, e, em b), Be12GeO20. No estado primitivo, a estrutura apresenta domínios
ferroelétricos orientados ao acaso, o que restringe as características ópticas, elétricas, acústicas, etc. Torna-se necessário polarizar o cristal, a fim de orientar coerentemente seus dipolos ferroelétricos. Isto pode ser realizado através da aplicação de um campo elétrico intenso ao cristal, ainda durante o processo de crescimento.
Antes de executar qualquer corte ou polimento no cristal, torna-se necessário estabelecer a orientação precisa dos eixos cristalinos a, b e c. Para isto, emprega-se a técnica de von Laue, na qual um feixe de raios-X incide sobre o cristal, que espalha esta radiação (difração de raios-X), antes de atingir uma tela fluorescente posicionada atrás do cristal. A imagem fotográfica assim
produzida é denominada de projeção estereográfica, e sua interpretação permite estabelecer corretamente os eixos cristalinos [3], [4].
(a) (b)
Figura 3.10 – Exemplos de cristais. a) LiTaO3. b) Be12GeO20.
Figura 3.11 – Serra periférica usada para cortar cristais.
Os cristais usados em eletro-óptica devem ser cortados na forma de paralelepípedos ou de lâminas delgadas. Cristais são sólidos muito frágeis e quebradiços, e assim, muito cuidado deve ser tomado no seu corte, para evitar a formação de defeitos. Existem vários tipos de serras, cada qual mais adequada para um determinado tipo de cristal. Na Fig. 3.11, ilustra-se uma serra periférica, cuja espessura de lâmina é da ordem de décimos de milímetro. Serras anulares podem ser constituídas por lâminas ainda mais finas (0,05 mm). Quando existe a preocupação de
defeitos gerados por tensões mecânicas residuais, pode-se ainda utilizar serras de fitas, nas quais o corte é realizado por um fio metálico fino e abrasivo.
A última etapa de preparação do cristal refere-se ao polimento das faces. O grau de polimento necessário em cristais eletro-ópticos volumétricos deve ser da ordem de /10. O polimento de cristais para fins de aplicação em dispositivos SAW ou óptica integrada deve ser ainda mais rigoroso. Na Fig. 3.12 ilustra-se uma plataforma de polimento da face de cristais volumétricos. Durante a operação, vários tipos de pós abrasivos (carborundum, óxido de cério, etc.) com granulações adequadas podem ser necessários. A amostra cristalina deve ser presa a um jig de polimento cujo tamanho e peso são controlados.
Figura 3.12 – Mesa para polimento de face de cristais.
3.5 FUNDAMENTOS DA ÁLGEBRA DE TENSORES
Neste curso, os eixos principais dos cristais, também chamados de eixos cristalinos, serão denotados por (X, Y, Z) ou (X1 , X2 , X3 ), os quais correspondem à (a, b, c) usados em
cristalografia. Os eixos geométricos (ou eixos de laboratório) serão denotados por (x, y, z) ou (x1, x2, x3), a menos que se diga o contrário.
Grandezas como e , h , d e b são vetores e, portanto, necessitam de um sistema de coordenadas para descrevê-las matematicamente. De forma similar, a permissividade “ ” de um cristal é um tensor de segunda ordem, e também deve ser expresso com relação a um sistema de coordenadas, o qual nem sempre é o sistema cristalino (pode ser o sistema de eixos do laboratório). Ao passar de um determinado sistema de coordenadas (cristalino) para outro
(geométrico), torna-se necessário estabelecer uma lei de transformação que descreva essa mudança.
Neste texto serão consideradas apenas aquelas transformações oriundas de rotação de
sistemas de coordenadas. Este tipo de transformação ocorre com frequência em estudos de sólidos cristalinos, orientados arbitrariamente em relação ao sistema de coordenadas geométricas. Casos envolvendo translações de eixos como ocorrem, por exemplo, em sistemas líquidos, não serão tratados aqui.
3.5.1 Rotação de eixos coordenados
Para iniciar, considere-se o caso de um vetor bidimensional A, conforme ilustrado na Fig.3.13, originalmente referido ao sistema (x1, x2), com componentes (Ax1,Ax2):
Figura 3.13- Rotação do sistema de coordenadas (x1, x2) para (x1’, x2’).
A transformação do sistema (x1, x2), denominado de sistema antigo, para o sistema
(x'1, x'2), denominado de sistema novo, é descrita através de uma matriz de transformação:
2 1 22 21 12 11 2 1 cos cos X X X X A A sen sen a a a a A A (3.3) Novo Antigo
A demonstração de (3.3) pode ser encontrada em livros de Cálculo ou Álgebra Linear.
Considere-se, agora, o caso tridimensional, ilustrado na Fig. 3.14, onde o vetor D, referido originalmente ao sistema de coordenadas (x1, x2, x3), deve ser representado no sistema
girado (x'1, x'2, x'3). Na figura, aij corresponde a cossenos diretores entre eixos do sistema novo
Figura 3.14- Rotação do sistema do coordenadas (x1,x2,x3) para (x'1, x'2, x'3) .
Seja a o cosseno diretor do eixo novo ij x com relação ao eixo antigo i x . Denotam-se j as componentes do vetor D no sistema novo e antigo, respectivamente, por:
' 3 2 1 D D D e 3 2 1 D D D (3.4)
Dessa forma, a lei de transformação do sistema antigo para o novo é dada por:
3 2 1 D D D = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a 3 2 1 D D D (3.5)
onde aij são cossenos diretores. Observe-se que (3.3) constitui um caso particular de (3.5).
Em notação matricial, utilizando-se o símbolo de somatório, pode-se rescreve (3.5) na forma:
3 , 1,2,3 1
i D a D j ij j i (3.6)A fim de tornar a notação mais compacta, costuma-se empregar uma representação denominada de notação de Einstein, ou, notação de índices repetidos. Nesta representação, a presença de um índice repetido denota somatório com relação ao referido índice. Assim, (3.6) torna-se
(3.7) onde o índice "j" aparece repetido, indicando somatório em j. Demonstra-se, facilmente, que a operação inversa é executada conforme
(3.8) uma lei de transformação inversa, do sistema novo para o antigo ([aji] é a transposta de [aij]).
Portanto, quando se escreve uma equação que envolve grandezas de natureza vetorial ou tensorial, deve-se ter o cuidado de representar todas as grandezas com relação ao mesmo sistema de coordenadas. Por exemplo,
) , , ( : ) , , ( ) , , (X1 X2 X3 X1 X2 X3 E X1 X2 X3 D , (3.9 a) ou então ) , , ( : ) , , ( ) , , (X1 X2 X3 X1 X2 X3 E X1 X2 X3 D (3.9 b)
sendo que ( : ) denota o produto entre um tensor e um vetor.
A operação (3.7) também é válida para qualquer vetor: E, H , etc. Para o caso do vetor posição r(x1,x2,x3), aplica-se
j ij
i a x
x (3.10)
Para uma sequência de rotações abc, a matriz de transformação líquida, d (não confundir com o vetor deslocamento elétrico), obedece à regra da cadeia (j, k dummy suffix ou índices mudos):
ij jk k
i c b a
d (3.11)
a qual estabelece que índices adjacentes de elementos sucessivos são idênticos (são os índices repetidos j e k), enquanto que os índices não repetidos aparecem no elemento produto, o qual envolve índices livres (free suffix i e ).
Obs: Pode-se usar qualquer letra ainda não utilizada, em qualquer fator no lado direito:
im mp p
i c b a
d (letras j e k mudadas para m e p, respectivamente). No lado direito, pode-se mudar ,i somente se simultaneamente com o lado esquerdo: drs crjbjkaks ( ,i trocados por r,s nos dois lados).
Obs: Utilização no caso de rotações sucessivas do vetor deslocamento elétrico: Di diD.
3.5.2 Tensores de segunda ordem
Considere-se a relação constitutiva D :E, onde D e E são grandezas que possuem componentes (D1, D2,D3) e (E1,E2,E3), respectivamente, com relação a um sistema
3 2 1,x ,x
x . No caso geral de meio anisotrópico, esta relação pode ser decomposta em [1]:
3 33 2 32 1 31 3 3 23 2 22 1 21 2 3 13 2 12 1 11 1 E E E D E E E D E E E D (3.12)
(não confundir ij, propriedade física, com aij, cosseno diretor da matriz de rotação), ou então
3 2 1 D D D = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 2 1 E E E (3.13)
onde observa-se que a permissividade dielétrica absoluta "" é representada através de uma matriz 33, com nove componentes 11, Por inspeção de (3.12) ou (3.13) chega-se as
seguintes conclusões:
a) No caso geral, não existe paralelismo entre D e E, como havia no caso isotrópico.
b) A grandeza " " estabelece a relação entre dois vetores e requer a utilização de dois índices para sua especificação. Esta grandeza não tem natureza escalar e nem tampouco vetorial. c) A grandeza “ ” constitui um tensor de segunda ordem.
Um fato de fundamental importância nesta análise, é que um “fenômeno físico independe
(3.13) também independe do sistema de coordenadas”. Porém, “todas as grandezas devem ser referidas ao mesmo sistema” :
(3.14a)
(3.14b)
Nos próximos parágrafos serão realizados esforços para estabelecer qual a relação entre
kl
e ij, ou seja, qual a lei de transformação entre estas grandezas. Em primeiro lugar, substituindo-se (3.14 a) em (3.7), obtém-se ) ( ij j i k i i k k a D a E D (3.15)
Por outro lado, aplicando-se (3.8) para o caso do campo elétrico:
(3.16)
e substituindo o resultado em (3.15), obtém-se
) ( ij lj l i k k a a E D (3.17)
Comparando com (3.17) com (3.14b) obtém-se
j l j i i k l k a a (3.18)
a qual constitui a lei de transformação da permissividade do sistema antigo (x1,x2,x3) para o
sistema novo (x'1,x'2,x'3) (algo do tipo RRT, sendo R uma matriz de rotação). Na
realidade, “qualquer grandeza que obedece a esta lei de transformação é considerado um tensor de segunda ordem”, ou, equivalentemente, esta é uma definição de tensor.
Constituem outros exemplos de tensores de segunda ordem: a permeabilidade magnética de ferritas, a condutividade elétrica, o coeficiente de expansão térmica, etc. [4].
Um fato importante que deve ser observado é que a matriz resultante de rotação, embora seja não diagonal, ainda é simétrica. Desta forma, se escreve
para i, j=1,2,3. Este resultado é valido para sistemas sem perdas e pode ser demonstrado a partir do princípio de conservação da energia [1], [2]. É possível demonstrar também que, “no sistema de coordenadas principal de um cristal, um tensor de segunda ordem é sempre diagonal”. No caso da permissividade, sejam X1, X2, X3 os eixos do sistema de coordenadas principal. Então,
33 22 11 0 0 0 0 0 0 (3.20)
Obs: Todo tensor de segunda ordem é uma matriz, porém, nem toda matriz é um tensor de segunda ordem [apenas as que obedecem a (3.18)].
_____________________________________________________________________________
Exemplo 3.3. Determinar a permissividade referida a um sistema de eixos coordenados obtidos à partir da rotação de graus em torno do eixo X3 do sistema de coordenadas principal,
conforme esquematizado na Fig. 3.15.
Figura 3.15- Rotação do sistema (X1, X2, X3) em torno somente de X3.
Solução: A matriz de rotação entre os sistemas é dada por:
1 0 0 0 cos sen 0 sen cos j i aUtilizando-se a relação de transformação do tensor (3.18):
j l j i i k l k a a
j j j j j j j j i i a a a a a a a a 1 3 3 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 11 = a11
11 a1112 a12 13 a13
a12
21 a1222 a12 23 a13
31 11 32 12 33 13
13 a a a a pois 12=21=13=31=23=32 = 0, e a13=0. Prosseguindo, com 12 :(k1,l2), obtém-se
j j j j j j j j i i a a a a a a a a 2 3 13 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 12 } { } { } { 23 33 22 32 21 31 13 23 23 22 22 21 21 12 23 13 22 12 21 11 11 a a a a a a a a a a a a
11cossen 22sencos
1122
sencospois a23 =0. De forma similar, determinam-se as demais componentes: 0 32 31 23 13 12 21 2 22 2 11 22 cos sen 33 33
Em síntese, a nova permissividade é descrita por:
33 2 22 2 11 22 11 22 11 2 22 2 11 0 0 0 cos cos 0 cos cos sen sen sen senonde percebe-se que não é mais diagonal (embora permaneça simétrica).
_____________________________________________________________________________ De fato, a matriz de permissividade só é diagonal quando referida ao sistema de eixos cristalinos. Em casos simples, envolvendo a rotação em torno de apenas um dos eixos principais, torna-se fácil reconhecer o tipo de rotação, bastando inspecionar a nova matriz ´. Na matriz do exemplo anterior, os elementos fora da diagonal correspondem a índices 1 e 2, indicando que a rotação ocorreu em torno de z, uma vez que não há elementos com índices mistos de valor 3.
Para rotação em torno do eixo x1 ter-se-ia a forma geral: 2 22 2 11 11 cos sen
33 23 23 22 11 ' 0 0 0 0 (3.21)
e, para rotação em torno do eixo x2:
33 13 22 13 11 ' 0 0 0 0 (3.22)
3.5.3 Tensores de ordem superior
Conforme visto em seções anteriores, um tensor de segunda ordem (ij) acopla dois vetores (Di e Ej), conforme (3.14 a), enquanto sofre transformação direta de coordenadas conforme (3.18). Estas equações estão repetidas abaixo, em (3.23a) e (3.23b), respectivamente:
j ij i E D (3.23 a) j i j i k j j i i k k a a a a (3.23 b)
Por outro lado, um tensor de terceira ordem (Tmn ou rijk) acopla um produto de dois vetores (Bm e Cn) com outro vetor (A), ou ainda, um tensor de segunda ordem com um vetor [2]. Por exemplo, n m mnB C T A (3.24 a) k k j i j i r E (3.24 b)
Em particular, a equação (3.24 b) corresponde a representação do efeito eletro-óptico linear, o qual estabelece o valor da variação da permissividade dielétrica (ij) induzida por um campo elétrico externo (Ek) aplicado a certos tipos de cristais. A grandeza rijk é o tensor eletro-óptico
[1].
Um outro exemplo de tensor de terceira ordem refere-se ao efeito piezo-elétrico, que estabelece a variação na tensão mecânica Tij [N/m2], causada pela aplicação de um campo
elétrico Ek: k k j i j i e E T (3.25)
Um tensor de quarta ordem (Tmnop ou pijkl) acopla um produto de três vetores (Bn, Co e Dp) com outro vetor (Am), ou dois tensores de segunda ordem (ij e Skl) entre si, ou um tensor de segunda ordem (Fmn) com o produto de dois vetores (Ao e Bp):
p o n mnop m T B C D A (3.26 a) ij pijkl Skl (3.26 b) p o mnop mn T A B F (3.26 c)
O caso em (3.26 b) corresponde ao tensor acústico–óptico (ou elásto-óptico, pijkl), que
estabelece a variação de permissividade (ij) gerada pela presença de uma deformação
mecânica (Skl). Um outro exemplo, corresponde à lei de Hooke para sólidos, que estabelece a
relação entre tensão (Tij) e deformação (Skl) mecânicas:
l k l k j i j i c S T (3.27)
onde cijkl é o tensor de rigidez do material.
Os tensores de terceira e quarta ordens sofrem transformações diretas dadas por [2]:
mn kn jm i ijk a a a T T (3.28 a) mnop p ko jn im ijk a a a a T T (3.28 b)
Inclusive, (3.28a) e (3.28b) constituem as definições para os tensores de terceira e quarta ordens. Por outro lado, as transformações inversas dos tensores de segunda, terceira e quarta ordens são dadas por:
j k ki ij a a T T (3.29 a) mn nk mj i ijk a a a T T (3.29 b) mnop p ok nj mi ijk a a a a T T (3.29 c)
as quais podem ser demonstradas sem grandes dificuldades.
Objetivando-se facilitar a memorização dessas relações, apresenta-se a seguinte regra
prática: “as componentes de um tensor de ordem “n” se transformam como os produtos de ordem “n” das coordenadas de um ponto”. Por exemplo, aplicando-se (3.14) no caso de um
) ( ) ( ) ( ) ( i jm m kn n i jm kn m n k j ix x a x a x a x a a a x x x x (3.30)
a qual resulta similar a (3.28 a): Tijk aiajmaknTmn.
3.6 REDUÇÃO DO NÚMERO DE ELEMENTOS INDEPENDENTES DO TENSOR
Conforme citado anteriormente, pode-se demonstrar que o tensor permissividade dielétrica é simétrico relativamente ao sistema de eixos principais do cristal, ou seja, que ij =ji .
Assim, o número de elementos independentes de sua matriz reduz-se de nove para seis. Reduções adicionais podem ser obtidas aplicando-se as relações de simetrias de ponto para cristais, estudas na seção 3.3.
O tensor dielétrico de um cristal é simplesmente uma representação matemática de uma propriedade física. Assim, “se um cristal é invariante diante de um grupo de operações de simetria, então, qualquer tensor que represente uma propriedade física do cristal deve ser invariante diante dessas operações”.
______________________________________________________________
Exemplo 3.2: Seja a matriz associada ao tensor das constantes dielétricas ij, referida ao sistema
de eixos principais do cristal (e portanto, ij é diagonal):
ij = 3 2 1 0 0 0 0 0 0
Se x3 for um eixo de multiplicidade 4 de um cristal [C4, de acordo com p(), p=1,...,4], então,
a rotação do tensor dielétrico por /2, ou 3/2 rad em relação ao conjunto 1 0 0 deve deixá-lo invariante. Assim,
ij[C4]ij[E] ij =ij (3.31)
onde os termos dos lados esquerdo (ij[C4]) e direito (ij[E]) de (3.31) referem-se ao tensor após (ij =ij[C4]) e antes (ij=ij[E]) da rotação, respectivamente. Deve ser lembrado que C4
visto no item 3.5.1) e que [E] é a operação identidade. Assim, uma rotação de /2 rad em torno de [0 0 1], ou seja, do eixo x3, como esquematizado na Fig. 3.16, resulta em:
x3 x2 x1 x'3 x'2 x'1 /2
Figura 3.16 – Rotação de /2 rad em torno do eixo x3.
2 22 11 2 2 1 1x x x x 1 11 22 1 1 2 2 ( )( ) x x x x 3 33 33 3 3 3 3 x x x x 0 ) ( 1 1 2 12 21 2 2 1x x x xx x 0 12 21 2 1 1 2 x x x x
De forma análoga, mostra-se que ij 0 para os demais casos onde i j. Assim, observa-se que 2
11 4
11[ ]
C . Porém, de (3.31), tem-se que 11[C4]11[E]1. Portanto, a simetria exige que 1 = 2 para todos os cristais com simetria C4 ao longo de x3.
___________________________________________________________
Pode-se demonstrar que o resultado do exemplo anterior também se aplica para o eixo S4.
Assim, a constante dielétrica de um sistema tetragonal, o qual é caracterizado por eixos ora C4
ora S4, é descrita por apenas duas componentes distintas e 3. Demonstra-se que este
mesmo resultado é obtido nos sistemas trigonal e hexagonal, que possuem eixos com multiplicidade 3 (C3 ou S3) e/ou 6 (C6 e/ou S6). Os sistemas cristalinos tetragonal, trigonal e
hexagonal são denominados de cristais uniaxiais.
Nenhuma simplificação pode ser feita nos sistemas ortorrômbico, monoclínico e triclínico, os quais exigem três componentes independentes e 3. Tais cristais são
denominados de biaxiais.
Nos sistemas cúbicos, os quatro eixos de multiplicidade três (C3) estão ao longo das
direções 1 1 1, o que reduz o número de componentes independentes para apenas um: =
______________________________________________________________________
Exemplo 3.3: Considere-se um cristal cúbico, que admite a rotação C3 em torno de [1 1 1], como
esquematizada na Fig.3.17. Mostrar que este cristal é isotrópico.
120o x3 x2 x1 x'3 x'2 x'1 [1 1 1]
Figura 3.17 – Rotação de 1200 em torno do eixo [1 1 1].
2 22 11 3 11[ ] C 3 33 22 3 22[ ] C 1 11 33 3 33[ ] C Porém, a simetria exige que
1 11 11 3 11[ ] [ ] C E 2 22 22 3 22[ ] [ ] C E 3 33 33 3 33[ ] [ ] C E e portanto, impõe que = 3 (isotrópico).
_________________________________________________________________________________________________________ 3.7 CÁLCULO DA PROPRIEDADE FÍSICA AO LONGO DE UMA DADA DIREÇÃO
Nas seções precedentes foi estudado como representar a permissividade no sistema de eixos transformados. Nesse novo sistema, a matriz não é mais diagonal, possuindo forma geral conforme (3.13), com 9 elementos, dos quais, no máximo 6 são diferentes entre si. Desta forma, se o campo elétrico possuir apenas a componente na direção x1, isto é, se for dado por (E1, 0, 0),
tem-se que 3 1 13 2 1 12 1 1 11E xˆ Exˆ Exˆ D (3.32)
o qual é um vetor com componentes nas três direções do sistema de coordenadas rodado, (x1, x2,
Por definição, a “permissividade elétrica efetiva (eff) ao longo de uma dada direção xi (i
= 1,2,3), segundo a qual o campo elétrico E é aplicado, é igual a razão entre a projeção do
vetor deslocamento elétrico D ao longo dessa direção (D //) e a intensidade do campo
E” [4]: E D E x D i x eff i // ˆ (3.33)
onde D// é a projeção de D ao longo de E//ˆx1, conforme esquematizado na Fig. 3.18.
Figura 3.18- Projeção do vetor deslocamento elétrico D ao longo de E .
Então, no caso de (3.32), a permissividade ao longo da direção x1 é dada por 11
( ( ˆ1)/ 1 1 E x D x eff
=11). Nas direções x2 e x3 são 22 ( ( ˆ2)/ 2
2 E x D x eff ) e 33 ( 3 3 3 (D xˆ )/E x eff ), respectivamente.
Entretanto, é interessante estabelecer uma expressão capaz de fornecer a permissividade não só longo da direção de um dos eixos coordenados, mas também, quando o campo elétrico está orientado arbitrariamente em relação ao sistema de eixos.
O campo elétrico tem sua direção especificada por seus cossenos diretores 1, 2, 3 com relação aos eixos x1, x2 e x3, respectivamente, conforme ilustrado na Fig. 3.19, ou seja:
| | E E = (1, 2, 3) Ei E i (3.34)
sendo (E1,E2,E3)(E 1,E 2,E 3), tal que: 2 1 3 2 2 2 1 .
Figura 3.19- Direção do vetor campo elétricoE especificado por seus cossenos diretores.
Por outro lado, com o auxílio da Fig. 3.18 obtém-se que:
cos | || | D E E D = D// |E| (3.35) Substituindo-se (3.14 a) em (3.35), vem DEDi Ei (ijEj)Ei D//|E| (3.36)
Utilizando a representação através dos cossenos diretores (3.34), ou seja, Ei E i, a expressão (3.36) torna-se:
(ij|E|j) |E|i D//|E| (3.37) a partir da qual obtém-se
ij i j eff E D | | // (3.38)
_____________________________________________________________________________
Exemplo 3.4. Determinar a permissividade efetiva ao longo de uma direção arbitrária sobre o plano XY da Fig. 3.20, sendo que X, Y e Z são eixos do sistema de coordenadas principal.
Figura 3.20- Vetor campo elétrico no sistema de coordenadas principais.
Solução: A matriz de permissividade em relação ao sistema principal é diagonal, dada por
33 22 11 0 0 0 0 0 0 ,
e os cossenos diretores de E no plano XY são: 1 cos cos(900 ) sen 2 0 3
Desta forma, (3.38) conduz a
j i ij eff = 2 2 22 2 1 11 (só existem e , e, e ) 2 22 2 11cos sen eff
informando que num meio anisotrópico a propriedade depende da direção em que é medida. Por exemplo, para 0 (E E1xˆ1) eff 11 (paralelo ao eixo x),
e 900 ( 2ˆ2) 22
eff
x E
E (paralelo ao eixo y),
as permissividades medidas na direção do respectivo campo, conforme haviam sido previstas. _____________________________________________________________________________
3.8 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM TENSOR SIMÉTRICO DE SEGUNDA ORDEM
Nesta seção será investigada a seguinte relação genérica:
Sij xi xj 1 (3.39)
onde, Sij Sji é uma grandeza tensorial de segunda ordem. A equação (3.39) está expressa com referência ao sistema de coordenadas x1, x2 e x , ilustrado na Fig.3.21. Será mostrado que “esta 3
igualdade só é satisfeita se Sij for um tensor de segunda ordem” e, a seguir, investigado o seu
significado geométrico.
Figura 3.21- Rotação do sistema de coordenadas (x1, x2, x3).
Com relação a um novo sistema de coordenadas x , 1 x e 2 x3 , a relação (3.39) deve se tornar 1 n m n m x x S (3.40)
pois m e n são free suffix (ou seja, não são índices repetidos, pois não aparecem em ambos os lados da igualdade). O resultado em (3.40) é justificado bastando lembrar que a operação indicada em (3.39) resulta num escalar (a unidade), e que isto não pode depender do sistema de coordenadas usado. Dessa forma, uma relação similar a (3.39) precisa ser obtida no novo sistema coordenado.
e (3.41 a)
e (3.41 b)
Então, realizando-se as substituições de (3.41 a-b) em (3.39), ou seja, em Sij xi xj 1, obtém-se:
Sij
ami xm
anj xn
1 ami Sij anj xm xn 1 (3.42)
Porém, comparando-se (3.42) com (3.40), ou seja, com Smn xm xn 1 deduz-se que S’mn é tal que mn nj j i miS a S a (3.43)
índices repetidos free suffix
a qual satisfaz a relação de transformação (3.18). Portanto, S deve constituir um tensor de ij segunda ordem. Então, “(3.39) constitui uma definição alternativa para o tensor de segunda ordem”.
A seguir, será investigado qual o significado geométrico da representação (3.39). Expandindo-se a expressão Sij xi xj 1 para j =1, 2 e 3, obtém-se
Si1 xi x1 Si2 xi x2 Si3 xi x3 1 (3.44) e, para i =1, 2 e 3 2 1 11 x S S21 x2 x1 S31 x3 x1 S12 x1 x2 2 2 22 x S (3.45) S32 x3 x2 S13 x1 x3 S23 x2 x3 2 1 3 33 x S ComoSij Sji, (3.45) torna-se 2 1 11 x S 2 S12 x1 x2 2 S13 x1 x3 2 2 22 x S 2 S23 x2 x3 2 1 3 33 x S (3.46) ou equivalentemente, 2 1 11 x S 2 2 22 x S 2 3 33 x S 2 S12 x1 x2 2 S13 x1 x3 2 S23 x2 x3 1 (3.47)
a qual corresponde a representação geométrica de uma quádrica (elipsóide, hiperbolóide ou parabolóide). Contudo, no caso dos tensores de interesse em cristais, os coeficientes S , para ii
3 , 2 , 1
i , são puramente reais e positivos, e assim, a quádrica (3.47) sempre resulta num
elipsóide [4].
Com base no fato que os coeficientes da quádrica se comportam, à luz da transformação de coordenadas, como um tensor de segunda ordem, pode-se concluir que “a representação
geométrica de um tensor de segunda ordem simétrico [Sij em (3.39), com Sij S ji] é dada por
uma quádrica”.
_____________________________________________________________________
Exemplo 3.5. Considere-se que, em relação ao sistema x1, x2 e x , se tenha 3 Sij (i j)0, e, 0
i i
S e real, para i, j1,2,3. Investigar o lugar geométrico do tensor Sij de (3.39).
Solução: Neste caso, (3.39) torna-se
Sij xi xj 1 2 1 11 x S 2 2 22 x S 2 1 3 33 x S 2 11 1 1 S x 2 22 2 1 S x 1 1 2 33 3 S x
que corresponde a um elipsóide, conforme desenhado na Fig. 3.22, ondex1, x2 e x são eixos 3 principais.
Figura 3.22- Lugar geométrico de Sij no sistema (x1,x2,x3) – elipsoide oblato.
_____________________________________________________________________________ Generalizando, pode-se mostrar que a análise anterior aplica-se a qualquer tensor de segunda ordem simétrico, com coeficientes reais e positivos. Por exemplo, a permissividade
elétrica, a qual é um tensor de segunda ordem, pode ser representada geometricamente pela quádrica: 1 j i j i x x (3.48)
Nos próximos parágrafos, investiga-se o significado do comprimento de um raio vetor r , com origem no centro do sistema de coordenadas e com extremidade sobre a superfície do elipsóide, conforme ilustrado na Fig. 3.23.
Figura 3.23- Representação do vetor posição no elipsóide.
As coordenadas do vetor r , associado a um dado ponto da superfície do elipsoide, podem ser escritas em termos de cossenos diretores como
i
i r
x para i = 1,2,3 (3.49)
sendo r a magnitude de r . Como o índice "i" é um índice livre (free suffix), é indiferente escrever
j
j r
x para j = 1,2,3 (3.50)
onde i e jsão cossenos diretores e i,j 1,2,3. Porém, a partir de (3.48), (3.49) e (3.50), obtém-se ij xi xj 1 ij (r i) (r j)1 2 1 j i j i r (3.51)
Por outro lado, de (3.38) sabe-se que eff j i j i (3.52)
correspondente ao valor da permissividade na direção especificada por , 1 e 2 3. Portanto, (3.51) torna-se 1 2 eff r (3.53) ou então, 12 r eff (3.54)
Desta forma, a partir do valor de r numa direção de interesse r , pode-se determinar eff nesta direção, utilizando-se do elipsóide da Fig. 3.23.
No entanto, a relação estabelecida entre ambos, isto é, r1/ eff , não é direta ou tampouco linear. Por isso, nos próximos capítulos, será mais interessante introduzir o conceito de índice de refração efetivo, neff, com o qual se constituirá um novo elipsoide, tal que se estabeleça
uma relação direta entre neff e o raio vetor; algo do tipo r neff , sendo neff o índice de refração
efetivo do meio.
3.9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Yariv, A. & Yeh, P., Optical Waves in Crystals, New York, John Wiley & Sons, 1984. [2] Kaminow, I.P., An Introduction to Electrooptic Devices, Academic Press, Inc., 1974. [3] Wood, A.E., Crystals and Light – An Introduction to optical Crystallography, second
edition, Dover Publications, Inc., New York, 1977.
[4] Nye, J.F., Physical Properties of Crystals – Their Representation by Tensors and Matrices, Oxford Press, 1957.
