Normas da disciplina. Aulas teóricas Duas aulas por semana. Aulas práticas Duas aulas por semana

(1)

Introdu¸

c˜

ao

Normas da disciplina

A disciplina de Resistência de Materiais será leccionada na sequência da dis-ciplina de Mecânica, e tem como principal objectivo introduzir os conceitos de tensão, extensão e seguran¸ca de elementos estruturais.

A carga lectiva é distribu´ıda em aulas teóricas e práticas:

Aulas te´oricas Duas aulas por semana

Aulas pr´aticas Duas aulas por semana

A frequência às aulas práticas é obrigatória.

A avalia¸cão baseia-se na resolu¸cão de problemas online, num relatório sobre um ensaio laboratorial e num exame final. A resolu¸cão correcta de, pelo menos, 80% dos exerc´ıcios disponibilizados online é obrigatória para obter frequência.

O exame final pode ser substitu´ıdo por dois testes durante o semestre. O peso de cada um destes momentos de avalia¸c˜ao ´e:

Relat´orio 10% da nota final

Exerc´ıcios online 10% da nota final

Exame ou testes 80% da nota final

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(3)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao ao

comportamento de corpos

1.1 Pe¸

ca linear

O principal objecto da resistência dos materiais são as pe¸cas lineares. Uma pe¸ca linear é um objecto tridimensional gerado por uma figura plana que é deslocada ao longo de uma linha com grande raio de curvatura que passa no centróide da área plana. Para que seja considerada uma pe¸ca linear, o comprimento da linha tem que ser muito maior que as dimensões da área plana. A área plana é denominada por seçcão transversal, enquanto a geratriz é denominada eixo da barra.

Eixo da barra

Secção transversal

x

y z

Figura 1.1:

Se a seçcão transversal for de geometria constante, diz-se que a pe¸ca tem seçcão constante. Se o eixo for um segmento de recta, diz-se que a pe¸ca

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2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO AO COMPORTAMENTO DE CORPOS

linear é rectil´ınea. Se for rectil´ınea e de seçcão constante, a pe¸ca linear diz-se prismática.

Para representar uma pe¸ca linear ´e comum representar-se apenas o seu eixo.

Em geral é importante referir um referencial da pe¸ca linear. Se esta não for prismática, o referencial muda de seçcão transversal para seçcão transversal. Em todo o caso, é comum definir-se o eixo perpendicular à seçcão transversal como sendo o eixo dos xx, enquanto os outros dois eixos são referidos como eixos yy e zz, como se representa na Figura 1.1

1.2 Grandezas fundamentais

Os conceitos mais fundamentais para a resistência dos materiais são a tensão e a deforma¸cão.

Considere-se como exemplo a situa¸c˜ao representada na Figura 1.2.

Figura 1.2: Adaptado de Beer et al. (2003)

O cabo inclinado apenas est´a sujeito a for¸cas segundo o seu eixo. Estas for¸cas s˜ao denominadas por for¸cas axiais ou esfor¸cos axiais. Sujeita a um esfor¸co axial, uma barra aumenta ou dimimui de comprimento, como se re-presenta na Figura 1.3.

Embora este aumento de comprimento possa ser muito pequeno, e dificil-mente observável, está sempre presente e é de importância crucial na análise de sólidos.

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1.2. GRANDEZAS FUNDAMENTAIS 3

Considere-se agora que cortávamos a barra por uma plano imaginário, per-pendicular ao eixo da barra. A for¸ca que é transmitida pela barra é distribu´ıda por toda a sua seçcão, como se representa na Figura 1.4.

A for¸ca é transmitida de uma lado da barra para outro pela seçcão. As for¸cas aplicadas em cada área infinitesimal denominam-se por tensões, σ.

Assim a for¸ca P é a resultante das tensões distribu´ıdas na seçcão Assu-mindo que a tensão é constante na seçcão

σ = P

A (1.1)

As tens˜oes normais, σ s˜ao classificadas em:

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tensões de compressão se provocam uma diminui¸cão de comprimento

Mais tarde vamos falar de outro tipo de tens˜oes (tens˜oes tangenciais ou de corte).

´

E fundamental definir uma conven¸cão para os sinais das tensões normais. Normalmente define-se tensões de traçcão como positivas e de compressão como negativas.

As tens˜oes tˆem como unidades:

σ = F A=

N

m2= P a (1.2)

em Engenharia o Pascal (Pa) ´e uma unidade muito pequena (100 gramas por metro quadrado).

´

E mais comum utilizar-se o kPa ou o MPa

1.3 Limita¸

c˜

oes

A equa¸c˜ao

σ = P

A (1.3)

é válida apenas se a tensão for uniformemente distribu´ıda na seçcão. Con-siderando apenas for¸cas aplicadas segundo o eixo da barra, isto acontece se:

1. A for¸ca for aplicada no centróide da seçcão

2. a seçcão for suficientemente distante dos apoios e dos pontos de aplica¸cão de for¸cas concentradas

3. não ocorrerem mudan¸cas de seçcão transversal

4. o material for homog´eneo e isotr´opico

Quando a área que se considera tende para zero, a tensão tende sempre para um valor constante. Assim, a defini¸cão correcta de tensão normal é:

Defini¸c˜ao

σ = lim

A→0

F

(7)

1.4. EXTENS ˜OES 5

Concentra¸c˜ao de tens˜oes

Se as condi¸cões anteriores forem cumpridas a tensão normal devida a um es-for¸co axial é constante na seçcão. O que acontece quando temos uma varia¸cão súbita de seçcão, como um corte ou um furo. Nesse caso a distribui¸cão deixa de ser constante, com valores da tensão substancialmente mais altos junto ao furo, como se representa na Figura 1.6.

Figura 1.5: Beer et al. (2003)

Figura 1.6:

1.4 Extens˜

oes

Como vimos inicialmente, quando uma barra é sujeita a uma for¸ca de traçcão, aumenta de comprimento. Embora possa não ser observável a olho nu, isto ocorre para todos os materiais. Consideremos a barra representada na Figura 1.7.

Se considerarmos apenas metade da barra, ou seja, um tro¸co com metade do comprimento, o alongamento ´e δ

2.

(8)

ε = δ

L (1.5)

Tal como acontecia com as tensões, devemos notar que a extensão pode variar de ponto para ponto. Devemos portanto definir a extensão como

Defini¸c˜ao

ε = lim

L→0

δ

L (1.6)

1.5 Propriedades mecˆ

anicas dos materiais

O comportamento real dos materiais é muito complexo. Depende fortemente do tipo de material, das condi¸cões de fabrico (no caso de materiais manu-facturados) ou das condi¸cões que levaram à sua forma¸cão, das condi¸cões de carregamento, e até da temperatura ou da humidade.

Por essa razão foram definidos testes padrão, que permitem comparar o comportamento de diferentes materiais. Um dos testes mais úteis consiste em traccionar um provete até atingir a rotura, no que é denominado ensaio de traçcão. Outros ensaios significativos são os ensaios de compressão pura e de flexão.

Na Figura 1.9 é apresentado um esquema tradicional para o ensaio à traçcão de elementos metálicos.

Um pequeno provete é preso pelas suas extremidades, e é traccionado (ou seja o seu comprimento é aumentado) a velocidade constante.

(9)

1.5. PROPRIEDADES MEC ˆANICAS DOS MATERIAIS 7

Para um provete em a¸co, se tra¸carmos a rela¸c˜ao entre o aumento de compri-mento ∆L e a for¸ca aplicada F , obtemos uma curva semelhante `a representada na Figura 1.9. Variação de comprimento, LD Forçaaplicada ,F F F

Se considerarmos um provete com o dobro do comprimento obtemos o dobro do alongamento. Se considerarmos um provete com o dobro da ´area da

(10)

seçcão obtemos o dobro da for¸ca. Ou seja, os resultados assim obtidos não dependem apenas do material utilizado, mas também da geometria do provete. Se queremos obter resultados que sejam utilizáveis qualquer que sejam as dimensões do provete, temos que converter os resultados para unidades de tensão e extensão:

σ = F

A (1.7)

ε = ∆L

L (1.8)

Nesse caso obtemos a curva representada na Figura 1.10.

Extensão, e Tensãonormal , s F F Figura 1.10:

Esta curva n˜ao depende das dimens˜oes do provete, mas apenas do material utilizado.

No entanto, este ensaio requer alguns cuidados especiais. De facto, se considerarmos a área da seçcão inicial, obtemos o que se denomina por tensão nominal. Durante o ensaio, na zona próxima do rotura esta área diminui, como se representa na Figura 1.11. Como tal a tensão real é um pouco mais alta que a assim obtida.

Se se considerar o comprimento inicial, L, obtemos a extens˜ao nominal. No entanto o comprimento aumenta durante o ensaio. Se corrigirmos para esse comprimento, temos a extens˜ao verdadeira.

A diferen¸ca entre estas grandezas normalmente n˜ao ´e significativa em pro-blemas de engenharia.

(11)

1.6. CLASSIFICAC¸ ˜AO DOS MATERIAIS 9

1.6 Classifica¸

c˜

ao dos materiais quanto ao seu

comportamento mecˆ

anico

Acima apresentou-se o comportamento do a¸co quando sujeito a for¸cas de traçcão. No entanto, outros materiais têm comportamentos completamente diferentes deste.

A primeira distin¸c˜ao em termos de comportamentos mecˆanicos respeita `

a capacidade de alguns materiais de recuperarem as deforma¸cões após ser retirado o carregamento. Diz-se que um material tem um comportamento elástico se as deforma¸cões resultantes de um carregamento desaparecem uma vez retirado o carregamento. Um exemplo deste tipo de materiais é a borracha. A curva de carga/descarga é apresentada na Figura 1.12.a.

Outros materiais apenas recuperam parte das deforma¸cões a que foram sujeitos. Diz-se que parte da deforma¸cão é elástica, enquanto outra parte é plástica.

Um material com capacidade de sofrer grandes deforma¸cões plásticas antes de atingir a rotura diz-se dúctil (barro, a¸co). Como oposto, temos materiais que atingem a rotura para pequenas deforma¸cões plásticas, os materiais frágeis (vidro, algumas pedras).

Muitos materiais apresentam, pelo menos no seu ramo elástico, uma pro-porcionalidade entre as tensões e as deforma¸cões. Estes dizem-se materiais elásticos lineares.

(12)

10CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO AO COMPORTAMENTO DE CORPOS Extensão, e Tensãonormal , s F F Extensão, e Tensãonormal , s F F

{

Deformação plástica Figura 1.12: σ = Eε (1.9)

em que E ´e o m´odulo de elasticidade de Young.

Assim, um maior valor do módulo de elasticidade de Young indica um material que, para o mesmo n´ıvel de tensão, se deforma menos. Na Tabela 1.1 apresentam-se valores do módulo de elasticidade de Young para vários materiais comuns.

Coeficiente de Poisson

Quando o material é traccionado, além de um aumento de comprimento, dá-se uma redu¸cão da seçcão transversal, como representado na Figura 1.13.

A rela¸cão entre a deforma¸cão axial e a transversal é uma propriedade do material e é dada por:

ν = −ε

0

ε = −

deforma¸c˜ao transversal

deforma¸cão axial (1.10) Na zona elástica, o coeficiente de Poisson é constante.

Os valores correntes do coeficiente de Poisson para a maioria dos materiais variam entre 0.25 e 0.35.

A corti¸ca tem um coeficiente de Poisson próximo de 0, enquanto na bor-racha é próximo de 0.5.

(13)

1.6. CLASSIFICAC¸ ˜AO DOS MATERIAIS 11

Tabela 1.1:

Material M´odulo de Young (E) [GPa]

Borracha 0.01-0.1

Bacteriophage capsids (virus) 1-3

Nylon 2-4

Madeira de carvalho 11.00 Betão de alta resistência (à compressão) 30.00

Magn´esio 45.00

Alum´ınio 69.00

Vidro 72.00

Bronze 103-124

Titˆanio 105-120

Pl´astico refor¸cado com fibras 150.00 Ferro forjado e a¸co 190-210

Tungst´enio 400-410

Diamante 1050-1200

ν = 0 não há varia¸cão de seçcão transversal

ν = 0.5 não há varia¸cão de volume

O coeficiente de elasticidade de Young e o coeficiente de Poisson definem o comportamento elástico de um material se este for homogéneo e isotrópico.

(14)

12CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO AO COMPORTAMENTO DE CORPOS

Se o comportamento do material variar conforme a direçcão, este diz-se anisotrópico. Nesse caso temos um módulo de elasticidade para cada direçcão. Se tiver uma conjunto de propriedades numa direçcão, e outro conjunto de propriedades em todas as direçcões paralelas diz-se ortotrópico (caso de algumas rochas).

1.7 Varia¸

c˜

oes de temperatura

Quando ocorre um aumento de temperatura, os materiais aumentam de com-primento. Podemos considerar este aumento dizendo que:

ε = σ

E+ α ∆T (1.11)

Este aumento de comprimento ocorre em todas as direc¸c˜oes. g

1.8 Tens˜

oes tangenciais ou de corte

Já falámos de tensões normais, ou seja, tensões perpendiculares à face que estamos a analisar.

No entanto, como vimos anteriormente, o vector da tensão numa face tem também uma componente tangente à face.

Como exemplo, considere-se o parafuso.

Ao traccionar as duas barras ligadas pelo parafuso, este está sujeito a uma tensão importante, paralela à sua seçcão transversal. Podemos falar numa tensão tangencial média dada por:

τmed=

V

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1.8. TENS ˜OES TANGENCIAIS OU DE CORTE 13

embora a tens˜ao real nunca seja constante

Deforma¸c˜ao por corte

Vamos pensar num pequeno rectˆangulo sujeito a uma tens˜ao tangencial como se representa na Figura 1.15.

Figura 1.15:

As tens˜oes tangenciais n˜ao provocam um aumento de comprimento quer segundo x quer segundo y. Mas x e y, que inicialmente eram perpendiculares (π

2) passam a ter formar um ˆangulo π

2 −γ. O ângulo γ é uma medida da distor¸cão.

Em materiais elásticos lineares a rela¸cão entre a distor¸cão é linear:

τ = Gγ (1.13)

G = E

2 (1 + ν) (1.14)

(16)

(17)

Cap´ıtulo 2

An´

alise de tens˜

oes

A fundamenta¸cão para a ánalise de tensões que vai ser realizada nesta disci-plina é bastante complexa. Efectivamente, a base teórica é aplicável a todos os materiais e portanto muito geral.

Nesta disciplina apenas se analiza parte dessa teoria.

Vamos come¸car por pensar num cubo de muito pequenas dimens˜oes. Se o cubo pertencer a um elemento traccionado, temos o estado de tens˜ao repre-sentado na Figura 2.1.

Figura 2.1:

Por outro lado, podemos ter tens˜oes tangenciais como as do exemplo do parafuso. Nesse caso teremos o estado de tens˜ao representado na Figura 2.2.

Se tivermos todas as tens˜oes tangenciais e normais possiveis, temos o estado de tens˜ao representado na Figura 2.3.

Temos portanto nove tens˜oes nas faces vis´ıveis, e outras 9 nas faces in-vis´ıveis.

(18)

16 CAPÍTULO 2. AN ÁLISE DE TENS ÕES

Figura 2.2:

Figura 2.3:

Por uma questão de equilibro, as tensões nas faces invis´ıveis são iguais mas de sentido contrário às das faces vis´ıveis.

Vamos tentar come¸car por dar um nome a cada uma destas tens˜oes. O primeiro passo consiste em definir um referencial como o representado na Figura 2.3.

Cada faceta tem o nome do eixo que lhe ´e perpendicular.

Se a normal exterior coincidir com um eixo, a faceta diz-se positiva. Caso contr´ario diz-se negativa.

As tensões são designadas por dois ´ındices. O primeiro indica a faceta onde ocorrem, o segundo a sua direçcão.

(19)

17

Figura 2.4:

τzy= τ yz (2.1)

τxy = τ yx (2.2)

τxz= τ zx (2.3)

(20)

2.1 Tensor das tens˜

oes

O estado de tensão num ponto é dado por nove componentes, cada uma cor-respondente à tensão numa faceta (x,y,z) segundo uma direçcão (x,y,z). À partida esta parce ser a organiza¸cão t´ıpida de uma matriz. Na realidade, o estado de tensão é definido por uma entidade um pouco mais geral que uma matriz.

Vamos portanto ver quais s˜ao as entidades matem´aticas que normalmente usamos:

Escalares definidos por um valor (massa, temperatura,...)

Vectores: definidos por 2 ou 3 valores (velocidade, for¸ca)

Podemos definir uma grandeza que inclui todos estes e outros mais com-plexos, designada tensor.

De uma forma geral podemos definir:

escalar: tensor de ordem 0

vector: tensor de ordem 1

matriz: tensor de segunda ordem

O estado de tens˜ao ´e definido por 3 componentes para cada faceta. Faz sentido defini-lo com um tensor de 2a ordem

[τ ] =   σx τxy τxz τyx σy τyz τzx τzy σz   (2.4)

Um caso particular de estados de tens˜ao, ´e o caso em que uma linha e uma coluna tem todos os valores nulos.

[τ ] =   σx τxy 0 τyx σy 0 0 0 0   (2.5)

Este estado de tensão é denominado estado plano de tensão. É relativa-mente comum e mais simples de analisar.

Devido à igualdade descritas nas equa¸cões (2.1) a (2.3) ambos os tensores são simétricos.

(21)

2.2. RELAÇ ÃO TENS ÃO-EXTENS ÃO 19

2.2 Rela¸

c˜

ao tens˜

ao-extens˜

ao

Como vimos, a rela¸cão tensão-extensão à traçcão é constante para cada ma-terial, não dependendo da forma do provete.

No entanto, esta rela¸cão é extremamente complexa, e raramente pode ser utilizada para efeitos práticos.

Na realidade, para aplica¸cões correntes considera-se que os materiais têm comportamentos mais simples, como sejam o comportamento elástico linear. .

Pode, em alguns casos, existir mais uma parcela nesta equa¸c˜ao. Com efeito, quando um material ´e sujeito a um aumento de temperatura, o seu comprimento aumenta. Assim:

ε = σ

E + α × ∆T (2.6)

em que α é o coeficiente de expansão térmica, e ∆T é a varia¸cão de tem-peratura.

De um modo generalizado, e desprezando o efeito da temperatura, uma barra sujeita apenas a um esfor¸co axial, apresenta, em cada ponto, as seguintes extens˜oes: εx = σx E (2.7) εy = −ν · σx E (2.8) εz = −ν · σx E (2.9)

Se, invés de uma tensão normal, tivermos tensões normais nas três di-reçcões, usamos o principio da sobreposi¸cão de efeitos:

εx = 1 E(σx−νσy−νσz) (2.10) εy = 1 E(σy−νσx−νσz) (2.11) εz= 1 E (σz−νσx−νσy) (2.12)

2.3 Equa¸

c˜

oes constitutivas

Tal como as tens˜oes num ponto, as deforma¸c˜oes podem ser apresentadas sobre a forma de tensor. Assim:

(22)

20 CAPÍTULO 2. AN ÁLISE DE TENS ÕES ε =   εx γxy γxz γyx εy γyz γzx γzy εz   (2.13)

em que εxé a extensão de uma fibra orientada segundo xx, e γxy é a varia¸cão

de ˆangulo entre duas fibras, inicialmente orientadas segundo xx e yy.

O cálculo das distor¸cões, com base nas tensões presentes, pode ser descrita por:

τ = Gγ (2.14)

em que G é o módulo de distor¸cão:

G = E

2(1 + ν) (2.15)

Juntado a componente devido às tensões tangenciais, à componente devido `

as tensões normais, podemos relacionar tensões e extensões por:

εx εy εz γxy γxz γyz = 1 E 1 −ν −ν 0 0 0 −ν 1 −ν 0 0 0 −ν −ν 1 0 0 0 0 0 0 2(1 + ν) 0 0 0 0 0 0 2(1 + ν) 0 0 0 0 0 0 2(1 + ν) σx σy σz τxy τxz τyz (2.16)

NOTA: Esta expressão é válida para materiais homogéneos, elásticos li-neares e isotrópicos

2.4 Tens˜

oes - esfor¸

cos

Até agora, o único esfor¸co considerado foi o esfor¸co axial. Foi dito, que o es-for¸co normal era igual à resultante das tensões normais na faceta. Na realidade todos os esfor¸cos correspondem à resultante das tensões na seçcão transversal. Assim, considerando que a seçcão transversal corresponde à face perpen-dicular a x:

N = Z

A

σx (2.17)

O esfor¸co transverso, segundo y, é igual à resultante das tensões tangenciais segundo yy. Ou seja,

(23)

2.5. FLEX ˜AO 21

Vy =

Z

A

τxy (2.18)

O esfor¸co transverso segundo z, ´e:

Vz=

Z

A

τxz (2.19)

O momento flector é igual ao momento de todas as tensões em rela¸cão ao eixo x. As tensões tangenciais na face intersectam ou são paralelas a este eixo, portanto o momento é provocado apenas pelas tensões normais:

My=

Z

A

σxz (2.20)

O momento flector segundo Mz ´e dado por:

Mz=

Z

A

σxy (2.21)

Por ´ultimo consideremos o momento torsor.

As tensões normais não provocam momento, por serem paralelas ao eixo de rota¸cão. Apenas as tensões tangenciais provocam momentos. Estes são dados por:

T = Mt=

Z

A

τpρ (2.22)

em que ρ é a distância ao centro de rota¸cão, e τp é a componente da tensão

perpendicular ao raio.

2.5 Flex˜

ao

Vamos considerar uma barra sujeita apenas a um esfor¸co de flex˜ao.

Vamos come¸car por analisar um problema muito simples, como o repre-sentado na Figura 2.5.

A barra vai deformar-se, de um modo semelhante ao representado na Fi-gura 2.6.

Embora saibamos que a resultante das tensões tem que ser igual ao mo-mento flector na seçcão, existe uma infinidade de distribui¸cões de tensões que verificam esta condi¸cão.

(24)

Figura 2.5: Flexao

Figura 2.6:

Para resolver este problema considera-se uma assump¸cão, que experimen-talmente se verifica realista. Assim, considera-se que um elementos apenas su-jeito à flexão, sofre deforma¸cões que verificam o principio de Navier-Bernoulli (ver Figura 2.7):

”Sob efeito apenas de flexão, as seçcões transversais da pe¸ca linear per-manecem constantes e perpendiculares à linha média.”

Se analisarmos a posi¸cão inicial e final da seçcão, verificamos que para além de um deslocamento vertical de corpo r´ıgido, as fibras da zona superior aumentaram de tamanho e da zona inferior diminu´ıram de tamanho.

Por outro lado, para que as seçcões continuem planas, este aumento ou diminui¸cão de comprimento, tem que ser uma fun¸cão linear.

Por outras palavras, considerando o referencial representado na Figura 2.9, as extens˜oes s˜ao:

(25)

2.5. FLEX ˜AO 23

Figura 2.7:

em que αεz e αεy s˜ao as inclina¸c˜oes da deformada em torno de z e y,

respec-tivamente e ε0 ´e a extens˜ao ao n´ıvel do centro de massa.

Sabendo que as tens˜oes s˜ao dadas por:

σ = E × ε (2.24)

temos:

σ = σ0+ y × θσz + z × θσy (2.25)

Considerando que apenas existe momento flector segundo o eixo z, Mz,

e o esfor¸co normal N , e momento segundo y, My s˜ao ambos nulos, podemos

escrever:            N =R Aσ dA = 0 Mz= R Aσ × y dA My = R Aσ × z dA = 0 (2.26) e que σ = σ0+ y × θσz + z × θσy (2.27)

(26)

Figura 2.8:

Figura 2.9:

Podemos substituir, chegando-se a:

           N =R Aσ dA = σ0+ y × θσz+ z × θσy = 0 Mz = R A(σ0+ y × θσz + z × θσy) × y dA My = R A(σ0+ y × θσz+ z × θσy) × z dA = 0 (2.28)

Do primeiro termo de (2.38), chegamos a:

N = Z A σ0+ y × θσz+ z × θσydA = 0 (2.29) ⇔N = Z A σ0dA + Z A y × θσz dA + Z A z × θσydA (2.30)

(27)

2.5. FLEX ˜AO 25

Passando para fora dos integrais, as constantes, ficamos com:

⇔N = σ0 Z A 1 dA + θσz Z A y + θσy Z A z dA (2.31) ⇔N = σ0 Z A 1 dA + θσz Z A y + θσy Z A z dA (2.32)

O primeiro integral corresponde à área, os segundo e terceiro termos corre-spondem aos momentos estáticos. Como nos estamos a referir a um referencial central estes dois integrais são nulos.

Assim:

⇔N = σ0A (2.33)

ou seja

σ0 = 0 (2.34)

Consideremos as outras duas condi¸c˜oes de equil´ıbrio:

   Mz= R A(σ0+ y × θσz+ z × θσy) × y dA My = R A(σ0+ y × θσz+ z × θσy) × z dA = 0 (2.35)

Utilizando o m´etodo utilizado anteriormente, temos

   Mz = θσz R Ay2A + θσy R Ay · z dA My = θσzR_Ayz dA + θσyR_Az2 dA = 0 (2.36) ⇔    Mz= θσz·Iz+ θσyIyz My = θσzIyz+ θσyIz= 0 (2.37) ⇔    Mz= θσz·Iz+ θσyIyz My = θσzIyz+ θσyIz= 0 (2.38)

Se o referencial considerado for um referencial central de inércia, o produto de inércia, Iyz, é nulo. Nesse caso:

⇔    Mz= θσz·Iz My = θσyIz = 0 (2.39)

(28)

26 CAPÍTULO 2. AN ÁLISE DE TENS ÕES ⇔    θσz = Mz_Iz θσy = 0 (2.40)

Neste caso o estado de tens˜ao ´e:

σ = σ0+ y × θσz+ z × θσy (2.41)

⇔σ = Mz Iz

y (2.42)

A situa¸cão é algo mais complexa se o referencial não for principal. Nesse caso, resolvendo o sistema de equa¸cões:

(

θσz = _Iz_·Iy_Iy−Iyz·M 2

θσy= −_IzIyz_Iy−IyzM 2

(2.43)

Logo a tens˜ao ´e dada por:

σ = Iy·M Iz·Iy−Iyz2

·y − IyzM IzIy−Iyz2

·z (2.44)

Esta expressão é relativamente complexa, e portanto, por regra, considera-se um referencial central principal de inércia.

Quando se está a analisar sistemas em que se pode considerar que todos os materiais são elásticos lineares, podemos considerar o principio da sobre-posi¸cão de efeitos.

Assim, uma seçcão sujeita a um momento flector segundo um eixo principal apresenta o diagrama de tensões representado na Figura 2.10.

Figura 2.10:

Assim, se tivermos mais que um esfor¸co aplicado, podemos considerar que as tensões resultantes de todos os esfor¸cos são iguais à soma das tensões provocadas por cada um deles.

(29)

2.5. FLEX ˜AO 27

Assim, sabemos que um esfor¸co axial provoca uma tens˜ao dada por:

σN =

N

A (2.45)

Considerando um referencial principal, (y, z):

σMz = ± Mz·y Iz (2.46) Por analogia σMy = ± My·z Iy (2.47)

Logo, se todos os esfor¸cos existirem em simultˆaneo, temos

σ = N A ± Mz·y Iz ±My·z Iy (2.48)

Note-se que os sentidos das tensões devidas aos momentos flectores depen-dem dos eixos definidos. Como tal é mais definir o sentido das tensões em cada ponto considerando os esfor¸cos na estrutura a ser analisada.

Em fun¸c˜ao dos esfor¸cos presentes, diz-se que temos flex˜ao:

simples Apenas momento flector segundo um dos eixos principais de in´ercia;

desviada Momento flector segundo um eixo qualquer, mas sem esfor¸co axial;

composta Esfor¸co axial e momento flector segundo um dos eixos principais de in´ercia;

composta desviada Esfor¸co axial e momento flector segundo um eixo qual-quer;

A flexão simples é comum em vigas de edif´ıcios, enquanto a flexão composta e a flexão composta desviada são comuns em pilares de edif´ıcios.

(30)

Exemplo

Considere a sec¸c˜ao representada na Figura 2.11, sujeita a um momento posi-tivo igual a 150 kN.

Calcule as tensões instaladas na seçcão, considerando:

Iy = 0.21517 m4 (2.49)

Iz = 0.317708 m4 (2.50)

Figura 2.11:

Considerando que estamos em flex˜ao simples:

σ = M

I z (2.51)

Sabendo que um momento positivo provoca trac¸c˜oes nas fibras inferiores, temos, para a fibra inferior e superior, respectivamente:

σi = 150 0.21517×0.90625 = 631.8kPa (2.52) σs= 150 0.21517×0.59375 = 413.917kPa (2.53)

(31)

2.5. FLEX ˜AO 29

Figura 2.12:

Exemplo

Agora consideremos que temos dois momentos, como representado na Figura 2.13.

Figura 2.13:

O momento de 150 kN.m provoca as tens˜oes que calcul´amos anteriormente. O outro momento provoca:

σ = M

I z (2.54)

σe= σd=

180

(32)

Figura 2.14:

Assim, a tensão em cada ponto da seçcão é dada pela soma das tensões provocadas por cada um dos momentos. Assim, a tensão na extremidade superior direita é:

σ = −413.92 − 424.92 = −838.84kPa (2.56) Na extremidade inferior esquerda, a tens˜ao ´e:

σ = 631.77 + 424.92 = 1056.7kPa (2.57) A verifica¸cão da seguran¸ca pode ser, em alguns materiais, feita comparando a tensão máxima numa seçcão com uma tensão resistente.

Em flexão simples a tensão máxima ocorre sempre na fibra mais afastada do centro de massa. Assim:

σmax=

M Iy

zmax (2.58)

Podemos definir um termo, designado módulo de flexão elástica, como:

Wel=

Iy

zmax

(33)

2.6. SECC¸ ˜OES EFICIENTES 31

e nesse caso a equa¸c˜ao acima passa para:

σmax=

M Wel

(2.60)

2.6 Sec¸

c˜

oes eficientes

A seçcão mais eficiente à flexão, seria aquela com um módulo de flexão elástico mais alto, para uma área transversal mais baixa. Uma análise relativamente simples mostraria que a seçcão mais eficaz seria semelhante à representada na Figura 2.15.

Figura 2.15: Sec¸c˜ao eficiente

Esta forma é semelhante à dos perfis metálicos mais comuns. No caso do betão uma forma deste tipo é quase imposs´ıvel de produzir, e portanto usam-se em geral formas menos eficientes, como sejam formas rectangulares.

2.7 Linha Neutra

Uma das propriedades mais importantes das seçcões submetidas à flexão, é a linha neutra ou eixo neutro.

A linha neutra corresponde ao lugar geométrico de todos os pontos que estão sujeitos a tensão normal nula.

Para calcular a linha neutra, basta igualar a equa¸c˜ao 2.67 a zero e resolver em ordem a y e z. σ = N A ± Mz·y Iz ±My·z Iy = 0 (2.61)

(34)

A resolu¸cão é relativamente simples, no caso de flexão simples. Como N e My são nulas, temos:

Mz·y

Iz

= 0 (2.62)

Obtendo-se:

y = 0 (2.63)

Ou seja, se apenas existir momento flector segundo um eixo principal, a linha neutra coincide com esse eixo.

No caso de flex˜ao composta (ou seja, apenas um momento e esfor¸co axial), temos: σ = N A ± Mz·y Iz = 0 (2.64) ou seja, σ = K1+ K2y = 0 (2.65)

Ou seja, a linha neutra ´e paralela ao eixo principal, mas n˜ao passa no centro de massa (y 6= 0).

No caso de flex˜ao desviada, (My e Mz), temos:

σ = ±Mz·y Iz ±My·z Iy = 0 (2.66) ou seja σ = K1 z + k2y = 0 (2.67)

Ou seja, a linha neutra passa pelo centro de massa, mas n˜ao ´e paralela a nenhum dos eixos principais.

At´e aqui assumimos:

• Tensão proporcional à distância ao eixo neutro

Isto só é verdade para elementos homogéneos no regime elástico. Não é verdade para elementos plastificados ou heterógeneos

• Sec¸c˜oes permanecem planas

Correcto longe de varia¸cões de seçcão, cargas concentradas, e efeito das condi¸cões de fronteira

(35)

2.7. LINHA NEUTRA 33

Exemplo

Calcule a posi¸cão da linha neutra de uma seçcão rectangular de altura 0.5m e largura 0.3m, à qual está aplicado um momento segundo o eixo de maior inércia de 100kN.m, como se representa na Figura 2.16.

0.3 m

0.5 m 100 kN.m

Figura 2.16:

A in´ercia ´e dada por:

Iy =

bh3

12 = 0.003125m

4 _(2.68)

As tensões na seçcão são dadas por:

σ = M z I =

100z

0.003125 (2.69)

A linha neutra ´e dada por

σ = 32000 z = 0 (2.70) Ou seja

z = 0 (2.71)

Ou seja, como foi referido anteriormente, a linha neutra coincide com o eixo principal segundo o qual ´e aplicado o momento.

(36)

34 CAPÍTULO 2. AN ÁLISE DE TENS ÕES 0.3 m 0.5 m 100 kN.m Figura 2.17: Exemplo

Calcule a posi¸cão da linha neutra de uma seçcão rectangular de altura 0.5m e largura 0.3m, à qual está aplicado um momento segundo o eixo de maior inércia de 100kN.m e segundo o eixo de menor inércia de 50kN.m.

A inércia segundo o eixo de menor inércia é dada por:

Iy =

b3h

12 = 0.001125m

4 _(2.72)

As tensões na seçcão são dadas por:

σ = My z Iy +Mz y Iz = 100z 0.003125 + 50y 0.001125 (2.73) A linha neutra ´e dada por

σ = 32000 z + 44444.44444 y = 0 (2.74) Um dos pontos que verifica esta equa¸c˜ao ´e

(y, z) = (0, 0) (2.75) outro pode ser obtido, admitindo que y = 0.25m, nesse caso:

σ = 32000 z + 44444.44444 · 0.25 = 0 (2.76) Ou seja

(37)

2.8. FORC¸ AS EXC ˆENTRICAS 35

Ou seja, como foi referido anteriormente, a linha neutra passa no centro de massa, mas n˜ao ´e paralelo a nenhum dos eixos principais.

A linha neutra tem algumas propriedades que a tornam particularmente importante para a engenharia civil, nomeadamente:

A linha neutra divide o espaço em duas regiões. Uma destas zonas está toda comprimida, enquanto a outra está toda trac-cionada.

Como o diagrama de tensões normais numa secção é linear, e a linha neutra é uma isolinha, as tensões num ponto são propor-cionais à distância à linha neutra.

Como tal, se a linha neutra estiver fora da seçcão, todos os pontos da seçcão estão comprimidos ou traccionados.

O comportamento de muitos materiais é substancialmente diferente à traçcão e à compressão. Portanto é importante saber em que situa¸cões a linha neutra intersecta a seçcão ou não.

2.8 For¸

cas excˆ

entricas

Consideremos que temos apenas uma for¸ca de compressão aplicada, mas que esta pode ser aplicada em qualquer ponto da seçcão.

Figura 2.18: Ac¸c˜ao de uma for¸ca excentrica

Para converter esta for¸ca em esfor¸cos, temos que considerar que ela, além de comprimir a barra também provoca flexão.

(38)

Figura 2.19:

Os esfor¸cos na seçcão são:

N = −F (2.78) My = F · ez (2.79) Mz = F · ey (2.80) (2.81) σ = N A ± Mz·y Iz ±My·z Iy = 0 (2.82) Obtemos F A + F · ey·y Iz +F · ez·z Iy = 0 (2.83)

Dividindo todos os termos por F_A temos:

1 + ey·y i2 z +ez·z i2 y = 0 (2.84)

(39)

2.9. C ´ALCULO DO N ´UCLEO CENTRAL 37

em que iy ´e o raio de gira¸c˜ao dado por:

iy =

r Iy

A (2.85)

Conforme o ponto de aplica¸c˜ao da carga se vai aproximando do centro de massa, a linha neutra vai-se afastando do centro de massa.

Isto quer dizer que para uma for¸ca de compressão aplicada no centro de massa, toda a seçcão está comprimida.

Ao lugar geométrico dos pontos para os quais a linha neutra não intersecta a seçcão, chama-se núcleo central.

Quando uma carga é aplicada no núcleo central, toda a seçcão está com-primida ou traccionada.

2.9 C´

alculo do n´

ucleo central

Se considerarmos todas as rectas que não intersectam a seçcão, vemos que estas são limitadas pela contorno convexo da seçcão.

O contorno convexo é a menor figura geométrica que incluindo a seçcão, e é convexa. Uma figura é convexa se quaisquer dois pontos poderem ser unidos, sem que o segmento de recta que os une saia da figura.

A cada lado do contorno convexo corresponde um vértice do núcleo central e a cada vértice do contorno corresponde uma lado do núcleo central.

Assim o cálculo do núcleo central pode ser feito calculado qual o ponto de aplica¸cão da carga cuja linha neutra corresponde a cada lado do contorno convexo.

O núcleo central é sempre uma figura convexa, que inclui o centro de massa, e com tantos vértices quanto o número de lados do contorno convexo. O primeiro passo consiste em calcular o contorno convexo da figura a ser analisada.

(40)

Figura 2.21:

Os vértices do núcleo central podem ser encontrados determinando o ponto onde deve ser aplicada uma for¸ca excêntrica de modo a que o linha neutra coincida com os lados no contorno convexo.

Exemplo

Calcule o n´ucleo central de um rectˆangulo de largura b e altura h.

Figura 2.22:

O contorno convexo corresponde ao próprio rectângulo. Portanto o contorno convexo é definido por 4 rectas.

Consideremos o lado 1. A linha neutra ´e caracterizada pela equa¸c˜ao:

z = −h/2

(41)

2.9. C ´ALCULO DO N ´UCLEO CENTRAL 39

Figura 2.23:

Considerando a equa¸c˜ao da linha neutra

1 + ey·y i2 z +ez·z i2 y = 0 (2.87)

Substituindo pela equa¸c˜ao da recta obtemos:

1 +ey·y i2 z + ez·h 2i2 y = 0 (2.88) Reorganizando, temos: 1 +ez·h 2i2 y +ey·y i2 z = 0 (2.89)

Os momentos de in´ercia da figura s˜ao:

i2_y = h 2 12 i 2 z = b2 12 (2.90) Logo: 1 +ez·h 2h₁₂2 + ey·y b2 12 = 0 (2.91)

Esta equa¸c˜ao tem a forma:

(42)

E tem que se verificar para todos os valores de y.

Por exemplo tem que se verificar para y = 0. Nessa caso

1 + ez·h 2h2

12

= 0 (2.93)

E para y = 1. Nesse caso:

ey·1 b2 12

= 0 (2.94)

Daqui verifica-se que:

( ey = 0 ez = − 2h2 12 h = − h 6 (2.95)

Repetindo para os outros 3 lados, obtemos:

(43)

2.10. FLEX ˜AO EM ELEMENTOS HETEROG ´ENEOS 41

2.10 Flex˜

ao em elementos heterog´

eneos

Quando um elementos heterogéneo é sujeito à flexão, a hipótese de Bernoulli ainda se verifica. Ou seja, a seçcão continua plana e perpendicular ao eixo. Por outras palavras, as extensões têm uma distribui¸cão linear, como vimos para as seçcões homogéneas. Já as tensões deixam de ter distribui¸cão linear.

Consideremos a sec¸c˜ao abaixo representada na Figura 2.25.

Figura 2.25:

Nesta figura considera-se que o elementos ´e constitu´ıdo por dois materiais, em que o material a sombreado tem um m´odulo de elasticidade mais pequeno que o a branco.

Sabendo que o diagrama de extensões é linear, e que a tensão é o produto da extensão pelo módulo de elasticidade, podemos concluir que o diagrama de extensões e tensões vai ser semelhante ao representado na Figura 2.26.

Podemos analisar estas tensões considerando uma seçcão homogeneizada. Ou seja, a parte da seçcão constitu´ıda por um dos materiais é substitu´ıda por uma região equivalente de outro material.

Vamos considerar que toda a seçcão é constitu´ıda pelo material 1. A zona constitu´ıda pelo material dois é mais r´ıgida e para ter as mesmas propriedades e ser constitu´ıda pelo material 2, devia ser mais larga.

(44)

Figura 2.26:

Figura 2.27:

Em que a nova largura é dada pela largura inicial multiplicada pelo factor de homogeniza¸cão, m. O factor de homogeniza¸cão é:

m = E2 E1

(2.96)

Se calcularmos a in´ercia homogeneizada, temos:

I = I1+ I2×m (2.97)

As tens˜oes no material 1 s˜ao agora dadas por:

σ1 =

M

I z (2.98)

e no material 2 (o que foi substitu´ıdo) por

σ2 = m

M

I z (2.99)

Este procedimento pode ser utilizado em flex˜ao composta, ou composta desviada.

(45)

2.10. FLEX ˜AO EM ELEMENTOS HETEROG ´ENEOS 43

Deve ter-se em aten¸cão que no caso de flexão desviada a analogia da redu¸cão da largura da seçcão deixa de ser verdadeira.

Por outro lado, se a seçcão não for simétrica, é necessário calcular o centro de massa homogeneizado.

Basicamente o principio básico consiste em multiplicar todas as proprieda-des do material (área, inércias e tensões) pelo coeficiente de homogeniza¸cão.