7 - RUÍDO EM RECEPTORES

7 - RUÍDO EM RECEPTORES

Em um receptor, quando não se recebe nenhuma estação de rádio, ouvimos no alto falante um ruído. Este ruído pode ter sido recebido pela antena ou pode ter sido gerado no próprio receptor. Quando o som deste ruído tem a natureza de um chiado, semelhante ao barulho de uma fritura, ele está sendo gerado no próprio receptor. Qualquer resistor ou componente ativo, desde que não esteja na temperatura de zero grau absoluto, é um gerador de ruído. Isto acontece porque a energia calorífica provoca movimentos aleatórios nas moléculas e átomos do material, gerando correntes elétricas aleatórias que provocam diferenças de potencial em seus terminais. Por isto ele é chamado ruído

térmico. Embora esse sinal seja gerado com uma potência extremamente pequena, ao

ser submetido a amplificações, no próprio receptor, ele atinge o alto falante com uma potência suficiente para produzir um som audível. Colocando um osciloscópio conectado aos terminais do alto falante podemos observar a forma como esse ruído varia no tempo. A fig. 7-1 dá uma idéia desta visualização.

Fig. 7-1

Podemos ver que ele é aperiódico e suas amplitudes variam aleatoriamente. Propriedades do ruído no domínio da freqüência

Quando observamos esse ruído, em um analisador de espectro, vemos que ele não possui componente discreta em nenhuma freqüência. Seu aspecto é como mostrado na fig.7-2. É como se o seu espectro contivesse todos os valores de freqüência com a mesma intensidade.

Dizemos que seu espectro de freqüências é contínuo. Devido a esta propriedade, este tipo de ruído é chamado de ruído branco. Esta nomenclatura se deve à sua analogia com o espectro luminoso da luz branca. O espectro dessa radiação luminosa é também contínuo e com intensidade constante em toda a faixa espectral de freqüências de luz. O ruído térmico ocupa uma faixa espectral contínua que vai desde 0 Hz até centenas de

GHz.

Existem outros tipos de sinais elétricos em que o espectro é contínuo, mas sua intensidade varia com a freqüência.

Costuma-se estudar matematicamente, o espectro de freqüências desses sinais, através da utilização de uma função chamada densidade espectral de freqüências: S

( )

f .

A potência média de qualquer sinal, cujo espectro de freqüências é contínuo, pode ser determinada pela equação:

P

S

( )

f

df

MAX MIN f f

∫

=

0

Nesta expressão, fMIN e fMAX vem a ser, respectivamente, os limites inferior e superior da faixa espectral que se está considerando.

A dimensão física de S

( )

f é energia ou trabalho. Sua unidade é Watt por Hz. No caso do ruído térmico, essa densidade de potência é constante e é designada por

0 N . Ver fig. 7-3..

( )

f S 0 f 0 N Fig. 7-3

Vamos supor que o ruído mostrado na fig. 7-3, passe por um filtro passa baixas cuja freqüência de corte é fC. Ver fig. 7-4.

( )

f S 0 f 0 N

( )

f S₂ 0 f 0 N C f Filtro passa baixas Fig. 7-4

( )

= = =

∫

S f df

∫

N df P C C f f 0 0 0 0 N0

(

fC−0 =

)

N0fC

Na literatura técnica, em língua inglesa, utiliza-se a letra N para simbolizar potência média de ruído (noise).

No exemplo acima o resultado calculado seria expresso na forma: N =N0fC

Se o ruído passasse por um filtro passa faixa com cortes nas freqüências f e ₁ f , sua ₂

potência média seria:

( )

f df N df N

(

f f

)

N Bw S N f f f f 0 1 2 0 0 2 1 2 1 = − = = =

∫

∫

onde Bw (bandwidth) é a largura de faixa do filtro na unidade Hertz. (Ver figura 7-5 ).

( )

f S 0 f 0 N

( )

f S2 0 f 0 N 1 f Filtro passa faixa 2 f Bw Fig. 7-5

Portanto, podemos concluir que a potência média de um ruído térmico é proporcional à largura de faixa ocupada por ele.

Densidade espectral do ruído gerado por uma resistência quando submetida a uma temperatura ambiente.

A energia produzida pelo calor faz vibrar os átomos e elétrons de uma resistência, produzindo correntes elétricas caóticas, que geram tensões aleatórias nessa resistência. A composição dessas tensões, têm o comportamento de um ruído cuja densidade de potência é constante em toda faixa de seu espectro. Com base na teoria termodinâmica chega-se ao valor de sua densidade de potência. Ela é dada pela expressão:

    = Hz w kT N₀

onde k = constante de Boltzmann: _{1,38 10}−23

× =

k

=T temperatura ambiente em grau Kelvin

Nota-se que sua intensidade independe do valor da resistência que o gerou.

--- Exercício 2-1

a) Determinar a densidade espectral de potência do ruído gerado por um resistor na temperatura padronizada T₀.     × = × × = = − − Hz W kT N0 0 1,38 10 23 290 4,0 10 21

b) Determinar a potência média desse ruído, em uma largura de faixa Bw=2 MHz W

Bw N

N = ₀ =4,0×10−21×2×106 =8,0×10−15

--- Os dispositivos ativos tais como os diodos, transistores , etc. também geram ruído térmico de densidade espectral constante. O valor dessa densidade espectral depende das características do dispositivo ativo, mas é sempre maior do que a que é gerada em um simples resistor.

RUÍDO, GERADO POR UM AMPLIFICADOR, REFERIDO À SUA ENTRADA

Vamos supor que um determinado amplificador tem um ganho de potência G. Supomos, também que, apesar de não ter ruído em sua entrada, ele produz uma potência de ruído N_out em sua saída. Portanto, o ruído foi produzido pelo próprio

amplificador. Esta potência de saída seria a mesma de um amplificador ideal, com o mesmo ganho G, que não produzisse nenhum ruído mas que tivesse um ruído em sua entrada igual a G N N ₌ out _{, (fig. 7-6).}

G

N

out

G

G

N

_out Fig. 7-6 Verificação:

Potência do ruído na saída do amplificador ideal: Nsaída= out out _{G N} G N G N× = × = O ruído G N

N ₌ out _{se chama “ruído, produzido pelo amplificador, referido à entrada”.} Em telecomunicações é costume referir-se á sua entrada, o ruído produzido por qualquer dispositivo.

Ruído em uma cadeia de dispositivos ruidosos

fig. 7-7.

Fig. 7- 7

Seja N_e o ruído produzido pelo resistor de entrada, e N₁, N₂, e N₃ os ruídos, referidos

às entradas, dos amplificadores de ganhos G₁, G₂, e G₃ respectivamente.

Devido às amplificações desses ruídos, o ruído total na saída será:

3 3 3 2 2 3 2 1 1) (N N GG G N G G N G N_out= _e+ + +

Dividindo-se o ruído da saída pelo ganho total, chegamos ao valor do ruído referido á entrada dessa cadeia de amplificadores:

2 1 3 1 2 1 3 2 1 G G N G N N N G G G N N ₌ out _{= e + + +} ou N =N_e +N_r 7-1 onde N N N G N G G r = 1+ + 2 1 3 1 2 7-2

N_e é o ruído gerado no resistor de entrada e N_r é o ruído produzido pela cadeia de

amplificadores, supondo que este ruído está referido à entrada dessa cadeia de amplificadores.

O resistor R vem a ser a resistência interna da fonte de excitação de sinal externo. Vimos que a potência média de ruído gerado por uma resistência, em uma largura de faixa Bw, é: KTBw N_e = onde K= constante de Boltzman = 1 38 10, × −23W₀×s K

T

=

temperatura da resistência em 0_K

Bw = largura de faixa em que se mede a potência média do ruído.

Este ruído N_e é conhecido como ruído térmico gerado pela resistência interna da fonte

de excitação de sinal.

r

N KTBw

N = + 7-3 Figura de ruído

Em telecomunicações qualifica-se, um determinado receptor, pelo parâmetro denominado figura de ruído. Ele serve para calcular o ruído referido à entrada desse receptor. Para o cálculo desta figura de ruído, considera-se a temperatura ambiente como sendo T₀=290 0K

A figura de ruído é definida pela igualdade N =F×N_e

onde N é a potência do ruído, da cadeia de dispositivos, referida à entrada, N_e é a

potência do ruído gerado apenas na resistência R da fonte de excitação de sina.l F é a ser a figura de ruído dessa cadeia de dispositivos.

Isto significa que a potência do ruído do conjunto, referido a entrada, é F vezes maior do que a potência de ruído gerado apenas pela resistência da fonte de excitação de sinal. Vimos que a potência do ruído, gerado apenas na resistência de entrada, quando a temperatura ambiente for T₀=290 0K, é dada pela expressão

N_e =KT₀Bw

Portanto, N =FKT₀Bw 7-4 Determinação da figura de ruído:

Substituindo o valor de N , fornecido pela igualdade 7-3, na expressão 7-4, resulta: KT₀Bw+N_r = FKT₀Bw 7-5

Manipulando-se, algebricamente, esta equação, pode-se determinar a expressão matemática de F. Chega-se ao resultado:

Bw KT N F r 0 1 + = 7-6 Se substituirmos N pelo valor expresso por 7-2, teremos r

Bw KT G G N G N N F 0 2 1 3 1 2 1 1 + + + = 7-7

Por esta expressão, podemos concluir que se os amplificadores não gerassem nenhum ruído adicional, a figura de ruído da cadeia seria igual a 1. Como isto não é possível na prática, conclui-se que a figura de ruído, de qualquer receptor, será sempre maior do que 1.

Exercício 7-2

Uma cadeia de 3 amplificadores tem sua faixa espectral de ruído limitada, por um filtro passa faixa, em uma largura Bw = 2 MHz. Seus amplificadores possuem os seguintes parâmetros: Primeiro amplificador: G₁=100 N₁ =8×10−14W Segundo amplificador: G2 =50 N W 13 2 =5×10− Terceiro amplificador: G₃ =20 N₃ =1×10−12W

a) Determinar a figura de ruído dessa cadeia de amplificação. b) Interpretar o resultado Solução: a) Bw KT G G N G N N F 0 2 1 3 1 2 1 1 + + + = = = _{23 6} 12 13 14 10 2 290 10 38 , 1 50 100 10 1 100 10 5 10 8 1 × × × × × × + × + × + ₋ − − − = 11,6 Resultado: F = 11,6 b) Interpretação do resultado:

Esta cadeia de amplificação possui uma potência de ruído, referida à entrada, 11,6 vezes maior que o ruído produzido somente na resistência de entrada.

--- Figuras de ruídos individuais dos amplificadores da cadeia de amplificação. A figura de ruído pode ser determinada para um único amplificador. Ver fig. 7-8

A

G

Fig. 7-8

Adaptando-se a equação 7-6 para este caso, teremos

Bw KT N F A A 0 1+ =

Com referência à cadeia de dispositivos da fig.7-7, suponhamos que os amplificadores de ganhos G₁, G₂, e G₃ tenham as figuras de ruído individuais F F₁, ₂, e F₃

respectivamente. Nesse caso os ruídos referidos à entrada de cada amplificador, fica:

Bw KT F N₁ =( ₁−1) ₀ 7-9 Bw KT F N₂ =( ₂−1) ₀ 7-10 Bw KT F N₃ =( ₃−1) ₀ 7-11

Substituindo as igualdades das expressões 7-9, 7-10 e 7-11 na expressão 7-6, resulta:

F F F G F G G = ₁+ 2− + − 1 3 1 2 1 1 7-12

Pela expressão 7-12 podemos ver que se G₁>> e G G1 _{1 2}>> , então a figura de 1 ruído total é praticamente igual àquela do primeiro dispositivo da cadeia.

Normalmente se constrói este primeiro dispositivo com figura de ruído muito menor que a dos dispositivos subseqüentes da cadeia.

--- Exercício 7-3

a) Determinar a figura de ruído do receptor com as características mostradas na fig. 7-9. b) Interpretar o resultado. Fig. 7-9 Solução: a) F F F G F G G = ₁+ 2 − + − 1 3 1 2 1 1 20 log 10 G1 = dB portanto 1010 100 20 1 = = G 10 log 10 G₂ = dB portanto 1010 10 10 2 = = G 1 , 2 000 . 1 1 30 100 1 10 2+ − + − = = F

AMPLIF. MISTUR. ETAPAS

POSTERIORES 2 1= F F₁=10 F3=30 dB G₁=20 G₂ =10dB

b) A figura de ruído do primeiro amplificador é F1 =2. A figura de ruído do receptor completo resultou F =2,1. Portanto os demais dispositivos do receptor quase não influíram no valor da figura de ruído do receptor completo.

--- Conclusão

O exercício 7-3 confirmou que, se o amplificador de entrada tiver um ganho

relativamente grande, a figura de ruído do receptor inteiro é, praticamente, a figura de ruído daquele amplificador. Nos receptores de qualidade esse amplificador de entrada usa uma tecnologia específica para se obter uma figura de ruído bem menor do que as figuras de ruído das etapas posteriores do receptor. Um amplificador, com estas características, é designado como "amplificador de baixo ruído" (Low Noise Amplifier

-LNA).

Consideração sobre a largura de faixa Bw

Em um receptor, o sinal recebido percorre diversas etapas até chegar ao demodulador. Cada etapa possui uma determinada largura de faixa. O parâmetro Bw vem a ser a menor largura de faixa desse trajeto. Nos receptores super heterodinos a etapa que, normalmente, possui a menor largura de faixa é a etapa de freqüência intermediária ( FI ), pois seu filtro é o responsável pela rejeição dos canais adjacentes ao canal desejado.

--- Exercício 7-4

Calcular a potência de ruído, referida à entrada, do receptor do exercício 7-3. Sabe-se que o filtro mais estreito de seu esquema possui a largura de faixa igual a 10 kHz. Solução wats Bw FKT N = ₀ =2,1×1,38×10−23×290×10×103 =8,4×10−17 --- RELAÇÃO SINAL RUÍDO NA ENTRADA DE UM RECEPTOR

Vamos supor que um determinado receptor possui, referida à sua entrada, uma potência média de ruído igual a N. Vamos supor, também, que na sua entrada chega o sinal desejado, com uma potência S. Para que o ruído influa pouco na qualidade do sinal demodulado, é necessário que a potência S, do sinal desejado, seja bem maior do que a potência N do ruído., ou seja

S >> N

Isto é o mesmo que dizer que

>>1

N S

Normalmente essa relação é expressa em dB. Neste caso a condição, para uma boa recepção do sinal, fica:

10log >>10log1 N S ou dB N S 0 log 10 >> --- Exercício 7-5

Para que o receptor dos exercícios 7-3 e 7-4 produza um sinal demodulado com a qualidade desejada é necessário que a relação sinal/ruído, em sua entrada, seja de, pelo menos, 20 dB. Determinar a potência mínima do sinal que deve chegar em sua entrada para satisfazer essa condição.

Solução:

O exercício 7-4 calculou a potência média do ruído, desse receptor, referido à entrada. Resultou:

wats N =8,4×10−17

Devemos satisfazer a igualdade:

dB N S 20 log 10 = 100 1010 20 = = N S Portanto, S = 100×N ou S =100×8,4×10−17wats=8,4×10−15wats Resposta: S =8,4×10−15wats ---

8 - EFEITOS DE INTERFERÊNCIAS SOBRE AS MODULAÇÕES

LINEARES SEM PORTADORA.

Relações de potências de sinais que estão sobre uma mesma impedância resistiva. Sejam duas tensões variáveis sobre uma mesma resistência R:

( )

t

v₁ e v₂

( )

t

Suas potências individuais são calculadas pelas expressões:

R T 0 P₁ =

( )

t dt v T

∫

2 1 1 lim ∞ → T R 0 P₂=

( )

t dt v T T

∫

2 2 1 lim ∞ → T

A relação entre estas potências fica

Vemos que houve o cancelamento do parâmetro R.

A expressão 8-1 mostra que a relação entre potências de sinais, que estão sobre a mesma resistência R, independe do valor desta resistência. Neste caso, para simplificar as expressões matemáticas, podemos adotar o valor R= 1 Ω.

Neste caso as potências individuais ficam:

T 0 P₁ = v

( )

t dt T

∫

2 1 1 lim ∞ → T 0 P₂ = v

( )

tdt T T

∫

2 2 1 lim ∞ → T

Dizemos que, neste caso, as potências têm seus valores normalizados para a resistência Ω

= 1

R

Em toda literatura técnica de telecomunicações considera-se as potências, dos sinais, normalizadas para R= 1 Ω.

EFEITO DE UMA INTERFERÊNCIA EM UM SINAL COM MODULAÇÃO LINEAR SEM PORTADORA

Caso de um receptor SSB (ver fig. 8-1)

Multiplicador Filtro passa baixas t c ω cos 2 1 e 2 e c ω ω_I I A Fig. 8-1

Seja um sinal SSB, de banda superior, com freqüência da portadora suprimida igual a c

ω . Vamos supor que sobre essa banda de sinal existe uma componente interferente, com amplitude AI e freqüência ωI =ωc +ωd. Ver fig. 8-2.

I A c ω ω_I d ω Fig. 8-2

Seja o sinal SSB formado de uma única componente de amplitude A_S e freqüência

a c ω

ω + .

Este sinal, junto com a interferência fica: e_c = A_Scos

(

ω_c +ω_a

)

t+A_I cosω_It

ou e_c = A_Scos

(

ω_c +ω_a

)

t+A_I cos

(

ω_c +ω_d

)

t

2 2 S RF A S = 8-2 Potência da interferência: 2 2 I RF A I = 8-3

Nesse caso, antes da demodulação (sinais RF) a relação de potências fica::

2 2 2 2 2 2 I S I S RF RF RF A A A A I S I S = =       = 8-4

No demodulador, após a multiplicação por 2cosω_ct tem-se:

(

+

)

+

(

+

)

=

= A t t A t t

e_c 2 _Scosω_c ω_a cosω_c 2 _Icosω_c ω_d cosω_c

t A_S cosω_a

= + A_Sos

(

2ω_c +ω_a

)

t+ A_Icosω_dt+A_I cos

(

2ω_c +ω_d

)

t

O filtro passa baixas elimina a segunda e a quarta parcela. Portanto, o sinal demodulado fica: t A t A e2 = _Scosω_a + _I cosω_d

Potência do sinal demodulado:

2 2 S dem A S = 8-5 Potência da interferência demodulada:

2 2 I dem A I = 8-6

A relação entre as potências de sinal e de interferência demodulados:

2 2 2 2 2 2 I S I S dem A A A A I S = =       8-7

RF dem I S I S       =       8-8

Conclusão: Na modulação SSB a relação sinal interferência em RF se mantém após a demodulação.

Comparando as expressões 8-2 com 8-5 e 8-3 com 8-6, vemos que as potências, tanto do sinal quanto da interferência, são as mesmas após a demodulação. Isto é o mesmo que afirmar que a demodulação, de um sinal SSB, não muda a potência do sinal e não muda, também, a potência da interferência.

Chegaríamos aos mesmos resultados se tivéssemos considerado um SSB de banda inferior.

Caso de um receptor DSB-SC (fig. 8-3)

Multiplicador Filtro passa baixas t c ω cos 2 1 e 2 e c ω ω_I I A Fig. 8-3

Seja o sinal DSB-SC centralizado na freqüência ω_c. Junto com ele tem-se uma componente interferente, com amplitude A e freqüência I ωI =ωc +ωd. Ver fig. 8-4

ωc ωI d

ω

I

A

Fig. 8-4 Componente interferente em um sinal DSB-SC Este conjunto de sinais pode ser expresso por

e_c = x(t)cosω_ct+A_I cosω_It

No demodulador do receptor, o sinal e_c é multiplicado, pelo sinal do oscilador local: t

e₀ =2cosω_c ( Ver fig. 8-5 )

Multiplicador Filtro passa baixas t c ω cos 2 1 e 2 e c ω ω_I I A

Fig. 8-5 Demodulador do sinal DSB-SC Resulta:

( )

+

(

+

)

× =

= xt t A t t

e 2 cos2ω_c 2 _I cosω_c ω_d cosω_c

1

=x

( )

t +x

( )

t cos2ω_ct+A_I cosω_dt+A_I cos

(

2ω_c +ω_d

)

t

A segunda parcela corresponde a um DSB-SC na freqüência 2ωc A última parcela é uma componente na freqüência 2ω_c +ω_d. Ambos os sinais são eliminados pelo filtro

passa baixas. Portanto, na saída do filtro passa baixas, tem-se apenas os dois sinais da faixa de sinal modulante:

( )

t A t

x

e2 = + _I cosω_d

A fig. 8-6 mostra o espectro do sinal demodulado

0 I A d ω

( )

ω X Fig. 8-6 Sinal de áudio demodulado

Vemos que a interferência é recebida integralmente junto com o sinal

Comparação entre a relação sinal interferência em RF e a relação sinal interferência após a demodulação.

Seja o sinal modulante formado de apenas uma componente senoidal com amplitude S

A e freqüência ω_a: x

( )

t = A cosω t

Neste caso e_c = A_Scosω_at×cosω_ct = AS

(

ω_c −ω_a

)

t+ AS cos

(

ω_c +ω_a

)

t 2 cos 2 Potência do sinal em RF: 4 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S S S S RF A A A A S = × =       +       = 4 2 S RF A S = 8-9 Potência da interferência em RF 2 2 I RF A I = 8-10

Relação sinal interferência em RF

₂ 2 2 2 2 2 4 I S I S RF A A A A I S = =       8-11

Vimos que a demodulação produz os sinais:

( )

t A t

x

e₂ = + _I cosω_d

Para o nosso exemplo, fica:

Sinal demodulado: x

( )

t = A_S cosω_at

Potência do sinal demodulado

2 2 S dem A S = 8-12 Interferência demodulada: t A_I cosω_d

Potência da interferência demodulada 2 2 I dem A I = 8-13

Relação sinal interferência após a demodulação:

₂ 2 2 2 2 2 I S I S dem A A A A I S = =       8-14 Resultados

1- Comparando as expressões 8-13 com 8-10, vemos que a potência do sinal interferente não muda após a demodulação:

I_dem = I_RF

2- Comparando 8-12 com 8-9, vemos que a potência do sinal demodulado é o dobro da potência desse sinal antes da demodulação.

Sdem =2SRF

3- Comparando 8-14 e 8-11, vemos que a relação sinal / interferência demodulada é o dobro da mesma relação antes da demodulação.

RF dem I S I S       =       2 Conclusão

Para o caso do DSB-SC, a relação sinal interferência, no sinal demodulado, é o dobro da relação sinal interferência em RF. A razão disto é que as componentes simétricas das bandas superior e inferior, do sinal DSB, se somam coerentemente no sinal

demodulado. Com isto, cada componente tem sua amplitude dobrada. Resulta uma potência 4 vezes maior em vez de duas vezes.

EFEITO DO RUÍDO EM UM SINAL COM MODULAÇÃO LINEAR SEM PORTADORA

Efeito do ruído na modulação SSB

Vamos supor, que uma banda superior SSB possui largura de faixa Bw. Vamos supor, também, que este sinal está acompanhado por ruído. Seja N0 a densidade espectral de

potência desse ruído referido à entrada do demodulador.

Se o filtro de FI limitou a largura de faixa, desse ruído, no valor Bw, teremos a situação do sinal e do ruído mostrada na fig. 8-7.

c

ω

Bw

0

N

Sinal

Fig. 8-7

Neste caso, a potência de ruído, antes da demodulação, fica:

N_RF =N₀Bw

Vimos que a demodulação não altera a potência da interferência. Portanto, como o ruído, também é uma interferência, sua densidade espectral de potência permanece a mesma após a demodulação.

Resulta a potência do sinal demodulado: N_dem = N_RF =N₀Bw

Seja SRF a potência do sinal antes do demodulador

Vimos, também, que a demodulação não altera, também, a potência do sinal. Portanto S_dem =S_RF

Bw N S N S N S _RF RF RF dem dem 0 = =

Conclusão: A demodulação não modifica a relação sinal ruído de um sinal SSB.

Efeito do ruído na modulação DSB-SC. Ver fig. 8-8

c

ω

Bw

2

RF

N

₀₋ Fig. 8-8

Vamos supor que um receptor, de modulação de dupla faixa lateral sem portadora (DSB-SC), usa um filtro passa faixa de FI com largura 2Bw, e que sua faixa de passagem está centrada na freqüência ωc. Ver fig. 8-9.

f

c

Bw

2

Fig. 8-9

Já, o sinal demodulado ocupa apenas a metade da faixa ocupada antes da demodulação, ou seja, possui largura de faixa igual a Bw. Ver fig 8-10

0

Bw

dem

N

₀₋ Fig. 8-10

Vimos que, no caso do DSB-SC, a potência do sinal demodulado é o dobro da potência do sinal em RF

S_dem =2S_RF 8-15

O mesmo acontece com a densidade espectral de ruído, pois a potência do sinal demodulado de uma faixa lateral se soma ao sinal demodulado da outra faixa lateral. N0−_dem =2N0−_RF

A potência de ruído em RF fica: N_RF = N₀−_RF ×2Bw

A potência do ruído demodulado fica

Bw N Bw N N_dem = _0−dem× =2 _0−RF × = NRF Portanto N_dem = N_RF 8-16

A fig. 8-11 ilustra essa situação:

RF dem N N = Ruído em RF RF N₀₋ c ω Bw 2 Potência: N_RF =2Bw×N_0−RF Ruído demodulado RF N₀₋ 2 0 Bw Potência: Ndem =2Bw×N0−RF Fig. 8-11

Dividindo 8-5 por 8-16, resulta RF RF dem dem N S N S 2 = ou RF dem N S N S _      =       2 Conclusão

No sinal modulado DSB-SC a relação sinal ruído, após a demodulação, fica duas vezes maior do que antes da demodulação. Podemos dizer que a relação sinal ruído, após a demodulação, é 3 dB maior do que antes dessa demodulação.

--- Exercício 8-1

Em um receptor DSB-SC, deseja-se receber um sinal de áudio demodulado com uma relação sinal ruído igual a 20 db. Determinar a relação sinal ruído na entrada desse receptor. Solução: RF dem N S N S       =       2 ou dem RF N S N S       × =       5 , 0             × =       dem RF N S N S 5 , 0 log 10 log 10

10log 10log0,5 10log  =−3+20=17      + =       dem RF N S N S Resposta: dB N S RF 17 log 10  =      --- Exercício 8-2

Um sinal de áudio, de freqüência máxima 5 kHz, modulou uma portadora na forma DSB-SC. Um receptor, com uma figura de ruído F=10, produziu um sinal demodulado com a relação

receptor.

b) Supondo que a impedância de entrada do receptor é R = 50 ohm, determinar o valor da tensão eficaz do sinal naquele ponto.

Solução

a) Pelo resultado do exercício anterior, sabemos que

dB N S RF 17 log 10  =      ou 1010 50 17 = =       RF N S

( )

RF RF N S = 50× Bw FkT N_RF = ₀ 10 = F k=1,38×10−23 T₀ =2900K Bw=2×5×103 =104Hz w Bw FkT N_RF = ₀ =10×1,38×10−23×290×104 =4×10−16

( )

RF RF N S = 50× =50×4×10−16 =2×10−14w

b) Seja

( )

eS _RF a tensão eficaz na entrada do receptor

( )

R e S S RF RF 2 = ou

( )

e_{S RF} = S_RF ×R = 2×10−14×50 =1×10−6v --- w S_RF =2×10−14

( )

e_{S RF} =1 µv

9 - EFEITOS DE INTERFERÊNCIAS SOBRE AS MODULAÇÕES

ANGULARES.

Efeito de uma componente interferente em uma modulação FM

Seja um sinal FM, onde a portadora de freqüência ωc foi modulada por um sinal de áudio de freqüência ω_a. Se a amplitude do desvio de fase for β, a expressão matemática desse sinal será

e_c =E_ccos

(

ω_ct+βsenω_at

)

Vamos supor que, junto a esse sinal tem-se uma componente interferente de amplitude I

E e freqüência ω_I =ω_c +ω_d. Ver fig. 9-1.

ωc ωI d ω I E Fig. 9-1

A expressão desse sinal composto é

e_S =E_ccos

(

ω_ct+βsenω_at

)

+E_I cos

(

ω_c +ω_d

)

t

A relação sinal interferência fica

₂ 2 I c RF E E I S =       9-1

A fig. 9-2 mostra composição vetorial do sinal descrito

t

c

ω

I E c E

( )

t I θ β β −

( )

t I α Fig. 9-2

O ângulo α_I

( )

t corresponde à defasagem entre a compomente interferente e a portadora FM. Portanto α_I

( ) (

t = ω_I −ω_c

)

t=ω_dt.

Repare-se que o sinal resultante adquiriu um acréscimo de fase adicional θ_I

( )

t

provocado pela presença da interferência..

Como α_I

( )

t varia ao longo do tempo, a fase θ_I

( )

t também variará. Esta variação de fase será demodulada juntamente com o sinal desejado, constituindo uma interferência no sinal demodulado.

A amplitude máxima de θ_I

( )

t , que chamaremos de θ_IM, acontece na situação mostrada na fig. 9-3. I E c E IM θ β Fig. 9-3 Podemos ver que

c I IM E E = θ sen

Nas situações em que E_I <<E_c fica válida a aproximação

senθ_IM ≈θ_IM Portanto c I IM E E ≈ θ 9-2

A amplitude do sinal demodulado é proporcional à amplitude do desvio de fase provocado pelo sinal modulante.

( )

E_{S dem} =kβ

Da mesma forma, a interferência no sinal demodulado é proporcional a θ_IM.

A relação sinal interferência, após a demodulação, fica ₂ 2 2 IM dem I S dem E E I S θ β =       =       9-3 Substituindo 9-2 em 9-3, tem-se ₂ 2 2 I c dem E E I S β =       9-4 Substituindo 9-1 em 9-4 resulta RF dem I S I S       =       _β2 _9-5

Conclusão: O sinal demodulado, proveniente de uma modulação FM, tem uma melhora da relação sinal interferência dada por

_β2

=

M

--- Exercício 9-1

Um sinal FM utiliza β =5 rd. Junto a esse sinal tem-se uma componente interferente

tal que dB I S RF 20 log 10  =     

. Determinar a relação sinal interferência após a demodulação. Solução =       + =       RF dem I S I S log 10 log 10 log 10 _β2 dB dB 34 20 5 log 20 + ≈ = ---

Efeito limiar ( treshold ) na modulação FM

O resultado que chegamos, dependeu de uma aproximação que só é valida se <<1 c I E E ou c >>1 E E

1 2 >>       I c E E Isto é equivalente a  >>1      RF I S .

Vamos verificar o que acontece quando esta restrição não é obedecida. Seja uma interferência tal que

≈1 I c E E ou ₂ 1 2 ≈       =       I c RF E E I S 9-6

A figura 9-4 mostra os valores de β e θIM nessa situação

I E c E IM θ β Fig. 9-4

Podemos ver que β <θIM Portanto 1 2 <       =       IM dem I S θ β 9-7

Comparando 9-7 com 9-6 podemos concluir que

RF dem I S I S       <      

Portanto, deste caso houve uma piora na relação sinal interferência a pós a demodulação.

A Fig. 9-5 mostra o que acontece com a relação sinal ruído após a demodulação, em dependência da relação sinal ruído em RF.

β log 20 = M dem I S       log 10 RF I S       log 10 RF dem I S I S       =       10 20 30 40 Fig. 9-5

A transição entre a melhora e a piora se denomina "limiar do FM".

A melhora começa a deixar de existir quando a relação sinal ruído em RF fica da ordem de 10 dB.

EFEITO DO RUÍDO SOBRE A MODULAÇÃO ANGULAR

Efeito do ruído sobre a modulação FM

O resultado da interferência, de uma componente discreta, sobre o sinal recebido, é válido, também, para interferência na forma de ruído branco.

É demonstrável que RF dem N S N S       =       ₂ β se  >>1      RF N S

a N₀, o ruído demodulado possui o dobro dessa densidade espectral. A fig. 9-6 mostra essa situação. 0 Bw 0 2N Sinais RF Sinais demodulados 2 Bw c ω M f 0 N sinal sinal ruído Fig. 9-6

Podemos verificar que a potência do ruído em RF se mantém após a demodulação. Entretanto, na modulação FM sabemos que a largura de faixa do sinal demodulado é menor que a

2

Bw . Sendo f a maior freqüência do áudio modulante, podemos passar, _M

o sinal demodulado, por um filtro passa baixas cujo corte acontece nessa freqüência. Ver fig. 9-7 0 0 2N

Sinais demodulados

2 Bw M f 0 0 2N Filtro passa baixas

M

f

Fig. 9-7

Neste caso a potência do ruído sofre uma redução do fator

Bw f Bw f_M 2 _M 2 =

Desta maneira teremos

RF M dem N S f Bw N S       =       2 2 β --- Exercício 9-2

Um sinal de áudio modulou uma portadora utilizando β =5, resultando uma largura de faixa em RF dada por Bw=2fM

(

β +1

)

. No receptor, o sinal chegou com

dB I S RF 20 =      

. Determinar a relação sinal ruído após a demodulação. Solução

(

1

)

2 + = f_M β Bw ou 1 5 1 6 2fM = β+ = + = Bw RF M dem N S f Bw N S       + + =       log 10 2 log 10 log 20 log 10 β = =20log5+10log6+20=41,8 dB --- Efeito limiar

Para o ruído, também acontece o efeito de limiar que verificamos para interferências discretas. A fig. 9-8 mostra a relação entre a qualidade do sinal RF e a do sinal demodulado.       = M f Bw M 2 log 10 _β2 dem N S       log 10 RF N S       log 10 RF dem N S N S       =       10 20 30 40 Fig. 9-8

Em um projeto de comunicação FM, procura-se fazer com que o sinal chegue ao receptor, pelo menos, com uma relação sinal ruído da ordem de 15 dB.

Preênfase e deênfase

Na modulação FM, propriamente dita, dado um sinal modulante e_a = Acosω_at,

produz-se uma variação de freqüência dada por ∆ω

( )

t =∆ω_pcosω_at, onde a amplitude

de desvio de freqüência ∆ωp é constante para qualquer freqüência ωado sinal modulante.

O desvio de fase é dado por

( )

t

( )

tdt _at a p ω ω ω ω φ = ∆ = ∆ sen ∆

∫

Portanto ∆φ

( )

t =βsenω_at onde a p ω ω β = ∆

Vemos que, conforme a freqüência modulante ω_a aumenta o valor de β diminui. Isto acarreta uma melhora menor para a relação sinal ruído nas freqüências modulantes mais altas. Para evitar esta situação, os sistemas FM, usados na prática produzem maiores amplitude de desvio ∆ω_p nas freqüências altas do que nas baixas. Isto se

implementa fazendo o sinal modulante passar através de um filtro que ressalta as altas freqüências. Esta operação recebe o nome de preênfase.

Quando o sinal, modulado dessa maneira, é recebido, faz-se a operação contrária após a demodulação. Essa operação vem a ser a deênfase. A figura 9-9 ilustra o processo.

VCO sinal modulante

RF

RF

demodulador deênfase preênfase modulador

RECEPTOR

TRANSMISSOR

Fig. 9-9

10- PROJETOS DE FILTROS DE SINAIS

Definições

Seja um gerador de força eletromotriz ( fem ) e_S e resistência interna R_S. Ele envia

sinal para uma carga R produzindo em seus terminais a tensão L e ( ver fig.1 10 -1.a ).

S

e

R

_L

_e

₁

e

_S FILTRO

R

_L e2 ( a ) _{( b )} S R S R

Fig. 10 -1 Circuitos usados para definições necessárias ao estudo de filtros. a)

Gerador transmitindo sinal diretamente para a carga. b) Gerador transmitindo, através de um filtro, sinal para a carga.

A tensão enviada, pelo gerador, diretamente para a carga é

L S S S L L S R R e R R R e e + = + = 1 1 1 ou       + = L S S R R e e ₁ 1

Em toda a teoria de filtros passivos, a fem do gerador utilizado, é definida como sendo aquela que, sem filtro inserido, produz a tensão e₁ na carga. Portanto:

_      + = L S S R R e e ₁ 1

Por definição o filtro, passivo, é todo dispositivo construído apenas com elementos reativos, que é inserido entre este gerador e a carga R_L, transformando o sinal e₁ em

outro sinal que chamaremos de e . Ver fig. ₂ 10 -1.b.

A resposta de um filtro é a relação

1 2

e e .

Quando não há filtro se tem e₂ =e₁. Neste caso 1

1 1 1 2 _{= =} e e e e

L

R

e

2 S

R

jL

ω













+

L S

R

R

e

₁

1

Fig. 10 -2 Filtro passa baixas de primeira ordem

A tensão na carga é: = + +       + = ω jL R R R R R e e L S L L S 1 1 2 ₊ = + + L R R j L R R e L S L S ω 1 c c j e ω ω ω + 1 onde L R R_{S L} c + = ω Portanto c c j e e ω ω ω + = 1 2 _{10 -1} onde L R R_{S L} c + = ω 10 -2

Podemos escrever na forma polar: jφ

e e e e e 1 2 1 2 _{= ou} c

j

e

e

ω

ω

+

=

1

1

1 2 ₂

1

1













+

=

c

ω

ω

c jarctg

e

ω ω − Para ω<<ω_c tem-se 0 1 2 ₁ j e e e ≈ Para ω>>ω_c tem-se 2 1 2 π ω ω j c _e e e − ≈ Para ω=ωc tem-se 4 1 2 2 1 π j e e e − =

A fig. 10 -3.a mostra a resposta

1 2

e

e em função de ω. Supõe-se escala bi-logarítma. Esta resposta indica a relação entre as amplitudes do sinal e2 e do sinal e1.

A fig. 10 -3.b mostra a resposta φ em função de

ω

. Supõe-se que apenas a escala de freqüências é logaritma. Esta resposta representa a diferença de fase entre o sinal e e o 2

sinal e . 1 2 1 1 c ω ω 1 2 e e assíntotas ω ω_c c ω 0 4 π − 2 π − ( a ) ( b ) φ ω

Fig. 10 -3 Resposta em freqüências do filtro passa baixas de primeira ordem. a) Resposta em amplitude. b) Resposta de fase.

Lembremos que o sinal e é aquele que existiria na carga 1 R quando não se tem filtro. L O sinal e é o sinal na mesma carga, modificado pela inserção do filtro. 2

A freqüência

ω

_c se caracteriza por determinar o ponto de cruzamento das assíntotas. No caso particular deste filtro, ela é, também, a freqüência em que o filtro modifica a amplitude do sinal de um fator

2 1

. Se diz que o filtro provocou, no sinal, um ganho de –3 dB ou uma atenuação de 3 dB. Também se diz que é o ponto de meia potência desse sinal.

Existe uma convenção, muito aceita, que define o ponto de atenuação de atenuação 3 dB como sendo a freqüência de corte do filtro.

Síntese do filtro passa baixas de primeira ordem. Entra-se com os dados RS, R e L

ω

c.

L R R_{S L} c + = ω ou c L S R R L ω + = c L L S R R R ω       + = 1 Podemos escrever c L n R L L ω = onde _      + = 1 L S n R R L n

L é chamado de “valor normalizado” de L. Ele é adimensional. Entretanto pode ser

considerado como sendo o valor físico de L quando se usa R_L = 1 Ω e

ω

_c =1 rd/s. Os “Hand Books" tabelam Ln para diversos valores de

L S

R

R . A partir desse parâmetro

determina-se L pela fórmula

c L n R L L ω

= . Esta operação se chama desnormalização. Operador

s

=

j

ω

Se na expressão 10 -1 substituirmos jω por s , teremos como resultado:

c c s e e

ω

ω

+ = 1 2 _{10 -3}

A expressão, nessa forma, permite determinar as assíntotas e seu cruzamento:

Para s<<

ω

c tem-se 0 1 2 _{1 1} j c c _e e e = = ≈ ω ω Para s>>

ω

_c tem-se 2 1 2 π ω ω ω ω ω j c c c _e j s e e − = = ≈

A fig. 10 -4 mostra essas assíntotas

1 2 e e 1 c ω ω c ω ω 0 φ 2 π − ω ωc

Podemos ver que a determinação das assíntotas, a partir da resposta em função de s , é simples e rápida. As assíntotas dão uma idéia, bem razoável, do comportamento da resposta em freqüências tanto da amplitude quanto da fase.

Quando se trabalha com o operador s costuma-se substituir j , por esse operador, ω

até na impedância dos componentes do filtro. Dessa maneira, o circuito do filtro passa baixas de primeira ordem fica como mostrado na fig. 10 -5.

L

R

e

2 S

R

Ls













+

L S

R

R

e

₁

1

Fig. 10 -5 Filtro de primeira ordem onde se indica a impedância dos componentes em temos do operador s.

O cálculo da relação entre e e ₂ e se transforma em uma simples operação algébrica ₁

onde não se tem a presença de números complexos. Resulta:

L R R s L R R e e L S L S + + + = 1 2 _ou c c s e e ω ω + = 1 2 _onde L R R_{S L} c + =

ω

Versão capacitiva do filtro passa baixas de primeira ordem.

A fig 10 -6 mostra outra versão do filtro passa baixas de primeira ordem. Nele se usa um capacitor que se situa paralelamente ao resistor de carga.

S

R

Cs

1

S L S

_e

R

R

e

_

=











+

1

1 L

R

e

2

Para o cálculo da resposta usa-se o teorema de Thevenin / Norton ( fig. 10 -7.a ) e trabalha-se com admitâncias ( fig. 10 -.b ).

S

R

_Cs 1 L

R

e

2 S S R e ( b ) ( a )

Cs

G

L

e

2 S S

G

e

G

S

Fig. 10 -7 Transformações. a) Aplicação de Thevenin-Norton. b) Mudança para admitâncias.

Nesse esquema tem-se:

S S R G = 1 L L R G = 1 _      + =       + = S L L S S G G e R R e e ₁ 1 ₁ 1 Cálculo da resposta: Cs G G G e e L S S S + + = 2 Cs G G G G G e L S S S L + +       + = 1 1 ou C G G s C G G e e L S L S + + + = 1 2 Podemos escrever: c c s e e ω ω + = 1 2 _{10 -4} onde C G G_{S L} c + = ω

Pode-se ver que a expressão 10 -4 é idêntica a 10 -3. Portanto esta versão produz a mesma resposta passa baixas da versão indutiva.

Projeto

Dados os parâmetros R_S, R_L e

ω

_c, calcula-se C, utilizando-se a expressão de

ω

_c.

c L S G G C ω + = c L L S G G G

ω

      + = 1

Em termos de impedâncias tem-se

c L S L R R R C

ω

1 1 _      + = ou c L n R C C ω 1 = onde _      + = S L n R R C 1 n

C é chamado de “valor normalizado” de C. Ele é adimensional. Entretanto pode ser

considerado como sendo o valor de C quando se usa R_L = 1Ω e ω_c =1 rd/s. Os “Hand Books “ de filtros tabelam C para diversos valores de _n

L S

R

R . A partir desse

parâmetro determina-se C pela fórmula

c L n R C C ω 1

= . Desta maneira, tem-se a desnormalização.

FILTRO PASSA BAIXAS DE SEGUNDA ORDEM

Aqui se tem, também, duas versões. A versão com indutor de entrada está esquematizada na fig. 10 -8. S

R

Cs

1

S L S

_e

R

R

e

_

=











+

1

1 L

R

e

2

Ls

Fig. 10 -8 Filtro passa baixas de Segunda ordem.

Se calcularmos a relação

1 2

e

            + +       + +             + = LC R R s C R L R s LC R R e e L S L S L S 1 1 1 2 1 2 _ou 2 1 2 2 1 2 c c c s a s e e

ω

ω

ω

+ + = 10 -5 Nesta expressão: LC R R L S c 1 1 2       + =

ω

10 -6 e _      + = C R L R a L S c 1 1 1

ω

10 -7 O parâmetro a é adimensional ₁ Resposta assintótica 2 1 2 2 1 2 c c c s a s e e

ω

ω

ω

+ + = Se s<<

ω

_c então ₂ 0 2 1 2 ₁ j c c _e e e = ≈

ω

ω

Se s>>

ω

_c então π

ω

ω

ω

ω

ω

c c c _e j s e e − = − = ≈ ₂ 2 2 2 2 2 1 2

1 2 e e 1 c ω ω c ω ω 0 φ

π

−

2













ω

ω

_c ( b ) ( a )

Fig. 10 -9 Respostas assintóticas. a) Resposta de amplitudes. b) Resposta de fase.

Aqui, também, a freqüência

ω

_c acarreta o ponto de cruzamento das assíntotas

Note-se que assíntota da faixa de rejeição cai, proporcionalmente, com o quadrado de

ω. No filtro de primeira ordem a queda era proporcional a primeira potência de ω. Em gráfico bi-logarítmo, a queda do filtro de segunda ordem tem o dobro da inclinação do que tem o filtro de primeira ordem.

Relação de amplitudes para

ω

=

ω

c.

Substituindo s por j

ω

c na expressão 10 -5, resulta:

2 2 1 2 2 1 2 c c c c ja e e

ω

ω

ω

ω

+ + − = 2 1 1 1 1 π j e a ja − = =

Portanto, neste ponto, a resposta de amplitude fica

1 1 2 1 a e e =

O parâmetro a é adimensional e pode assumir qualquer valor de zero a infinito. Isto 1

faz com que a resposta em freqüências assuma as formas mostradas na fig, 10 -10.a em dependência do valor desse parâmetro

ω ω c ω c ω φ 0 2 π − π 1 2 e e 2 1> a 2 1= a 2 1< a 0 1= a 2 1> a a1= 2 2 1< a ( a ) ( b ) 1 2 2

Fig. 10 -10 Resposta em freqüências de um filtro passa baixas de segunda ordem, em dependência do parâmetro a . a) Resposta de amplitudes. b) Resposta de fase. ₁

Resposta Butherworth ( Maximally Flat Amplitude Response ) para um filtro passa baixas de segunda ordem.

Esta resposta acontece quando se adota a₁ = 2.

2 2 2 1 2 2 c c c j e e ω ω ω ω ω + + − =

(

2 2

)

2 2 2 2 1 2 2ω ω ω ω ω c c c e e + − = 2 2 2 1 1       + = c

ω

ω

A fig. 10 -11 mostra a resposta de amplitudes do tipo ButherWorth, para o filtro passa baixas de segunda ordem.

ω c ω 1 2 e e 1 2 2 2       ω ω_c 2 1= a

Resposta Tchebyschev ( Equal Riplle Amplitude Response ) para um filtro passa baixas de segunda ordem.

São todas as curvas de resposta em que o parâmetro a é menor do que 2 . ₁

A fig. 10 -12 mostra um exemplo dessa resposta.

ω c ω 1 2 e e 2 1< a 1 2 2 r ω ω3dB

r

2       ω ω_c

Fig. 10 -12 Exemplo de resposta Tchebyshev para um filtro passa baixas de segunda ordem

O ganho máximo r é a altura da ondulação ( ripple )

Repare-se que essa resposta possui três freqüências características: ⇒

c

ω Ponto de cruzamento das assíntotas. ⇒

r

ω Ponto onde a assíntota horizontal encontra a curva da resposta. ⇒

dB

3

ω Ponto onde a curva de resposta fica 3 dB abaixo do nível determinado pela assíntota horizontal.

Projeto do filtro passa baixas de segunda ordem.

As equações 10 -6 e 10 -7 formam o sistema de equações que permite calcular os componentes do filtro. Resolvendo esse sistema resulta:

c L n R L L ω = e c L n R C C ω 1 = 10 -8

onde L_n é uma grandeza adimensional dada por:

            + − ±       + = S L S L S n R a R R R R a L 1 4 1 1 1 2 1 2 1 10 -9

n

C é outra grandeza adimensional dada por:

n L S n L R R C + = 1 10 -10

As grandezas L_n e C_n são chamados componentes normalizados. Os manuais de

filtros tabelam essas grandezas para diversos valores de a e 1 . L S R R . A desnormalização, ou seja, a determinação dos valores dos componentes se faz aplicando-se as fórmulas:

c L n R L L ω = e c L n R C C ω 1 =

Exercício 11–1 Projetar um filtro passa baixas de segunda ordem com resposta Butherworth sabendo-se que R_L =R_S =1000 Ω e ω_c =10.000 rd/s. Solução:

Os parâmetros de entrada são: a₁ = 2 e =1

L S

R R

Entrando com esses valores nas fórmulas 10 -9 e 10 -10 resulta: 2 = n L e C_n = 2 Desnormalizando: H R L L c L n 0,1414 000 . 10 000 . 1 2 = = = ω c L n R C C ω 1 = 1,414 10 7F 000 . 10 000 . 1 1 2 − × = × =

O circuito do filtro está esquematizado abaixo.

F 7 10 414 , 1 − × Ω 000 . 1 0,1414 H Ω 000 . 1 S

e

Montagem alternativa do filtro passa baixas de segunda ordem

A fig. 10 -13 Mostra a montagem alternativa do filtro passa baixas de segunda ordem. Nesta montagem, o filtro começa com capacitor de entrada. Geralmente, os valores dos componentes são diferentes daqueles da primeira montagem. Mas seus componentes normalizados também são tabelados e são desnormalizados aplicando-se as mesmas fórmulas do caso anterior.

S

R

Cs

1













+

L S

R

R

e

₁

1

L

R

e

2

Ls

Fig. 10 -13 Montagem alternativa para o filtro passa baixas de segunda ordem.

FILTRO PASSA BAIXAS DE TERCEIRA ORDEM

A fig. 10 -14 mostra as duas versões de filtro passa baixas de terceira ordem. Uma versão possui indutor na entrada do filtro ( fig. 10 -14.a ). A outra versão possui capacitor na entrada do filtro ( fig. 10 -14.b ).

S R R_S L R R_L 2 L 3 L 1 L 1 C 2 C C3 ( a ) ( b )

Fig. 10 -14 Filtro passa baixas de terceira ordem. a) Versão com indutor de entrada. b) Versão com capacitor de entrada.

A expressão da resposta é: 3 2 2 2 1 3 3 1 2 c c c c s a s a s e e ω ω ω ω + + + = Assíntotas Para s<<ωc tem-se 0 3 3 1 2 _{1 1} j c c _e e e = = ≈ ω ω Para s>>ω_c tem-se

( )

2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 1 2 π π ω ω ω ω ω ω ω j c j c c c _e e j s e e − =     = = ≈

A fig. 10 -15 mostra as respostas assintóticas de amplitude e de fase. 1 2 e e 1 c ω ω c ω ω 0 φ 2 3π − 3       ω ωc ( b ) ( a )

Fig. 10 -15 Respostas assintóticas do filtro passa baixas de terceira ordem. a) Resposta de amplitude. b ) Resposta de fase.

Vemos que, na faixa de rejeição, a amplitude do sinal tem uma queda proporcional a terceira potência de ω.

Principais curvas de resposta

A curva de resposta pode adquirir as mais variadas formas, conforme os valores dos coeficientes a e ₁ a . Entretanto as curvas de resposta mais utilizadas são de dois tipos: ₂

Butherworth e Tchebyshev.

Quando a₁ = a₂ =2 temos a resposta Butherworth, também chamada “maximally flat

amplitude response” ( fig. 10 -16 ). Ela se caracteriza por possuir a resposta em

amplitudes descrita pela expressão:

6 1 2 1 1       + = c e e ω ω ω c ω 1 2 e e 1 2 2 3       ω ωc 2 1= a a₂=2

A reposta Tchebyshev se caracteriza por ter, na faixa de passagem, ondulações de mesma amplitude. Por isto essa resposta é, também, conhecida como “equal ripple

amplitude response” ( fig. 10 -17 ). Para cada amplitude de ondulação existe uma

resposta Tchebyshev. Nessas respostas se tem, também, as freqüências características c ω , ωr e ω3dB. ω c ω 1 2 e e 1 2 2 r ω ω3dB r 1 3       ω ω_c

Fig. 10 -17 Exemplo de resposta Tchebyshev para um filtro passa baixas de terceira ordem

FILTROS PASSA BAIXAS DE ORDEM N

Resposta: _N c N c N c N N c s a s a s e e ω ω ω ω ... 2 2 2 1 1 1 2 + + + = _{− −} 10 -11

Estes filtros se caracterizam por terem a assíntota da faixa de rejeição com inclinação N c_      ω ω

. Em gráficos b--logarítmos, essa inclinação negativa é N vezes maior do que aquela do filtro passa baixas de primeira ordem.

Curvas de respostas principais: - Butherworth ( fig. 10 -18 )

Os filtros Butherworth se caracterizam por ter a resposta em amplitude dada pela expressão: N e e 2 1 2 1 1     + = ω 10 -12