O Teorema Mestre da Complexidade

O Teorema Mestre da Complexidade

Luís Fernando Schultz Xavier da Silveira

Departamento de Informática e Estatística - INE - CTC - UFSC

O Teorema Mestre da Complexidade

Conteúdo

1 Enunciado

2 Demonstração Preliminares Peso das Folhas

O Primeiro Caso do Teorema Mestre O Segundo Caso do Teorema Mestre Trabalho no Nó Raiz

Teorema

Seja T :N→R+

∗ uma função satisfazendo

“T(n) =aTn b 

+f(n)”

para valores a, b∈N, a_>1 e b>2, e uma função f :N→R+ ∗. Então T∈            Θ nlog_ba
_{, ∃} ε>0 : f ∈ O nlogba−ε

Θ nlogbalog n
, f ∈ Θ nlogba

Θ(f), ∃w∈ (0; 1), x0 ∈N :∀n>x0, “afn b  6f(n)”

O Teorema Mestre da Complexidade Enunciado

Tecnicalidades

Rigorosamente falando, o enunciado do teorema anterior está informal, pois ele não trata do “caso base” de T e a divisão n b pode não ser um número inteiro.

Por outro lado, o enunciado completo não caberia em um slide :-). Vamos então preencher essas lacunas aos poucos.

Rigorosamente falando, o enunciado do teorema anterior está informal, pois ele não trata do “caso base” de T e a divisão n b pode não ser um número inteiro.

Por outro lado, o enunciado completo não caberia em um slide :-). Vamos então preencher essas lacunas aos poucos.

O Teorema Mestre da Complexidade Enunciado

Tecnicalidades

Por T(n) =aTn b  +f(n),

entendemos que existe um número n0 ∈ N e que, para todo

n>n0, existem números kn[0], kn[1], . . . , kn[a−1] ∈N, tais que

∀i, 06i<a, 06kn[i] 6 ln b m −jn b k e T(n) = a−1

∑

i=0 Tjn b k +kn[i]  +f(n).

Por

T(n) =aTn b 

+f(n),

entendemos que existe um número n0 ∈ N e que, para todo

n>n0, existem números kn[0], kn[1], . . . , kn[a−1] ∈N, tais que

∀i, 06i<a, 06kn[i] 6 ln b m −jn b k e T(n) = a−1

∑

i=0 Tjn b k +kn[i]  +f(n). Como isso não altera a definição, assumiremos n0>1.

O Teorema Mestre da Complexidade Enunciado

Tecnicalidades

Por ∃x0 ∈N, w∈ (0; 1): ∀n>x0, af n b  6wf(n),

entendemos que existem x0 ∈N, w∈ (0; 1)tais que, para todo

n>max{n0, x0}, a−1

∑

i=0 fjn b k +kn[i]  6wf(n).

Definição Seja n∈N\ {0}e b∈ N, b_>2. Definimos π_b(n) =max k∈N n bk : bk6no como a maior potência de b menor ou igual a n.

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

Preliminares

Arredondamento para Potências

Lema

Seja n∈N\ {0}e b∈ N, b_>2. Então πb(bn) =bπb(n).

Demonstração.

Claramente bπb(n)é uma potência de b satisfazendo

bπb(n) 6bn, pois πb(n) 6n.

Porém, como bπb(n) >n, por definição, temos b2πb(n) >bn, e

como b2_π

b(n)é a menor potência de b maior que bπb(n), o

Lema

Seja n∈N\ {0}e b∈ N, b_>2. Então πb(bn) =bπb(n).

Demonstração.

Claramente bπb(n)é uma potência de b satisfazendo

bπb(n) 6bn, pois πb(n) 6n.

Porém, como bπb(n) >n, por definição, temos b2πb(n) >bn, e

como b2_π

b(n)é a menor potência de b maior que bπb(n), o

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

Preliminares

Arredondamento para Potências

Lema Seja n>b>2. Então πb jn b k = πb(n) b . Demonstração. Note que πb jn b k = πb(n) b ⇐⇒ bπb jn b k =πb(n) ⇐⇒ πb  bjn b k = πb(n).

Lema Seja n>b>2. Então πb jn b k = πb(n) b . Demonstração. Note que πb jn b k = πb(n) b ⇐⇒ bπb jn b k =πb(n) ⇐⇒ πb  bjn b k = πb(n).

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

Preliminares

Arredondamento para Potências

Demonstração.

Basta então mostrar que,∀k∈N, bk ₆bjn b k ⇐⇒ bk 6n. De fato, bk6bjn b k =⇒bk−1 6jn b k 6 n b =⇒bk 6n.

Similarmente, como bkou é 1 ou é um múltiplo de b e n>b, temos

bk 6n=⇒bk 6n− (n mod b) =bjn b k

. Com isso a demonstração está concluída.

Definição Seja n∈N\ {0}e b∈ N, b_>2. Definimos π0_b(n) =min k∈N n bk : bk >no como a menor potência de b maior ou igual a n.

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

Preliminares

Arredondamento para Potências

Lema Seja n∈N\ {0}e b∈N, b_>2. Então π0_b(bn) =bπ0_b(n). Seja n_>b_>2. Então π0_b ln b m = π 0 b(n) b . Demonstração.

Lema Seja n∈N\ {0}e b∈N, b_>2. Então π0_b(bn) =bπ0_b(n). Seja n_>b_>2. Então π0_b ln b m = π 0 b(n) b . Demonstração.

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

Peso das Folhas

Peso das Folhas

Lema (Peso das Folhas)

T∈_{Ω n}log_ba
_. Demonstração. Seja n0₀ =bn0 e seja c= min n06n<n00  T(n) πb(n)logba  .

Vamos então provar por indução que, para todo n>n0,

Lema (Peso das Folhas) T∈_{Ω n}log_ba
_. Demonstração. Seja n0₀ =bn0 e seja c= min n06n<n00  T(n) πb(n)logba  .

Vamos então provar por indução que, para todo n>n0,

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

Peso das Folhas

Peso das Folhas

Demonstração.

Para a base da indução, considere n0 6n<n₀0. Então

T(n) =T(n) ·  πb(n)logba πb(n)logba  =  T(n) π_b(n)logba  πb(n)logba >cπb(n)logba.

Demonstração.

Para o passo indutivo, considere n0₀ 6n. Então T(n) = a−1

∑

i=0 Tjn b k +kn[i]  +f(n) > a−1

∑

i=0 Tjn b k +kn[i]  > a−1

∑

i=0 cπb jn b k +kn[i] log_ba > a−1

∑

i=0 cπb jn b klog_ba

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

Peso das Folhas

Peso das Folhas

Demonstração. T(n) > a−1

∑

i=0 cπb jn b klog_ba =acπb jn b klog_ba =ac  πb(n) b log_ba = acπb(n) log_ba blog_ba = acπ_b(n)log_ba a =cπb(n)logba.

Demonstração. Segue que T∈ Ωπb(n)logba  . Mas como πb(n) 6n<bπb(n), Θπb(n)logba  = Θnlogba  e segue que T∈ _Ωnlogba  .

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

O Primeiro Caso do Teorema Mestre

O Primeiro Caso do Teorema Mestre

Com o que já temos até agora é possível demonstrar o primeiro caso do Teorema Mestre.

Lema (Primeiro Caso do Teorema Mestre)

Se existe ε>0 tal que

f ∈ Onlogba−ε  , então T∈Θnlogba  .

Demonstração.

Como f ∈ O(nlog_ba−ε_{), existem x}

0, q ∈ N tais que, para todo

n>x0, f(n) 6qπb(n)logba−ε. Defina m0 =max{x0, n0}, m00=bm0 e c= max m06n<m00 ( T(n) +q _bε1₋₁
πb(n)logba−ε π0_b(n)logba ) . Vamos provar por indução que, para n>m0,

T(n) 6cπ_b0(n)logba−q  1 bε₋₁  π_b(n)logba−ε ∈ O(nlogba)_.

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

O Primeiro Caso do Teorema Mestre

O Primeiro Caso do Teorema Mestre

Demonstração.

Para a base da indução, assuma m06n<m0₀. Então

T(n) =T(n) +q _bε1₋₁
πb(n)logba−ε−q _bε1₋₁
πb(n)logba−ε =  T(n)+q( 1 bε−1)πb(n)logb a−ε π0_b(n)logb a  π0_b(n)logba−q 1 bε₋₁
πb(n)logba−ε 6cπ0_b(n)logba−_q  1 bε₋₁  πb(n)logba−ε.

Demonstração.

Para o passo indutivo, assuma n>m₀0. Logo

T(n)=_∑a_i=−₀1T(bn_bc+kn[i])+f(n) 6∑a−1 i=0  cπ_b0(bn_bc+kn[i])logb a−q(_bε1−1)πb(b n bc+kn[i])logb a −ε +qπb(n)logb a−ε 6∑a−1 i=0  cπ0 b(dnbe)logb a−q(bε1−1)πb(bnbc)logb a −ε +qπb(n)logb a−ε 6acπ0_b(dn be) logb a_−aq( 1 bε−1)πb(bnbc) logb a−ε +qπb(n)logb a−ε 6ac  π0_b(n) b logb a −aq( 1 bε−1)  πb(n) b logb a−ε +qπb(n)logb a−ε 6acπ 0 b(n)logb a blogba −aq( 1 bε−1)πb (n)logb a−ε blogba−ε +qπb(n) logb a−ε 6acπ 0 b(n)logb a blogba −aq( 1 bε−1)πb (n)logb a−ε blogbab−ε +qπb(n) logb a−ε

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

O Primeiro Caso do Teorema Mestre

O Primeiro Caso do Teorema Mestre

Demonstração. T(n)6acπ 0 b(n)logb a blogba −aq( 1 bε−1)πb (n)logb a−ε blogbab−ε +qπb(n) logb a−ε 6acπ 0 b(n)logb a a −aq(bε1−1)bε πb (n)logb a−ε a +qπb(n)logb a−ε 6cπ_b0(n)logb a−q( 1 bε−1)bεπb(n)logb a−ε+qπb(n)logb a−ε 6cπ_b0(n)logb a−q(( 1 bε−1)bε−1)πb(n)logb a −ε 6cπ_b0(n)logb a−q( bε bε−1− bε−1 bε−1)πb(n)logb a −ε 6cπ_b0(n)logb a−q( 1 bε−1)πb(n)logb a−ε.

Demonstração.

Com isso, segue que

T∈ O(nlogba_).

Pelo lema do peso das folhas,

T∈ _Ω(nlogba)_.

Portanto

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

O Segundo Caso do Teorema Mestre

O Segundo Caso do Teorema Mestre

Lema Se f ∈Θ(nlogba_), então T∈_Θ(nlogbalog n). Demonstração.

Iremos mostrar que

T∈ O(nlogba_{log n)}

e que

Lema Se f ∈Θ(nlogba_), então T∈_Θ(nlogbalog n). Demonstração.

Iremos mostrar que

T∈ O(nlogba_{log n)}

e que

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

O Segundo Caso do Teorema Mestre

O Segundo Caso do Teorema Mestre

Demonstração.

A fim de mostrar que T ∈ O(nlogbalog n), observe que, como

f ∈ O(nlogba), existem constantes x₀, q ∈ N tais que, para todo

n>x0, f(n) 6qnlogba.

Assim sendo, defina m0 =max{n0, x0}, m00=bm0 e

c= max m06n<m00 ( T(n) π0_b(n)logbalog bπ0b(n) , q ) . Vamos provar, por indução, que, para todo n>m0,

T(n) 6cπ0_b(n)logba_log

bπ

0

Demonstração.

Para a base da indução, assuma que m06n<m₀0. Então

T(n) =T(n) · π 0 b(n)logbalogbπ0b(n) π_b0(n)logbalog bπ0b(n) ! = T(n) π_b0(n)logbalog bπb0(n) ! π_b0(n)logbalog bπ 0 b(n) 6cπ0_b(n)logba_log bπ0b(n).

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

O Segundo Caso do Teorema Mestre

O Segundo Caso do Teorema Mestre

Demonstração.

Para o passo indutivo, suponha n>m0₀. Então T(n) =_∑a_i=−₀1T _n b  +kn[i]
+f(n) 6∑a−1 i=0cπb0 _n b  +kn[i]
log_ba log_bπ0_b n_b+kn[i]
+f(n) 6∑ai=−01cπb0 _n b 
log_ba log_bπ_b0 n_b
+f(n) 6acπ0b(n) b log_ba log_bπ0b(n) b  +qnlogba = acπb0(n)logb a

blogb a (logbπ0b(n) −1) +qnlogba

= acπb0(n)logb a

a (logbπ0b(n) −1) +qnlogba

=cπ_b0(n)logba(log

Demonstração. T(n) =cπ0_b(n)logba_(log bπb0(n) −1) +qnlogba =cπ0_b(n)logba_log bπ 0 b(n) −cπb0(n)logba+qnlogba 6cπ_b0(n)logba_log bπ 0 b(n) −cπ0b(n)logba+qπb0(n)logba =cπ0_b(n)logbalog bπ 0 b(n) + (q−c)πb0(n)logba 6cπ_b0(n)logbalog bπ 0 b(n).

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

O Segundo Caso do Teorema Mestre

O Segundo Caso do Teorema Mestre

Demonstração.

A fim de mostrar que T ∈ Ω(nlogbalog n), observe que, como

f ∈ Ω(nlogba), existem constantes x₀, q ∈ N tais que, para todo

n>x0, f(n) >qπb(n)logba.

Assim sendo, defina m0 =max{n0, x0}, m00=bm0 e

c= min m06n<m00 ( T(n) πb(n)logbalog bπb(n) , q ) . Vamos provar por indução que, para todo n>m0,

Demonstração.

Para a base da indução, suponha m0 6n<m0₀. Então

T(n) =T(n) · πb(n) log_ba_log bπb(n) πb(n)logbalogbπb(n) ! = T(n) πb(n)logbalogbπb(n) ! πb(n)logbalog_bπb(n) >cπb(n)logbalogbπb(n).

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

O Segundo Caso do Teorema Mestre

O Segundo Caso do Teorema Mestre

Demonstração.

Para a prova do passo indutivo, assuma n>m0₀. Então T(n) = a−1

∑

i=0 Tjn b k +kn[i]  +f(n) > a−1

∑

i=0 cπ_bjn b k +kn[i] log_ba log_bπ_b jn b k +kn[i]  +f(n) > a−1

∑

i=0 cπ_bjn b klog_ba log_bπ_b jn b k +qπ_b(n)logba =acπb jn b klog_ba log_bπb jn b k +qπb(n)logba

T(n) =acπb jn b klog_ba log_bπ_b jn b k +qπb(n)logba =acπb(n) b log_ba log_bπb(n) b  +qπb(n)logba = acπb(n) log_ba blogba logbπb (n) −1
+qπb(n)logba =cπb(n)logba log_bπb(n) −1
+qπb(n)logba =πb(n)logba c logbπb(n) + (q−c)
>cπb(n)logbalogbπb(n).

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

O Segundo Caso do Teorema Mestre

O Segundo Caso do Teorema Mestre

Demonstração. Temos que T∈ O(nlogba_{log n)} e que T ∈_Ω(nlogbalog n), e portanto T∈Θ(nlogba_{log n).}

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

Trabalho no Nó Raiz

Trabalho no Nó Raiz

Lema (Trabalho no Nó Raiz)

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

Trabalho no Nó Raiz

Trabalho no Nó Raiz

Lema (Trabalho no Nó Raiz)

T∈_Ω(f). Demonstração. Para n>n0, T(n) = a−1

∑

i=0 Tjn b k +kn[i]  +f(n) >f(n).

Lema (O Terceiro Caso do Teorema Mestre)

Se existem w∈ (0; 1), x0∈ N tais que, para todo n>max{x0, n0}, a−1

∑

i=0 fjn b k +kn[i]  6wf(n), então T ∈Θ(f).

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

O Terceiro Caso do Teorema Mestre

O Terceiro Caso do Teorema Mestre

Demonstração. Seja m0=max{n0, x0}, m₀0 =bm0 e c= max m06n<m00  T(n) f(n), 1 1−w  . Vamos provar por indução que

T(n) 6cf(n) para todo n>m0.

Demonstração.

Para o caso base, considere m06n<m00. Então

T(n) =T(n) · f(n) f(n)  = T(n) f(n)  f(n) 6cf(n).

O Teorema Mestre da Complexidade Demonstração

O Terceiro Caso do Teorema Mestre

O Terceiro Caso do Teorema Mestre

Demonstração.

Para o passo indutivo, considere n>m0₀. Segue que T(n) = a−1

∑

i=0 Tjn b k +kn[i]  +f(n) 6 a−1

∑

i=0 cfjn b k +kn[i]  +f(n) 6cwf(n) +f(n) = (cw+1)f(n) 6cf(n).

Demonstração.

Então temos que

T∈ O(f).

Pelo lema do trabalho no nó raiz, temos que T∈ Ω(f).

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