1.Introdução. Dois pontos e uma circunferência: Outra solução por inversão

Dois pontos e uma circunferência: Outra solução por inversão

ABSTRACT: It is proposed a method for solving a tangency problem that can be sumarised in this way: as we have one circumference and two points find circumferen-ces that pass to points and be tangent with the circumference. In a proposed method we join the power point concept and the geometric transformation inversion. We show the classic solution by inversion and the proposed method. The method shown here brings new light on tangency problems and stimulates the inquiries of new solutions for the other cases of Apollonius problem.

Keywords: Tangency problems, Apollonius problem, Inversion.

RESUMO: Neste artigo apresentamos um método para resolução do problema de se encontrar circunferências que passam por dois pontos e são tangentes a uma circunferência. No método proposto juntamos os dois principais métodos de solução utilizados na resolução deste problema, o conceito de potência de ponto e o uso da transformação geométrica inversão. Apresentamos a solução clássica por inversão e método proposto seguidos de discussões acerca de sua abrangência. O método mos-trado aqui traz nova luz sobre problemas de tangência e estimula a investigações de novos métodos de soluções para os outros casos do problema de Apolônio.

Palavras chave: Problemas de tangências, Problema de apolônio, Inversão.

1.Introdução

Um dos temas frequentes e interessantes em Desenho Geométrico são problemas de tangências cujo enunciado pode ser resumido no seguinte: dados três elementos geométricos que podem ser individualmente pontos, retas e circunferências, deve-se construir circunferências tangentes aos três elementos.

A história deste problema tem início no livro IV da obra Elementosde Euclides de Alexandria (325 a.C. - 265 a.C.). Nele, o autor mostra como construir uma circun-ferência que passa por três pontos, bem como, construir uma circuncircun-ferência tangente a três retas. Posteriormente, Apolônio de Perga (262 a.C. - 190 a.C.) generalizou este problema para a construção de circunferências tangentes a arranjos de três elementos formados por pontos, retas e circunferências, dando assim origem aos dez casos do problema. A obra na qual supostamente foram publicadas as soluções deste problema, Tangências, perdeu-se. As informações que se têm sobre sua existência e autoria são

baseadas no trabalhoEnciclopédiade Pappus de Alexandria (290 a.C. - 350 a.C.).

Exceto tentativas de reconstrução por estudiosos árabes, do trabalhoTangências, que se supõem terem sido feitas, o problema de Apolônio esteve esquecido até o período histórico do Renascimento, quando François Viète (1540 - 1603) em 1600 publicou o trabalhoL’Apollonius Français(VIÈTE, 1982) que contém soluções para os dez casos do problema. Desde então, vários estudiosos como Rene Descartes (1596 -1650), Pierre de Fermat (1601 - 1665) e Isaac Newton (1642 - 1727), Frederick Soddy (-) Joseph Diaz Gergonnne (1771 - 1859) e Jean Victor Poncelet (1788 - 1867) estu-daram este problema, dando cada um deles sua contribuição.

Para muitos dos casos do problema são conhecidas várias estratégias de soluções. Por exemplo, para o caso em que são dados dois pontos e uma circunferências são con-hecidas dois métodos de solução. A solução clássica baseada em potência de ponto que pode ser vista em várias referências, por exemplo em (MARMO, 1965). O outro método clássico de solução conhecido é baseado na transformação geométrica inversão e pode ser visto na referência (COOLIDGE, 1916). Neste atigo apresentamos outro método de solução para este problema utilizando inversão em combinação com o conceito de potência de ponto.

2.Inversão

Segundo (ANGLIN, 1994) a transformação geométrica inversão é baseada em idéias de Apolônio de Perga (262 a.C. - 190 a.C.). Destas idéias para o que temos hoje muitas contribuições foram dadas. Segundo (SMITH, 2006), a invenção da inversão é atribuída a Jakob Steiner (1796 - 1863) cujo trabalho sobre o assunto por volta de 1820 apresentou de modo claro esta transformação. A primeira descrição da inversão como uma transformação geométrica foi proposta por Julius Plucker (1801 - 1868) em 1831, enquanto que a primeira teoria foi proposta por August Ferdinand Moebius (1790 - 1868) em 1855. Finalmente, a primeira apresentação da inversão por meio de construções com régua e compasso foi feita por Mario Pieri (1860 - 1913) em 1910.

Nesta seção, introduzimos conceitos que serão utilizados no trabalho. A motivação é mais a de fixar a notação do que apresentar fatos novos. Boas referências para o ma-terial aqui apresentado são: (COXETER H. S. ; GREITZER, 1967), (ALTSHILLER-COURT, 1952) e (JONHSON, 1960).

Construção 1. Dada uma circunferênciaσ_(O,r)e um pontoP externo à σ, constróem-se os constróem-segmentos de reta tangentes pelo pontoP à σ nos pontos A e B. O ponto obtido pela intersecção do segmento OP e AB, P0, é chamado inverso do ponto P . Se o

ponto P é interno à σ mas P 6= 0, constrói-se um segmento perpendicular por P à

OP que intercepta σ em pontos C e D. O ponto P0 _{obtido pela intersecção das retas}

tangentes àσ nos pontos C e D é o inverso de P .

O O P0 C P P0 C P σ σ a) b)

Figure 1: Inversão de pontos.

Em ambos os casos, como ilustrado na figura 1, a relação entreP e P0 pode ser descrita por semelhança de triângulos. Sejam OAP e OP0A os triângulos formados no caso em queP é externo a σ. Como eles são retângulos, OP × OP0 = OA2. Como

OA = r, então OP ×OP0 _{= r}2_{. Sejam os triângulos formados,OP C e OCP}0_{, no caso} em queP é interno a σ. Eles são retângulos também. Portanto, OP × OP0 = OC2. ComoOC = r, então OP × OP0 = r2.

Definição 1. Dada uma circunferência σ_(O,r), a transformação geométrica que leva um pontoP ao ponto P0como descrito na construção 1 chama-se inversão. SeP ∈ σ, então tomeP0 = P .

A circunferência σ é chamada de circunferência de inversão e r2 de potência de inversão. SeP0 é o inverso deP , P é o inverso de P0. Isto é,(P0)0 = P . Enquanto P se mantém no interior deσ, seu inverso está no exterior. Quanto mais próximo P está deσ, mais próximo seu inverso de σ. Quando P se aproxima do centro de inversão, P0 fica cada vez mais distante deO.

2.1 Inversões de retas e circunferências

A inversão de uma circunferência resulta em outra circunferência ou uma reta. Isto depende da posição relativa da circunferência a ser invertidaα, em relação a circunfer-ência de inversãoσ, como ilustram as figuras 2 e 3.

Lema 1. A figura inversa de uma circunferênciaα que passa pelo centro de inversão é uma reta. O1 O2 A B s A0 C σ α α0 _{= t}

Figure 2: Inversão de uma circunferência: primeiro caso.

Prova 1. Seja σ_(O1,r1) a circunferência de inversão e α_(O2,r2) a circunferência que passa pelo centro de inversãoO₁. SejaA 6= O₁ o ponto onde a retaO₁O₂ intercepta

α. Pelo ponto A0_{, inverso do ponto A, constrói-se uma reta t perpendicular a reta}

O1O2. Seja B 6= O1 o ponto onde uma reta s que passa pelo ponto O1 intercepta a

circunferênciaα. Seja C o ponto onde a reta s intercepta a reta t. Note que o ponto

B pode pertencer, ser interno ou externo à circunferência σ.

Se a retas 6= O₁O₂, os triângulos formados,ABO₁ eCA0O₁, são semelhantes, pois o ângulo∠AO₁B é comum aos dois triângulos e os ângulos ∠O₁AC e ∠Ob ₁cB0A são retos. Portanto,

O1B

O1A0 =

O1A

O1C,

(1)

ou seja,O₁C × O₁B = r₁2. Logo, o pontoC é o inverso do ponto B.

Se a retas = O₁O₂, o pontoA coincide com o ponto B. O ponto C coincide com o pontoA0. Por isso, o pontoC é inverso do ponto B.

ComoB descreve a circunferência α, exceto B = O₁,B0descreve a retat. Lema 2. A figura inversa de uma retat que não passa pelo centro de inversão é uma

circunferência que passa pelo centro de inversão.

Prova 2. Sejaσ_(O1,r1)a circunferência de inversão et a reta que não passa pelo centro de inversão. SejaA o ponto de intersecção de uma reta s, que passa pelo ponto O₁e é

perpendicular à retat. Seja A0 o inverso do pontoA. Seja u 6= s uma reta por O₁ que intercepta a retat num ponto B. Seja B0o inverso do pontoB. Seja α a circunferência que passa pelos pontosA0,B0 eO₁. Sejav uma reta que passa por O₁ e interceptaα no pontoC e a reta t no ponto D.

Se a retav 6= u, os triângulos formados, A0CO₁ e ADO₁ são semelhantes, pois o ângulo∠AcO₁C é comum aos dois triângulos e os ângulos ∠C bA0O₁ e∠A bDO₁ são retos. Portanto, O1A O1D = O1C O1A0, (2)

ou seja,O₁D × O₁C = r2₁. Logo, o pontoC é o inverso do ponto D.

Se as retasv = u, o ponto C coincide com o ponto B e o ponto C0coincide com o pontoB0. Se as retasv = s, o ponto A coincide com o ponto C e o ponto C0 coincide com o pontoA0.

Como o pontoC descreve a reta t o ponto C0 = D descreve a circunferência α, excetoD = O₁.

Lema 3. A figura inversa de uma circunferência α que não passa pelo centro de

in-versãoO₁, é uma circunferênciaα0 que não passa porO₁.

O1 A B B0 P P0 A0 σ α α0

Figure 3: Inversão de uma circunferência: segundo caso.

Prova 3. Sejaσ_(O1,r1)a circunferência de inversão eα a circunferência a ser invertida. SejamA e B os pontos onde a reta s que passa pelo ponto O₁ interceptaα. Seja P um ponto deα. Sejam A0, B0 eP0 os inversos dos pontosA, B e P . Pela definição de inversãoO₁A × O₁A0 = O₁P × O₁P0. Então,

O1A

O1P =

O1P0

O1A0.

(3)

SejaP 6= A, P 6= B. Sejam os triângulos O₁AP e O₁A0P0. Eles são semelhantes pelo critério de semelhança lado-ângulo-lado, pois os lados correspondentes que for-mam o ângulo ∠P cO₁A, que é comum, nos dois triângulos são proporcionais como mostra a expressão 3. Então, sejamO₁AP = θb ₁ eO₁BP = θb ₂. O ânguloθ₁ é igual a soma dos ângulos internos opostos,A bBP e A bP B. Como O₁cP0A0 = O₁AP = θb ₁ e

O1cP0B0 = O1BP = θb 2,

A0_cP0B0 _{= P bAO}

1− O1cP0B0 = θ1− θ2 = A bP B. (4)

Como os ângulosA bP B e A0cP0B0 são iguais,P0 descreve a circunferência α0. A circunferência α0 não passa por O₁ pois pelo lema 1, a inversa da circunferência α0 caso esta passe pelo centro de inversão é uma reta. Os inversos deA e de B pertencem àα0.

Para qualquer reta que passa pelo ponto O₁ e intercepta a circunferência α nos pontosA e B a potência do ponto O₁ é

O1A × O1B = P ot(O1,α) (5)

SejaA0 é o ponto inverso deA na circunferência α0. Pela definição de inversão,

O1A × O1A0 = r21. (6)

A divisão da expressão 6 pela expressão 5 resulta:

O1A0 O1B = r2 1 P ot(O1,α) . (7)

Esse resultado mostra que enquantoB descreve a circunferência α, A0 descreve a circunferênciaα0.

2.2 Propriedades da inversão

Lema 4. Se uma retat e uma circunferência α são tangentes, suas inversas são

tan-gentes no pontoP0inverso do pontoP .

transformadas em retas ou circunferências. Como apenas o ponto P é comum, as inversas det e α são tangentes no ponto P0.

3. Dois pontos e uma circunferência

Problema 1. Construir circunferências que passam pontosA e B, e são tangentes a

uma circunferênciaα_(O,r1).

No caso geral deste problema nenhum dos pontos está sobreα_(O,r1) ou coincide com o centro de α_(O,r1). Na solução clássica por inversão apresentada na referência

(COOLIDGE, 1916), toma-se um dos pontos,A ou B como centro de inversão - neste

caso o pontoA e invertem-se o ponto B e a circunferência α, pois pela definição 1, o inverso do pontoA não está definido. O inverso do ponto B é o ponto B0, enquanto que o inversa da circunferênciaα é a circunferência α0como mostra a figura 4.

B A B0 C0 C O α α0 σ

Figure 4: Inversão deα e do ponto B.

Supondo o problema resolvido, as circunferências que são tangentes à α e que passam pelos pontosA e B são transformadas em retas que passam pelo ponto B0 e são tangentes à circunferênciaα0. Portanto, invertendo-se o pontoB e a circunferência

α, o problema se reduz à construção das retas tangentes à circunferência α0_{que passam} pelo pontoB0 como ilustrado na figura 5.

B A B0 E D E0 D0 α α0 σ φ

Figure 5: Retas tangentes àα0 que passam porB0.

SejaU o centro da circunferência α0 o qual não é mostrado na figura. Os pontos de tangência,D e E, são resultantes da intersecção entre as circunferências α0eφ cujo diâmetro éB0U. Sejam B0D e B0E as retas tangentes à α0 que passam pelo pontoB0 como mostra a figura 5. Sabemos que invertendo-se de volta todos os elementos ini-cialmente invertidos, mais as retasB0D e B0E, obtém-se circunferências que passam pelo centro de inversão e são as soluções procuradas. Sabemos também que como são possíveis traçar apenas duas retas tangentes pelo pontoB0 à α0 o problema tem duas soluções.

Como ilustrado na figura 5, os inversos dos pontosD e E, D0 eE0, são obtidos como resultado das intersecções das retasAD e AE respectivamente com a circunfer-ênciaα. Sejam δ₁ eδ₂ as circunferências soluções do problema. A circunferênciaδ₁ é formada pelos pontosE0,A e B e a circunferência δ₂ é formada pelos pontosD0, A e

B como mostra a figura 6.

Se o pontoA estiver sobre a circunferência α e se tomarmos o ponto B como centro de inversão o problema se reduz a construção de uma reta tangente a circunferênciaα0 no ponto A0. Sejau a reta tangente à circunferência α0 pontoA0. Como apenas uma reta é tangente a uma circunferência num ponto, a inversa da retau, a circunferência u0, passa pelo pontoB, pois este é o centro de inversão. Por isso, esse caso do problema

B A B0 E D E0 D0 δ2 δ1 α α0 σ Figure 6: Circunferênciasδ₁ eδ₂.

tem apenas uma solução.

Se o ponto A estiver sobre a circunferência α e se tomarmos o ponto A como centro de inversão o problema se reduz a construção de uma retau paralela à reta α0 e que passa pelo pontoB0, inverso do pontoB. Seja u a reta paralela à α0 que passa pelo pontoB0. Sua inversa é uma circunferênciau0 que passa pelo centro de inversão, pontoA. Como apenas uma reta paralela a uma outra passa por um ponto, esse caso do problema tem apenas uma solução.

3.1 Solução proposta

Tomemosα como circunferência de inversão. Seja ₁uma circunferência arbitrária que passa pelos pontosA e B e intercepta a circunferência α em pontos C e D. Seja M o ponto médio do segmentoCD, e M0 seu inverso como mostra a figura 7. Do mesmo modo, seja₂outra circunferência arbitrária que passa pelos pontosA e B e intercepta

α em pontos E e F . Seja N o ponto médio do segmento EF , e N0 _{seu inverso. Seja}

M0_N0 _{e reta definida pelos pontosM}0 _eN0_.

SejaM0N0 e reta definida pelos pontosM0 eN0. A retaM0N0 intercepta a circun-ferênciaα = α0 em pontosG e H que são os pontos de tangência procurados como

A B C D E F N M M0 N0 O _α 2 1

Figure 7: Circunferências arbitrárias: ₁ e₂

mostra a figura 8. A B M0 N0 G H O _α

3.1.1 Justificativa

SejaP o ponto onde as retas CD e AB interceptam-se. Note que se o triângulo

OAB for equilátero ou isósceles, (OB = OA), as retas CD e AB são paralelas. Nesse

caso, a retaMN passa pelo centro de α. Como α é a circunferência de inversão, pelo lema 2, a inversa da retaMN, (MN)0é uma reta que coincide comMN e as soluções do problema são triviais usando ou não a inversão.

Nos outros casos, o triânguloOAB é escaleno e as retas CD e AB interceptam-se no ponto P , que é o centro radical das circunferências que passam por A e B e interceptamα como ilustra a figura 9. Se os pontos de tangências procurados são S e

T a expressão P S2 _{= P T}2 _{= P A × P B = P C × P D resume este parágrafo.}

B A C D O P α 1

Figure 9: Obtenção do pontoP .

Seja φ a circunferência cujo diâmetro é OP . Como os pontos O, M, N e P formam triângulos retângulos,O cMP e O bNP estão inscritos na circunferência φ como ilustra a figura 10. Do mesmo modo,P bSO e P bTO são também triângulos retângulos inscritos na circunferênciaφ, a qual contém os pontos S, T ,M e N.

Quando invertemos os pontos M e N, invertemos a circunferência φ. Como φ passa pelo centro de inversão, pelo lema 1, sua inversa é uma reta, reta M0N0. Os pontos ondeM0N0 interceptaα = α0 são os pontos de tangências procurados, pontos

A B O C D P α 1 φ

Figure 10: Circunferênciaφ: triângulos retângulos.

3.1 Discussão

Este método de solução pode ser aplicado a qualquer caso do problema, mesmo quando os segmentos OA = OB. Neste caso, o ponto P é considerado um ponto imprópio. Como todas as cordas produzidas na circunferência α são paralelas entre si, invertendo-se os pontos médios delas obtém-se a mediatriz t do segmento AB. Essa mediatriz intercepta a circunferência α em pontoss I e J que são os pontos de tangências procurados.

Se um dos pontos, A ou B pertencem a circunferência α, os inversos dos pontos médios das cordas produzidas na circunferência α resultam em uma reta tangente à circunferência α0 = α, o que indica que este caso do problema admite apenas uma solução. Se um dos pontos, A ou B coincidem com o centro circunferência α, os inversos dos pontos médios das cordas produzidas na circunferência α resultam em uma reta secante à circunferência α0 = α, o que indica que este caso do problema admite como no caso geral duas soluções.

4. Conclusões

Problemas de construções geométricas podem apresentar um ou mais caminhos de solução. Encontrar outras soluções depende de um estudo minucioso das propriedades geométricas envolvidas. Em atividades de ensino, estas possibilidades devem ser apre-sentadas para o estudante como motivação. Não apenas a apropriação do conhecimento existente mais também a possibilidade de desenvolvê-lo.

Referências

ALTSHILLER-COURT, N. College Geometry: An introduction to the modern

geometry of the triangle and the circle. New York, 2a edição: Barnes and Noble Inc., 1952. (Barnes and Noble College Outline Series).

ANGLIN, W. S. Mathematics: A concise history and philosophy. New York: Springer-Verlag, 1994. (Undergraduate texts in mathematics. Readings in mathematics).

COOLIDGE, J. L. A treatise on the circle and the sphere. Oxford: Claredon Press, 1916.

COXETER H. S. ; GREITZER, S. L. Geometry revisited. Toronto: Randon House, 1967.

JONHSON, R. A. Advanced Euclidian Geometry: An elementary treatise on the

geometry of the triangle and the circle. New York: Dover Publications, Inc., 1960.

MARMO, C. Curso de Desenho: Métodos I. São Paulo: Gráfica Editora Hamburg, 1965.

SMITH, J. T. . M. The Legacy of Mario Pieri in Geometry and Arithmetic. [S.l.]: Manuscript (email para smith@math.sfsu.edu para accesso - contato em), 2006.

VIÈTE, F. L’apollonius français. In: JEAN, P. (Ed.). Ceuvres Mathématiques

- Deuxiéme partie:Ceuvres géométriques,trigonométrie,suive de la relation du calendrier véritablement grégorien. [S.l.]: pg. 96-115, Librairie A. Blanchard, 1982.