Círculo e Circunferência
Circunferência: linha fechada formada
por todos os pontos do plano que distam
igualmente de um ponto O. Esse ponto O é
o centro da circunferência.
Círculo: é a região interna da
circunferência, unida à circunferência.
Elementos
Raio: segmento que une o centro a qualquer ponto da circunferência.
Corda: segmento de reta cujas extremidades são dois pontos distintos da circunferência.
Diâmetro: é a corda que passa pelo centro da circunferência. A medida do diâmetro é igual ao dobro a medida de seu raio.
D = 2.r
Arco: parte da circunferência limitada por dois pontos distintos da mesma.
Ângulo central: é um ângulo que tem o vértice no centro da circunferência.
Os lados do ângulo central determinam um arco de circunferência. A medida do arco é igual à medida do ângulo central.
Alguns arcos notáveis e suas medidas.
Arco
uma volta meia volta 1
4 de volta
3
4 de volta
Medida 360o 180º 90º 270º
A letra x representa a medida de um ângulo central. Calcule o seu valor em cada caso.
B A O A B C D R R O R R O 50º x x x x
Exercícios sobre círculos e circunferência
1) Classifique os segmentos:
a) AC _____________________ d) AD _________________ b) AO _____________________ e) OE _________________ c) BD _____________________
2) Construa circunferências com um compasso:
a) Uma circunferência de centro O e raio de medida 2,5 cm. b) Uma circunferência de centro O e raio de medida 4 cm.
3) Em cada uma das figuras determine a medida do arco menor AB e do arco maior AB:
4) Observando a figura seguinte, determine a medida do arco BC e do arco DE.
5) Na figura seguinte, determine a medida dos arcos AB, CD, EF e FA.
6) Observe e responda:
a) Se a medida do lado do quadrado l for igual a 14,8 cm, qual será o valor de r? b) Se a medida do raio da circunferência (r) for igual a 12,3 cm, qual será o valor de l?
7) Faça o que se pede:
a) Trace um segmento de reta AB de 5 cm.
b) Abra o compasso 4 cm. Com centro em A, trace a circunferência. c) Agora, abra o compasso 3 cm. Com centro em B, trace a circunferência.
d) As duas circunferências cruzam-se em dois pontos. Nomeie-os por C e D. Dê as medidas de AC, AD, BC e BD.
e) Quanto mede cada lado do triângulo ABC? f) Qual o perímetro do triângulo ABC?
r
l
Medida do comprimento da circunferência
O comprimento de uma circunferência é a medida que a contorna, dando uma volta.
Se pegar um barbante, contornar a circunferência, estica-lo e medir o seu comprimento, teremos o comprimento da circunferência.
Da relação que existe entre as medidas de comprimento e diâmetro da circunferência, descobriu-se um número “constante”.
Podemos fazer um experimento com quaisquer objetos circulares: tampas, baldes, copos, pneu do carro, etc.
Materiais: barbante ou fita métrica, régua graduada e calculadora.
Montar a tabela:
Objeto
Comprimento Diâmetro
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝑫𝒊â𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐
Ao dividir a medida do comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (d), obtemos um número próximo de 3,14. Veja alguns exemplos:
DVD de um filme Tampa de um recipiente Prato de vidro
𝐶 = 37,7 𝑐𝑚 𝑑 = 12 𝑐𝑚 𝐶 𝑑 = 37,7 12 ≅ 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟕 𝐶 = 32 𝑐𝑚 𝑑 = 10,2 𝑐𝑚 𝐶 𝑑 = 32 10,2≅ 𝟑, 𝟏𝟑𝟕𝟑 𝐶 = 60,4 𝑐𝑚 𝑑 = 19,2𝑐𝑚 𝐶 𝑑 = 60,4 19,2≅ 𝟑, 𝟏𝟒𝟓𝟖
O número obtido em cada caso é uma aproximação do número irracional pi, indicado pela letra grega 𝜋 (lê-se pi). A razão entre a medida do comprimento da circunferência e a medida de seu diâmetro é igual a 𝜋 em todas as circunferências. Sendo assim:
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
= 𝜋
𝑪
𝒅
= 𝝅
Podemos calcular a medida do comprimento de qualquer circunferência, conhecendo a medida do seu diâmetro, por meio da fórmula:
𝑪 = 𝒅 ∙ 𝝅
O valor representado por
π
é um número decimal com infinitas casas decimais.𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓 …,
porém utilizamos
𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒
, ou seja, uma aproximação com duas casas decimais.Como a medida do comprimento do diâmetro é o dobro da medida do comprimento do raio
(
𝒅 = 𝟐𝒓
)
, essa fórmula pode ser escrita da seguinte maneira:𝑪 = 𝟐 ∙ 𝒓 ∙ 𝝅
ou
𝑪 = 𝟐𝝅𝒓
Exemplo: Utilizando essa fórmula e considerando
𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒,
podemos, por exemplo, obter a medida aproximada do comprimento de uma circunferência cujo raio mede 6 cm de comprimento.𝑪 = 𝟐𝝅𝒓
𝑪 = 𝟐 ∙ 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟔 = 𝟑𝟕, 𝟔𝟖 𝒄𝒎
Medida da área do círculo
Sabemos que se reunirmos a circunferência e todos os seus pontos internos, obteremos uma figura chamada círculo.
Para se ter uma ideia de como calcular a medida da área de um círculo, podemos dividi-lo em 16 partes iguais da seguinte maneira:
Em seguida, organizamos cada uma dessas partes para obter uma figura que lembre um paralelogramo cuja medida da altura é aproximadamente a do comprimento do raio do círculo, r, e a medida do comprimento da circunferência da base é aproximadamente metade da medida do comprimento da circunferência, isto é,
2𝜋𝑟
2 = 𝜋𝑟.
Calculamos a medida da área do paralelogramo pelo produto das medidas de sua base e de sua altura:
𝑨 = 𝒓 ∙ 𝝅𝒓
𝑨 = 𝝅𝒓
𝟐Como a figura que lembra um paralelogramo foi obtida por todas as partes do círculo, temos que a medida da área do círculo é dada por:
𝑨 = 𝝅𝒓
𝟐Exemplo: Considerando que π = 3,14, calcule a medida da área de um círculo cujo comprimento do raio mede 5m.
𝑨 = 𝝅𝒓
𝟐𝑨 = 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟓
𝟐Exercícios de múltipla escolha
1) Uma pessoa que faz caminhada dá 8 voltas em torno de uma praça circular de 120 m de diâmetro. Qual é aproximadamente, a distância percorrida por essa pessoa? (Use π = 3,14)
a) 3014,4 m b) 6028,8 m c) 753,6 m d) 376,8 m
2) O diâmetro do aro de uma cesta de basquete mede 45 cm. Qual é o comprimento aproximado do aro? (Use π = 3,14)
a) 141,3 cm b) 286,6 cm c) 565,2 cm d) 70,65 cm
3) O círculo abaixo foi dividido em partes iguais. Qual a medida da área da região amarela? Arredonde o resultado para a 2ª casa decimal. (Use π = 3,14)
a) 25,12 cm² b) 50,24 cm² c) 12,56 cm² d) 6,28 cm²
4) Qual a medida da área do círculo representado pela figura abaixo? (Use π = 3,14) a) 113,04 cm²
b) 37,68 cm² c) 18,84 cm² d) 9,42 cm²
5) Qual é a medida da área da parte amarela da figura abaixo? (Use π = 3,14) Obs.: O retângulo tem como medidas 7,2 cm por 9,6 cm.
a) 43,92 cm² b) 69,12 cm² c) 113,04 cm² d) 182,16 cm²
Exercícios dissertativos
1) Considerando que uma pizza tradicional grande possui 35 cm de raio e uma pizza tradicional pequena apresenta 25 cm, qual é a diferença entre a área das duas pizzas? (Use: 𝜋 = 3,14)
2) Um atleta treina em uma pista de atletismo que tem a forma circular e seu diâmetro mede 80 m. Quantos metros, aproximadamente, ele percorre se der 50 voltas nessa pista? (Use: 𝜋 = 3,14)
3) (Prefeitura de Bombinhas – SC). Quantas voltas dá uma roda de 20 cm de raio para percorrer 7536 metros? (Use: 𝜋 = 3,14)
4) Se a corda em que o cavalo está amarrado mede 4,35m, aproximadamente quantos metros tem o cercado? (Use: 𝜋 = 3,14)
5) Laura cultiva flores em um canteiro com formato de semicírculo, cujo diâmetro mede 16 m. Qual é a medida da área ocupada por esse canteiro? (Use: 𝜋 = 3,14)
