FORMAÇÃO DO PEDAGOGO: ENSINO E
APRENDIZAGEM DO CAMPO ADITIVO
Ana Maria Carneiro Abrahão Unirio – Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro anaabrahao@edmat.com.br
Amanda Francez Viegas Serra Unirio - Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro amandafrancez94@gmail.com
Resumo:
Esse trabalho foi desenvolvido com a participação de duas turmas da disciplina Matemática do Curso de Pedagogia da Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro, Unirio. Teve por objetivo ampliar e aprimorar o entendimento e a complexidade do conceito de ambientes de aprendizagem do campo aditivo na formação profissional do pedagogo e assim, auxiliar na constituição de conteúdos conceituais e didático-metodológicos. A partir dos estudos de ambientes de aprendizagem de Skovsmose e do campo conceitual aditivo de Gèrard Vergnaud, estabelecemos critérios de análise de atividades curriculares extraídas de livros didáticos, criadas pelos estudantes ou oriundas da observação da prática pedagógica em escolas do Ensino Fundamental. Todo esse processo seguiu orientação teórica dialógico-crítica sob a ótica de Paulo Freire e Ole Skovsmose. Os resultados apontaram que as operações aditivas ainda são trabalhadas com base na memorização em detrimento de cenários investigativos que podem proporcionar autonomia na contagem de coleções, na comparação, na quantificação de grandezas e na escolha de estratégias de resolução de situações aditivas. As conclusões levaram à produção de dois cadernos que sintetizam algumas reflexões sobre o ensino e a aprendizagem do Sistema de Numeração Decimal e sobre as ideias principais do campo aditivo. Esse estudo recebeu Honra ao Mérito na Semana de Integração Acadêmica 2017.
Palavras-chave: campo aditivo; ambientes de aprendizagem; formação do pedagogo.
1. Introdução
O estudo aqui relatado foi desenvolvido com um quantitativo de 50 alunos de duas turmas da disciplina “Matemática na Educação II”, componente curricular do 7º. período do Curso de Pedagogia da Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro, UNIRIO, nos turnos vespertino e noturno em 2017.1. Esse trabalho está vinculado ao Projeto de Pesquisa “Ambientes de Ensino e Aprendizagem Matemática e a Docência
nos Anos Iniciais e na Educação Infantil” do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática, EDMAT, do curso de Pedagogia da UNIRIO. Tal projeto foi criado a partir da identificação da ausência de atividades investigativas nas atividades realizadas por professores dos anos iniciais e também por pedagogos em formação. Sentíamos falta de atividades que pudessem aguçar o interesse, a criatividade e o espírito investigativo dos estudantes.
O ensino de matemática, que temos observado, continua baseado exclusivamente na reprodução da estrutura hierárquica dos conteúdos curriculares, com atividades práticas de resolução de exercícios e de problemas repetitivos, cujo objetivo é aplicar os conteúdos teóricos estudados. A educação matemática que defendemos, entretanto, procura desenvolver a articulação dos conteúdos curriculares conceituais, didáticos e metodológicos com base na análise curricular vigente, mas procurando resgatar o apreço por estudar, aprender e ensinar matemática. Mais do que isso, procurando desenvolver o espírito crítico e avaliativo no processo de formação docente e na constituição do conhecimento matemático para a docência. Alguns teóricos foram referência nesse estudo e na busca por essa articulação.
Vygotsky (1995) e Vergnaud (1990, 2009) foram referencias para se discutir a significação conceitual das atividades e Paulo Freire (2002) e Ole Skovsmose (2000) para se pensar na educação matemática crítica ao se tentar responder a questão: Que tipos de atividades matemáticas favorecem ambientes de aprendizagem significativa no campo aditivo aos pedagogos em formação?
Vergnaud (1990) defende que as operações aritméticas devem ser trabalhadas dentro de um mesmo campo conceitual, assim as estruturas aditivas do campo aditivo sugerem que a adição e a subtração sejam trabalhadas simultaneamente. O campo conceitual das estruturas aditivas refere-se ao conjunto de problemas cuja solução implica exploração da adição e da subtração com diferentes graus de complexidade. Segundo Vergnaud (2009, p.86) “o significado de um conceito não vem de uma única situação, mas de uma variedade de situações e, reciprocamente, uma situação não pode ser analisada com um conceito sozinho, mas com vários conceitos, formando sistemas”. Vergnaud (2009, p.197) entende por problemas de tipo aditivo, “todos aqueles cuja solução exige tão somente adições ou subtrações”. Da mesma forma entende por
estruturas aditivas “as estruturas em que as relações em jogo são formadas exclusivamente por adições ou subtrações”. Seus estudos mostram que as diferentes relações aditivas não são habitualmente feitas no ensino básico, mas elas são importantes porque o trabalho cognitivo de cada ideia aditiva varia de caso a caso.
Complementando esse trabalho articulado com as operações inversas, pensamos em Vygotsky (1995) e a reflexão que ele traz sobre a questão da significação, da importância de o aprendizado ter sentido ao estudante. Apesar de não se referir à matemática, o psicólogo David Paul Ausubel, na década de 60, foi um dos primeiros a desenvolver a aprendizagem significativa como uma categoria teórica, diferenciando-a da aprendizagem mecânica. Com base em Ausubel, o físico Moreira (2003) explica que uma aprendizagem é significativa quando novos conhecimentos (conceitos, ideias, proposições, modelos, fórmulas) interagem com conhecimentos especificamente relevantes já existentes na estrutura cognitiva do sujeito que aprende e adquirem significado para o aprendiz. Com isso o sujeito é capaz de explicar e resolver problemas novos. Dentre os fatores para que a aprendizagem significativa aconteça está o esforço deliberado, cognitivo e afetivo do aprendiz para que essa interação aconteça. Se o material de estudo não é potencialmente significativo, não tem significado para o estudante, se não tem relação com a sua estrutura cognitiva, a aprendizagem será mecânica. Para Borssoi e Almeida (2005), uma atividade matemática pode gerar uma aprendizagem significativa se for potencialmente favorável a uma aprendizagem que vá além do conteúdo foco, se permitir interação da nova informação à estrutura conceitual já existente, se o estudante mostrar predisposição e envolvimento na atividade proposta, conseguir elaborar estratégias próprias e construir e manipular representações múltiplas, se aplicar o conhecimento a situações novas e se reter o conhecimento por longo tempo. Diferente da memorização e da aprendizagem mecânica, na aprendizagem significativa os novos conceitos têm memória mais longa na estrutura cognitiva e caso sejam esquecidos, podem ser reativados com mais facilidade. Segundo Moreira (2003), para Ausubel a linguagem é o processo que permite a interação social entre os sujeitos, visto que favorece que professor e aluno compartilhem significados. Daí a contribuição de Vygotsky e a relevância da linguagem para a formação de conceitos.
Que tradução significativa tem para as crianças realizarem inúmeras contas tipo “arme e efetue” ou simplesmente repetir sequências numéricas que nem papagaio? Qual é o papel da mediação no processo de aprendizagem? Como o professor pode ajudar a criança a encontrar caminhos para a significação? Não basta somente ouvir o que o estudante tem a dizer para tentar compreender seu pensamento e poder mediar seu aprendizado. Como diz Vygotsky (2003, p.188) “Para compreender a fala de outrem não basta entender as suas palavras – temos que compreender seu pensamento. Mas nem mesmo isso é suficiente – também é preciso que conheçamos a sua motivação”. Assim, para que a fala, o pensamento e as ideias que nele se articulam fiquem cada vez mais claros, para que os variados significados se articulem no “edifício do sentido”, a mediação tem que estar muito presente. Ofertar várias possibilidades de fazer as estruturas aditivas se fortalecerem e reforçarem suas conexões é papel do professor. Nesse sentido, Vergnaud e Vygotsky se complementam nessa reflexão teórica.
Skovsmose (2000), por sua vez, traz para nossa análise a questão da matemática crítica, que nos anos iniciais é menos visível quando o ensino é baseado em exercícios de cálculo aritmético. Para esse autor, a formação matemática do aluno envolve não somente resolução de exercícios, mas principalmente, situações da vida real, do cotidiano ou que simulam a realidade e que sejam, principalmente, situações que instigam o aluno a adotar uma postura investigativa. A matemática crítica orienta a uma aprendizagem que vai muito além do saber contar e calcular. Envolve o conhecimento e a percepção sobre a sociedade em que vivemos e que nos forma como sujeitos, instigando à uma crítica constante ao papel de cada um, sejam educadores sejam aprendizes.
Mover-se do paradigma do exercício em direcção ao cenário para investigação pode contribuir para o enfraquecimento da autoridade da sala de aula tradicional de matemática e engajar os alunos activamente em seus processos de aprendizagem. Mover-se da referência à matemática pura para a referência à vida real pode resultar em reflexões sobre a matemática e suas aplicações. Minha expectativa é que caminhar entre os diferentes ambientes de aprendizagem pode ser uma forma de engajar os alunos em acção e reflexão e, dessa maneira, dar à educação matemática uma dimensão crítica. (SKOVSMOSE, 2000, p.66)
Na linha da matemática crítica, não poderíamos deixar de articular nosso pensamento com a educação crítica defendida por Paulo Freire. Parte-se da premissa que uma formação crítica deve desenvolver a educação para a liberdade, fundamentada na ação dialógica. Uma educação que conduza alunos e professores a uma maior autonomia e emancipação, onde o tradicional currículo de transferência mecânica e autoritária de conteúdos seja substituído por um currículo enraizado no diálogo baseado na confiança, na criatividade dos estudantes e na capacidade dos professores. Na educação como prática da liberdade, nem o professor e nem o estudante estão desligados do mundo, mas se inserem em um processo de aprendizagem e de investigação crítica e persistente, onde o diálogo é o princípio fundamental para a prática da liberdade, problematização e construção do conhecimento. Não basta, portanto, trazer questões que contemplem contagem de grupos, mas perceber, por exemplo, que ao contar os alunos faltosos na sala procuremos saber porque os mesmos faltaram às aulas e o que podemos fazer para que suas faltas, se não zerarem, pelo menos minimizem. Quantos livros/jogos/tablets precisaríamos para atender a turma toda? Quantos faltam para atender a todos os alunos? Como podemos resolver essa questão? Situações que não fogem dos conteúdos curriculares que devemos trabalhar, mas que podem envolver os alunos em um processo de aprendizagem que associe ao conhecimento conceitual reflexões críticas carregada de significação do cotidiano.
No mundo da História, da cultura, da política, constato não para me adaptar mas para mudar. No próprio mundo físico minha constatação não me leva à impotência [...] Constatando, nos tornamos capazes de intervir na realidade, tarefa incomparavelmente mais complexa e geradora de novos saberes do que simplesmente a de nos adaptar a ela. (FREIRE, p.85-86)
2. Objetivos
As ações da equipe desse projeto, incluindo duas bolsistas, complementaram a busca por alcançar os objetivos de ampliar e aprimorar o entendimento e a complexidade do conceito de ambientes de aprendizagem do campo aditivo na formação profissional do pedagogo e assim, auxiliar na constituição de conteúdos conceituais e didático-metodológicos que fazem parte da formação matemática para a docência nos anos iniciais. O projeto em questão teve por objetivo específico
aprofundar o entendimento do processo de aprender e de ensinar o sistema de numeração decimal e as ações que envolvem o campo aditivo, entretanto, para esse relato priorizamos destacar o estudo com as ideias do campo aditivo.
3. Metodologia
Os pedagogos em formação se organizaram em duplas para realizar algumas tarefas solicitadas, mas uns poucos grupos foram formados com três alunos, particularmente no turno da noite. A pesquisa nos livros didáticos foi realizada em sala de aula, mas as duplas que não conseguiam terminar o trabalho de pesquisa e de análise dos problemas em sala, podiam levar os livros para casa e os devolviam na semana seguinte. O trabalho final, entretanto, que gerou duas apostilas (Figura 10), foi organizado com a participação de duas estudantes bolsistas. Cada relatório de observação da prática realizada nas escolas do Ensino Fundamental foi organizado e redigido individualmente por cada um dos estudantes. Nesses relatórios são abordadas muitas variáveis que podem ser passíveis de análises futuras, mas que não foram foco desse artigo.
Os livros analisados foram escolhidos pelos próprios estudantes a partir de uma série de coleções de livros didáticos de ensino de Matemática disponível no LAMED, sala de aula equipada por docentes do departamento de Didática do curso de Pedagogia da Unirio. Os livros são exemplares de coleções publicados por várias editoras e escritos por autores variados para o Ensino Fundamental I. Alguns estudantes também utilizaram livros adotados em suas escolas ou disponibilizados por professores docentes das escolas nas quais observaram a prática pedagógica. Algumas duplas tiveram dificuldades em encontrar todos os tipos de problemas em uma única obra, então selecionaram mais do que um exemplar para realizar a atividade proposta. As atividades relatadas nesse texto têm seus autores citados nas notas de pé de página e nas referências bibliográficas desse artigo. Iniciamos uma relação dos quantitativos de situações encontradas por ideia, por livro e por ano escolar, mas como os estudantes escolhiam um único problema para cada ideia por livro e as vezes utilizavam mais de um livro, percebemos que não teríamos dados suficientes para fazer uma tabulação
honesta. Eram muitos livros. A proposta era identificar o problema, a ideia e não quantos problemas de cada ideia cada livro apresentava. Optamos, assim, por selecionar, qualitativamente, exemplares de livros didáticos que exibissem as ideias estudadas. Daí as apostilas da Figura 10.
Sob as categorias do campo aditivo de Vergnaud os estudantes buscaram, em livros didáticos, encontrar situações-problemas que contemplavam as ações de
transformação, alteração do estado inicial por meio de uma situação positiva ou
negativa que interfere no resultado final. As ideias de acrescentar, retirar e completar fazem parte dessa categoria. Vergnaud (2009) defende que o significado de transformação envolve uma ação de aumento (transformação aditiva) ou de diminuição (transformação subtrativa) ocorrida a partir do estado inicial da situação estabelecida. O autor afirma que as crianças, mesmo antes da educação formal, já constroem um pensamento intuitivo de adição e de subtração, relacionando espontaneamente o “ganho” e a “perda” vivenciadas em sua rotina diária. O grupo pesquisou em livros didáticos e apresentamos a seguir exemplos que ilustram as operações com Transformação Positiva (Figura 1), a Transformação Negativa (Figura 2) e com o ato de Completar (Figura 3).
Também procuramos encontrar problemas com a ideia de combinação de
medidas, Junção (Figura 4) ou reunião de conjuntos de quantidades pré-estabelecidas.
Nessa ideia não há alteração de um estado inicial, não há transformação. O que há é uma junção de quantidades, reunião de medidas, composição de estados para resultar em um terceiro estado.
Outra ideia procurada nos livros didáticos foi a ideia de comparação, confronto de duas quantidades para achar a diferença. Nesse caso, as quantidades são comparadas entre duas partes (mas pode ser em mais partes), com o objetivo de estabelecer uma relação entre essas partes. Nesse tipo de raciocínio, os valores não se transformam, apenas se estabelece a ideia de uma comparação entre dois (ou mais) estados. Segundo Vergnaud (2009), é difícil a criança discernir as relações existentes entre dois grupos e todas as combinações possíveis de se obter com o significado de comparação (Quem tem mais? Quantos a mais? Onde tem menos? Quantos a menos?). A comparação será exemplificada na Figura 5.
Há ainda a possibilidade de composição de transformações, alterações sucessivas do estado inicial. Vergnaud (2009) afirma que existem situações em que pode ocorrer mais de uma transformação sucessiva, gerando uma composição de transformações. O grupo procurou configurações para quatro ideias: Transformação positiva e positiva, quando a situação gera as ações de “acrescentar” e “acrescentar” (Figura 6); Transformação positiva e negativa, quando ocorre a situação “acrescentar”, seguida de “retirar” (Figura 7); Transformação negativa e positiva, quando a proposta é de “retirar” e a seguir de “acrescentar” (Figura 8); e Transformação negativa e negativa, quando a situação é de “retirar” e “retirar” (Figura 9)
Nesse estudo não apresentaremos as ideias do campo que envolvem estados
relativos, transformação de um estado relativo em outro estado relativo, pois as mesmas
contemplam conteúdo curricular do segundo segmento do Ensino Fundamental. As transformações de estados relativos envolvem operações com números negativos que somente são estudados no programa curricular do 6º. ano. Isso não quer dizer que não possa ocorrer em situações esporádicas de sala de aula, mas não há necessidade curricular de se aprofundar essa ideia nos anos iniciais e não é foco desse trabalho.
Ao buscar em livros didáticos questões que contemplassem as ideias sugeridas por Vergnaud, o grupo procurou identificar, seguindo a análise crítica de Skvosmose, se as atividades se constituíam mais como exercícios ou se envolviam cenários de investigação, se eram dentro da realidade ou de uma pseudo-realidade, se apresentavam questões do cotidiano, mesmo que não fossem da vida real. Muitas vezes se tornava difícil enquadrar em um único tipo ou uma única ideia as diversas atividades investigadas, mas essa reflexão serviu para mostrar como as atividades podem envolver vários conceitos e podem gerar leituras variadas de um mesmo problema. Assim, como podemos exigir que um aluno resolva uma atividade pelo caminho que estamos pensando se a atividade permite leituras e interpretações diversas? Decorrente dessa reflexão, combinamos que os problemas com dúbias interpretações não se constituíam como um bom exemplo para ilustrar com clareza uma ideia do que queríamos didaticamente apresentar. Os exemplos aqui selecionados foram extraídos de livros didáticos, mas durante o processo de análise os estudantes também criaram atividades, particularmente as que não eram encontradas nos livros e também analisaram exercícios
e problemas oriundos da observação da prática pedagógica em escolas do Ensino Fundamental. As atividades foram selecionadas, categorizadas, discutidas e apresentadas em forma de relatórios. A utilização de um Blog criado pela coordenadora do projeto e em constante processo de reformulação também foi explorado no desenvolvimento do estudo.
Vejamos a seguir alguns exemplos das ideias do campo aditivo já comentadas. Nos relatórios os estudantes classificaram as atividades observando as ideias do campo aditivo sugeridas por Vergnaud e os ambientes de aprendizagem que, segundo Skovsmose, poderiam ser gerados por atividades sob o paradigma de exercícios ou sob cenários de investigação. Nesse relato, entretanto, as atividades estarão com foco somente nas categorias sugeridas por Vergnaud. Na composição de transformações, citaremos apenas quatro exemplos de possibilidades, mas essa ideia primária pode ter vários outros desdobramentos que envolvem diferentes combinações de acrescentar e de retirar.
Figura 1: Transformação positiva: ideia de acrescentar1
Figura 2: Transformação negativa: ideia de retirar2
1
Disponível em PASSOS, Marinez Meneghello. De olho no futuro: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: Quinteto Editorial, 2011, p.37
Figura 3: Transformação com a ideia de completar3
Figura 4: Combinação de medidas: Ideia de juntar4
Figura 5: Ideia de comparar5
2 Disponível em BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 3º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2011, p. 90
3 Disponível em BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 3º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2011, p 91
4 Disponível em SOUZA, Maria Helena. Asas para voar: Alfabetização matemática, 3º ano. São Paulo: Ática, 2011, p. 62
5
Disponível em SOUZA, Maria Helena. Asas para voar: Alfabetização matemática, 3º ano. São Paulo: Ática, 2011, p. 87
Figura 6: Composição de transformações: Ideias de acrescentar e acrescentar6
Figura 7: Composição de transformações: Ideias de acrescentar e retirar7
Figura 8: Composição de transformações: Ideias de retirar e acrescentar8
Figura 9: Composição de transformações: Ideias de retirar e retirar9
4. Resultados e discussão
6 Disponível em BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2011, p. 142
7 Disponível em BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 3º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2011, p. 96
8 Disponível em DANTE, Luiz Roberto. Ápis: Matemática, 4º. Ano, 1ª. edição, Sâo Paulo: Ática, 2011, p.139
9 Disponível em BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2011, p. 80
Os resultados desse estudo apontaram que o sistema de numeração é trabalhado nas salas de aula com base em memorização da sequência numérica e sem significação da contagem de coleções, da comparação e quantificação de grandezas, bem como dos variados significados das operações do campo aditivo. Apesar de livros didáticos trazerem atividades desafiadoras, ainda apresentam muitos exercícios de memorização de técnicas de resolução. Tais procedimentos não apresentam cenários de investigação e tampouco favorecem autonomia na escolha de estratégias e caminhos próprios de resolução de situações de juntar, acrescentar, retirar, comparar e completar, ou ainda, de combinação de situações. Ou seja, a prática pedagógica que se baseia exclusivamente em atividades dos livros didáticos não é suficiente para desenvolver um ensino de matemática condizente com uma educação crítica. E essa preocupação com a formação escolar exige que se estude e se investigue a prática docente. Que se invista na formação matemática para a docência nos anos iniciais. Um estudo recém-publicado por Abrahão e Silva (2017) a partir de um mapeamento da pesquisa acadêmica brasileira sobre o professor que ensina matemática revelou que
mesmo com o avanço em estudos sobre teorias didáticas e currículo interdisciplinar e sobre a necessidade de construir conceitos matemáticos desde a infância, as pesquisas revelam que ainda são pouco conhecidas possibilidades para desenvolver efetivamente uma formação matemática dos PEMIE [Professores que Ensinam Matemática no Início da Escolarização]. Os resultados dos estudos implicam que é preciso ter mais pesquisadores nos programas de pós-graduação envolvidos em linhas de pesquisa voltadas para a formação inicial do PEMIE. (ABRAHÃO; SILVA, 2017, p.110)
Confirmamos que é possível avançar, mesmo na graduação, com projetos de ensino, pesquisa e extensão que podem reverter a concepção que os pedagogos em formação têm do “ensinar adição e subtração”. Ao se familiarizarem com novos olhares sobre a teoria e a prática, sobre opções metodológicas e caminhos didáticos variados de pensar matemática, o fazer matemática automaticamente se transforma. Os exemplos acima foram selecionados por alunos da Pedagogia e esses são apenas alguns dos inúmeros exemplos que encontraram. Os que deixaram de encontrar, particularmente os que exigiam cenários de investigação sugeridos por Skovsmose, os próprios estudantes criaram. Essa abordagem mais complexa merece ser apresentada noutro artigo. Estamos trabalhando nisso.
5. Conclusões
Nossos estudos reforçam a importância de se trabalhar o sistema de numeração decimal e as ideias do campo aditivo desde os anos iniciais reafirmando o valor inestimável da formação de professores para a docência matemática no princípio da escolarização. Sugerimos, portanto, que sejam repensados e incentivados projetos de pesquisas, de ensino e de extensão que possam contribuir para a formação docente dos PEMIE.
Entende-se que o sistema de numeração decimal e as ideias do campo aditivo são determinantes na construção dos alicerces para a alfabetização matemática. Como produto prático dos estudos realizados, foram organizadas duas apostilas, dois cadernos articulando teoria e prática (Figura 10) que sintetizam algumas reflexões sobre o projeto desenvolvido. Esse estudo recebeu honra ao mérito na Semana de Integração Acadêmica (SIA 2017) desenvolvida na Unirio, por ter sido reconhecido pela comissão avaliadora como um trabalho relevante para a melhoria e o aprimoramento do Ensino Fundamental.
Figura 10: Apostilas organizadas pelo projeto do grupo EDMAT10
6. Referências
ABRAHÃO, Ana M. C.; SILVA, Sandra A. F. Pesquisas sobre a formação inicial do professor que ensina matemática no princípio da escolarização. Zetetiké, Campinas, n1, v.25, p. 94-116, jan/abr. 2017.
BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2011.
10 Em breve disponibilizadas no site https://edmatunirio.wordpress.com/ do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática - EDMAT
BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 3º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2011.
BORSSOI, A. H.; ALMEIDA, L. M. W. Modelagem Matemática e Aprendizagem Significativa: uma proposta para o estudo de equações diferenciais ordinárias. Educação
Matemática Pesquisa, São Paulo, 6, (2) s/p. 2005.
DANTE, Luiz Roberto. Ápis: Matemática, 4º. Ano, 1ª. edição, Sâo Paulo: Ática, 2011. FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: Saberes necessários à prática educativa. 24ª. Edição. São Paulo: Ed. Paz e Terra, 2002.
MOREIRA, Marco Antonio. Linguagem e aprendizagem significativa. Conferência de encerramento do IV Encontro Internacional sobre Aprendizagem Significativa,
Maragogi, AL, Brasil, 8 a 12 de setembro de 2003.
PASSOS, Marinez Meneghello. De olho no futuro: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: Quinteto Editorial, 2011.
SKOVSMOSE, Ole. Cenários para investigação. Bolema, Rio Claro, nº 14, p. 66-91, 2000.
SOUZA, Maria Helena. Asas para voar: Alfabetização matemática, 3º ano. São Paulo: Ática, 2011.
VERGNAUD, Gerard. La teorie dês Champs Conceptuals. RDM. V10, N23, 1990. VERGNAUD, Gerard. A criança, a Matemática e a realidade. Tradução de: MORO, M. L. F. Curitiba: Editora UFPR, 2009.
VYGOTSKY, Lev S. Obras Escogidas. Tomo III. Madrid: Editorial Pedagógica, 1995. VYGOTSKY, Lev S. Pensamento e Linguagem. 4ª. Tiragem, 2ª. Edição. São Paulo: Martins Fontes, 2003.
