FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

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FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS

ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Comparação de metodologias para a construção da estrutura a termo de taxas de juros (ETTJ) dos títulos públicos brasileiros.

______________________________ Pedro Calmanowitz Carvalho

Orientador: Caio Almeida

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Comparação de metodologias para a construção da estrutura a termo de taxas de juros (ETTJ) dos títulos públicos brasileiros.

Pedro Calmanowitz Carvalho

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Economia

Orientador: Caio Almeida

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Agradecimentos ... 4 Resumo... 5 1. Introdução ... 6 2. Metodologia ... 9 2.1. Modelo básico ... 9 2.2. McCulloch Spline (MS)... 10 2.2.1. Exemplo ... 12

2.3. Spline Pontos Fixos (SPF) ... 14

2.4. Svenson Lambda Fixo (SVLF) ... 17

2.5. Spline Exponencial da Merrill Lynch (SEML) ... 20

2.6. Testes estatísticos ... 21 3. Resultados Empíricos ... 23 3.1. Base de dados ... 23 3.2. Resultados ... 23 4. Conclusão ... 29 5. Bibliografia ... 31 6. Gráficos ... 33

Gráfico 1: Movimentos da ETTJ sob o modelo SVLF para um dia específico (Cross Section)... 33

Gráfico 2: Parâmetros do Svenson Lambda Fixo ao longo do tempo (curva prefixada)... 33

Gráfico 3: Parâmetros do Svenson Lambda Fixo ao longo do tempo (curva IPCA).. 34

Gráfico 4: Parâmetros do Svenson Lambda Fixo ao longo do tempo (curva IGPM). 34 Gráfico 5: Curvas prefixadas – 27/jul/2007 ... 35

Gráfico 6: Curvas IPCA – 27/jul/2007... 35

Gráfico 7: Curvas IGPM – 27/jul/2007... 36

Gráfico 8: Curvas prefixadas – 10/jan/2007... 36

Gráfico 9: Curvas IPCA – 10/jan/2007 ... 37

Gráfico 10: Curvas IGPM – 10/jan/2007 ... 37

Gráfico 11: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – LTN 07/2007... 38

Gráfico 12: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – LTN 01/2009... 38

Gráfico 13: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNF 01/2010 ... 39

Gráfico 14: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNF 01/2014 ... 39

Gráfico 15: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNB 08/2008... 40

Gráfico 18: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNC 04/2008... 41

Gráfico 19: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNC 03/2011... 42

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Agradecimentos

A todos os meus professores, os quais ajudaram em minha formação pessoal. Ao meu orientador, Caio, por ter me incentivado e ajudado em todas as fases desta dissertação.

À ANDIMA e sua equipe, pelos preciosos dados sobre títulos públicos no Brasil e pelas sugestões sobre a dissertação.

À minha família pelo apoio incondicional que sempre tive. Ao Bruno e o Axel pelas frutíferas discussões sobre o tema. À Mariana, minha inspiração.

E a todos os que de alguma forma me ajudaram para que esta dissertação se realizasse.

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Resumo

Este trabalho tem como objetivo construir estruturas a termo da taxa de juros de títulos públicos brasileiros através do uso de modelos estatísticos paramétricos. Estudou-se a capacidade de ajuste de modelos distintos do tipo “splines” e “exponenciais” através de testes de apreçamento de diferentes títulos públicos (prefixados, e indexados à inflação), sob métricas que incluem análises dentro e fora da amostra utilizada no processo de estimação dos modelos. Identificamos que os modelos baseados em funções exponenciais se sobressaem nos testes e parecem ser os mais adequados para construção destas curvas de juros de títulos públicos brasileiros.

Vislumbramos os resultados deste estudo como um primeiro passo para a criação de uma importante ferramenta de auxílio à regulação dos mercados de títulos públicos brasileiros, pois a construção de curvas de juros adequadas possibilita uma marcação a mercado de cada título coerente com o preço dos demais, oferecendo melhora na capacidade de se estimar regiões de confiança para preços futuros destes títulos.

Palavras-Chave: taxa de juros – estrutura a termo da taxa de juros – renda fixa – títulos públicos.

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1. Introdução

A estrutura a termo da taxa de juros (ETTJ) é uma curva ou função que associa uma taxa de juros única para cada maturidade, inclusive aquelas em que não há nenhum título vencendo na data, sendo importante para análise do mercado de títulos de renda fixa.

O principal objetivo deste trabalho será o de identificar uma metodologia única de construção da ETTJ que sirva para analisar os títulos públicos federais com maior relevância no mercado brasileiro. Espera-se que, com esta metodologia, entidades auto-reguladoras, bancos centrais e outras instituições do mercado financeiro possam ampliar a gama de parâmetros para avaliar, por exemplo, a volatilidade esperada de um título específico no mercado1 ou avaliar a inflação implícita contida nos preços negociados.

Quem primeiro estudou uma metodologia de construção da ETTJ foi McCulloch (1971, 1975), o qual tentou construir esta curva via função desconto. A vantagem desta modelagem inicial era a de que os parâmetros apareciam linearmente no modelo de estimação.

Outro grupo passou a tentar estimar a ETTJ por modelos estatísticos não-lineares, modelando diretamente a taxa de juros, e não mais a função desconto. Dentro desta categoria podemos citar os modelos exponenciais (Nelson e Siegel (1971), Svenson (1984), Bolder e Gusba (2002), e outros), os modelos polinomiais (Chambers e outros (1984), Almeida e outros (1998)) e até funções diferentes como as senóides presentes em Bolder e Stréliski (1999).

Esta classe de modelos de modelos estatísticos não lineares mostrou bastante útil para a análise e precificação de títulos de renda fixa, especialmente o modelo exponencial proposto por Nelson e Siegel (1971) e expandido por Svenson (1994), que passou a ganhar grande relevância na literatura internacional pois seus parâmetros podem ser entendidos como rotações dos movimentos da curva obtidos por Litterman e Scheinkman (1991) sendo também bons previsores da taxa de juros futura (ver Diebold e Li (2006)). Estes parâmetros podem ainda ser comparados com variáveis

1

Se pudermos prever a volatilidade de um título de renda fixa para um dia específico, poderíamos saber qual o intervalo de preços que em que este título deveria teoricamente oscilar. Esta informação pode ser interessante para fins de regulação ou auto regulação do mercado, dado que poderíamos saber de maneira um pouco mais científica, quais são as operações ou negociações suspeitas no mercado, mesmo para títulos que não tivessem quase liquidez.

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macroeconômicas, fazendo com que este modelo seja útil na tomada de decisões sobre política monetária, sendo muito utilizado por bancos centrais do mundo todo, tal como mostrado no trabalho nº. 25 do BIS (2005). Para o caso brasileiro, Almeida e outros (2007) mostram que a previsão de taxas futuras na curva de DI também é boa para este modelo, ficando ainda melhor com a inclusão de um fator exponencial adicional2.

Como visto acima, existe uma enorme gama de metodologias para a construção da ETTJ. Estas metodologias já foram testadas e comparadas por diversos pesquisadores para dados dos EUA. Porém, pouca pesquisa foi realizada para dados de economias emergentes, aonde os problemas de falta de liquidez e alta volatilidade das taxas são mais agudos.

O objetivo deste trabalho foi o de testar os modelos mais relevantes da literatura internacional para a construção de curvas de títulos públicos brasileiros. Adotamos títulos prefixados como sempre foi feito, bem como títulos indexados à inflação, os quais já são relevantes para a economia brasileira há alguns anos.

O primeiro modelo testado foi o exponencial, baseado no trabalho de Svenson (1994). A segunda metodologia testada foi o modelo exponencial da função desconto, proposto pela Merrill Lynch e aplicado pelo banco central do Canadá. As outras duas metodologias são modificações do modelo proposto por McCulloch.

Para compará-las utilizou-se as métricas propostas por Bliss (1996). Estes testes além de darem importância ao erro dentro da amostra (“in-sample tests”), estimam também os erros cometidos fora da amostra (“out-of-sample tests”).

Depois disto, foram feitos testes para saber se os erros são ou não ruídos brancos (“white noise”), mostrando possíveis problemas desta classe de modelos tais como variáveis omitidas ou métodos de estimação pouco robustos para os parâmetros dos modelos.

Acreditamos que a construção destas curvas de títulos públicos e os testes dos diferentes modelos propostos possam ser um primeiro passo para a obtenção de melhores mecanismos de regulação do mercado interno de títulos públicos brasileiros. Por exemplo, uma vez conhecida a ETTJ a marcação a mercado de cada título será coerente com o preço dos demais. Além disso, testes de previsões de taxas e volatilidades de taxas futuras podem ser realizados, indicando regiões ou intervalos para aceitação de preços marcados por entidades financeiras participantes do mercado.

2

Pooter (2007) mostra que o modelo com um quarto fator também melhora a performance da previsão de taxas futuras para títulos Americanos.

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Esta tese foi dividida da seguinte forma: a seção 2.1 apresenta o modelo básico utilizado. Nas seções 2.2 a 2.5 são descritas com detalhes as metodologias de construção da ETTJ adotadas nesta tese. Depois, na seção 2.6 mostra-se como foram feitos os testes para comparação das metodologias e da existência ou não de variáveis omitidas no período analisado. A seção 3 mostra os principais resultados empíricos encontrados e a seção 4 as principais conclusões do trabalho.

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2. Metodologia

2.1. Modelo básico

A premissa básica para estimação de todas as curvas de juros que virão a seguir é a de que o preço de um título de renda fixa é igual ao fluxo de caixa futuro prometido pelo emissor, trazido a valor presente por uma função desconto3. Assim,

. t i, , k ) (T b F ) (T b F ... ) (T b F ) (T b F P t i, i j j i, t t j, i, t i, K i, t t Ki, i, i,2 t t i,2, i,1 t t i,1, t i, i ∀ + = = + + + + =

∑

= ε ε 1 (2.1.1)

Em que Fi,j,té o j-ésimo pagamento (cupom e/ou amortização) do i-ésimo título

na data t,

j i,

T é o prazo em que ocorre o pagamento j do i-ésimo título,

i

K é o numero de pagamentos do título i, t

i,

P é o preço do i-ésimo título na data t, t

i,

ε é o erro cometido pelo modelo para o título i na data t e )

(T

b_t _i,_j é a função desconto da data t para a maturidadeT . i,j

Esta função desconto pode também ser escrita como função da taxa de juros “zero cupom” ou ETTJ para a data t - rt(Ti,j). Neste caso,

(

)

Ti,j j i, t j i, t (T r 1 1 ) (T b ) + = se r(Ti,j) for discreta ou (2.1.2) j i, j i, t(T T r -j i, t

(T

)

e

b

=

)* se r(T_i,_j) for contínua. (2.1.3) 3

Como estamos tratando de títulos de um mesmo emissor (o governo federal), o risco de crédito é o mesmo para todos os títulos e por isto ele já está incorporado nos juros.

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Um ponto importante a ser ressaltado sobre os modelos apresentados a seguir é que eles são sempre reestimados a cada data analisada e que os parâmetros da data anterior não influenciam em nada a estimação dos parâmetros na data atual. Com isso, e para diminuir a notação, não foi colocado o subescrito do tempo nas nomeclaturas matemáticas, ficando subentendido que estamos sempre avaliando o modelo na data t.

2.2. McCulloch Spline (MS)

Este modelo, chamado nesta tese de “McCulloch Spline” (MS), fará uma interpolação da função desconto e não da taxa de juros ou do preço dos ativos diretamente, que normalmente são mais usados no mercado. Isto foi feito pois, modelando a função desconto, podemos chegar a equações lineares o que facilita a solução do sistema de preços e restrições. Esta metodologia foi proposta inicialmente por McCulloch (1971 e 1975).

Neste primeiro modelo o preço de cada título gerado pela curva será igual àquele do mercado4, ou seja, o erroε da equação (2.1.1) será zero para todo i e i,t

todo t. Neste modelo, a função descontob(T)será modelada como sendo um conjunto de M polinômios. Em termos matemáticos temos:

M 1,..., m e T T T p/ T d T c T b a (T) b_m = _m + _m + _m 2 + _m 3 _m_-₁ < ≤ _m = (2.2.1)

Aonde a_m, b_m, c_me d_m são constantes para cada um dos M polinômios. Assim, podemos reescrever o preço do título como sendo:

4

Dado que os preços de mercado podem não ser os preços “verdadeiros” do título devido a prêmios por liquidez, por exemplo, não necessariamente cometer erro zero sobre os preços de mercado será uma característica positiva do modelo, já que ele incorporará estes erros.

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) T d T c T b (a k k F ... ) T d T c T b (a k F ) (T b k k F ... k ) (T b F P 3 j i, 2 j i, j i, M i, -1 M i, j i, 3 j i, 2 j i, j i, i,1 j i, j i, M M i, -1 M i, j i, i j i, 1 j i, i M M M M 1 1 1 1 + + + + + + + + = = + + =

∑

= = = = j j j j 1 1 (2.2.2)

Em que ki,m −ki,m-1 é o número de pagamentos que está dentro do intervalo de

tempo entre T_m_-₁ e T_m.

Além disso, estes polinômios serão ligados de tal maneira que, nos pontos de junção ou nós o polinômio anterior será igual ao polinômio posterior e terá a primeira e a segunda derivadas iguais, ou seja,

T

d

T

c

T

b

a

T

d

T

c

T

b

a

_m_-₁

+

_m_-₁ _m_-₁

+

_m_-₁ _m2_-₁

+

_m_-₁ _m3_-₁

=

_m

+

_m _m_-₁

+

_m _m2_-₁

+

_m _m3_-₁

T

d

3 T

c

2 b

T

3d

T

c

2 b

2 1 -m 1 -m 2 1 -m 1 -m m-1 m m m 1 -m 1 -m

+

=

+

e M 1,..., m p/ T d 6 c 2 T 6d c 2 _m_-₁ + _m_-₁ _m_-₁ = _m + _m _m_-₁ =

Precisamos ainda de uma condição inicial e terminal para esta curva. A condição inicial mais usada é a de que a função desconto tenha valor 1 no tempo zero, ou seja, que 1 real hoje valha 1 real.

1 a (0) b₁ = ₁ =

A última condição é a de que a segunda derivada seja zero no ponto terminal da curva de desconto. Esta condição serve para que não haja oscilações muito grandes na parte final da curva.

0 T

6d

c

2 T

))

(T

(b

M M M 2 M M 2

=

+

=

∂

Dado que este é um modelo que têm por restrição construir uma ETTJ que retorne exatamente os mesmos preços daqueles observados no mercado, precisamos ter o mesmo número de equações e de incógnitas.

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Para que isto ocorra, precisamos ter N-1 polinômios, sendo N o número de títulos usado para a construção da ETTJ.

Precisamos de N-1 polinômios, pois, com dois títulos, ou seja, quando N=2, temos 2 restrições de preços e 2 restrições devido à condição inicial e final da curva. Dado que, para cada polinômio precisamos estimar quatro parâmetros, temos o mesmo número de equações e de incógnitas. A partir daí, cada título adicionado gerará uma nova restrição5. Adicionando mais um polinômio, este criará 3 novas restrições no nó intermediário6 . Como cada polinômio a mais implicam mais 4 parâmetros, continuamos tendo o mesmo número de equações e de incógnitas.

Podemos a partir daí reescrever este sistema de forma matricial. Chamando Q da matriz de parâmetros, o sistema pode ser definido como:

Q * A R =

Em que R é um vetor de tamanho 4*(N-1), A é uma matriz quadrada 4*(N-1) X 4*(N-1) e Q é um vetor 4*(N-1). A solução deste sistema será:

R * A

Q -1

=

Obs.: esta solução só existirá se o posto de A for cheio. Neste caso, isto implica que não podemos utilizar títulos públicos que sejam combinações lineares de outros neste método7.

2.2.1. Exemplo

Abaixo temos um exemplo de como este sistema matricial deve ser escrito, se tivermos 3 títulos, o que implica que temos dois polinômios com junção em T1. Além disso, suponha que os títulos 1 e 2 vencem antes de T1. Assim, na primeira linha de A temos a restrição de que a função desconto seja 1 no tempo 0, nas três linhas seguintes

5

Igualdade entre o preço e o fluxo de caixa trazido a valor presente 6

Igualdade com o polinômio anterior e igualdades na primeira e na segunda derivada 7

Para o caso brasileiro, quando uma NTNF (título prefixado que paga cupons intermediário) fica próxima de seu vencimento ela pode ser replicada por uma combinação linear de LTNs (título prefixado sem pagamento de cupons intermediários), pois as LTNs vencem no mesmo dia em que existem pagamentos de cupons e do principal desta NTNF.

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temos as restrições de que os preços sejam iguais aos seus fluxos de caixa descontados, nas linhas 5, 6 e 7 temos a restrição de que os dois polinômios devem passar pelo mesmo ponto em T1, terem a mesma derivada e a mesma segunda derivada respectivamente e na última linha temos a restrição de que a segunda derivada seja zero no ponto terminal.                                                               =                          

∑

= = = = = = = = = = = = = = = = 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 1 3 j 3, 3,2 3,1 j 3, 2 j 3, 3,2 3,1 j 3, j 3, 3,2 3,1 j 3, 3,2 3,1 j i, 3 j i, 3,1 1 j i, 2 j 3, 3,1 1 j 3, j 3, 3,1 1 j 3, 3,1 1 j 3, 3 j 2, 2,1 1 j 2, 2 j 2, 2,1 1 j 2, j 2, 2,1 1 j 2, 2,1 1 j 2, 3 j 1, 1,1 1 j 1, 2 j 1, 1,1 1 j 1, j 1, 1,1 1 j 1, 1,1 1 j 1, 3 2 1 d c b a d c b a * 6T 2 0 0 0 0 0 0 6T -2 -0 0 6T 2 0 0 3T -2T -1 -0 3T 2T 1 0 T -T -T -1 -T T T 1 T k k F T k k F T k k F k k F T k F T k F T k F k F 0 0 0 0 T k F T k F T k F k F 0 0 0 0 T k F T k F T k F k F 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 P P P 1 j j j j j j j j j j j j j j j j

A partir daí, basta construir a função desconto usando a definição dada anteriormente: 1 3 1 2 1 1 1 1(T) a b T c T d T p/ 0 T T b = + + + < ≤ 2 1 3 2 2 2 2 2 2(T) a b T c T d T p/ T T T b = + + + < ≤

E depois transformá-la em curva de juros pela fórmula abaixo:

2 T 1

T

0 p/

1 -b(T)

1 i(T)

_

<

≤











=

Uma questão importante a ser ressaltada é que, já que os nós não são fixos ao longo do tempo, os parâmetros deste modelo não têm nenhuma interpretação intertemporal, servindo apenas para a construção da curva na data de análise.

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2.3. Spline Pontos Fixos (SPF)

Este método é muito parecido com o anterior, mas com a diferença de que teremos agora um número maior de títulos do que de parâmetros livres, pois os nós utilizados serão fixos8, não dependendo, portanto, do número de títulos utilizados na análise. Neste caso, será utilizado um processo de minimização quadrática ponderada dos erros (WLS), para que se chegue à solução do sistema.

A vantagem deste e dos outros métodos apresentados a seguir sobre o McCulloch Spline (MS) é o de poderem utilizar toda a informação disponível para a construção da ETTJ9, além de se criar uma curva mais suave do que a anterior, principalmente no caso de existirem títulos com taxas muito discrepantes. Ou seja, a partir deste, nenhum modelo acertará todos os preços existentes no mercado.

Utilizando a mesma notação que na metodologia anterior, a função desconto definida anteriormente para o MS em (2.2.1) se transformará em:

M ,..., 1 m p/ e T T T p/ ) T d T c T b (a * αT) exp( (T) b m-1 m 3 m 2 m m m m = − + + + < ≤ = (2.3.1)

Aonde α é uma constante que servirá para todos os intervalos.

Na equação (2.3.1) percebe-se que foi introduzida uma exponencial em relação à (2.2.1). Isto foi motivado pelo fato de que existe certa intuição econômica de que a função desconto tenha um formato exponencial, tal como mostrado em Vasicek e Fong (1982).

Além disso, com este formato de função desconto, podemos entender α como sendo uma taxa de juros “zero cupom” (em tempo contínuo) média para o título de vencimento mais longo (taxa de longo prazo) e os polinômios modelariam desvios em relação a esta taxa em cada um dos intervalos selecionados.

Assim, as restrições do processo de minimização passam a ser:

8

Os intervalos usados nesta tese foram: Curva prefixada: 0,5; 1; 2 e 4,75 anos. Curva IPCA: 1, 4, 10, 21 anos. Curva IGPM: 1,3 e 12 anos.

Eles foram escolhidos de forma ad hoc, dentro de um intervalo razoável, pois fazendo pequenas variações nestes parâmetros de escala o erro quadrático médio cometido pelo modelo variava muito pouco.

9

Neste caso não precisaremos excluir as NTNFs mais curtas como citado anteriormente (nota de rodapé nº 7).

(16)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

) (

)

( )

(

)

(

)

(

)

( ) (

) (

)

(2.3.9) 1 T d T c b a ) (T b (2.3.8) 0 T 3d T c 2 b T ) (T b (2.3.7) 0 T 6d c 2 T ) (T b (2.3.6) 1 a (0) b (2.3.5) M 1,..., m p/ 6T T * 6α -T α d 2 T * 4α -T α c 2α -T α b α a ... ... 6T T * 6α -T α d 2 T * 4α -T α c 2α -T α b α a (2.3.4) M 1,..., m p/ αT -3T d αT -2T c αT -1 b α -a ... ... αT -3T d αT -2T c αT -1 b α -a (2.3.3) M 1,..., m p/ ... .... T d T c T b a T d T c T b a S.a. (2.3.2) ) ) (T b k k F ... k ) (T b F -(P W Min 3 M M 2 M M M M M M 2 M M M M M M M M M M 2 M M 2 1 1 . . . . . . 1 -m 2 1 -m 3 1 -m 2 m 1 -m 2 1 -m 2 m 1 -m 2 m 2 m 1 -m 2 1 -m 3 1 -m 2 1 -m 1 -m 2 1 -m 2 1 -m 1 -m 2 1 -m 2 1 -m . . . . . . 3 1 -m 2 1 -m m 2 1 -m 1 -m m 1 -m m m 3 1 -m 2 1 -m 1 -m 2 1 -m 1 -m 1 -m 1 -m 1 -m 1 -m 3 1 -m m 2 1 -m m 1 -m m m 3 1 -m 1 -m 2 1 -m 1 -m 1 -m 1 -m 1 -m N 1 2 j i, M M i, 1 -M i, j i, i 1 j i, 1 j i, i i = + + + = = + + = ∂ ∂ = + = ∂ ∂ = = = + + + + + = = + + + + + = + + + = = + + + = + + + = + + + + +

∑

= = ₌ i j _j

Em que F é o j-ésimo pagamento (cupom e/ou amortização) do i-ésimo título, _i,_j

j i,

T é o prazo em que ocorre o pagamento j do i-ésimo título,

1 -m i, m i, k

k ₋ é o número de pagamentos que está dentro do intervalo de tempo entre T_m_-₁ e T_m,

i

P é o preço do i-ésimo título, )

b(T_i,_j é a função desconto para o prazo,

m

a , b_m, c_me d_m são constantes para cada um dos M polinômios e

i

(17)

Este sistema de equações é similar ao MS. Na equação (2.3.2) é utilizado o inverso da duration como ponderador (Wi), para que os erros em termos de taxas sejam homoscedásticos. Sem esta ponderação, a variância do erro nas taxas longas seria bem menor do que na parte curta da ETTJ. As equações (2.3.3), (2.3.4) e (2.3.5) fazem com que, respectivamente, a função desconto, a primeira derivada e a segunda derivada sejam iguais em cada nó ou junção. A equação (2.3.6) força a função desconto a começar em 1 e as equações (2.3.7), (2.3.8) e (2.3.9) fazem com que a taxa de longo prazo na curva seja constante, pois força o modelo a não ter mais variações em relação à

αT)

exp(− (o polinômio tem valor um no nó terminal), acabando com o problema de extrapolação da taxa para modelos que utilizam a metodologia de Splines na função desconto. Uma restrição importante deste modelo é a de que o número de polinômios (M) tem que ser menor do que o número de ativos (N), para o problema ficar bem definido.

Assim como no caso anterior, este problema também pode ser escrito da forma matricial mostrada abaixo:

C C C C Q QQ Q **** H H H H ₌ S.a. Min (P- A*Q)'W(P- A*Q) Sendo:

A uma matriz de tamanho N por 4*M, que contém o somatório dos fluxos de

pagamentos dos títulos públicos, definido da mesma forma que na matriz do exemplo 2.2.1 nas linhas 2, 3 e 4.

P é um vetor coluna de tamanho N por 1 com os preços dos títulos públicos. Q é um vetor coluna de tamanho 4*M por 1 que contém os parâmetros que

queremos estimar, com exceção do α.

H é uma matriz 3*(M-1)+4 por 4*M, a qual define, junto com C as restrições de

igualdades da função, da primeira e segunda derivadas nos nós e tem a primeira linha e a última linha definindo as condições de contorno.

Podemos reescrever este sistema para utilizar o método WLS (mínimos quadrados ponderados) com restrições. Assim, o problema anterior fica definido da seguinte forma:

(18)

2222 2222 2222 ****QQQQ CCCC H H H H ₌ S.a. Min Q₂'ωQ₂ Sendo _      ≡ WA A' WP A' -WA P' WP P' ω , _      ≡ Q Q₂ 1 , _      ≡ C C₂ 1 e       ≡ H 0 0 H₂ ˆ ˆ 1

Em que P, A, Q, H e C são definidos como anteriormente e 0ˆ é uma matriz de zeros conformável para fazer com que a matriz H esteja bem definida. ₂

Esta minimização funcionará bem para um α fixo. Como não sabemos qual o α ótimo, é feito um grid de alphas10 e então é escolhido aquele que minimiza a soma ponderada dos erros dos preços ao quadrado, para cada data de análise.

2.4. Svenson Lambda Fixo (SVLF)

O método utilizado por este trabalho é baseado no modelo proposto por Svenson (1994), o qual é uma extensão do modelo de Nelson e Siegel (1971).

Em seu trabalho, Nelson e Siegel (1971) definem a taxa forward pela seguinte equação: τ -λ t t τ -λ t t t t t

τ

_e

e

τ

β

λ

3 2 1

)

(

=

+

f

(2.4.1) Ou seja, a taxa forward é modelada como sendo um polinômio multiplicado por um decaimento exponencial. A taxa zero correspondente seria então:













−

+













+

=

-λτ t τ -λ t t τ -λ t t t t t t

e

τ

λ

e

-1

τ

λ

e

-1

τ

3 2 1

)

(

β

r

(2.4.2) 10

Com os valores oscilando dentro de valores plausíveis para a taxa, tais como um intervalo para taxas prefixadas entre 8% e 21% para os anos de 2005, 2006 e 2007 no Brasil.

(19)

Diebold e Li (2006) em seu trabalho utiliza o modelo de três fatores (com lambda fixo) para tentar estimar a taxa de juros futura e prova que esta estimação é melhor do que o passeio aleatório. Além disso, eles mostram que cada parâmetro desta equação tem uma interpretação geométrica11.

Assim, o λ controla a taxa de decaimento exponencial, ou seja, quanto menor _t (maior) o parâmetro, mais lento (rápido) será o decaimento e melhor será a adequação da curva para a parte longa (curta) da ETTJ. Além disso, λ determina onde a carga de _t

t 3

β atinge seu máximo.

Os outros 3 parâmetros podem ser entendidos como sendo rotações dos fatores da análise de componentes principais feita por Litterman e Scheinkman (1991). Ou seja,

t 1

β , β e 2t β teriam a interpretação respectivamente dos fatores de nível, inclinação e 3t

curvatura da ETTJ. Um exemplo do que seriam estes fatores está mostrado na figura 112. Outra maneira de interpretar estes fatores é considerá-los como modelando os termos de longo, curto e médios prazos, pois quando τ→∞ o único fator que sobra é

t 1

β , o que faz com que este fator governe as taxas de longo prazo. A carga de β que é 2t

igual a

(

1-e-λtτ

)

/λ_tτ_{começa em 1 e cai rapidamente para zero quando}τ_aumenta, mostrando que este fator governa as taxas de curto prazo. Já a carga de β₃_t que é

(

)

-λτ t τ -λ_t _t e τ /λ e

-1 ₋ começa em zero, é crescente no início e depois tende para zero quando τ→∞, fazendo com que este fator governe as taxas de médio prazo.

A diferença entre o modelo proposto por Nelson e Siegel (1971) e aquele proposto por Svenson (1994) é que em Svenson (1994) foi inserido um quarto fator para modelar a taxa forward. Almeida e outros (2007) e Pooter (2007) mostraram que a inserção de um quarto fator ajuda na modelagem e no poder preditivo deste modelo para curvas de juros no Brasil e nos EUA respectivamente.

Assim, neste trabalho, o modelo estimado será:

τ -λ 2t t 4 τ -λ t t 3 τ -λ t 2 t 1 t 2t t t

τ

_e

τ

_e

e

)

τ

(

=

β

+

β

+

β

λ

+

β

λ

f

(2.4.3)

Em termos de curva zero, a nova fórmula ficará:

11

Diebold e Li (2006) 12

(20)













−

+













−

+













+

=

-λ τ 2t τ -λ t 4 τ λ -t τ -λ t 3 t τ -λ t 2 t 1 t 2t 2t t t t

e

τ

λ

e

-1

e

τ

λ

e

-1

τ

λ

e

-1

)

τ

(

β

r

(2.4.4)

Este quarto termo da equação pode ser entendido como uma curvatura a mais em um modelo de fatores, pois como λt e λ2tdeverão ser diferentes, β3t e β4t terão seus

máximos em pontos diferentes, o que fará com que a ETTJ gerada por este modelo possa se adequar melhor a formatos diferentes da curva de juros.

Dado que já temos um modelo para a taxa de juros “zero cupom” (função (2.4.4)), podemos definir a função desconto como:

(

τ

)

p/

τ

1,...,

T

τ

b

_τ t t

=

+

=

)

(

1

1 )

(

r

(2.4.5)

E, assim como em SPF, o problema de minimização passa a ser a equação (2.4.6) para cada data de análise (t)13:

∑

= = N 1 2 i 1 j i, t j i, i i

)

k

)

(T

b

F

-(P

W

Min

i j (2.4.6)

Um ponto de discussão importante sobre a utilização deste modelo é a de utilizar

t

λ e λ2tfixos em (2.4.4), tal como nos trabalhos de Diebold-Li (2006) ou Almeida e

outros (2007) ou tentar identificar um método para estimar os melhores λ_t e λ_2t para cada data analisada.

Nesta tese serão utilizados lambdas fixos. Com isso, a série temporal dos betas fará sentido, criando um bom modelo para estimação da curva para dias ou meses subseqüentes, mas diminuirá dois graus de liberdade no modelo e criará uma dificuldade, que é a de impor quais são estes parâmetros14. Um exemplo desta série é

13

Assim como em SPF (modelo 3.3), a matriz Wi é preenchida como o inverso da duration do título i. 14

Nesta tese, estimei os lambdas fazendo um grid de parâmetros iniciais e escolhendo aquele que minimizava o somatório do erro quadrático ponderado de todos os títulos (tal como definido em 3.4.6) para todos os dias entre 02/Jan/2007 até 03/Out/2007.

(21)

apresentada nos gráficos 2, 3 e 4, os quais contém as séries temporais dos parâmetros para as curvas prefixada, indexada ao IPCA e indexada ao IGPM respectivamente.

Em seu trabalho, Diebold-Li (2006) fixa λ_t como sendo 0,730815, o que implica que o valor máximo da curvatura ocorre aos 30 meses ou 2,45 anos. Almeida e outros (2007), fazendo a análise da curva de DI utilizam o λ_t como sendo 3,58 e λ_2tsendo 7,16, o que implica que seus máximos estarão em 0,5 e 0,25 anos respectivamente.

Abaixo segue a tabela com os valores usados para cada curva no modelo SVLF e em parênteses estão os valores em anos para os quais a curvatura 1 e a curvatura 2 atingem seus máximos:

Prefixados IPCA IGPM

λt 1,6 (1,12) 1,05 (1,71) 4,1 (0,44)

λ2t 1,13 (1,59) 0,8 (2,24) 0,47 (3,82)

2.5. Spline Exponencial da Merrill Lynch (SEML)

Este método, utilizado pelo banco central do Canadá16 utiliza uma soma de nove exponenciais para modelar a função desconto, tal como mostrado na equação abaixo:

e

β

b(T)

-i T 9 1 i α

∑

=

i (2.5.1)

Nesta tese modelarei a função desconto como sendo a soma de cinco exponenciais, pois temos poucos títulos em cada categoria. Além disso, escolhi a combinação de parâmetros que melhor se adaptava aos dados brasileiros. Com isso, a equação utilizada na tese foi:

e

β

e

β

e

β

e

β

e

β

b(T)

=

₁ -αT

+

₂ -2αT

+

₃ -3αT

+

₈ -8αT

+

₉ -9αT (2.5.2)

Como temos a função desconto, basta substituí-la na equação (2.5.3) para termos um problema de minimização bem definido, para cada data de análise t.

15

Diebold e Li (2006) em seu trabalho utilizam lambda como sendo 0.0609. Porém, a unidade de medida que eles utilizam é mês. Como nesta tese é utilizada base anual, o parâmetro usado por eles equivale a 0.7308 nesta nova base.

16

(22)

∑

= = N 1 2 i 1 j i, t j i, i i

)

k

)

(T

b

F

-(P

W

Min

i j (2.5.3)

Esta minimização é linear se α for fixo. Então o processo utilizado é criar um

grid de alphas e escolher aquele que minimiza (2.5.3). O α escolhido têm a

interpretação de ser a taxa de juros contínua de longo prazo.

Em termos matriciais basta fazer o mesmo processo que no SPF e, assim como naquela metodologia, pode-se colocar restrições em relação à função desconto. Nesta tese, a única restrição sobre a função desconto foi a de que ela começasse em um, o que é o mesmo que restringir que a soma dos betas seja igual a 1.

2.6. Testes estatísticos

O primeiro teste feito é o de comparar o erro dentro da amostra para cada uma das três metodologias17. Tal como visto em Bliss (1996), o erro dentro da amostra pode ser bastante viesado em favor de modelos altamente parametrizados e que fazem um

overfitting da ETTJ.

No nosso caso, o modelo MS terá sempre erro zero em relação aos preços, e nem por isso ele será melhor do que os outros, pois ele pode incorporar problemas, tais como erro de coleta de preços de fechamento ou diferenças nos preços devido à falta de liquidez de um determinado título. Este caso pode ser visto no gráfico 5, aonde a ETTJ vermelha apresenta uma oscilação grande na curva perto de um ano, a qual foi causada por um problema na precificação da LTN com vencimento em outubro de 2008 nesta data.

Após isto, o segundo teste consistirá em organizar os títulos por datas de vencimento e, após isto, escolher aleatoriamente ou todos os títulos pares ou todos os títulos ímpares, os quais serão considerados como “dentro da amostra”. Com estes, serão construídas as ETTJs por cada metodologia. Os títulos que não forem selecionados (“fora da amostra”) serão precificados pela curva construída com os primeiros18. Serão então coletados os erros dos preços dos títulos “fora da amostra”

17

A metodologia MS têm erro zero por definição e pro isso não será incluída nesta comparação. 18

Caso o título com maior maturidade fique no grupo “fora da amostra” este será excluído pois não queremos avaliar a capacidade de extrapolação dos modelos. Para mais detalhes ver Bliss (1996).

(23)

ponderados pelo inverso da duration. Neste teste, o problema da alta parametrização diminui bastante, apesar de não desaparecer, já que dois títulos com vencimentos muito próximos podem conter problemas parecidos na sua precificação, tais como problemas de liquidez ou de diferenças tributárias.

A última bateria de testes feita será a de coletar os erros em termos de cotação19 e testar estes erros para saber se eles têm uma estrutura de autocorrelação20. Se os erros forem aleatórios, ou seja, ruído branco (“white noise”), não haverá autocorrelação dos erros, nem heteroscedasticidade.

Os testes utilizados para estas hipóteses serão os de Ljung-Box-Pierce Q-teste e de Engle’s21 na série de erros. Além disso, será rodado um AR (1) GARCH (1,1) nos erros22, tal como mostrado na equação abaixo:

2 1 2 2 1 1 2 2 1 * * * − − − + + = + + = t t t t t t C Y C Y ε α σ α σ ε β

Sendo: Y a série temporal (os erros das estimações de cada modelo) no tempo t, _t C₂ eC constantes,

σ a variância da série no tempo t, _t2 ε_t o erro da série temporal no tempo t.

Na seção seguinte mostraremos os principais resultados de nossa análise.

19

Cotação é definida como sendo o preço de mercado dividido pelo valor nocional acumulado (VNA). Os erros são dados em termos de cotação para que os erros de títulos com nocionais diferentes possam ser comparados. Este caso é ainda pior quando estamos trabalhando com títulos indexados à inflação em que o nocional é atualizado diariamente.

20

Este teste será feito apenas com os modelos SPF, SVLF e SEML, já que o MS tem erro zero por definição.

21

O teste Ljung-Box-Pierce testa se há autocorrelação de ordem p na série. A hipótese nula é de que não há autocorrelação.

O teste de Engle’s testa se existem na série efeitos GARCH ou heteroscedasticidade. A hipótese nula é de que não há heteroscedasticidade na série.

22

Escolhi o AR(1) GARCH (1,1) por ser o modelo mais simples possível, mas que absorvesse os problemas de autocorrelação e heteroscedasticidade.

(24)

3. Resultados Empíricos

3.1. Base de dados

Para esta tese foram usados os preços indicativos unitários e as taxas internas de retorno divulgadas pela ANDIMA dos títulos públicos federais para o fechamento de cada dia útil23, desde janeiro de 2005 até 03 de outubro de 2007. Só foram considerados os dados dos títulos prefixados (LTNs e NTNFs) e indexados à inflação (NTNBs e NTNCs24)25.

Além disso, foi utilizada a taxa Selic26 e a expectativa de inflação futura para a construção de um título fictício de um dia. Isto foi feito para que tivéssemos parâmetros para a parte curtíssima da curva, já que, dependendo da época e do indexador, o título mais curto tinha mais do que um ano e meio, dificultando a estimação da parte curta da curva de juros.

3.2. Resultados

Nos gráficos de 5 a 10 são mostradas as ETTJs calculadas de acordo com as metodologias citadas anteriormente. Foram escolhidos os dias 10 de janeiro de 2007 e 27 de julho de 2007 por ser um dia normal de negociação e um dia de estresse de mercado (alta volatilidade) respectivamente. Como podemos perceber o MS é o modelo com maiores oscilações da curva, o que é uma característica indesejável para uma ETTJ.

O primeiro teste feito para avaliar as metodologias é calcular o erro quadrático médio dos títulos. Neste caso, os modelos mais parametrizados levam vantagens em relação aos outros. Porém, isto não quer dizer que estes modelos sejam melhores do que os outros, já que estes modelos incorporarão erros cometidos na precificação de determinado título devido à, por exemplo, falta de liquidez do papel. Na tabela abaixo

23

Dia útil é entendido aqui como aqueles que não são fins de semana ou feriados em São Paulo. 24

LTNs são títulos emitidos pelo Tesouro Nacional prefixados que não pagam cupons intermediários. NTNFs são títulos prefixados com cupons intermediários, NTNBs são títulos com cupom indexados ao IPCA e NTNCs títulos indexados ao IGPM.

25

Nos títulos indexados a inflação, a taxa utilizada é a taxa real de juros paga pelo título. Ou seja, estes títulos pagarão no futuro a taxa negociada mais a inflação do período.

26

Taxa Selic é a taxa média ponderada e ajustada das operações de financiamento por um dia, lastreadas em títulos públicos federais e feitas no sistema Selic (sistema de liquidação do Banco Central) ou em câmaras de compensação e liquidação de ativos, na forma de operações compromissadas.

(25)

vemos que o modelo MS não têm erros por ser muito parametrizado, o SEML com cinco parâmetros livres tem o segundo menor erro e os modelos SPF e SVLF com quatro parâmetros livres cada têm erros bastante parecidos.

Tabela com erros quadráticos médios:

Erros * MS SPF SEML SVLF

Títulos Prefixados 0,0000 0,0048 0,0007 0,0010 Títulos indexados ao IPCA 0,0000 0,0133 0,0154 0,0343 Títulos indexados ao IGPM 0,0000 0,0261 0,0258 0,0345

Tabela 1

* Soma dos erros quadráticos médios de todos os títulos governamentais para todos os dias entre 02/01/2005 e 03/10/2007, ponderado pelo inverso da duration.

Nas tabelas a seguir vemos os erros “fora da amostra”, calculado como descrito na seção 3.6. O que podemos perceber nas tabelas abaixo é que, na média, os modelos que têm os menores erros são os modelos exponenciais (tabelas 2, 3, 4 e 5). Isto pode ser visto na comparação modelo a modelo.

O SVLF, por esta metodologia, é sempre melhor do que os modelos derivados dos Splines de McCulloch (SPF e MS), pois em qualquer categoria de títulos e em qualquer subperíodo de tempo ele sempre comete erros menores do que os dois27. Uma das explicações para esta diferença reside no fato de que estes dois modelos tendem a gerar curvas com maiores oscilações que o SVLF, errando mais quando fazemos interpolações.

Na comparação de modelos baseados em exponenciais podemos perceber que eles, para este teste, se equivalem. Para títulos indexados ao IPCA, o SEML consegue erros menores do que o SVLF nos anos de 2006 e 2007, tendo resultados muito parecidos em 2005. Já para os títulos prefixados, o SVLF tem sistematicamente erros menores do que o SEML, não sendo possível, por este critério, dizer qual das duas metodologias é a melhor.

27

Há apenas uma exceção nesta regra que são os títulos indexados ao IPCA no ano de 2006, onde o SPF tem erro menor do que o SVLF. Porém, o erro do SPF nos outros anos mais do que compensa esta diferença.

(26)

Tabelas com erros fora da amostra:

Erros "fora da amostra" * MS SPF SEML SVLF Títulos Prefixados 0,0021 0,003 0,0036 0,0010 Títulos indexados ao IPCA 0,2094 0,6298 0,0879 0,1016

Títulos indexados ao IGPM ** - - -

-Tabela 2

* Soma dos erros quadráticos médios de todos os títulos governamentais não incluídos na amostra utilizada para a construção das curvas, para todos os dias entre 02/01/2005 e 03/10/2007, ponderado pelo inverso da duration.

** Não existiam títulos suficientes para testes com esta classe de ativos.

Erros "fora da amostra" 2005 * MS SPF SEML SVLF Títulos Prefixados 0,0006 0,0023 0,0029 0,0006 Títulos indexados ao IPCA 0,1513 0,6025 0,0736 0,0723

-Tabela 3

* Soma dos erros quadráticos médios de todos os títulos governamentais não incluídos na amostra utilizada para a construção das curvas, para todos os dias úteis de 2005, ponderado pelo inverso da duration.

-Tabela 4

* Soma dos erros quadráticos médios de todos os títulos governamentais não incluídos na amostra utilizada para a construção das curvas, para todos os dias úteis de 2006, ponderado pelo inverso da duration.

-Tabela 5

* Soma dos erros quadráticos médios de todos os títulos governamentais não incluídos na amostra utilizada para a construção das curvas, para todos os dias entre 02/jan/2007 e 03/out/2007, ponderado pelo inverso da duration.

Para o último teste deste trabalho, utilizaremos como insumo o erro cometido pelos modelos, em termos de cotação, para os seguintes modelos: SPF, SEML e

(27)

SVLF28. Foram analisados 10 títulos. Duas LTNs (uma curta e uma com prazo de maturidade um pouco maior), duas NTNFs (uma curta e uma longa), três NTNBs e três NTNCs (uma curta, uma média e uma longa). A série temporal de cada um dos títulos está mostrada nos gráficos de 11 a 2029.

Nos 30 testes de Ljung-Box-Pierce (LBP), todos mostraram que havia alguma correlação serial entre os erros. Todos os testes de Engle (com exceção da NTNF com vencimento em 2014 no modelo SPF) mostraram que havia também heteroscedasticidade dos erros.

Agora, nas tabelas abaixo são mostrados os resultados da regressão da série temporal dos erros (Yt), segundo a seguinte equação:

2 1 2 2 1 1 2 2 1 * * * − − − + + = + + = t t t t t t C Y C Y ε α σ α σ ε β SPF SEML SVLF LTN jul/07 0,8402 0,9497 0,9602 LTN jan/09 0,3968 0,9158 0,8956 NTNF jan/10 0,8888 0,9365 0,9282 NTNF jan/14 -0,0024 * 0,9184 0,7808 NTNB ago/08 0,8803 0,8962 1,0000 ** NTNB ago/24 0,9814 0,9935 0,9677 NTNB ago/45 0,9737 0,9564 0,9949 NTNC abr/08 0,9616 1,0000 ** 0,9796 NTNC mar/11 0,9735 1,0000 ** 0,9927 NTNC jan/31 0,7809 0,8836 0,9911 * Foi testado um AR (2) para este caso, e os parâmetros encontrados foram beta1 = 0,6477 e beta2 = 0,2322, como o teste de Ljung-Box-Pierce foi positivo, isto implica que existe uma estrutura de autocorrelação neste caso também. ** O resultado da regressão não foi 1, mas foi muito próximo disto. Como não utilizei mais do que 4 casas decimais, o parâmetro que aparece é 1.

Vencimento

Título Modelos

Tabela 6 - Parâmetro β

28

O MS não foi incluído na análise pois, por definição, ele não comete erros em relação aos preços de mercado incluídos no modelo.

29

Nestes gráficos há estruturas de erros bastante peculiares, tais como visto no gráfico 18 (erros das NTNCs com vencimento em abril de 2008), o qual parece uma série temporal de uma variável e não uma série temporal de erros, o que evidencia, junto com os testes realizados em seguida, que existem variáveis omitidas nesta classe de modelos.

(28)

SPF SEML SVLF LTN jul/07 0,4510 0,4683 0,5249 LTN jan/09 0,6560 0,5645 0,6785 NTNF jan/10 0,5677 0,5855 0,4236 NTNF jan/14 0,9562 0,6268 0,7654 NTNB ago/08 0,0798 0,2769 0,1627 NTNB ago/24 0,6232 0,7661 0,5956 NTNB ago/45 0,6568 0,5787 0,5526 NTNC abr/08 0,4847 0,4126 0,4348 NTNC mar/11 0,7520 0,5507 0,7426 NTNC jan/31 0,3272 0,2365 0,7849 Tabela 7 - Parâmetro α1 Título Vencimento Modelos

SPF SEML SVLF LTN jul/07 0,5490 0,5317 0,4645 LTN jan/09 0,2645 0,3736 0,2022 NTNF jan/10 0,3937 0,3637 0,5764 NTNF jan/14 0,0086 0,3732 0,1410 NTNB ago/08 0,9202 0,7231 0,8373 NTNB ago/24 0,3297 0,1468 0,4044 NTNB ago/45 0,3432 0,1828 0,4474 NTNC abr/08 0,5153 0,5874 0,5652 NTNC mar/11 0,0987 0,4493 0,1646 NTNC jan/31 0,6728 0,7635 0,1199 Tabela 8 - Parâmetro α2 Título Vencimento Modelos

Na tabela 6 vemos que os parâmetros Beta, do modelo AR(1) foram muito altos e em sua maioria próximos de 1, o que , junto com o resultado do teste LBP, mostra que há forte autocorrelação entre os erros. Na tabela 7 vemos que o parâmetro alpha1 também foi muito alto, mostrando que, junto com o teste de Engle, temos também heteroscedasticidade em todos os títulos e modelos analisados.

Um dos motivos para este padrão dos erros pode ser o problema de variáveis omitidas, já que o preço de um título é definido não só pelo fluxo de caixa trazido à valor presente como também por outros fatores tais como a liquidez do papel, diferenças na tributação30 ou variáveis macroeconômicas.

30

No caso brasileiro, existe uma legislação em vigor que faz com que valha a pena investir em títulos com mais de 2 anos, dado que o imposto é decrescente com o prazo em que se fica com o título, chegando na alíquota mínima em 2 anos. Além disto, fundos de pensão, que são grandes consumidores de títulos públicos federais têm estrutura tributária bastante diferente dos outros agentes da economia.

(29)

Se fossem utilizadas técnicas de painel este problema poderia ser minimizado. Porém, como o objetivo era o de se testar modelos de simples estimação e parcimoniosos, não foram feitas estimações com esta técnica.

(30)

4. Conclusão

Nesta tese mostramos metodologias bastante parcimoniosas e simples de

construção da ETTJ. Dentre estas metodologias, a que apresentou o menor erro quadrático médio foi a MS, pois esta metodologia não comete erros em relação aos preços de mercado.

Porém, este não é um bom parâmetro de comparação, já que modelos muito parametrizados levam vantagens em relação aos outros modelos, sem serem necessariamente melhores do que os outros. Isto é particularmente verdade no caso do MS, onde a parametrização é máxima. Neste caso, os pontos de junção ou nós são variáveis, tirando qualquer interpretação intertemporal de seus parâmetros. Além disso, como este modelo é obrigado a acertar todos os preços do mercado, quando um destes preços apresenta problemas de precificação, a curva ficará distorcida devido a problemas neste título31.

Utilizando o conceito de erros “fora da amostra” (tal como definido em Bliss (1996)) os modelos que performaram melhor foram aqueles baseados em exponenciais, ou seja, o SEML e o SVLF. Estes são os modelos mais utilizados por Bancos Centrais ao redor do mundo.

Para escolher entre o SEML e o SVLF, penso que o SVLF é mais interessante pois seus parâmetros são rotações dos movimentos da ETTJ descobertos por Litterman e Scheinkman (1991) e têm bom poder preditivo para as taxas futuras, assim como mostrado em Diebold e Li (2006) e Pooter (2007) para dados americanos e Almeida e outros (2007) para dados brasileiros.

A última bateria de testes feita mostrou que esta classe de modelos testada, por ser muito simples e parcimoniosa incorre em problemas de autocorrelação e heteroscedasticidade dos erros. Este problema pode ser devido a variáveis omitidas, tais como diferenças de liquidez dos títulos, diferenças de tributação ou variáveis macroeconômicas. Este problema pode ser parcialmente resolvido se fizermos estimações dos parâmetros por técnicas de painel ou se incluirmos parte destas

31

Um exemplo deste caso pode ser visto no gráfico 5, aonde a LTN com vencimento em outubro de 2008, por ter pouca liquidez, não ajustou seu preço no fechamento, tendo preço (ou taxa) muito diferente dos demais títulos. Para poder acertar o preço deste título, a curva construída pelo método do MS foi obrigada a ter um curva a mais que os outros modelos no ponto perto de um ano de maturidade, o que,

(31)

variáveis, tal como feito por Ang e Piazzesi (2003) e Diebold, Rudebusch e Aruoba (2006) que incluem variáveis macroeconômicas no modelo.

Apesar dos problemas citados acima, esta classe de modelos é parcimoniosa, o que a torna bastante interessante para determinadas aplicações tais como estimações de curvas futuras, estimações das volatilidades intradiárias dos títulos de renda fixa (mesmo que estes não tenham tido negócios no período) ou estimação da inflação implícita nos negócios realizados no dia.

Como o modelo exponencial de quatro fatores (SVLF) foi o que apresentou os melhores resultados e seus parâmetros têm boa interpretação este é o modelo indicado por este trabalho, para a construção de ETTJs ou curvas de juros para o mercado brasileiro.

(32)

5. Bibliografia

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6. Gráficos

Gráfico 1: Movimentos da ETTJ sob o modelo SVLF para um dia específico (Cross Section).

Os fatores do modelo Svenson para os movimentos da ETTJ

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 ₁₀,00