70 Quantos litros de água cabem em um cubo de aresta 8 dm? 71 Determine o volume de um cubo cuja diagonal é D m.

p. 31

72

Uma piscina tem as seguintes dimensões: 5 m de largura, 7 m de comprimento e 2 m de profundidade. Qual é a capacidade máxima de água dessa piscina em litros?

71

Determine o volume de um cubo cuja diagonal é D 5 2 3 m.

70

Quantos litros de água cabem em um cubo de aresta 8 dm?

73

Num paralelepípedo retângulo, cada uma das bases é um retângulo em que um lado é o triplo do outro. A altura do prisma é 10 cm e sua área total é 294 cm2_{. Determine o volume.}

512 , 8 m3 70 000 , 270 cm3 10 3a a Resolução: V 5 a3 V 5 83 _{5 512 dm}3 _{→ V 5 512 ,} Resolução: D m D 2 m 5 5 5 5 2 3 3 2 3 a → a V 5 a3 _{5 2}3 _{→ V 5 8 m}3 Resolução: V 5 a ? b ? c 5 5 ? 7 ? 2 5 70 m3 _{5 70 000 dm}3 _{5 70 000 ,} Resolução: S_t 5 2 ? (a ? 3a 1 a ? 10 1 3a ? 10) 5 294 2 ? (3a2 _{1 40a) 5 294} 3a 40a 147 40 a 49 3 ( 2 _{1 2 5 5}2  1 5 5 2 0 1 600 1 764 6 3 → a ou a nnão convém) a 5 3 cm; 3a 5 9 cm V 5 3 ? 9 ? 10 5 270 cm3

B A

75

(Faap-SP) Uma piscina retangular de 10,0 m 3 15,0 m e de fundo horizontal está com água até a altura de 1,5 m. Um produto químico em pó deve ser misturado à água, à razão de um pacote para cada 4 500 ,. O número de pacotes a serem usados é:

a) 45 c) 55 e) 75

b) 50 d) 60

74

(Unesp-SP) Quantos cubos A precisa-se empilhar para formar o paralelepípedo B?

a) 60 c) 94 e) 48

b) 47 d) 39

76

(Unesp-SP) A água de um reservatório na forma de um paralelepípedo retângulo de comprimento 30 m e largura 20 m atingia a altura de 10 m. Com a falta de chuvas e o calor, 1 800 m3 _{da água do}

reservatório evaporaram. A água restante no reservatório atingiu a altura de:

a) 2 m c) 7 m e) 9 m

b) 3 m d) 8 m

77

(UFPR) Ao se colocarem 192 , de água em um reservatório cujo interior tem a forma de um cubo com uma das faces na horizontal, o nível da água sobe 30 cm. Qual é a capacidade desse reservatório?

a) 640 c) 576 e) 512 b) 768 d) 384 Resolução: 30 cm 5 3 dm 192 , 5 192 dm3 _{→ volume de água em 3 dm} V 5 192 5 a ? a ? 3 → a2 _{5 64 → a 5 8 dm} V 5 a3 _{5 8}3 _{5 512 dm}3 _{5 512 ,} A capacidade do reservatório é 512 ,. Resolução: V 5 10 ? 30 ? 20 5 6 000 m3 água restante 5 V 2 1 800 5 6 000 2 1 800 5 4 200 m3 4 200 5 30 ? 20 ? h → h 5 7 m

A água restante atingiu a altura de 7 m.

Resolução: V 5 a ? b ? c 5 10 ? 15 ? 1,5 5 225 m3 _{5 225 000 dm}3 _{5 225 000 ,} n 225 000 4 500 50 pacotes 5 5 Resolução:

78

(Unesp-SP) Considere um pedaço de cartolina retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem tampa.

O polinômio, na variável x, que representa o volume, em cm3_{, dessa caixa é:}

a) 4x3 _{2 60x}2 _{1 200x c) 4x}3 _{2 60x}2 _{1 200 e) x}3 _{2 15x}2 _{1 50x} b) 4x3 _{2 60x 1 200 d) 4x}3 _{2 30x}2 _{1 200x} 10 cm x cm 20 cm p. 32

79

(Unesp-SP) Considere o sólido resultante de um paralelepípedo retângulo de arestas medindo x, x e 2x, do qual um prisma de base quadrada de lado 1 e altura x foi retirado. O sólido está representado pela parte escura da figura.

O volume desse sólido, em função de x, é dado pela expressão:

a) 2x3 _{2 x}2 _{c) 2x}3 _{2 x e) 2x}3 _{2 2x} b) 4x3 _{2 x}2 _{d) 2x}3 _{2 2x}2 1 x x 2x 20 � 2x 10 � 2x x Resolução:

Montando a caixa, temos:

V 5 x ? (10 2 2x) ? (20 2 2x) 5 4x3 _{2 60x}2 _{1 200x}

Resolução:

80

(Cesgranrio-RJ) De um bloco cúbico de isopor de aresta 3a recorta-se o sólido, em forma de H, mostrado na figura. O volume do sólido é:

a) 27a3 _{c) 18a}3 _{e) 9a}3 b) 21a3 _{d) 14a}3 a a a a a a 3a p. 34

81

Uma barra de chocolate tem o formato de um prisma triangular regular de aresta lateral 15 cm e aresta da base 3 cm. Qual o volume de chocolate contido na barra? (Considere 3 51,7.)

82

(Fuvest-SP) Dois blocos de alumínio em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é: a) 16 c) 18 e) 20 b) 17 d) 19 3 15 57,375 cm3 Resolução:

V 5 (3a)3 _{2 2 ? a ? a ? 3a 5 27a}3 _{2 6a}3 _{→ V 5 21a}3

Resolução: V₁ 5 103 _{5 1 000 cm}3 V₂ 5 63 _{5 216 cm}3 V_t 5 1 000 1 216 5 1 216 cm3 V_t 5 1 216 5 8 ? 8 ? x → x 5 19 cm Resolução: V S h S V b b 5 ? 5 ? 5 5 ? 5 1 23 3 32 9 34 9 3 4 15 135 344 → V 5 57,375 cm 3

83

(UFRJ) Uma barra de sabão ABCDEFGH, com a forma de um paralelepípedo retângulo, foi cortada pelo plano que contém os pontos C, D, F e G, como mostrado na figura 1. O sólido ABCDFG obtido foi cortado, mais uma vez, pelo plano que contém os pontos M, N, P e Q, que são, respectivamente, os pontos médios das arestas AD, BC, CG e DF, como ilustrado na figura 2.

Calcule a razão entre o volume do sólido CDMNPQ resultante desse segundo corte (ilustrado na figura 3) e o volume da barra de sabão original.

G

H F

C D

figura 1 figura 2 figura 3

A E B G F C B D A M Q P N C D M Q P N

84

(UFSC) Na figura a seguir, o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BF, e o segmento de reta CG é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os lados medindo 2 cm, 10 cm, 5 cm, e 5 cm, assim como o trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos paralelos que distam 4 cm um do outro.

A B F E G C D H

Calcule o volume (em cm3_{) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG,}

ACGE, BDHF e pelos dois trapézios.

1 8 E F 2 B A 5 5 C 10 D G H 2 h 2 5 4 72 cm3 Resolução: Sejam AD 5 a, CD 5 b e AF 5 c. V_inicial 5 a ? b ? c DM a 2; MQ c2 V 1 2 a2 c2 abc8 V V ab 2 2 inicial 5 5 5 ? ? ? 5 5 b cc 8 abc 18 A razão é 1 8 5 . Resolução:

Consideremos a figura acima um prisma quadrangular de altura 4 cm, cujas bases são trapézios de B 5 10 e b 5 2. h2 _{5 5}2 _{2 4}2 _{5 9 → h 5 3} S (B )h 2 (10 2 ) base 3 5 1 b 5 1 2 518 V 5 S_b ? H V 5 18 ? 4 5 72 cm3

85

A área lateral de um prisma hexagonal regular é 48 cm2_{, e a altura do prisma é o dobro da aresta da}

base. Determine seu volume.

86

Num prisma hexagonal regular, a altura mede 3 m e o apótema da base mede 2 3 m. Determine seu volume.

87

(UFPE) Um depósito na forma de um paralelepípedo retângulo está preenchido com certo volume de líquido. Ao colocarmos no interior do paralelepípedo um cubo sólido de aresta 4 cm, com densidade maior que a do líquido, a altura do líquido fica igual à aresta do cubo. O paralelepípedo tem base com comprimento 5 cm e largura 6 cm. Determine a aresta x de outro cubo sólido, com densidade maior que a do líquido, que, quando colocado no interior do paralelepípedo, deixa a altura do líquido igual à medida da aresta. Indique (x 1 2)2_.

2a a H h y h 24 3 cm3 Resolução: Resolução:

A base é um hexágono regular de apótema h 5 2 3 m e H 5 3 m.

h V S H S m V b b 5 5 5 5 ? 5 ? ? 5 5 ? , 3 _, 2 2 3 6 4 2 3 2 24 3 24 3 3 2 → 4 m → → V 5 72 m3

A altura do prisma é o lado do retângulo da face lateral, então: S_, 5 6 ? a ? h 5 48 → a ? h 5 8 h 5 2a → a ? 2a 5 8 → a2 _{5 4 → a 5 2 cm} h 5 2 ? 2 → h 5 4 cm S cm V S h V V cm b b 5 ? ? ? 5 5 ? 5 ? 5 6 1 2 2 2 32 6 3 6 3 4 24 3 2 3 → 18 Resolução: O volume do líquido é: 30x 2 x3 _{5 30 ? 4 2 4}3 x3 _{2 4}3 _{2 30x 1 30 ? 4 5 0}

Fatorando a expressão, temos:

(x 2 4) ? (x2 _{1 4x 116) 2 30 ? (x 2 4) 5 0} (x 2 4) ? (x2 _{1 4x 2 14) 5 0 → x 5 4 ou x 5 2 12 3 2} Então: (x 2)2 1 5 2 1 1 5 5 2 3 2 2 18 18 2

(

)

 x 72 m3

89

Determine o volume de um prisma triangular regular cuja aresta da base é 5 cm sabendo que a área de cada face lateral é o dobro da área de uma das bases.

88

(Unicamp-SP) Uma caixa-d’água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura. Dados: AB 5 6 m, AC 5 1,5 m e CD 5 4 m.

A C

D

B

a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa?

b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da caixa, quantos litros de água podem ser armazenados na caixa?

5 H 1,2 m 1 468,8 , C F A E B 6 1,5 � x 1,5 x x 375 8 cm 3 Resolução:

a) Seja x a altura da caixa-d’água.

Os triângulos CFE e CAB são semelhantes, então: 1,5

x 1,56 6x 1,5x 1,2 m

2

5 2 5 5

x _{→ 9 → x}

O comprimento de uma aresta deve ser 1,2 m. b h) 5 85% de 12 5 85 ? 510,20 dm 100 12 V 5 12 ? 12 ? 10,20 5 1 468,8 dm3 _{→ V 5 1 468,8 ,} Resolução: S cm S S cm S H H c b b 5 5 ? 5 5 ? 5 5 5 3 4 2 25 3 2 5 25 3 2 5 32 2 2 2 , , → mm H V V S 375 8 cm b 3 5 ? 5 5 3 ? 5 4 5 32 2 →

90

Calcule o volume de um prisma quadrangular regular cuja área total tem 256 m2 _{e a área lateral é}

igual ao dobro da área da base.

91

(UFV-MG) A figura abaixo exibe a seção transversal de uma piscina de 20 m de comprimento por 10 m de largura, com profundidade variando uniformemente de 1 m a 3 m.

a) Determine o volume de água necessário para encher a piscina até a borda. (Sugestão: Calcule a área da seção transversal da piscina ilustrada pela figura.)

b) Qual a distância mínima que uma pessoa de 1,70 m deve caminhar, saindo do ponto mais raso da piscina, para que fique totalmente submersa? (Sugestão: Use semelhança de triângulos.)

3 m 1 m 20 m 20 m 10 m 3 m 1 m 20 � x x C D A 1 1 0,70 B 2 1 E 256 m3 400 m3 7 m Resolução: Resolução: a) h a a S_t 5 256 5 2 ? (a ? a 1 a ? h 1 a ? h) → 256 5 2 ? (a2 _{1 2ah) → a}2 _{1 2ah 5 128} S, 5 4ah 5 2a h 5 a 2 _→ 2

Substituindo h na primeira equação, temos: a 2a a 2 2a 128 8 m h 4 m 2 2 1 ? 5 5 5 5 5 → → a h 8 2 V 5 S_b ? h 5 a2 _{? h 5 64 ? 4 → V 5 256 m}3 b)

Considerando a piscina um prisma de altura 10 m, cujas bases são os trapézios, temos: V S h V V b 5 ? 5 (1 1 3 20) ? 5 2 10 → 400 m 3

O triângulo ABE é semelhante ao triângulo ACD, então: x

0,70 5 202 → x 5 7 m A distância mínima é 7 m.

p. 38

94

Qual a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 5 m e área da base igual a 100 m2_?

93

Determine o número de diagonais da base de uma pirâmide sabendo que a soma dos ângulos de todas as faces é igual a 1 8008.

92

Determine a natureza de uma pirâmide que possui:

a) 8 faces b) 12 arestas 9 100 2 m2 V B g M O a A 5 5 a hexagonal heptagonal Resolução:

a) A pirâmide possui 8 faces; então, uma das faces é a base, portanto é uma pirâmide heptagonal. b) A pirâmide possui 12 arestas; 12

2 5 6 → número da aresta da base Portanto, a pirâmide é hexagonal.

Resolução:

Seja S_i a soma dos ângulos internos da base. S_i 5 (n 2 2) ? 180°

As faces laterais são triângulos, então: S 5 1 800° 5 (n 2 2) ? 180° 1 180°n 360°n 5 2 160° n 5 6 A base é um hexágono. D 5 n ? (n 2 3) 5 ? D 5 2 6 32 → 9 Resolução: a2 5 100 → a 5 10 m

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo VOM, temos:

g g m S a g m 2 2 2 2 5 5 5 2 4 2 4 10 5 2 2 100 2 5 1 5 5 ? ? 5 ? ? 5 → ,

97

Determine as áreas lateral e total de uma pirâmide triangular regular, sendo 7 m a medida do seu apótema e 24 m o perímetro da base.

96

Determine a área lateral e a área total de uma pirâmide quadrangular regular cujas arestas da base medem 6 cm e a altura, 4 cm.

95

Qual a altura de um tetraedro regular de 6 m de aresta? 2 6 m

S_, 5 60 cm2 _{e S} t 5 96 cm2 S 84 m e S2 4 21 m t 2 , 5 5

(

1 4 3

)

D A M C a a g h _a H B a a V B g M O 6 A 3 4 6 V 7 A B C 8 8 Resolução: h 5 a 6 5 h 5 m 3 6 63 → 2 6 Resolução:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo VOM, temos: g2 _{5 4}2 _{1 3}2 _{→ g 5 5 cm} S 60 cm2 , 5 ? ? 5 4 6 5 2 S_b 5 62 _{5 36 cm}2 S_T 5 S_, 1 S_b S_T 5 60 1 36 5 96 cm2 Resolução: p a S ST S 5 5 5 5 ? ? 5 5 1 24 24 3 8 3 7 8 2 → , , 84 m2 SS S S m b b T 5 5 5 1 5 ? 1 8 3 4 16 3 84 16 3 4 21 4 3 2 2

(

)

99

Considere a pirâmide com um triedro trirretangular cujas arestas laterais medem 10 cm. Determine sua área total.

98

Calcule a área da base de uma pirâmide quadrangular regular, cujas faces laterais são triângulos eqüiláteros, sendo 49 3 cm2 _{a soma das áreas desses triângulos.}

10

10 10

a

100

A altura de um tetraedro regular é 4 6 m. Determine o apótema do tetraedro e a área da base.

49 cm2 St 50 cm 2 5

(

3 1 3

)

a g a a g m e Sb m 2 5 6 3 5 36 3 D A M C a a g h _a H B a a Resolução: S, 5 4 ? a 5 a 5 a 5 3 4 3 49 3 2 2 49 3 → → 7 cm S_b 5 a2 _{5 7}2 _{5 49 cm}2 Resolução: a a cm S S S S T b 2 ₁₀2 ₁₀2 _{200 10 2} 5 1 5 5 5 1 5 → , , 33 10 10 2 3 4 50 3 150 2 ? ? 5 5 5 5 5 150 cm 200 3 4 cm 2 b 2 T S a S 11 50 3 5 50 ?

(

3 1 3

)

cm2 Resolução: h a a g a g m Sb 5 5 5 5 5 5 6 3 4 6 3 2 12 32 → → 12 m 6 3 5 5 a 5 5 m 2 2 2 3 4 12 34 36 3

101

Determine a área lateral e a área total de uma pirâmide hexagonal regular sabendo que a aresta da base mede 6 3 cm e a sua altura, 12 cm.

p. 40

102

A altura de uma pirâmide quadrangular regular é 10 m, e sua base tem lado 8 m. Determine seu volume.

103

Determine o volume de uma pirâmide de altura 7 cm, cujo polígono da base é um triângulo isósceles de lados 13 cm, 13 cm e 10 cm. S cm e S2 432 cm t 2 , 5 270 3 5 3 h 6 3 g 12 P 8 C D A 10 B 640 3 3 m 13 13 5 5 h 140 cm3 Resolução: Resolução: V ₅ Sb ? h 3

h é o apótema da base da pirâmide.

h 5 a 3 5 ? h 5 2 6 32 3 → 9 g é o apótema da pirâmide. g2 _{5 9}2 _{1 12}2 _{→ g}2 _{5 81 1 144 → g}2 _{5 225 → g 5 15 cm} S a g cm S S S S T b b , , 5 ? ? 5 ? ? 5 5 1 5 ? 6 2 6 6 32 15 6 6 3 2 270 3

(

)

22 2 2 3 4 162 3 270 3 162 3 432 3 5 5 1 5 cm ST cm h2 _{5 13}2 _{2 5}2 5 169 2 25 5 144 → h 5 12 cm S V b 5 ? ? 5 5 ? 5 1 2 10 12 60 7 3 60 cm 140 cm 2 3 Resolução: V ₅ Sb ? h ₅ ? _{? 5} 3 8 83 10 6403 m 3

105

(ITA-SP) A razão entre a área da base de uma pirâmide regular de base quadrada e a área de uma das faces é 2. Sabendo que o volume da pirâmide é de 12 m3_{, temos que a altura da pirâmide mede (em metros):}

a) 1 c) 3 e) 5

b) 2 d) 4

104

O apótema da base de um tetraedro regular mede 3 cm. Determine seu volume.

g H V O M a 2 a a V A C B M 3 O a g H a a 54 6 cm3 Resolução: a 9 cm h 18 3 3 b 5 5 5 5 5 5 5 3 3 3 2 h h g a _{a a} b b → → → 66 3 cm S 3 4 27 3 cm b 2 5 5 ? 5 5 5 ? 5 5 a H a 2 ₃ 4 36 3 6 3 6 33 6 2 18 6 22 1 3 13 27 3 6 2 54 6 3 cm V 5 Sb ? H 5 ? ? 5 cm Resolução: a a g a g 2 1 2 2 ? 5 → 2a 5 2g → 5

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo VOM, temos: g2 ₅ H2 _{1 a} 2 2

(

)

Como a 5 g, temos: a a 4 H 3a4 4H3 1 3a H 2 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 → H → a V 2 2 12 Substituindo a2_{, temos:} 12 1 3 27 3 3 5 ? 4H ? 5 5 3 2 H → H → H

107

(Unicamp-SP) Considere um cubo cuja aresta mede 10 cm. O sólido cujos vértices são os centros das faces do cubo é um octaedro regular, cujas faces são triângulos eqüiláteros congruentes.

a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular. b) Calcule o volume do mesmo octaedro.

106

(UFBA) Em uma pirâmide de altura h metros, a área da sua base é 560 m2_{. Um plano a, paralelo à}

base a uma distância de h

2 metros do vértice da pirâmide, determina uma secção transversal de área:

a) 280 m2 _{c) 140 m}2 _{e) 80 m}2 b) 180 m2 _{d) 100 m}2 10 10 _A E B D F C 5 5 M 5 5 500 3 cm 3 5 2 cm Resolução: S SB1 S hh 2 1 2 560 2 5 H 5 h 560

(

)

        → → SS1 140 m 2 5 4 5 560 5 4 1 → S Resolução:

a) De acordo com o enunciado, temos a figura:

No triângulo CDM, temos:

(CD)2 _{5 5}2 _{1 5}2 _{5 50 → CD 5 5 2 cm}

b) O octaedro é composto por duas pirâmides, então: V 5 2 ? 1a ? 5 ? ? ? 5 cm

3 5 2 1325 2 5 5003

p. 41

108

Na figura, os quadrados ABCD e A9B9C9D9, cujos lados medem

10 u.c., são as bases de um prisma reto de altura igual a 5 3 u.c., e o ponto O é, ao mesmo tempo, o centro do quadrado ABCD e o vértice da pirâmide com base A9B9C9D9.

A partir dessas informações, pode-se afirmar:

(01) Qualquer plano que contenha uma face lateral da pirâmide faz um ângulo de 60º com o plano da base A9B9C9D9.

(02) Qualquer aresta lateral da pirâmide faz um ângulo de 60º com o plano da base A9B9C9D9.

(04) Existem uma aresta da pirâmide que é coplanar ao segmento DD9 e uma aresta da pirâmide que está contida numa reta reversa à reta que contém DD9.

(08) A área do triângulo OC9D9 é igual a 50 u.a.

(16) O volume do sólido compreendido entre o prisma e a pirâmide é igual a 500 3 3 u.v. D _C C� D� A A� B� O B C B 10 D 10 10 10 C� D� B� A� � A O g 5 5 3 5 3 _� 13 Resolução:

De acordo com o enunciado, temos:

(01) (Verdadeira); g sen 2 5 1 5 5 a 5 52

(

5 3

)

2 100 _{→ g} 10 55 3 10 5 23 → a 5 60°

(02) (Falsa); seja a a aresta lateral. No triângulo OCC9, OC 5 5 2 → (OC9)2 _{5 a}2 _{1 (CC9)}2

a2 _{5 50 1 75 5 125 → a 5 5 5}

O ângulo b formado pela aresta e pelo plano A9B9C9D9: senb 5 5 3 b  °

5 5 → 60

(04) (Verdadeira); B9O e A9O são reversas com D9C9.

(08) (Verdadeira); g 5 10 e aresta da base 5 10, portanto: S 5 1 ? 5

210 10 50 u.a. (16) (Falsa); V 5 V_prisma 2 V_pirâmide

Vprisma 5 ? ? 5 5 ? ? 5 10 10 100 3 1 310 5 1 5 3 Vpirâmide 10 3 000 3₃ 100 3 100 3 3 200 33 V 5 2 5 soma 5 1 1 4 1 8 5 13

109

Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular sabendo que o apótema da base mede 8 cm e o apótema da pirâmide, 10 cm.

110

(UFRJ) Observe as figuras a seguir.

3,4 m 3 m 3 m 6 m 6 m 4 m A B F E C C F D E D h E B A D C 4 m figura 1 figura 2 6 m F

A figura 1 mostra a forma do toldo de uma barraca, e a figura 2, sua respectiva planificação, composta de dois trapézios isósceles congruentes e dois triângulos. Calcule:

a) a distância h da aresta AB ao plano CDEF b) o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e F,

mostrado na figura 1, em função de h B D A a C M H 8 H h 10 a 384 3 _cm3 D M B� 1,5 E 1,7 B h A B E D M N C 0,8 m 8h Resolução:

O apótema da base é 8, então: h 5 24.

h a a a a cm H 5 5 5 5 5 5 2 5 3 2 24 23 48 3 48 33 16 3 10 36 2 2 → → → 82 _{→→ H} S H S a V b b 5 5 ? 5 5 5 5 ? 6 cm V cm2 1 3 3 4 2 563 34 192 3 1 3 2 1192 3 _? 6 ₅ 384 3 _cm3 Resolução:

a) De acordo com a figura, temos:

h2 _{5 1,7}2 _{2 1,5}2 _{5 2,89 2 2,25 5 0,64 → h 5 0,8 m}

b) O volume do sólido é o volume do prisma mais 2 ? volume da pirâmide. MD 5 1 V S H S prisma b b 5 ? 5 ? 5 5 ? ? 5 ? 3h 2 6h Vpirâmide h 4 1 3 13 1 ?? ? 5 5 1 5 3 h h V 6h 2h 8h

111

(ITA-SP) Considere uma pirâmide regular de altura igual a 5 cm e cuja base é formada por um quadrado de área igual a 8 cm2_{. A distância de cada face dessa pirâmide ao centro de sua base, em}

centímetro, é igual a: a) 15

3 c) 4 35 e) 3

b) 5 6_{9 d) 75}

112

(Fuvest-SP) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB 5 4 e BC 5 3.

As áreas dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente, 4 10 e 2 37. Calcule o volume da pirâmide.

A B D E C D A P B M C 5 E 2 2 2 2 2 E D G P A F 4 B 3 C 24 Resolução: Sb 5 8 5 5 2 2 cm 2 , → ,

A altura de cada face ao centro de sua base é a altura da pirâmide cuja base é uma das faces laterais, e o vértice é esse centro v 5 1 V

4

(

)

. v 5 ? ? ? 5 cm 5 1 5 5 1 4 13 2 2 5 103 5 2 27 3 2 ₃ 2 2

(

)

(

)

(AM)2 _→ AM ₃₃ 1 3 2 2 23 3 103 5 69 cm v 5 ? ? ? h5 → h5 cm Resolução: Cálculo de PE: FG 5 3 S EF EF S EG EG ABE CDE 5 ? ? 5 5 5 ? ? 5 5 1 2 4 4 10 2 10 1 2 4 2 37 → → 337

Nos triângulos EFP e EPG, temos: (EF)2 _{5 (EP)}2 _{1 (PF)}2

(EG)2 _{5 (EP)}2 _{1 (PG)}2

PG 5 3 2 FP

Então, isolando EP das duas equações, temos: 40 2 (PF)2 _{5 37 2 (3 2 PF)}2

40 2 PF2 _{5 37 2 9 1 6PF 2 PF}2 _{→ 12 5 6PF → PF 5 2}

(EG)2 _{1 (EP)}2 _{1 (PG)}2 → 37

(

)

2 _{5 (EP)}2 _{1 (3 2 FP)}2 → 37 5 (EP)2 1 1 → EP 5 6

V 5 1 ? ? ? 5 24 3 4 3 6

113

(ITA-SP) Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede 3 3 cm. As faces laterais dessa pirâmide formam diedros de 60º com o plano da base. A área total da pirâmide, em centímetro quadrado, é: a) 81 3 2 c) 812 e) 27 2 b) 81 2 2 d) 27 3 � � 2 V D E F A C O B M 120° _60° � 2 Resolução:

Pelo enunciado, temos a figura:

Para determinarmos a área total, necessitamos do , e do apótema VM. O ângulo E^ é 120° → pelo teorema dos cossenos, temos:

d2 _{5 ,}2 _{1 ,}2 _{2 2 ? , ? , ? cos 120°} 3 3 2 1 2 2

(

)

5 ,2 1 ,2 2 ,2 ? 2

(

)

→ , 5 3 cm apótema da base OM 5 , 3 5 2 3 32 cm

No triângulo VOM, cos 60° 5 1 5 5

2 OMVM → VM 3 3 cm S S S S S T b b 5 1 5 ? 5 5 ? ? 5 , , 6 3 3 4 6 3 3 3 2 2 _{27 3} 2 cm 54 3 2 cm 2 2 SS 54 3 2 81 32 cm T 2 5 27 3 1 5 2

114

(Fuvest-SP) No cubo de aresta a, X e Y são pontos médios das arestas AB e GH, respectivamente. Considere a pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero XCYE. Calcule, em função de a:

a) o comprimento do segmento XY b) a área da base da pirâmide c) o volume da pirâmide H G C D X Y E A B F H Y G C E A X B D F a a Y H G C E A X B D F a a 2 Y H G C E A X B D F α 2 a3 3 α2 ₆ 2 Resolução: a) XY2 _{5 a}2 _{1 a}2 ₅ 2a2 _→ XY _{5 a 2} b)

CE é a diagonal do cubo, logo: CE 5 a 3. XCYE é um losango, portanto: S 5 Dd

2 . D a S 5 5 5 5 ? 5 3 2 ; d XY a 2 a 3 a 2 a 6 2 2 c)

O plano XCYE divide o prisma em dois sólidos congruentes. volume da pirâmide V 2 prisma 5 2 2 ? 1 ? ? ? 5 3 2 2 3 a a _a a 22 6 3 3 3 2 a 5 a

115

(UFPE) As arestas do sólido convexo ilustrado a seguir são obtidas unindo os pontos médios de cada uma das arestas de um tetraedro regular aos pontos médios das quatro arestas que são concorrentes a elas.

Se a aresta do tetraedro mede 6 2 , qual o volume do sólido?

p. 45

116

O volume de uma pirâmide é 216 cm3_{. Uma secção transversal feita a 3 cm da base determina outra}

pirâmide de volume 27 cm3_{. Qual a altura da pirâmide?}

117

Calcule a área total do tronco hexagonal regular cuja base menor tem aresta 2 cm a base maior tem aresta 4 cm, e o apótema do tronco mede 3 cm.

36 6 cm 54 1 30 3

(

)

cm2 3 cm 2 cm 4 cm Resolução:

O sólido obtido é um octaedro regular de aresta a

2. Portanto, ao 5 3 2.

O volume do octaedro é determinado ao se obter o volume da pirâmide de altura h V 5 ? 5 5 ? ? ? 5 3 2 2 2 3 2 1 3 2 3 2 3 36

(

)

Resolução: V V1 H H HH 3 3 3 27 216 3 36 5 _ 2 _ → 5 _ 2 _ → 5 HH H H 2 5 3 → 6 cm Resolução: S S B 2 T 24 3 cm 5 ? ? ? 5 5 1 1 5 6 1 2 4 4 32 54 6 3 24 3 554 30 3 6 3 2 1 5 1 1 5 ? 1 ? 5

(

)

cm (2 4) _{54 cm} 2 B 2 S S S S S T b , , SSb 2 6 3 cm 5 6 ? 1 ? ? 5 2 2 2 32

118

Um tronco de pirâmide tem como base dois quadrados de lados 4 cm e 9 cm, e a altura do tronco é 6 cm. Determine seu volume.

119

Um banco de cimento tem a forma de um tronco de pirâmide, com 50 cm de altura. Quantos metros cúbicos de concreto foram necessários para confeccionar esse banco?

5 m

4 m 40 cm

50 cm

120

(UFRJ) Em um tanque no formato de um cubo de aresta 25 cm, contendo líquido, foi posta uma pirâmide P₁, de altura igual a 6 cm, com a base apoiada no fundo do tanque.

Com isso, o nível de líquido passou de 18 cm para 19 cm. a) Calcule o volume, em centímetro cúbico, da pirâmide P₁.

b) A pirâmide P₁ foi retirada do tanque e o nível de líquido voltou ao inicial. Uma pirâmide P₂, de 30 cm de altura, foi então posta no tanque, com a base apoiada no fundo, o que elevou em 2 cm o nível do líquido.

Determine o volume da pirâmide P₂.

18 19 20 266 cm3 1,02 m3 16 875 13 cm 3 625 cm3 Resolução: k 5 6; B 5 81; b 5 16 V k B B b b V 5 ? 1 ? 1 5 ? 1 ? 1 3 6 3 81 81 16 1

[

]

(

6

)

V 5 2 ? 133 5 266 cm3 Resolução: k 5 0,5 m; B 5 0,50 ? 5 5 2,5 m; b 5 0,40 ? 4 5 1,6 m V k B B b b V 5 ? 1 ? 1 5 ? 1 ? 1 5 3 3

[

]

(

)

0,5 _{2,5 2,5 1,6 1,6} 0,5 3 ?? 6,151,02 m 3 Resolução:

a) O volume de água deslocado é o volume da pirâmide.

V 5 25 ? 25 ? 1 5 625 cm3

b) O volume do tronco é o volume de água deslocado: V_tronco 5 25 ? 25 ? 2 5 1 250 cm3 V_tronco 5 V 2 v V v 27V , então: 26V 5 2 5 5 2 5 30 30 20 1 250 27 3    → v V V 227 cm 3 → V 5 16 875 13

p. 46

121

(UFPR) Uma pirâmide de base quadrada, feita de madeira maciça, tem 675 g e 12 cm de altura. Pretende-se fazer um corte, paralelo à base, para obter uma pirâmide menor. Quantos gramas terá essa pirâmide se o corte for feito a 4 cm da base?

a) 200 g c) 250 g e) 350 g

b) 225 g d) 300 g

122

(Unesp-SP) Com o fenômeno do efeito estufa e conseqüente aumento da temperatura média da Terra, há o desprendimento de icebergs (enormes blocos de gelo) das calotas polares terrestres. Para calcularmos o volume aproximado de um iceberg podemos compará-lo com sólidos geométricos conhecidos. Suponha que o sólido da figura, formado por dois troncos de pirâmides regulares de base quadrada simétricos e justapostos pela base maior, represente aproximadamente um iceberg.

As arestas das bases maior e menor de cada tronco medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam e a altura mede 12 dam. Sabendo que o volume V_{S da parte submersa do iceberg corresponde a aproximadamente 78} do volume total V, determine V_S.

12 dam 30 dam 40 dam 4 cm 8 cm H D F G A C B E I _{12 cm} 4 cm 25 900 dam3 Resolução:

Pelo enunciado, temos o esquema:

Sejam V a pirâmide maior e v a pirâmide menor. v V Vv m 675 0 g 5 5 5 5 8 12 278 8 27 20 3

(

)

→ → m Resolução: V V V B B b b k B s 5 5 ? ? 1 ? 1 5 7 8 2 k 3 12 dam;

[

]

5 5 5 5 ? ? 1 ? 1 40 2 40 40 30 3 2 2 2 2 dam ; b 30 dam 12 3 2 2 2 V 00 8 00 1 200 7 8 29 2

(

)

V Vs 5 ? 1 1 5 5 ? (1 6 900) 29 600 dam3 6600 5 25 900 dam3

123

(Unb-DF) Minha casa é engraçada Desenho espetacular A parede é inclinada E o chão retangular Chão e teto semelhantes Estão em proporção Oito vezes a área do teto É a metade da área do chão Quatro paredes tem a casa Uma à outra, tão igual Quatro paredes muito grandes 100 m2 _{de área lateral} Com uma pergunta quero terminar Minha altura você pode calcular? O teto da casa nunca vou alcançar Pois minha altura teria de dobrar Uma pista ainda devo anunciar Em forma de quadrinha singular Batatinha quando nasce Se esparrama pelo chão Ocupando totalmente Os 64 m2 _{de extensão}

Com base nas informações do texto, faça o que se pede. a) Calcule a área, em metro quadrado, do teto da casa.

b) Calcule a altura, em metro, de um dos quatro quadriláteros que formam as paredes da casa. c) Calcule a altura, em decímetro, do dono da casa.

p. 49

124

Calcule o volume de um cilindro circular de altura 20 cm e raio da base 4 cm.

4 m2 5 m 20 dm 320p cm3 Resolução: a) 8s S 2; 5 S 5 64 m2 _{→ 16s 5 64 → s 5 4 m}2

b) S_, 5 100 → cada face possui 100

4 25 m 2 5 a 5 2; b 5 8 25 5 (a 1 b)h 25 5 1 5 2 → (2 28)h → h 5 m c) h2 _{5 k}2 _{1 3}2 _{→ 25 5 k}2 _{1 9 → k 5 4 m}

Se H é a altura do dono da casa, então: H 5 2 m 5 20 dm.

Resolução: V 5 S_B ? H V 5 p42 _{? 20 5 320p cm}3 s k h S a b

125

A área lateral de um cilindro circular reto é igual à metade da área total. Calcule a altura desse cilindro sabendo que o raio da base mede 7 cm.

126

Determine a área total de um cilindro sabendo que a área lateral é 40p cm2 _{e sua secção meridiana é}

um quadrado.

127

A geratriz de um cilindro oblíquo mede 5 cm e forma com a base, que é um círculo de 2 cm de raio, um ângulo de 458. Determine seu volume.

128

Determine a área total de um semicilindro cujo raio da base mede 8 cm e a altura mede 12 cm.

7 cm 60p cm2 10p 2 cm3 h 5 45° 2 (160p 1 192) cm2 12 8 Resolução: S_, 5 2pr ? h; S_B 5 2pr2 S_T 5 2pr2 _{1 2pr ? h}

De acordo com o enunciado, temos:

2 r 2 r 2 r 7h 7h 2 7 cm 2 p ? h 5 p 1 p ? h → 5 1 → h 5 2 49 Resolução:

Se a secção meridiana do cilindro é um quadrado, então: h 5 2r. S_, 5 2pr ? h 5 40p → r ? h 5 20 → 2r2 _{5 20 → r 5 10 cm} S_T 5 2pr2 _{1 2pr ? h 5 20p 1 40p 5 60p cm}2 Resolução: S 2 2 2 r2 8 96 cm T 5 1 1 5 ? 5 ? 5 S S S S h retângulo b , , p p ₁₂ p 22 S_retângulo 5 16 ? 12 5 192 cm2 S_b 5 82_{p 5 64p} S_T 5 96p 1 192 1 64p ST 5 (192 1 160p) cm2 Resolução: sen 45° V r2 22 5 5 5 5 ? 5 ? h _{h cm} h 5 22 → 5 22 p p 55 2 2 2 3 510p cm

130

(UEL-PR) O diretor de um clube deseja construir um poço, com formato cilíndrico, de 10,0 m de profundidade e diâmetro interior igual a 1,0 m. Se a parede desse poço for construída com alvenaria na espessura de 0,2 m, o volume dessa alvenaria será igual a:

a) 2,4p m3 _{c) 6,5p m}3 _{e) 8,0p m}3

b) 5,6p m3 d) 7,0p m3

129

Se o volume de um cubo é 8 m3_{, determine o volume do cilindro nele inscrito.}

p. 50

131

(FGV-SP) Considere uma lata de óleo de cozinha de formato cilíndrico que, originalmente, comportava o volume de 1 litro de óleo e, atualmente, passou a comportar 0,9 litro. Assumindo-se log_0,9 0,95 5 0,5 e admitindo-se que a altura da lata permaneceu a mesma, a redução percentual do raio de sua base foi igual a:

a) 6% c) 4% e) 2% b) 5% d) 3% 2p m3 a � 2r � h r 0,2 alvenaria 10 0,2 1 H R₁ H R₂ Resolução: Resolução: cilindro maior → D 5 1,4; R 5 0,7 m cilindro menor → d 5 1; r 5 0,5 m V_alvenaria 5 V_C 2 V_c 5 (0,7)2_{p ? 10 2 p ? (0,5)}2 _{? 10 5 10p(0,49 2 0,25) 5 2,4p m}3 Resolução:

Sejam R₁ o raio da lata inicial de 1 litro e R₂ o raio da lata final de 0,9 litro.

O cilindro inscrito no cubo é um cilindro eqüilátero. V_cubo 5 8 → a3 _{5 8 → a 5 2 m} a 5 2r → 2 5 2r → r 5 1 m a 5 h → h 5 2 m V_cilindro 5 S_b ? h → pr2 _{? h 5 p ? 1 ? 2 5 2p m}3 V₁ 5 p ? (R₁)2 _{? h 5 1 ,} V₂ 5 p ? (R₂)2 _{? h 5 0,9 ,}

Dividindo uma equação pela outra, temos: R R R R 1 2 2 1 2 10 9    5 0,91 5 → 51,05 → R2 5 0,95R1

132

(Vunesp-SP) Se quadruplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo sua altura, o volume do cilindro ficará multiplicado por:

a) 16 c) 8 e) 4p

b) 12 d) 4

133

(Unesp-SP) Considere uma lata cilíndrica de raio R e altura h completamente cheia de um

determinado líquido. Esse líquido deve ser distribuído totalmente em copos também cilíndricos cuja altura é um quarto de altura da lata e cujo raio é dois terços do raio da lata. Determine:

a) os volumes da lata e do copo, em função de R e h

b) o número de copos necessários, considerando que os copos serão totalmente cheios com líquido

134

(Unicamp-SP) Um pluviômetro é um aparelho utilizado para medir a quantidade de chuva precipitada em determinada região. A figura de um pluviômetro padrão é exibida. Nesse pluviômetro, o diâmetro da abertura circular existente no topo é 20 cm. A água que cai sobre a parte superior do aparelho é recolhida em um tubo cilíndrico interno. Esse tubo cilíndrico tem 60 cm de altura e sua base tem 1_{10 da área da abertura superior do pluviômetro. (Obs.: a figura não} está em escala.)

a) Calcule o volume do tubo cilíndrico interno.

b) Supondo que, durante uma chuva, o nível da água no cilindro interno subiu 2 cm, calcule o volume de água precipitada por essa chuva sobre um terreno retangular com 500 m de comprimento por 300 m de largura. V R h e V 1 9 R h lata 2 copo 2 5 p 5 p 9 600p cm3 300 m3 Resolução: V 5 pr2 _{? h}

Se quadruplicarmos o raio da base, obteremos:

V9 5 p(4r)2 _{? h 5 16pr}2 _{? h → o volume ficará 16 vezes maior.}

Resolução:

Seja S a área da abertura superior. R 5 10 cm S 5 102_{p 5 100p cm}2 S 5 1 S 5 5 r 5 10 10 r 10 cm 2 p p → a) V 5 pr2 ? h 5 10p ? 60 5 600p cm3

b) Para uma área de captação de 100p cm2_{, recolhe-se 10p ? 2 5 20p cm}3 _{de água.}

Para uma área de 500 m 3 300 m, temos a seguinte regra de três: área volume 100p cm2 20p cm3 1 500 000 000 cm2 V V 5 15 10? ? 20 100 8 _p p 5 3 ? 108 cm3 5 300 ? 106 cm3 5 300 m3 Resolução: a) V R V 2 3R h4 R lata 2 copo 2 5 ? 5 ? 5 p p p h

(

)

2 ?? 5 ? ? 5 5 h h h 9 9 9 b) V V R R V 9V lata copo 2 2 lata _copo p p →

135

(FGV-SP) Inclinando-se em 45º um copo cilíndrico reto de altura 15 cm e raio de base 3,6 cm, derrama-se parte do líquido que completava totalmente o copo, conforme indica a figura.

Admitindo-se que o copo tenha sido inclinado com movimento suave em relação à situação inicial, a menor quantidade de líquido derramado corresponde a um percentual do líquido contido inicialmente no copo de:

a) 48% d) 24%

b) 36% e) 18%

c) 28%

p. 55

136

Dado um cone circular reto de raio da base 8 cm e altura 6 cm, determine: a) a área lateral b) a área total c) o volume

7,2 cm 7,2 cm 45° 45° 128p cm3 144p cm2 80p cm2 Resolução:

Como o ângulo é 45°, a menor quantidade de líquido derramado é a metade do volume de um cilindro de mesma altura do diâmetro da base.

V V inicial derramado 5 ? 5 ? p p (3,6) 15 1 2 (3,6) 7,2 2 2 VV V derramado inicial 5 ? ? 1 2 (3,6) 7,2 (3,6) 15 2 2 p p 55 0,24

Ou seja, o líquido derramado corresponde a 24% do líquido inicial.

C O 6 8 g A Resolução: g2 _{5 8}2 _{1 6}2 _{→ g 5 10} a) S_, 5 pr ? g 5 8p ? 10 5 80p cm2 b) S_T 5 S_, 1 S_b 5 80p 1 p82 _{5 144p cm}2 c V) 5 ₃1 ? Sb ? H 5 ₃1 ? 64 ? 6 5128 cm 3 p p

137

Uma ampulheta é formada por dois cones, conforme mostra a figura abaixo. Determine o volume de areia necessário para encher completamente um dos cones.

10 cm

2 cm

138

(UFSC) A geratriz de um cone eqüilátero mede 2 3 cm. Calcule a área da secção meridiana do cone, em centímetro quadrado, e multiplique o resultado por 3.

139

(UFMS) Considere um cone circular reto de volume V, com área da base igual a 16p cm2_{. Calcule, em}

centímetro cúbico, o valor de 3V_16p, sabendo-se que a área de uma secção feita no cone, paralela e distante 4 cm da base, é igual a 9p cm2_. 20 3 cm 3 p 9 Resolução:

O cone possui raio 5 2 cm e altura 5 5 cm. V 5 ₃1 ? Sb ? h 5 ₃1p2 ? 5 5 20₃p cm 2 3 V O r r h g � 2r B A Resolução:

A secção meridiana de um cone eqüilátero é um triângulo eqüilátero.

A área de um triângulo eqüilátero é dada por S 5 ,2 3 4 . g S 5 5 5 5 5 ? 5 ? 5 2r 2 3 r 3 e 2 3 2 3 3 _{3 3 cm} 3 3 9 2 2 → , 4 3 16 V A h H � 9π 16π A� B� B Resolução: H h Hh h H H H

(

)

2 4 3 4 4 43 5 5 5 2 2 5 2 16 9 4H p p → → 116 16 1 3 16 3 1 3 16 5 5 5 ? ? 5 ? ? ? 5 3H 16 3V 16 16 16 → p p p p H V 116

141

O que ocorrerá com o volume de um cone de revolução, se duplicarmos sua altura?

140

(ITA-SP) As medidas, em metro, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 2 m. Calcule a área total desse cone em metro quadrado.

142

(Unesp-SP) Um recipiente tampado, na forma de um cone circular reto de altura 18 cm e raio 6 cm, contém um líquido até a altura de 15 cm (figura 1). A seguir, a posição do recipiente é invertida (figura 2).

18 cm 15 cm figura 2 figura 1 H raio r raio R

raio 6 cm _{Sendo R e r os raios mostrados nas figuras:}

a) determine R e o volume do líquido no cone em centímetro cúbico (figura 1), como múltiplo de p.

b) dado que r 5 913 _{, determine a altura H da parte sem}

líquido do cone na figura 2. Use a aproximação 91

(

3 5 9₂.

)

96p m2 O volume dobrará. Resolução: O V g h A r Resolução: V S h S S h b b b 5 ? ? 9 5 ? ? 5 ? ? ? 5 1 3 1 3 2 13 V (2h) 22V → o volume dobrará. h 2 r 5 g 2 h 5 2 g2 _{5 h}2 _{1 r}2 (h 1 2)2 _{5 h}2 _{1 (h 2 2)}2 h2 _{1 4h 1 4 5 h}2 _{1 h}2 _{2 4h 1 4 → h}2 _{2 8h 5 0 → h ? (h 2 8) 5 0 →} → h 5 0 (não convém) ou h 5 8 Então: h 2 r 5 2 → 8 2 r 5 2 → r 5 6 m g 2 h 5 2 → g 2 8 5 2 → g 5 10 m S_T 5 S_b 1 S_, S_T 5 p62 _{1 p ? 6 ? 10 5 96p m}2 27 2 cm R 5 5 cm e V 5 125p cm3 Resolução: a) 36 25 6 2 18 15 65 2 2

(

)

5 S

(

)

5 5 s → Ss → ps → 5s 5 5 5 5 5 ? 5 25 cm R 25 5 cm V 1 3 5 125 cm 2 2 2 p p p → p p s R 15 33 2 b) r 36 18H H H r H _H 18 18 6 916 18 9 2 6 2 ₃

(

)

5 p 5 5 5 p → → → → 55 272 cm

143

(Unesp-SP) Um recipiente, na forma de um cilindro circular reto de raio R e altura 32 cm, está até a metade com água (figura 1). Outro recipiente, na forma de um cone circular reto, contém uma substância química que forma um cone de altura 27 cm e raio r (figura 2).

27 cm h água 32 cm mistura figura 2 (substância química) figura 1 figura 3 raio r

raio R a) Sabendo que R 5 3

(

₂

)

r, determine o volume da

água no cilindro e o volume da substância química no cone, em função de r. (Para facilitar os cálculos, use a aproximação p 5 3.)

b) A substância química do cone é despejada no cilindro, formando uma mistura homogênea (figura 3). Determine a concentração (porcentagem) da substância química na mistura e altura h atingida pela mistura no cilindro.

144

(Unifesp-SP) A figura representa um lápis novo e sua parte apontada, sendo que D, o diâmetro do lápis, mede 10 mm; d, o diâmetro da grafite, mede 2 mm; e h, a altura do cilindro reto que representa a parte apontada, mede 15 mm. A altura do cone reto, representando a parte da grafite que foi apontada, mede 5 mm.

a) Calcule o volume do material (madeira e grafite) retirado do lápis.

b) Calcule o volume da grafite retirada. grafite

h d D 1,5 cm � h lápis lápis 108r2 _cm3 _{e 27r}2 _cm3 20% e 20 cm Resolução:

a) Sejam V₁ o volume do cilindro inicial, V₂ o volume do cone e V o volume do cilindro com a mistura. V R 1,6; R 9 4r 108r cm V 1 2 2 2 3 2 5 ? 5 5 ? 5 5 p → → p 3 2 16 1 r V 11 3 r 27 27r cm 2 2 3 p ? 5 0,25p cm3 2 ? 1023_{p cm}3 Resolução: grafite h h� A C D OB � 1 mm � 0,1 cm CD � 6 mm � 0,5 cm B O d D 1,5 cm � h lápis lápis b) V 5 V₁ 1 V₂ V 5 108r2 _{1 27r}2 _{5 135r}2 _cm3 V V 135r27r 20% 2 2 2 5 5 1 5 5 pR2 _{? h 5 135r}2 p 3 → 2 135r 20 cm 2 r h h

(

)

2 ? 5 5 a) D 5 10 mm → R 5 5 mm 5 0,5 cm

volume do material retirado: V₁ 5 V_cilindro 2 V_cone

V1 5 p(0,5) ? 1,5 2 1₃p ? (0,5) ? 1,5 5 ₃2p ? (0,5) ? 1,

2 2 2 _{55 0,25 cm}3

5 p

b) V_grafite 5 V_cilindro 1 V_cone altura da grafite: AO AC 5 OBCD → 1,5h9 5 0,10,5 → h99 5 5 ? 2 ? ? 0,3 cm Vgrafite (0,1) 0,3 (0,1) 0, 2 2 p 1p 3 33 (0,1) 0,3 cm 2 3 5 2 ? ? 5 ? 2 3 2 10 3 p p

p. 56

146

(UFSCar-SP) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho.

a) Sabendo que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume, em milímetro, ingerido pelo casal. (Adote p 5 3.)

b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido?

145

(Fuvest-SP) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo que se obtenha o sólido da figura 2. Se a área da base desse novo sólido

é 2_{3 da área de B, determine seu volume.} figura 1 (antes) figura 2 (depois)

20 cm 10 cm 640 9 cm 3 3p 500 cm3 87,5% Resolução: a) V 5 cm 50 mm; h 20 cm 200 mm 1 3 5 ? ? 5 5 5 5 5 1 3 S H r V b → p ?? 502 ? 200 5 500 000 mm3 5 500 cm3 b) Seja V₁ o volume do cone de altura 10 cm.

V_cheio 5 V 2 V₁ B C D h E A 8 r 15 Resolução:

Sejam S a área da base do sólido inicial de raio R e r o raio do cilindro retirado. De acordo com o enunciado, temos:

p p p → → → 8 r cm h H 2 ₂ 2 _{5 ? 5 5} 5 5 2 3 8 643 8 3 3 15 8 3 3 2 _r2 _r r R h 88 → h 5 5 3 cm

V₁ 5 volume do cone inicial: R 5 8, H 5 15 → V 1 3

1 5 p 8? ? 15

2

V₂ 5 volume do cilindro de raio r e altura 5 15 2 5 3 V2 5 8 3₃ ? 15 2 5 3 2

(

)



 

(

)

→ p

V₃ 5 volume do cone eliminado → V₃ 5 1 ? ? 3 8 33 5 3 2 p   volume procurado: V 5 V₁ 2 V₂ 2 V₃ V 320 320 3 3 cm3 5 p 2 p 1 320 p 2 ? p 5 p 3 19 320 6409 3 20 S S 10 S s r r Vcheio 5 ? 9 5 9 5 5 2 20 10 4 52 2 2

(

)

→ p p → p 5 500 1 3 2 ( ) ?? ? 5 5 5 5 2 10 1 7504 V V 87,5% 2 cheio

(

)

1 750 4 500

p. 60

148

Calcule a área lateral, a área total e o volume do tronco de cone descrito abaixo:

h g

r

R

147

(Mackenzie-SP) No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE 5 BE 5 10. O volume desse sólido é:

a) 5 2p c) 4p e) 3p b) 4₃p d) 5p E C D B A S_, 5 50p cm2_{; S} t 5 102p cm2 e V 76 21 3 cm 3 5 p Resolução: S_, 5 pg ? (R 1 r) g2 _{5 h}2 _{1 (R 2 r)}2 g2 _{5 21 1 2}2 _{5 25 → g 5 5} S_, 5 p ? 5 ? (6 1 4) 5 50p cm2 S_T 5 S_, 1 S_B 1 S_b S_T 5 50p 1 p62 _{1 p4}2 _{5 102p cm}2 V R r V T T 5 ? 1 ? 1 5 ? 1 1 5 h _{(R r )} 3 (36 16) 3 2 2 p p p 3 21 _{24 76 21 ccm}3 E C 2 h 2 D B A 10 10 Resolução: h2 1 5 5 5 1 12

(

10

)

2 _{→ h} 3 V V V V cilindro cone 5 5 p ? 1 ? 1 1 p ? ? 5 p 3 3 2 _{2 1}2 ₃ h 5 21cm r 5 4 cm R 5 6 cm

151

Determine o raio da base menor de um tronco de cone, sendo o raio maior o dobro do menor, a altura o dobro do raio maior e o volume igual a 1 792

3 p cm

3_.

150

Em um tronco de cone de revolução os raios das bases e a altura medem, respectivamente, 3 m, 6 m e 12 m. Determine sua área total.

149

Um tronco de cone tem altura igual a 8 m e os raios das bases, 3 m e 9 m, respectivamente. Determine a área total e o volume.

45p 1 27p 17 m2

(

)

4 cm S_t 5 210p m2 _{e V 5 312p m}3 Resolução: S_, 5 pg ? (R 1 r) g2 _{5 h}2 _{1 (R – r)}2 g2 _{5 8}2 _{1 6}2 _{5 100 → g 5 10 m} S_, 5 p ? 10 ? (9 1 3) 5 120p m2 S_T 5 S_, 1 S_B 1 S_b S_T 5 120p 1 p92 _{1 p ? 3}2 _{5 210p m}2 V R r V T T 5 ? 1 ? 1 5 ? 1 1 5 h _{(R r )} 8 3 (81 9) 312 m 2 2 3 p p _p 3 27 Resolução: S_, 5 pg ? (R 1 r) g2 _{5 h}2 _{1 (R 2 r)}2 g 3 g S 3 (6 3) 27 17 2 2 5 1 5 5 5 ? 1 5 122 153 3 17 2 → p 17 p m m ST , 5 5 1 1 5 1 1 5 1 S S 27 17 36 9 45 27 17 m B 2 , S S b T p p p

(

p p

)

R h g r h 5 8 m r 5 3 m R 5 9 m 2r 4r r Resolução: VT 5 ? 1 R r? 1 5 ? h 3 (R r ) 1 792 3 4 r3 (4r 2 p p p 2 22 _{1 2r 1 r ) 5} 28r 3 _{5 5} 3 64 4 cm 2 2 3p → _{r → r}

153

Os raios das bases de um tronco de cone são 10 cm e 12 cm. Qual o raio do cone de mesma altura e de mesmo volume do tronco de cone?

152

Uma secção transversal de um cone circular de 20 cm de altura dista 5 cm da base e tem área igual a 12p cm2_{. Determine o volume do tronco limitado por esse plano.}

154

(Fuvest-SP) As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raios 3 cm e 6 cm. Sabendo que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases, calcule:

a) a altura do tronco de cone b) o volume do tronco de cone

740 9 cm 3 p 2 91 cm V A � 5 cm 12π 15 cm A� B� B Resolução: V R r S T B 5 ? 1 ? 1 5 h 3 (R r ) 12 2 p p → 2 2 20 15 1

(

)

66 64 9 12 3 R 64 3 8 33 12 2 5 5 5 5 5 5 5 S S S R cm S B B B b p → p p p → p pp → p p r 2 5 3 7409 2 _{r cm} VT cm 5 5 ? 1 1 5 3 64 3 16 12 3

(

)

10 h h R 12 Resolução: V R r V h V V T c T c 5 ? 1 ? 1 5 ? 5 h 3 (R r ) R 2 2 p p 2 1 3 → → ph p → → 3 (R r ) R 12 R 2 2 2 2 2 ? 1 R r? 1 5 1 ? h 1 1 5 R 5 3 120 10 2 _{22 91 cm} 4 cm 84p cm3 R h g r Resolução: S_, 5 S_B 1 S_b pg ? (R 1 r) 5 pr2 _{1 pR}2 g ? (3 1 6) 5 32 _{1 6}2 → g 5 5 cm a) h2 _{5 g}2 _{2 (R 2 r)}2 _{→ h}2 _{5 25 2 9 5 16 → h 5 4 cm} b) V h 3 (R r ) 4 3 (6 6 3 ) 84 2 2 T T R r V 5 ? 1 ? 1 5 ? 1 ? 1 5 p p _p 2 2 _{3 ccm}3 r 5 3 cm R 5 6 cm

155

(Mackenzie-SP) Uma xícara de chá tem a forma de um tronco de cone reto, conforme a figura.

Supondo p 5 3, o volume máximo de líquido que ela pode conter é:

a) 168 cm3 _{c) 166 cm}3 _{e) 164 cm}3

b) 172 cm3 _{d) 176 cm}3

4 cm 8 cm

6 cm

156

(Unicamp-SP) Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de cone reto, com bases paralelas. As aberturas do abajur têm 25 cm e 50 cm de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede 30 cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo.

a) Determine os raios dos arcos que devem ser demarcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual àquele que foi danificado.

b) Calcule a área da região a ser demarcada sobre o tecido que revestirá o abajur. Resolução: R 5 4 cm; r 5 2 cm; h 5 6 cm V h 3 (R r ) 6 3 (4 4 2 ) 168 cm 2 2 T T R r V 5 ? 1 ? 1 5 ? 1 ? 1 5 p p 2 2 ₂ 33 30 cm e 60 cm 1 125p cm2 Resolução:

a) Os raios que devem ser demarcados sobre o tecido são o do cone maior, G, e o do cone menor, g. Os triângulos AOD e ABC são semelhantes, logo:

g g g g G G 5 Rr → 1 30 5 → 5 30 cm → 5 60 cm 25 2 25 b) S_T 5 pg9 ? (R 1 r) 5 30p ? 25 2 1 25

(

)

5 1 125p cm2 A D 30 B g G O r R C

157

(FGV-SP) Um tronco de cone circular reto foi dividido em quatro partes iguais idênticas por planos perpendiculares entre si e perpendiculares ao plano da sua base, como indica a figura.

Se a altura do tronco é 10 cm, a medida de sua geratriz, em centímetro, é igual a:

a) 101 c) 103 e) 105 b) 102 d) 2 26 4 cm 6 cm 1 4 vista superior de do tronco p. 65

158

Qual o volume de uma bola de futebol cujo diâmetro é 20 cm?

159

Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de aresta 5 cm. Resolução:

Cálculo dos raios do tronco:

r r r R R R 2 2 2 2 ₆2 1 5 5 1 5 5 4 2 2 cm 3 2 cm 2 _→ → 4 000 3 cm 3 p 6 4 R r 10 g 2 2 3 2 g g cm 2 2 2 10 10 100 2 102 1 1 2 5 1 5 1 5 (R r) g 2 2 2

(

)

2 _→ Resolução: V R V 5 5 5 5 4 3 4 3 3 p p p R 10 cm 10 4 000 cm 3 3 3 125 2 cm 3 p 3 5 Resolução:

O raio da esfera é a metade da diagonal do cubo. R 2 V R3 12 5 5 5 ? 5 ? ? ? 5 5 3 4 3 43 5 32 43 125 38 3 3 p p  p    55p 32 3 cm

160

A área de uma superfície esférica é 100p cm2_{. Determine seu volume.}

161

Uma bola maciça de madeira tem raio 4 cm, e uma outra bola também maciça tem diâmetro 5 vezes maior que o diâmetro da primeira. Qual a razão entre os volumes das bolas?

162

(UFRGS) No desenho abaixo, em cada um dos vértices do cubo está centrada uma esfera cuja medida do diâmetro é igual à medida da aresta do cubo.

A razão entre o volume da porção do cubo ocupado pelas esferas e o volume do cubo é: a) p 6 c) p4 e) p2 b) p₅ d) p₃ 500 3 cm 3 p Resolução: S 5 5 5 5 5 4 R 100 R 5 cm V R 5 5 2 3 3 p p → p → p 4 3 43 0003p cm 3 v V 5 1251 Resolução: v r 3 4 V R (5 4) 3 3 3 3 5 5 5 5 ? ? 4 3 4 4 3 43 p p p p v V 55 _? 5 4 3 4 3 4 1 125 3 p p → 4 5 3 3 v V Resolução:

Cada esfera ocupa 1₈ de seu volume no cubo. Como o cubo possui 8 vértices, temos: V 4 3 R

e 5 p .3

A aresta do cubo é 2R, portanto: V_c 5 (2R)3_.

V V 4 3 R 8R 6 e c 3 3 5 p 5 p

163

(UFPel-RS) O jogo de bochas foi trazido para o Rio Grande do Sul provavelmente pelos italianos e não é muito antigo em nosso estado, porém de profunda aceitação em todas as regiões.

No Sul, as canchas mais comuns possuem pisos de terra batida ou madeira, apresentando dimensões de 24 m de comprimento e 4 m de largura. Cada bola desse jogo possui diâmetro de 10 cm.

A partir do texto e de seus conhecimentos, e considerando p 5 3,14, determine: a) a área da superfície esférica correspondente a uma bola de bocha;

b) o volume da esfera que corresponde a uma bola de bocha;

c) o maior número de bolas de bocha que se pode guardar em uma caixa de madeira em forma de paralelepípedo retângulo de dimensões internas 45 cm, 40 cm e 20 cm.

164

(Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um ponto A até um ponto B, diametralmente opostos, conforme a figura.

O A

B

165

(Mackenzie-SP) Um recipiente cilíndrico reto, com raio da base igual a 4 cm, contém água até a metade de sua altura. Uma esfera maciça, colocada no seu interior, fica totalmente submersa, elevando a altura da água em 2 cm. O raio da esfera é:

a) 2 33 _{c) 3 2}3 _{e) 2}

b) 4 d) ₂5

3

O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento igual a: a) p 2 m c) 32p m e) 3p m b) p m d) 2p m 523,33 cm3 314 cm2 32 bolas Resolução: R 5 5 cm a) S 5 4pR2 5 4p52 5 100p 5 314 cm2 b) V 4 3 R 43 R 523,33 cm 3 3 3 5 p 5 p 5

c) Sendo o diâmetro de cada bola 10 cm, podemos colocar 4 bolas em 45 cm, 4 bolas em 40 cm e 2 bolas em 20 cm. Portanto: 4 ? 4 ? 2 5 32 bolas na caixa.

Resolução:

O menor trajeto é a metade da circunferência do círculo máximo da esfera.

C 1

2 2 R 50 50 cm 0,50 m

5 ? p 5 p 5 p 5 p

2 Resolução:

O volume da esfera é igual ao volume de água deslocado. V_c 5 pr2 _{? h 5 16p ? 2 5 32p} V 4 3 R 32 R R 2 3 e 3 3 3 5 p 5 p → 5 24 → 5

166

(Mackenzie-SP) Uma esfera de raio R é cortada por dois planos paralelos, um deles passando por seu centro, obtendo-se, assim, dois círculos cujas áreas estão na razão de 1 para 4. A distância d entre os dois planos, em função de R, é: a) d 2R 3 5 c) d 5 R 3₂ e) d 5 R 2 b) d R 2 5 d) d R 3 3 5

167

(Mackenzie-SP) Uma bóia marítima construída de determinada liga metálica tem o formato de uma gota que, separada em dois sólidos, resulta em um cone reto e em uma semi-esfera,

conforme a figura ao lado, na qual r 5 50 cm. Se o preço do metro quadrado da liga metálica é 1 200 reais, adotando-se p 5 3, o custo da superfície da bóia é, em reais, igual a:

a) 4 200 c) 4 500 e) 3 800

b) 5 700 d) 5 200

r

r

p. 66

168

(Fatec-SP) Duas esferas maciças iguais e tangentes entre si estão inscritas em um paralelepípedo reto-retângulo oco, como mostra a figura. Observe que cada esfera tangencia as quatro faces laterais e uma das bases do paralelepípedo.

O espaço entre as esferas e o paralelepípedo está preenchido com um líquido. Se a aresta da base do paralelepípedo mede 6 cm, o volume do líquido nele contido, em litro, é aproximadamente igual a: a) 0,144 c) 1,44 e) 20,6 b) 0,206 d) 2,06 C R R d O _{r A} Resolução: p pRr → R 4 d R r 2 2 2 2 2 2 5 5 5 2 5 2 5 1 4 4 2 2 2 r R R d RR 3 2 Resolução:

S_T 5 S_{lateral do cone} 1 S_{meia esfera} S_T 5 pr ? g 4 r 2 2 1 p 5 3 ? 50 ? 3 ? 50 1 2 ? 3 ? 502 5 37 500 cm2 5 3,75 m2 custo 5 1 200 ? 3,75 5 R$ 4 500,00 12 6 6 Resolução:

V_líquido 5 V_prisma 2 2V_esfera

V_prisma 5 6 ? 6 ? 12 5 432 cm3 _{5 0,432 dm}3

Vesfera 5 4₃pr 5 4₃p3 5 36p 5113,04 dm

3 3 3

169

(UFU-MG) Todos os tanques de armazenamento de combustível de uma refinaria possuem o mesmo formato de um cilindro circular reto de 20 m de altura com capacidade individual de armazenamento de 2 000p m3 _{de gasolina. Suponha que de um desses tanques totalmente cheio de gasolina foi retirada uma}

quantidade desse combustível suficiente para encher, totalmente, 30 caminhões-tanque usados na distribuição para alguns postos de combustíveis. Sabendo que os tanques dos caminhões são idênticos e possuem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de comprimento com um hemisfério em cada extremidade de raio 1 m, conforme figura abaixo, determine a altura atingida pela gasolina restante no tanque cilíndrico do depósito.

5 m 1 m

1 m

tanque dos caminhões tanque de armazenamento 20 m

p. 70

170

Um poliedro possui 20 arestas e 10 faces. Qual o número de vértices?

171

Um poliedro possui 20 faces e 42 arestas. Qual a soma dos ângulos de todas as faces desse poliedro?

172

Um poliedro possui 6 ângulos triédricos e 4 ângulos tetraédricos. Qual o número de arestas, vértices e faces? 18,10 m V 5 10; A 5 17 e F 5 9 12 7 920° Resolução: V V caminhão camin 5 V_cilindro 1 V_esfera hhão 3 gasolina tanque 19 m V V 5 ? ? 1 ? 5 5 p 1 5 4 p p 3 1 3 2 2 2 2 30V 5 2 000 2 30 ? 19 51 810 m V caminhão 3 tanque p p p 3 5 5 ? 5 ? 5 5 5 Sb H Sb 20 2 000 Sb 100 Vgasolina 1 810 m p → p p 33 b S 1 810 18,10 m 5 ? h → h 5 _pp 5 100 Resolução: A 5 20; F 5 10 V 2 A 1 F 5 2 V 2 20 1 10 5 2 V 5 12 Resolução: F 5 20; A 5 42 S 5 (V 2 2) ? 4r V 2 A 1 F 5 2 V 2 42 1 20 5 2 → V 5 24 S 5 (24 2 2) ? 360° 5 22 ? 360° 5 7 920° Resolução: A 5 6 3? 1 ? 5 1 5 2 4 4 2 9 8 17 V 5 6 1 4 5 10 V 2 A 1 F 5 2 10 2 17 1 F 5 2 → F 5 9

173

Um poliedro é constituído por 12 faces triangulares. Quantos vértices ele possui?

174

Qual é o poliedro que se obtém unindo-se os centros de um hexaedro regular?

175

Calcule a soma dos ângulos das faces de um:

a) dodecaedro; b) icosaedro.

176

Um poliedro tem 3 faces quadrangulares, 2 faces triangulares e 4 faces pentagonais. Determine a soma dos ângulos das faces desse poliedro.

octaedro 8 3 600° 6 480° 3 600° Resolução: F 12; A 2 18 5 5 12 3? 5 V 2 A 1 F 5 2 V 2 18 1 12 5 2 → V 5 8 Resolução: Resolução: S 5 (V 2 2)4r a) dodecaedro: V 5 20 → S 5 18 ? 4 ? 90° 5 6 480° b) icosaedro: V 5 12 → S 5 10 ? 4 ? 90° 5 3 600° Resolução: F 5 3 1 2 1 4 5 9 A 5 3 4? 1 2 3? 1 4 5? 5 2 19 V 2 A 1 F 5 2 → V 2 19 1 9 5 2 → V 5 12 S 5 (V 2 2) ? 4r → S 5 10 ? 4 ? 90° 5 3 600°

Um hexaedro regular é um cubo.

177

A soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro é 4 3208. Qual a sua natureza, sabendo que ele é um prisma?

178

Um poliedro convexo de 39 arestas possui faces triangulares e pentagonais. Quantas faces de cada tipo ele tem, sabendo que a soma é 68 ângulos retos?

179

Quantas arestas e vértices possui o dodecaedro de Platão?

prisma heptagonal

16 faces triangulares e 6 faces pentagonais

A 5 30; V 5 20 Resolução: 2 ? (n 2 2) ? 180° 1 360°n 5 4 320° 360°n 2 720° 1 360°n 5 4 320° 720°n 5 5 040 n 5 7

A base do prisma é um heptágono.

Resolução: Resolução:

Sejam n o número de faces triangulares e m o número de faces pentagonais. F 5 n 1 m

A 5 3n 1 5m 5

2 39

S 5 (V 2 2) ? 4r 5 68r → V 5 19

V 2 A 1 F 5 2 → 19 2 39 1 F 5 2 → F 5 22 Então, temos o sistema 3n 5m 78

n 3) 3n 5m 78 3n 3m 1 5 1 5 3 2 1 5 2 2 5 2 m 22 ( → 66       2m 512 → m 5 6 Substituindo m, temos: n 1 6 5 22 → n 5 16

Portanto, são 16 faces triangulares e 6 faces pentagonais.

A 5 12 5? 5

2 30

F 5 12

180

(Unifesp-SP) Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente:

a) 8 e 8 c) 6 e 8 e) 6 e 6

b) 8 e 6 d) 8 e 4

181

Qual é o poliedro determinado pelos pontos médios das arestas de um tetraedro regular? octaedro

Resolução:

• cada face triangular está associada a um vértice do cubo; portanto, temos 8 faces triangulares. • cada face quadrada está contida numa face do cubo; portanto, temos 6 faces quadradas.

Resolução:

O poliedro determinado pelos pontos médios das arestas de um tetraedro regular é um octaedro regular.