Página 1
1. Esboce o gráfico da função
x y 2 1 . 2
1 , determine o domínio, imagem, crescimento ou decrescimento e a assíntota.
________________________________________________________________________________________
2. Esboce o gráfico da função
y
2
3
.(
2
)
x, determine o domínio, imagem, crescimento oudecrescimento e a assíntota.
________________________________________________________________________________________
3. Esboce o gráfico da função
y
2
4
.(
2
)
x, determine o domínio, imagem, crescimento oudecrescimento e a assíntota.
________________________________________________________________________________________
4. Determine uma fórmula do tipo
y
b
.
a
x, para cada função exponencial cujos valores são dados na tabela a seguir. X f(x) g(x) -2 1,472 -9,0625 -1 1,84 -7,25 0 2,3 -5,8 1 2,875 -4,64 2 3,59375 -3,7123 a) f(x) b) g(x) ________________________________________________________________________________________5. Determine uma fórmula para a função exponencial
y
b
.
a
x, cujo gráfico é demonstrado na figura. a) b)
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6. Esboce o gráfico de cada função e analise domínio, imagem, crescimento ou decrescimento e assíntotas. a)
f
(
x
)
3
.
2
x b)f
(
x
)
4
.
0
,
5
x c)f
(
x
)
4
.
e
3x d)f
(
x
)
.
5
e
x __________________________________________________________________________________________7. Numa certa cultura existem 1000 bactérias em determinado instante. Após 10 minutos, existem 4000. Quantas bactérias existirão em 1 hora, sabendo que elas aumentam através da fórmula
kt e P
P 0 , em que P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é a taxa de crescimento?
__________________________________________________________________________________________
8. Em uma experiência de aprendizado, os psicólogos Miller e Dollard registraram o tempo que uma menina de 6 anos levava para encontrar uma bala escondida em uma série de tentativas. A menina levou 210 segundos para achar sua 1ª bala e 86 segundos para achar a 2ª bala . Suponha que o tempo necessário para encontrar a bala pudesse ser modelado por uma função da forma T Aekn, onde n
é o número de acertos e k é uma constante. a. Determine os valores das constantes A e K
b. Se o modelo estivesse correto, quanto tempo levaria a menina para encontrar a bala na nona tentativa? Na verdade a menina levou 2 segundos.
__________________________________________________________________________________________
9. Devido a um grave problema, a população de uma cidade no Senegal está sendo reduzida a uma taxa de 10% ao ano. Quanto tempo levará para que esta população seja reduzida a 50%, sabendo que essa situação pode ser modelada por uma função exponencial do tipo y y bt
0 ?
__________________________________________________________________________________________
10. A produção de uma peça numa empresa é expressa pela função y = 100 – 100.e-0,2d,
d
e
y
100
100
0,2 onde y é o número de peças e d o número de dias. A produção de 87 peças seráalcançada em quantos dias?
__________________________________________________________________________________________
11. A expressão
P
(
t
)
k
.
2
0,05t fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, emfunção do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300.000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, ela possuía no ano 2000?
__________________________________________________________________________________________
12. Um corpo com temperatura de 200 ºC é exposto ao ar e após 30 segundos sua temperatura atinge 120ºC. Sabendo que seu resfriamento obedece a função: T .cekt Ta Onde: T temperatura;
t tempo; c, k constantes; Ta 20ºC.
a) Determinar a temperatura após 1 hora.
b) Determinar o tempo necessário para atingir 40ºC.
__________________________________________________________________________________________
13. Um psicólogo desenvolveu uma fórmula que relaciona o número n de símbolos que uma pessoa pode memorizar no tempo t , em minutos.
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a) Calcule, de acordo com a função f e com aproximação às unidades, quantos símbolos uma pessoa pode memorizar em 4 minutos.
b) Uma pessoa memorizou 26 símbolos.
Quanto tempo precisou, aproximadamente, para realizar tal tarefa?
__________________________________________________________________________________________
14. A pressão atmosférica, P , em polegadas de mercúrio ( 1 polegada = 25,4 mm ), é dada por : P (h) = 30 x 10-0,09h onde h é a altura, em milhas ( 1 milha = 1609 metros ) , acima do nível do mar.
Calcule:
a) a pressão atmosférica 3 km acima do nível do mar;
b) com erro inferior a 0,1 milhas determinem a altura de uma montanha sabendo que no cume a pressão atmosférica é de 505 mm de mercúrio.
_________________________________________________________________________________________
15. De um modo geral, a população, ou seja, o numero de bactérias, mosquitos, etc, existentes num instante t é dado por uma lei exponencial do tipo
P= P
0e
kt , onde k é uma constante positiva,chamada constante de proporcionalidade, e P0 é a população inicial ( população no instante t = 0).
Suponhamos então uma situação concreta em que o número P de mosquitos é dado pela expressão: P = P0 e 0,01t , onde o tempo t é expresso em dias.
Determine a população inicial P0, sabendo que depois de 30 dias a população é de 400 000
mosquitos.
________________________________________________________________________________________
16. O capital acumulado a prazo ao fim de n anos, quando capitalizado de forma continua, pode ser calculada através da função C = C0 e tn , em que C0 representa a quantia depositada e t a taxa de juro
anual ( na forma decimal). Supondo C0 = 10 000 euros e t = 8%, determina:
a) a quantia acumulada ao fim de um, de dois e de oito anos e meio. b) aproximadamente ao fim de quanto tempo duplica o capital?
________________________________________________________________________________________
17. A quantidade, em gramas, de substância radioativa de uma amostra decresce segundo a fórmula Q(t) = Q0 e –0,0001t, em que t representa o número de anos. Ao fim de 5 000 anos restavam 3 gramas de
substância radioativa na amostra. Quantas gramas existiam inicialmente?
________________________________________________________________________________________
18. Um som de nível A de decibéis está relacionado com a sua intensidade i pela equação A = 10 log i ( com i > 0 )
Com i expressa em unidades adequadas.
a) Um som com 1 000 unidades de intensidade atinge quantos decibéis?
b) De um local próximo os níveis de ruído provocados por um caminhão e por um avião a jato são, respectivamente, 100 e 120 decibéis.
Qual é a razão entre a intensidade de ruído provocado pelo avião a jato e a do ruído do caminhão?
c) Exprima i em função de A.
_______________________________________________________________________________________
19. O resfriamento de uma bola de metal é gerado pela função
T
(
t
)
c
.
e
kt
20
, em que: c e k são constantes;
t indica o tempo ( em minutos ); 20 é a temperatura do ar ( em °C);
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Sabendo que a temperatura da bola inicialmente era de 100°C e passados 20 minutos a sua temperatura era de 60°C, calcule:
a) Qual a temperatura da bola de metal quando o tempo for de 15 minutos?
b) Qual o tempo necessário para que a bola de metal tenha a temperatura de 40°C?
__________________________________________________________________________________________
20. Num raio de x km, marcado a partir de uma escola de periferia, o Sr. Jones constatou que o número de famílias que recebem menos de 4 salários mínimos é dado por N(x) = k.22x, em que k é
uma constante e x > 0. Se há 6 144 famílias nessa situação num raio de 5km da escola, o número que você encontraria delas, num raio de 2km da escola, seria:
________________________________________________________________________________________
21. Num tanque biodigestor, os dejetos suínos sob a presença de determinadas bactérias se decompõem segundo a lei 4
1
2
.
)
(
tK
t
D
, na qual K é uma constante, t indica o tempo (em dias) e D(t) indica a quantidade de dejetos (em quilogramas) no instante t. Considerando-se os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico abaixo, a quantidade de dejetos estará reduzida a 128 g depois de: a. 16 dias b. 12 dias c. 4 dias d. 20 dias e. 8 dias __________________________________________________________________________________________22. Sabendo que log3(7x – 1) = 3 e que log2(y3 + 3) = 7, pode-se afirmar que logy(x2 + 9) é igual a:
a. 6 b. 2 c. 4 d. – 2 e. – 4 ________________________________________________________________________________________
23. Determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras: a. O valor do log0,25 32 é igual a
5 2.
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b. Se a, b e c são números reais positivos e x = a
b c
3
2 então log x = 3 log a 2log b 1/2 log c.
c. Se a, b e c são números reais positivos com a e c diferentes de um, então tem-se loga b =
log c log c b a d. O valor de x que satisfaz à equação 4x 2x = 56 é x = 3
e.
2
3
2
3
2 3 1 7
_______________________________________________________________________________________ 24.O gráfico do desempenho de certo candidato à Câmara Federal foi ajustado através da função f(x) = loga x + m e está apresentado na figura, onde x representa o número de dias que precediam o pleito e
f(x) o número de votos em milhares de unidades. Sabendo que g(x) = f(x) – 3, o valor de g –1 (4) é:
a. 1 b. 3 c. 9 d. 27 e. 81 __________________________________________________________________________________________
25. A expressão que representa a solução da equação 11x – 130 = 0 é:
a. x = log12011 b. x = log11 130 c. x = 11 130 log d. x = log 11 130 e. log 13011 ________________________________________________________________________________________
Página 6
a. f –1(x) = 3x + 1 b. f –1(x) = 3x – 1 c. f –1(x) = 3x – 1 d. f –1(x) = (3 – 1)x e. f –1(x) = log(x + 1) 3 ________________________________________________________________________________________27. Considere a, b e c números reais positivos com a ≠ 1, b ≠ 1 e c ≠ 1. Se loga b = 2 e logc a = 3/5
conclui-se que o valor de logb cé:
a. 1/2 b. 5/3 c. 1/6 d. 5/6 e. 6/5 ________________________________________________________________________________________
28. Se log2 N = p, assinale o que for correto.
a. log16 N = 4 p b. log1/2 N = – p c. log3 N = p. log32 d. log8 N2 = 3 2 p e. log2 N = 2.log2 p ________________________________________________________________________________________ 29. A solução da equação (0,01)x = 50 é a) – 1 + log
2
b) 1 + log2
c) – 1 + log 2 d) 1 + log 2 e) 2 log 2 __________________________________________________________________________________________30. Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em determinar o valor x que satisfaz a equação 10x = N e usar propriedades dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse
número. Dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, use esse método para decidir qual dos números abaixo mais se aproxima de N = 2120330.
a) 1045
b) 1050
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d) 1060 e) 1065 ________________________________________________________________________________________ 31. A soma 20 19 log ... 5 4 log 4 3 log 3 2 log é igual a a) – log 20 b) – 1 c) log 2 d) 1 e) 2 ________________________________________________________________________________________32. O crescimento de uma colônia de bactérias é descrito por P(t) = α.4 t onde t ≥ 0 é o tempo, dado
em horas, e P(t) é a população de bactérias no instante t. Se, após 4 horas, a população inicial da colônia triplicou, após 8 horas o número de bactérias da colônia será:
a) 6 α b) 8 α c) 9 α d) 8 α − 4 e) α + 8 ________________________________________________________________________________________
33. As soluções da equação 3x + 1 + 34 – x – 36 = 0 são a e b, com a < b. Com base nestes dados, assinale
o que for correto. 01. log3 (a + b) = 1 02. log4a + log4 b = 1/2 04. log (b – a) = 0 08. log b a = – log b ________________________________________________________________________________________
34. Com relação aos números reais, é correto afirmar que: a. 01. 2 2 2 3 2 3 3 b. O quociente x x 2 . 3 3 . 2 1 é impossível para x = 1
c. 2.3x – 3.2x = 0 para todo número real x.
d. 0,25.10-3 = 2,5.10-4
________________________________________________________________________________________
35. A função real definida por f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1:
a) só assume valores positivos
b) assume valores positivos somente se x > 0 c) assume valores negativos para x < 0 d) é crescente para 0 < a < 1
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e) é decrescente para a > 1
________________________________________________________________________________________
36. Dadas as funções definidas por f(x) = x 5 4 e g(x) = x 4 5
, é correto afirmar que: a) os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam b) f(x) é crescente e g(x) é decrescente c) g(-2).f(-1) = f(1) d) f(g(0)) = f(1) e) f(-1) + g(1) = 2 5 ________________________________________________________________________________________
37. Esboçando os gráficos de f(x) = 5x e g(x) = 2 + x – x2 num mesmo plano cartesiano, verifica-se que
todas as raízes da equação f(x) = g(x) pertencem ao intervalo: a) (– 2, – 1) b) (– 1, 0) c) (– 1, 1) d) (0, 1) e) (0, 2) ________________________________________________________________________________________
38. O número real que satisfaz a equação log25log2(x – 4) = 2 1 é: a) irracional b) primo c) quadrado perfeito d) negativo e) múltiplo de 5 ________________________________________________________________________________________
39. Por definição logb a = c, tem-se a > 0, b > 0 e b ≠ 1. Os valores de x para que logx – 2(x2 – 3x – 4)
exista são: a) [4, ∞[ b) [ – 1, 4[ c) [2, ∞[ – {3} d) ]4, ∞[ e) ] – ∞, –1[ [4, ∞[ ________________________________________________________________________________________
40. A respeito da função real definida por f(x) = log (3x – 5), assinale o que for correto. a) f(2) = 1 b) f(35) = 2 c) f(3) = 2log2 d) f(10) – f(15) = log 8 5 ________________________________________________________________________________________
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41. Um empresário comprou um apartamento com intenção de investir seu dinheiro. Sabendo-se que este imóvel valorizou 12% ao ano, é correto afirmar que seu valor duplicou em, aproximadamente: (dados: log 2 = 0,30 e log 7 = 0,84)
a) 3 anos b) 4 anos e 3 meses c) 5 anos d) 6 anos e 7 meses e) 7 anos e 6 meses ________________________________________________________________________________________
42 O valor da expressão log3 5. log125 27 é:
a) 3 2 b) 2 c) 1 d) 2 3 e) um número irracional ________________________________________________________________________________________
43. Sendo a R, com a > 1, é correto afirmar que: a) log5 a 5.loga
b) loga 3.log3 a = 1
c) loga 4 + loga 9 = 2.loga 6
d) 10log 3 = 3
e) Quando A = loga 5 e B = loga25, então B = 2a
________________________________________________________________________________________
44. O conjunto solução da equação log2 (x + 1) + log2 (x – 3) = 5 é:
a) S = {7} b) S = {7, - 5} c) S = {17} d) S = {7/2} ________________________________________________________________________________________
45. Assinale o que for verdadeiro.
a. Se a > 0, b > 0 e c > 0, então a c b b c a log log . 3 log . 2 . log 3 2
b. Se log 2 = a e log 3 = b, então log2 72 = a
b a 2 3
c. Se log21(x + 2) + log21(x + 6) = 1, então x = 1
d. Se log(1000)x – log(0,001)x = - 1, então x = 6 1
Página 10
f. Se f(x) = log (log( 1)) 2
1 x , então f(9) = 0
________________________________________________________________________________________
46. Na expressão log 8 – log 2 + 2log x = 0, o valor de "x" é: a) 1 b) 0,5 c) 0 d) –0,5 e) –1 ________________________________________________________________________________________
47. Com base nos estudos de logaritmos e exponenciais, é correto afirmar que: a) log10 2 9 10003 b) log10 4 5 = – log 10 5 4 c) {x R/ loge x ≥ 0} = [1, ∞) d) se 8-2x = 27, então 2-2x = 3 1
e) se x é um número real, tal que 40.2x – 4x = 256, então é necessário que x = 3.
________________________________________________________________________________________
48. Para a função f de uma variável real definida por f(x) = a.log10(x – b), em que a e b são números
reais, a 0 e x > b, sabe-se que f(3) = 0 e f(102) = – 6. Sobre o exposto, é correto afirmar que: a) a + b = – 1
b) a + b = – 6 c) a + b = 105 d) a – b = 5 e) b – a = 2
49. O conjunto solução da desigualdade
1 2 2 2
2
1
ln
2
1
ln
x x é: a) S = {x R tal que – 1 < x < 3} b) S = {x R tal que – 1 x 3} c) S = {x R tal que x < – 1 ou 3 < x } d) S = {x R tal que – 3 < x < 1} e) S = {x R tal que 1 < x < 3} ________________________________________________________________________________________Página 11
I. A função f(x) = log1/2/(x – 5) é decrescente e seu gráfico intercepta o eixo das abscissas no ponto
P(6,0). II. A função g(x) = 5 2 1
x é decrescente e seu gráfico não intercepta o eixo das ordenadas.
III. A função g(x) = 5 2 1 x
é a inversa da função f(x) = log1/2 (x – 5)
A alternativa correta é:
a) Somente a afirmativa II é verdadeira. b) Somente a afirmativa I é verdadeira. c) Somente a afirmativa III é verdadeira.
d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. e) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
________________________________________________________________________________________
51. Se loga b = 3, loga c = 4 e loga c b
= x, pode- se afirmar que: 1 a e) c b a d) b c a c) b c a b) c b a a) ________________________________________________________________________________________ 52. Se f(x) = 161+1/x, então f(-1) + f(-2) + f(-4) é igual a: a. 11 b. 13 c. 15 d. 17 e. nda ________________________________________________________________________________________ 53. Se 1 , 1 1 1 2 ) ( x x x para x f x então f(0) - f (3/2) é igual a:
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a. 5/2 b. 5/3 c. 1/3 d. -1/2 e. -2/3 ________________________________________________________________________________________54. Seja a função f(x) = ax. É correto afirmar que:
a. ela é crescente se x > 0 b. ela é crescente se a > 0 c. ela é crescente se a > 1 d. ela é decrescente se a 1 e. ela é decrescente se 0 < x < 1 ________________________________________________________________________________________
55. Seja a função f: IR è IR definida por f(x) = 2x . Então f(a+1) - f(a) é igual a:
a. 2 b. 1 c. f(a) d. f(1) e. 2.f(a) ________________________________________________________________________________________
56. Os valores de a R que tornam a função exponencial f(x) = (a - 3)x decrescente são:
a. 0 < a < 3 b. 3 < a < 4 c. a < 3 e a 0 d. a > 3 e a 4 e. a < 3 ________________________________________________________________________________________ 57. Se f (x) = 4x+1 e g (x) = 4x, a solução da inequação f(x) > g(2 - x) é: a. x > 0 b. x > 0,5 c. x > 1 d. x > 1,5 e. x > 2 ________________________________________________________________________________________
58. Seja uma função de variável real. Determine o conjunto que contém todos os valores reais de para os quais
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59. Uma população de bactérias no instante é dada pela função , em que é dado em minutos. Experimentalmente, verifica-se que e a população depois de 1 minuto era de 64 bactérias e depois de 3 minutos, de 256. Determine a população inicial (isto é, quando = 0).
Determine o domínio das funções
a) f
b)
________________________________________________________________________________________
60. Determine o intervalo em que a função está definida. E dada a função definida por
(a) Determine os valores de x para os quais (b) Determine os valores de x para os quais
________________________________________________________________________________________
61. Dadas as funções e , determine real de modo que se tenha: (a)
(b)
________________________________________________________________________________________
62. Esboce as curvas exponenciais transladadas:
e .
________________________________________________________________________________________
63.Prove que é irracional.
________________________________________________________________________________________
Utilizando as leis de exponenciação, simplifique a expressão a seguir:
_________________________________________________________
____________________________
64.Utilizando as leis de exponenciação, simplifique a expressão a seguir: e
_________________________________________________________
___________________________
65.Esboce juntas as curvas dadas no plano cartesiano e identifique cada uma com sua equação:
, , y , e .
________________________________________________________________________________________
66.Esboce as curvas exponenciais transladadas:
e .
________________________________________________________________________________________
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68.Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui aumentando,
consequentemente, a massa da nova substância transformada. Além disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo a quantidade de matéria radioativa é igual a , então no instante
de tempo a quantidade dessa matéria será igual a , sendo uma constante positiva que depende da matéria radioativa considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante , é informado o tempo de meia vida da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se desintegre.
a). Mostre que as constantes e de uma mesma substância radioativa, estão relacionados pela expressão
b) A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num corpo puro de 10 gramas desse material reste apenas um grama?
c) Uma amostra de tório reduz-se a de sua quantidade inicial depois de 33.600 anos. Qual é a meia-vida do tório?
________________________________________________________________________________________
69.Lei de resfriamento de Newton: essa lei afirma que em um ambiente com temperatura constante, a temperatura de um objeto no instante varia de acordo com a expressão: , onde é a temperatura do meio, a diferença de temperatura entre o objeto e o meio no instante
, e uma constante positiva.
a) Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30 graus. A água que fervia numa panela, 5 minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65 graus. Quanto tempo depois de apagado o fogo a água atingirá a temperatura de 38 graus?
b) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia chegou às 23:30 h e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de 34,8 graus. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. A temperatura do quarto era mantida constante a 20 graus. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva
é de 36,5 graus.
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RESPOSTAS - RESPOSTAS - RESPOSTAS - RESPOSTAS - RESPOSTAS - RESPOSTAS - RESPOSTAS1. D=R Im={yR/y1} Crescente Ass. y = 1 2. D=R Im={yR/y2} Decrescente Ass. y = 2 3. D=R Im={yR/y2} Crescente Ass. y = 2 4. a)
