FÍSICA QUÂNTICA: EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E APLICAÇÕES

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FÍSICA QUÂNTICA: EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E APLICAÇÕES Daniel Valin dos Reis Jr - Depto. de Matemática - UNEMAT/ Sinop-MT

e-mail: [email protected] 1) INTRODUÇÃO HISTÓRICA

É sabido que quando a luz branca passa por um prisma ou um a rede de difração temos um padrão ou espectro da luz visível visto como raias coloridas sobre um

anteparo. Uma das grandes descobertas do século XX foi que a de que o padrão de raias coloridas emitido por lâmpadas de gás rarefeito era discreto e não contínuo (Figura 1). Esta e outras descobertas experimentais anteriores, tais como a radiação do corpo negro e o efeito fotoelétrico, abriram caminho para uma nova teoria sobre a mecânica aplicada a partículas microscópicas tais como elétrons, prótons, nêutrons e outra infinidade de partículas do mundo subatômico. Esta teoria, denominada Mecânica Quântica, entra em harmonia com a mecânica clássica ou Newtoniana, para “grandes níveis” de energia.

O padrão discreto das raias espectrais emitidos por lâmpadas de gás rarefeito mostra que os átomos “isolados” emitem radiação não em qualquer nível, mas somente em certos níveis de energia, ou seja, a energia é quantizada, onde cada unidade é

denominada quantum (ou pacote) de energia. O padrão discreto levou Niels Bohr um modelo planetário de átomo com níveis discretos de energia, com a existência de um nível mínimo de energia ou estado terra. Desse modo o átomo de Bohr não colapsava conforme a teoria clássica e ainda explicava adequadamente as raias espectrais

discretas.

(b)

(a) c)

Figura 1 – (a) Os níveis de energia para o átomo de hidrogênio. (b) Niels Bohr. c) O modelo do átomo planetário antes de Bohr.

O quantum de energia para a radiação eletromagnética é expresso pela seguinte equação

(2)

E=hf

onde E é a energia, f é a frequencia da radiação emitida e h é a constante de Planck, com valor

h= 6,63x10-34_{J.s ou h= 4,14x10}-15_eV.s.

Uma vez que ondas eletromagnéticas podem ser tratadas como um conjunto de partículas, a consequência posterior desta teoria foi tratar as partículas tais como

elétrons, prótons e neutrons como ondas. E não estava restrita as partículas, mas a toda a matéria. Esta hipótese foi primeiramente proposta por Louis de Broglie, em sua tese de doutorado. Anos depois, esta hipótese foi confirmada experimentalmente pelos físicos Davisson e Germer com a descoberta do padrão de difração de elétrons.

Figura 2 – Padrões de difração para raios-X(ondas eletromagnéticas) e elétrons (partículas). O resultado experimental para o elétrons com nível de energia deste experimento, indica que estes possuem comprimentos de onda λ muito similares aos do padrão de raios-X indicado na figura.

Convém salientar que a hipótese ondulatória da matéria não concorre com a hipótese das partículas e sim a complementa, pois hora observamos fenômenos ondulatórios, hora observamos fenômenos de partículas, dependendo do tipo de experimento realizado. Esta característica chama-se dualismo onda partícula. Para entender porque não observamos fenômenos ondulatórios em objetos macroscópicos temos que levar em consideração que o comprimento de onda de matéria é dado por

λ=h/ p _,

onde p=mv é o momento linear da partícula. Para uma bola de pingue-pongue com massa de 2,0 g e velocidade de 5 m/s, temos um comprimento de onda de

λ=6,6 x 10−32m=6,6 x 10−21nm .

Trata-se de um valor de 15 ordens de grandeza menor que o núcleo atômico.

raios – X

(3)

A Teoria Quântica é o ramo da física que estuda o mundo microscópico das partículas elementares, átomos moléculas usando dualismo onda partícula, elaborando antes de tudo, um formalismo ondulatório apropriado. Este formalismo tem como ponto de partida a equação de Schrödinger.



2) EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER 

2.1) EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER DEPENDENTE DO TEMPO

A equação de Schrödinger deve ser semelhante a equação diferencial de onda em uma corda ∂2Y ∂x2= 1 v2 ∂2Y ∂t2 , (1)

cuja a solução é dada por

y=A exp−iω (t+x

v) . (2)

Mas em lugar de usarmos Y, usaremos o símbolo Ψ(x,t) para representar a função de onda

Ψ=Ψ ( x,t ) _. ₍₃₎

A equação de Schrödinger deve ser tal que:

1. Seja consistente com os postulados de de Broglie Einstein

λ=h/ p _e ₍₄₎

f=E / h _; ₍₅₎

2. Seja consistente com a equação da conservação da energia

E= p 2

2m+V (6)

que relaciona a energia total E de uma partícula de massa m com sua energia cinética p²/2m e sua energia potencial V.

(4)

3. Seja linear em Ψ(x,t). Isto é, se Ψ1(x,t) e Ψ2(x,t) são soluções diferentes para

uma dada energia potencial V(x), então qualquer combinação linear arbitrária dessas soluções, Ψ(x,t)=c1Ψ1(x,t)+c2Ψ2(x,t), também é solução. Esta

combinação, denominada linear é importante, pois por meio dela podemos ter diversas combinações de funções de onda para produzir as interferências construtivas e destrutivas que são tão características da física ondulatória. E estas propriedades também existem nas ondas de matéria.

A energia potencial V é em geral uma função de x, e possivelmente até de t. No entanto, há um caso especial importante no qual

V ( x,t )=V₀

, (7)

que é exatamente o potencial da partícula livre, já que a força atuante sobre a partícula dada pela equação seguinte

F=−∂V( x,t )

∂x (8)

é zero. Neste caso a primeira lei de movimento de Newton nos dá um movimento de momento p constante.

Voltando o nosso foco às hipóteses de de Broglie-Einstein (hipótese 1), e multiplicando por 2π em ambos os membros, obtemos

2 πλ= 2πh p → λ 2π= 1 p h 2π e (9) 2 πf=2π h E → 2 πf= E h /2π , (10)

chamando h/ 2π de ħ, 2πf de ω e 2π/λ de k, que é o número de onda, teremos

p= ℏ k _e ₍₁₁₎

E= ℏ ω _, ₍₁₂₎

que substituindo na equação da conservação da energia, obtemos

ℏω=ℏ 2

k2

2m +V(x,t) . (13)

A equação acima nada mais é que a e equação da energia descrita em termos das grandezas ondulatórias ω e k. A próxima etapa é postular uma função de onda tal que

Ψ(x,t) possa ser descrita como

Ψ ( x,t ) =Ae−i( kx−ωt ) ,

do qual a derivada temporal é

∂Ψ

∂t =iωAe

−i ( kx−ωt )_{=iωΨ ( x,t )}

(5)

Por sua vez a derivada espacial é ∂Ψ(x,t) ∂x =−ikAe −i ( kx−ωt )₌₋_ikΨ₍_x,t₎ , (15) Derivando novamente ∂2Ψ(x,t) ∂x2 =+i 2_k2_Ae−i ( kx−ωt ) =−k2_Ψ₍_x,t₎ (16) Agora, multiplicando a equação (13) em ambos os membros por Ψ(x,t) obtemos

ℏωΨ (x,t)=ℏ

2_k2

2m Ψ(x,t)+V(x,t)Ψ(x,t) (17)

Que comparando com as equações (14) e (16) temos

−i ℏ∂Ψ(x,t) ∂t =− ℏ2 2m ∂2Ψ(x,t) ∂x2 +V(x,t)Ψ(x,t) , (18) que é a equação de Schrödinger dependente do tempo.

Esta equação é usada para se estudar a evolução temporal de uma partícula. 2) EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO

Para estados ligados, ou seja para partículas presas em poços de potencial, o conjunto das soluções Ψ(x,t) da equação de onda pode ser resolvida por meio da equação de Schrödinger independente do tempo. Podemos encontra-la reescrevendo a Ψ(x,t) como

Ψ ( x,t ) =ψ ( x ) e−iωt

substituindo na equação (18) teremos i ℏ ψ(x)∂(e iωt₎ ∂t =e iωt−ℏ2 2m ∂2ψ(x) ∂x2 +e iωt_V₍_x₎_ψ₍_x₎ , que reorganizando temos

−i2e−iωt_ℏ_ωψ₍_x₎_=e−iωt−ℏ2 2m ∂2ψ(x) ∂x2 +e −iωt_V₍_x₎_ψ₍_x₎ ,

ou reescrevendo em termos de derivada ordinária, teremos a equação de Schrödinger independente do tempo. Eψ(x)=−ℏ 2 2m d2ψ(x) dx2 +V(x)ψ(x) (19)

Onde E é a energia total da partícula.

(6)

d2ψ(x) dx2 +k

2_ψ₍_x₎₌₀

, (20)

Que é uma equação de onda estacionária, onde k é o número de onda e vale

k=

√

2mE−V(x)

ℏ2 . (21)

Uma diferença importante entre a equação de Schrödinger e a equação de onda clássica está no fato de o número imaginário i=

√

−1 aparecer explicitamente na equação de Schrödinger. As funções de onda que satisfazem a equação de Schrödinger não são necessariamente reais, como no caso da função de uma partícula livre. Isso significa que a função de onda Ψ(x,t) que satisfaz a equação de Schrödinger não é uma função diretamente mensurável como uma onda clássica Y(x,t), já que os resultados das medições tem que ser necessariamente reais. Entretanto, a probabilidade de

encontrarmos um elétron entre x e x+dx certamente pode ser determinada, assim como podemos determinar se um resultado de uma jogada de cara-ou-coroa é cara ou coroa. A probabilidade ρ(x,t)dx de o elétron ser encontrado entre x e x+dx é definida pela

equação:

ρ(x,t )dx=Ψ (x,t )Ψ ( x,t )dx=∣Ψ ( x,t )∣2dx .

Esta interpretação probabilística foi proposta por Max Born e reconhecida, apesar dos imediatos e respeitáveis protestos de Einstein e Schrödinger, como a forma mais apropriada de relacionar as soluções da equação de Schrödinger, aos resultados das medições. A probabilidade de um elétron estar no intervalo dx, um número real, pode ser medida verificando em que fração do tempo a partícula é encontrada nesta região em uma série muito grande de situações idênticas. A variável ρ(x) representa a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em um determinado ponto x do espaço (para o caso unidimensional). A variável Ψ∗_{(x,t) é o complexo conjugado de}_Ψ_{(x,t), que é}

obtido substituindo i por -i na função Ψ(x,t). A natureza complexa de Ψ serve para enfatizar que é inútil perguntar “O que está oscilando em uma onda de matéria?” ou “Em que tipo de meio as ondas de matéria se propagam?” Pois a função de onda nada mais é que um artifício matemático, o significado real é dado pelo produto

Ψ∗_(x,t)_Ψ_(x,t)=|_Ψ_(x,t)|2_{que é a densidade de probabilidade}_ρ_{(x,t). Para manter a analogia} com as ondas e funções de onda clássicas, Ψ(x,t) é as vezes chamada amplitude de probabilidade.

A probabilidade do elétron ser encontrado em todo o espaço é dado pela expressão

∫

Ψ*_{Ψdx= 1}

, (22)

Que é conhecida como condição de normalização. Esta condição desempenha um papel importante em Mecânica Quântica, pois garante que a função de onda Ψ(x,t) tende rapidamente a zero quando x→ +-∞. Se isso não ocorresse a probabilidade não poderia ser definida. Na verdade a convergência da função de onda Ψ(x,t) ocorre próximo de limites bem definidos.

(7)

No caso de uma função de onda plana, cuja solução é descrita como

Ψ ( x,t )=Aei ( kx−ωt ) _, ₍₂₃₎

Não há como encontrar o valor da constante de normalização A, já que a equação (20) para o caso de uma onda plana tem que ser integrada para x de +∞ a -∞. Deste modo A→0. Mas se tivermos uma superposição de ondas planas de modo a obtermos um pacote de ondas como na Figura 2, a normalização por meio da equação (20) torna-se possível pois a função de onda converge rapidamente a zero.

Figura 3 – Pacote de ondas.

Vale salientar que as soluções da equação de Schrödinger deve satisfazer as seguintes condições:

1. ψ(x) deve existir e satisfazer a equação de Schrödinger; 2. ψ(x) e dψ(x)/dx dever existir e ser contínuas;

3. ψ(x) e dψ(x)/dx devem ser finitas; 4. ψ(x) e dψ(x)/dx devem ser unívocas;

5. ψ(x) deve tender a zero com suficiente rapidez para que a integral de normalização da equação (21) seja finita.

3) SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER  SOLUÇÕES UNIDIMENSIONAIS

a) Poço de potencial quadrado infinito

Se imaginarmos um sistema constituído por um tubo evacuado, com grades G aterradas e eletrodos C ligados em um potencial negativo de alta tensão tal como na Figura 4.

Podemos constatar que quanto mais alto for a contra tensão no eletrodo C e menor for as distâncias entre a grade G e o eletrodo C, mais íngreme se torna as barreiras de potencial de modo a formar um poço de potencial na qual o elétron fica preso. O poço de potencial quadrado infinito, é portanto uma idealização para uma caixa de paredes impenetráveis.

Temos então um poço de potencial que nos permite estabelecer condições de contorno bem simples:

(8)

(a) (b) (c)

Figura 4 – (a) Um elétron que se encontre na região entre duas grades G não experimenta nenhuma força, já que as grades estão aterradas. Nas regiões entre as grades G e os eletrodos C, porém, existe um campo elétrico cuja a intensidade depende do valor da tensão V. (b) Quando V é pequena, o gráfico da energia potencial do elétron em função de s apresenta “paredes” pequenas e com uma inclinação suave. c) Quando V é grande, as paredes são altas e íngremes, tornando-se intransponíveis quando V tende ao infinito.

Fazendo V(x)= 0 para 0<x<a e infinito para as demais regiões, podemos obter a equação de Schrödinger d2ψ(x) dx2 +k 2_ψ₍_x₎₌₀ , (24) Onde k vale k=

√

(2mE_ℏ ) , (25)

Ou seja, a energia dentro do poço é a de uma partícula livre. A solução é

ψ ( x )=Aeikx+A'e−ikx

, (26)

(9)

ψ ( x )=2iAsen (kx ) , (27) Além do mais ψ(a)=0, do qual deduzimos

k=nπ

a , (28)

Onde n é um numero inteiro positivo. Se normalizarmos a função obtemos ψ(x)=

√

(

2 a

)

sen

(

nπx a

)

, (29) Com energias E_n=n 2_π2_ℏ2 2ma . (30)

A quantização da energia é da forma En=n²E1. Ou seja a energia cresce com o quadrado de n.

Figura 5 – Poço de potencial quadrado Infinito com alguns níveis de energia n2_E

1, onde E1=(πħ)2/2ma2. E1 1 4E1 2 9E1 3 16E1 4 25E1 5

(10)

b) Reflexão e Transmissão através do Degrau de potencial Seja o potencial degrau com energia E maior que o degrau

(a)

Figura 5 - (a) Degrau de potencial. As partículas viajam da esquerda para a direita com energia total E > V0. (b) O comprimento de onda da onda incidente (região I) é menor que o da onda transmitida (região II). V(x)= 0 para x<0 V(x)=V0 para x>0 Região I (x< 0) ψ_I(x )=Aeik1x+Be−ik1x (31) Região II (x> 0) ψ_II(x )=Ceik1x+De−ik1x (32) Condições de contorno

• D = 0 (nenhuma partícula na Região II movendo-se para a esquerda);

•

• ψ_I(0 )=ψ_II(0) → A+B=C _, _• ₍₃₃₎

(11)

• dψ_I(0 ) dx = dψ_II(0) dx → ik1Ae0−ik1Be0=ik2Ce0 k₁A−k₁B=k₂C (34) Donde podemos obter para B e C as expressões

B=

(

k1−k2

)

(

k₁+k₂

₎

A C=

(

2k1 k1+k2

)

A (35a) (34b) Onde a partir dessas expressões podemos obter os coeficientes de reflexão

R=∣B∣2 ∣A∣2 =

(

k₁−k₂ k₁+k₂

)

2 (36) e de transmissão para onda na barreira

T=k2∣C∣

2

k₁∣A∣2 =

4k₁k₂

(

k₁+k₂

₎

2 . (37)

É fácil demonstrar que

T+R= 1

Entre as consequências do fato de as soluções da equação de Schrödinger apresentarem comportamento ondulatório, podemos destacar as seguintes:

1. O coeficiente de reflexão R não é nulo para E>V0. Assim, ao contrário do que acontece no caso clássico, algumas partículas são refletidas pelo degrau de potencial mesmo que tenham energia suficiente para ultrapassá-lo. Este fenômeno é análogo à reflexão de ondas eletromagnéticas na interface de dois meios com índices de refração diferentes.

2. O valor de R depende da diferença entre k1 e k2, mas não do sinal desta diferença; em outras palavras, o coeficiente de reflexão seria o mesmo se as partículas estivessem se movendo de uma região de potencial maior para a região de potencial menor.

Vamos agora considerar o caso da Figura 6, E<V0. Classicamente esperamos que todas as partículas sejam refletidas em x=0. No caso quântico, observamos que na Equação (31) é uma solução complexa. Mas agora teremos uma solução real para ψΙΙ(x), que é

ψ_II(x)=Ce−αx

, (38)

(12)

Isto significa que o numerador e o denominador do lado direito da Equação (34a) são complexos conjugados e portanto |B|2_=|A|2_{, R=1 e T=0. A Figura ( ) mostra a variação} de R e T com relação E/V0, onde E é a energia das partículas e V0 a altura do degrau.

Figura 6 – (a) Degrau de potencial. As partículas viajam da esquerda para a direita com energia total E < V0. (b) A onda que penetra na região II é uma exponencial decrescente; entretanto, o valor de R neste caso é igual a 1 e nenhuma energia é transmitida.

Em concordância com o resultado clássico, para E/V0<1 todas as partículas são refletidas de volta para a região I. Entretanto, outro resultado interessante da solução quântica é que nem todas as partículas são refletidas no ponto x=0. Como ψΙΙ é uma

função exponencial decrescente, a densidade de partículas na região II é proporcional a

∣ψ_II∣2=∣C∣2e−2 αx .

A Figura 6 mostra o caso para uma função de onda com E<V0. A função de onda não se anula para x=0, mas sua amplitude diminui como no caso do poço de potencial

quadrado. A onda penetra ligeiramente na região classicamente proibida (x>0) mas em seguida é totalmente refletida.

c) Poço de Potencial quadrado finito (solução gráfica)

(13)

Para as regiões I (x<−a 2 ), II(− a 2≤x ≤ a 2 ), e III ( x> a 2 ), nós temo, respectivamente: ψ_I(x)=B₁eρx_+B 1 '_e−ρx ψ_II(x)=A₂eikx_+A 2 ' _e−ikx ψ_III(x)=B₃eρx+B₃' e−ρx (39) Com ρ=

√

(

−2mE ℏ2

)

e k=

√

(

2m

₍

E+V₀

₎

ℏ2

)

.

Desde que ψ(x) tenha um estado ligado na região I, nós temos B'1 =0. Aplicando as condições de contorno para x= -a/2 então temos:

A₂=e(−ρ+ik)a /2 ρ+ik

2ik B1

A₂'=−e−(ρ+ik)a/2 ρ−ik

2ik B1

(40) E aquela para x=a/2;

B₃ B₁= e−ρa 4ik ρ

[

(ρ+ik) 2 −(ρ−ik)2e−ika

_]

B₃' B₁= ρ2+k2 2k ρ sen(ka) . (41)

Mas ψ(x) deve estar ligada na região III. Assim, é necessário que B3=0, isto é:

e2ika₌

(

ρ−ik

k0 k

)

2 (46) Equação (41) é então equivalente ao sistema de equações:

∣cos

(

ka 2

)

∣= k k₀ (47) tan

(

ka 2

)

>0 (48)

Os níveis de energia são determinados pela intersecção da linha reta, tendo uma

inclinação 1/k0, com arcos senoidais (Figura 7). Assim nós obtemos um certo número de níveis de energia, cuja funções de onda são pares. Isto torna-se claro ao substituirmos (43) na (40) e (41): é fácil constatar que B'3=B1 e que A2=A'2, assim que ψ(−x)=ψ(x).

(ii) Se: ρ−ik

ρ+ik =e ika

um cálculo do mesmo tipo leva a:

∣sen

(

ka 2

)

∣= k k₀ (49) tan

(

ka 2

)

<0 (50)

Os níveis de energia são determinados pela intersecção da mesma linha reta com este último arco senoidal.

(15)

Figura 7 – Soluções gráficas da equação (42), resultando níveis de energia de estados ligados no poço de potencial quadrado. Na figura há 5 estados ligados, três pares (associados com os pontos P na figura) e dois pontos ímpares (pontos I ).

Exemplo – Encontre graficamente a solução para o poço de potencial quadrado finito para k0 = 5π/a. Obtenha o potencial V0, a energia E do estado fundamental e as funções de onda normalizadas.

Resolução

Dada a equação 44

ρ=k tan

(

ka

2

)

, (51)

Substituindo os valores de ρ e k e multiplicando por a/2:

√

−2mE /ℏ2₌

√

2m

₍

E+V₀

₎

/ ℏ2tan

√

2m

₍

E+V₀

₎

a2/4 ℏ2

)

√

−mE /2 ℏ2=

√

a ) funçãopar ∣sen(x)∣= x x₀, tan(x)<0

⏞

b ) funçãoímpar (54) Onde _xx 0 =f ( x ) . _Fazendo x₀=5π

2 , podemos substituir na expressão abaixo para

encontrar a solução: x x₀=

√

m

₍

E+V₀

₎

a2/2 ℏ2

√

mV₀a2/2 ℏ2 ⇒

(

(17)

para x5 = 6,8

E₅=

[

(

6,8 5π/2

)

2

−1

]

V₀=−0,250V₀

Soluções pares Soluções ímpares

x1 =1,38 x2 =2,77

x3 =4,1 x4 =5,5

x5 =6,8

Determinação das auto-funções -Auto funções pares

[

A₂cos(ka/ 2)eρa /2

_]

_eρx_{x<−a /2}

ψ(x)=

_[

A₂

sen(kx) −a /2 <x<a /2

[

A₂sen(ka/2)eρa/ 2

_]

_e−ρx_{x>a /2}

(57)

BIBLIOGRAFIA

− Tipler, P A , Llewellyn, Física Moderna, LTC, 3ª edição;

− Eisberg, Resnick, Física Quantica – Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas, Editora Campus 13ª edição;

− Cohen-Tannoudji, C, Bernard, D e Laloë, F, Quantum Mechanics, Volume one, Wiley-interscience.