ÁREA 1 FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA PROF: ARTUR PASSOS DIAS LIMA CURSO NIVELAMENTO

(1)

ÁREA 1 – FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA PROF: ARTUR PASSOS DIAS LIMA

CURSO

DE

(2)

Lista de Figuras

Figura1: Gráfico do polinômio f(x)=−3x4 −2x3 +4x2−x+8. 17

Figura2: Gráfico da função constante. 19

Figura 3: Gráfico da função identidade. 20

Figura 4: Gráfico da segunda bissetriz. 20

Figura 5: Gráfico da primeira bissetriz. 21

Figura 6: Gráfico da função do primeiro grau decrescente. 22

Figura 7: Gráfico da função do primeiro grau crescente. 24

Figura 8: Gráfico da função f(x)=2x2−8x+6. 35

Figura 9: Gráfico da função f

( )

x = . x 40

Figura 10: Gráfico da funçãof

( )

x = x. 40

( )

x = x −3. 41

Figura 12: Gráfico da função exponencial crescente. 44

Figura 13: Gráfico da função exponencial decrescente. 44

Figura 14: Gráfico da função f(x)=2x. 45

Figura 15: Gráfico da função f(x)=2x −4. 46

Figura 16: Gráfico da função_f(_x)= 2x −4_. ₄₆

Figura 17: Gráfico da funçãof(x)= 2x −4 −2. 47

Figura 18: Gráfico da função logarítmica crescente. 51

Figura 19: Gráfico da função logarítmica decrescente. 51

Figura 20: Gráfico da função y=log₀_,₅

(

x+5

)

. 51

Figura 21: Gráfico da função y=log₀_,₅(x+5)−2. 52

Figura 22: Gráfico da função y= log₀_,₅(x+5)−2 . 52

Figura 23: Gráfico de uma senóide. 65

(3)

Sumário

1ª Parte

1 – Potenciação

1 2 – Radicais

2 3 – Racionalização de Denominadores

5 4 – Produtos Notáveis

6 5 – Fatoração

7 6 – Polinômios

11 7 – Recursos do Matlab

16 2ª Parte

8 – Função do 1º grau

19 9 – Função do 2º grau

30 10 – Função Modular

38 11 – Função Exponencial

44 12 – Função Logarítmica

50 3ª Parte

13 – Função Trigonométrica

60 14 – Bibliografia

83

(4)

Introdução

O que seria da vida sem a matemática? Há muitos anos atrás os grandes estudiosos como Gauss, Newton, Kepler e muitos outros, dedicaram suas vidas a formulações matemáticas e até os dias de hoje, utilizamos suas descobertas para o crescimento da humanidade e explicações dos fenômenos da natureza. O estudo da matemática requer muita persistência e lógica, pois relacionar números e letras em determinados problemas como: o cálculo da energia elétrica, a distância da terra até o sol, a formação do calendário perante a rotação da terra, por que o celular funciona? Por que o avião fica suspenso no ar? Não é de um dia para o outro. A leitura é um fator primordial no entendimento dos fenômenos, narrar o acontecido, raciocinar como e por que acontece é bem mais que uma terapia. Um grande cientista precisa de embasamento teórico e para isso, as bibliografias são indispensáveis na sua cultura. A utilização dos nossos neurônios é pouca, pois nunca se descobre tudo e o mundo que os nossos olhos enxergam é bastante limitado, mas mesmo assim somos vencedores quando ligamos a imaginação à realidade. Com a invenção do computador, muitos softwares foram lançados no mercado, facilitando ainda mais a matemática e um deles é o Matlab. Esta extraordinária ferramenta é muito usada pelos engenheiros, a qual utilizo em algumas simulações mostrando o entendimento das respostas dos problemas propostos neste livro. Procuro retratar alguns assuntos da matemática do 2º grau, e sendo coordenador do curso de nivelamento, espero facilitar o entendimento da matemática, para que os futuros engenheiros da Faculdade Área1, concluam o curso só no intuito de aprender, pois o aprendizado nunca se perde, ele se acumula em toda a nossa vida. Agradeço ao professor e mestre Álvaro Fernandes pelo apóio e revisão deste módulo e ao professor e doutor Eduard Montgomery que me incentivou a fazer este livro. Todo o embasamento teórico deste módulo foi tirado de diversos livros que estão disponíveis na bibliografia.

O autor

Artur Passos Dias Lima

16 de dezembro de 2005

“A verdadeira riqueza é o conhecimento e a sabedoria”

Artur Passos

(5)

1ª Parte

1 - Potenciação

A potenciação é utilizada em muitos cálculos em matemática e o objetivo é estudar as seis propriedades, para serem utilizadas nos conteúdos deste livro.

1.1 Multiplicação de mesma base

Multiplicação de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes: an.am =an+m

1.2 Divisão de mesma base

Divisão de mesma base conserva-se a base e subtraem os expoentes: _an_:_am ₌_an−m

1.3 As regras a seguir valem as igualdades: a)

( )

m m n a a b a. = . b)

( )

an m =am.n c)

( )

n _Am p ₌n _Am.p d) m n _A ₌m.n_A

Exercícios de Potenciação

01) Resolva as seguintes potências

a) 2 2 1       b) 3 4 1       c) 9 5 . 5 3 2       d) 2 3 1 2 1 ₊       e) 32 5 : 4 1 3       f) 8 9 . 3 2 1 3       + g) 10 1 25 9 : 5 3 3 ₊       h) 0 2 4 4 3 4 1 : 2 1       −             i) _            ₊ −       +       2 5 : 1 3 5 . 5 2 2 . 2 1 2 1 3 2 j) 2 1 2 1 2 1 3 2 +       +       l) 8 3 : 2 1 2 9 . 3 1 2 4       +       m) ₂ 2 3 1 1 3 1 1       +       − n) 4 2 1 2 2 1 2 3 +       +      

(6)

o) 2 1 9 5 . 5 3       ₊ p) 9 1 : 3 2 1 5 9 . 3 1 2 1 2 3       − +       + q) 3 2 2 3 1 4 1 1 : 7 : 2 1 4       +       −               − r) 2 2 5 4 1 : 5 1 3 4 . 2 1 1       − +       −

2 - Radicais

2.1 Considerações preliminares

Como n _A ₌_B_⇔ _A₌_Bn_{devido à existência da operação inversa entre potenciação e}

radiciação, tem-se que(n∈N/n≥2), ou seja, o valor de n deve ser par. 2.2 Propriedades dos radicais

1. A raiz n-ésimas de um produto é igual ao produto das raízes da cada fator, desde que sejam positivos.

Assim, temos:

n _A_._B ₌n _A_.n _B

(

_A_,_B_≥₀

)

2. A raiz n-ésima de um quociente é igual ao quociente entre as raízes n-ésimas do dividendo e do divisor, desde que A seja positivo e B estritamente positivo.

Assim, temos: n n B A B A =

(

A≥0

)

e

(

B>0

)

3. Quando o expoente do radicando é igual (ou múltiplo) ao índice da raiz, pode ser retirado do radical, bastando para tanto dividir o expoente pelo índice da raiz, quociente este que é novo expoente do fator retirado do radical.

Assim, temos: n mn n mn n m n B A B A B A . . = . . = .

(

A,B≥0

)

4. A introdução de um fator, dentro do radical, baseia-se no caso anterior, bastando para tanto fazermos o inverso, isto é, ao invés de dividir, devemos multiplicar o expoente do fator considerado pelo índice da raiz, produto este que é o expoente do fator introduzido no radical.

Assim, temos: mn n nm n n mn B A B A B A . = . . = . .

(

A,B≥0

)

(7)

5. Expoente fracionário Consiste em: d d n n A A = , A≥0 e n≠0

ou seja: o denominador (d) do expoente fracionário é o índice da raiz, a base passa a ser o radicando elevado ao numerador (n) do expoente fracionário.

Assim, temos: 3 2 3 2 7 7 = 2.3 Simplificação de radicais Consiste em: n m nk mk A A = : : , K ≠0, A≥0; Assim, temos: 6 54 =6;254:2 =3 52 2.4 Redução de radicais ao mesmo índice Dados: n _A_;m_B_;p_Ck MMC

(

n,m,p

)

=m.n.p Logo: m.n.p_Am.p_;m.n.p_Bn.p_;m.n.p_Ck.m.n Assim, temos: ₃_;3 ₂_;4 ₅3 MMC

(

2,3,4

)

=12 12₃6_;12₂4_;12₅9

(8)

2.5 Comparação de radicais

Baseia-se no caso anterior, isto é, depois de reduzi-los ao mesmo índice, será maior o que contiver o maior radicando e menor o que contiver o menor radicando.

2.6 Operações com radicais

2.6.1 Adição e subtração

Opera-se separadamente para cada radical. Assim, temos os exemplos a seguir:

a) 3 ₃₊3 ₃₌₂3 ₃

b) 2+ 8=3 2

Observe que no caso do exemplo b, foi necessário fatorar o número 8 = 23 =22.2. 2.6.2 Multiplicação e Divisão n _Am_B n.m _Am n.m_Bn n.m_Am _Bn . . . = = n _A m_B n.m _Am n.m_Bn n.m _Am _Bn . : : = = , B≠0

Em ambos os casos, só haverá solução, se os índices forem iguais. Caso contrário reduz-se primeiramente ao mesmo índice e depois se efetua a operação indicada. Assim, temos:

₂_.3 ₃ =6 ₂3_.6 ₃2 =6 ₂3_.₃2 =6 ₈_.₉ =6 ₇₂

₅_:3 ₃₌6 ₅3 _:6 ₅ ₌6 ₃2_:₃2 ₌6₁₂₅_:₉

Exercícios de Radicais

01) Efetue os seguintes radicais.

a) 8 2+3 2+ 2 b) ₂3 ₃₋₄3 ₃_c) ₅ ₅ 2 1 5 2 5 4 − + − d) 3 + 3 e) ₅3 ₄₊₂3 ₄₊3 ₄_f)₃ ₅₋₂ ₅_g) ₁₈₊₂ ₅₀₊ ₃₂_h) ₄₈₊ ₇₅₋₃ ₁₂ i) 2 18−5 50+3 98− 72+ 8 j) 20 125 2 1 5 4 − + l)

( )( )

6. 25 m)

( )( )

16. 10 n)

( )( )( )

4 ₇_.4 ₅_.4 ₃ _{o) 5 x}

(

_{3 +}₂

)

p)

(

)

_. 2 2 y x y x+ − q) 3 ₃₆_:3₁₈_r) ₈_: ₂_s) ₆_:3 ₄_t)3 ₂

(9)

u) 3 _{5 v)} _{3 x)} ₂ ₃_z) ₄

2 1

3 - Racionalização de Denominadores

Racionalização é a operação que consiste na eliminação de radicais em denominadores. Aqui, serão vistos alguns casos:

I ) 3 3 . 5 3 . 3 3 5 3 3 . 3 5 3 5 = = = II ) 5 5 . 4 5 . 5 5 . 4 5 5 . 5 4 5 4 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 3 = = = III ) 6 2 . 7 2 . 3 2 . 7 2 . 2 . 3 2 . 7 2 2 . 2 . 3 7 2 . 3 7 5 2 5 2 5 2 5 3 5 2 5 2 5 2 5 3 5 3 = = = = IV )

(

)

(

)(

)

( )

(

( )

)

(

) (

)

23 2 5 . 3 2 25 2 5 . 3 2 5 2 5 . 3 2 5 . 2 5 2 5 . 3 2 5 2 5 . 2 5 3 2 5 3 2 2 − = − − = − − = − + − = − − + = + V )

(

)

( ) ( )

(

) (

2

)

3 5 . 7 3 5 3 5 7 3 5 3 5 . 7 3 5 3 5 . 3 5 7 3 5 7 2 2 + = − + = − + = + + − = − VI )

(

)

(

)(

)

( ) ( )

(

)

(

) (

15

)

3 2 . 3 . 2 3 2 . 9 3 2 . 3 . 2 3 2 . 3 3 2 3 . 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 . 2 3 2 3 3 2 3 . 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 + = − + = − + = + − + = + + − = −

Exercícios de Racionalização de Denominadores

01)Racionalize as expressões: a) 3 5 2 − b) 3 7 1 + c) a b b + 3 d) 5 2 4 + e) 1 3 3 − f) 2 4 2 + − g) b a a 2 − h) 5 3 2 5 10 − i) 5 1 2 − j) 7 1 3 + l) y x x + m) 2 3 n) 5 5 o) 12 7 p) 19 15 q) 5 7 r) b ab 2 6

(10)

s) y x x 2 3 2 t) 4₈ 3 8 a u) 5 ₂₇_x2_y3 xy v) 6 ₂₅_x5 x x) 5 2 4 3 2 2 c b a b a z) 8 5 7 3 3 z b x b x

4 - Produtos Notáveis

4.1 Quadrado da soma de dois termos

Vamos algebricamente, calcular

(

a+b

) (

2 = a+b

)(

.a+b

)

=a2 +ab+ba+b2 como ba

ab= temos que ab+ba=2ab, então:

(

a+b

)

2 =a2+2ab+b2 4.2 Quadrado da diferença de dois termos

Da mesma forma,

(

a−b

)

2 :

(

) (

2

)(

)

2 2 .a b a ab ba b b a b a− = − − = − − + como −ab−ba=−2ab, temos:

(

)

2 2 2 2ab b a b a− = − +

4.3 Produto da soma pela diferença de dois termos

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, vamos calcular:

(

_a₊_b

)(

_._a₋_b

)

₌_a2 ₋_ab₊_ba₋_b2 ₌_a2 ₋_b2

(

a+b

)(

.a−b

)

=a2 −b2 4.4 Cubo da soma de dois termos

Utilizando as propriedades de potências, podemos escrever que:

(

a+b

) (

3 = a+b

)(

.a+b

)

2

desenvolvendo

(

a+b

)

2, e aplicamos a propriedade distributiva:

(

a+b

) (

3 = a+b

)

.

(

a2+2ab+b2

)

temos:

(

)

3 3 2 2 2 2 3 2 2a b ab a b ab b a b a+ = + + + + +

(11)

(

)

3 3 2 2 3 3 3a b ab b a b a+ = + + +

4.5 Cubo da diferença de dois termos

O processo algébrico é idêntico ao processo utilizado para o cubo da soma:

(

a−b

) (

3 = a−b

)(

.a−b

)

2

(

) (

3

)

(

2 2

)

2 .a ab b b a b a− = − − +

(

a−b

)

3 =a3 −2a2b+ab2 −a2b+2ab2 −b3

(

a−b

)

3 =a3−3a2b+3ab2−b3

Exercício de Produtos Notáveis

01) Resolva os seguintes produtos notáveis:

a) ( 2x + 4 )2 b) (x3+ y2)3 c) ( 3x2y3+ a2)2 d) ( 2x – y )2 e) ( x2- a)3 f) ( x + y + a )2 g) ( 3 ₄₊_y2₎2_{h) (}3 _{9 −} ₆₎3_{i) ( a –y) . (a + y) j) ( x}2 - y)4 l)

(

2x+3

)(

. x+5

)

m)

(

m+2n

)

2 n)

(

2x+b

)

2 o)

(

3x+b

)

2 p)

(

m+2

) (

+ m−2

)

2 q)

(

3a+ b

)(

.3a− b

)

+2b−18a2 r) 2 2 2 2 2 2      ₋ −       + a a a a s)

(

a+x+m

)

3 t)

(

a + b

) (

2 + a − b

)

2+a−2b u)

(

a+ b +1

) (

2 − a+ b

)

2 −2 a −1 v)

(

_a2 ₊₃

)

3 ₋_a6 ₋₂₇₋₉_a4_x)

(

)

2 5 + + p m z)

(

_m4₋1

)

3₋_m12 ₊3_m8 ₊1

5 - Fatoração

O processo de fatoração consiste em transformar uma expressão algébrica em produto. Em aritmética esta operação é bastante simples, por exemplo:

• Fatorar o número 120 120=23.3.5

(12)

• Fatorar o número 250 250 =2.53

Observe os exemplos a seguir, as expressões algébricas fatoradas: 2x2+16xy=2x.

(

x+8y

)

x2−9=

(

x+3

)(

. x−3

)

x2+6x+9=

(

x+3

)(

.x+3

) (

= x+3

)

2

Note que, se aplicarmos a propriedade distributiva ao 2

º

membro, obtemos a expressão do 1º membro.

Para fatorar expressões algébricas, a análise deve ser feita tendo em vista os seguintes casos:

5.1 Fator comum

Neste caso, devemos observar se cada parcela apresenta um fator comum, que deverá ser colocado em evidência, conforme os exemplos:

a.1) ₃ax₊₉a2x_{fator comum ax}₃

3ax+9a2x=3ax.

(

1+3a

)

Os resultados obtidos dentro dos parênteses são provenientes da divisão de cada parcela pelo fator comum, ou seja:

1 3 3 = ax ax a ax x a 3 3 9 2 =

a.2) 4a2x3 −8a4x2 fator comum 4a2x2 x x a x a = 2 2 3 2 4 4 ₂ ₂ 2 2 4 2 4 8 a x a x a − = − temos, então: 2 3 4 2 2 2

(

2

)

2 . 4 8 4a x − a x = a x x− a

Obs: o fator comum da parte literal são as letras comuns com o menor expoente.

5.2 Agrupamento

(13)

₁₄₂₄₃ ₁₄₂₄₃ comum fator é y comum fator é x by y a bx x a . . . 2 . . . 2 ₊ ₊ ₊ a2x+bx+a2y+by=

(

) (

)

( )

(

a b

)

(

x y

)

b a y b a x comum fator é b a + + = + + + = + . . . 2 . . . 2 2 2 4 4 4 3 4 4 4 2 1

Note que, se aplicarmos a propriedade distributiva à última igualdade, obteremos a expressão algébrica inicial.

Exercício resolvido:

1. Fatorar as expressões: a) _a4₊_ab3₋_a3_b₋_b4

Resolução:

Note que os dois primeiros termos têm a como fator comum, e os dois últimos têm b como fator comum. Colocamos em evidência:

a4 +ab3−a3b−b4 = =a.

(

a3+b3

) (

−b.a3+b3

)

=

(

)

43 42 1 comum fator é b a . . 3 3₊ =

(

a3+b3

)

.

(

a−b

)

b) 12m2n5p+8m2n2p3−36m2n2p2 Resolução:

mnp é fator comum da parte literal. Colocando em evidência as letras com os menores expoentes, temos então que m2n2p_{é fator comum. Na parte numérica} colocamos em evidência o maior divisor comum entre 12,8 e 36, que é o número 4. ₁₂_m2_n5_p+₈_m2_n2_p3−₃₆_m2_n3_p2 =

=4m2n2p.

(

3n3+2p2−9np

)

c) 9x2+30x+25

Resolução:

Temos, neste exercício, um trinômio. Verificaremos se o termo do meio é o dobro das raízes quadradas dos outros, assim poderemos compor o quadrado da soma de dois termos.

(14)

9x2+30x+25=

(

3x+5

)

2 2. Simplifique: a) 1 2 ₋ + + + x n m nx mx Resolução:

Lembre-se que, para simplificar frações, devemos ter as expressões algébricas fatoradas. Observe que:

• no numerador podemos fatorar por agrupamento; • no denominador temos uma diferença de dois quadrados.

(

) (

)

(

)(

)

(

1

)(

. 1

)

1 1 . 1 . 1 . 1 2 ₋ + = − + + + = − + + + + = − + + + x n m x x x n m x x n m n m x x n m nx mx b) ₂ ₃ 2 2 2 . _a _b _b ab b a ab a b a − − − + Resolução:

(

)

(

−

)

= − − + = − − − + 2 2 3 2 2 2 2 _. . . . . b a b b a ab b a a b a b b a ab b a ab a b a

(

)

b

(

a

(

b

)(

a

)

b

)

a b b a ab b a a b a − = + − − − + = 1 . . . . . c) 5 3 6 2 25 9 9 2 2 + + − − x x x x Resolução: = + + − − = + + − − 6 2 5 3 . 25 9 9 5 3 6 2 25 9 9 2 2 2 2 x x x x x x x x

(

)(

)

(

)(

) (

)

(

)

6

(

10

)

3 5 3 . 2 3 3 . 2 5 3 . 5 3 . 5 3 3 . 3 − − = − − = + + − + − + = x x x x x x x x x x

(15)

Exercício de Fatoração

01) Fatore as seguintes expressões:

a) ( x4−y4) b) ( x2−y2) c) x2y - z3 2x +3 xyz d) x2+8x e) 7x2−42x

f) ( x + 1 )2_{+ ( x + 1 )}2_{g) x}2_{- 9 h) ( x + 2 )}2_{- 4x – 13 i) (x + 2)(x + 3) –(5x +7)}

j) 9x2- 4 l) 5x2- 45 m) x2- 6x n) x ( x +1) – 4x o) ( x +3)2- 9 p) x2 - 4x +3

6 - Polinômios

6.1 Definição

Sejam dois polinômios, f(x) como dividendo e g(x) como divisor, como g(x)≠ . Dividir 0 f(x) por g(x) é determinar outros dois polinômios: o quociente q(x) e o resto r(x), tais que: 1º) f(x) = g(x).q(x) + r(x)

2º) grau r < grau g ou r(x)≡ 0

Um possível esquema de divisão é apresentado a seguir:

f(x) g(x) dividendo divisor r(x) q(x) quociente resto 6.2 Teorema do resto

Seja p(x)um polinômio tal que grau p 1≥ . O resto da divisão de p(x)por x −aé igual a ) (a p , ou seja, r = p(a). Demonstração Temos: p(x)=

(

x−a

) ( )

.q x +r

Obs: o valor de r pertence ao conjunto dos números complexos. Calculando o valor numérico do polinômio acima para x =a, vem:

(16)

p(a)=

(

a−a

) ( )

.q a +r, isto é p a = q

( )

a +r⇒r= p

( )

a =3 2 1 0 . 0 ) ( Exemplo 1

Podemos determinar o resto da divisão de _f(_x)₌3_x4₋_x3₊2_por _g₍_x₎_{= x}₋₁_sem efetuar a divisão. Basta notar que:

* A raiz do divisor é x−1=0⇒x=1. * Pelo teorema do resto, temos que: r = f

( )

1,isto é, r=3.14−13+2=4. Exemplo 2

Da mesma forma que no exemplo anterior, para determinar o resto da divisão de

( )

_x ₌_x5 ₋_x3₊2

p por h(x)= x+3, fazemos: * A raiz de h(x)é x+3=0⇒x=−3. * Utilizando o teorema do resto, vem:

r= p

( ) ( ) ( )

−3 = −3 5− −3 3+2=−243−

(

−27

)

+2=−214.

Explicaremos dois métodos importantes na divisão de polinômios: o Teorema de D’Alembert e o Dispositivo de Briot-Ruffini.

6.3 Teorema de D’ Alembert

Um polinômio f (x) é divisível por x −a se, e somente se, a é raiz de f (x). Demonstração

Há duas implicações a provar:

1º - f(x) é divisível por x −a⇒ é raíz de f (x). a

Da hipótese, sabemos que o resto da divisão de f (x) por x −aé igual a 0. Mas, pelo teorema do resto, r = f(a). Então f (a) = 0. Logo, a é raiz de f .

2º - a é raiz de f(x)⇒ f(x) é divisível por x −a.

Se a é raiz de f(x), então f(a)=0. Mas, pelo teorema do resto, f(a) é o resto da divisão de f(x)por x −a. Então, r=0,o que mostra que f(x)é divisível por x −a. Exemplo 3

Vamos determinar m de modo que f(x)= x3−4x2 +mx−5 seja divisível por x−3:Pelo

(17)

3 14 0 14 3 0 5 3 . 3 . 4 33− 2+m − = ⇒ m− = ⇒m= Exemplo 4

Sejam 5 e 2, respectivamente, os restos da divisão de um polinômio f(x)por x−3e por 1

+

x . É possível, através do que vimos, determinar o resto da divisão de f(x) por

(

x−3

)(

.x+1

)

:

Pelo teorema do resto, temos que:

f

( )

3 =5 (I) e f

( )

−1 =2 (II)

Quando dividimos f(x) por _g

( ) (

_x ₌ _x₋3

)(

._x₊1

)

₌_x2 ₋2_x₋3_{, temos que grau}_r₌₁_(pois grau r < grau g e grau g =2),isto é, o grau do resto é no máximo 1. Assim, escrevemos

( )

x ax b.

r = + Devemos determinar a e b. Temos:?

( ) (

₁₄₂₄

)(

₄₃₄

) ( )

₁₂₃ ) ( ) ( . 3 . 1 x r x g b ax x q x x x f = + − + +

Calculando o valor numérico desse polinômio em x=3e em x=−1, vem:

(

)(

) ( )

( ) (

1 1 1

)(

. 1 3

) ( ) ( )

. 1 1 2 5 3 3 . 3 . 3 3 . 1 3 ) 3 ( 0 0 = + − ⇒ + − + − − − + − = − = + ⇒ + + − + = = = b a b a q f b a b a q f II I 4 4 4 3 4 4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 1

Resolvendo o sistema acima, encontramos 4 3 = a e 4 11 =

b . Dessa forma, o resto é . 4 11 4 3 ) (x = x+ r

6.4 Método de Briot-Ruffini Sejam f

( )

x =a_nxn+a_n₋₁xn−1+...+a₁x+a₀

(

a_n ≠0

)

e g

( )

x = x−a. Consideremos a divisão de f

( )

x por g

( )

x .

O quociente q

( )

x dessa divisão é um polinômio de grau n−1 ( pois grau q = f – grau g = 1

−

n ), dado por:

q

( )

x =q_n₋₁xn−1+q_n₋₂xn−2 +...+q₁.x+q₀

O resto r dessa divisão é um número complexo (independente de x); de fato, como grau r < grau g e grau g = 1, segue que grau r = 0.

Nosso objetivo é determinar o resto da divisão e os coeficientes q

( )

x :q_n₋₁,q_n₋₂,...,q₁ e q . ₀ Temos:

(18)

isto é,

(

)

(

)

(

)

(

aq x aq x aq x aq

)

r x q x q x q x q r q x q x q x q a x a x a x a x a n n n n n n n n n n n n n n n n + + + + + − − + + + + = = + + + + + − = = + + + + − − − − − − − − − − − − − 0 1 2 2 1 1 0 2 1 1 2 1 0 1 2 2 1 1 0 1 1 1 ... . ... ... . ...

Agrupando os monômios de mesmo grau:

(

q aq

)

x

(

q aq

) (

x aq r

)

x q a x a x a x a n n n n n n n n n + − + − + + − + = = + + + + − − − − − − 0 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 ... ...

Da identidade de polinômios segue que:

        + = ⇒ + − = + = ⇒ − = + = ⇒ − = = − − − − − − − 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 1 2 1 1 . . * . . * . . * * q a a r r q a a q a a q q a q a q a a q q a q a a q n n n n n n n n M

A determinação do resto da divisão de f(x)por g(x)e dos coeficientes de q(x)torna-se mais rápida com a aplicação do dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Consideremos a divisão de _f(_x)₌_x3₋4_x2 ₊5_x₋2_por _g₍_x₎_{= x}₋₃_{, ambos escritos} segundo potências decrescentes de x. Para construir o dispositivo, sigamos o seguinte roteiro:

• 1° Passo: calcular a raiz do divisor g(x)e, ao seu lado, colocar os coeficientes ordenados do dividendo f(x).

raiz de g(x): x−3=0⇒x=3 3 1 -4 5 -2

• 2° Passo: abaixar o 1º coeficiente do dividendo (1) e multiplicá-lo pela raiz do divisor (1x3=3).

3 1 -4 5 -2 1

(19)

• 3°Passo: somar o produto obtido com o coeficiente seguinte

(

3+

( )

−4 =−1

)

. O resultado é colocado abaixo desse coeficiente.

3 1 -4 5 -2 1 -1

• 4° Passo: com esse resultado, repetir as operações ( multiplicar pela raiz e somar com o coeficiente seguinte), e assim por diante.

3 1 -4 5 -2 1 -1 2 4

O último dos resultados obtidos no algoritmo de Briot-Ruffini é o resto da divisão. Assim, 4

=

r . Os demais resultados obtidos no algoritmo correspondem aos coeficientes ordenados do quociente da divisão. Dessa maneira, q(x)=(1x2−1).(x+2)= x2−x+2.

Exemplo 5

Vamos, através do dispositivo de Briot-Ruffini, obter o quociente e o resto da divisão de 4 2 3 ) (x = x5− x3+ x2+ f por g(x)= x+1:

Convém inicialmente notarmos que _f(_x)₌_x5₊0_x4₋3_x3₊2_x2 ₊0_x₊4_. Assim, construímos o algorítmo:

1 1 0 -3 2 0 4 1 -1 -2 4 -4 8 Assim:    − + − − = = 4 4 2 ) ( 8 2 3 4 x x x x x q r Exemplo 6

Vamos obter a para que o resto da divisão de f(x)= x3−3x2 −2x−a_por_g₍_x₎_{= x}₋₂ seja igual a 5:

Construímos o dispositivo de Briot-Ruffini: 2 1 -3 -2 -a 1 -1 -4 -a-8

(20)

Exemplo 7

Vamos determinar m para que f(x)=−2x4+x2 −x+m seja divisível por g(x)= x−1: 1 -2 0 1 -1 m -2 -2 -1 -2 -2 + m Do enunciado, vem r=0⇒−2+m=0⇒m=2.

Exercício de Polinômio

a)

(

7m2+ax

) (

− 2m2 −ax

)

b)

(

y3 −2y+7

) (

− 2y3 +5y2 +7

)

c)

(

2am+y2

)

−y2 d)

(

m2−m

)

(

1−m

)

e)

(

a−1

)

.

(

a2 +1

)

+

[

a.

(

a+1

)(

.a−3

)

]

+3a2+1 f)

(

_a2₊_a₋1

)

.

(

_a₋2

)(

._a₊4

)

_g)

(

_a2₊₁

)(

_._a2 ₋₁

)

_h)

(

_x₋₂

)

_.

(

_x3₊₂_x2₊_x

)

i)

(

x2−7x+10

)

÷

(

x−2

)

j)

(

x2−6x+5

)

÷

(

x−1

)

l)

(

x2 −9

)

÷

(

x−3

)

m)

(

x4−16

)

÷

(

x−2

)

n)

(

x5 −1

) (

÷ x −1

)

o)

(

x2−x−12

)

÷

(

x−4

)

7 - Recursos do Matlab

O Matlab contém diversas funções para a manipulação de polinômios. Os polinômios são facilmente diferenciados e integrados, e é fácil encontrar raízes polinomiais. Entretanto, polinômios de ordem elevada criam dificuldades numéricas em muitas situações e, assim, devem ser usados com precaução. Em alguns casos especiais é necessário dividir um polinômio por outro. No Matlab, isso pode ser feito com a função deconv.Por exemplo: No exemplo 1 queremos dividir f(x)=3x4 −x3+2 por g(x)= x−1, então utilizamos os comandos do Matlab, para acharmos o quociente e o resto da divisão.

>> a=[3 -1 0 0 2]; b=[1 -1]; >> [q,r]=deconv(a,b) q = 3 2 2 2 r = 0 0 0 0 4

Note que no Matlab utilizamos os coeficientes dos polinômios do dividendo e do divisor, com isso o Matlab mostrará também o coeficiente do polinômio do quociente e o valor do resto.

(21)

No exemplo 5utilizamos os mesmos comandos: >> a=[1 0 -3 2 0 4]; b=[1 1]; >> [q,r]=deconv(a,b) q = 1 -1 -2 4 -4 r = 0 0 0 0 0 8

No Matlab também podemos calcular os polinômios utilizando os seguintes comandos representados pelo gráfico na Figura1:

Queremos calcular o polinômio f(x)=−3x4 −2x3+4x2−x+8. >> p=[-3 -2 4 -1 8]; % os coeficientes do polinômio.

>> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados

>> title('Função : -3x{^4}-2x{^3} +4x{^2}-x{^1}+8') % Título do texto

Figura1: Gráfico do polinômio ( )₌₋3 4₋2 3₊4 2₋ ₊8 x x x x x f .

Exercícios Gerais da 1ª Parte

01) Calcule os seguintes radicais (Neste caso você deve primeiramente simplificar a expressão dada e logo após substituir o valor de x dado)

a) , 1 1 1 ₌ − − x x x b) , 0 3 1 1− − ₌ + x x x x c) 1 2 1 2 − = + + − x x x x

(22)

d) , 1 1 3 2 3₋ = − + x x x e) , 4 5 1 5 3 ₌ − − + − x x x f) , 4 4 2 ₌ − − x x x g) , 4 2 5 3 = − − − − x x x x h) , 64 4 8 3 ₋ = − x x x i) , = ; >0 − − a a x a x a x j) , 7 49 3 2 2 ₋ = − − x x x l) , 2 2 4 2 2 = + − − + x x x m) , 3 12 4 3 3 = − − x x x

02) Neste exercício você deve primeiramente simplificar a expressão dada e logo após substituir o valor de x dado:

a) , 2 2 4 2 2 = − − x x x x b) , 2 4 4 3 8 2 2 2 = − − − x x x x c) , 1 1 1 2 3 2 = − + − x x x x d) 2 1 , 1 8 2 3 2 3 2 = − − + x x x x e) , 2 2 8 3 = − − x x x f) , 2 4 4 3 4 2 2 − = − + − x x x x g) , , 0 2 3 2 2 2 2 ≠ = − − − a a x a ax x a x h)

(

)

x a a x a x a x a x ≠ = − + + − , , 1 3 3 2 m) , 5 5 6 250 2 2 3 = + − − x x x x

(23)

2ª Parte

8 - Função do 1º grau

8.1 Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de ℜ em ℜ dada por uma lei da forma f

( )

x =ax+b, onde a e b são números reais dados e a≠0. Na função f

( )

x =ax+b, o número a é chamado de coeficiente de x ou coeficiente angular da reta, determinando sua inclinação e o número b é chamado termo constante ou coeficiente linear, determinando a intersecção da reta com o eixo Oy.

O domínio e a imagem da função do primeiro grau para a<0 e a >0 será ℜ . Para uma função constante, o domínio será ℜ e a imagem o próprio valor de b.

A função de 1º grau pode ser classificada de acordo com seus gráficos. Considere sempre a forma genérica f

( )

x =ax+b.

8.2 Função constante: se a=0, então y = , b b∈ℜ. Desta forma, y=4 é função constante, pois, para qualquer valor de x , o valor de y ou f

( )

x será sempre 4. Utilizando o recurso do Matlab podemos obter o gráfico representado pela Figura2 da função y =4.

>> p=[0 4]; % os coeficientes do polinômio.

>> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados.

>> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao: y=4') % Título do texto.

(24)

8.3 Função identidade: se a=1e b=0, então y =x. Nesta função x e y têm sempre os mesmos valores. Temos utilizando o recurso do Matlab o respectivo gráfico representado pela Figura 3.

>> p=[1 0];% os coeficientes do polinômio.

>> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y=x') % Título do texto.

Figura 3: Gráfico da função identidade.

A reta y =x ou f

( )

x = xé denominada bissetriz dos quadrantes ímpares. Mas, se a=−1 e 0

=

b , temos então y =−x. A reta determinada por esta função é a bissetriz dos quadrantes pares, conforme mostra o gráfico representado pela Figura 4:

>> p=[-1 0]; % os coeficientes do polinômio.

>> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y=-x') % Título do texto.

(25)

Obs: x e y têm valores em módulo, porém com sinais contrários.

8.4 Função linear: é a função de 1º grau quando b=0, a ≠0 e a ≠1, a e b ∈ℜ . Exemplos: f

( )

x x f

( )

x x,y 2x,y 10x 2 1 , 5 = =− = =

Obs: Para construir os gráficos deste exemplo, utilize o recurso mostrado nos itens a e b deste tópico.

8.5 Função afim:é a função de 1º grau quando a ≠0, b≠0, a e b ∈ ℜ . Exemplos: f

( )

x =3x+1,y=4x−2, f

( )

x =−x+5.

8.6 Gráfico da função do 1º grau

A representação geométrica da função de 1º grau é uma reta, portanto, para determinar o gráfico é necessário obter dois pontos desta reta. Em particular, procuraremos os pontos em que a reta corta os eixos Ox e Oy.

Por exemplo, na função y= x2 +1, o ponto do eixo Ox é determinado pela equação 0 1 2x+ = , onde 2 1 − =

x . O ponto procurado é, portanto,       − 0, 2 1 .

Analogamente, para determinar o ponto do eixo Oy, y =2.0+1;y=1. O ponto procurado é

( )

0,1 e o gráfico desta função será representado pela Figura 5:

>> p=[2 1]; % os coeficientes do polinômio.

>> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y= 2x+1') % Título do texto.

(26)

Da mesma forma, na função f

( )

x =−2 +x 4, temos: 2 4 2 0 4 2 = − = − = + − x x x

Que será o ponto do eixo Ox

( )

2,0 , e Oy é

( )

0,4 , sendo representado pela Figura 6. >> p=[-2 4]; % os coeficientes do polinômio.

>> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y= -2x+4') % Título do texto.

Figura 6: Gráfico da função do primeiro grau decrescente.

De modo geral, dada a função f

( )

x =ax+b, para determinarmos a intersecção da reta com os eixos, procedemos do seguinte modo:

1º) igualamos y a zero, então

a b x b

ax+ =0⇒ =− , no eixo Ox encontramos o ponto       − 0, a b .

2º) igualamos x a zero, então f

( )

x = 0a. +b⇒ f

( )

x =b, no eixo Oy encontramos o ponto

( )

0,b .

De onde concluímos que:

( )

x

f é crescente se a é um número positivo

(

a>0

)

;

( )

x

(27)

8.7 Raiz ou zero da função de 1º grau

A raiz ou zero da função de 1º grau é o valor de x para o qual y= f

( )

x =0. Graficamente é o ponto em que a reta “corta”o eixo Ox. Portanto, para determinar a raiz da função basta igualarmos a zero:

( )

a b x b ax b ax b ax x f − = − = ⇒ = + + = 0 Exemplo 1

Determine a raiz da função f :ℜ→ℜtal que f

( )

x = x3 +1. Resolução

Igualamos f(x) a zero, portanto:

3 1 0

1

3x+ = ⇒x =− . Quando determinamos a(s) raiz(es) de uma função, o(s) valor(es) encontrado(s) deve(m) ser expresso(s) sob a forma de conjunto, denominado conjunto-verdade (v) ou conjunto solução (S), da seguinte forma:      − = 3 1 S Exemplo 2

Determine m para que -5 seja a raiz da função f :ℜ→ℜdada por f(x)=−x+3m. Resolução

Se -5 é a raiz, então para x=-5 temos que f(x)=0; substituímos estes dados na função:

( )

3 5 5 3 3 5 0 3 5 0 3 − = − = + = + − − = + − = m m m m m x x f

(28)

8.8 Estudo do sinal da função de 1º grau

Estudar o sinal de uma função de 1º grau é determinar os valores de x para que y seja positivo, negativo ou zero.

Estudemos, por exemplo, o sinal da função f :ℜ→ℜ dada por y=2x-1. Vamos construir o gráfico da função representado pela Figura 7.

Se x = 0 então y =2.0−1⇒y =−1. Ponto

(

0 −, 1

)

. Se y = 0 então 2 1 1 2 0 1 2x− = ⇒ x= ⇒x= . Ponto       0 , 2 1 >> p=[2 -1]; % os coeficientes do polinômio.

>> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y= 2x-1') % Título do texto.

Figura 7: Gráfico da função do primeiro grau crescente.

Observe que a função é crescente

(

a=2

)

. Analisando o gráfico podemos concluir que: • se 2 1 < x então y < 0; • se 2 1 > x então y>0; • se 2 1 = x então y = 0       função da raiz é. . . 2 1

Esta análise é o estudo do sinal da função, porém, para efetuá-la podemos recorrer apenas a um esboço do gráfico, conforme mostra a figura:

(29)

Sinal de y

+ para x > 1/ 2

Sinal de y 1/ 2

para x < 1/ 2

raiz

8.9 Regra prática para o estudo de sinal da função f

( )

x =ax+b: 1º) Determinamos a raiz da função, igualando-a a zero.

      ₌₋ a b x raiz :

2º) Verificamos se a função é crescente

(

a>0

)

ou decrescente

(

a<0

)

; temos então duas possibilidades: a > 0 a < 0 + + a b − a b −

Então podemos resumir no quadro o estudo do sinal da função do 1º grau.

a) a função é crescente b) a função é decrescente

Se a b x=− então y =0 Se a b x=− então y =0 Se a b x<− então y<0 Se a b x<− então y >0 Se a b x>− então y >0 Se a b x>− então y<0

(30)

Exemplo 1

Estude o sinal da função f

( )

x = x3 +1

Resolução Raiz da função: 3 1 0 1

3x+ = ⇒x=− o coeficiente de x é positivo

(

a=3

)

, portanto a função é crescente, façamos o esboço:

se 3 1 − = x então y=0 + se 3 1 − < x entãoy <0 3 1 − se 3 1 − > x então y>0 8.10 Inequação do 1º grau

A inequação se caracteriza pela presença de um dos seguintes sinais de desigualdades: > , <, ≤ ou . ≥

Vamos recordar algumas propriedades das desigualdades:

1º) Somando ou subtraindo um número a cada um dos membros, a desigualdade não se altera: 4 1 2 2 2 1 2 1 < + < + − < − 12 2 5 7 5 3 7 3 − > − − > − − >

2º) Multiplicando ou dividindo os dois membros da desigualdade por um número positivo, a desigualdade não se altera:

( )

16 4 2 . 8 2 . 2 8 2 < − < − < − 2 1 5 10 5 5 10 5 − > − > − >

3º) Multiplicando ou dividindo os dois membros da desigualdade por um número negativo, é necessário inverter a desigualdade para que a sentença seja verdadeira:

(31)

( )

0 14 2 . 0 2 . 7 0 7 > − > − − < − 3 1 3 9 3 3 9 3 < − − − < − − >

Estas propriedades são validas para a resolução de inequação do 1º grau. São exemplos de inequações:

Produto

(

3x−6

)(

.2−4x

)

<0 Quociente 0 1−3 ≥ + x x Vamos resolvê-las: 1º)

(

₁3₂−₃6

)(

.₁₄₂2−4₄₃

)

<0 g f x x Sinal de f: Sinal de g:

( )

2 0 6 3 6 3 = = − − x x x x f

( )

2 1 0 4 2 4 2 = = − − = x x x x g + + 2 2 1

Vazemos agora o “jogo” do sinal:

1 / 2 2 f x - - + g + - - - + - f.g

o

x < 1 / 2 ou x > 2 Então a solução da inequação é

2º) } { 0 1− 3 ≥ + g f x x

(32)

Sinal de f: Sinal de g:

( )

3 0 3 3 − = = + + = x x x x f

( )

1 0 1 1 = = − − = x x x x g + + -3 1

Fazemos agora o “jogo” do sinal:

-3 1 f - + + g + + - g f -

o

+ • -

Note que o número 1 foi excluído da solução, pois anula o denominador. S =

{

x∈ℜ/−3≤x<1

}

8.11 Domínio de uma função

Determinar o domínio de uma função é obter o conjunto de todos os valores de x para que a função exista.

Exemplos

1) O domínio da função f(x)=x2 é ℜ , pois todo número real pode ser elevado ao quadrado.

2) O domínio da função g(x)= x é ℜ₊, pois só podemos extrair a raiz quadrada de um número real não negativo.

3) O domínio da função

x x

h( )= é 1 _{ℜ , pois não existe divisão por zero.}*

4) O domínio da função _f₍_x₎= x3 −₁_éℜ , pois podemos extrair raiz cúbica de

(33)

Exercício da Função do 1º grau

01) O gráfico de f é o segmento de reta que une os pontos (-2, 2) e (2 ,0) . O valor de

f       2 1 é:

02) Determine o domínio da função f definida por f(x) = 3 1 − − x x .

03) A função f do 1º grau é definida por f(x) = -3x + K. O valor de K para que o gráfico corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é :

04) Uma função do 1º grau é tal que f(-1) = 5 e f(3) = - 3. Então, f(0) e a raiz da função valem, respectivamente.

05)O esboço ao lado refere-se ao gráfico da função real definida por f(x) = mx + 1 .Determine o valor de m

-2 0

06) O gráfico da função real dada por f(x) = mx + p intercepta o eixo das abscissas em (3,0). Qual é o valor de 3 m + p?

07) Se f−1 é a função inversa da função f, de R em R, definida por f(x) = 3x – 2 então f −1 (-1) é igual a:

08) Seja b um número positivo. Considere a função f: R em R dada por

f (x) = Se 97 2 _=           b f f o valor de b é?

09) Se f é uma função real tal que f(3 x +1) = x , então quem é f(x) ?

10) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x2- 1 e g(x) = x +1. Então

( )

(

g x

)

g

(

f

( )

x

)

f − é igual a:

11) Resolva as seguintes inequações: a) (5x+2)(2−x)(4x+3)≥0

(34)

b)      − − > − − + < − < + ) 5 ( 3 1 ) 3 ( 2 11 10 3 48 2 7 2 3 x x x x x x c) 3 1 2 3 − ≤ − − x x

12) Determine o domínio da função:

2 2 3 2 5 3 ) ( x x x x x f + − + + − =

13) As funções f e g são dadas por 1 5 3 ) (x = x− f e g x = x+a 3 4 ) ( . Sabe-se que

( ) ( )

3 1 0 0 − g = f . O décuplo do valor de

( )

      − 5 1 . 3 3 g f é:

14) A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do oceano Atlântico (ao nível do equador) em função da profundidade:

Profundidade Superfície 100 m 500 m 1000 m 3000 m

Temperatura 27ºC 21ºC 7ºC 4ºC 2,8ºC

Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas medições feitas para a profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de 400 m é:

9 - Função do 2º grau

9.1 Definição

Chama-se função do 2º grau ou função quadrática, de domínio ℜ e contra-domínio ℜ , a função f

( )

x =ax2 +bx+c onde a, b e c são números reais e a ≠0.

a é o coeficiente de x 2 b é o coeficiente de x C é o termo independente

Chama-se função completa àquela em que a, b e c são não nulos, e função incompleta àquela em que b ou c são nulos.

São exemplos de funções de 2º grau:

* f

( )

x =2x2+3x+1 (a = 2, b = 3 e c = 1) * f

( )

x =8x2−x−2 (a = 8, b = -1 e c =-2) * f

( )

x =−x2+2x (a = -1, b = 2 e c = 0) * f

( )

x = x1 2 −4 (a = 1, b = 0 e c = -4)

(35)

Obs: Toda função do 2º grau tem por gráfico uma parábola. 9.2 Revisando equação do 2º grau

Raízes – Fórmula de Bháskara

Os pontos onde o gráfico da função y=ax2 +bx+c_{corta o eixo}_{x são as raízes ou zeros} dessa função. Nesses pontos, devemos obter os valores de x para os quais y = 0.

Assim devemos resolver a seguinte equação do 2º grau: _ax2₊_bx₊_c₌0_{(multiplicando por 4a)}

4a2x2 +4abx+4ac=0 (somando nos lados b ) 2 4a2x2 +4abx+4ac+b2 =0+b2

4a2x2 +4abx+b2 =b2−4ac (fatorando o 1º membro)

(

2ax+b

)

2 =b2 −4ac 2ax+b=± b2−4ac 2ax=−b± b2 −4ac a ac b b x 2 4 2₋ ± − = (Fórmula de Bháskara)

O número b2 ₋4ac_{é chamado de discriminante, e indica-se por}_{∆ (letra grega delta).} Se ∆ >0, a equação _ax2 ₊_bx₊_c ₌0_{possui duas raízes reais e distintas, isto signfica que} a parábola corta em dois pontos o eixo x.

Se ∆ =0, a equação _ax2₊_bx₊_c₌0_{possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla), isto} significa que a parábola tangencia o eixo x.

Se ∆ < 0, a equação _ax2₊_bx₊_c₌0_{não possui raízes reais, isto significa que a parábola} não corta o eixo x.

9.3 Soma e Produto das Raízes

Vamos ver o que acontece quando somamos e multiplicamos as duas raízes da equação 0 2 ₊ ₊ ₌ c bx ax . a b a b a b b a b a b x x S= + = − − ∆ +− + ∆ =− − ∆− + ∆ = − =− 2 2 2 2 2 2 1

( )

(

)

a c a ac a ac b b a ac b b a b a b a b a b x x P _= − − ∆ = −∆ = − − = − + = =      − + ∆        − − ∆ = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 4 4 4 4 4 4 4 2 . 2 .

(36)

Vamos encontrar as raízes da equação x2 − x5 +6=0. Como a = 1, b = -5 e c = 6, então: 5 15 = − − = − = a b S e 6 1 6 = = = a c P

Quais são os números cujo produto é 6 e a soma 5?

Verifica-se que esses números são 2 e 3, pois 2.3=6 e 2+3 = 5. Assim as raízes são 2 e 3.

Exemplo 1

Determine, em ℜ , as raízes das equações: a) −7x2+6x+1=0

Resolução

Sempre que tivermos uma equação completa, utilizaremos a fórmula de Bháskara para resolver:

( )

a b x ac b 2 8 64 28 36 1 . 7 . 4 6 4 2 2 ∆ ± − = = ∆ = + = ∆ − − = ∆ − = ∆ 7 1 14 2 14 8 6 1 − = − = − + − = x 14 8 6 − ± − = x 1 14 14 14 8 6 2 ₋ = − = − − − = x b) 2x2− x=0 Resolução

Quando a equação é incompleta, podemos dispensar Bháskara e resolvemos do seguinte modo:

2x2− x=0

(37)

Para que o produto seja zero, é necessário que pelo menos um dos fatores seja zero, assim: x=0 ou 2 1 0 1 2x− = ⇒x=       = 2 1 , 0 S c) 3x2 −24=0

{

2 2,2 2

}

2 2 8 8 24 3 2 2 − = ± = ± = = = S x x x x 9.4 Vértice da Parábola

O vértice da parábola é o seu ponto de máximo (quando a<0) ou de mínimo (quandoa>0) da função.

A reta paralela ao eixo y que passa pelo vértice é o eixo de simetria da parábola.

Sendo y=ax2 +bx+c_{, para x = 0 teremos y = c, isto é, a parábola corta o eixo y no ponto} de ordenada c. Existe outro ponto de ordenada igual a c. Vamos achar a sua abscissa. ax2 +bx+c=c _ax2 _{+ bx}₌0 x

(

ax+ b

)

=0 x=0 já encontrado ou ax+ b=0, assim a b x=− Por simetria da parábola, a abscissa do vértice é:

a b x a b x_v _v 2 2 0 − = ⇒       − + =

Para obtermos a ordenada do vértice basta substituir

a b x_v 2 − = em y=ax2 +bx+c. Então,

(

)

a a ac b a ac b a ac b b c a b a b c a b a ab y c a b b a b a y_v _v 4 4 4 4 4 4 4 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆ − = − − = + − = + − = + − = + − = ⇒ +       − +       − = Logo,       ∆ − − = a a b V 4 , 2 33

(38)

Obs: O domínio de uma função do 2º grau, para a>0 e a<0 será ℜ , com isso a imagem depende do y , ficando: _v

Para a>0 a imagem será Im=

{

y∈ℜy≥ y_v

}

Para a<0 a imagem será Im=

{

y∈ℜy≤ y_v

}

Exemplo 2

1) Faça o gráfico da seguinte função y=2x2−8x+6 destacando: a) as raízes, se existirem

b) as coordenadas do vértice c) a intersecção com o eixo y d) e dê o conjunto imagem Solução      = − = = + − = 6 8 2 6 8 2 2 c b a x x y * Raízes:

( )

8 4.2.6 64 48 16 4 0 6 8 2 2 2 2 = − = − = ∆ − = ∆ = + − ac b x x x₁ =1

( )

4 4 8 2 . 2 4 8 2 ± = ± − − = ∆ ± − = a b x x₂ =3 *coordenadas do vértice

( )

2 2 . 4 16 4 2 2 . 2 8 2 − = − = ∆ − = = − − = − = a y a b x v v       

(

2 −, 2

)

V

(39)

Convém destacar que se a função y=ax2+bx+c possui duas raízes reais e distintas,

(

x1. xe. 2

)

, podemos obter a abscissa do vértice, fazendo a média aritmética entre as duas

raízes, isto é: 2 2 3 1 2 2 1+ ₌ + ₌ = x x x_v

substituindo x por 2 na função y=2x2−8x+6, temos y . Então: _v y_v =2.22−8.2+6=−2

*Intersecção com o eixo y:

Nesse ponto x=0, então y=6. Temos o ponto

( )

0,6 . *Esboço do gráfico da Figura 8.

Utilizando o recurso do Matlab, segue os comandos: >> p=[2 -8 6]; % os coeficientes do polinômio.

>> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y= 2x^2-8x+6') % Título do texto.

Figura 8: Gráfico da função f(x)=2x2 −8x+6. 9.5 Estudo do sinal

Estudar o sinal de uma função significa verificar os valores de x para os quais esta função é positiva ou negativa.

(40)

∆ >0 ∆=0 ∆<0 a>0 + + - + + + + + + - - - - - - - a<0 Exemplo 3

1) Estude o sinal da seguinte função: 3 10 3 2₋ ₊ = x x y

Solução: a=3>0 então a concavidade da parábola é para cima ∆=

(

−10

)

2 −4.3.3=64

∆>0, então existem duas raízes reais e distintas, isto é, a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos.

2 1 1= x Raízes: = ± = 6 8 10 x x₂ =3 Sinal

⊕

• •

⊕

3 1 3

(41)

para 3 1 < x ou x>3, temos y >0 para 3 3 1 < < x , temos y <0 9.6 Inequação do 2º grau

Qualquer inequação do tipo ax2+bx+c>0, ax2 +bx+c<0, ax2+bx+c≥0 ou 0

2₊_bx₊_c_≤

ax , onde a,b,c são números reais com a ≠0são chamadas inequações do 2º grau. Resolvemos uma inequação do 2º a partir do estudo do sinal da função correspondente.

Exemplo 4

Resolva a seguinte inequação: −x2+3x+10≤0 Solução 2. 5 10 3 2 1 =− = =    − = = x x P S

a=−1<0, a parábola tem concavidade para baixo. Sinal:

+ -2 5 -

o

-

Como devemos ter −x2 +3x+10≤0(destacados graficamente pela região em negrito), então:

Exercício da Função do 2º grau

01) A função f(x) = ax2+bx+c possui como raízes os números 2 e 4, e seu gráfico é uma parábola com o vértice (3,-3) . O valor de a + b + c é:

02) Se m e n são raízes de x2 − x6 +10=0, então n m

1 1 + vale:

03) Seja 7 a diferença entre as raízes da equação 4_x2₋20_x₊_c ₌0_{.Então , o valor da} constante c é :

(42)

04) O domínio da função y = 4 3 4 2 2 − − + x x x é:

05) Resolva as seguintes inequações:

a) 1 2 3_≤₋ − − x x b) (_x2 ₋2_x₊8).(_x2₋5_x₊6).(_x2₋16)_≤0

06) Determine o domínio da função

(

)

(

)

7 5 1 3 ) ( ₂ 2 − − − + − = x x x x x f

07) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por: ) 4 ).( 10 .( 100 ) (x = −x x−

L . O lucro máximo por dia, é obtido com a venda de n peças,

e o valor do lucro correspondente é l. Os valores de n e l são, respectivamente.

10 - Função Modular

10.1 Definição

O módulo de um número real x é x, se x for positivo o oposto de x (- x), se x for negativo. Simbolicamente, Exemplo1 Calcule: a) −5,7 = 5,7 b) 91 =91 c) x2

Neste caso da letra c, o valor numérico depende da incógnita x. Como não sabemos se 2x é positivo ou negativo, temos que considerar os dois casos:

1º caso: se 2x for positivo ou zero, conserva-se o sinal, tem-se que 2x =2x. 2º caso: se 2x for negativo, troca-se o sinal, tem-se que 2x =−2x

Resumindo temos:

(43)

Vamos considerar os dois casos:

1ºcaso) se x2 −1 for positivo ou zero, conserva os sinal.

2º caso)se _x2 ₋1_{for negativo, troca-se o sinal.} _x2 ₋1_<0_⇒₋1_<_x_<1 Resumindo, tem-se que:

10.2 Gráfico da função modular

10.2.1 Definição

Função modular é toda função f, de domínio ℜ e contra-domínio ℜ , tal que f

( )

x = x ou y = x . O gráfico da função modular pode ser obtido de duas formas:

1º modo: a partir da definição de módulo; 2º modo: por simetria em relação ao eixo Ox. Exemplo 2

1) Esboçar o gráfico da seguinte função: a) f

( )

x = x −3

Podemos primeiro fazer o gráfico de f

( )

x = x *Esboço do gráfico da Figura 9:

Utilizando o recurso do Matlab, segue os comandos: >> p=[1,0]; % os coeficientes do polinômio.

>> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y = x') % Título do texto.

(44)

( )

x = x.

Agora faremos a seguinte função f

( )

x = x isso significa que devemos “refletir” a parte negativa para cima, ficando como o gráfico abaixo.

*Esboço do gráfico da Figura 10:

Utilizando o recurso do Matlab, segue os comandos: >> p=[1 0]; % os coeficientes do polinômio.

>> x=linspace(-8,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,abs(x)); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados.

>> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y = abs(x)') % Título do texto.

Figura 10: Gráfico da funçãof

( )

x = x .

(45)

*Esboço do gráfico da Figura 11:

Utilizando o recurso do Matlab, segue os comandos:

>> p=[1,0]; % os coeficientes do polinômio.

>> x=linspace(-8,10); % pontos nos quais p será calculado. >> y=linspace(-3,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,(abs(x)-3)); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados.

>> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y =abs(x)-3') % Titulo do texto.

( )

x = x −3.

10.3 Equação modular

10.3.1 Definição

Para resolver equações modulares, utilizaremos basicamente a definição de módulo. Sempre que tivermos uma função modular devemos considerar que, dependendo do valor da incógnita, o valor numérico da função poderá ser positivo ou negativo.

Exemplo 3Resolver a equação modular x2 + x−12=0

Note que, neste exercício, temos uma equação do 2º grau onde a incógnita é x . Para facilitar a resolução podemos utilizar uma mudança de variável, substituindo x , por exemplo, por y, então: x = y

Em função de y, temos a seguinte equação:

(46)

Agora que temos os valores de y, podemos calcular x : comox =y, então:

x =3 3 = x ou x=−3 ou 4 − = x

não existe nenhum valor de x que satisfaça a equação, pois o módulo de um número é sempre positivo.

10.4 Inequação modular

As inequações modulares se caracterizam pela presença de um dos sinais de desigualdade: >, Observe a resolução dos exercícios seguintes.

Verificamos que nas inequações para a>0, temos a seguinte regra: 1º) Se x <a, então −a< x<a.

2º) Se x >a, então x <a ou x >a

Exemplo 4Determinar o valor de x na inequação − x3 +2 >1. Resolução:

Aplicando a propriedade 2, tem-se que:

3 3 2 1 3 1 2 3 − < − − − < − − < + − x x x ou 1 3 2 1 3 1 2 3 − > − − > − > + − x x x

Multiplicando por -1, invertendo o sinal de desigualdade:

1 3 3 > > x x 3 1 1 3 < < x x

Exemplo 5Resolva a inequação 3, 2 1 ≤ + − x x em ℜ . Solução: tem-se que

(47)

3 2 1 3 ≤ + − ≤ − x x ou       − ≥ + − ≤ + − 3 2 1 3 2 1 x x x x Solução 1 Solução 2 0 2 7 2 0 2 ) 2 ( 3 1 0 3 2 1 3 2 1 ≤ + − − ≤ + + − − ≤ − + − ≤ + − x x x x x x x x x 0 2 5 4 0 2 ) 2 ( 3 1 0 3 2 1 3 2 1 ≥ + + ≥ + + + − ≥ + + − − ≥ + − x x x x x x x x x

Resolvendo, tem-se que: Resolvendo tem-se que:

Fazendo S ∩₁ S₂ ,ou seja, a intersecção entre as soluções tem-se que a solução geral da inequação será:

Exercício da Função Modular

01) Resolva as equações modulares:

a) 2x− 3 = x b) x2 +3 = 4x−1 c) 3 3 2 +1 = − x x d) 2x−12−3x−1−2=0 e) x−1+ x+3 =6 02) Resolva as inequações modulares:

a) x2− x−4 >2 b) 1< x−1≤3 c) 2− 3 ≤2 x 03) Determine o domínio da função

2 3 ) ( − − = x x x f

(48)

04) Esboce o gráfico das funções abaixo:

a) f(x)= x.x b) f(x)= x + x+2

11 - Função Exponencial

A função exponencial f , de domínio ℜ e contra-domínio ℜ , é definida por _{y =}_ax_,

sendo a >0 e a≠1. ℜ → ℜ : f x a y = sendo a >0 e a ≠1

São exemplos de funções exponenciais:

a) y=2x b) y=

( )

3 x c) y=πx d) x       2 1 e) x       3 2

De forma geral, dada a função y =ax: → se a>1a função exponencial é crescente; → se 0< a<1 a função exponencial é decrescente. Graficamente tem-se que:

y =ax y =ax

a> 1→ exponencial crescente 0<a<1→ exponencial decrescente

Figura 12: Gráfico da função exponencial crescente. Figura 13: Gráfico da função exponencial decrescente.

Domínio: D= x

{

∈ℜ

}

Domínio: D= x

{

∈ℜ

}

Imagem: Im=ℜ*+ Imagem: Im=ℜ*+

(49)

Exemplo 1Construir o gráfico da seguinte função: f(x)= 2x −4 −2

Devemos observar que a função exponencial está dentro do módulo, com isso podemos seguir os seguintes passos para a construção do gráfico:

1º) Construir a função f(x)=2x, seguindo as regras de potenciação visto na primeira parte deste livro, bem como as regras para a construção de gráficos exponenciais. Utilizando o recurso do Matlab tem-se que:

>> x=linspace(-3,3); % valores no eixo x. >> y=linspace(0,5); %valores no eixo y. >> y=2.^x; % função exponencial calculada. >> plot(x,y), % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y=2^x') % Titulo do texto.

E obtemos a Figura14 como pode ser visto abaixo:

Figura 14: Gráfico da função f(x)=2x.

2º) Construir a função f(x)=2x −4, seguindo as regras de potenciação visto na primeira parte deste livro, bem como as regras para a construção de gráficos exponenciais, note neste caso o gráfico deverá “descer quatro casas” sendo está última a assíntota (semi-reta que limita a função, com o qual a função não deverá tocá-la). Utilizando o recurso do Matlab tem-se que:

>> x=linspace(-3,3); % valores no eixo x. >> y=linspace(-7,5); %valores no eixo y. >> y=2.^x-4; % função exponencial calculada. >> plot(x,y), % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y=2^x-4') % Titulo do texto.