Sebenta do conteúdo teórico da
disciplina
de
Álgebra Linear e Geometria Analítica
Curso: Eng.
aTopográ…ca
Ano Lectivo 2009/2010
Índice
Notas Prévias iii
Notações e terminologia iv
1 Introdução 1
1.1 Noções elementares sobre conjuntos . . . 1
1.2 Noções elementares sobre aplicações . . . 5
1.3 Noções elementares sobre polinómios . . . 9
2 Espaços vectoriais. Aplicações lineares 13 2.1 Espaços vectoriais . . . 13
2.2 Dependência e Independência linear . . . 15
2.3 Subespaços vectoriais . . . 21
2.4 Aplicações lineares entre espaços vectoriais . . . 23
2.5 Operações fundamentais sobre aplicações lineares . . . 25
2.6 Aplicações lineares entre espaços vectoriais de dimensão …nita. . . 26
3 Matrizes 28 3.1 Noção de matriz. Matriz de uma aplicação linear . . . 28
3.2 Submatrizes . . . 30
3.3 Operações fundamentais sobre matrizes . . . 31
3.4 Tipos de matrizes . . . 33
3.5 Característica de uma matriz . . . 36
3.6 Matriz de mudança de base e mudanças de base . . . 38
4 Sistemas de equações lineares. Determinantes 41 4.1 Sistemas de equações lineares . . . 41
4.2 Determinação da inversa de uma matriz, usando a resolução matri-cial de um sistema de equações . . . 44
4.3 Noção de permutação, inversão e transposição . . . 46
4.4 Determinantes . . . 47
4.5 Propriedades operatórias dos determinantes . . . 49
4.6 Aplicação da teoria dos determinantes ao cálculo da inversa de uma matriz. Matriz adjunta . . . 54
4.7 Aplicação da teoria dos determinantes à resolução de sistemas de equações lineares. Regra de Cramer . . . 55
5 Valores próprios e vectores próprios 56 5.1 Subespaço invariante. Valores e vectores próprios. . . 56
5.2 Subespaço próprio . . . 61
6 Espaços com produto interno. Geometria Analítica 66 6.1 Espaços com produto interno. Norma . . . 66 6.2 Sistemas de vectores ortogonais, normados e ortonormados.
Teo-rema de Gram-Schmidt . . . 70 6.3 Matriz da métrica. Complemento ortogonal . . . 72 6.4 Produto externo e produto misto de vectores . . . 75
Notas Prévias
Esta sebenta teórica juntamente com a sebenta de exercícios e a matéria lec-cionada nas aulas teóricas formam um todo, i.e., são uma parte integrante do programa da disciplina.
O material contido nesta sebenta, foi elaborado em parte com base nas refer-ências [1], [2], [3] e de um conjunto de apontamentos que o próprio foi elaborando ao longo do tempo.
N.B.: Na elaboração desta sebenta, e dentro do possível, houve o cuidado de se usar uma escrita matemática rigorosa e uma simbologia o mais actualizada possível, no entanto, esta sebenta pode não estar isenta de - apesar de involuntárias - omissões e incorrecções1.
1apesar de se encontrar em permanente actualização, aceitam-se e agradecem-se correcções e
Notações e terminologia
Faremos uso dos seguintes símbolos para representar os conjuntos usuais: ; o conjunto vazio
N = f0; 1; 2; 3; g o conjunto dos números naturais Z = f ; 2; 1; 0; 1; 2; g o conjunto dos números inteiros Q =nxy 2 R : x 2 Z ^ y 2 Z n f0g
o
o conjunto dos números racionais R o conjunto dos números reais C o conjunto dos números complexos De um modo geral, o símbolo K representa um corpo qualquer e o símbolo ‘:=’ quer designar a igualdade de duas entidades por de…nição.
O símbolo ‘v’representa uma subestrutura de uma dada estrutura algébrica. Por exemplo, sendo V um espaço vectorial e F um subconjunto de V , para abreviar a expressão ‘F é um subespaço vectorial de V ’, usamos o simbolismo F v V .
Sendo X 2 fN; Z; Q; Rg, representaremos por X>0; X 0 e X6=0,
respectiva-mente, os seguintes conjuntos:
X>0:=fx 2 X : x > 0g
X 0 :=fx 2 X : x 0g
X6=0:=fx 2 X : x 6= 0g . Como exemplos, o conjunto
R 0 :=fx 2 R : x 0g = [0; +1[,
representa o conjunto dos números reais não negativos, enquanto que o conjunto R6=0 :=fx 2 R : x 6= 0g = R n f0g ,
1. Introdução
1.1. Noções elementares sobre conjuntos
Intuitivamente um conjunto é uma entidade única formada por diversos elementos dados à priori; estes “objectos” que intervieram por assim dizer, na formação do conjunto, são chamados de elementos do conjunto. Por exemplo, o conjunto
A :=fx; y; zg tem como elementos os objectos x, y e z.
Para simbolizar que x é um dos elementos do conjunto A, escrevemos x2 A
o que se lê, x é elemento de A, ou que x pertence a A.
Dizemos que um conjunto A está contido num conjunto B, sempre que todo o elemento de A é também elemento de B. Para signi…car que A está contido em B, escrevemos
A B
o que se lê, A está contido em B, ou que A é subconjunto de B.
Quando A é um subconjunto próprio de B, i.e., A é subconjunto de B mas não é igual a B, representamos este facto por A B.
Exemplo 1.1.1. O conjunto f1; 2; 3g é subconjunto do conjunto f1; 2; 3; 4; 5g, pois todo o elemento do primeiro conjunto é elemento do segundo conjunto.
Uma outra noção intuitiva que iremos utilizar é a de igualdade. Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais ou que coincidem se, e só se, têm exactamente os mesmos elementos.
O que acabámos de escrever, é um dos axiomas fundamentais da teoria de con-juntos e que é conhecido pelo axioma da extensão.
Axioma: Dois conjuntos arbitrários são iguais, se eles têm os mesmos elementos, ou seja,
A = B () (8x : x 2 A , x 2 B).
Exemplo 1.1.2. Os conjuntos A := f1; 2; 3g e B := f3; 2; 1g são iguais, dado que possuem os mesmos elementos.
Vejamos um resultado que nos permite relacionar o conceito de igualdade de conjuntos com a noção de subconjunto:
Teorema 1.1.3. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Então, tem-se que: A = B () A B ^ B A.
Uma outra noção, que necessitaremos mais à frente, é a noção de cardinal ou número cardinal. O conceito de cardinal está relacionado com o tamanho dos conjuntos. Na realidade, pretende-se saber o número de elementos de um conjunto, como também dar resposta ao seguinte:
dados dois conjuntos quaisquer eles terão o mesmo número de elementos ou não. Sem grande formalismo, iremos representar por card(X) (ou por #(X)), o cardinal do conjunto X, querendo com isto indicar, o número de elementos do conjunto X. Deste modo, diremos que um qualquer conjunto X é …nito se o seu cardinal é um número …nito, de outro modo, diremos que X é um conjunto in…nito ou que o seu cardinal é um cardinal trans…nito.
Exemplo 1.1.4. O cardinal do conjunto vazio, ;, é 0. O cardinal do conjunto f1; 2; 3; 4g é 4, pois ele possui quatro elementos. O cardinal do conjunto f1; 2; f3; 4gg é 3, pois possui três elementos, sendo um desses elementos o conjunto f3; 4g.
Existem, essencialmente, cinco processos pelos quais, a partir de conjuntos dados, se podem obter outros:
A união de conjuntos. A intersecção de conjuntos. A subtracção de conjuntos.
As partes de um conjunto (ou os subconjuntos de um conjunto). O produto cartesiano de conjuntos.
De…nição 1.1.5. Dados os conjuntos A e B, a sua união é um conjunto, repre-sentado pelo símbolo A [ B, e onde …guram os elementos de A juntamente com os elementos de B. Simbolicamente,
A[ B := fx : x 2 A _ x 2 Bg . Exemplo 1.1.6. Seja A := f1; 2; 3g e B := f4; 5; 6g, então
A[ B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g . Vejamos algumas propriedades da união de conjuntos:
Teorema 1.1.7. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Então, tem-se que: 1) A [ B = B [ A.
2) (A [ B) [ C = A [ (B [ C). 3) ; [ A = A.
De…nição 1.1.8. Dados os conjuntos A e B, a sua intersecção é um conjunto, representado pelo símbolo A \ B, e onde …guram os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Simbolicamente,
A\ B := fx : x 2 A ^ x 2 Bg .
Exemplo 1.1.9. Seja A := f1; 2; 3; 4g e B := f2; 3; 4; 5g, então A\ B = f2; 3; 4g .
Vejamos algumas propriedades da intersecção:
Teorema 1.1.10. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Então, tem-se que: 1) A \ B = B \ A.
2) (A \ B) \ C = A \ (B \ C). 3) ; \ A = ;.
4) A \ A = A.
De…nição 1.1.11. Dados os conjuntos A e B, a sua subtracção é um conjunto, representado pelo símbolo A n B, e onde …guram os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Simbolicamente,
An B := fx : x 2 A ^ x =2 Bg .
Exemplo 1.1.12. Seja A := f1; 2; 3; 4; 5g e B := f2; 3; 4g, então An B = f1; 5g .
De…nição 1.1.13. Dado um conjunto A arbitrário, o conjunto das partes de A, é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A, e representa-se por P(A). Simbolicamente,
P(A) := fX : X Ag .
Exemplo 1.1.14. Sendo A := f1; 2g então, o conjunto das partes de A é dado por:
P(A) = f;; f1g ; f2g ; f1; 2gg .
De…nição 1.1.15. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chama-se par orde-nado de a e b, e representa-se por (a; b), ao conjunto
(a; b) :=ffag ; fa; bgg .
Observação: Note-se que o par ordenado (a; b) é diferente de fa; bg. Teorema 1.1.16. Dados os pares ordenados (x; y) e (a; b), tem-se que:
De…nição 1.1.17. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. O produto cartesiano de A e B, é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a; b), onde a 2 A e b 2 B. Designando este conjunto por A B, temos então que:
A B :=f(a; b) 2 P(P(A [ B)) : a 2 A ^ b 2 Bg .
Exemplo 1.1.18. Sejam A := f1; 2g e B := f3; 4g. Então, o produto cartesiano destes conjuntos é:
A B =f(1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4)g .
É possível estender a operação de produto cartesiano a n conjuntos, nomeada-mente, se se tem n conjuntos todos iguais, representa-se por
An =
n
z }| {
A A A
o produto cartesiano destes n conjuntos.
Deste modo, se (x1; x2; : : : ; xn) e (y1; y2; : : : ; yn)são elementos de An, a sua
igual-dade é dada por:
1.2. Noções elementares sobre aplicações
De…nição 1.2.1. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Diz-se que R é uma relação binária de…nida em A B, se R é um subconjunto de A B, i.e., R A B. Notação: Se R é uma relação binária, por vezes, é conveniente expressar o facto (x; y)2 R por :
(x; y)2 R , xRy.
Observação: Se R é uma relação binária, então poder-se-á escrever R =f(x; y) 2 A B : xrelaciona-se com yg .
Se B = A, é costume simplesmente dizer-se que R é uma relação de…nida em A, ou mais abreviadamente, R é uma relação em A.
De…nição 1.2.2. Seja R uma relação binária de…nida em A B. Chama-se domínio da relação R, e representa-se por dom(R) ao subconjunto de A,
Dom(R) :=fx 2 A : 9y 2 B, xRyg .
Vejamos um conceito muito importante em matemática, que é o conceito de função ou aplicação.
De…nição 1.2.3. Sejam A e B dois conjuntos arbitrários. Um função (ou apli-cação) de A em B, é uma relação f de…nida em A B tal que:
(i) 8x 2 A 9y 2 B : (x; y) 2 f;
(ii) 8x 2 A 8y; z 2 B : (x; y) 2 f ^ (x; z) 2 f ) y = z.
Notação: Dado que as duas condições da de…nição anterior são equivalentes a: 8x 2 A 91y2 B : (x; y) 2 f,
é costume, no caso das aplicações escrever f (x) = y em vez de (x; y) 2 f. Observações:
1) O ponto (i) da de…nição anterior é equivalente a Dom(f ) = A, e diz-nos que todo o elemento de A tem que ter uma imagem, ou seja, todo o elemento de A tem um elemento correspondente no conjunto B.
2) Tendo em conta a notação f (x) = y, em vez de (x; y) 2 f, o ponto (ii) da de…nição anterior é equivalente a:
8x; y 2 A x = y ) f(x) = f(y).
3) Uma relação em que Dom(f ) A e não obrigatoriamente Dom(f ) = A, diz-se uma relação funcional.
Tendo em conta as observações anteriores é possível reenunciar a de…nição de função do seguinte modo:
De…nição 1.2.4. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Uma função f é uma relação de…nida em A B, que se representa por f : A ! B ou por A! B e talf que veri…ca:
1) 8x 2 A 9y 2 B : f(x) = y; (de…nida)
2) 8x; y 2 A x = y ) f(x) = f(y). (bem-de…nida)
Observação: Ao conjunto A diz-se o domínio de f e ao conjunto B diz-se o codomínio de f . É costume representar por BA o conjunto de todas as aplicações
de A em B.
Exemplo 1.2.5. A função seno, sin : R ! R que a cada x faz corresponder o elemento sin(x). Outro exemplo, é a função f : R ! R de…nida por x 7! 2x + 1. De…nição 1.2.6. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e f : A ! B uma aplicação e A0 A. Chama-se restrição de f a A0, e representa-se por f
jA0 a
aplicação fjA0 : A0 ! B de…nida para todo o x 2 A0, por fjA0(x) := f (x).
Um tipo especial de aplicações, muito importantes, são as operações binárias: De…nição 1.2.7. Seja A um conjunto qualquer. Chamamos de operação binária de…nida em A, a qualquer aplicação de A2 em A, i.e., uma aplicação : A2
! A que a cada par (x; y) faz corresponder o elemento x y.
É usual, em operações binárias, escrever-se x y em vez de ((x; y)). Por exemplo, estamos habituados a escrever x + y em vez de +((x; y)).
Exemplo 1.2.8. A adição e a multiplicação usuais (as que usamos no nosso dia-a-dia), são exemplos bastante comuns de operações binárias.
De…nição 1.2.9. Seja A um conjunto qualquer.
1) Chamamos de operação unária de…nida em A, a qualquer aplicação de A em A, i.e., uma aplicação A ! A.
2) Chamamos de operação nulária de…nida em A, a qualquer aplicação de um conjunto unitário (ou seja, um conjunto com um único elemento) em A, i.e., a uma aplicação A0 ! A.
Observação: A ideia que está por detrás de uma operação nulária, é a de …xar um elemento no conjunto. Um exemplo desta operação é o elemento neutro. Exemplo 1.2.10. O simétrico na adição dos números reais.
Em geral, escreve-se x y para representar x + ( y), onde na segunda parcela o símbolo ‘ ’representa o simétrico. O elemento neutro na adição de números reais é o número 0.
Exemplo 1.2.11. O inverso na multiplicação de números reais, que se representa por ( ) 1, i.e., o inverso do número real x 6= 0 é x 1. O elemento neutro na multiplicação de números reais é o número 1.
As operações binárias podem ser generalizadas para operações n-árias, como por exemplo, operações ternárias, i.e., aplicações de A3
! A e, operações quater-nárias de A4 ! A e, de um modo geral, operações n-árias, ou seja, operações de An
! A.
Observação: No capítulo dos espaços vectoriais irão ser introduzidas algumas destas operações n-árias. Por exemplo, irá ser introduzida uma operação binária de adição no conjunto Rn.
De…nição 1.2.12. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e sejam A0 A e B0 B e f : A ! B uma aplicação.
1) A imagem directa de um subconjunto A0 de A é o conjunto f (A0) :=ff(x) 2 B : x 2 A0g .
2) A imagem inversa (também se diz a pré-imagem) de um subconjunto B0 de B é o conjunto
f 1(B0) :=fx 2 A : f(x) 2 B0g .
Observação: Quando A0 = A, então é costume também escrever-se Im(f ) em
vez de f (A) e diz-se a imagem de f ou o contradomínio de f .
Apesar da notação usada para representar a imagem directa e a imagem inversa não ser a melhor, ela é comumente usada. No entanto, não convém confundir a noção de imagem inversa com a de função inversa, que são conceitos distintos. A função inversa só existe se a função f é bijectiva (ver noção na de…nição 1.2.13).
Recordemos algumas noções que caracterizam uma aplicação:
De…nição 1.2.13. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e f : A ! B uma aplicação.
1) A aplicação f diz-se injectiva se:
8x; y 2 A f(x) = f(y) ) x = y. 2) A aplicação f diz-se sobrejectiva se:
8y 2 B 9x 2 A : y = f(x).
3) A aplicação f diz-se bijectiva, se f é simultaneamente injectiva e sobrejec-tiva, i.e., se:
8y 2 B 91x2 A : y = f(x). Vejamos algumas operações fundamentais sobre aplicações:
De…nição 1.2.14. Sejam A um conjunto qualquer não vazio, RA o conjunto de todas as aplicações de A em R e f; g 2 RA. De…nem-se, então as seguintes
aplicações:
1) f + g : A ! R por (f + g)(x) := f (x) + g(x). 2) Sendo 2 R, f : A ! R por ( f )(x) := (f (x)).
3) jfj : A ! R por jfj (x) := jf(x)j.
4) f g : A ! R por (f g)(x) := f (x) g(x).
De…nição 1.2.15. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer e, f : A ! B e g : B ! C duas aplicações. A aplicação h : A ! C de…nida para todo o x 2 A por:
h(x) = g(f (x))
diz-se a composição de f com g e representa-se por g f.
Uma outra maneira de vermos a composição de duas aplicações é através do diagrama:
A! Bf ! C.g
Exemplo 1.2.16. Sejam f; g : R ! R duas aplicações de…nidas, respectiva-mente, por x 7! sin(x) e x 7! x2. Então, a composição de f e g é dada por:
(g f )(x) = g(f (x)) = g(sin(x)) = sin(x2).
1.3. Noções elementares sobre polinómios
De…nição 1.3.1. Seja A um anel com elemento unidade. Um polinómio na in-determinada x, é uma expressão da forma:
a0x0+ a1x1+ + an 1xn 1+ anxn+ =
X
i2N
aixi, (1.1)
na qual apenas um número …nito de ai’s é diferente de 0A (o zero do anel), x e o
sinal ‘+’são meros símbolos1
e, para todo o i 2 N, ai 2 A.
Em geral, considera-se que, x0 = 1
A, x1 = x e, deste modo, a01A= a0. Assim
sendo, a expressão (1.1), reveste o seguinte aspecto:
a0+ a1x + + an 1xn 1+ anxn+ .
Observação: Note-se, porém que, se para cada i, xi
2 A, o símbolo ‘+’ é a primeira operação binária de A e, em cada aixi, está envolvida a segunda operação
binária de A então, de um modo natural, a expressão (1.1) é um elemento de A. A cada uma das componentes aixi da expressão (1.1) chamam-se termos do
polinómio. Quando um polinómio tem apenas um termo não nulo, chama-se monómio; se tem dois termos não nulos, chama-se binómio, se tem três termos não nulos, é um trinómio. Se tem mais que três termos não nulos, diz-se, simplesmente que é um polinómio de 4, 5, etc., termos. A expressão (1.1), pode ser considerada, como sendo a soma de n + 1 monómios.
Cada monómio é constituído por duas partes: o coe…ciente e a parte literal. Aos elementos ai’s chamam-se os coe…cientes do polinómio e aos xi’s, as respectivas
partes literais.
Podemos considerar, para facilidade de escrita, quando um dos coe…cientes de um polinómio é o zero do anel, omitir o termo correspondente. A esses termos chamam-se termos nulos do polinómio. Quando todos os termos de um polinómio são nulos, escrevemos apenas 0, em vez de 0A+ 0Ax + + 0Axn+ . Chamamos
a este polinómio o polinómio nulo.
Ao termo a0x0 = a0 chama-se termo constante do polinómio.
Assim, por exemplo, o polinómio p
3 + 4x2 x3+ 2x5, é uma abreviatura do polinómio
( p3) + 0x + 4x2+ ( 1)x3+ 0x4+ 2x5+ 0x6+ .
Exemplo 1.3.2. O monómio 3x2, tem como coe…ciente 3e como parte literal
x2. O polinómio 4 + 3x + x2 + 2x3, tem como coe…cientes, 4; 3; 1 e 2 e partes literais respectivamente, x0; x1; x2 e x3.
1Consideremos que x é um mero símbolo formal e que não interfere em nada do que se segue.
Na justaposição de ai e xi, formando aixi, não obrigatoriamente, está envolvida uma operação
De…nição 1.3.3. O grau de um polinómio p não nulo é o mais elevado grau dos seus termos não nulos, e representa-se por deg(p).
Convenciona-se que o grau do polinómio nulo, 0, é o símbolo 1, ou seja, deg(0) = 1.
Iremos adoptar as seguintes regras usuais, para todo o n 2 N, ( 1) + ( 1) = 1
( 1) + n = 1.
Aos polinómios de grau 0 ou 1, também é costume chamarem-se lineares e aos de grau 2; 3; 4; 5, etc. é costume chamarem-se, respectivamente, quadráticos, cúbicos, quárticos, quínticos, etc..
Por vezes, estamos interessados em polinómios em mais do que uma indeter-minada, como por exemplo, o polinómio
2x3y +25x2y2 4xy3+ 2y4,
é um polinómio nas indeterminadas x e y. Este tipo de polinómios aparecem, quando estudarmos produtos internos.
De…nição 1.3.4. Ao conjunto de todos os polinómios nas indeterminadas x1; x2; : : : ; xn com coe…cientes em A, representa-se por A[x1; x2; : : : ; xn].
Se tivermos apenas uma única indeterminada x, representa-se por A[x].
Exemplo 1.3.5. O polinómio 4x + 3x2+ 2x3 em R[x] é de grau 3, pois o termo do polinómio de maior grau não nulo é 2x3, que é de grau 3. O primeiro termo
4xé de grau 1, e o segundo termo 3x2, é de grau 2.
Exemplo 1.3.6. O polinómio 2x2+ 2x2y + 4xy4 em duas indeterminadas x e y, é
de grau 5, pois o primeiro termo é de grau 2, o segundo termo é de grau 3 (que é a soma dos expoentes das indeterminadas que …guram naquele termo), e o terceiro termo é de grau 5 (= 1 + 4).
Exemplo 1.3.7. Se um polinómio é de grau 0, então ele reduz-se ao termo con-stante, sendo este termo não nulo. Os polinómios 2, p3 em R[x], são ambos de grau 0.
Note que o polinómio 2 é uma abreviatura de 2 + 0x + 0x2+ , analogamente
parap3.
De…nição 1.3.8. Se os termos não nulos de um polinómio em duas ou mais indeterminadas são todos do mesmo grau, este diz-se um polinómio homogéneo. Exemplo 1.3.9. O polinómio 2x3+ 4xy2+ 5y3 em duas indeterminadas x e y é
homogéneo, pois todos os seus termos têm o mesmo grau, que é 3.
Vamos introduzir operações binárias no conjunto A[x], de modo a torná-lo uma estrutura algébrica e considerando para tal que A é um anel:
Sendo p; q 2 A[x], onde p :=X i2N aixi e q := X i2N bixi,
de…ne-se a soma e a multiplicação destes dois elementos por: p + q = X i2N (ai + bi)xi = (a0+ b0) + (a1+ b1)x + (a2+ b2)x2+ e p q = X i2N cixi, onde ci := i X k=0 akbi k = a0b0+ (a0b1+ a1b0)x + (a0b2+ a1b1+ a2b0)x2 + .
Estamos também interessados em introduzir uma operação binária externa, ou seja, uma aplicação de A A[x]em A[x] e que de…nimos do seguinte modo:
a;X i2N aixi ! 7 !X i2N (aai)xi.
De…nição 1.3.10. Dados os polinómios p :=X i2N aixi e q := X i2N bixi,
eles são iguais se, e só se,
8i 2 N, ai = bi.
De…nição 1.3.11. Um polinómio p 2 A[x], diz-se mónico quando o coe…ciente de maior grau é igual ao elemento unidade do anel A.
Exemplo 1.3.12. Os polinómios 1 + 2x2 + x3 e 3 + 2x + x2 são mónicos em R[x].
No que se segue, vamos estar mais interessados em conjuntos de polinómios de um determinado grau, nomeadamente, no conjunto de polinómios de grau menor ou igual a n 2 N (…xo), e que se representa por An[x], ou seja, sendo n 2 N …xo,
tem-se:
An[x] :=
n
p2 A[x] : deg(p) n_ deg(p) = 1o.
Deste modo, um polinómio p 2 An[x], pode ser escrito da seguinte maneira:
a0 + a1x + + an 1xn 1+ anxn,
no qual an 6= 0A e os coe…cientes ai’s dos termos consecutivos a anxn são todos
nulos. Note-se, porém que, no caso do conjunto de polinómios de grau menor ou igual a um determinado n (…xo), a operação de multiplicação de dois elementos dele, deixa de ser um elemento desse conjunto, pois, em geral, dá um polinómio de grau superior a n, a menos que, a indeterminada esteja sujeita a determinadas condições.
Daqui em diante, iremos apenas restringirmos aos casos em que A é um corpo, notando que, o facto de A ser um corpo não se tem que A[x] seja um corpo, aliás, não é um corpo, por existirem elementos em A[x] que não são invertíveis.
É possível também escrevermos o polinómio de grau n na indeterminada x, a0+ a1x + + an 1xn 1+ anxn
da seguinte maneira:
anxn+ an 1xn 1+ + a1x + a0.
No primeiro caso, dizemos que o polinómio está ordenado segundo as potências crescentes da indeterminada x e, no segundo caso, que está ordenado segundo as potências decrescentes da indeterminada x.
2. Espaços vectoriais. Aplicações
lineares
2.1. Espaços vectoriais
De…nição 2.1.1. Seja (K; +; ; 0; 1) um corpo qualquer. Seja V um conjunto arbitrário e suponhamos que:
1) em V está de…nida uma operação binária, que se representa por + e uma operação nulária, que se representa por 0V, de tal modo que, (V ; +; 0V) é
um grupo abeliano;
2) está de…nida uma operação binária externa, K V ! V , ( ; x) 7! x, a que é costume chamar-se multiplicação por escalar e, de tal modo que, para todo o x; y 2 V e ; 2 K veri…ca-se o seguinte:
(i) (x + y) = x + y; (ii) ( + )x = x + x; (iii) ( )x = ( x); (iv) 1x = x.
Nestas condições, V constitui um espaço vectorial sobre o corpo K.
Observação: Daqui em diante, representaremos o corpo (K; +; ; 0; 1) apenas pelo seu conjunto suporte K.
Notação: Aos elementos de qualquer espaço vectorial V chamam-se vectores e geralmente representam-se pelas letras x; y; z ou também por u; v e w e, aos elementos do corpo K chamamos de escalares e usualmente denotam-se pelas letras do alfabeto grego, ou seja, ; ; ; : : :. Outros autores representam os vectores por
!
x;!y ;!z etc., mas não iremos fazer uso de tal notação.
De…nição 2.1.2. Quando o corpo K = Q com as operações usuais, diz-se que V é um espaço vectorial racional, quando K = R com as operações usuais, diz-se que V é um espaço vectorial real e quando K = C com as operações usuais, diz-se um espaço vectorial complexo.
Teorema 2.1.3. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K. Então, para todo o vector x; y 2 V e escalares ; 2 K é válido o seguinte:
1) 0x = 0V.
3) ( )x = ( x) = ( x). 4) ( )x = x x. 5) (x y) = x y.
6) x = 0V ) = 0_ x = 0V.
7) x = x^ x 6= 0V ) = .
De…nição 2.1.4. Um sistema de n vectores de um espaço vectorial V , é uma sucessão de n vectores, ou seja, uma aplicação do conjunto f1; 2; : : : ; ng em V. É comum representar-se o sistema formado pelos vectores x1; x2; : : : ; xn por
(x1; x2; : : : ; xn).
Observação: É conveniente realçar, que dado um sistema (ou família) de vec-tores pode perfeitamente haver vecvec-tores repetidos, eventualmente, podem até ser todos iguais, pelo que o sistema de vectores (x1; x2; : : : ; xn) não é o mesmo que
o conjunto formado por estes vectores, i.e., o conjunto fx1; x2; : : : ; xng .
Con-vém ter em atenção, que existem autores que ao pretenderem referir-se a um sistema de vectores fazem um abuso de notação e usam fx1; x2; : : : ; xng em vez
2.2. Dependência e Independência linear
De…nição 2.2.1. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K e, tomemos arbi-trariamente vectores x1; x2; : : : ; xn 2 V e escalares 1; 2; : : : ; n 2 K, sendo o n
arbitrário (…xo). Então, o vector
x = 1x1+ 2x2+ + nxn,
diz-se uma combinação linear dos vectores x1; x2; : : : ; xn por meio dos escalares 1; 2; : : : ; n.
Exemplo 2.2.2. Seja R3 o espaço vectorial real e considerem-se os vectores: x1 := (1; 1; 2) , x2 := (0; 1; 1) e x3 := (2; 1; 1)
e os escalares 1 := 1, 2 := 3 e 3 := 1, então pode-se formar a seguinte
combinação linear:
x = 1x1 3x2+ 1x3
= (1; 1; 2) + (0; 3; 3) + (2; 1; 1) = (3; 3; 2).
Diz-se que o vector x, é uma combinação linear dos vectores x1, x2 e x3 por meio
dos escalares 1, 2 e 3.
Com outros escalares, obteriamos outras combinações lineares, dos mesmos vec-tores.
De…nição 2.2.3. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K e x1; x2; : : : ; xn 2
V.
1) Diz-se que o sistema de vectores (x1; x2; : : : ; xn) é linearmente dependente
quando o vector nulo se puder escrever como combinação linear dos vectores x1; x2; : : : ; xn de mais de uma maneira possível, ou seja,
1x1 + 2x2+ + nxn= 0V ) 9i 2 f1; 2; : : : ; ng : i 6= 0.
2) Diz-se que o sistema de vectores (x1; x2; : : : ; xn)é linearmente independente
quando o vector nulo se puder escrever de maneira única como combinação linear dos vectores x1; x2; : : : ; xn, que é a combinação linear que tem os
escalares todos nulos, ou seja,
1x1+ 2x2+ + nxn= 0V ) 8i 2 f1; 2; : : : ; ng , i = 0.
Exemplo 2.2.4. O sistema de vectores ((1; 2; 1) ; (1; 1; 1) ; (0; 1; 0)) no espaço vec-torial real R3 é um sistema linearmente dependente, uma vez que além da equação
0 (1; 2; 1) + 0 (1; 1; 1) + 0 (0; 1; 0) = (0; 0; 0)
ser verdadeira, também o é
1 (1; 2; 1) + ( 1) (1; 1; 1) + ( 1) (0; 1; 0) = (0; 0; 0).
Deste modo, para além da primeira combinação, que é a combinação linear nula, também é possível ter a combinação linear cujos escalares são 1, 1 e 1.
Exemplo 2.2.5. O sistema de vectores ((1; 2; 1) ; ( 1; 0; 1) ; (0; 1; 0)) no espaço vectorial real R3 é um sistema linearmente independente, uma vez que somente
com os escalares nulos, a equação
0 (1; 2; 1) + 0 ( 1; 0; 1) + 0 (0; 1; 0) = (0; 0; 0)
é verdadeira.
Exemplo 2.2.6. Façamos o estudo de um sistema formado por apenas um vec-tor, i.e., o sistema (x), onde x é elemento de um espaço vectorial qualquer sobre um corpo K.
Se x = 0V, então a combinação 10V = 0V, dá-nos um sistema linearmente
depen-dente.
Se x 6= 0V, então o sistema é sempre linearmente independente, uma vez que, a
única combinação linear possível é a combinação linear nula, ou seja, a combinação 0x = 0V.
Vimos nos exemplos anteriores, casos de sistemas linearmente (in)dependentes. No exemplo que se segue, vamos ver o processo geral, que nos permite veri…car, se um dado sistema de vectores é, ou não, linearmente (in)dependente.
Exemplo 2.2.7. Considere-se o espaço vectorial real R3 e o seguinte sistema de
vectores:
((1; 0; 1) ; ( 1; 1; 0) ; (0; 0; 1)).
Da de…nição de linearmente (in)dependente, tem-se a combinação linear
1(1; 0; 1) + 2( 1; 1; 0) + 3(0; 0; 1) = (0; 0; 0),
que resulta no sistema de equações 8 < : 1 2 = 0 2 = 0 1+ 3 = 0 .
Resolvendo este sistema, obtem-se a solução (única) 1 = 2 = 3 = 0. Portanto,
o sistema dado, é um sistema linearmente independente. Teorema 2.2.8. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K.
1) Se o vector nulo, …gura num sistema de vectores de V , então esse sistema é linearmente dependente.
2) Um sistema de p (p 2 f2; : : : ; ng, mas …xo) vectores é linearmente depen-dente, se, e só se,então pelo menos um dos vectores escreve-se como combi-nação linear dos restantes.
3) Se (x1; x2; : : : ; xn) é um sistema linearmente independente e o sistema
(x1; x2; : : : ; xn; y)
é linearmente dependente, que é obtido do primeiro por adjunção de um outro vector y. Então, y escreve-se como combinação linear dos vectores x1; x2; : : : ; xn.
4) Se o sistema (x1; x2; : : : ; xn) é linearmente independente, então qualquer
subsistema dele é também linearmente independente.
5) Todo o sistema de vectores que resulta da ampliação de um sistema de vec-tores linearmente dependente é ainda um sistema linearmente dependente. 6) Um sistema de vectores (x1; x2; : : : ; xn) é linearmente independente se, e só
se, qualquer sua combinação linear, tem escalares únicos, i.e.,
n X i=1 ixi = n X i=1 ixi ) 8i 2 f1; 2; : : : ; ng , i = i.
7) Dado um sistema de n vectores, se considerar-mos outro sistema de vectores em que todos se mantêm à excepção de um vector que é substituído pela soma dele com outro vector do sistema, então o primeiro sistema é linear-mente independente (resp., linearlinear-mente dependente) se, e só se, o segundo sistema é linearmente independente (resp., linearmente dependente), ou seja, o sistema (x1; x2; : : : ; xi; : : : ; xj; : : : ; xn) é l.i. (resp., l.d.) sse (x1; x2; : : : ; posição i z }| { xi+ xj; : : : ; xj; : : : ; xn)é l.i. (resp., l.d.).
8) Dado um sistema de n vectores, se considerarmos um outro sistema de vec-tores em que todos se mantêm à excepção de um vector que é substituído pela acção de um escalar não nulo por ele, então o primeiro sistema é linearmente independente (resp., linearmente dependente) se, e só se, o segundo sistema também é linearmente independente (resp., linearmente dependente), ou seja, o sistema (x1; x2; : : : ; xi; : : : ; xj; : : : ; xn) é l.i. (resp., l.d.) sse (x1; x2; : : : ; posição i z}|{x i ; : : : ; xj; : : : ; xn)é l.i.(resp., l.d.).
9) Dado um sistema de n vectores, se considerarmos um outro sistema de vec-tores em que todos se mantêm à excepção de um deles que é substituído pela acção de um escalar não nulo somado com outro vector, então o primeiro sistema é linearmente independente (resp., linearmente dependente) se, e só se, o segundo sistema é linearmente independente (resp., linearmente depen-dente), ou seja, o sistema
(x1; x2; : : : ; xi; : : : ; xj; : : : ; xn) é l.i. (resp., l.d.) sse (x1; x2; : : : ; posição i z }| { xi + xj; : : : ; xj; : : : ; xn) é l.i. (resp., l.d.).
10) Dado um sistema de n vectores, se considerarmos um outro sistema de vec-tores em que todos se mantêm à excepção de dois deles que se trocam entre si, então o primeiro sistema é linearmente independente (resp., linearmente dependente) se, e só se, o segundo sistema é linearmente independente (resp., linearmente dependente), ou seja, o sistema
(x1; x2; : : : ; xi; : : : ; xj; : : : ; xn) é l.i. (resp., l.d.) sse (x1; x2; : : : ; posição i z}|{ xj ; : : : ; posição j z}|{ xi ; : : : ; xn)é l.i. (resp., l.d.).
11) Dado um sistema de n vectores, se considerarmos um outro sistema de vec-tores em que todos se mantêm à excepção de dois deles que se trocam entre si e no qual um deles é substituído pela acção de um escalar somado com o outro vector, então o primeiro sistema é linearmente independente (resp., linearmente dependente) se, e só se, o segundo sistema é linearmente inde-pendente (resp., linearmente deinde-pendente), ou seja, o sistema
(x1; x2; : : : ; xi; : : : ; xj; : : : ; xn) é l.i. (resp., l.d.) sse (x1; x2; : : : ; posição i z }| { xi+ xj; : : : ; posição j z}|{ xi ; : : : ; xn) é l.i. (resp., l.d.).
No caso particular de = 0, obtemos o caso anterior.
De…nição 2.2.9. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K. Diz-se que o sistema (x1; x2; : : : ; xn)de vectores de V é um sistema gerador de V , se qualquer
vector de V , se escreve como combinação linear desse sistema. Simbolicamente, 8x 2 V 9 i 2 K : x = 1x1 + 2x2+ + nxn.
Note-se que se existem vectores repetidos no sistema (x1; x2; : : : ; xn), o próprio
sistema e a imagem dele (i.e., o conjunto fx1; x2; : : : ; xng) geram o mesmo espaço
vectorial V .
Para indicar que A := Im((x1; x2; : : : ; xn)) V é um conjunto gerador de V
escreve-se V = hAi e, deste modo, diz-se que V é o espaço gerado por A. No caso de A = ;, considera-se h;i = f0Vg.
Observação: Note-se que o espaço gerado pelo conjunto A := fx1; x2; : : : ; xkg, é
igual ao conjunto de todas as combinações lineares …nitas de elementos de A, ou seja, hAi = ( k X i=1 ixi 2 V : i 2 K ^ xi 2 A e k 2 N6=0 )
Nota: Por vezes, também se encontra na literatura o simbolismo L(A), para representar o espaço gerado por A a que também se chama expansão linear de A. De…nição 2.2.10. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K. Se V admite um conjunto de vectores geradores …nito, então V diz-se um espaço vectorial …nitamente gerado.
Exemplo 2.2.11. Considere-se no espaço vectorial real R3 o sistema
((1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)).
Facilmente, se veri…ca que, este sistema é linearmente independente e que qualquer vector de R3, se escreve como combinação linear dos vectores do sistema dado, pois considerando um qualquer vector genérico (x; y; z) de R3, tem-se a seguinte
equação:
(x; y; z) = x (1; 0; 0) + y (0; 1; 0) + z (0; 0; 1).
Teorema 2.2.12. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K e (x1; x2; : : : ; xn)
um sistema gerador de V . Se um dos vectores xié combinação linear dos restantes
elementos do sistema, então (x1; x2; : : : ; xi 1; xi+1; : : : ; xn) é ainda um sistema
gerador de V .
Teorema 2.2.13. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K e que admite um sistema de n vectores geradores e linearmente independentes.
1) Um qualquer sistema constituído por n + 1 vectores, é um sistema linear-mente dependente.
2) Um qualquer conjunto de n vectores geradores de V , é um sistema de vec-tores linearmente independente.
3) Um sistema de n vectores linearmente independente, é um sistema de vec-tores geradores de V .
4) Um conjunto de vectores geradores de V , não pode ter menos que n vectores. 5) Um qualquer sistema de vectores linearmente independente, não pode ter
mais do que n vectores.
6) Qualquer sistema de n vectores geradores e linearmente independente, é constituído por n elementos.
7) Um sistema com m < n vectores linearmente independentes, pode ser am-pliado, de modo a ser um sistema de n vectores geradores e linearmente independente.
Teorema 2.2.14. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K, (x1; x2; : : : ; xp)
e (y1; y2; : : : ; yq) dois sistemas de vectores geradores e linearmente independentes
de V . Então, eles têm o mesmo número de vectores.
Introduzimos agora um conceito importante, que é o conceito de base de um espaço vectorial.
De…nição 2.2.15. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K. Um sistema de vectores geradores e linearmente independente diz-se uma base de V .
Convenciona-se que o conjunto vazio ; é base do espaço vectorial f0Vg.
A dimensão de um espaço vectorial V , é o número de vectores de uma base de V , e representa-se por dim(V ), ou seja, se (x1; x2; : : : ; xn) é uma base de V e
B := Im ((x1; x2; : : : ; xn)) =fx1; x2; : : : ; xng, então
dim(V ) := card(B).
Nota: No caso de V ser …nitamente gerado, o número de vectores da base é evidentemente um número …nito. No caso de V não ser …nitamente gerado, diz-se, neste caso, que V tem dimensão in…nita.
Exemplo 2.2.16. No espaço vectorial real R3, o sistema de vectores ((1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1))
é uma base. A esta base, chama-se a base canónica. Note-se que pela Observação (2.1), o sistema ((0; 1; 0) ; (1; 0; 0) ; (0; 0; 1)) (note–se a troca do primeiro vector com o segundo) é também uma base, mas não é a base canónica.
Exemplo 2.2.17. No espaço vectorial real R2[x], o sistema (1; x; x2)é uma base.
2.3. Subespaços vectoriais
De…nição 2.3.1. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K. Diz-se que F é um subespaço vectorial de V , se F é um subconjunto não vazio de V e, é um espaço vectorial para as operações induzidas de V em F , ou seja, as restrições das operações de V em F (i.e., a operação binária e a operação nulária do grupo comutativo (V ; +; 0V)e, a operação de multiplicação por escalar).
Notação: Para indicar que F é subespaço vectorial de V , faz-se uso do simbolismo F v V , ou por vezes, também se usa F V.
Sem ser por de…nição, existem outras maneiras de reconhecer mais rapida-mente, se dado um subconjunto de um espaço vectorial, ele é, ou não, um sube-spaço vectorial.
Teorema 2.3.2. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K e F V. Então, F é um subespaço vectorial de V se, e só se, veri…ca o seguinte:
1) F 6= ;,
2) 8x; y 2 V : x; y 2 F ) x + y 2 F , 3) 8 2 K 8x 2 V : x 2 F ) x 2 F .
Uma forma mais abreviada, de mostrar que um determinado conjunto é um subespaço vectorial é dada por:
Teorema 2.3.3. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K e F V. Então, F é um subespaço vectorial de V se, e só se, veri…ca o seguinte:
1) F 6= ;,
2) 8 ; 2 K 8x; y 2 V : x; y 2 F ) x + y 2 F .
Exemplo 2.3.4. Dado um espaço vectorial V sobre um corpo K, então f0Vg e o
próprio V são subespaços vectoriais de V .
Exemplo 2.3.5. Considere-se o subconjunto F de R3 de…nido por:
F = (x; y; z)2 R3 : z = 0 . Veri…quemos que F é subespaço vectorial de R3.
O vector (0; 0; 0) 2 F , logo F 6= ;. Considerem-se os vectores genéricos (x; y; z) e (x0; y0; z0)de F . Como por hipótese, ambos pertencem a F , então obtem-se:
z = 0^ z0 = 0. (2.1) Fazendo a soma dos dois vectores, obtemos o vector:
(x; y; z) + (x0; y0; z0) = (x + x0; y + y0; z + z0).
Necessitamos agora de mostrar que (x + x0; y + y0; z + z0)2 F , o que se resume a mostrar que, z + z0 = 0. Mas agora, a partir da hipótese (2.1), somando ambos
os membros das equações obtemos a expressão desejada z + z0 = 0.
Concluí-mos assim, que a soma de dois quaisquer vectores de F ainda é um vector de F. Para acabarmos de mostrar que F é subespaço vectorial (usando o primeiro teorema acima), só nos falta mostrar a parte da multiplicação por escalar. Para tal, considere-se um escalar qualquer 2 K e um qualquer vector (x; y; z) 2 F . Façamos a multiplicação do escalar pelo vector:
(x; y; z) = ( x; y; z).
Pretende-se agora mostrar que ( x; y; z) 2 F , o que se resume a mostrar que z = 0. Da hipótese de (x; y; z) 2 F , vem que z = 0, o que implica que z = 0, ou seja, z = 0, como queríamos provar.
Vejamos agora a noção de soma de dois subconjuntos (não obrigatoriamente subespaços) de um espaço vectorial:
De…nição 2.3.6. Sejam A e B dois subconjuntos arbitrários de um espaço vecto-rial V sobre o corpo K (note-se que A e B não têm que ser subespaços vectoriais de V ). O conjunto formado por todos os vectores que se obtêm somando um vector de A com um vector de B e, que se representa por A + B, diz-se a soma de A com B. Simbolicamente,
A + B :=fx 2 V : x = a + b, a 2 A ^ b 2 Bg .
Em determinados casos à custa de subespaços vectoriais dados constroem-se outros; é o caso da situação descrita pelo teorema seguinte:
Teorema 2.3.7. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K, A; B V, F; G v V e 2 K. Então, tem-se que:
1) F \ G v V , i.e., a intersecção de subespaços vectoriais de V ainda é um subespaço vectorial de V .
2) F [ G v V , F G_ G F, i.e., a união de subespaços vectoriais de V ainda é um subespaço vectorial de V se um deles está contido no outro. 3) F + G v V , i.e., a soma de subespaços vectoriais de V ainda é um subespaço
vectorial de V .
4) F v V , i.e., a multiplicação de um qualquer escalar por um subespaço vectorial de V ainda é um subespaço vectorial de V .
5) hAi + hBi = hA [ Bi, i.e., a soma do subespaço gerado por A com o sube-spaço gerado por B é igual ao subesube-spaço gerado por A [ B.
Teorema 2.3.8. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K de dimensão …nita n e F; G v V . Então, tem-se que:
2.4. Aplicações lineares entre espaços vectoriais
De…nição 2.4.1. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K e f : V ! W uma aplicação. Diz-se que f é uma aplicação linear de V em W , se veri…ca-se o seguinte:
(i) 8x; y 2 V , f (x + y) = f (x) + f (y) (condição de aditividade); (ii) 8 2 K 8x 2 V , f ( x) = f (x) (condição de homogeneidade).
Exemplo 2.4.2. A aplicação identidade em V , idV : V ! V que é de…nida por
x7! x, é uma aplicação linear. Facilmente se veri…ca que, para todo o x; y 2 V e 2 K:
id(x + y) = x + y = id(x) + id(y) e
id( x) = x = id(x).
Exemplo 2.4.3. Sendo V e W espaços vectoriais, a aplicação nula, ou seja, a aplicação c0 : V ! W de…nida por x 7! 0W, é uma aplicação linear. É também
costume designar esta aplicação por o : V ! W . Facilmente, se veri…ca que, para todo o x; y 2 V e 2 K:
c0(x + y) = 0W = 0W + 0W = c0(x) + c0(y)
e
c0( x) = 0W = 0W = c0(x).
Exemplo 2.4.4. Considere-se a aplicação f : R3
! R2
, de…nida por (a; b; c) 7! (a b; 2b; a + c). Para todo o (a; b; c) ; (a0; b0; c0)2 R3 e
2 R tem-se que: f ((a; b; c) + (a0; b0; c0)) = f ((a + a0; b + b0; c + c0)) = ((a + a0) (b + b0); 2(b + b0); (a + a0) + (c + c0)) = (a b; 2b; a + c) + (a0 b0; 2b0; a0+ c0) = f ((a; b; c)) + f ((a0; b0; c0)) e f ( (a; b; c)) = f (( a; b; c)) = ( a b; 2 b; a + c) = (a b; 2b; a + c) = f ((a; b; c)).
Deixamos ao cuidado do leitor, o entendimento e a justi…cação de cada uma das passagens dos exemplos anteriores.
Notação: O conjunto de todas as aplicações lineares de V em W , representa-se por Hom(V; W ). Deste modo, a expressão f 2 Hom(V; W ), signi…ca que f é uma aplicação linear de V em W .
É também costume na literatura aparecer o símbolo L(V; W ), para representar o mesmo conjunto.
Consoante as propriedades de que gozam as aplicações lineares, estas em certos casos tomam designações particulares, e que são:
De…nição 2.4.5. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o corpo K e f 2 Hom(V; W ). 1) f diz-se um monomor…smo se f é injectiva.
2) f diz-se um epimor…smo se f é sobrejectiva. 3) f diz-se um isomor…smo se f é bijectiva. 4) f diz-se um endomor…smo se W = V .
5) f diz-se um automor…smo se W = V e f é bijectiva. Vejamos algumas propriedades das aplicações lineares.
Teorema 2.4.6. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o corpo K e f 2 Hom(V; W ). Então, tem-se o seguinte:
1) f (0V) = 0W.
2) 8x 2 V , f ( x) = f (x).
3) 8x; y 2 V , f (x y) = f (x) f (y). Dem.:
Teorema 2.4.7. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o corpo K, f 2 Hom(V; W ) e sejam F e G subespaços vectoriais de V e W , respectivamente. Então, tem-se que:
1) f (F ) v W , ou seja, a imagem directa de F , através de f, é um subespaço vectorial de W . Em particular, se F := V , então Im (f ) v W .
2) f 1(G)
v V , ou seja, a imagem inversa de G, através de f, é um subespaço vectorial de V . Em particular, se G := f0Wg, então f 1(f0Wg) v V .
2.5. Operações fundamentais sobre aplicações lineares
De…nição 2.5.1. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K e f 2 Hom(V; W ).
(i) Ao conjunto f (V ), dá-se o nome de espaço imagem e, representa-se por Im(f ), i.e.,
Im(f ) :=ff(x) 2 W : x 2 V g . (ii) Ao conjunto f 1(
f0Wg), dá-se o nome de núcleo da aplicação f e,
representa-se por Ker(f ) (proveniente da palavra inglesa kernel, que quer dizer núcleo), i.e.,
Ker(f ) :=fx 2 V : f(x) = 0Wg .
Observação: Pelo resultado anterior, estes dois conjuntos Im(f ) e Ker(f ) são, respectivamente, subespaços vectoriais de W e V .
Teorema 2.5.2. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K, f 2 Hom(V; W ) e seja ainda x 2 V e x0 = f (x). Então:
f 1(fx0g) = fxg + Ker(f).
(por abuso de notação, por vezes, escreve-se f 1(x0) = x + Ker(f ))
Dem.:
Corolário 2.5.3. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K e f 2 Hom(V; W ). A aplicação linear f é um monomor…smo se, e só se, Ker(f ) = f0Vg.
Dem.:
Teorema 2.5.4. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K, f; g 2 Hom(V; W ) e 2 K. Então, as aplicações f + g e f são lineares.
Dem.:
Observação: O enunciado deste resultado, diz-nos que a soma de aplicações lineares e a multiplicação de um escalar por uma aplicação linear ainda é um aplicação linear.
Teorema 2.5.5. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K. O conjunto Hom(V; W ) é um espaço vectorial sobre o corpo K.
Dem.:
Teorema 2.5.6. Sejam V , W e Z espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K, f; g 2 Hom(V; W ), h; k 2 Hom(W; Z) e 2 K. Então, são válidas as seguintes igualdades:
1) h (f + g) = (h f ) + (h g)(lei distributiva à esquerda). 2) (h + k) f = (h f ) + (k f ) (lei distributiva à direita). 3) (h f ) = ( h) f = h ( f ) (lei de enlace).
2.6. Aplicações lineares entre espaços vectoriais de
dimen-são …nita.
Teorema 2.6.1. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K e dim(V ) = ne f 2 Hom(V; W ) e seja ainda (e1; e2; : : : ; en)uma base de V . Então,
a lei de transformação de f …ca determinada, desde que se conheçam os vectores f (e1); f (e2); : : : ; f (en)do espaço vectorial W .
Dem.:
Teorema 2.6.2. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K e ambos de dimensão …nita e seja (e1; e2; : : : ; en) uma base de V e u1; u2; : : : ; un vectores
arbitrariamente escolhidos de W . Nestas condições, existe uma única aplicação linear f : V ! W tal que:
f (e1) = u1; : : : ; f (en) = un.
Dem.:
Teorema 2.6.3. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K, (e1; e2; : : : ; en)
uma base de V e f 2 Hom(V; W ). Então: 1) Im(f ) = hf(e1); f (e2); : : : ; f (en)i.
2) f é injectiva se, e só se, (f (e1); f (e2); : : : ; f (en)) é um sistema linearmente
independente.
3) f é sobrejectiva se, e só se, hf(e1); f (e2); : : : ; f (en)i = W .
4) f é bijectiva se, e só se, (f (e1); f (e2); : : : ; f (en))é uma base de W .
Dem.:
Teorema 2.6.4. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K, ambos de dimensão …nita e igual e, seja ainda f 2 Hom(V; W ). Então, tem-se que:
f é injectiva , f é sobrejectiva. Dem.:
Corolário 2.6.5. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K tais que dim(V ) = dim(W ) < 1, f 2 Hom(V; W ) e g 2 Hom(W; V ). Então, as seguintes condições são equivalentes:
1) g f = idV,
2) f g = idW,
3) f é um isomor…smo e f 1 = g.
Teorema 2.6.6. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K ambos de dimensão …nita e f 2 Hom(V; W ). Então:
dim(V ) = dim(Ker(f )) + dim(Im(f )). Dem.:
Observação: À dimensão do espaço Ker(f ), chama-se a nulidade de f e, representa-se por nf, e à dimensão do espaço Im(f ), chama-se a característica de f e,
representa-se por cf. Deste modo, a equação acima, pode revestir o seguinte
aspecto:
3. Matrizes
3.1. Noção de matriz. Matriz de uma aplicação linear
Antes de darmos a noção de matriz de uma aplicação linear, vejamos em primeiro lugar a noção de matriz.
De…nição 3.1.1. Sejam K um corpo qualquer e m; n 2 N>0 arbitrariamente
…x-ados. Chama-se matriz do tipo m por n sobre o corpo K, toda a aplicação do con-junto f1; 2; : : : ; mg f1; 2; : : : ; ng em K, ou seja, uma aplicação f : f1; 2; : : : ; mg f1; 2; : : : ; ng ! K, (i; j) 7! aij := f ((i; j)). Utiliza-se o seguinte quadro:
2 6 6 6 6 6 6 6 4 a11 a12 a1j a1n a21 a22 a2j a2n .. . ... . .. ... ... ... ai1 ai2 aij ain .. . ... ... . .. ... am1 am2 amj amn 3 7 7 7 7 7 7 7 5
para representar uma matriz com m linhas e n colunas e, em que na entrada (i; j)1 se encontra o elemento aij do corpo K.
Por vezes, para simpli…cação de escrita, usa-se [aij]i=1;:::;m
j=1;:::;n para representar uma
matriz cujos elementos são os escalares aij 2 K.
Notação: Ao conjunto de todas as matrizes do tipo m n sobre o corpo K, representa-se por Mm n(K).
Vejamos então a noção de matriz de uma aplicação linear:
Seja (e1; e2; : : : ; en) uma base (…xa) de V e (e10; e02; : : : ; e0m) uma base (…xa) de W
e f 2 Hom(V; W ). Então, sabemos que (fazendo uso da letra ‘a’com subíndices para representar os escalares):
f (e1) = a11e01+ a21e02+ + am1e0m f (e2) = a12e01+ a22e02+ + am2e0m .. . f (en) = a1ne01+ a2ne02+ + amne0m ou resumidamente, 8j 2 f1; 2; : : : ; ng ; f(ej) = m P i=1 aije0i,
1Se denotarmos a matriz pela letra A, então denota-se a entrada (i; j) de A por ent
e portanto as componentes dos vários vectores f (ej), podem ser dispostas numa
matriz, do seguinte modo: 2 6 6 6 4 a11 a12 a1n a21 a22 a2n .. . ... . .. ... am1 am2 amn 3 7 7 7 5.
A esta matriz, chama-se a matriz da aplicação linear f em relação às bases (ej)j=1;:::;n de V e (e0i)i=1;:::;m de W , e representa-se por M (f ; (ej)j; (e0i)i).
Nota: Na literatura é também frequente ver-se o símbolo MB
B0(f ), para
repre-sentar a matriz da aplicação linear f da base B do espaço V para a base B0 do espaço W .
3.2. Submatrizes
De…nição 3.2.1. Seja A 2 Mm n(K) uma matriz arbitrária. Uma submatriz B
da matriz A do tipo p q (com 1 p m e 1 q n), i.e., B 2 Mp q(K), é
a matriz cujos elementos se obtêm da matriz A por intersecção de p linhas de A com q colunas de A e pela ordem na qual constam em A.
É costume representar-se uma submatriz B de A, na qual foram arbitrariamente escolhidas p linhas i1; i2; : : : ; ip (com i1 < i2 < < ip) e q colunas j1; j2; : : : ; jq
(com j1 < j2 < < jq) por Bi1 ip
j1 jq
.
De…nição 3.2.2. Seja A 2 Mm n(K) uma matriz arbitrária. Uma submatriz
(quadrada) B 2 Mp p(K) (com 1 p min(fm; ng)) da matriz A diz-se uma
submatriz principal, se os índices de linha são iguais aos índices de coluna, ou seja, a submatriz Bi1 ip
i1 ip
e que representa-se simplesmente por Bi1 ip.
Exemplo 3.2.3. Considere a matriz A := 2 6 6 4 1 2 0 1 0 1 3 0 2 3 1 4 1 3 5 6 3 7 7 5 2 M4 4(R). As matrizes B123 234 = 2 4 2 0 1 1 3 0 3 1 4 3 5, B0 34 12 = 2 3 1 3 e B0012 1234 = 1 2 0 1 0 1 3 0 são submatrizes da matriz A.
As submatrizes de A, B12 =
1 2
0 1 e B340 =
1 4
5 6 , são submatrizes princi-pais.
3.3. Operações fundamentais sobre matrizes
De…nição 3.3.1. Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo m n diz-se que elas são iguais e representa-se esse facto por A = B se, e só se, para todo o i2 f1; : : : ; mg e todo o j 2 f1; : : : ; ng se tem:
aij = bij,
ou seja, se os elementos homólogos (i.e., os elementos que se encontram na mesma posição) são iguais.
Teorema 3.3.2. Seja K um corpo qualquer e Mm n(K) o conjunto das matrizes
do tipo m n sobre esse corpo, com as operações de adição e multiplicação por escalar de…nidas por:
[aij] + [bij] := [aij + bij]
e
[aij] := [ aij].
Então, Mm n(K) é um espaço vectorial sobre o corpo K.
Observação 1. Quando m = n = 1, o espaço M1 1(K) é isomorfo a K e não
igual a K.
Teorema 3.3.3. Sejam V , W e Z espaços vectoriais sobre o corpo K, f 2 Hom(V; W ) e g 2 Hom(W; Z). Se M (f ; (ej)j; (e0i)i) = [aij]2 Mp n(K) e M(g; (e0k)k; (e00l)l) = [blk]2 Mm p(K), então M (g f ; (ej)j; (e00l)l) = [clj]2 Mm n(K), onde clj :=Ppk=1blkakj = bl1a1j + + blpapj. Notação: O elemento clj := Pp
k=1blkakj, designa-se por produto da linha l da
matriz de g pela coluna j da matriz de f . A matriz M (g f ; (ej)j; (e00l)l)designa-se
por matriz produto da matriz M (g; (e0
k)k; (e00l)l) pela matriz M (f ; (ej)j; (e0i)i).
Em notação matricial, podemos reescrever o que se fez da seguinte maneira: Se A = [aij] 2 Mp n(K) e B = [blk] 2 Mm p(K), então o produto da matriz B
pela matriz A, representa-se por
BA = M (g; (e0k)k; (e00l)l) M (f ; (ej)j; (e0i)i),
e é a matriz do tipo m n, cujo elemento genérico na posição (l; j) é o elemento clj = p P k=1 blkakj. Exemplo 3.3.4. Sejam A := 1 1 0 1 e B := 3 0 1 1 1 0 , então AB = 1 1 0 1 3 0 1 1 1 0 = 4 1 1 1 1 0 .
O produto BA não é possível fazer, pois o número de colunas da matriz B não é igual ao número de linhas da matriz A.
Teorema 3.3.5. Seja K um corpo qualquer e A; A0; A00 2 M
p n(K) e B; B0 2
Mn q(K) e C 2 Mq n(K) e 2 K. Então, são válidas as seguintes igualdades:
1) (A + A0) + A00 = A + (A0+ A00). 2) A + A0 = A0 + A. 3) (AB)C = A(BC). 4) (A + A0)B = AB + A0B. 5) A(B + B0) = AB + AB0. 6) (AB) = ( A)B = A( B).
Observação 2. Para m = n = 1, o produto de matrizes goza da lei comutativa, mas para m = n > 1, em geral, o produto de matrizes não goza da lei comutativa.
Vejamos a noção de matriz invertível.
Sabendo que Mn n(K) é um espaço vectorial e que pelo Teorema 3.3.5 é possível
introduzir uma operação binária de multiplicação de matrizes veri…cando as leis distributivas e a lei de enlace e, que para esta operação binária existe um ele-mento neutro, a que se chama matriz identidade e se representa por In n, ou mais
simplesmente por In, ou seja, a matriz
2 6 6 6 4 1 0 0 0 1 0 .. . ... . .. ... 0 0 1 3 7 7 7 5. Posto isto, podemos então enunciar o seguinte:
De…nição 3.3.6. Seja K um corpo qualquer e A 2 Mn n(K). A matriz A diz-se
invertível, quando existe uma matriz B, tal que: AB = BA = In.
Uma matriz invertível também se designa por matriz regular ou também por matriz não-singular.
Observação: A inversa de uma matriz A, é única, e é costume representá-la por A 1.
Teorema 3.3.7. Sejam A; B 2 Mn n(K) e 2 K. Se A e B são matrizes
invertíveis, então:
1) (AB) 1 = B 1A 1. 2) ( A) 1 = 1A 1.
3.4. Tipos de matrizes
Considerem-se o corpo K e o espaço das matrizes do tipo m n sobre esse corpo, i.e., o espaço Mm n(K). Introduzimos algumas noções sobre tipos de matrizes,
que daqui em diante, faremos uso:
Matriz rectangular - Chama-se de matriz rectangular, a uma matriz em que o número de linhas não é igual ao número de colunas.
Matriz quadrada - Chama-se de matriz quadrada, a uma matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas, e a esse número comum diz-se a ordem da matriz.
Matriz linha (coluna) - Chama-se de matriz linha (coluna), a uma matriz do tipo 1 n (m 1), ou seja, uma matriz que tem apenas uma linha (coluna). Matriz triangular superior (inferior) - Chama-se de matriz triangular supe-rior (infesupe-rior), a uma matriz quadrada na qual se tem:
8i; j 2 f1; : : : ; ng : i > j ) aij = 0 (i < j ) aij = 0).
Matriz diagonal - Numa matriz quadrada aos elementos aii chamam-se
ele-mentos principais e diz-se que eles se dispõem ao longo da diagonal principal ou primeira diagonal, à outra diagonal da matriz dá-se o nome de diagonal secundária ou segunda diagonal.
Chama-se de matriz diagonal, a uma matriz quadrada em que todos os ele-mentos não principais são o zero do corpo, ou seja, quando se veri…ca:
8i; j 2 f1; : : : ; ng : i 6= j ) aij = 0.
É costume representar-se uma matriz diagonal A := [aij] por
diag(a11; a22; : : : ; ann).
–Matriz escalar - Chama-se de matriz escalar, a uma matriz diagonal em que os elementos principais são todos iguais entre si.
Como casos particulares da matriz escalar temos:
– i) A matriz que só tem o zero do corpo na diagonal principal, e que se chama matriz nula e se representa por O e, havendo necessidade de indicar a ordem, por On n ou simplesmente por On.
ii) A matriz que só tem o elemento unidade do corpo na diagonal principal, e que se chama matriz identidade e se representa por I e, havendo necessidade de indicar a ordem, por In n ou simplesmente
por In.
Matriz transposta - Chama-se de matriz transposta, a uma matriz onde se trocou linhas por colunas. Dada uma matriz A = [aij]i=1;:::;m
j=1;:::;n
, a matriz transposta de A é a matriz que se representa por At= at
ij = [aji]e que tem
por linhas (respectivamente, colunas) as colunas (respectivamente, linhas) da matriz A.
Matriz conjugada - Chama-se de matriz conjugada, a uma matriz sobre o corpo C cujos elementos são os conjugados dos elementos de outra matriz. Dada uma matriz A = [aij]i=1;:::;m
j=1;:::;n, a matriz conjugada desta matriz é a
matriz que se representa por A, e cujos elementos são os conjugados de aij,
i.e., A := [aij].
Matriz transconjugada - Chama-se de matriz transconjugada, a uma matriz sobre o corpo C cujos elementos são os conjugados dos elementos de outra matriz depois de transpostos. Dada uma matriz A = [aij]i=1;:::;m
j=1;:::;n
, a sua matriz transconjugada é a matriz que se representa por At= [aji].
Matriz simétrica - Chama-se de matriz simétrica, a uma matriz quadrada que coincide com a sua transposta, ou seja, uma matriz A é simétrica se veri…ca:
A = At, o que em termos de elementos signi…ca:
8i; j 2 f1; : : : ; ng ; aij = aji.
Matriz antisimétrica - Chama-se de matriz antisimétrica, a uma matriz que coincide com o simétrico da sua transposta, ou seja, uma matriz A é anti-simétrica se veri…ca:
A = At, o que em termos de elementos signi…ca:
8i; j 2 f1; : : : ; ng ; aij = aji.
Matriz hermiteana - Chama-se de matriz hermiteana, a uma matriz quadrada sobre o corpo complexo e que coincide com a sua transconjugada, ou seja, uma matriz A é hermiteana se veri…ca:
A = At, o que em termos de elementos signi…ca:
8i; j 2 f1; : : : ; ng ; aij = aji.
Matriz antihermiteana - Chama-se de matriz antihermiteana, a uma matriz quadrada sobre o corpo complexo e que coincide com o simétrico da sua transconjugada, ou seja, uma matriz A é antihermiteana se veri…ca:
A = At, o que em termos de elementos signi…ca:
Matriz ortogonal - Chama-se de matriz ortogonal, a uma matriz quadrada (invertível) e tal que veri…ca:
AAt= In,
o que em termos de elementos signi…ca: 8i; k 2 f1; : : : ; ng ;
n
P
j=1
aijatjk = ik,
onde ik é o símbolo de Kronecker, i.e., ik = 1, se i = k e ik = 0, se i 6= k.
Matriz unitária - Chama-se de matriz unitária, a uma matriz quadrada (invertível) sobre o corpo complexo e tal que veri…ca:
AAt= In,
o que em termos de elementos signi…ca: 8i; k 2 f1; : : : ; ng ;
n
P
j=1
aijatjk = ik.
Teorema 3.4.1. Sejam A 2 Mm p(K) e B 2 Mp n(K). Então, tem-se que:
1) AB = A B. 2) (AB)t = BtAt.
3) At= At.
3.5. Característica de uma matriz
Sendo A = [aij]2 Mp n(K), as linhas podem ser encaradas como vectores de Kn,
basta para tal, considerar para cada i 2 f1; 2; : : : ; pg a linha i, ent(i; )(A) := (ai1; ai2; : : : ; ain).
Analogamente, as suas colunas podem ser encaradas como vectores de Kp, bas-tando para tal, considerar para cada j 2 f1; 2; : : : ; ng, a coluna
ent( ;j)(A) := (a1j; a2j; : : : ; apj).
Assim consideradas, as linhas e as colunas de A geram subespaços vectoriais de Kn
e Kp, respectivamente. Estes subespaços vectoriais vão ter a mesma dimensão,
o que nos permitirá de…nir a característica de uma matriz.
De…nição 3.5.1. Seja A 2 Mp n(K) uma matriz qualquer. Chama-se
carac-terística de linha (respectivamente, caraccarac-terística de coluna), e representa-se por rl(A)(respectivamente, por rc(A)), à dimensão do subespaço vectorial de Kn
ger-ado pelas p linhas (respectivamente, n colunas) da matriz A.
Por outras palavras, a característica de linha (ou coluna) de uma matriz é o número máximo de linhas (colunas) linearmente independentes de A.
Vejamos um resultado, que nos permite efectuar operações sobre as linhas (ou colunas) de uma matriz sem que a sua característica seja alterada.
Teorema 3.5.2. A característica de linha (respectivamente, de coluna) de uma matriz qualquer, não se altera quando nela se efectua qualquer uma das seguintes operações:
(i) troca de linhas (respectivamente, troca de colunas).
(ii) multiplicação de uma linha (respectivamente, coluna) por um escalar não nulo.
(iii) adição de uma linha (coluna) a uma outra linha (coluna) multiplicada por um qualquer escalar.
Dem.:
Teorema 3.5.3. Seja A 2 Mp n(K) uma matriz qualquer não nula. As
apli-cações sucessivas de um número …nito de operações elementares sobre linhas e colunas de A, transforma esta matriz na matriz
Ir r Or (n r)
O(p r) r O(p r) (n r) ,
onde com 1 r min(fp; ng) a matriz Ir r é a matriz identidade e Or (n r),
O(p r) r e O(p r) (n r) são matrizes nulas.
Dem.:
Observação: Em face do resultado anterior, a característica de linha de uma matriz é igual à característica de coluna, ao valor comum rc(A) = rl(A) chama-se
característica de A e representa-se por r(A).
O processo que torna uma qualquer matriz não nula A 2 Mp n(K) na matriz
do resultado anterior, chama-se o método de condensação de Gauss.
Exemplo 3.5.4. Considere-se a matriz A := 2 4 1 0 2 1 2 3 2 1 2 3 5 2 M3 3(R).
Vamos determinar a sua característica usando o método de condensação: 2 4 1 0 2 1 2 3 2 1 2 3 5 7 ! L1+L2 2 4 1 0 2 0 2 5 2 1 1 3 5 7 ! 2L1+L3 2 4 1 0 2 0 2 5 0 1 3 3 5 7 !1 2L2+L3 2 4 1 0 2 0 2 5 0 0 12 3 5 . Logo r(A) = 3.
Exemplo 3.5.5. Considere-se a matriz A := 2 4 1 0 2 1 1 2 3 1 2 1 2 2 3 5 2 M3 4(R).
Determinemos a sua característica através do método de condensação: 2 4 1 0 2 1 1 2 3 1 2 1 2 2 3 5 7 ! L1+ L2 2L1+ L3 2 4 1 0 2 1 0 2 5 0 0 1 2 0 3 5 7 ! 1 2L2 + L3 2 4 1 0 2 1 0 2 5 0 0 0 9 2 0 3 5 2 4 1 0 2 1 0 2 5 0 0 0 9 2 0 3 5 C7 !1+ C4 2 4 1 0 2 0 0 2 5 0 0 0 9 2 0 3 5 . Portanto r(A) = 3.
3.6. Matriz de mudança de base e mudanças de base
Consideremos os espaços vectoriais V e W sobre o mesmo corpo K e ambos de di-mensão …nita e suponhamos …xadas as bases (e1; e2; : : : ; en)de V e (e01; e02; : : : ; e0m)
de W . Suponhamos agora que, em V tomamos uma nova base (u1; u2; : : : ; un) e
que em W tomamos também uma nova base (u01; u02; : : : ; u0m).
Existem dois tipos de questões a considerar:
(i) Determinar uma expressão matricial que relacione as coordenadas de um vector qualquer na base inicial com as coordenadas do mesmo vector na nova base.
(ii) Sendo f 2 Hom(V; W ) e A := M(f; (ej)j; (e0i)i), poder-se-á colocar a seguinte
questão:
Se mudarmos de base no domínio e no codomínio de f , como é que se rela-cionam as matrizes A := M (f ; (ej)j; (e0i)i) e B := M (f ; (uj)j; (u0i)i).
Comecemos pelo conceito de matriz de mudança de base.
De…nição 3.6.1. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K, (e1; e2; : : : ; en)
uma base de V e (u1; u2; : : : ; un) uma nova base de V . À matriz
P := M (idV; (uj)j; (ej)j)
associada à aplicação identidade idV : V ! V , chama-se a matriz de mudança de
base, da base (e1; e2; : : : ; en) para a base (u1; u2; : : : ; un).
Vamos então dar resposta à primeira questão: Seja x um vector arbitrário de V e X :=
2 6 4 1 .. . n 3 7
5 a matriz coluna das suas coor-denadas na base (e1; e2; : : : ; en), então tem-se que x = 1e1+ 2e2+ + nen e,
por outro lado, sendo X0 :=
2 6 4 0 1 .. . 0 n 3 7
5 a matriz coluna das coordenadas do mesmo vector na base (u1; u2; : : : ; un), então obtem-se que x = 01u1+ 02u2+ + 0nun.
Podemos, então, escrever o seguinte: x = 01u1+ 02u2+ + 0nun = 01(p11e1+ + pn1en) + + 0n(p1ne1+ + pnnen) = ( 01p11+ + 0np1n)e1+ + ( 01pn1+ + 0npnn)en = ( n P j=1 p1j 0j)e1+ + ( n P j=1 pnj 0j)en
o que equivale para todo o k
k = n
X
j=1
o que em notação matricial, corresponde a: 2 6 6 6 4 1 2 .. . n 3 7 7 7 5= 2 6 6 6 4 p11 p12 p1n p21 p22 p2n .. . ... . .. ... pn1 pn2 pnn 3 7 7 7 5 2 6 6 6 4 0 1 0 2 .. . 0 n 3 7 7 7 5 o que é o mesmo que:
X = P X0.
Observação: Note-se que pelo facto de a matriz de mudança de base ser a matriz da aplicação identidade, que é um isomor…smo, então a matriz P é uma matriz invertível e, deste modo, a equação X = P X0é equivalente à equação X0 = P 1X.
Passemos à resolução da segunda questão:
Sejam A := M (f ; (ej)j; (e0i)i) e B := M (f ; (uj)j; (u0i)i) e considere-se o seguinte
diagrama: V idV ! P V f ! A W idW ! Q 1 W
onde por cima das setas estão as aplicações e por baixo as respectivas matrizes e, onde P é a matriz de mudança de base no espaço V , da base (e1; e2; : : : ; en)para
a base (u1; u2; : : : ; un), i.e., P = M (idV; (uj)j; (ej)j) e, Q a matriz de mudança
de base no espaço W , da base (e0
1; e02; : : : ; e0m) para a base (u01; u02; : : : ; u0m), i.e.,
Q = M (idW; (u0i)i; (e0i)i).
Como já sabemos, a composição de aplicações lineares corresponde ao produto das matrizes das respectivas aplicações lineares, assim sendo, a matriz B é então dada por:
B = Q 1AP,
que é a expressão que se utiliza, para calcular a matriz B, que é a matriz da aplicação linear f da nova base (uj)j de V para a nova base (u0i)i de W .
Observação 3. Note-se que no caso particular de o espaço vectorial W = V , então a igualdade B = Q 1AP reveste o seguinte aspecto:
B = P 1AP.
Podemos resumir o que se fez no seguinte resultado:
Teorema 3.6.2. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K e (ej)j, (e0j)j e
(e00j)j bases de V . Então, tem-se o seguinte:
1) X = P X0, sendo P := M (id
V; (e0j)j; (ej)j)e, X e X0 as matrizes coluna das
coordenadas de um qualquer vector x 2 V na base (ej)j e na base (e0j)j,
respectivamente;
2) M (idV; (e0j)j; (ej)j)M (idV; (e00j)j; (e0j)j) = M (idV; (e00j)j; (ej)j);
3) A matriz M (idV; (e0j)j; (ej)j) é invertível e
