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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

CURSO DE ENGENHARIA DE ELETRICIDADE

DANIEL SOUZA DOS SANTOS

RELATÓRIO DA LISTA DE EXERCÍCIOS ENVOLVENDO MATLAB

São Luís 2010

OBJETIVO

Representar de forma computacional ondas moduladas em ângulo e frequência.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Um método de se modular uma portadora senoidal chamado de modulação de ângulo, na qual a fase ou a frequência da portadora varia de acordo com o sinal modulante. Na modulação de ângulo, a amplitude da portadora senoidal é mantida constante. A modulação de ângulo pode ser compreendida matematicamente segundo:

s(t) = Ac.cos[θ(t)]

Onde a amplitude Ac é mantida constante e o ângulo θ(t) do cosseno varia conforme o sinal modulante m(t). O ângulo θ(t) traduz uma posição angular que se relaciona com a frequência e a fase da portadora segundo (onde a frequência da portadora é fc e a fase é φ.):

θ(t) = 2πfct + φ

Modulação em Fase

A modulação de fase, ou PM (“Phase Modulation”) é um tipo de modulação angular na qual o ângulo θ(t) da portadora varia conforme o sinal modulante m(t), sendo expresso por:

θ(t) = 2πfct + kpm(t)

O termo 2πfct representa o ângulo original da portadora sem ter sido modulado. A

constante kp representa a sensibilidade de fase do modulador, expressa em radianos por

volt (assume-se que m(t) seja um sinal de tensão).Por consequência, o sinal modulado em fase é expresso no tempo por:

Modulação de Frequência

A modulação de frequência, ou FM (“Frequency Modulation”) é um tipo de modulação angular na qual a frequência instantânea fi(t) da portadora varia conforme o

sinal modulante m(t), sendo expressa por:

fi(t) = fc + kfm(t)

O termo fc representa a frequência original da portadora sem ter sido modulado. A constante kf representa a sensibilidade de frequência do modulador, expressa em hertz por volt (assume-se que m(t) seja um sinal de tensão). Ao se integrar a frequência instantânea, obtém-se o ângulo do sinal modulado:

Por consequência, o sinal modulado em frequência é expresso no tempo por:

EXPERIMENTOS

1. A FREQUÊNCIA INSTANTÂNEA NA MODULAÇÃO ANGULAR

Considere uma mensagem m(t) que aumenta linearmente com o tempo t, a partir de t=0, ou seja,











cc

0

0

p/ t

)

(

t

at

m

] 2 cos[ ) ( )] ( 2 cos[ ) (t A f t k m t s t A f t k at sPM  c





Considere: Ac = 1 v ; fc = ¼ Hz ; kp = pi/2 rad/v.

Obtenha a forma de onda do sinal modulado no Matlab. Comente a respeito. (Considere: t=0:0.01:10;)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 0 2 4 6 8 10 Sinal de Entrada Sinal Modulado PM

b) A frequência instantânea fi = wi /2pi é dada por

    2 2 ) ( 2 ) ( k a f w f dt t dm k f dt t d w i _c p i p c i       

fi é constante p/ todo t > 0. Calcule a fi e verifique se a fi da onda modulada se mantém constante em todo t > 0. Comente a respeito

Podemos observar pela figura 2 que a frequência se mantém constante com período igual a 2 segundos, pois não há variação de fase durante a duração do sinal de entrada.

c) Na modulação FM, o sinal modulado é obtido através de

] 2 2 cos[ ) ( ] ) ( 2 cos[ ) ( 2 0 at k t f A t s d m k t f A t s_FM  _c











Obtenha a forma de onda do sinal modulado no Matlab. Comente a respeito. (Considere: t:0:0.01:10;)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 0 10 20 30 40 50 Sinal de Entrada Sinal Modulado FM

Podemos notar que a frequência aumenta proporcionalmente à amplitude do sinal de entrada.

d) A frequência instantânea fi = wi /2π é dada por

    2 2 ) ( 2 ) ( k at f w f t m k f dt t d w c f i i f c i       

fi varia linearmente com o tempo. Calcule fi e verifique a onda modulada. Comente os resultados encontrados.

A qual mostra o porquê da diminuição do período da onda portadora.

2. O ÍNDICE DE MODULAÇÃO

Considere o sinal m(t)

a) Encontre a equação de m(t) e a integral de m(t). Esboce o sinal de m(t) e o da integral

de m(t). Implemente no Matlab estes sinais, considere m e intm. (use as funções square e sawtooth). Considere t=0:0.01:2;

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 m(t) M(t)

b) Considere fc = 10 Hz, kf = 2pi e kp = 1 rad/v. Obtenha os sinais modulados PM e FM

no tempo e calcule a frequência instantânea (ou mínimo e máximo).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Sfm(t) m(t) M(t)

c) Calcule o desvio da frequência e o índice de modulação.

d) Observe algumas funções de Bessel, use o valor do índice calculado como sendo bt:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.5 0 0.5 1 Índice de Modulação A m p lit u d e r e la ti v a à p o rt a d o ra s e m m o d u la ç ã o J0(bt) J1(bt) J2(bt) J3(bt) J4(bt) J5(bt) J6(bt)

Onde se pode inferir os valor com índice 6, iguais à [0.1506, -0.2767, -0.2429, 0.1148, 0.3576, 0.3621, 0.2458]

CONCLUSÃO

A utilização de ferramentas computacionais para a realização de experimentos virtuais nos aproxima da realidade além de mostrar a possibilidade de absorver melhor o conteúdo ministrado em sala de aula.

REFERÊNCIAS

HAYKIN, Simon. Communication Systems. 4. Ed. New York, 2001. 838 p.

http://en.wikipedia.org/wiki/Frequency_modulation http://www.qsl.net/py4zbz/teoria/fmpm.htm

ANEXO Script do Matlab % Modulação ANGULAR %Exerecício 1 t=0:0.001:10; a=1;Ac=1;Kp=pi/2;Fc=1/4;

m=a*t; % mensagem é uma função linear

spm=cos(2*pi*Fc*t + Kp*m); % sinal PM

figure(1);

plot(t,m,'k',t,spm,'b') % plota sinal mensagem e sinal modulado}

legend('Sinal de Entrada','Sinal Modulado PM'); m2=t.^2/2; % integral da mensagem = parabola

kf=2*pi;

sfm=cos(2*pi*Fc*t + kf*m2); % sinal FM

figure(2);

plot(t,m2,t,sfm) % plota sinal integral mensagem e sinal modulado

legend('Sinal de Entrada','Sinal Modulado FM');

%Exercício 2

t=0:0.001:2;

m=square(2*pi*t); % mensagem é onda quadrada

M=sawtooth(2*pi*t,0.5);% integral da mensagem

figure(3);

plot(t,m,t,M) % plota mensagem e sinal PM

legend('m(t)','M(t)'); axis([0 2 -1.2 1.2])

spm=cos(2*pi*10*t + m); %sinal modulado PM

sfm=cos(2*pi*10*t+2*pi*M); % sinal modulado FM

figure(4);

plot(t,spm,t,m) % plota mensagem, integral da mensagem e sinal PM

axis([0 2 -1.2 1.2]) figure(5);

plot(t,sfm,t,M,t,m) % plota mensagem, integral da mensagem e sinal FM

legend('Sfm(t)','m(t)','M(t)'); axis([0 2 -1.2 1.2]) % funções de Bessel beta=0:0.01:10; bt=6; J=0:6; bj=besselj(J,beta'); % 7 curvas J=0 a J=6

bjbt=besselj(J,bt); % chama funções para bt=6 e curvas (J=0 a 6)

figure(6);

plot(beta,bj,bt,bjbt,'*') % marca pontos nas funções para bt =6