RESUMO - Centro de Massa e Momento Linear

(1)

Centro de Massa e Momento Linear

Pro

Prof. f. F´F´abiabio o NakagNakagomiomi

UDF

UDF - - Centro Centro Universit´Universit´arioario

1 de abril de 2013 1 de abril de 2013

(2)

S

u

m

´

a

r

i

o

1

1 CenCentro dtro de Mase Massasa

2

2 Segunda Segunda Lei Lei de de Newton Newton para um para um Sistema Sistema de de PaPartrt´´ıculasıculas

3

3 Momento Linear Momento Linear

4

4 Momento Momento Linear Linear de de um Sum Sistema istema de Partde Part´´ıculaıculass

5

5 ColColis˜is˜ao ao e Ie Impmpululsoso

6

6 Conserva¸ Conserva¸c˜c˜ao ao do do MomeMomento nto LinLinearear

7

(3)

Centro de Massa

Sum´

ario

1 Centro de Massa

2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas 3 Momento Linear

4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas 5 Colis˜ao e Impulso

6 Conserva¸c˜ao do Momento Linear 7 Sistema de Massa Vari´avel

(4)

Centro de Massa

Introdu¸c˜

ao

Deﬁni¸c˜ao

O Centro de Massa de um sistema de part´ıculas ´e o ponto que se move como se:

1 Toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto. 2 Todas as for¸cas externas estivessem aplicadas nesse ponto. 3 Centro de Massa = Centro de Gravidade.

(5)

Centro de Massa

Se as part´ıculas estão distribu´ıdas em três dimensões, a posi¸cão do

Centro de Massa deve ser especiﬁcada por trˆes pontos: Coordenadas do Centro de Massa

X Centro de Massa = 1 M n



i =1 mi x i

Y Centro de Massa =

1

M

n



i =1

mi y i

Z Centro de Massa = 1 M n



i =1 mi z i (1.1)

(6)

Centro de Massa

O vetor posi¸c˜ao do Centro de Massa:

 r CM = X CM i + Y CM j  + Z CM k (1.2)

Podemos utilizar uma ´unica equa¸c˜ao vetorial:  r CM = 1 M n



i =1 mi  r i (1.3)

(7)

Centro de Massa

Para uma distribui¸c˜ao cont´ınua de massa: Coordenadas do Centro de Massa

X Centro de Massa =

1

M



x d_m

Y Centro de Massa =

1 M



y d_m Z Centro de Massa = 1 M



z d_m (1.4)

(8)

Centro de Massa

Se considerarmos apenas objetos uniformes, temos que: Massa Espec´ıﬁca

ρ = dm

d_V =

M

V (1.5)

Coordenadas do Centro de Massa

X Centro de Massa =

1

V



x d_V

Y Centro de Massa =

1 V



y d_V Z Centro de Massa = 1 V



z d_V (1.6)

(9)

Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas

Sum´

ario

1 Centro de Massa

(10)

Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas

O movimento do Centro de Massa de qualquer sistema de part´ıculas ´e expresso pela equa¸c˜ao:

Segunda Lei de Newton



F res = M  acm (2.1)



F res - For¸ca resultante de todas as for¸cas externas que

agem sobre o sistema.

M - Massa total do sistema.

(11)

Momento Linear

Sum´

ario

1 Centro de Massa

(12)

Momento Linear

O Momento Linear de uma part´ıcula ´e uma grandeza vetorial  p

deﬁnida como: Momento Linear

 p = m v (3.1)

 p - Momento linear da part´ıcula.

m - Massa da part´ıcula.

(13)

Momento Linear

Segunda Lei de Newton

Newton expressou originalmente a sua Segunda Lei em termos de momento:

Segunda Lei

A taxa de varia¸cão com o tempo do momento de uma part´ıcula é igual à for¸ca resultante que atua sobre a part´ıcula e tem a mesma orienta¸cão que essa for¸ca.

(14)

Momento Linear

Em forma de equa¸cão, isso significa o seguinte: Segunda Lei  F res = d  p dt (3.2) Demonstra¸cão:  F res = d  p dt = d dt (m v ) = m d  v dt = m a (3.3)

(15)

Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas

Sum´

ario

1 Centro de Massa

(16)

Vamos estender a deﬁni¸c˜ao de momento linear para um sitema de part´ıculas.

Considere um sistema de n part´ıculas, cada um com sua pr´opria massa, velocidade e momento linear.

O sistema como um todo tem um momento linear total  P , que ´e deﬁnido como a soma vetorial dos momentos

lineares de todas as part´ıculas. 

P =  p 1 +  p 2 + · · · +  p n

= m1 v 1 + m2 v 2 + · · · + mn v n

= M  v C.M.

(17)

Momento Linear para um sistema de part´ıculas

O momento linear de um sistema de part´ıculas ´e igual ao produto da massa total do sistema pela velocidade do centro de massa.

A Segunda Lei para um sistema de part´ıculas: 

F res =

d P 

dt (4.2)

(18)

Colis˜ao e Impulso

Sum´

ario

1 Centro de Massa

(19)

Colis˜ao e Impulso

Colis˜

ao

O momento  p de qualquer corpo que se comporta como uma part´ıcula n˜ao pode variar, a menos que uma for¸ca externa atue sobre o corpo.

Colis˜ao

Em uma colis˜ao, a for¸ca exercida sobre o corpo ´e de curta

dura¸c˜ao, tem um m´odulo elevado e muda bruscamente o momento do corpo.

(20)

Colis˜ao e Impulso

Temos que a Segunda Lei: 

F (t ) = d  p

dt d  p =  F (t )dt

(5.1)

Podemos determinar a varia¸c˜ao total do momento integrando ambos os membros da equa¸c˜ao de um instante t i imediatamente

(21)

Colis˜ao e Impulso



t _f t _i d  p =



t _f t _i  F (t )dt  p f _{− }p i =



t _f t _i  F (t )dt ∆ p =



t _f t _i  F (t )dt (5.2)

O lado direito, que é uma medida tanto da intensidade quanto da dura¸cão da for¸ca da colisão, é chamado de impulso:

Impulso  _J ₌



t _f t _i  F (t )dt (5.3)

(22)

Colis˜ao e Impulso

A aplica¸c˜ao da Segunda Lei de Newton a um corpo que se

comporta como uma part´ıcula envolvido em uma colis˜ao leva ao

teorema do impulso e momento linear: Teorema do Impulso e Momento Linear

 p f _{− }p i = ∆ p =  J (5.4)

Se considerarmos apenas a m´edia de  F (t ) durante a colis˜ao e ∆t

como sendo a dura¸c˜ao da colis˜ao, para um movimento unidimensional temos:

(23)

Colis˜ao e Impulso

Colis˜

oes em S´erie

Quando uma série de projéteis de massa m e velocidade v colide com um corpo fixo, a for¸ca média que age sobre o corpo fixo é dada por:

F med =

J

∆t (5.6)

(24)

Colis˜ao e Impulso

A varia¸c˜ao total do momento linear de n proj´eteis durante o

intevalo ∆t vale n∆p . O impulso resultante J a que ´e submetido o alvo no intervalo ∆t pode ser escrito como:

J _= −n∆p (5.7)

Onde o sinal negativo indica que J e ∆p tˆem sentidos opostos. Temos que: F med = J ∆t = − n ∆t ∆p = − n ∆t m∆v (5.8)

(25)

Colis˜ao e Impulso

A equa¸c˜ao 5.8 expressa F med em termos de n/∆, a taxa com a

qual os projéteis colidem com o alvo, e ∆v , representa a varia¸cão de velocidade dos projéteis.

Se os proj´eteis param ap´os o choque: ∆v = v f ₋ v i = 0 − v = −v .

Se os proj´eteis ricocheteiam sem mudan¸ca na velocidade escalar: ∆v = v f ₋ v i = −v ₋ v = −2v .

No intervalo ∆t , uma quantidade de massa ∆m = nm colide com o alvo, podemos escrever:

F med = −

∆m

(26)

Conserva¸c˜ao do Momento Linear

Sum´

ario

1 Centro de Massa

(27)

Conserva¸c˜ao do Momento Linear

Se um sistema est´a isolado de tal forma que nenhuma for¸ca

resultante externa atua sobre ele, o momento linear  P do sistema permanece constante:

Conserva¸c˜ao do Momento Linear 

P = constante (6.1)

Esta equa¸cão também pode ser escrita na forma: Conserva¸cão do Momento Linear



(28)

Sistema de Massa Vari´avel

Sum´

ario

1 Centro de Massa