Lista de exercícios - Alocação Lista de exercícios - Alocação
Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir.
seguir.
Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula. Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula. 1
1 –– Uma empresa fabrica dois modelos de bolsas de couro. O modelo B1, de melhor Uma empresa fabrica dois modelos de bolsas de couro. O modelo B1, de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabricação em relação ao modelo B2. Se todas as qualidade, requer o dobro de tempo de fabricação em relação ao modelo B2. Se todas as bolsas fossem do modelo B2 a empresa poderia produzir 1.2 u!idades por dia. " bolsas fossem do modelo B2 a empresa poderia produzir 1.2 u!idades por dia. " dispo!ibilidade do couro permite fabricar # bolsas de ambos os modelos por dia. "s dispo!ibilidade do couro permite fabricar # bolsas de ambos os modelos por dia. "s bolsas empregam metais decorati$os difere!tes, cu%a dispo!ibilidade di&ria ' de ( para bolsas empregam metais decorati$os difere!tes, cu%a dispo!ibilidade di&ria ' de ( para B1 e ) para B2. Os lucros u!it&rios são de *+( para B1 e *+ para B2. -ual o programa B1 e ) para B2. Os lucros u!it&rios são de *+( para B1 e *+ para B2. -ual o programa timo para a produção que ma/imiza o lucro total di&rio da empresa0 o!strua o modelo timo para a produção que ma/imiza o lucro total di&rio da empresa0 o!strua o modelo do sistema descrito.
do sistema descrito. *S3OS4":
*S3OS4": /
/11 5 qua!tidade a produzir de B1 5 qua!tidade a produzir de B1
/
/22 5 qua!tidade a produzir de B2 5 qua!tidade a produzir de B2
6a/. 7ucro 5 (/
6a/. 7ucro 5 (/11 8 / 8 /22
Su%eito 9: Su%eito 9: 2/
2/11 8 / 8 /22 1.2 1.2 ;restrição ;restrição qua!to qua!to 9 9 qua!tidade qua!tidade m&/ima m&/ima de de produção produção por por dia<dia<
/
/11 8 / 8 /22 # # ;restrição ;restrição qua!to qua!to 9 9 qua!tidade qua!tidade de de couro couro por por dia<dia<
/
/11 ( ( ;restrição ;restrição qua!to qua!to 9 9 qua!tidade qua!tidade de de =$elas =$elas p> p> 61<61<
/
/22 ) ) ;restrição ;restrição qua!to qua!to 9 9 qua!tidade qua!tidade de de =$elas =$elas p> p> 62<62<
/
/11 ? , / ? , /22 ? ?
2
2 –– Uma fabrica produz dois tipos de produto: " e B. ada modelo " requer horas de Uma fabrica produz dois tipos de produto: " e B. ada modelo " requer horas de corte e 2 horas de polime!to, cada modelo B requer 2 horas de corte e ) horas de corte e 2 horas de polime!to, cada modelo B requer 2 horas de corte e ) horas de polime!to. " f&brica possui ( cortadoras e 2 polidoras. Sabe!do@se que a sema!a de polime!to. " f&brica possui ( cortadoras e 2 polidoras. Sabe!do@se que a sema!a de trabalho da f&brica ' de horas e que cada modelo " d& um lucro de *+( e cada modelo trabalho da f&brica ' de horas e que cada modelo " d& um lucro de *+( e cada modelo B *+ e que !ão h& restriçAes de dema!da, pede@se qual de$e ser o modelo de produção B *+ e que !ão h& restriçAes de dema!da, pede@se qual de$e ser o modelo de produção da f&brica que ma/imiza o lucro.
da f&brica que ma/imiza o lucro. *S3OS4":
*S3OS4": /
/11 5 qua!tidade a produzir do modelo " 5 qua!tidade a produzir do modelo "
/
/225 qua!tidade a produzir do modelo B5 qua!tidade a produzir do modelo B
6a/. 7ucro 5 (/
6a/. 7ucro 5 (/11 8 / 8 /22
Su%eito 9: Su%eito 9: /
/11 8 2/ 8 2/22 12 12 ;restrição ;restrição qua!to qua!to 9 9 horas horas de de corte<corte<
2/
2/11 8 )/ 8 )/22 ;restrição qua!to ;restrição qua!to 9 9 horas horas de de polime!to<polime!to<
/
/11 ? , / ? , /22 ? ?
3 –
3 – Uma peque!a f&brica de m$eis produz dois modelos de molduras or!ame!tais, cu%os Uma peque!a f&brica de m$eis produz dois modelos de molduras or!ame!tais, cu%os preços de $e!da são, respecti$ame!te, *+11, e *+C),. la possui D peças de preços de $e!da são, respecti$ame!te, *+11, e *+C),. la possui D peças de madeira e dispAe de ( horas de trabalho para co!feccio!ar os dois modelos, se!do que o madeira e dispAe de ( horas de trabalho para co!feccio!ar os dois modelos, se!do que o mo
modedelo " lo " rereququer 2 er 2 peçpeças de as de mamadedeira e ira e ) ) hohoraras s de trade trababalhlho, e!qo, e!quaua!t!to o o o momodedelo Blo B !ecessita de 1 peça de madeira e D horas de trabalho. -ua!tas molduras de cada modelo !ecessita de 1 peça de madeira e D horas de trabalho. -ua!tas molduras de cada modelo a f&brica de$e mo!tar se dese%ar ma/imizar o re!dime!to obtido com as $e!das.
a f&brica de$e mo!tar se dese%ar ma/imizar o re!dime!to obtido com as $e!das. *S3OS4":
*S3OS4":
" 5 qua!tidade a produzir da moldura " " 5 qua!tidade a produzir da moldura " B 5 qua!tidade a produzir da moldura B B 5 qua!tidade a produzir da moldura B 6a/. 7ucro 5 11" 8 C)B
6a/. 7ucro 5 11" 8 C)B Su%eito 9:
Su%eito 9: 2"
2" 8 8 B B D D ;restrição ;restrição qua!to qua!to 9 9 qua!tidade qua!tidade e e madeira<madeira< )"
)" 8 8 DB DB ( ( ;restrição qua!to ;restrição qua!to 9 9 horas horas de de trabalho<trabalho< " ? , B ?
" ? , B ? 4 –
4 – Uma f&brica de Uma f&brica de computadores produz dois modelos de computador: 1 e 2. O computadores produz dois modelos de computador: 1 e 2. O modelomodelo 1 for!ece um lucro de *+1, e 2 um lucro de *+(,. O model
produção, um gabi!ete peque!o e uma u!idade de disco. O modelo 2 requer um produção, um gabi!ete peque!o e uma u!idade de disco. O modelo 2 requer um gabi!ete gra!de e 2 u!idades de disco. /istem !o estoque: C u!idades do gabi!ete gabi!ete gra!de e 2 u!idades de disco. /istem !o estoque: C u!idades do gabi!ete peque!o, ) do gabi!ete gra!de e 12 u!idades de disco. 3ergu!ta@se qual de$e ser o peque!o, ) do gabi!ete gra!de e 12 u!idades de disco. 3ergu!ta@se qual de$e ser o esquema de produção que ma/imiza
esquema de produção que ma/imiza o lucro0o lucro0 *S3OS4":
*S3OS4":
11 5 qua!tidade a produzir do computador 1 5 qua!tidade a produzir do computador 1
22 5 qua!tidade a produzir do computador 2 5 qua!tidade a produzir do computador 2
6a/. 7ucro 5 1
6a/. 7ucro 5 111 8 ( 8 (22
Su%eito 9: Su%eito 9:
11 C C ;restrição qua!to ;restrição qua!to 9 9 qua!tidade qua!tidade de de gabi!etes gabi!etes peque!os<peque!os<
22 ) ) ;restrição qua!to ;restrição qua!to 9 9 qua!tidade qua!tidade de de gabi!etes gabi!etes gra!des<gra!des<
11 8 2 8 222 12 12 ;restrição ;restrição qua!to qua!to 9 9 qua!tidade qua!tidade de de u!idades u!idades de de disco<disco<
11 ? , ? , 22 ? ?
–– Um fu!do de i!$estime!tos tem at' *+(., para aplicar em duas açAes. " Um fu!do de i!$estime!tos tem at' *+(., para aplicar em duas açAes. " empresa E ' di$ersi=cada ;tem F do seu capital aplicado em cer$e%a e o resta!te empresa E ' di$ersi=cada ;tem F do seu capital aplicado em cer$e%a e o resta!te aplicado em refrigera!tes< e espera@se
aplicado em refrigera!tes< e espera@se que for!eça bo!i=caçAes de 12F. " que for!eça bo!i=caçAes de 12F. " empresa G !ãoempresa G !ão ' di$ersi=cada ;produz ape!as cer$e%a< e espera@se que distribua bo!i=caçAes de 2F. ' di$ersi=cada ;produz ape!as cer$e%a< e espera@se que distribua bo!i=caçAes de 2F. 3ara este i!$estime!to, co!sidera!do a legislação go$er!ame!tal aplic&$el, o fu!do est& 3ara este i!$estime!to, co!sidera!do a legislação go$er!ame!tal aplic&$el, o fu!do est& su%eito 9s segui!tes restriçAes:
su%eito 9s segui!tes restriçAes:
a< O i!$estime!to !a empresa di$ersi=cada pode
a< O i!$estime!to !a empresa di$ersi=cada pode ati!gir *+2D.,Hati!gir *+2D.,H b< O i!$estime!to !a empresa !ão@di$ersi=cada pode ati!gir *+1).,H b< O i!$estime!to !a empresa !ão@di$ersi=cada pode ati!gir *+1).,H c< O i!$estime!to em cada
c< O i!$estime!to em cada produto ;cer$e%a ou refrigera!te< pode ati!gir produto ;cer$e%a ou refrigera!te< pode ati!gir *+1.,.*+1.,. 3ede@se: -ual ' o esquema de i!$estime!to que ma/imiza o lucro0
3ede@se: -ual ' o esquema de i!$estime!to que ma/imiza o lucro0 *S3OS4":
*S3OS4":
E 5 qua!tidade a i!$estir !as açAes da empresa E E 5 qua!tidade a i!$estir !as açAes da empresa E G 5 qua!tidade a i!$estir !as
G 5 qua!tidade a i!$estir !as açAes da empresa GaçAes da empresa G 6a/. 7ucro 5 ,12E 8 ,2G
6a/. 7ucro 5 ,12E 8 ,2G Su%eito 9:
Su%eito 9: E
E 8 8 G G (. (. ;restrição ;restrição qua!to qua!to total total de de i!$estime!tosi!$estime!tos<< E
E 2D. 2D. ;restrição ;restrição qua!to qua!to ao ao i!$estime!ti!$estime!to o !a !a empresa empresa di$ersi=cdi$ersi=cada<ada< G
G 1). 1). ;restrição ;restrição qua!to qua!to ao ao i!$estime!ti!$estime!to o !a !a empresa empresa !ão@di$er!ão@di$ersi=cada<si=cada< ,E
,E 8 8 G G 1. 1. ;restrição ;restrição qua!to qua!to ao ao i!$estime!to i!$estime!to em em cer$e%a<cer$e%a< ,CE
,CE 1. 1. ;restrição ;restrição qua!to qua!to ao ao i!$estime!to i!$estime!to em em refrigera!trefrigera!te<e< E ? , G ?
E ? , G ? !
! –– Uma empresa !o ramo de madeiras produz madeira tipo compe!sado e madeira Uma empresa !o ramo de madeiras produz madeira tipo compe!sado e madeira serrada comum e seus recursos são m
serrada comum e seus recursos são m(( de pi!ho e m de pi!ho e m(( de ca!ela. " madeira serrada de ca!ela. " madeira serrada
d& um lucro de *+), por m
d& um lucro de *+), por m(( e a madeira compe!sada d& um lucro de *+,D por m e a madeira compe!sada d& um lucro de *+,D por m22..
3ara produzir uma mistura comerci&$el de 1m
3ara produzir uma mistura comerci&$el de 1m(( de madeira serrada são requeridos 1m de madeira serrada são requeridos 1m(( de de
pi!ho e (m
pi!ho e (m(( de ca!ela. 3ara produzir 1m de ca!ela. 3ara produzir 1m22 de madeira compe!sada são requeridos (m de madeira compe!sada são requeridos (m((
de pi!ho e )m
de pi!ho e )m(( de ca!ela. de ca!ela.
ompromissos de $e!da e/igem que se%am produzidos pelo me!os )m
ompromissos de $e!da e/igem que se%am produzidos pelo me!os )m(( de madeira de madeira
serrada e #m
serrada e #m22 de madeira compe!sada. -ual ' o esquema de produção que ma/imiza o de madeira compe!sada. -ual ' o esquema de produção que ma/imiza o
lucro de tal forma a usar o m&/imo possI$el do estoque de mat'ria@prima e produzir, !o lucro de tal forma a usar o m&/imo possI$el do estoque de mat'ria@prima e produzir, !o mI!imo, o compromisso co!tratual0
mI!imo, o compromisso co!tratual0 *S3OS4":
*S3OS4":
S 5 qua!tidade a produzir de madeira do tipo serrada S 5 qua!tidade a produzir de madeira do tipo serrada
5 qua!tidade a produzir de madeira do tipo compe!sado 5 qua!tidade a produzir de madeira do tipo compe!sado 6a/. 7ucro 5 )S 8 ,D
6a/. 7ucro 5 )S 8 ,D Su%eito 9:
Su%eito 9: S
S 8 8 ,( ,( ;restrição qua!to ;restrição qua!to 9 9 qua!tidade qua!tidade de de pi!ho<pi!ho< (S
(S 8 8 ,) ,) ;restrição ;restrição qua!to qua!to 9 9 qua!tidade qua!tidade de de ca!ela<ca!ela< S
S ? ? ) ) ;compromisso ;compromisso de de $e!da $e!da de de madeira madeira serrada<serrada<
" – Uma microempresa produz dois tipos de %ogos para adolesce!tes e sua capacidade de trabalho ' de ) horas sema!ais. O %ogo " requer ( horas para ser co!feccio!ado e propicia um lucro de *+(,, e!qua!to o %ogo B precisa de ) horas para ser produzido e acarreta um lucro de *+,. -ual o modelo do sistema de produção que ma/imiza o lucro0
*S3OS4":
" 5 qua!tidade a produzir do %ogo " B 5 qua!tidade a produzir do %ogo B 6a/. 7ucro 5 (" 8 B
Su%eito 9:
(" 8 )B ) ;restrição qua!to 9 qua!tidade de horas de trabalho< " ? , B ?
# – Uma empresa aps um processo de racio!alização de produção =cou com dispo!ibilidade de trJs recursos produti$os, *1, *2, *(. Um estudo sobre o uso desses recursos i!dicou a possibilidade de se fabricar dois produtos 31 e 32. 7e$a!ta!do os custos e co!sulta!do o departame!to de $e!das sobre o preço de colocação !o mercado, $eri=cou@se que 31 daria um lucro de *+12 por u!idade e 32, *+1) por u!idade. O departame!to de produção for!eceu a segui!te tabela de usos dos recursos:
$roduto %ecurso %1 porunidade %ecurso %2 porunidade %ecurso %3 porunidade
31 2 ( )
32 2 (
&isponi'ilidade de
recursos por m(s 1 # 12
o!strua o modelo de produção me!sal do sistema. *S3OS4":
/1 5 qua!tidade a produzir de 31
/2 5 qua!tidade a produzir de 32
6a/. 7ucro 5 12/1 8 1)/2
Su%eito 9:
2/1 8 /2 1 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade do recurso *1<
(/1 8 2/2 # ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade do recurso *2<
)/1 8 (/2 12 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade do recurso *(<
/1 ? , /2 ?
) – " empresa 6* 6$eis fabrica m$eis para escritrio e oferece a uma cadeia de lo%as trJs produtos: mesa para computador, esta!te e cadeira com regulagem de altura e rodas. O $e!dedor da 6* 6$eis fecha um pedido de 1. mesas, esta!tes e 1.2 cadeiras, com prazo de e!trega de ) dias. Um estudo do departame!to de produção %& tem estimado a !ecessidade de mão de obra, madeira e compo!e!tes met&licos para a fabricação dos trJs ite!s e a dispo!ibilidade desses recursos !o perIodo de produção:
*es a +stan te Cadei ra &isponi'ilidade de recursos no período -ua!tidade a fabricar 1. 1.2
6ão de obra ;horas>u!idade< ( 2 D.C horas 6adeira ;m2>u!idade< ( ) ,) D. m2
ompo!e!tes met&licos
" 6* 6$eis pode repassar seus pro%etos a outro fabrica!te e e!co!trar uma qua!tidade co!$e!ie!te desses produtos com a =!alidade de suprir o pedido. "ps co!sulta, chegou@ se !o quadro:
*esa +stante Cadeira
usto da fabricação prpria
;*+< 1 1( #
usto da fabricação por
terceiros ;*+< 12 1) 11)
O problema co!siste, agora, em determi!ar as qua!tias que a 6* 6$eis de$er& produzir e comprar de cada item, para mi!imizar o custo total desse pedido. o!strua o modelo. *S3OS4":
/m, /e , /c 5 qua!tidades a ,a'ricar de mesas, esta!tes e cadeiras
Lm , Le , Lc 5 qua!tidades a comprar de mesas, esta!tes e cadeiras
6i!. custo 5 1/m 8 1(/e 8 # /c 8 12Lm 8 1)Le ,8 11)Lc
Su%eito 9:
/m 8 Lm? 1. ;qua!tidade a fabricar e comprar de mesas<
/e 8 Le ? ;qua!tidade a fabricar e comprar de esta!tes<
/c8 Lc ? 1.2 ;qua!tidade a fabricar e comprar de cadeiras<
(/m 8 /e 8 2/c D.C ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade de mão de
obra<
(/m 8 )/e 8 ,)/c D. ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade de madeira<
,)/m 8 /e 8 2/c . ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade de comp.
met&licos<
/m ? , /e ?, /c ? , Lm ? , Le ? , Lc ?
1 – Uma determi!ada empresa fabrica 2 produtos "1 e "2. O lucro por u!idade de "1 ' de *+# e o lucro u!it&rio de "2 ' de *+11. " empresa !ecessita de 1 hora para fabricar uma u!idade de "1 e 2 horas para fabricar 1 u!idade de "2. O tempo me!sal dispo!I$el para essas ati$idades ' de horas. "s dema!das esperadas para os dois produtos le$am a empresa a decidir que os mo!ta!tes produzidos de "1 e "2 !ão de$em ultrapassar ( u!idades de "1 e 2 u!idades de "2 por mJs. o!strua o modelo do sistema de produção me!sal com o ob%eti$o de ma/imizar o lucro desta empresa.
*S3OS4":
/1 5 qua!tidade a produzir de "1
/2 5 qua!tidade a produzir de "2
6a/. 7ucro 5 #/1 8 11/2
Su%eito 9:
1/1 8 2/2 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade de horas<
/1 ( ;restrição qua!to 9 dema!da de "1<
/2 2 ;restrição qua!to 9 dema!da de "2<
/1 ?
/2 ?
11 – Uma empresa fabrica dois modelos de computadores. O modelo 1, mais completo, requer o triplo de tempo de fabricação em relação ao modelo 2. Se todos os computadores fossem do modelo 2 a empresa poderia produzir (. u!idades por dia. " dispo!ibilidade dos produtos eletrM!icos permite fabricar 1. computadores de ambos os modelos por dia. Os computadores empregam difere!tes tipos de processadores, cu%a dispo!ibilidade di&ria ' de 1.# para 1 e 1.) para 2. Os lucros u!it&rios são de *+1. para 1 e *+ para 2. -ual o programa timo para a produção que ma/imiza o lucro total di&rio da empresa0 o!strua o modelo do sistema descrito.
*S3OS4":
/1 5 qua!tidade a produzir de 1
/2 5 qua!tidade a produzir de 2
6a/. 7ucro 5 1./1 8 /2
(/1 8 /2 (. ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de produção por dia<
/1 8 /2 1. ;restrição qua!to 9 qua!tidade de produtos eletrM!icos por dia<
/1 1.# ;restrição qua!to 9 qua!tidade de processadores p> 1<
/2 1.) ;restrição qua!to 9 qua!tidade de processadores p> 2<
/1 ? , /2 ?
Lista de exercícios – &osagem
Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir.
Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula.
1 – Uma liga especial co!stituIda de ferro, car$ão, silIcio e !Iquel pode ser obtida usa!do a mistura desses mi!erais puros.
" liga de$e ter a segui!te composição =!al:
*atria-prima / mínima / máxima
Nerro 1 2)
ar$ão 2)
SilIcio 1 (
GIquel ( 1
Os custos dos materiais puros são ;por Kg<: ferro @ *+,H car$ão@ *+,(H silIcio @ *+,1)H !Iquel @ *+,)). -ual de$er& ser a composição da mistura com me!or custo por Kg0 o!strua o modelo de decisão.
*S3OS4":
/1 5 qua!tidade de ferro puro !a mistura
/2 5 qua!tidade de car$ão puro !a mistura
/( 5 qua!tidade de silIcio puro !a mistura
/ 5 qua!tidade de !Iquel puro !a mistura
6i!. usto 5 ,/1 8 ,(/2 8 ,1)/( 8 ,))/
Su%eito 9:
/1 ? ,1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de ferro<
/1 ,2) ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de ferro<
/2 ? , ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de car$ão<
/2 ,2) ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de car$ão<
/( ? ,1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de silIcio<
/( ,( ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de silIcio<
/ ? ,( ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de !Iquel<
/ ,1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de !Iquel<
/1 8 /2 8 /( 8 / 5 1 ;restrição qua!to 9 composição a produzir<
/1, /2, /( e / ?
2 – Uma f&brica de ração para a!imais possui em estoque ( misturas e prete!de, a partir delas, compor uma !o$a ração que aprese!te qua!tidades mI!imas de dois !utrie!tes prese!tes !as misturas. O quadro abai/o aprese!ta as misturas com a porce!tagem dos i!gredie!tes prese!tes em cada uma e seu custo, al'm das qua!tidades mI!imas e/igidas !a !o$a ração.
em g
por saco de 3g *istura 1 *istura 2 *istura 3
1 2) 2 (2 )
2 2 ( 1 C
Custog
%5 ,( ,2) ,2
O problema co!siste em determi!ar a composição do saco de (Kg da !o$a ração a partir das trJs misturas que aprese!te o me!or custo.
*S3OS4":
/1 5 qua!tidade da mistura 1 !a !o$a ração
/2 5 qua!tidade da mistura 2 !a !o$a ração
/( 5 qua!tidade da mistura ( !a !o$a ração
6i!. usto 5 ,(/1 8 ,2)/2 8 ,2/(
Su%eito 9:
/1 8 /2 8 /( 5 ( ;restrição qua!to 9 qua!tidade total a produzir !a mistura<
,2)/1 8 ,2/2 8 ,(2/( ? ) ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima do i!gredie!te 1<
,2/1 8 ,(/2 8 ,1/( ? C ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima do i!gredie!te 2<
/1 ? , /2 ? , /( ?
3 – Uma liga especial co!stituIda de ferro, car$ão, silIcio e !Iquel pode ser obtida usa!do a mistura desses mi!erais puros al'm de 2 tipos de materiais recuperados:
6aterial *ecuperado 1 omposição: ferro @ CFH car$ão @ 2FH silIcio @ 2F. usto por Kg: *+,2.
6aterial *ecuperado 2 omposição: ferro @ DFH car$ão: 2FH silIcio @ )FH !Iquel @ )F. usto por Kg: *+,2).
" liga de$e ter a segui!te composição =!al:
*atria-prima / mínima / máxima
Nerro C C)
ar$ão 1) 2
SilIcio 1) 2
GIquel )
Os custos dos materiais puros são ;por Kg<: ferro @ *+,(H car$ão @ *+,2H silIcio @ *+,2H !Iquel @ *+,). -ual de$er& ser a composição da mistura em termos de materiais dispo!I$eis, com me!or custo por Kg0 o!strua o modelo de decisão.
*S3OS4":
/1 5 qua!tidade de 6*1 !a mistura
/2 5 qua!tidade de 6*2 !a mistura
/( 5 qua!tidade de ferro puro !a mistura
/ 5 qua!tidade de car$ão puro !a mistura
/) 5 qua!tidade de silIcio puro !a mistura
/C 5 qua!tidade de !Iquel puro !a mistura
6i!. usto 5 ,2/1 8 ,2)/2 8 ,(/( 8 ,2/ 8 ,2/) 8 ,)/C
Su%eito 9:
,C/1 8 ,D/2 8 /( ? ,C ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de ferro<
,C/1 8 ,D/2 8 /( ,C) ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de ferro<
,2/1 8 ,2/2 8 / ? ,1) ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de car$ão<
,2/1 8 ,2/2 8 / ,2 ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de car$ão<
,2/1 8 ,)/2 8 /) ? ,1) ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de silIcio<
,2/1 8 ,)/2 8 /) ,2 ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de silIcio<
,)/2 8 /C ? ,) ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de !Iquel<
,)/2 8 /C , ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de !Iquel<
/1 8 /2 8 /( 8 / 8 /) 8 /C 5 1 ;restrição qua!to 9 composição a produzir<
4 – Sabe@se que uma pessoa !ecessita, em sua alime!tação di&ria, de um mI!imo de 1) u!idades de proteI!as e 2 u!idades de carboidratos. Supo!hamos que para satisfazer esta !ecessidade, ela dispo!ha dos produtos " e B. Um Kg do produto " co!t'm ( u!idades de proteI!as, 1 u!idades de carboidratos e custa *+2,. Um Kg do produto B co!t'm C u!idades de proteI!as, ) u!idades de carboidratos e custa *+(,. -ue qua!tidade de$e@se comprar de cada produto de modo que as e/igJ!cias da alime!tação se%am satisfeitas a um custo mI!imo0
*S3OS4":
/1 5 qua!tidade do produto " a co!sumir
/2 5 qua!tidade do produto B a co!sumir
6i!. usto 5 2/1 8 (/2
Su%eito 9:
(/1 8 C/2 ? 1) ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de proteI!as a i!gerir<
1/1 8 )/2 ? 2 ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de carboidratos a i!gerir<
/1 ? , /2 ?
– Uma empresa siderPrgica produz um tipo de aço a partir de aço puro misturado com Qligas met&licasR e recebeu um pedido de uma peça de Kg. Sabe@se que o custo por quilo de aço puro ' de *+), e o das ligas, *+(, e que os estoques são de Kg e Kg, respecti$ame!te. Ga carga do for!o para a produção da liga dese%ada, a relação de adiçAes para aço puro de$e estar e!tre 2)F e ()F. -ual ' o esquema de produção de custo mI!imo0
*S3OS4":
/1 5 qua!tidade de aço puro !a mistura
/25 qua!tidade do adiçAes met&licas !a mistura
6i!. usto 5 )/1 8 (/2
Su%eito 9:
/1 8 /25 ;restrição qua!to ao peso total da peça a produzir<
/1 ? 1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de aço puro !a mistura de
Kg<
/1 1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de aço puro !a mistura de
Kg<
/1 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade m&/ima de aço puro<
/2 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade m&/ima de adiçAes met&licas<
/1 ? , /2 ?
! – Uma empresa adquire petrleo para produzir gasoli!a comum, gasoli!a especial e leo diesel. la !ecessita ma!ter em seus ta!ques, !o i!Icio de cada sema!a, um estoque mI!imo dos produtos. " tabela abai/o mostra, para uma determi!ada sema!a, as composiçAes, dispo!ibilidades e estoques mI!imos. -ual ' o esquema de produção de custo mI!imo0
$etr6leo A $etr6leo 7 +sto8uemínimo
as. omum 1F CF 2 Barris
as. special 2F (F ) Barris
Tleo Eiesel DF 1F 1 Barris
&isponi'ilidad
e 2 Barris ( Barris
Custo *+ 1, *+ 1),
*S3OS4":
/1 5 qua!tidade do petrleo " !a mistura
/2 5 qua!tidade do petrleo B !a mistura
6i!. usto 5 1/1 8 1)/2
Su%eito 9:
,2/1 8 ,(/2 ? ) ;restrição qua!to ao estoque mI!imo de gasoli!a especial<
,D/1 8 ,1/2 ? 1 ;restrição qua!to ao estoque mI!imo de leo diesel<
/1 2 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade m&/ima de petrleo "<
/2 ( ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade m&/ima de petrleo B<
/1 ? , /2 ?
" – Um açougue prepara almM!degas mistura!do car!e bo$i!a magra e car!e de porco. " car!e bo$i!a co!t'm F de car!e e 2F de gordura e custa *+, o KgH a car!e de porco co!t'm CF de car!e e (2 F de gordura e custa *+,C o Kg. -ua!to de car!e bo$i!a e qua!to de car!e de porco o açougue de$e utilizar por Kg de almM!dega se o ob%eti$o ' mi!imizar seu custo e co!ser$ar o teor de gordura da almM!dega !ão superior a 2)F0 o!strua o modelo.
*S3OS4":
/1 5 qua!tidade de car!e bo$i!a !a mistura
/2 5 qua!tidade de car!e de porco !a mistura
6i!. usto 5 ,/1 8 ,C/2
Su%eito 9:
/1 8 /2 5 1 ;restrição qua!to 9 composição a produzir !um total de 1Kg<
,2/1 8 ,(2/2 ,2) ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de gordura<
/1 ? , /2 ?
# – Uma empresa de mi!eração dese%a cumprir um co!trato de for!ecime!to de milhAes de to!eladas por a!o do mi!'rio Si!ter Need e, para ta!to, co!ta com os segui!tes mi!'rios ;a tabela abai/o mostra a composição perce!tual e o custo por to!elada de cada mi!'rio<:
*1 *2
9e CCF CF
:i 1,)F (,DF
Custo *+),C *+(,(
O mi!'rio a ser produzido por este ble!di!g de$e co!ter !o mI!imo C)F de Nerro e !o m&/imo (F de SilIcio. -ual ' o ble!di!g a custo mI!imo0
*S3OS4":
/1 5 qua!tidade do mi!'rio 61 !a mistura
/2 5 qua!tidade do mi!'rio 62 !a mistura
6i!. usto 5 ),C/1 8 (,(/2
Su%eito 9:
/1 8 /2 5 .. ;restrição qua!to 9 qua!tidade total a produzir em to!eladas
por a!o<
,CC/1 8 ,C/2 ? 2.C. ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de ferro !a
mistura total<
,1)/1 8 ,(D/2 12. ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de silIcio !a
mistura total< /1 ? , /2 ?
Lista de exercícios - ;ransporte
Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir.
Obs. Seguir o roteiro proposto em aula. 1 – "!alise a =gura a seguir:
" ia. de 3rodutos egetais 3 possui duas f&bricas que abastecem trJs depsitos. "s f&bricas tJm um !I$el m&/imo de produção baseado !as suas dime!sAes e !as safras pre$istas. Os custos em *+>t estão a!otados em cada rota ;ligação e!tre as f&bricas e depsitos<. Vos' de "lmeida, estuda!te de "dmi!istração, foi co!tratado pelo Eepartame!to de 7ogIstica com a =!alidade de ate!der a dema!da dos depsitos sem e/ceder a capacidade das f&bricas, mi!imiza!do o custo total do tra!sporte.
a o!strua o modelo. *S3OS4":
/11 5 qua!tidade a tra!sportar de N1 para E1
/12 5 qua!tidade a tra!sportar de N1 para E2
/1( 5 qua!tidade a tra!sportar de N1 para E(
/21 5 qua!tidade a tra!sportar de N2 para E1
/22 5 qua!tidade a tra!sportar de N2 para E2
/2( 5 qua!tidade a tra!sportar de N2 para E(
Su%eito 9:
/11 8 /12 8 /1( 2) ;restrição qua!to a produção de N1<
/21 8 /22 8 /2( 1 ;restrição qua!to a produção de N2<
/11 8 /21 5 1 ;restrição qua!to capacidade de E1<
/12 8 /22 5 1) ;restrição qua!to capacidade de E2<
/1( 8 /2( 5 ) ;restrição qua!to capacidade de E(<
/11, /12, /1(, /21, /22, /2( ?
' m sua decisão Vos' de "lmeida co!siderou as segui!tes situaçAes:
W @ 1. u!idades de$em ser tra!sportadas da N&brica 2 para o Eepsito 1. " dema!da resta!te de$e ser suprida a partir da N&brica 1H
WW @ 2.) u!idades de$em ser tra!sportadas da N&brica 1 para os Eepsitos 1 e 2. " dema!da resta!te de$e ser suprida a partir da N&brica 2H
WWW @ 1. u!idades de$em ser tra!sportadas da N&brica 2 para o Eepsito 2. " dema!da resta!te de$e ser suprida a partir da N&brica 1.
"prese!ta;m< o;s< me!or;es< custo;s< ape!as a;s< situação;Aes<: ;"< W ;B< WW ;< WWW ;E< W e WWW ;< WW e WWW *S3OS4": W /21 5 1, /12 5 1), /1( 5 ). usto 5 /1 8 /1) 8 C/) 5 1( WW @ /11 5 1, /12 5 1), /2( 5 ). usto 5 )/1 8 /1) 8 )/) 5 1() WWW /22 5 1, /12 5 ) /11 5 1, /1( 5 ). usto 5 (/1 8/)8 )/1 8 C/) 5 1(
%esposta correta< as situaçAes W e WWW aprese!tam me!or custo. Letra< &
2 – Uma empresa tem duas f&bricas para produzir determi!ado produto a ser depois tra!sportado para trJs ce!tros de distribuição. "s f&bricas 1 e 2 produzem, respecti$ame!te, 1 e ) carregame!tos por mJs. Os ce!tros de distribuição 1, 2 e ( !ecessitam receber, respecti$ame!te, , ( e carregame!tos por mJs. Os custos de tra!sporte, por carregame!to, são dados !o segui!te quadro:
C1 C2 C3 9á'rica 1 D ( 9á'rica 2 ( 1 2 *S3OS4":
/11 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o e!tro de Eistribuição 1
/12 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o e!tro de Eistribuição 2
/1( 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o e!tro de Eistribuição (
/21 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o e!tro de Eistribuição 1
/22 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o e!tro de Eistribuição 2
/2( 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o e!tro de Eistribuição (
6i!. usto 5 D/11 8 /12 8 (/1( 8 (/21 8 1/22 8 2/2(
Su%eito 9:
/11 8 /12 8 /1( 1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade de carregame!tos da f&brica 1
por mJs<
/21 8 /22 8 /2( ) ;restrição qua!to 9 qua!tidade de carregame!tos da f&brica 2 por mJs<
/11 8 /21 5 ;restrição qua!to 9 !ecessidade de carregame!tos por mJs do
ce!tro de distribuição 1<
/12 8 /22 5 ( ;restrição qua!to 9 !ecessidade de carregame!tos por mJs do ce!tro
/1( 8 /2( 5 ;restrição qua!to 9 !ecessidade de carregame!tos por mJs do
ce!tro de distribuição (< /11, /12, /1(, /21, /22 e /2(?
3 – Uma empresa tem atualme!te to!eladas de arroz !um armaz'm "1, 1 to!eladas !um armaz'm "2 e 11 to!eladas !um armaz'm "( !ecessita!do satisfazer as segui!tes dema!das mI!imas de trJs clie!tes 1, 2 e (:
Cliente =uantidade toneladas
C1 1)
C2 1D
C3 )
Os custos de tra!sporte ;em mil *+< são os segui!tes:
C1 C2 C3
A1 C
A2 1C 1 1)
A3 ) 1
"prese!te o modelo para mi!imização do custo de tra!sporte. *S3OS4":
/11 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o lie!te 1
/125 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o lie!te 2
/1( 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o lie!te (
/21 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o lie!te 1
/22 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o lie!te 2
/2( 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o lie!te (
/(1 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o lie!te 1
/(2 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o lie!te 2
/(( 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o lie!te (
6i!. usto 5 /11 8 C/12 8 /1( 8 1C/21 8 1/22 8 1)/2( 8 )/(1 8 1/(2 8 /((
Su%eito 9:
/11 8 /12 8 /1( ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar do armaz'm 1<
/21 8 /22 8 /2( 1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar do armaz'm 2<
/(1 8 /(2 8 /(( 11 ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar do armaz'm (<
/11 8 /21 8 /(1 ? 1) ;restrição qua!to 9 dema!da do clie!te 1<
/12 8 /22 8 /(2? 1D ;restrição qua!to 9 dema!da do clie!te 2<
/1( 8 /2( 8 /(( ? ) ;restrição qua!to 9 dema!da do clie!te (<
/11, /12, /1(, /21, /22, /2(, /(1, /(2 e /(( ?
4 – " e!eral Nord produz $eIculos em 7.". e Eetroit, possui um po!to de tra!sbordo em "tla!ta e e!trega os $eIculos produzidos em Xousto! e 4ampa. O custo de e!$iar $eIculos e!tre po!tos ' dado !a tabela abai/o:
&e< $ara<
Atlanta >ouston ;ampa
L.A 1 @ @
&etroit 1) @ @
Atlanta @ 121 11#
" f&brica de 7.". pode produzir at' 1.1 $eIculos por mJs e a f&brica de Eetroit pode produzir at' 2.# $eIculos por mJs. Xousto! de$e receber !o mI!imo 2. $eIculos por mJs e 4ampa de$e receber !o mI!imo 1.( $eIculos por mJs. Normule o problema busca!do mi!imizar o custo total de tra!sporte dos $eIculos.
*S3OS4":
/2 5 qua!tidade a tra!sportar de Eetroit para o tra!sbordo em "tla!ta
/(1 5 qua!tidade a tra!sportar do tra!sbordo em "tla!ta para Xousto!
/(2 5 qua!tidade a tra!sportar do tra!sbordo em "tla!ta para 4ampa
6i!. usto 5 1/1 8 1)/28 121/(1 8 11#/(2
Su%eito 9:
/1 11 ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar da f&brica de 7." produção
m&/ima da f&brica<
/2 2# ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar da f&brica de Eetroit produção
m&/ima da f&brica<
/1 8 /2 ? (D ;restrição qua!to 9 dema!da mI!ima de Xousto! e 4ampa<
/(1 ? 2 ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima a tra!sportar do tra!sbordo de "tla!ta
para Xousto!<
/(2 ? 1( ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima a tra!sportar do tra!sbordo de "tla!ta
para 4ampa<
/1, /2, /(1 e /(2 ?
– 4rJs armaz'!s abastecem ci!co po!tos de $e!da. O quadro abai/o mostra os custos de distribuição, a capacidade dos armaz'!s e as !ecessidades !os po!tos de $e!da. Eetermi!e o modelo a =m de mi!imizar os custos de tra!sporte.
$1 $2 $3 $4 $ Capacidade Arma?m 1 1C 1 12 12 1C 1" Arma?m 2 12 1 ! Arma?m 3 C 1 1 ) @ecessidade mínima 23 !) "! " #2 @ecessidade máxima 2" ") # #1 ) *S3OS4":
/11 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o 3o!to de $e!da 1
/125 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o 3o!to de $e!da 2
/1( 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o 3o!to de $e!da (
/1 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o 3o!to de $e!da
/1) 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o 3o!to de $e!da )
/21 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o 3o!to de $e!da 1
/22 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o 3o!to de $e!da 2
/2( 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o 3o!to de $e!da (
/2 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o 3o!to de $e!da
/2)5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o 3o!to de $e!da )
/(1 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o 3o!to de $e!da 1
/(25 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o 3o!to de $e!da 2
/((5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o 3o!to de $e!da (
/( 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o 3o!to de $e!da
/() 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o 3o!to de $e!da )
6i!. usto 5 1C/11 8 1/12 8 12/1( 8 12/1 8 1C/1) 8 12/21 8 /22 8 1/2( 8 /2 8 /2) 8 /(1 8
C/(2 8 /(( 8 1/( 8 1/()
Su%eito 9:
/11 8 /12 8 /1( 8 /1 8 /1) 1D ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar do armaz'm
1<
/21 8 /22 8 /2( 8 /2 8 /2) C ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar do armaz'm
2<
/(1 8 /(2 8 /(( 8 /( 8 /() # ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar do armaz'm
(<
/11 8 /21 8 /(1 ? 2( ;restrição qua!to 9 !ecessidade mI!ima do po!to de $e!da 1<
/11 8 /21 8 /(1 2D ;restrição qua!to 9 !ecessidade m&/ima do po!to de $e!da 1<
/12 8 /22 8 /(2 ? C# ;restrição qua!to 9 !ecessidade mI!ima do po!to de $e!da 2<
/12 8 /22 8 /(2 D# ;restrição qua!to 9 !ecessidade m&/ima do po!to de $e!da 2<
/1( 8 /2( 8 /(( ? DC ;restrição qua!to 9 !ecessidade mI!ima do po!to de $e!da (<
/1( 8 /2( 8 /(( ;restrição qua!to 9 !ecessidade m&/ima do po!to de $e!da (<
/1 8 /2 8 /( 1 ;restrição qua!to 9 !ecessidade m&/ima do po!to de $e!da <
/1)8 /2)8 /() ? 2 ;restrição qua!to 9 !ecessidade mI!ima do po!to de $e!da )<
/1)8 /2) 8 /() # ;restrição qua!to 9 !ecessidade m&/ima do po!to de $e!da )<
/11, /12, /1(, /1, /1), /21, /22, /2(, /2, /2), /(1, /(2, /((, /( e /() ?
! – Uma empresa de$e programar o roteiro de embarques de seus produtos, os quais são e!$iados a partir de trJs f&bricas para quatro armaz'!s localizados em po!tos estrat'gicos do mercado. 7e$a!do em co!ta o tipo de tra!sporte que pode ser utilizado em cada caso, bem como das distY!cias e!tre as f&bricas e os armaz'!s, os custos são difere!ciados para cada combi!ação f&brica>armaz'm, como mostrado !a matriz abai/o:
9á'ric as
Arma?ns Capacidade
A 7 C & 1 1 1 2 2 2 2 C 1C 1C 4 3 1C 2 (2 1 3 &eman da 1C 1 2 (2
Eetermi!ar o modelo matem&tico para o e!$io dos produtos de cada f&brica para cada armaz'm de modo a mi!imizar o custo do tra!sporte.
*S3OS4":
/11 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o "rmaz'm "
/12 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o "rmaz'm B
/1( 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o "rmaz'm
/1 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o "rmaz'm E
/21 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o "rmaz'm "
/22 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o "rmaz'm B
/2( 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o "rmaz'm
/2 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o "rmaz'm E
/(1 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica ( para o "rmaz'm "
/(2 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica ( para o "rmaz'm B
/(( 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica ( para o "rmaz'm
/( 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica ( para o "rmaz'm E
6i!. usto 5 /11 8 1/12 8 1/1( 8 2/1 8 2/21 8 C/22 8 1C/2( 8 1C/28 1C/(1 8 2/(2 8 (2/(( 8
1/(
Su%eito 9:
/11 8 /12 8 /1( 8 /1 2 ;restrição qua!to 9 capacidade da f&brica 1<
/21 8 /22 8 /2(8 /2 ;restrição qua!to 9 capacidade da f&brica 2<
/(1 8 /(2 8 /((8 /( ( ;restrição qua!to 9 capacidade da f&brica (<
/11 8 /21 8 /(1 5 1C ;restrição qua!to 9 dema!da do armaz'm "<
/12 8 /22 8 /(2 5 1 ;restrição qua!to 9 dema!da do armaz'm B<
/1( 8 /2( 8 /(( 5 2 ;restrição qua!to 9 dema!da do armaz'm <
/1 8 /2 8 /( 5 (2 ;restrição qua!to 9 dema!da do armaz'm E<
/11, /12, /1(, /1, /21, /22, /2(, /2, /(1, /(2, /(( e /( ?
" – Eetermi!ar o carregame!to da rede ;modelo< de tra!sporte que mi!imiza o custo total:
*S3OS4":
/11 5 qua!tidade a tra!sportar da No!te 1 para o Eesti!o 1
/125 qua!tidade a tra!sportar da No!te 1 para o Eesti!o 2
/1( 5 qua!tidade a tra!sportar da No!te 1 para o Eesti!o (
/21 5 qua!tidade a tra!sportar da No!te 2 para o Eesti!o 1
/22 5 qua!tidade a tra!sportar da No!te 2 para o Eesti!o 2
/2( 5 qua!tidade a tra!sportar da No!te 2 para o Eesti!o (
6i!. usto 5 1/11 8 (/12 8 )/1(8 1D/21 8 D/228 #/2(
Su%eito 9:
/11 8 /128 /1( 1) ;restrição qua!to 9 capacidade de for!ecime!to da No!te 1<
/21 8 /22 8 /2( 2) ;restrição qua!to 9 capacidade de for!ecime!to da No!te 2<
/11 8 /21 5 2 ;restrição qua!to 9 capacidade de recebime!to do Eesti!o 1<
/128 /22 5 1 ;restrição qua!to 9 capacidade de recebime!to do Eesti!o 2<
/1( 8 /2( 5 1 ;restrição qua!to 9 capacidade de recebime!to do Eesti!o (<
/11, /12, /1(, /21, /22 e /2(?
Lista de exercícios – $es8uisa peracional
1 – Uma o=ci!a mecY!ica dese%a alocar o tempo ocioso dispo!I$el em suas m&qui!as para a produção de ( produtos. " tabela abai/o d& as i!formaçAes sobre as !ecessidades de horas de m&qui!a para produzir uma u!idade de cada produto, assim como a dispo!ibilidade das m&qui!as, o lucro dos produtos e a dema!da m&/ima e/iste!te !o mercado.
;ipo de
*á8uina $roduto A $roduto 7 $roduto C
;empo &isponíBel ;horas por sema!a< 4or!o ) ( ) Nresa ) Nuradeira 2 ) ( ( Lucro 2 1) 1 &emanda :emanal ) 2
3ede@se o esquema de produção de lucro m&/imo.
2 – Uma f&brica de r&dios ti!ha o desa=o de ma/imizar o lucro global di&rio obtido de duas li!has de produção que comportam )C oper&rios, se!do que a f&brica possui ape!as . "s li!has de produção são *&dios 7u/o e *&dios Sta!dard. " 7i!ha *&dios Sta!dard comporta (2 pessoas e cada r&dio co!some 1 homem>dia, for!ece!do um lucro de *+(,>u!. " li!ha *&dios 7u/o comporta 2 pessoas e cada r&dio co!some 2 home!s>dia, for!ece!do um lucro de *+,>u!. Ee=!a as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes.
3 – 3ara a fabricação de cada u!idade dos produtos ", B, e E, são utilizadas, em Kg, as segui!tes mat'rias@primas:
*atria
-$rima A 7 $roduto C &
6adeira 2 1 (
3l&stico 1
"ço 1 ( 2
idro 2 1
4i!ta 1 2 1
Os estoques das mat'rias@primas, em to!eladas, co!forme lista acima, são, respecti$ame!te: 1, 2, , 1, 1). Os lucros u!it&rios dos produtos, co!forme lista acima, são respecti$ame!te: *+2,, *+(,, *+2), e *+1),. Ob%eti$a@se esquematizar a produção para obter lucro m&/imo. Ee=!a as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes.
4 – Uma f&brica de m$eis tem como dois dos seus pri!cipais produtos mesas de madeira e mesas met&licas. "s mesas de madeira proporcio!am um lucro de + 12, por u!idade, %& as mesas met&licas determi!am um lucro de + 1, por u!idade. " fabricação de uma mesa de madeira requer 1) mi!utos da operação ", ( mi!utos da operação B e 2 mi!utos da operação . V& a produção de uma mesa met&lica e/ige ( mi!utos da operação " e 1) mi!utos da operação . " empresa dispAe de horas sema!ais para a operação ", ( horas sema!ais para a operação B e 2 horas sema!ais para a operação . 3ara gara!tir a $e!da de toda a sua produção, a empresa =rmou um co!trato de e/clusi$idade com um distribuidor. O mesmo e/ige que a produção mI!ima sema!al se%a de 1) mesas de madeira e 2 mesas met&licas. "l'm disto, em fu!ção da dema!da difere!ciada pelos dois tipos de produtos, o distribuidor e/ige que a relação e!tre as mesas de madeira e met&licas se%a !o mI!imo de 1:(, ou se%a, para cada mesa de madeira produzida podem ser produzidas !o m&/imo ( mesas met&licas.
Normule o modelo de 3rogramação 7i!ear que represe!ta o problema acima, com ob%eti$o de ma/imizar o lucro sema!al da f&brica de m$eis.
– Um pizzaiolo trabalha horas por dia e faz 1C pizzas por hora, caso faça some!te pizzas, e # calzo!es por hora, se =zer some!te calzo!es. le gasta gramas de quei%o para preparar uma pizza e C gramas de quei%o para fazer um calzo!e. Sabe!do@se que o
total dispo!I$el de quei%o ' de ) quilogramas por dia, e que a pizza ' $e!dida a *+ 1, e o calzo!e a *+22,, pergu!ta@se: qua!tas u!idades de pizzas e calzo!es uma pizzaria com trJs pizzaiolos de$e $e!der diariame!te para ma/imizar a sua receita0
! – " sportes *adicais S>" produz p&ra@quedas e asas@delta em duas li!has de mo!tagem. " primeira li!ha de mo!tagem tem 1 horas sema!ais dispo!I$eis para a fabricação dos produtos, e a segu!da li!ha tem um limite de 2 horas sema!ais. ada um dos produtos requer 1 horas de processame!to !a li!ha 1, e!qua!to que !a li!ha 2 o p&ra@quedas requer ( horas e a asa@delta requer D horas. Sabe!do que o mercado est& disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela $e!da de cada p&ra@ quedas ' de *+ C, e para cada asa@delta $e!dida ' de *+ ,, e!co!tre a programação de produção que ma/imize o lucro da sportes *adicais S>".
" – " i!dPstria "lumilYmi!as S>" i!iciou suas operaçAes em %a!eiro de 21 e %& $em co!quista!do espaço !o mercado de lami!ados brasileiro, te!do co!tratos fechados de for!ecime!to para todos os ( tipos difere!tes de lYmi!as de alumI!io que f&brica: espessuras =!a, m'dia e grossa. 4oda a produção da compa!hia ' realizada em duas f&bricas, uma localizada em São 3aulo e a outra !o *io de Va!eiro. Segu!do os co!tratos fechados, a empresa precisa e!tregar 1C to!eladas de lYmi!as =!as, C to!eladas de lYmi!as m'dias e 2 to!eladas de lYmi!as grossas. Ee$ido 9 qualidade dos produtos da "lumi!Ymi!as S>", h& uma dema!da e/tra para cada tipo de lYmi!as. " f&brica de São 3aulo tem um custo de produção di&ria de *+ 1., para uma capacidade produti$a de to!eladas de lYmi!as =!as, 1 to!elada de lYmi!as m'dias e 2 to!eladas de lYmi!as grossas por dia. O custo de produção di&rio da fabrica do *io de Va!eiro ' de *+ 2., para uma produção de 2 to!eladas de lYmi!as =!as, 1 to!elada de lYmi!as m'dias e D to!eladas de lYmi!as grossas. -ua!tos dias cada uma das fabricas de$er& operar para ate!der aos pedidos ao me!or custo possI$el0
# – Uma f&brica de le!ço de papel produz quatro tipos de produto: ", B, e E. " f&brica recebe o papel em gra!des rolos. Z cortado, dobrado e empacotado. Eada a peque!a escala da f&brica, o mercado absor$er& qualquer produção a um preço co!sta!te. Os lucros u!it&rios ;cai/a com 1. u!idades< de cada produto são, respecti$ame!te, *+1,, *+1),, *+1, e *+2,. O quadro abai/o ide!ti=ca o tempo !ecess&rio para operação ;em mi!utos para cada 1. u!idades< em cada seção da f&brica, bem como a qua!tidade de m&qui!as dispo!I$eis. o!sidere uma %or!ada de mi!utos.
:eção A 7 C & =uantidadede
*á8uinas
orte ) 12 1) 1
Eobra 1 1) 2 2) )
mpacotame
!to 1) 22 22 2) (
) – Um fabrica!te de bri!quedos dese%a programar a produção de um determi!ado bri!quedo para ate!der a segui!te dema!da:
W. Outubro: 1.2 u!idades WW. Go$embro: (.C u!idades WWW. Eezembro: 2. u!idades
" capacidade !ormal de produção ' de 1.#2 u!idades. Usa!do horas@e/tras, obt'm@se uma capacidade adicio!al de 1.(2 u!idades>mJs. O custo de produção !ormal u!it&rio ' de *+ ,. Nora do tur!o !ormal o custo ' de *+ C2,>u!idade. O custo me!sal de armaze!agem ' de *+ 12,>u!idade.
Supo!do que !ão e/ista estoque i!icial, e que o fabrica!te !ão dese%e estoque =!al em dezembro, formule um modelo de programação li!ear ;aprese!ta!do@o< para determi!ar qua!to produzir em cada um dos trJs meses, !o tur!o !ormal e !o e/tra, de ma!eira a mi!imizar o custo total.
1 – Uma estamparia pode fabricar pias de aço i!o/id&$el e>ou saladeiras do mesmo material. 3ara isto, utiliza com mat'ria@prima chapas de aço de um tama!ho P!ico, padro!izado. om cada chapa pode@se estampar uma pia e duas saladeiras ou e!tão seis saladeiras. "s sobras são eco!omicame!te i!apro$eit&$eis. Go processo de estamparia as chapas utilizadas para produzir pias e saladeiras requerem um tempo de mi!utos, e!qua!to que as chapas utilizadas para produzir ape!as saladeiras requerem um tempo de processame!to de 12 mi!utos. " empresa possui duas m&qui!as de estampar com uma dispo!ibilidade de horas sema!ais cada uma. O preço de $e!da de cada pia ' de + e de cada saladeira de + (. ada chapa de aço i!o/id&$el custa + . Os demais custos !ão depe!dem da decisão. Sabe@se por e/periJ!cia passada que !ão se co!segue $e!der mais do que saladeiras para cada pia $e!dida. " empresa possui um total de ) chapas de aço i!o/id&$el para a produção sema!al e dese%a saber qua!to de$e produzir de cada artigo para obter o maior lucro possI$el !o perIodo.
11 – Uma f&brica de r&dios produz os modelos ", B e , que for!ecem lucros de 1C, ( e ) reais por u!idade, respecti$ame!te. "s e/igJ!cias de produção mI!ima sema!al são ;em dPzias<: 2, 1 e ), respecti$ame!te. ada tipo de r&dio requer uma certa qua!tidade de tempo para a fabricação das partes compo!e!tes, para a mo!tagem e para a embalagem. " tabela a seguir mostra estas !ecessidades de tempo ;em horas< para lotes de 12 u!idades ;que são a qua!tidade mI!ima de fabricação<:
%ádio 9a'ricação *ontagem +m'alagem
" ( 1
B (,) ) 1,)
) (
&isponi'ili
dade 12 1C
" tabela mostra, ai!da, a dispo!ibilidade em horas de cada setor da f&brica. 3ergu!ta@se qual a programação da produção de maior lucro.
12 – Uma f&brica de cadeiras produz quatro modelos, usa!do a carpi!taria e a seção de acabame!to. "s !ecessidades de home!s>hora de cada produto !a carpi!taria são as segui!tes, respecti$ame!te: , #, D e 1 e, !a seção de acabame!to, 1, 1, ( e . Os lucros u!it&rios for!ecidos por produto são, respecti$ame!te, *+12,, *+2,, *+1, e *+,. " f&brica possui 2 oper&rios !a carpi!taria e ( !a seção de acabame!to, trabalha!do horas por dia e 2) dias por mJs. Supo!do@se que !ão h& restriçAes de dema!da de produto, pergu!ta@se qual o esquema me!sal de produção capaz de ma/imizar o lucro da f&brica.
13 – Uma empresa fabrica quatro modelos de rebites met&licos a partir de chapas, cada um dos quais de$e ser cortado, dobrado e furado. "s !ecessidades especI=cas de tempo de trabalho ;em mi!utos por 1. u!idades< de cada um dos produtos são as segui!tes:
*odelo Cortar &o'rar 9urar
A ( 2 1
7 2 1 (
C 2 2 1
& 1 (
" empresa dispAe, !uma base di&ria, de 2 mi!utos de tempo de corte, 2 mi!utos de tempo de dobra e 2 horas de tempo de furar. Os lucros u!it&rios ;1. u!idades< sobre os produtos são, respecti$ame!te, *+C,, *+,, *+C, e *+,. 3ede@se o esquema de produção que ma/imiza o lucro.
14 – Um faze!deiro dispAe de hectares culti$&$eis com milho, trigo ou so%a. ada hectare de milho e!$ol$e custos de *+2., para preparação do terre!o, 2 home!s>dia de trabalho e gera um lucro de *+C,. Um hectare de trigo e!$ol$e custos de *+2., para preparação, requer ( home!s>dia de trabalho e gera um lucro de *+,. Ni!alme!te, um hectare de so%a e!$ol$e gastos de *+1.,, 2 home!s>dia e um lucro de *+,. O faze!deiro dispAe de *+., para cobrir os custos de preparação do terre!o e pode co!tar tamb'm com . home!s>dia de trabalho. -ual de$e ser a alocação da terra para os $&rios tipos de cultura de ma!eira a ma/imizar os lucros0
1 – Uma f&brica de bebidas produz ( tipos de rum: 3opular, Sta!dard e special, os quais passam por ( processos de!tro da empresa e cu%os tempos $emos abai/o ;em horas por cai/a de bebida<:
7e'ida +sterili?ação +ngarra,amento +m'alagem
3opular ( 2 1
Sta!dard ( (
special D
1! – Uma gra!de empresa de mi!eração tem i!stalaçAes em ( estados disti!tos, ide!ti=cados como 6i!eraçAes ", B e . 4ais mi!eraçAes de$em ate!der a trJs usi!as de be!e=ciame!to e comercialização, localizadas !as cidades 1, 2 e (. Os custos de tra!sporte ;+>to!< e!tre as mi!eraçAes e as usi!as de be!e=ciame!to são co!hecidos e aprese!tados !a tabela a seguir, bem com as capacidades de produção ;to!< de cada mi!eração e as dema!das de comercialização ;to!< das usi!as de be!e=ciame!to.
*ineraçes Dsinas de 'eneEciamento de co're
Capacidade de
*ineraçes Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3
" ) 2 (
B ) 1 1
1,) ( 2 2
&emanda das
usinas ,D 1 (
3or outro lado, tamb'm são co!hecidos os custos de e/tração do mi!'rio !as mi!eraçAes e de be!e=ciame!to !as usi!as, os quais estão aprese!tados !a tabela abai/o:
*ineraç
es Custos extração5ton 'eneEciamentoDsinas de
Custos de 'eneEciamento 5ton A ) C0&A&+ 1 D 7 C0&A&+ 2 C) C () C0&A&+ 3 C
Ob$iame!te, a empresa dese%a mi!imizar os custos totais ;somatrio dos custos de mi!eração, be!e=ciame!to e tra!sporte<, ate!de!do 9s dema!das do mercado, a partir das cidades com usi!as de be!e=ciame!to e de acordo com a capacidade das mi!eraçAes. Ee$e@se obser$ar que, ta!to para o tra!sporte como para a mi!eração e o be!e=ciame!to, de$em ser processadas, sempre, qua!tidades mPltiplas de 1 to!elada. Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes.
1" – Uma empresa tem f&bricas !os locais W, WW e WWW, que abastecem armaz'!s situados em ", B, e E. "s capacidades me!sais das f&bricas são de 1, 2) e (, respecti$ame!te. "s !ecessidades me!sais mI!imas dos armaz'!s são 1), 2, 1) e ), respecti$ame!te. Os custos u!it&rios de tra!sporte são os segui!tes:
rigem &estino
A 7 C &
0 ) C #
00 2 2 1
000 ( ) )
Busca@se o esquema de tra!sporte de custo mI!imo. Ee=!a as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes.
1# – o!sidere uma metalPrgica que dispAe de tec!ologia !ecess&ria para a e/tração de metais di$ersos a partir da sucata, for!ece!do@os ao mercado. O programa de e!trega aos clie!tes, para a pr/ima sema!a, ' de (2 Kg de cobre, )( Kg de esta!ho, 1C Kg de chumbo e 1.) Kg de ferro. Os estoques, !o i!Icio da pr/ima sema!a, serão de ) Kg de cobre, ( Kg de esta!ho e 1.D Kg de ferro. " qua!tidade estocada de chumbo, !o i!Icio da pr/ima sema!a, ser& igual a zero. Os for!ecedores " e B for!ecem sucata com qua!tidades dos di$ersos metais co!forme a tabela a seguir:
*etal :ucata do 9ornecedor /
A 7 obre ( # sta!ho 1 1 humbo 1C 2 Nerro C Outros (1 1#
O custo por to!elada ;1. Kg< de sucata ' de + #, e de + D), para os for!ecedores " e B, respecti$ame!te. O for!ecedor B i!formou que, para a pr/ima sema!a, dispor& de, !o m&/imo, to!eladas de sucata para e!trega. O for!ecedor " !ão impMs quaisquer restriçAes para a qua!tidade de sucata a ser e!tregue. Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes, de modo a determi!ar a qua!tidade de sucata a ser comprada de cada for!ecedor, a =m de cumprir o programa de e!trega da pr/ima sema!a, mi!imiza!do o custo de aquisição de sucata. o!sidere que a empresa prete!de produzir ape!as o !ecess&rio para ate!der ao programa de e!trega da pr/ima sema!a. 1) – Uma empresa tem f&bricas !as cidades ", B e , todas fabrica!do o mesmo tipo de pai!el de madeira para residJ!cias. Os produtos são atualme!te distribuIdos para as lo%as das cidades 1, 2 e (. " empresa est& estuda!do a reestruturação de sua rota de distribuição em fu!ção da eco!omicidade de despacho e tra!sporte para as lo%as. Geste se!tido, a empresa fez um le$a!tame!to dos seus atuais custos de tra!sporte das f&bricas para as lo%as, o que ' aprese!tado abai/o.
9á'ricas Cidade 1 Cidade 2LoFas Cidade 3
Cidade A 12 1
Cidade 7 1 1 12
Cidade C 12 1
3or outro lado, as f&bricas aprese!tam capacidades de produção difere!ciadas, da mesma ma!eira que as lo%as possuem dema!das difere!tes e especI=cas. Os dados de capacidade e dema!da sema!al são aprese!tados a seguir.
Capacidade das 9á'ricas
Cidade A C
Cidade 7 )2
Cidade C
&emanda das LoFas
Cidade 1 )
Cidade 2
Ee=!a qual a melhor alter!ati$a atual de despacho dos produtos para ate!der a dema!da das lo%as.
"prese!te a modelagem ;de=!ição das $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes<.
2 – Os requerime!tos u!it&rios de uma ração para e!gorda de porcos são os i!dicados abai/o, por Kg de ração:
a 3roteI!a: !o mI!imo .1 Kg ' &lcio: !o mI!imo ) g
c Nsforo: !o mI!imo g d 6etio!i!a: !o mI!imo , g e isti!a: !o mI!imo 1, g
3ara alca!çar estes $alores especI=cos pode@se substituir at' )F do requerime!to de 6etio!i!a por isti!a.
sta qua!tidade de isti!a de$e ser e/cede!te ao seu requerime!to mI!imo.
"l'm disso, de$e@se obedecer para a qua!tidade de &lcio e Nsforo uma relação de 1,) a 2:1, ou se%a, 1,) a 2 partes de &lcio para 1 parte de Nsforo. Os alime!tos usados para fazer a ração, bem como os seus co!tePdos de !utrie!tes e preços por quilo, são os segui!tes:
*ilGo :orgo 9arinGa
:oFa 9arinGa :angue 9arinGa ssos 3roteI!a ;Kg>Kg< ,1 ,# ,2C ,#( 6etio!i!a ;g>Kg 1, 1(, 2, 1,C isti!a ;g>Kg< 1,) 1,C C,) 11,) &lcio ;g>Kg< 1, ,( 2,# ,D (,) Nsforo ;g>Kg< 2,) (, 1,) 11,2 11,( $reço 5g 1H2 H)! 2H3 4H3 1H#3
Ob%eti$a@se determi!ar a composição de ração que ofereça o mI!imo custo possI$el por quilo, ate!de!do as e/igJ!cias colocadas acima. Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes.
21 – Uma metalPrgica possui em seu estoque ci!co difere!tes tipos de ligas met&licas, com as composiçAes: Compon ente Liga 1 2 3 4 sta!ho ;F< ( C 1 2 humbo ;F< ) ( D ) [i!co ;F< 2 2 1 2 (
Os custos, por to!elada, das ligas são, respecti$ame!te, *+1,, *+12,, *+1),, *+12, e *+1,.
" empresa dese%a fu!dir, a partir das ligas e/iste!tes, uma !o$a liga cu%a composição de$e ser de )F de chumbo, F de esta!ho e 1)F de zi!co. O ob%eti$o ' determi!ar as proporçAes destas ligas que de$eriam ser fu!didas para produzir a !o$a liga a um custo mI!imo.
Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes.
22 – Uma empresa adquire petrleo para produzir gasoli!a comum, gasoli!a especial, leo diesel e querose!e. la !ecessita ma!ter em seus ta!ques, !o i!Icio de cada sema!a um estoque mI!imo de produtos. " tabela abai/o mostra, para uma determi!ada sema!a, as composiçAes, dispo!ibilidades e estoques mI!imos. -ual ' o esquema de produção de custo mI!imo0
Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes.
$etr6leo A $etr6leo 7 $etr6leo C +sto8ue*ínimo asoli!a omum 1F F 1F 1 barris -uerose!e 1F 2F 2F ) barris asoli!a special 2F (F CF ) barris Tleo CF 1F 1F 1 barris &isponi'ilida
de 2 barris 1) barris 1) barris Custo *+ 2, *+ 1), *+ (,
23 – Uma empresa produz um suco obtido a partir da mistura de ci!co tipos de sucos !aturais, que de$e co!ter, em cada litro, pelo me!os 2. u!idades de $itami!a , . u!idades de $itami!a E e # u!idades de pot&ssio. Os dados são:
:uco IitaminaC Iitamina& $otássio Custo porLitro
7ara!%a 2. . ) ,2
"cerola ). 2. ,
"baca/i 1. ). 1 ,2)
6amão ). 2. 2. ,1
a%u (. (. C ,2
3ergu!ta@se: qual ' a mistura a custo mI!imo que ate!de aos requisitos0
Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes.
24 – Uma mo!tadora de cami!hAes !ecessita distribuir a sua produção, que ' feita em ( f&bricas difere!tes, para ( co!cessio!&rias localizadas em trJs gra!des cidades. " co!=guração da malha rodo$i&ria que liga as f&bricas 9s co!cessio!&rias determi!a os custos de tra!sportes aprese!tados !a tabela abai/o.
9á'ricas C1 ConcessionáriasC2 C3
91 C 1
92 # 12 1(
3or outro lado, as f&bricas aprese!tam capacidades de produção difere!tes, da mesma ma!eira que as co!cessio!&rias aprese!tam !ecessidades disti!tas. Os dados de capacidade de produção por f&brica e de !ecessidade por co!cessio!&ria estão colocados abai/o.
9á'rica $rodução*áxima Concessionária &emanda
N1 () 1 ))
N2 ) 2 ()
N( ( ()
" partir destes dados, de=!a qual a qua!tidade de cami!hAes que de$em ser tra!sportados de cada f&brica para cada co!cessio!&ria, a =m de mi!imizar o custo e!$ol$ido !esta operação, obedece!do as restriçAes de produção e dema!da. Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes.
2 – " *e!ta ar est& a$alia!do a distribuição dos seus carros de aluguel !as di$ersas cidades o!de possui escritrios. " empresa aluga trJs tipos de carros: eco!Mmico, sta!dard e lu/o. O gere!te de distribuição acredita que as cidades ", B e possuem carros em e/cesso, assim caracterizados:
CA%%: +* +JC+::
Cidades
+conKmico :tandard Luxo
" 2 1 1
B ( 2 2
1 ) )
!treta!to, as cidades E, , N e possuem uma carJ!cia de carros, a qual est& aprese!tada !a tabela a seguir:
CA%%: +* 9AL;A
Cidades +conKmico :tandard Luxo
E 1 ) )
2 ) )
N 1 1
) 2 2
m termos do e$e!tual tra!sporte dos carros e/cede!te de uma cidade para outra, de$e ser obser$ado que uma cidade especI=ca !ão pode for!ecer mais de 2 carros, i!clui!do todos os modelos, para uma mesma cidade recebedora.
Eado que os custos u!it&rios de tra!sporte, i!depe!de!teme!te do tipo de carro tra!sportado, das cidades ", B e para as cidades E, , N e são difere!ciados, co!forme a tabela a seguir, o gere!te de distribuição !ão sabe como resol$er esse problema de uma ma!eira tima. rigem &estino A 7 C & 1 1) 2 + ( 2 1 9 2 1 1) 1 2 1)
Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes, de modo a mi!imizar o custo do tra!sporte dos carros.
2! – Uma metalPrgica dese%a utilizar o m&/imo de estoque e/iste!te para ma/imizar o lucro de $e!da obtido atra$'s da fabricação de duas ligas de alumI!io, parti!do de 2 mi!'rios, cu%os estoques e custos são:
6i!'rio ": usto 5 *+,( por Kg e stoque 5 C Kg 6i!'rio B: usto 5 *+,) por Kg e stoque 5 Kg
Os mi!'rios " e B possuem composição quImica co!forme a tabela a seguir: Componente *inrio A *inrio 7
SilIcio ;Si< 1)F 1F
Nerro ;Ne< 1(F )F
"lumI!io ;"l< D2F )F
" liga " ' $e!dida a *+ , por Kg, e de$e ate!der a especi=caçAes t'c!icas que limitam a qua!tidade dos eleme!tos quImicos, segu!do a tabela:
Componente *ínimo *áximo
Si 1(F
Ne 1F
"l F
" liga B tem preço de $e!da *+ ,D por \g e de$e ate!der 9s segui!tes especi=caçAes t'c!icas:
Componente *ínimo *áximo
Si 1F
Ne 11F
"l DF
Eese%a@se usar ao m&/imo o estoque de mat'ria@prima para produzir ambas as ligas, ma/imiza!do o lucro. Eetermi!e as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes.
2" – Um faze!deiro dese%a obter a composição da dieta alime!tar para o gado de acordo com as !ecessidades di&rias de !utrie!tes adequadas ao processo de e!gorda. Sabe@se que o gado de$e co!sumir diariame!te, pelo me!os , Kg de G1, ,C \g de G2, 2 \g de G( e 1,D Kg de G.
"s i!dPstrias locais de ração fabricam dois produtos: " e B, os quais co!tJm as segui!tes qua!tidades de !utrie!tes por quilo:
$rodut
o @1 @2 @3 @4
A 1g 1g 2g
7 1g 2g 1g
O alime!to " custa *+ , por quilo e o B *+ (,2 >Kg. Eese%a@se obter as qua!tidades di&rias de " e
B a serem usadas por a!imal, de modo a se mi!imizar o custo com ração.
Eetermi!e as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes.
2# – " 4rambique S.". possui ) questAes %udiciais. " empresa solicitou uma cotação de preços para ( ad$ogados, os quais i!formaram os segui!tes $alores por caso:
A&IA &
CA:
1 2 3 4
7 2 2 2 2 2
C 1) 1) 2 2 1)
ada caso dema!dar& um co!%u!to especI=co de horas, co!forme demo!stra a pr/ima tabela:
CA: &+*A@&A +*>%A:
1 2
2 (
( 2
) (
3or sua $ez, cada ad$ogado possui um !Pmero =!ito de horas dispo!I$eis: A&IA& &0:$@070L0&A&+ +*>%A:
" D
B )
C
Se!do que:
@ cada caso ter& ape!as um ad$ogado alocadoH
@ um determi!ado ad$ogado !ão poder& tratar de mais de dois casos e @ o ad$ogado que tratar o caso ) !ão poder& trabalhar !o caso 1.
" 4rambique gostaria de selecio!ar os ad$ogados de forma que o custo total de defesa se%a mi!imizado.
Normule a modelagem do problema para obter o custo mI!imo, i!dica!do as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes.
2) – O prefeito e/ige que cada região da cidade se%a ate!dida por pelo me!os um posto. Normule uma modelagem de programação i!teira que determi!e os locais em que os postos policiais de$em ser co!struIdos de forma a mi!imizar os custos e ate!der 9s co!diçAes e/igidas. LCA L 1 2 3 4 ! " # ) 1 *egião 1 ] ] ] ] ] ] *egião 2 ] ] *egião ( ] ] ] ] *egião ] ] ] *egião ) ] ] ] ] ] ] ] CD:;
( mil ) mil 1 mil 2 mil 1 mil mil ( mil 1 mil 2 mil 2 mil 3 – " Super 4ech S" est& pla!e%a!do seus gastos com 3esquisa e Eese!$ol$ime!to para o pr/imo a!o. " empresa selecio!ou quatro alter!ati$as de pro%etos e de$e escolher quais priorizar. Os dados do problema e!co!tram@se !a tabela a seguir:
