Part I
Conceitos Básicos
1
Surgimento de Limites da Mecânica Clássica
1.1
Métodos Cientí…cos e Introdução de Novos Conceitos
Hoje, sabemos que existem muitos fenômenos na nossa volta para os quais a Mecânica Quântica é fundamental para seu entendimento. Por exemplo, qualquer aparelho elétronico não estaria disponível sem ter o conhecimento da Mecânica Quântica. A aplicação da Mecânica Quântica se extende a várias áreas, não só da Física, mas também da Astronomia, Química, Engenheria, Metalugica, Biologia, Medicina, etc. Não é exagero dizer que sem o conhec-imento da Mecânica Quântica, seria impossível hoje estudar qualquer ciência exata.
Mesmo assim, o conceito básico no qual a Mecânica Quântica se baseia é aparentemente contraditório a nossa intuição. Por isso, a Mecânica Quântica pode aparentar di…culdades no ínicio. Entretanto, vamos lembrar que a in-trodução de um conceito novo na ciência, em particular na física, as vezes é fundamental para dar um salto qualitativo no seu desenvolvimento e, não é a primeira vez que aconteceu na história da Ciência.
Antes do século XVII, a Ciência se misturava muito com ocultismo (astrolo-gia, alquimia) e utilzava-se de conceitos introduzidos a priori pela razão, talvez estética, talvez religiosa, ou até …losó…ca, mas sem fundamento real. Foi Galileu que menciona explicitamente a importância do uso dos métodos que descrevem o mundo a partir da observação direta dos fenômenos e da realização de ex-perimentos controlados. Com isto, ele mostrou que alguns conceitos antigos já estabelecidos não passam de preconceitos. Por exemplo, ele argumenta que se um sistema de referência está em movimento inercial, então, os fenômenos observadas neste sistema não se distinguem dos observados em outro sistema inercial (Princípio de relatividade de Galileu). Assim, ele mostra que a idéia da Terra imovel é apenas um preconceito, e que num modelo Héliocentrico o movimento da Terra não acarretaria nenhum desastre.
Desta forma, é interessante lembrar sempre que a nossa intuição é muitas vezes nada mais de um produto de preconceitos que foram criados pelas ex-periências durante a nossa vida. Se encontramos um fenômeno que exige uma explicação lógica que contradiz nossa intuição, devemos descon…ar que a nossa intuição é um preconceito, mesmo que isto apareça absurdo1.
Depois de Galileu, gradualmente o cienti…cismo se impõe, e passa-se a “Era das Luzes”, em oposição ao obscurantismo medieval. As idéias físicas, no en-tanto, estão ainda muito ligadas às observações de fenômenos isolados no mundo
1É interessante notar que, embora Galileu foi o primeiro a introduzir o método cientí…co no sentido de se livrar das idéias preconceituosas diante os fatos experimentais, ainda não conseguia realmente limpar todos os preconceitos, tais como sua preferência injusti…cável para o movimento circular e uniforme, aceita desde Aristoteles.
macroscópico, predominando uma nítida separação na descrição dos movimen-tos dos corpos da terra e dos corpos celestes. A estrutura da matéria não se coloca ainda como questão primordial, e nenhuma formulação teórica global para o movimento e estruturação dos corpos se con…gura nos moldes cientí-…cos então estabelecidos. Mas, já no …nal do século XVII vamos presenciar uma postura teórica uni…cadora pelo menos no que diz respeito à descrição dos movimentos dos corpos. Trata-se da formulação Newtoniana da mecânica. Ao longo doséculo XVIII, o estudo dos fenômenos elétricos, magnéticos e da luz (a ótica), seguia a linha fenomenológica e descritiva, continuando assim até a primeira metade do século XIX (Eletricidade e Magnetismo : Ampère, Faraday, Örsted, etc. ; na ótica: Young, Fresnell e outros). O …nal do século XIX é então coroado de êxito no que se refere ao estabelecimento de estruturas de sínteses formais para as teorias físicas. Se de um lado a mecânica, com os trabalhos de Hamilton, Jacobi, tendo passado pelos de Legendre, Laplace e Lagrange, encontra uma forma estrutural dedutiva a partir de um princípio fundamental (O Princípio Variacional), do outro lado vamos presenciar a elegante síntese da Eletricidade, Magnetismo e ótica através da teoria eletromagnética de Maxwell, em1873. Como se não bastasse, os trabalhos de Gibbs, Boltzmann e outros, neste …nal de século, sobre a Mecânica Estatística e suas relações com a termod-inâmica, pareciam compor tudo o que faltava. Estes últimos enveredavam pelo caminho da extensão dos conceitos e princípios da Mecânica Clássica ao com-portamento dos constituintes microscópicos dos sistemas termodinâmicos, que junto à utilização de idéias estatísticas deveriam justi…car as leis macroscópicas dos sistemas.
O quadro parecia estar completo no …nal do século XIX. Houve mesmo quem a…rmasse que qualquer princípio fundamental da natureza estaria contido numa destas estruturas teóricas, com as quais qualquer fenômeno poderia ser explicado em princípio, sendo apenas questão de detalhamento dos modelos matemáticos. Mas duas pequeninas nuvens negras no horizonte pareciam teimar contra isso: o espectro da radiação do corpo negro e a experiência de Michelson e Morley. Justamente são as sementes das revoluções conceituais da Física neste século: A Mecânica Quântica e a Teoria da Relatividade. Assim, o problema da radiação do corpo negro é um marco histórico das limitações da Física Clássica para a descrição microscópica da matéria. As tentativas de compreender o espectro da radiação do corpo negro no contexto da Física Clássica falharam e então brotou, pela primeira vez, a idéia de discretização de grandezas tidas como contínuas no contexto clássico. A onda eletromagnética exibe a natureza corpuscular.
Na mesma época, o estudo da estrutura atômica leva a imagem de natureza ondulatório do movimento de um elétron. Neste ponto, físicos perceberam que a tentativa de incorporar a dualidade onda-partícula no esquema da Mecânica Clássica se torna inconsistente e chegaram conclusão de que devemos abandonar o conceito tão básico na Mecânica Clássica como a trajetória de uma partícula. A discussão, pelo menos esquemática desta tentativa, é nosso ponto de par-tida neste breve apanhado das origens da Mecânica Quântica.
1.2
Radiação de corpo negro
Vamos considerar uma cavidade cercada de paredes aquecidos (forno). Sabemos que a cavidade …ca preenchida de radiação. Esta radiação é as ondas eletro-magnéticas. Podemos fazer a pergunta: Qual é a distribuição de frequência do campo eletromagnetico dentro deste forno quando esteja em equilíbrio térmico com temperatura T ? Esta questão foi um dos mais importante problema na aplicação da física em metarugia na época2.
Segundo o princípio da Mecânica Estatística, quando um sistema esteja em equilíbrio térmico, a temperatura é justamente a energia média atribuida para cada grau de liberdade existe no sistema. Isto é, qualquer graus de liberdade do sistema tem a mesmo valor médio de energia (equipartição da enerigia). Podemos aplicar este princípio. Mas, o que é os graus de liberdade para o campo eletromagnético? Para ver esta questão, vamos considerar uma geome-tria simples do forno, isto é, uma cavidade cubica de distância lateral L. O passo mais fundamental para que se tenha a compreensão do problema é que se conheça a equivalência estrutural entre as equações do campo da radiação e um sistema dinâmico de partículas. Já que este tipo de raciocínio é extremamente fundamental e muito educativo vamos investir um pequeno tempo para revisá-lo. O campo de radiação, i.e., o campo eletromagnético, é expresso em termos de um campo vetorial a quatro componentes, A , de…nido por3
A (~r; t) = A~0(~r; t) A(~r; t) :
Podemos extrair o campo elétrico ~E e o campo magnético ~B deste potencial como4 ~ E = @ ~A @t rA0; ~ B = r A:~
2O nome, Corpo Negro vem de fato que o parede do forno absorbe ondas eletromagnéticas de qualquer frequência.
3As equações de Maxwell são
r ~B = 0; (1) r E +~ @ ~B @t = 0; (2) r ~D = ; (3) r H~ @D @t = ~j; (4)
onde e ~j são a densidade de carga e densidade de corrente, respectivamente. As primeiras duas equações não dependem da matéria, podemos considerar que elas representam as víuculos entre as duas variáveis, ~Ee ~B:
4Com essa representação de ~Ee ~Bem termos de A ; as duas primeiras equações do Maxwell …cam automaticamente satisfeitas.
As equações de Maxwell sem termo de fonte (a densidade de carga e corrente), junto com uma condição de calibre apropriada, nos leva à equação de onda bem conhecida para estes potenciais,
1 c2
@2
@t2 r
2 A (~r; t) = 0: (5)
Exercício: Deduza a Eq.(5) a partir da equação de Maxwell. Qual é a condição de calíbre?
A Eq.(5) é uma equação diferencial parcial e, portanto, não parece que tem alguma similhança com a mecânica de Newton. Mas se introduzimos a noção de “forma” desta função em relação a distribuição espacial em cada instante, esta equação pode ser vista como sendo uma equação diferencial ordinária de segunda ordem para esta “forma”do campo. Para ser mais clara, vamos escrever a forma espacial do campo A (~r; t) como sendo
A (~r; t) ! Form(t):
A função Ftrepresenta a “forma” espacial do campo em cada instante t. Para
expressar a dependência temporal desta “forma”, podemos sempre introduzir a série de Fourier,
Form(t) =X
~ k
q~k(t) sin (kxx) sin (kyy) sin (kzz) : (6)
onde utilizamos a condição de contorno,
Form(t)contorno= 0;
para as super…cies do forno (para simplicidade, supormos que o forno tem forma de um cubo, 0 x; y; z L, onde L é a dimensão do cubo). Isso permite que o vetor de onda ~k tem a foma,
~k = 0 @ kkxy kz 1 A = L 0 @ ml n 1 A ; (7)
onde l; m e n são inteiros. Exercício: Mostre a Eq.(7).
Conhecer todos os coe…cientes fqk(t)g é equivalente a conhecer ft(~r),
por-tanto A (~r; t). Substituindo a Eq.(6) na Eq.(5), temos 1 c2 @2 @t2 r 2 X ~k
q~k(t) sin (kxx) sin (kyy) sin (kzz) = 0; (8)
ou
•
q~k+ !k2q~k = 0; 8~k ; (9)
onde
Exercício: Deduza, com justi…cativa mateática, a Eq.(9) a partir da Eq.(8). A Eq.(1.5) mostra que qualquer componente q~k(t) do campo de radiação
se comporta como um oscilador harmônico simples. A equivalência entre a equação de Maxwell e a Mecânica Clâssica agora se torna nítida se consideramos os q~k’s como variáveis generalizadas, e que a con…gruação dinâmica do campo
se traduzem nas oscilações deste conjunto in…nito de osciladores harmônicos clássicos. Assim, a dinâmica do campo …ca expressa numa linguagem Mecânica, permitindo a utilização da Mecânica Estatística para a con…guração do campo. Neste sentido, o equilíbrio térmico do campo como ambiente de temperatura T pode ser tratado como o equilíbrio de um sistema de osciladores em contato com um reservatório térmico de temperatura T . Pelo princípio de equipartição da energia, sabemos que para cada oscilador harmonico, terá o valor médio da energia, kT . Assim, a energia média total do sistema seria
Etot ! NG:L: kT;
onde NG:L:é o número total de graus de liberdade (número de osciladores) do
sistema.
Exercício: Num gás em equilíbrio térmica com temperatura T , a energia média por partícula é 3kT =2. No caso acima, hEi = kT: Demonstre a diferença. Para cada ~k dada na Eq.(7), o campo eletromagnético no forno corresponde a uma onda plana
sin (kxx) sin (kyy) sin (kzz) ;
cuja amplitude varia no tempo. A frequência está relacionada com o vetor de número de onda ~k é dada por
= c 2 ~k = c 2L p l2+ m2+ n2:
Então, quantos diferentes ~k0s são permitidos dentro de intervalo [ ; + d ]? Este número de estado é igual ao número de possíveis inteiros não negativos, fl; m; ng que satisfaz a desigualdade,
2 c L 2 < l2+ m2+ n2< 2 + d c L 2 :
Para grand valor de L, este número é essencialmente o volume de uma octante da camada esferica de raio interno R =2
c L e o raio externo R + dR = 2 +d c L. Assim, N ( )d = 1 84 R 2dR = 4 8 8 1 cL 3 2d = 4 V c3 2d ; (11)
Na verdade, para obter o número de estados do campo eletromagnético de-vemos multiplicar um fator extra 2 que vem do fato de que o campo eletromag-nético tem dois estados independentes de polarização para cada ~k.
N ( ) ! 2 4 Vc3
2 (12)
A densidade de energia dentro deste intervalo de frequência …ca então, uR( ) = 1 VhEiN( ) = 8 kT c3 2; (13)
que é o resultado obtido por Rayleigh em 1900. Exercício: Qual é a unidade de uR( )?
O fato é que esta expressão reproduz bem os dados experimentais somente na região de pequenas frequências (ver a …gura abaixo para o caso de kT = 1eV ) e para altas frequências, diverge completamente dos dados.
Na …gura acima, a curva solida é os dados experimentais e a curva ponto-tracejada é a fórmula empírica do Wien (1986),
uW( ) =
8 h c3 e
h =kT 3; (14)
que reproduz os dados de espectro à alta frequência, onde h é uma constante fenomenológico para ajustar a curva aos dados experimentais5. Na verdade,
o problema da fórmula de Rayleigh-Jeans não só apenas não reproduz os da-dos experimentais mas muito mais sério. Como a densidade de energia cresce quadraticamente em frequência, a densidade de energia total,
h"i = Z 1
0
d U ( )
…ca in…nita. Isto físicamente não é admissível, pois num equilíbrio térmico, a energia total da radiação não pode ser in…nita.
No mesmo ano, Max Planck inventou uma fórumla interpolante das duas fórmulas Eq.(13) e Eq.(14),
u( ) = 8 c3
h 3
eh =kT 1: (15)
De fato, esta fórmula tem a propriedade, u( ) ! 8kT c3 2; 8 h c3 e h =kT 3; h kT 1; h kT 1; (16) e reproduz os dados em todas faixas de frequências para qualquer temperatura T .
Exercício: Obtenha os limites da Eq.(16).
Se Planck tivesse …cado satisfeito com este resulado apenas, talvez o de-scoberto da Mecânica Quântica tenha sido de outra forma. É fundamental a perseverança do Planck que levou a conclusão de que a espressão como esta pode ser obtida se introduz o hipotese de quantum da energia.
Vamos ver o raciocíneo do Planck. O resultado do Rayleigh e Jeans tem uma estrutura bem simples. A densidade de energia para dada frequência é dada por
U ( ) = 1
VN ( ) hEi;
onde N ( ) é o número de ondas permitidas na cavidade e hEi é a energia média associada para um grau de liberdades do sistema. Se aceitamos que o número
5A busca de tal fórmula foi estimulado pelo desa…o de Kirchho¤ em 1859. A fórmula do Wien reproduz bem os dados experimentais para altas frequências (pequeno comprimento de onda) mas desvia para frequências infra-vermelha.
de graus de liberdades do campo eletromagnético N ( ) é dada pela Eq.(12), a densidade de energia é dada por
u( ) = 1 VhEiN( ) = 8 c3 2 hEi: (17)
Para obter a resposta correta, devemos mudar hEi. Comparando esta expressão com a fórmula de Planck, Eq.(15), temos que ter
hEi ! h
eh =kT 1: (18)
O que tipo de média que daria esta expressão para o “valor médio” de energia? O Planck notou o seguinte fato6.
1 ex 1 = e x 1 e x = e x+ e 2x+ e 3x+ = 1 X n=1 e nx; ex ex 1 = 1 ex 1 + 1 = 1 X n=0 e nx; e 1 X n=0 nxe nx= xd dx 1 X n=1 e nx = xd dx 1 ex 1 = xex (ex 1)2: (19)
Desta forma, podemos escrever x ex 1 = P1 n=0nxe nx P1 n=0e nx :
Utlizando a expressão acima, podemos re-escrever Eq.(18) por (x = h =kT ), h eh =kT 1 = P1 n=0P nh e nh =kT 1 n=0e h =kT : Escrevemos ainda, P1 n=0P nh e nh =kT 1 n=0e h =kT = P1 n=0Ene En=kT P1 n=0e En=kT ; (20) 6Para r < 1, temos 1 + r + r2+ = 1 1 r; e para x > 0; r = e x< 1.
onde En = nh . A expressão acima tem exatamente a forma de valor médio
dos valores das energias fE0; E1; E2; :::g com a probabilidade de cada energia
dada pela distribuição de Boltzman,
P (En) / e En=kT: isto é, hEi = P1 n=0EnP (En) P1 n=0P (En) : (21)
Isto implica que, os valores de energia do campo eletromagnético com a frequên-cia não podem ser continuas, mas só podem assumir valores descretos,
En= nh ; n = 1; 2; ::: (22)
Isto é, a oscilação para cada frequência ocorre como se existisse uma unidade mínima da energia,
E1( )= h :
A existência de uma unidade mínima da energia acima tem um efeito dramático. Para ondas planas com frequência h > kT , a probabilidade de ter oscilação com a energia mínima …ca exponencialmente pequena. Ou seja, não pode os-cilar. Assim, para um dado valor de temperatura, surge um corte natural da frequência acima a qual ondas eletromagnéticas não participam na excitação térmica. Desta forma, podemos mostrar que a energia total não diverge. De fato, " = Z 1 0 d u( ) = 8 c3 Z 1 0 d h 3 eh =kT 1 = 8 h c3 kT h 4Z 1 0 x3 ex 1dx = T4
onde é a constante de Stephan-Boltzman.
Exercício: Expresse o valor da constante de Stephan-Boltzman efetuando a integral da equação acima.
1.3
Efeito fotoelétrico:
A proposta do Planck não foi levado em consideração tão seriamente de im-mediato na comunidade, pois a idéia sobre a natureza de quantum da energia não foi clara. Mas 5 anos depois, A. Einstein encarou a idéia de “quantum” da
energia como a realidade da natureza da onda eletromagnética para explicar o fenômeno conhecido como efeito fotoelétrico.
Quando a superfíce de um metal for irradiada pelo raio X ou luz ultra-violeta, elétrons são emitidos da superfíce. O estudo experimental do Lenard mostrou os seguintes fatos:
1. A energia cinética de cada um dos elétrons não depende da intensidade da radiação mas só depende da sua frequência.
2. O número dos elétrons emitidos é proporcional à intensidade da radiação. Estas propriedades não são possível de ser explicadas pela propriedades on-dulatórias de campo eletromagnético.
Para explicar este fenômeno, Einstein utilizou a idéia do Planck no sentido de que o campo eletromagnético com a frequência é um conjunto de quantum de luz com energia E = h . A intensidade da radiação é proporcional ao número destes quanta contidos na radiação. Além disto, ele supoz que o processo de emissão de um elétron da superfície é provocado pela absorção de um quantum de luz. Após da absorção, o elétron adquire o acrescimo da energia por h . Desta forma, da conservação da energia, a energia cinética máxima do eletron emitido sera dada por
Ee= h V0;
onde V0 é a energia de potencial para o eleton ser liberado da superfíce. Nesta
imagem, quando aumenta a intensidade da radiação, aumentará os números de fótons que incidem a superfíce, e portanto, aumentará a chance de emitir eletrons.
Einstein argumentou que este quantum da radiação, além de carregar a energia E = h , carrega o momento, p = h= , onde é o comprimento da onda. Este trabalho traz ao Einstein o Premio Nobel.
Exercícios: Uma estação de rádio emite a onda eletromagnética de frequência de 100MHz com potência de 50KWatt. Quantos fótons estão sendo emiti-dos por segundo?
1.4
Teoria de Calor Especí…co de Sólidos:
Einstein ainda generalizou a idéia de quantum da energia, como sendo um mecanismo universal de movimento de qualquer sistema, não só a propriedade particular do campo de radiação eletromagnética. Ele notou que a presença de quântum da energia nos movimentos térmicos dos redes cristalinas de sóidos pode se manifestar no comportamento de calor especí…co.
O calor especí…co é de…nido como sendo o aumento da energia interna da matéria para a unidade do aumento da temperatura, sob uma dada condição externa (por exemplo, a pressão constante). No caso de sólidos, a agente de arrumazenar energias térmicas é o movimento vibracional dos átomos nos redes cristalinas. Os movimentos vibracionais destes átomos podem ser considerados
como oscilador harmônico, com uma determinada frequência, !c. O valor desta
frequência depende da propriedade do sólido em questão.
Exercício: Discuta a possível mecanismo que de…ne esta frequência num sólido. Saberia estimar a ordem de grandeza? Existiria tal frequência para um gas?
Da Macânica Estatística, sabemos que quando um oscilador harmônico é submetido num banho térmico de temperatura T , o valor médio da energia é sempre proporcional à energia,
hEi / kT; Portanto, a energia total do sistema é dada por
U = hEiN / NkT;
onde N é o número de átomos da matéria. Desta forma, o calor especí…co de um sólido será
C @U
@T / Nk: (23)
que é constante em temperatura. Este resultado reproduz bem o valor observado para as temperaturas não muito baixas, mas quando a temperatura tende para o absoluto zero, T ! 0, os dados observados comportam bem diferente e tendem para zero. Isto obviamente não occore para Eq.(23). O calor especí…co de qualquer meterial tende a nulo para T ! 0, sendo este comportamento é um fenômeno universal.
Do ponto de vista mecânica clássica, isto não é fácil de entender, pois sabe-mos que o calor é a forma de energia de movimento dos graus de liberdades internas da matéria, e existindo os graus de liberdades, eles acabam absorvendo qualquer quântia da energia térmica. Isto faz com que qualquer graus de liber-dades dinâmicos acaba participando no movimento térmico e a energia média para cada graus de liberdade …ca proporcional a temperatura. Consequente-mente, o calor especí…co …ca constante em temperatura. Einstein notou que isto não será verdade se a forma de oscilação dos átomos também obdesce a quantização do Planck,
En= nh c= n~!c; (24)
onde, seguindo o Dirac, introduzimos a notação, ~ = h
2 : (25)
Esta expressão implica que existe a unidade mínima de energia, Emin = ~!c,
o quantum da energia, para um oscilador com a frequência !c. Se a energia
fornecida pela temperatura do banho térmico for menor que esta unidade mín-ima, o oscilador não será colocado em oscilação. Desta forma, a energia média de oscilação não será mais proporcional a temperatura, mas tenderá a zero para
T = 0. Se os valores da energia de um oscilador com frequência !c são dados
por valores discretos
En = n~!c; n = 1; 2; :::
então, o valor médio da energia de um oscilacor harmônico unidimensional em equilíbrio térmico sob a temperatura T será dada novamente pela Eq.(21),
hEi = P1 n=0En P (En) P1 n=0P (En) = P1 n=0En e En=kT P1 n=0e En=kT = ~!c e~!c=kT 1:
O comportamento do valor médio da energia em função de temperatura é hEi ! ~! kT;
ce ~!c=kT
kT ~!c;
kT ~!c:
Consequentemente o calor especí…co é dado por 3N graus de liberdades ( o fator 3 vem de 3 direção de oscilação independentes ),
C = 3N@hEi @T = 3N (~!c)2e~!c=kT e~!c=kT 1 2 1 kT2: (26)
Para para kT ~!c; ou equivalentemente no limite de ~ ! 0, temos
C ! 3Nk;
que é o resultado clássica (Lei de Dulong-Petit) para o calor especí…co de sólidos. Por outro lado, observamos que para T ! 0,
C !3N (~!c)
2
e ~!c=kT
kT2 ! 0:
Note que a discussão aqui não é mais qualitativa do que quantitativa, só para mostrar o efeito de quantização num processo termodinâmico. A expressão do Einstein para calor especí…co, Eq.(26) ainda mostra um pequeno desvio sis-temático para baixas temperaturas (T 10o), mas isto foi explicado pelo Debye
em 1912, levando em conta as interações entre átomos da rede cristalina.
1.5
Espalhamento de Compton:
A veri…cação da natureza corpuscular da radiação eletromagnética foi feita de forma clara pelo espalhamento de Compton em 1922. Compton observou que se o raio X monocromático irradia a matéria, surgem os componentes de raio X com comprimento de onda maior que da onda incidente. Tal espalhamento de onda não é possível de entender em termos da Equação de Maxwell clássica. A experiência de Compton mostrou que a variação do comprimento de onda
0 é dado por independentemente do comprimento de onda inicial ou
da matéria e apenas em função de ângulo de espalhamento,
Vamos entender este resultado em termos de colisão inelastica do raio X por um elétron na matéria.
Vamos supor que um eletron, inicialmente repouso, é espalhado na direção por uma onda eletromagnética incidindo com a frequência : Do ponto de vista de Einstein, isto corresponde ao processo de colisão entre duas partículas, eletron e fóton, e podemos escrever as leis de conservação de energia e momento:
1. Conservação da Energia:
E0+ mc2= Ee+ E0; (28)
2. Conservação do momento na direção incidente:
p0= pecos + p0cos ; (29)
3. Conservação do momento na direção perperndicular:
0 = pesin + p0sin ; (30)
onde E0 e p0 são energia e momento do fóton incidente, E0 e p0 energia e
momento do fóton …nal, Ee; pe energia e momento do elétron espalhado, o
ângulo de espalhamento do fóton, o ângulo de espalhamento do elétron (note que como na …gura acima, escolhemos < 0) e m é a massa do eletron. No caso de fóton,
E = h ;
p = h= = h =c; e a relação de energia-momento relativístico,
E2= Mf oton2 c4+ p2c2
leva a conculsão de que a massa de fóton, Mf oton 0. Assim, para o fóton,
temos
Ef oton= pc: (31)
Agora, das Eqs.(29) e (30), podemos eliminar como (p0 p0cos )
2
+ (p0sin )2= p2e; ou
Por outro lado, da Eq.(28), temos
(E0 E0) + mc2 2= Ee2= p2ec2+ m2c4;
ou
(p0 p0)2+ 2mc(p0 p0) = p2e; (33)
onde foi utilizada a relação, Eq.(31). Eliminando pedas Eqs.(32) e (33), temos
(p0 p0)2+ 2mc(p0 p0) = p20 2p0p0cos + p0 2;
ou simpli…cando temos
mc(p0 p0) = p0p0(1 cos ):
Dividondo os dois lados por p0p; temos
mc 1 p0
1 p0
= (1 cos ); Em termos de 0s, esta relação …ca …nalmente,
0
0= =
h
mc(1 cos ); (34) que é nada mais que Eq.(27). O processo de espalhamento de Compton mostra claramente a natureza corpuscular da radiação eletromagnética.
Exercício: Repeta as contas utilizando a relação de energia e momento não relativística para o elétron e compare o resultado com o caso relativístico.
1.6
Espectroscopia e Estrutura Atomica:
A descoberta dos espectros atomicos e sua sistemáticos como representados pelas várias séries, tipo Balmer, Lyman, etc vem desa…ando pesquisadores como prob-lema de compreender a estrutura da matéria. Lembre que nesta época, ainda a existência dos atomos não tinha sido estabelicida. Por exemplo, um dos fun-dadores da Mecanica Estatística, Boltzman já era defensor da origem atomica do calor, mas muitos físicos importantes, por exemplo, E.Mach, ou até M.Planck na epoca não tinham acreditados desta teoria. Junto com o descoberto de elétron, a existência da estrutura microscópico …cou mais explicit, e vários modelos atom-icos foram considerados. Mas o que colocou o …nal desta história era a exper-iência de espalhamento de partícula pela uma folha de ouro muito …no, feita pelos dois alunos de E. Rutherford, Marsden e Geiger (este último é conhecido também pelo contador Geiger). O que foi observado nesta experiência é que na medida em que a partícula atravessa a folha de ouro, bastante frequêntemente a partícula …ca de‡etida com grande ângulo. Este tipo de comportamento não pode ser esperado pelo modelo atômico de J.J.Thomson, onde as cargas elétri-cas positivos que compensam as cargas negativas dos elétrons estão distribuidas
continuamente no espaço. O Rutherford demonstrou que se existe um núcleo, bastante pequeno, praticamente considerado ponteforme comparado ao escala atomico, carregado positivamente e tendo a massa grande, o resultado da exper-iência de Geiger-Marsden seria explicado. Assim, foi lançado o modelo atomico de Rutherford. onde os elétrons rodam a volta de núcleo, que tem a carga pos-itiva Z. Como um elétron tem massa apenas 1/2000 do atomo de hidrogênio, praticamente a massa total de um atomo está concentrada no núcleo. Assim, imaginamos que os elétrons giram em torno do núcleo como os planetas giram em tornos do Sol.
Só que este modelo contém um problema extremamente sério. Se consid-eramos que o elétron gira em torno de um núcleo de acordo com a interação eletromagnética entre ele e o núcleo, devido a aceleração centrifuga, o elétron emitiria o campo eletromagnético. Naturamente pela conservação da energia, o movimento do eletron vai perdendo sua energia, e cada vez mais desacere-lado, …nalmente cairia no núcleo. Vamos estimar a vida média desta orbita. Segundo a Equação de Maxwell, a taxa de emissão de energia por uma carga com acelerada é dada por
dEEM dt = 2 3 e2 c3 d~v dt 2 :
Para uma orbita circular de elétron de raio r; a aceleração é dada por m d~v
dt = e2
r2: (35)
Assim, a energia do eletron deve reduzir com a taxa, dE dt = dEEM dt = 2 3 e6 m2c3r4: (36)
Por outro lado, num movimento circular, a energia do eletron é E = e
2
2r: (37)
Eliminando E das Eqs.(36) e (37), temos dr dt = 4 3 e4 m2c3r2:
Resolvendo esta equação diferencial, temos 1 3 r 3 0 r3 = 4 3 e4 m2c3[t t0] :
Exercício: Obtenha a solução acima.
Assim, o intervalo de tempo que o eletron da posição inicial r0 atinge ao
centro r = 0 é dado por
t = 4m
2c3r3 0
e4 ;
Exercício: Calcule o valor de t:
Exercício: O argumento acima tem um problema. Onde?
Se isto fosse verdade, então os elétrons serão absorvidos por núcleo e nemn-hum átomo sobreviveria. Quem que deu o passo correto para solucionar o prob-lema do modelo do Rutherford junto com os probprob-lemas dos espectros atomicos foi o Niels Bohr. Ele introduziu os seguintes hipoteses de trabalho.
1. Consideramos orbitas circulares, apenas.
2. Existem certas orbitas para elétrons em torno do atomo, chamadas de orbitas estacionárias, para qual a irradiação de campo eletromagnético não ocorre. Estas orbitas devem satisfazer a condição de quantização de momento angular,
l = n~; n = 1; 2; :::: (38) Com esta condição, podemos calcular as energias fEng do eletron destas
orbitas.
3. Quando o elétron transita de uma orbita de energia Empara outra orbita
de energia En, deve ser associada uma onda eletromagnética. Esta emissão
ocorre em termos de um único quantum de luz, cuja frequência é dada pela relação de Planck,
h = Em En: (39)
De fato, no caso de átomo de Hidrogêneo, a energia de uma orbita circular com momento angular l é dada por
E = me
2
2l2 ; (40)
e, portanto, utilizando a condição de quantização, temos o espectro descreto da energia, En= me2 2~2 1 n2; n = 1; 2; ::: (41)
Desta forma, a série de Balmer deve corresponder à transição de elétron de uma orbita n geral para n = 2. Assim, da Eq.(39) a frequência da luz associada …ca
= me 2 4 ~3 1 22 1 n2 : (42)
A constante de Rydberg agora é expressa em termos de massa de eletron, sua carga e a constante de Planck.Podemos facilmente deduzir as outras series con-hecidas.
1.7
Velha Mecânica Quântica: Quântização de Bohr-Sommerfeld
A idéia contida no modelo de átomo de Hidrogênio do N.Bohr foi generalizada e formulada numa teoria mais geral pelo Sommerfeld. Ele formulou em seguine forma. Para qualquer movimento periódico, cujo coordenada generailzada q = q(t) e o momento generalizao, p = p(t), sómente permitidas as trajetórias que satisfazem seguinte condição de quantização,
I
P eriodo pdq = n~;
(43) onde a integral é feito sobre um período fechado. Apesar de ter certas aplicações com sucesso, o formalismo da Velha Mecânica Quântica não era uma teoria autosu…ciente como uma teoria fundamental. Primeira, não é possível discutir dinâmicas não periodicos. Segunda, não há justi…cativa de porque a condição de quantização entra no formalismo da mecânica clássica.
Exercício: Aplique a régra de quantização do Sommerfeld para um oscilador harmonico unidimensional com a frequência ! e obtenha o espectro da energia.
1.8
Experiência de Franck-Hertz:
Logo após o trabalho do Bohr, Franck e Hertz planejou uma experiência para veri…car a presença de orbitas descretas de eletron num átomo de Mercúrio. Se-jam fE1; E2; :::g as energias permitidas de orbitas de elétron do átomo. Preparamos
um gás de Mercúrio e injetamos um feixe de eletrons. O eletron incidente colide com um dos eletrons do átomo (praticamente sempre com aquele que está na orbita mais fora ) e espalhado. Suponhe que o elétron alvo esteja no estado E1.
Se a energia do eletron incidente for menor que a diferênça da energia do E1até
o próximo valor de energia E2 da orbita permitida, então, o eletron alvo não
pode sair da orbita. Isto quer dizer que o elétron alvo não pode mudar a sua energia e, portanto, só ocorre a colisão elástica. Mas se o elétron incidente tenha energia maior que E2 E1, além de ter colisão elástica, pode ocorrer também,
a colisão inelástica, transferindo a energia do eletron incidente e levantando o eletron alvo para o estado E2. Neste caso, o eletron espalhado teria a energia
E0 = E (E2 E1). Para energia maior que E3 E1, pode ocorrer ainda as
colisões inelásticas via outros canais, perdendo energia, E00 = E (E
3 E1),
assim por diante. Desta forma, medindo a distribuição de energias de elétrons espalhados como função de energia incidente, devemos observar as in‡uências de descretização das energias das orbitas permitidas do átomo. Esta experiência mostrou que os valores da energia observados coincidem com o modelo de Bohr, veri…cando a presença de espectros descretos de energia de eletron no átomo.
1.9
Hipotese do de Broglie e Experiência de
Davisson-Germer:
A natureza dual do campo de radiação eletromagnética se tornou cada vez mais como um fato irrefutável. O jovem pesquisador, de Broglie, na sua tese de dissertação, propóz um hipótese bastante interessante. Ele lançou a idéia de que a matéria, como elétron, deve ter o comportamento ondulatório, já que a onda eletromagnética tem o comportamento corpusclar. Ele considerou que para uma partícula (elétron) com momento ~p e energia E, deve está associada uma onda com o vetor de onda, ~k = ~p=~, a frequência ! = E=~. Ele discutiu que com esta associação, os estados estacionários do átomo de Hidrogênio do modelo de Bohr pode ser interpretado como sendo ondas estacionárias de orbitas circulares.
A proposta de deBroglie tem chamado atenção de várias pessoas. Vamos considerar que um elétron é acelerado por uma diferença de potencial elétrico V . A energia cinética …nal (não relativística) do elétron após a aceleração …ca,
Ek= 1 2mp 2= eV; e, portanto, p =p2m eV : O comprimento de deBroglie do eletron …ca
=h p = 2 ~c p 2mc2eV ' 12; 3 p V A
onde V é dado em Volt. Quando V 100V olt, então …ca na ordem de 1 A. Assim, podemos esperar que o fenômeno de difração pode ser causado por uma rede cristalina como no caso de raio X. Desta forma, a propriedade ondulatória de elétron …cou com…rmada pela experiência de Davisson e Germer (Laboratório Bell, USA). Eles mostraram o surgimento da padrão de interferência nas intensi-dades do feixe de eletrons espalhados por um cristal. Isto começou no ano 1923, quando Davisson percebeou que surge um padrão sistemático de intensidade dos elétrons espalhados da superfície de cristal, tais como Ni, Mg e Pt. Foi sugerido pelo Elsasser que este fenômeno é uma evidência de propriedade ondulatória de eletron. Em 1925, no seu laboratório, a garrafa de criogenia quebrou e a placa de Ni foi oxidado. Para eliminar a oxidação da superfície, Davisson e Germer aqueceu a placa por longo tempo num vácuo, e quando foi repetido a experiência de espalhamento de eletron com esta placa, a padrão de intensidade …cou mais nítida. Este resultado sugere que a origem deste padrão na intensidade tem no cristal do Ni, pois o processo de aquecemento adotado cria uma estrutura cristalina na placa de Ni. Baseada nesta descoberta pela acidente, Davisson e Germer …zeram experiência em 1927 usando um monocristal grande de Ni, e obteve a relação entre ângulo de espalhamento , momento p de elétron e a interdistância entre cristais d,
h
que é a mesma relação de espalhamento de Bragg para o raio x com complimento de onda ,
d = sin ; se vale a relação de de Broglie,
=h p: Exercício: Deduza a fórmula Eq.(44).
1.10
Interpretação probabilística da função de onda: Função
de onda como “estado” de uma partícula
Desta forma, até a época de 1925, …cou claro que a dualidade onda partícula é uma propriedade universal no mundo microscópico. A dinâmica do campo eletromagnético tem sido considerado como uma onda mas possui também a propriedade corpuscular. O quantum da radiação eletromagnética é chamado de fóton. Por outro lado, o elétron tem sido como uma partícula mas agora sabemos que possui também a propriedade ondulatória. Entretanto, dentro do conceito clássico de onda e partícula, não é possível uni…car as duas propriedades numa entidade só. Talvez pode se pensar que, como no caso de onda sonora, ou onda num ‡uido, a propriedade ondulatório é o efeito cooperativo de muitas partículas. Ou seja, no caso de ondas eletromagnética, pode se imaginar que o fenômeno ondulatório é a consequência de movomento coletivo de muitos fótons. Certa forma, isto não é errado pois numa onda eletromagnética clássica, milhares de fótons estão envolvidos.
Exercício: Estime quantos fótons estão sendo emitidos por segundo de uma lampada de 100W. Considere a lampada emite a luz monocromática de comprimento de onda 5000 A:
Mas a situação não é tão simples assim. Lembre o caso de onda associada com o elétron do átomo de Hidrogênio. A onda neste caso se refere a uma única partícula! Inicialmente, o de Broglie, ou até Schrödinger que propós a equação de movimento para função de onda, pensaram que a onda é da matéria, ou seja, o elétron é uma existência como um meio contínuo, e este meio con-tínuo que apresenta o fenômeno ondulatório. Mas, este tipo de interpretação não é compatível com vários fatos obervacionais, por exemplo, o processo de espalhamento de Compton. Aí, o eletron comporta como se fosse uma única partícula, e não como meio contínuo. Foi M.Born que introduziu o conceito de probabilidade na interpretação desta função de onda da matéria. Nesta inter-pretação, a intensidade da onda de de Broglie para uma partícula está associada com a probabilidade de se encontrar esta partícula naquela posição. Ao mesmo tempo, se tornou cada vez mais estabelecido o conceito de que a função de onda que representa o estado de uma partícula, diferentemente da mecânica clássica onde o par de coordenadas (r; p) representava o estado de uma partícula. Na próximia seção, vamos analizar este aspecto mais em detalhe.
2
Função de Onda e Fenômeno de Interferência
Na seção anterior, vimos que o comportamento de uma partícula microscópica é descrita em termos de uma onda que chamamos de função de onda. Aqui, vamos estudar um pouco mais detalhadamente sobre a função de onda associada a uma partícula.
2.1
Função de Onda como Amplitude de Probabilidade
Vamos considerar uma experiência de espalhamento de ‡uxo de eletrons por uma cristal (Davisson e Germer). Pela analogia com o caso de espalhamento de Bragg da onda eletromagnética (luz) pela rede de cristal, o padrão da interferência observda com os máximos da intensidade,
h
pd = sin ; (45)
sugere que a intensidade de elétrons espalhados deve ser escrita em termos de uma amplitude,
I = j (~r; t)j2;
onde deve ser dada por uma superposição das ondas esféricas geradas em cada ponto da rede, (~r; t) =X l(~r; t) com l 1 j~r ~rlj e i!t+ikj~r ~rlj:
Aqui, ~rl é a posição de l esima rede.
Usando a relação de de Broglie, o número de onda k e a frequência ! são relacionados com o momento e a energia da partícula, respectivamente,
k = p=~; ! = E=~;
sendo p = j~pj é o modulo do momento de elétron e E a energia. Podemos obter a padrão de interfefência na intensidade, Eq.(45), exatamente da mesma maneira do caso de uma onda eletromagnética.
A questão é, “o que é esta onda no caso de elétron”? O que representa a amplitide, ou seja a função de onda ? No caso de Equação de Maxwell, sabemos que a amplitude representava os campos elétrico e magnético. No caso de um ‡uxo de elétrons, uma idéia natrual para seria a “amplitude”da densidade, já que I representa a densidade de de eletrons espalhados. Nesta visão, estariamos considerando o fenômeno de onda como consequência do efeito coorperativo de muitos eletrons. Representamos esta onda pela função . Quando se trata de um feixe de elétrons que contém milhares de partículas, a consideração acima parece ser razoável e compreensível.
Mas, note que a experiência do tipo Davisson-Germer pode ser feito com a intensidade do feixe arbitrariamente reduzida de tal forma que observamos eletrons espalhados um a um e não como milhares deles. Isto é, em vez de utilzar um feixe de eletrons, podemos fazer uma série de experiências em que os elétrons são lançados um a um, e registramos cada eletron separadamente numa chapa fotográ…ca. Neste caso, para cada processo de espalhamento, obseriamos um único elétron espalhado num certo ângulo . Naturalmente não há distribuição de intensidade, nem padron de interferência cada uma das chapas. O eletron é apenas um ponto na chapa, o qual seria manifestamento de natureza corpúscula do elétron. Então onde foi o comportamento de onda? Sera que a redução da intensidade, ou a execução de medição de elétrons um a um destroi o padrão de interferência?
Experimento feito no laboratório do Hitachi *Tonomura, et al), onde o feixe do elétron irradia a rede de difração cristalina. Os elétrons foram observados no detetor sensível a posição (microscópio eletronico). O feixe foi reduzido de tal forma que os elétrons foram observados um a um (…g-a). Mas quando acumula
os resultados individuais (…gs b,c d), começa aparecer o padrão da interferência que é característica da rede de difração.
Uma surpresa é que quando superpormos todas as chapas, a densidade de pontos acumulados mostra um padrão de interferência exatamente igual aquele observado no caso da experiência feita com o ‡uxo de eletrons! O comporta-mento ondulatório não é perdido, mesmo que se faça a experiência de espal-hamento de elétron separadamente. Este resultado mostra claramente que a propriedade ondulatória não é uma propriedade cooperativa de muitos elétrons,
mas sim, uma propriedade associada a cada elétron. Esta propriedade se mani-festa somente estatistícamente. Em outras palavras, a propriedade ondulatória de um estado de elétron (no exemplo acima, o estado de eletron espalhado pela rede cristalina) aparece no resultado estatístico dos muitos elétrons que per-tencem a este estado.
Podemos resumir a situação como:
A função de onda representa um estado de elétron, mas a natureza ondulatória ( i.e., a forma de distribuida no espaço) só se manifesta quando acumular as medidas de vários elétrons.
É importante emfatizar que, quando falamos que o estado de um elétron é dado pela uma função de onda , estamos nos referindo ao fato de que as propriedades desta partícula são determinadas probabilisticamente pela função e não necessariamente fornece a previsão de algum valor especí…co de uma quantidade física observável deste elétron.
Outro ponto importante é que, para um elétron de um dado estado , uma observação deste eletron em geral vai alterar o seu estado. Isto é claro, pois a descrição do estado é probabilistica e, portanto, uma vez obtida a informação, o eletron não necessariamente vai pertencer mais no mesmo estado . Isto em geral ocorre quando se trata de um estado probabilistico. Por exemplo, vamos considerar um bilhete de loteria, tipo raspadinha. Descrevemos o estado deste bilhete em termos de probabilidade de acertar o prêmio. Antes de raspar o bilhete, o estado dele seria descrita pela probabilidade P = 1=n, onde n é o número total dos bilhetes emitidos. Mas, após a raspagem e veri…cou-se que se este bilhete não acertou o prêmio, o estado deste bilhete (acabou de ser con…rmado que não acertou) se torna ao estado com probabilidade P = 0. Pelo contrário, se acertar, o estado se torna se descrito com a probabilidade P = 1.
Para veri…car se o estado geral de um bilhete é descrito pela probabili-dade P = 1=n, temos que repetir o sorteiro muitas vezes. Assim, a a…rmação probabilistica se con…rma só se repetimos sorteios sobre muitos bilhetes. Cada sorteio, o bilhete sorteado tem que ser descartado. O processo de observação na mecânica quântica tem este aspecto. Ou seja, para determinar o estado de um elétron representado pela uma função de onda , temos que preparar muitos eletrons no mesmo estado e repetir as observações, descartando cada elétron observado.
Vamos formular mais quantitativamente. Postulamos que:
O estado de um elétron7 num dado instante t é completamente
determi-nado pela uma função (em geral complexa), (~r)
que determina a amplitude de probabilidade de se encontrar esta partícula
7Aqui, só para …xar a idéia, falamos de um elétron, mas pode ser qualquer partítula microscópica.
na posição ~r8. Ou seja, a probabilidade de encontrar esta partícula num elemento de volume d3~r é dada por
dP = j (~r)j2d3~r:
Já que a probabilidade total de se encontrar a partícula no espaço inteiro deve ser um (i.e., a partícula deve estar em alguma lugar), devemos ter
Z dP =
Z
j (~r)j2d3~r = 1; ou seja a função de onda deve ser normalizada.9
Exercícios: Normalize as seguintes funções de ondas onde r = j~rj é a coordenada radial. 1. = e r2=2 ; 2. = 1 r2+ r2 0 ; 3. = (R r);
onde (x) é a função degrau de Heaviside, (x) = 1 para xi0, e (x) = 0 para x < 0.
2.2
Valor esperado de posição
Para uma função de onda normalizada, chamaremos a quantidade, (~r) j (~r)j2= (~r) (~r);
8Já que o estado pode variar em cada instante, a função de onda depende também no tempo e, portanto, deveriamos escrever mais precisamente
(~r; t):
Mas aqui, para emfatizar o conceito de “estado”, omitimos a dependência temporal da função de onda.
9Se uma função for não normalizada, podemos sempre normalizar-a por,
! p1 N ; onde N = Z j (~r)j2d3~r:
a densidade de probabilidade. Com esta densidade de probabilidade, podemos calcular valor esperado (valor médio) de, por exemplo, posição. O valor esperado de posição …ca, h~ri = Z d3~r ~r = Z d3~r ~r j j2 = Z d3~r ~r (~r; t) (~r; t); ou, em termos de componentes,
hxi = Z d3~r x = Z d3~r x (~r; t) (~r; t); hyi = Z d3~r y = Z d3~r y (~r; t) (~r; t); hzi = Z d3~r z = Z d3~r z (~r; t) (~r; t):
Em geral, de…nimos o valor esperado de uma quantidade que depende apenas da posição O = O(~r) é dado por10
hOi Z
d3~r O(~r) (~r; t) (~r; t) = Z
d3~r (~r; t) O(~r) (~r; t): (46) Exercícios: Prove as seguintes a…rmações:
1. O valor de esperado de uma constante é a própria constante, i.e., hci = c:
2. O valor esperado de soma das duas quantidades é a soma dos valores esperados de cada um.
hO1+ O2i = hO1i + hO2i:
Exercícios: 1. Mostre que o valor esperado de posição é nulo para uma função de onda simétrica em relação a origem. Também mostre que o valor esperado de posição é nulo para uma função de onda anti-simétrica em relação a origem.
2. Qualquer função pode ser decomposta em parte simétrica e parte an-tisimétrica. Assim, considerando a a…rmação acima, pode-se concluir que o valor esperado de posição é nula para qualquer função de onda ? Se não, porque?
1 0É importante lembrar sempre que, quando falamos em valor esperado de alguma coisa, digamos O (chamaremos de observável ), estamos referendo nos as repetições de medidas deste observável sobre um conjunto de (in…nitos) elétrons que estejam num estado identico. Mas isto não quer dizer que tem que ter tal conjunto de fato. O signi…cado de valor esperado seria, “se …zessemos a série de (in…nitas) medições, teriamos o valor esperado dado por..”.
3. Considere uma translação de sistema de coordenadas, digamos o sis-tema S para outro sissis-tema S0 tal que
~r ! ~r0 = ~r + ~b; onde ~b é um vetor constante.
(a) Qual é a função de onda 0(~r0) no sistema S0, se a função de
onda no sistema S é dada por (~r)?
(b) Qual é o valor esperado de posição no sistema S0 quando o valor
esperado de posição no sistema S é dado por h~ri?
Note que o valor esperado de O não necessariamente o valor mais frequente que aparecem nesta série de medidas. Por exemplo, consideramos a distribuição de renda por pessoa no Brasil. Seja x a renda de uma pessoa. A distribuição de renda pode ser expressa em termos de número dN de pessoas que tenham a renda no intervalo [x; x + dx], (histograma)
dN = n(x)dx
onde n(x) é a altura do histograma. A população total é N =
Z
n(x)dx;
Assim, podemos considerar a densidade de probabilidade (x) por (x) n(x)
N ;
tal que Z
(x)dx = 1.
O signi…cado desta densidade é que a probabilidade (denotamos por P ) de uma pessoa escolhida arbitrariamente tenha a sua renda entre [x; x + dx] é dada por
P [x; x + dx] = (x)dx:
O valor esperado da renda é de…nida como sendo o valor da renda por pessoa quando a renda total fosse distribuida iguamlente. Assim,
hxi = renda totalpopulação = R
xn(x)dx
N =
Z
x (x)dx;
ou seja, quando escolher uma pessoa arbitrariamente, ‘espera-se ’que esta pessoa tenha o rendimento hxi. Mesmo que tenha a ‡utuação, pelo menos esperari-amos que o rendimento dele não difere tanto deste valor. Sabemos bem que a realidade não é bem isto. Dependendo da distribuição, uma pessoa escolhido
arbitrariamente pode ter o rendimento bem diferente do valor médio. Por ex-emplo, se o pais inteiro for devidido em apenas duas categorias, muito ricos, e muito pobres. Neste caso, pode não encontrar nenhuma pessoa que tenha o rendimento igual ao valor médio.
Quando falar em distribuição, uma quantidade importante além do valor médio é o desvio médio. Uma medida que indica quanto grande a ‡utuação dos valores em torno do valor médio é o desvio quadrado médio, e é de…nido por
h x2i h(x hxi)2i = Z
dx (x hxi)2 (x): (47) Exercícios: Para seguintes distribuições, calcule o desvio quadrado médio.
1. (x) / e x; 0 x 1 2. (x) / e (x b)2; 1 < x < 1 3. (r) / r2e r2; 0 r < 1 Exercício: Prove que
h x2i = hx2i hxi2:
2.3
Princípio de Superposição
No caso de ondas eletromagnéticas, vale o princípio de superposição, isto é, se os campos, ~E1e ~E2 for superposto, o campo resultante é dado por
~
E = ~E1+ ~E2:
É esta superposição dos campos que gera o fenômeno de interferência. Desta forma, para obter o resulatdo de Davissom-Germer, o mecanismo de super-posição de ondas é fundamental. Vamos aceitar o seguinte princípio:
Sejam 1 e 2 as funções de onda para dois estados possíveis de uma
partícula. Então, a função de onda superposta = 1+ 2
corresponde também um estado da partícula.
Para ter a idéia, vamos considerar uma experiência em que um ‡uxo de elétrons incide um anteparo com duas fendas uma na posição, digamos A e outra na posição B. Em primeira lugar, fazemos experiência com apenas a fenda A aberta, fechando a fenda B. Registramos a intensidade dos elétrons que atinge a um outro anteparo atráz desta fenda como ilustrado na Fig. 3-a. Na outra experiência, registramos a intensidade dos elétrons com a fenda B
aberta, mas a fenda A fechada (Fig.3-b). Na terceira experiência, registramos a intensidade dos eletrons com ambas fendas abertas (Fig.3-c). O estado da última experiência corresponde a superposição das duas experiências anteriores. Neste caso, a função de onda é a soma das funções de ondas das experiências enteriores. Vejamos que a curva da intensidade no caso de duas fendas abertas não é a superposição das intensidades de cada experiências separadas,
j A+Bj2= j A+ Bj26= j Aj2+ j Bj2: (48)
Esta diferênça é a característica fundamental do fenômeno quântico. Quando ambas fendas abertas, aparece um padrão de interferência na curva de intensi-dade.
Como discutimos anteriormente, esta padrão de interferência não é por causa de interferência de muitos elétrons. Podemos fazer a experiência registrando elétrons um a um em cada placa fotográ…ca. O padrão da interferência emerge quando superpomos todos os placas fotogra…cas e vejamos os pontos acumalos. Sendo assim, pode-se pensar seguinte modo. Quando fazemos as experiências para cada um dos elétrons, já que cada elétron nunca passaria as duas fendas ao mesmo tempo, os elétrons devem estar passando aleatoriamente uma das fendas, A ou B. Então, podemos fechar uma das fendas A ou B aleatoriamente com mesma probabilidade, e devemos ter o mesmo resultado. Mas neste caso, teremos a intensidade …nal é a simples soma das intensidades de cada caso,
I = IA+ IB= j Aj2+ j Bj2; (49)
como é de se esperar. A diferênça entre Eqs.(48) e (49) indica que o raçocínio de que cada um dos elétron passa apenas uma das fendas é errado. Mesmo sendo apenas um elétron, ele percebe a presença de duas fendas abertas!
Os dois pontos, isto é,
1) vale o princípio de superposição para função de onda,
2) a função de onda (~r) é amplitude de probabilidade de encontrar a partícula na posição ~r,
resumem a essência da dualidade onda-partícula. Uma partícula encontra se localizado num ponto quando observamos sua posição, mas sua dinâmica com-porta como se fosse um objeto não localizado. Em outras palávras, não podemos considerar um trajetório para movimento de uma partícula. Na verdade, a situ-ação é pior. Enquando não observada, não há posição da partúcula de…nida!
A a…rmação acima pode aparentar absurdo. Uma partícula ponteforme passa ao mesmo tempo as duas fendas simultaneamente. Isto contradiz completamente a imagem clássica de uma partícula ponteforme, que teria uma única trajetória. Mas, por outro lado, a idéia de que uma partícula ponteforme tem que obdescer uma trajetória pode ser um preconceito criado por nós que observamos apenas fenômenos macroscópicos!
2.4
Estado de Momento e Princípio de Incerteza
Segundo de Broglie, uma partícula de momento p é representada pela uma onda plana,
~
p(~r) ei~p ~r=~:
Inversamente, para uma onda plana de comprimento de onda , uma partícula de momento p = h= está associada. Curiosamente, neste caso, a densidade de probabilidade de encontrar a partícula …ca constante,
(~r) = j ~p(~r)j2= const:
Isto é, a partícula estaria em qualquer lugar. O desvio quadrado médio da posição …ca in…nito,
h ~r2i ! 1: (50)
Exercícios: Veri…que a a…rmação acima.
Para uma função de onda geral, (~r), vamos considerar sua transformada de Fourier, (~k) = 1 (2 )3=2 Z d3~r e i~k ~r (~r); (51) e seu inverso, (~r) = 1 (2 )3=2 Z d3~k e+i~k ~r (~k): (52) Podemos re-escrever estas relações em termos de ~p por
(~p) = 1 (2 ~)3=2 Z d3~r e i~p ~r=~ (~r); (53) e (~r) = 1 (2 ~)3=2 Z d3~p e+i~p ~r=~ (~p): (54) O estado expressa pela Eq.(54) pode ser visto como uma superposição de ondas planas,
e+i~p ~r=~ com respectiva amplitude
(~p):
Pela propriedade de transformada de Fourier, vale a igualdade de Parseval, Z d3~r j (~r)j2= Z d3~p (~p) 2 : (55)
As Eqs.(54) e (55) sugere que a quantidade (~p)
2
seja a densidade de probabil-idade para a partícula esteja no estado da onda plana e+i~p ~r=~. Ou seja, quando
a medição do momento de elétron for feita, a densidade de probabilidade de ser encontrado no estado de momento ~p é dada por (~p)
2
. Esta hipótese pode ser veri…cada experimentalmente e de fato veri…camos o seguinte a…rmação:
A transformada de Fourier, Eq.(53) é a amplitude de probabilidade para encontrar o elétron com momento ~p.
A a…rmação acima tem um signi…cado importante. Uma vez conhecemos a função de onda (~r), então, sem fazer as medidas experimentais, podemos obter a amplitude de probabilidade em termos de momento, (~p), e vice-versa. Basta fazer a transformação de Fourier, uma operação matemática. Ou seja, a função de onda em posição já contém a informação sobre momento também. Podemos explorar este fato.
Sabendo a densidade de probabilidade em momento, podemos calcular o valor esperado do momento por
h~pi = Z d3p ~~p (~p) 2 = Z d3~p (~p) ~p (~p)
Podemos expressar o valor esperado do momento acima em termos da função de onda (~r). Para isto, substituimos a Eq.(53) à expressão acima,
h~pi = Z d3~p " 1 (2 ~)3=2 Z d3~r1e i~p ~r1=~ (~r1; t) # ~ p " 1 (2 ~)3=2 Z d3~r2e i~p ~r2=~ (~r2; t) # = 1 (2 ~)3 Z d3~p Z d3~r1 Z d3~r2 (~r1; t) e+i~p ~r1=~~p e i~p ~r2=~ (~r2; t) = 1 (2 ~)3 Z d3~r1 Z d3~r2 (~r1; t) Z d3~p ~p e+i~p (~r1 ~r2)=~ (~r 2; t): (56)
A quantidade dentro de [ ] da expressão acima …ca Z d3~p ~p e+i~p (~r1 ~r2)=~= Z d3~p 0 @ ppxy pz 1 A e+i~p (~r1 ~r2)=~ = ~ i Z d3~p 0 @ @=@x@=@y11 @=@z1 1 A e+i~p (~r1 ~r2)=~ = ~ ir~1 Z d3~p e+i~p (~r1 ~r2)=~ = ~ ir~1 h 2 h 3 (~r1 ~r2) i ; (57)
onde ~ r1 0 @ @=@x@=@y11 @=@z1 1 A : Substituindo a Eq.(57) à Eq.(56) temos
h~pi = Z d3~r1 Z d3~r2 (~r1) ~ ir~1 (~r1 ~r2) (~r2) = Z d3~r1 (~r1) ~ ir~1 Z d3~r2 (~r1 ~r2) (~r2) = Z d3~r1 (~r1) ~ ir~1 (~r1) = Z d3~r (~r) ~ ir (~r):~ (58)
Esta é a expressão do valor médio de momento (vetor) em termos de função de onda (~r). O valor esperado de componento x do momento ~p para o estado é dado naturalmente hpxi = Z d3~r (~r) ~ i @ @x (~r): (59) Exercícios: Mostre Z 1 1 eik(x x0)dk = 2 (x x0); Z 1 1 e~ip(x x0)dp = 2 ~ (x x0); Z d3~p e~ip~(~r ~r0) = (2 ~)3 3(~r ~r0)
A comparação desta expressão com a Eq.(46) sugere que o momento de partícula não é um número, mas comporta como sendo um operador de derivada que atua sobre a função de onda em posição,
~
p !~ir:~ (60)
Um cálculo direto mostra também que h~p2i Z d3~p ~p2 (~p) 2 = Z d3~p (~p) ~p2 (~p) = Z d3~r (~r) ~ ir~ 2 (~r): (61)
Assim, o desvio quadrado médio de momento pode ser calculado por, h ~p2i = h~p2i h~pi2:
Vamos ver um exemplo. Para simpli…car as contas, escolhemos um problema unidimensional e suponha que a função de onda de uma partícula é dada por uma distribuição Gaussiana,
(x) = a
1=4
e ax2=2: (62)
Exercícios: Veri…que a normalização da função de onda acima.
O valor esperado de x é nulo pois a função de onda é simétrica: hxi =
Z 1
1x j (x)j 2
dx = 0: O desvio quadrado médio …ca,
h x2i = a 1=2Z 1 1 dx x2e ax2 = a 1=2 @ @ ( a) Z 1 1 dx e ax2 = a 1=2 @ @ ( a) r a = 1 2a. (63)
Por outro lado, temos hpi = Z d3~r (x) ~ i @ @x (x) = a 1=2~ i Z 1 1 dx ( ax) e ax2= 0; e h p2i = hp2i hpi2 = hp2i = Z d3~r (x) ~ i @ @x 2 (x) = a 1=2( ~2) Z 1 1 dx a + a2x2 e ax2 = a 1=2( ~2) p 2 p a = ~ 2 2 a: (64)
Das Eqs.(63) e (64), temos
h x2i h p2i = ~
2
4 : (65)
A Eq.(65) mostra que o produto das indeterminações em momento e em posição não podem ser reduzidas arbitrariamente para o estado dado pela função de onda Eq.(62). Se escolher a muito grande, podemos reduzir a incerteza em posição, mas em compensação, a incerteza em momento cresce linearmente em a. Inversamente, se escolhemos a bem pequeno de tal forma que a incerteza em momento seja mínima, a incerteza em posição cresce.
Para um estado mais geral, podemos provar11 que a relação entre os desvios
quadrados médios em posição e em momento …ca x2 p2 ~
2
4 : (66)
Ou seja, o produto de indeterminações em posição e em momento associado a um estado nunca pode ser menor que ~=2. Este fato é conhecido como Princí-pio de Incerteza, primeiramente introduzido por Heisenberg. O PrincíPrincí-pio de Incerteza mostra que, para uma partícula, se localiza a partícula, a informação sobre momento …ca perdida, e se o momento da partícula for determinada, a informação sobre sua posição …ca perdida. Em outras palavras, as medições precisas de posição e momento para uma única partícula não podem ser feitas simultaneamente. Isto é a razão pela qual no caso de um estado de onda plana (o estado de momento bem de…nida, ou seja p = 0), a indeterminção em posição …cou in…nita como ser visto na Eq.(50).
O princípio de Incerteza vale para cada grau de liberdade do sistema. Isto é, para uma partícula em 3 dimensão, temos
x2 p2x ~ 2 4 ; y2 p2y ~ 2 4 ; z2 p2z ~ 2 4 :
O Princípio de Incerteza é uma consequência inevitável da dualidade onda-partícula e as vezes muito útil de entender qualitativamente certos comprtamen-tos dos fenômenos quânticos. Por exemplo, a energia cinética de uma partícula de massa m em uma dimensão pode ser escrita como
K = 1 2mp
2:
Neste caso, se esta partícula esteja con…nada num intervalo espacial de largura L,
L 2 < x <
L 2; então, por de…nição,
x ' L;
e, portanto,
h p2i L~
2
:
No centro de massa do sistema, hpi = 0. Consequentemente, p2 = hp2i: Assim, temos hKi = 1 2mp 2 = 1 2m p 2 1 2m ~ L 2 :
Ou seja, quanto mais espremido o espaço, a energia cinética da partícula sob inversamente proporcional a quadrado da dimensão do espaço. Isto certa forma explica porque o elétron ao volta de núcleo de Hidrogênio não se colapsa ao origem, pois para localizar o eletron numa regiao perto da origem, precisa-se cada vez mais alta energia.
Exercícios: Para uma partícula unidimensional, veri…que o Pincípio de Incerteza para cada uma das seguintes funções de onda (N é a constante de normaliza-ção). 1. (x) = N e ajxj 2. (x) = N xe ax2 3. (x) = N e ax2+ip0x=~:
