Antonio G. Thomé
thome@nce.ufrj.br
Sala – AEP/1033
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Universidade Federal do Rio de Janeiro
-IM/DCC & NCE
IM/DCC & NCE
Tratamento da Imagem
Transformações
Tratamento da Imagem
Tratamento da Imagem
Transformações
Transformações
2
Tratamento de Imagens - Sumário Detalhado
z
Objetivos
z
Alguns Conceitos Básicos
9
Transformações Lineares
9
Convolução e Correlação de Funções
9Transformada de Fourier
9
Transformada Bidimensional de Fourier
z
Transformadas em Imagens
9
Transformadas Geométricas
9Transformadas Radiométricas
9Transformadas Morfológicas
9Outras Transformadas
3
Tratamento da Imagem
Aquisição e Representação Tratamento Pré-processamento SegmentaçãoExtração de Características e Descrição Reconhecimento e Interpretação
4
Objetivo do Tratamento da Imagem
Melhorar a qualidade da imagem no que tange a:
9
Reduzir o nível de ruído
9
Melhorar o contraste (nitidez)
9
Reforçar o contorno dos objetos da imagem
9
Retirar regiões ou tonalidades não desejadas
9
Reduzir distorções ...
5
Operador Linear
Se G é um operador que transforma uma imagem f em uma
imagem g:
G: f g
G é um operador linear se:
G[a f + b g] = aG[f] + bG[g]
G[a f + b g] = aG[f] + bG[g]
6
Convolução de Funções
Matematicamente, a convolução de duas funções contínuas é
dada por:
∫
∞
∞
−
−
=
∗
g
x
f
α
g
x
α
d
α
x
f
(
)
(
)
(
)
(
)
Esta operação retorna a área da interseção das funções, resultante
do deslizamento de uma função sobre a outra
7
Convolução - Exemplo
1 1f(a)
a
1 1/2g(a)
a
1/2g(-a)
a
-1 1/2g(x - a)
a
-1 x 1/2f(a) g(x-a)
a
-1 1 x 0≤x ≤ 1 1/2f(a) g(x-a)
a
-1 1 x-1 1≤x ≤ 2 x8
Convolução – Resultado Final
1/2
f(a) g(x-a)
a
-1 1 x 0≤x ≤ 1 1/2f(a) g(x-a)
a
-1 1 x-1 1≤x ≤ 2 x 0 1 2 1/2f(x)*g(x)
x9
A Função Impulso (Delta)
É por definição uma função que só existe num determinado
ponto do espaço ou do tempo.
1
0
0
0
0
=
∫
−
=
−
∫
+
−
∞
∞
−
x
x
dx
x
x
dx
x
x
)
(
)
(
δ
δ
x
x
0δ(x-x
0)
1
10
)
(
)
(
)
(
x
x
x
0
dx
f
x
0
f
−
=
∫
∞
∞
−
δ
A
a
f(a)
a
-T
T
g(a)
a
f(x)*g(x)
f(x)*g(x)
-T
-T+a
a
T
T+a
x
A
11
Convolução para Funções Discretas
Seja:
f(x)= {f(0), f(1), f(2), ..., f(A-1)} / g(x)= {g(0), g(1), ..., g(B-1)}
Correlação assume f(x) e g(x) periódicas com período M.
M
≥ A + B -1
−
≤
≤
−
≤
≤
=
1
0
1
0
M
x
A
A
x
x
f
x
f
e
(
)
(
)
−
≤
≤
−
≤
≤
=
1
0
1
0
M
x
B
B
x
x
g
x
g
e
(
)
(
)
∑
−
=
−
=
1
0
1
M
m
e
e
e
e
f
m
g
x
m
M
x
g
x
f
(
)
*
(
)
(
)
(
)
12
Convolução para Funções Bidimensionais
−
≤
≤
−
≤
≤
−
≤
≤
−
≤
≤
=
1
1
0
1
0
1
0
N
y
B
ou
M
x
A
B
y
e
A
x
y
x
f
y
x
f
e
(
,
)
(
,
)
−
≤
≤
−
≤
≤
−
≤
≤
−
≤
≤
=
1
1
0
1
0
1
0
N
y
D
ou
M
x
C
D
y
e
C
x
y
x
g
y
x
g
e
(
,
)
(
,
)
∑ ∑
−
=
−
=
−
−
=
1
0
1
0
1
M
m
N
n
e
e
e
e
f
m
n
g
x
m
y
n
MN
y
x
g
y
x
f
(
,
)
*
(
,
)
(
,
)
(
,
)
13
Correlação de Funções
Matematicamente, a correlação de duas funções contínuas é
dada por:
∫
∞
∞
−
+
=
f
α
g
x
α
d
α
x
g
x
f
(
)
o
(
)
*
(
)
(
)
Esta operação retorna a área da interseção das funções, resultante
do deslizamento de uma função sobre a outra sem rebatimento.
14
Correlação - Exemplo
1 1f(a)
a
1 1/2g(a)
a
1/2g(x + a)
a
-1 x 1/2f(a) g(x+a)
a
-1 1 x -1≤x ≤ 0 1/2f(a) g(x+a)
a
-1 1 x 0≤x ≤ 115
Correlação - Exemplo
1/2f(a) g(x+a)
a
-1 1 x -1≤x ≤ 0 1/2f(a) g(x+a)
a
-1 1 x 0≤x ≤ 1 0 1 -1 1/2f(x) o g(x)
x16
Correlação para Funções Discretas
Seja:
f(x)= {f(0), f(1), f(2), ..., f(A-1)} / g(x)= {g(0), g(1), ..., g(B-1)}
−
≤
≤
−
≤
≤
=
1
0
1
0
M
x
A
A
x
x
f
x
f
e
(
)
(
)
−
≤
≤
−
≤
≤
=
1
0
1
0
M
x
B
B
x
x
g
x
g
e
(
)
(
)
∑
−
=
+
=
1
0
1
M
m
e
e
e
e
f
m
g
x
m
M
x
g
x
f
(
)
*
(
)
*
(
)
(
)
()
*
complexo
conjugado
de
f
f
⇒
17
Correlação para Funções Bidimensionais
−
≤
≤
−
≤
≤
−
≤
≤
−
≤
≤
=
1
1
0
1
0
1
0
N
y
B
ou
M
x
A
B
y
e
A
x
y
x
f
y
x
f
e
(
,
)
(
,
)
−
≤
≤
−
≤
≤
−
≤
≤
−
≤
≤
=
1
1
0
1
0
1
0
N
y
D
ou
M
x
C
D
y
e
C
x
y
x
g
y
x
g
e
(
,
)
(
,
)
∑ ∑
−
=
−
=
+
+
=
1
0
1
0
1
M
m
N
n
e
e
e
e
f
m
n
g
x
m
y
n
MN
y
x
g
y
x
f
(
,
)
*
(
,
)
*
(
,
)
(
,
)
18
Transformada de Fourier
)
( x
f
função contínua de “x” real
∫
=
=
ℑ
∞
∞
−
−
dx
e
x
f
u
F
x
f
(
)}
(
)
(
)
j
2
π
ux
{
−
=
j
onde
1
∫
=
=
ℑ
∞
∞
−
−
1
{
F
(
u
)}
f
(
x
)
F
(
u
)
e
j
2
π
ux
du
)
(
)
cos(
ux
jsen
ux
e
−
j
2
π
ux
=
2
π
−
2
π
19
Transformada de Fourier
Existe sempre que
f(x) for contínua e integrável e F(u) for
integrável (condições quase sempre satisfeitas na prática).
)
(
)
(
)
(
u
R
u
jI
u
F
=
+
Geralmente complexa
2
1
2
2
(
)
(
)]
/
[
)
(
u
R
u
I
u
F
=
+
Espectro de Fourier
=
Φ
−
)
(
)
(
tan
)
(
u
R
u
I
u
1
Ângulo de fase
)
(
)
(
)
(
u
F
u
e
j
u
F
=
Φ
2
)
(
)
(
u
F
u
P
=
Espectro de Potência
20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Função no domínio do es paço
