Tratamento da Imagem Transformações

(1)

Antonio G. Thomé

thome@nce.ufrj.br

Sala – AEP/1033

Universidade Federal do Rio de Janeiro

-IM/DCC & NCE

IM/DCC & NCE

Tratamento da Imagem

Transformações

Tratamento da Imagem

Transformações

(2)

2 Tratamento de Imagens - Sumário Detalhado

z

Objetivos

z

Alguns Conceitos Básicos

9

Transformações Lineares

9

Convolução e Correlação de Funções

9

Transformada de Fourier

9

Transformada Bidimensional de Fourier

z

Transformadas em Imagens

9

Transformadas Geométricas

9

Transformadas Radiométricas

9

Transformadas Morfológicas

9

Outras Transformadas

(3)

3 Tratamento da Imagem

Aquisição e Representação Tratamento Pré-processamento Segmentação

Extração de Características e Descrição Reconhecimento e Interpretação

(4)

4 Objetivo do Tratamento da Imagem

Melhorar a qualidade da imagem no que tange a:

9 Reduzir o nível de ruído

9 Melhorar o contraste (nitidez)

9 Reforçar o contorno dos objetos da imagem

9 Retirar regiões ou tonalidades não desejadas

9 Reduzir distorções ...

(5)

5 Operador Linear

Se G é um operador que transforma uma imagem f em uma

imagem g:

G: f g

G é um operador linear se:

G[a f + b g] = aG[f] + bG[g]

(6)

6 Convolução de Funções

Matematicamente, a convolução de duas funções contínuas é

dada por:

∫

∞

−

=

∗

g

x

f

α

g

x

α

d

α

x

f

(

)

(

)

(

)

(

)

Esta operação retorna a área da interseção das funções, resultante

do deslizamento de uma função sobre a outra

(7)

7 Convolução - Exemplo

1 1

f(a)

a

₁ 1/2

g(a)

a

1/2

g(-a)

a

-1 1/2

g(x - a)

a

-1 x 1/2

f(a) g(x-a)

a

-1 1 x 0≤x ≤ 1 1/2

f(a) g(x-a)

a

-1 1 x-1 1≤x ≤ 2 x

(8)

8 Convolução – Resultado Final

1/2

f(a) g(x-a)

a

-1 1 x 0≤x ≤ 1 1/2

f(a) g(x-a)

a

-1 1 x-1 1≤x ≤ 2 x 0 1 2 1/2

**f(x)*g(x)**

x

(9)

9 A Função Impulso (Delta)

É por definição uma função que só existe num determinado

ponto do espaço ou do tempo.

1

0

0 =

∫

−

=

−

∫

+

−

∞

−

x

dx

x

dx

x

)

(

)

(

δ

x

₀

δ(x-x

₀

)

1

(10)

10 )

(

)

(

)

(

x

₀

dx

f

x

₀

f

−

=

∫

∞

−

δ

A

a

f(a)

a

-T

T

g(a)

a

**f(x)*g(x)**

-T

-T+a

a

T

T+a

_x

A

(11)

11 Convolução para Funções Discretas

Seja:

f(x)= {f(0), f(1), f(2), ..., f(A-1)} / g(x)= {g(0), g(1), ..., g(B-1)}

Correlação assume f(x) e g(x) periódicas com período M.

M

≥ A + B -1







−

≤

−

≤

=

1

0

1

0 M

x

A

x

f

x

f

_e

(

)

(

)







−

≤

−

≤

=

1

0

1

0 M

x

B

x

g

x

g

_e

(

)

(

)

∑

−

=

−

=

1

0

1 M

m

e

f

m

g

x

m

M

x

g

x

f

(

)

*

(

)

(

)

(

)

(12)

12 Convolução para Funções Bidimensionais







−

≤

−

≤

−

≤

−

≤

=

1

0

1

0

1

0 N

y

B

ou

M

x

A

B

y

e

A

x

y

x

f

y

x

f

_e

(

,

)

(

,

)







−

≤

−

≤

−

≤

−

≤

=

1

0

1

0

1

0 N

y

D

ou

M

x

C

D

y

e

C

x

y

x

g

y

x

g

_e

(

,

)

(

,

)

∑ ∑

−

=

−

=

−

=

1

0

1

0

1 M

m

N

n

e

f

m

n

g

x

m

y

n

MN

y

x

g

y

x

f

(

,

)

*

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(13)

13 Correlação de Funções

Matematicamente, a correlação de duas funções contínuas é

dada por:

∫

∞

−

+

=

f

α

g

x

α

d

α

x

g

x

f

(

)

_o

(

)

*

(

)

(

)

Esta operação retorna a área da interseção das funções, resultante

do deslizamento de uma função sobre a outra sem rebatimento.

(14)

14 Correlação - Exemplo

1 1

f(a)

a

₁ 1/2

g(a)

a

1/2

g(x + a)

a

-1 x 1/2

f(a) g(x+a)

a

-1 1 x -1≤x ≤ 0 1/2

f(a) g(x+a)

a

-1 1 x 0≤x ≤ 1

(15)

15 Correlação - Exemplo

1/2

f(a) g(x+a)

a

-1 1 x -1≤x ≤ 0 1/2

f(a) g(x+a)

a

-1 1 x 0≤x ≤ 1 0 1 -1 1/2

f(x) o g(x)

x

(16)

16 Correlação para Funções Discretas

Seja:

f(x)= {f(0), f(1), f(2), ..., f(A-1)} / g(x)= {g(0), g(1), ..., g(B-1)}







−

≤

−

≤

=

1

0

1

0 M

x

A

x

f

x

f

_e

(

)

(

)







−

≤

−

≤

=

1

0

1

0 M

x

B

x

g

x

g

_e

(

)

(

)

∑

−

=

+

=

1

0

1 M

m

e

f

m

g

x

m

M

x

g

x

f

(

)

*

(

)

*

(

)

(

)

()

*

_complexo

_conjugado

_de

_f

f

⇒

(17)

17 Correlação para Funções Bidimensionais







−

≤

−

≤

−

≤

−

≤

=

1

0

1

0

1

0 N

y

B

ou

M

x

A

B

y

e

A

x

y

x

f

y

x

f

_e

(

,

)

(

,

)







−

≤

−

≤

−

≤

−

≤

=

1

0

1

0

1

0 N

y

D

ou

M

x

C

D

y

e

C

x

y

x

g

y

x

g

_e

(

,

)

(

,

)

∑ ∑

−

=

−

=

+

=

1

0

1

0

1 M

m

N

n

e

f

m

n

g

x

m

y

n

MN

y

x

g

y

x

f

(

,

)

*

(

,

)

*

(

,

)

(

,

)

(18)

18 Transformada de Fourier

)

( x

f

_{função contínua de “x” real}

∫

=

ℑ

∞

−

_dx

e

x

f

u

F

x

f

(

)}

(

)

(

)

j

2 π

ux

{

−

=

j

onde

1 ∫

=

ℑ

∞

−

1 _{

_F

₍

_u

_)}

_f

₍

_x

₎

_F

₍

_u

₎

_e

j

2 π

ux

_du

)

(

)

cos(

ux

jsen

ux

e

−

j

2 π

ux

=

2 π

−

2 π

(19)

19 Transformada de Fourier

Existe sempre que

f(x) for contínua e integrável e F(u) for

integrável (condições quase sempre satisfeitas na prática).

)

(

)

(

)

(

u

R

u

jI

u

F

=

+

Geralmente complexa

2

1

2

2 ₍

₎

₍

_)]

/

[

)

(

u

R

u

I

u

F

=

+

Espectro de Fourier









=

Φ

−

)

(

)

(

tan

)

(

u

R

u

I

u

1 Ângulo de fase

)

(

)

(

)

(

u

F

u

e

j

u

F

=

Φ

2 )

(

)

(

u

F

u

P

=

Espectro de Potência

(20)

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Função no domínio do es paço

x

y

Função no Domínio do Tempo

Hz

f

fx

(21)

21

-3000 -200 -100 0 100 200 300 50 100 150 200 250 300 Es pectro de Fourier

|F(y)|

f=20

f

(22)

22

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Funca o no dominio do e s pa co

Kz

f

Hz

f

Hz

f

50

100

20

3 2 1

=

Função no Domínio do Tempo

)

2 sen(

*

2 )

2 sen(

)

2 sen(

f

₁

x

f

₂

x

f

₃

x

y

=

π

+

π

−

π

(23)

23

-6000 -400 -200 0 200 400 600 200 400 600 800 1000 1200 Es pectro de Fourier

Importância relativa

f = 20, 50 e 100Hz

(24)

24

(25)

25 Componente DC

(26)

26 Sem componente

DC

(27)

27 $1000

Movimento de Numerário

(28)

28

25

106

(29)

29 )

(

)

(

x

F

u

f

⇔

X

A

-1/X

2/X

AX

[

]

uX

j

X

ux

j

X

ux

j

e

uX

sen

u

A

e

u

j

A

dx

Ae

u

F

π

−

=

−

=

∫

=

)

(

)

(

0

2

0

2

2 uX

uX

sen

AX

u

F

π

)

(

)

(

=

(30)

30 Transformada Bidimensional de Fourier

f(x,y) - contínua e integrável / F(u.v) - integrável

∫∫

+

−

+

−

=

ℑ

−

=

ℑ

dudv

e

v

u

F

y

x

f

v

u

F

j

onde

dxdy

e

y

x

f

v

u

F

y

x

f

vy

ux

j

vy

ux

j

)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

)}

,

(

{

)

,

(

)

,

(

)}

,

(

{

π

2

1

2

1 







=

Φ

−

)

,

(

)

,

(

tan

)

,

(

v

u

R

v

u

I

v

u

1

2 / 1 2 2

₍

_,

₎

₍

_,

₎₎

(

)

,

(

u

v

R

u

v

I

u

v

F

=

+

(31)

31 Transformada Bidimensional - Exemplo

f(x,y)

x

y

X

Y

A

vY

sen

uX

sen

AXY

v

u

F

π

)

(

)

(

)

,

(

=

(32)

32 )

,

( v

u

F

Em níveis de intensidade

(33)

33 Exemplo de Transformada Bi-dimensional

f(x,y)

(34)

34 Exemplo de Transformada Bi-dimensional

(35)

35 Exemplo de Transformada Bi-dimensional

(36)

36 Transformada Discreta de Fourier

1

0

0 +

∆

=

−

=

f

x

N

x

f

(

)

(

),

..

}

]

[

(

),...,

(

),

(

{

:

)

(

x

N

x

f

x

f

x

f

em

da

discretiza

x

f

∆

−

+

∆

+

₀

1

0

0 ∑

−

=

−

=

1

0

2

1 N

x

N

ux

j

e

x

f

N

u

F

π

)

(

)

(

f(x)

x

₀

x

₁

Dx

amostragem

(37)

37 Algumas Propriedades de Fourier

a) Separabilidade

∑ ∑

−

=

−

=

+

−

=

1

0

1

0

2

1 N

y

N

x

N

ux

vy

j

e

y

x

f

N

v

u

F

)

(

)

,

(

)

,

(

π

equivale a

(0,0)

(N-1,0)

(0,N-1)

x

y

f(x,y)

(0,0)

(N-1,0)

(0,N-1)

x

v

F(x,v)

(0,N-1)

v

(0,0)

(N-1,0)

u

F(u,v)

Linha x N

Coluna

∑

−

∑

=

−

=

−

=

1

0

1

0

2

2 )

,

(

1 )

,

(

N

x

N

y

N

uy

j

N

vx

j

e

y

x

f

e

N

v

u

F

π

(38)

38

512 512

20 )

2 sen(

:)

,

256 (

x

A

Hz

f

fx

A

=

π

(39)

39 Espectro de Fourier - |A(u,v)|

(40)

40 coluna

A

fft

v

y

A

(

,

)

=

(

,

512 ,

2 )

|A(y,v)|

-2500 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(41)

41 linha

A

fft

x

u

A

(

,

)

=

(

,

512 ,

1 )

)

2 ,

512 ),

,

(

)

,

(

u

v

fft

A

u

x

A

=

)

1 ,

512 ),

,

(

)

,

(

)

2 ,

512 ),

,

(

)

,

(

v

y

A

fft

v

u

A

x

u

A

fft

v

u

A

=

≡

=

(42)

42 linha

(43)

43

(44)

44 Linha

(45)

45 Qual o Espectro

Correto?

(46)

46 Algumas Propriedades de Fourier

b) Translação

)

,

(

)

,

(

)

(

o

N

y

o

v

x

o

u

j

v

u

F

e

y

x

f

⇔

−

+

π

2 translação no domínio da freqüência

N

o

vy

o

ux

j

o

y

F

u

v

e

x

f

)

(

)

,

(

)

,

(

+

−

⇔

−

π

2

(47)

47 Algumas Propriedades de Fourier

b) Rotação

Φ

=

Φ

=

Θ

=

Θ

=

r

y

rsen

u

w

v

wsen

x

cos

;

cos

;

coordenadas polares

)

,

(

)

,

(

r

_o

F

w

_o

f

Θ

+

Θ

⇔

Φ

+

Θ

A rotação de f(x,y) de um ângulo Q

₀

implicará em uma

rotação de F(u,v) do mesmo ângulo e vice-versa.

(48)

48 linha

(49)

(50)

50 Algumas Propriedades de Fourier

b) Escala

Para dois escalares a e b:













⇔

b

v

a

u

F

ab

by

ax

f

v

u

aF

y

x

af

,

)

,

(

)

,

(

)

,

(

1

(51)

51 Problema da Amostragem

Traduz-se na definição de uma taxa de amostragem sob a

qual a imagem original (contínua) possa ser completamente

recuperada a partir de um conjunto de valores amostrados.

f(x)

x

s(x)

x

-W

+W

u

F(u)

banda limitada

∆x

1/

∆x

u

S(u)

2/

∆x

-1/

∆x

-2/

∆x

...

(52)

52 Problema da Amostragem ...

s(x)f(x)

x

-W

+W

u

**S(u)*F(u)**

-1/

∆x

1/

∆x

...

W

x

2

1 ≤

∆

_Aliasing

(53)

53 Problema da Amostragem ...

-W

+W

u

**S(u)*F(u)**

-1/

∆x

1/

∆x

...

s(x)f(x)

x

Multiplicação espacial / Convolução em Fourier

-W

+W

1 G(u)

-W

+W

u

**F(u) = G(u)[S(u)*F(u)]**

(54)

54 Amostragem Função Bidimensional

x

y

s(x,y)

_{Banda Limitada}

u

v

F(u,v)

2W

_u

2W

_v

v

u

w

y

w

x

2

1 /

2

1 ≤

∆

≤

∆