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Trigonometria
Parte I
1. (Uerj 2013) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas
AB=CD=EF, contidas nas retas de maior declive de
cada rampa.
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente, h , h e 1 2 h , conclui-se que 3
1 2 h +h é igual a: a) h3 3 b) h3 2 c) 2h3 d) h3
2. (Uerj 2004) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o esquema a seguir.
A altura da torre, em metros, equivale a: a) 96
b) 98 c) 100 d) 102
3. (Uerj 2003) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura a seguir.
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30° com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60° com a mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a: a) 500
b) 500
3
c) 1.000 d) 1.000
3
4. (Uerj 2000) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 52 cm.
De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:
a) 10° b) 12° c) 13° d) 14°
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Ela representa um papel quadrado ABCD, com 10 cm de lado, que foi dobrado na linha AM, em que M é o ponto médio do lado
BC
. Se, após a dobra, A, B, C, D e M são coplanares, determine:a) a distância entre o ponto B e o segmento
CD
; b) o valor de tgθ
.Parte II
1. (Fuvest 2013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava
sombra e determinou o ângulo θ entre as direções do
bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km.
O mês em que foram realizadas as observações e o valor
aproximado de θ são
(Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria ≈900 km;π=3.) a) junho; 7°. b) dezembro; 7°. c) junho; 23°. d) dezembro; 23°. e) junho; 0,3°.
2. (Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com
OA=OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida
do ângulo AOB,ˆ pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se
Dados os valores aproximados:
tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679 tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317 ° ≅ ° ≅ ° ≅ ° ≅ a) 14° < <θ 28° b) 15° < <θ 60° c) 20° < <θ 90° d) 25° < <θ 120° e) 30° < <θ 150°
3. (Insper 2014) Considere o quadrilátero convexo ABCD
mostrado na figura, em que AB=4cm, AD=3cm e
ˆ
A=90 .°
Se a diagonal BD está contida na bissetriz do ângulo ABC ˆ
e BD=BC, então a medida do lado CD, em centímetros,
vale a) 2 2. b) 10. c) 11. d) 2 3. e) 15.
4. (Insper 2014) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS está inscrito na circunferência trigonométrica, os arcos AP e AQ têm medidas iguais a α e ,β respectivamente, com
0<α< <β π.
Sabendo que cosα=0,8, pode-se concluir que o valor de cos β é a) −0, 8. b) 0, 8. c) −0, 6. d) 0, 6. e) −0, 2.
5. (Insper 2014) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei
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f(x)=(sen x+cos x) −(sen x−cos x)
O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a a) 5 . 12 π b) 4 . 9 π c) 3 . 8 π d) 5 . 6 π e) 2 . 3 π
6. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x=tg x. O valor de sen x é a) 3 1. 2 − b) 1 3. 2 − c) 5 1. 2 − d) 1 5. 2 −
7. (Unesp 2014) O conjunto solução (S) para a inequação
2
2 cos x⋅ +cos(2x)>2, em que 0< <x π, é dado por: a) S x (0, ) | 0 x 6 π π = ∈ < < ou 5 x 6 π π < < b) S x (0, ) | x 2 3 3 π π π = ∈ < < c) S x (0, ) | 0 x 3 π π = ∈ < < ou 2 x 3 π π < < d) S x (0, ) | x 5 6 6 π π π = ∈ < < e) S=
{
x∈(0, )π}
8. (Unifesp 2013) A sequência (12,a,b), denominada S1, e a
sequência (c,d,e), denominada S2, são progressões
aritméticas formadas por números reais.
a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de S1, a nova sequência de três números reais passa a ser
uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão dessa PG.
b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S2, a nova sequência que se forma tem soma dos três
termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero. Determine a razão r de S2, para o caso em que
r .
2 π
π < <
9. (Unifesp 2013) Na figura, ABCDEFGH é um
paralelepípedo reto-retângulo, e PQRE é um tetraedro regular de lado 6cm, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que:
— P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH;
— Q pertence à aresta EH;
— T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG da face EFGH;
— RF é um arco de circunferência de centro E.
a) Calcule a medida do arco RF, em centímetros.
b) Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH, em cm3.
Parte III
1. (Ufjf 2012) Dois estudantes I e II desejam medir a altura, H, de um prédio, utilizando-se de conhecimentos
matemáticos. Distanciados um do outro de x metros, os estudantes fazem visadas atingindo a ponta da antena de altura h situada no topo do prédio, segundo os ângulos α e
,
β representados no esboço abaixo.
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2. (Ufjf 2012) Considere dois triângulos ABC e DBC, de mesma base BC , tais que D é um ponto interno ao triângulo ABC. A medida de BC é igual a 10 cm. Com relação aos ângulos internos desses triângulos, sabe-se que
ɵ ɵ
DBC=BCD , DCA=30º , DBA =40º , BAC=50º.
a) Encontre a medida do ângulo BDC.
b) Calcule a medida do segmento BD. c) Admitindo-se tg (50º ) 6,
5
= determine a medida do
segmento AC.
3. (Ufjf 2012) A figura abaixo representa um rio plano com margens retilíneas e paralelas. Um topógrafo situado no ponto A de uma das margens almeja descobrir a largura desse rio. Ele avista dois pontos fixos B e C na margem oposta. Os pontos B e C são visados a partir de A, segundo ângulos de 60° e 30°, respectivamente, medidos no sentido anti-horário a partir da margem em que se encontra o ponto A. Sabendo que a distância de B até C mede 100 m, qual é a largura do rio?
a) 50 3 m b) 75 3 m c) 100 3 m d) 150 3 m e) 200 3 m
4. (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias
construídas no interior da praça, sendo que AB=80 m.De
acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a:
a) 160 3m 3 b) 80 3 m 3 c) 16 3 m 3 d) 8 3 m 3 e) 3 m 3
5. (Ufjf 2011) Considere um triângulo ABC retângulo em
C e α o ângulo ˆBAC. Sendo AC=1 e sen( ) 1,
3 α =
quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo?
a) 3 b) 2 2 3 c) 10 d) 3 2 4 e) 3 2
6. (Ufjf 2011) Na figura a seguir, considere o retângulo
ABDG. Sejam C e E pontos dos segmentos BD e DG, respectivamente, e F um ponto do segmento EC .
Sabendo que AB=3 cm, BC=1cm, BÂF=45 e °
= ° ˆ
DCE 30 , determine a medida do comprimento do
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7. (Ufjf 2007) Considere as funções f, g e h definidas a seguir e os 3 gráficos apresentados.
I. f : IR
→
IR, f (x) = sen (2x) II. g : IR→
IR, g (x) = sen| x |
III. h : IR
→
IR, h (x) = sen (-x)A associação que melhor corresponde cada função ao seu respectivo gráfico é: a) I - A, II - B e III - C. b) I - A, II - C e III - B. c) I - B, II - A e III - C. d) I - B, II - C e III - A. e) I - C, II - A e III - B.
8. (Ufjf 2007) Os lados AB e AC de um triângulo ABC
formam um ângulo α, tal que cos α =1
3. Sabe-se que a
medida do lado BC é igual a 32cm e que a medida do
lado AC é o triplo da medida do lado AB. Sendo β o ângulo formado entre os lados AC e BC, podemos afirmar que: a) â < 300 e a medida do lado AB é um inteiro par. b) â < 30° e a medida do lado AB é um inteiro ímpar. c) 30° ≤ â < 45° e a medida do lado AB é um inteiro par. d) 30° ≤ â < 45° e a medida do lado AB é um inteiro ímpar. e) 45° ≤ â < 60° e a medida do lado AB é um inteiro par. 9. (Ufjf 2007) Considere a função f : [0, 2π]→ IR definida por f(x) = 2 + cos x.
a) Determine todos os valores do domínio da função f para os quais f(x) ≥ 3/2.
b) Seja g : [0, π]→ IR a função definida por g(x) = 2x. Determine a função composta h = fog, explicitando sua lei de formação, seu domínio e contradomínio.
c) Verifique que a lei da função composta h pode ser escrita na forma h(x) = 3 - 2sen2x.
10. (Ufjf 2006) Dois ângulos distintos, menores que 360°, têm, para seno, o mesmo valor positivo. A soma desses ângulos é igual a: a) 45°. b) 90°. c) 180°. d) 270°. e) 360°.
11. (Ufjf 2006) Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a 12/13. O cosseno desse ângulo é igual a:
a) 5/13. b) 1/13. c) - 5/13. d) - 1/13. e) - 12/13.
12. (Ufjf 2006) Considere uma circunferência de raio R e três circunferências menores de raio r tangentes internas a ela e tangentes externas entre si. A razão entre os raios R e r é: a) 2 . b)
3 3
2
. c)2 3
3
3
+
d)3 2
2
2
−
e)2 3 1
+
13. (Ufjf 2003)Num terreno em forma de um trapézio ABCD, com ângulos retos nos vértices A e B, deseja-se construir uma casa de base retangular, com 8 metros de frente, sendo esta paralela ao limite do terreno representado pelo segmento AD, como mostra a figura. O código de obras da cidade, na qual se localiza este terreno, exige que qualquer construção tenha uma distância mínima de 2 metros de cada divisa lateral. Sendo assim, para aprovação do projeto da casa a ser construída, é necessário que sua frente mantenha uma distância mínima do limite representado pelo segmento AD de:
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a) 2 m. b) 4 m. c) 6 m. d) 8 m. e) 10 m.14. (Ufjf 2003) O valor de y = sen2 10° + sen2 20° + sen2 30° + sen2 40° + sen2 50° + sen2 60° + sen2 70° + sen2 80° + sen2 90° é: a) -1. b) 1. c) 2. d) 4. e) 5.
15. (Ufjf 2002) A uma tela de computador está associado um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no canto inferior esquerdo. Um certo programa gráfico pode ser usado para desenhar na tela somente retas de inclinações iguais a 0°, 30°, 45°, 60° e 90° em relação ao eixo horizontal. Então, considerando-se os pontos a seguir, o único que NÃO pode estar sobre uma reta, a partir da
origem, desenhada por este programa é:
a) (0, 10 3 ). b) (10 3 , 0). c) (10 3, 10 3).
d) (10 3 , 3 ).
e) (10 3, 10).
16. (Ufjf 2002) Se θ for um ângulo tal que 0° < θ < 90° e cosθ<1/5, é CORRETO afirmar que:
a) 0° < è < 30°. b) 30° < è < 45°. c) 45° < è < 60°.
d) 60° < è < 75°. e) 75° < è < 90°.
17. (Ufjf 2002) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que MELHOR aproxima a altura do edifício, em metros, é: Use os valores: sen30° = 0,5 cos30° = 0,866 tg30° = 0,577 a) 112. b) 115. c) 117. d) 120. e) 124.
Parte IV
1. (Uerj 2010) Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano.
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A.
Considere que:
• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas;
• à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC.
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação: a) y = 4 + sen(x) b) y = 4 + cos(x) c) 2 y= sen(x) + 16−cos (x) d) 2 y= cos(x) + 16−sen (x)
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Analise os passos seguidos em sua construção:
1º) traçar um semicírculo de diâmetro
AB
com centroC
e raio
2 cm ;
2º) traçar o segmento
CD,
perpendicular aAB,
partindodo ponto
C
e encontrando o pontoD,
pertencente ao arcoAB ;
3º) construir o arco circular
AE,
de raioAB
e centroB,
sendo
E
a interseção com o prolongamento do segmentoBD ,
no sentidoB
paraD ;
4º) construir o arco circular
BF,
de raioAB
e centroA,
sendo
F
a interseção com o prolongamento do segmentoAD ,
no sentidoA
paraD ;
5º) desenhar o arco circular
EF
com centroD
e raioDE.
Determine o comprimento, em centímetros, da curva
AEFB.
3. (Uerj 2009) Considere o teorema e os dados a seguir.
Se
α β e α
,
+ são três ângulos diferentes de
β
k , k
,
2
π
π
+
∈ ℤ então
tg
tg
tg(
)
.
1 (tg )(tg )
α
β
α
β
α
β
+
+
=
−
a, b e c são três ângulos, sendo tgb
= e
2
4
tg(a
b
c)
.
5
+ +
=
Calcule tg(a - b + c). 4. (Uerj 2006)No esquema acima estão representadas as trajetórias de dois atletas que, partindo do ponto X, passam
simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B por caminhos diferentes, com velocidades iguais e constantes. Um deles segue a trajetória de uma
semicircunferência de centro O e raio 2R. O outro percorre duas semicircunferências cujos centros são P e Q.
Considerando
2
= 1,4, quando um dos atletas tiverpercorrido 3/4 do seu trajeto de A para B, a distância entre eles será igual a:
a) 0,4 R b) 0,6 R c) 0,8 R d) 1,0 R
5. (Uerj 2006) O preço dos produtos agrícolas oscila de acordo com a safra de cada um: mais baixo no período da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o preço aproximado P, em reais, do quilograma de tomates seja dado pela função P(t) = 0,8 × sen [(2ð/360) (t-101)] + 2,7, na qual t é o número de dias contados de 10. de janeiro até 31 de dezembro de um determinado ano.
Para esse período de tempo, calcule:
a) o maior e o menor preço do quilograma de tomates; b) os valores t para os quais o preço P seja igual a R$ 3,10.
Parte V
1. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x=tg x. O valor de sen x é a) 3 1. 2 − b) 1 3. 2 −
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c) 5 1. 2 − d) 1 5. 2 −2. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com
2 2
π α π
− < < e 0< <β π. Se o sistema de equações, dado em notação matricial,
0 3 6 tg , 6 8 cos 2 3 α β = −
for satisfeito, então α β+ é igual a a) 3 π − b) 6 π − c) 0 d) 6 π e) 3 π
3. (Unesp 2013) A caçamba de um caminhão basculante
tem 3 m de comprimento das direções de seu ponto mais
frontal P até a de seu eixo de rotação e 1m de altura entre os pontos P e Q. Quando na posição horizontal isto é, quando os segmentos de retas r e s se coincidirem, a base do fundo da caçamba distará 1,2 m do solo. Ela pode girar, no máximo, α graus em torno de seu eixo de rotação, localizado em sua parte traseira inferior, conforme indicado na figura.
Dado cos α= 0,8, a altura, em metros, atingida pelo ponto P, em relação ao solo, quando o ângulo de giro α for máximo, é a) 4,8. b) 5,0. c) 3,8. d) 4,4. e) 4,0.
4. (Fgv 2013) No círculo trigonométrico de raio unitário indicado na figura, o arco AB mede .α Assim, PM é igual a
a) − −1 tgα b) 1 cos− α c) 1 cos+ α d) 1 sen+ α e) − +1 cotgα
5. (Unicamp 2013) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a
decolagem, fora de escala.
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de
a) 3,8 tan (15°) km. b) 3,8 sen (15°) km. c) 3,8 cos (15°) km. d) 3,8 sec (15°) km.
