ÁLGEBRA MATRICIAL a AVALIAÇÃO PARCIAL - 17/12/2018 Prova comentada

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ALGEBRA MATRICIAL - 2018.2 - 1

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AVALIAC

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AO PARCIAL - 17

/12/2018

Prova comentada

1. No preparo do solo para o plantio, é preciso fornecer (através de fertilizantes) os macro-nutrientes primários (Nitrogênio, F ósforo e Potássio), os macromacro-nutrientes secundários (Cálcio, Magnésio e enxofre) e os Micronutrientes (Boro, Ferro, Zinco, Manganês, Co-bre, Molibdênio e Cloro). Em uma determinada localidade, é recomendado que cada hectare1 _{de terreno seja tratado com 298kg de f ósforo, 365kg de potássio, 567kg de} nitrogênio e 40,6kg de cálcio. Suponha que existam quatro marcas de fertilizantes no mercado, digamos, as marcas X, Y, Z e W. Uma porção de 100g da marca X contém 3g de f ósforo, 4g de potássio, 7g de nitrogênio e 0,3g de cálcio. Uma porção de 100g da marca Y contém 1g de f ósforo, 2g de potássio, 1g de nitrogênio e 0,2g de cálcio. Já uma porção de 100g da marca Z contém 3g de f ósforo, 3g de potássio, 6g de nitrogênio e 0,4g de cálcio. Por fim, cada 100g da marca W contém 5g de f ósforo, 4g de potássio, 7g de nitrogênio e 0,9g de cálcio.

Quest˜ao central: quantos quilogramas de cada fertilizante de-vem ser comprados para que 50 hectares de terra sejam prepa-rados adequadamente? Para tanto, responda os itens a seguir:

(a) (0,5) Construa um quadro para abrigar as informaç ões sobre cada marca de fertilizante e suas respectivas quantidades (por porção de 100g) dos nutrientes menci-onados acima.

Neste item, há diversas formas para se construir tal quadro. Considerando diferenças nas unidades de medidas a serem adotadas, vemos três possibilidades a seguir.

Nutrientes g por porc¸˜ao de 100g Total (Kg/hec)

X Y Z W F ósforo 3 1 3 5 298 Potássio 4 2 3 4 365 Nitrogênio 7 1 6 7 567 Cálcio 0,3 0,2 0,4 0,9 40,6 ou

Nutrientes g por porc¸˜ao de 100g Total (g/hec)

X Y Z W F ósforo 3 1 3 5 298.000 Potássio 4 2 3 4 365.000 Nitrogênio 7 1 6 7 567.000 Cálcio 0,3 0,2 0,4 0,9 40.600 ou

Nutrientes g por porc¸˜ao de 1kg Total (Kg/hec)

X Y Z W F ósforo 30 10 30 50 298 Potássio 40 20 30 40 365 Nitrogênio 70 10 60 70 567 Cálcio 3 2 4 9 40,6 1_{Quadrado de lado 100m.}

(2)

(b) (0,5) Visando a montagem de um sistema para resolver a quest˜ao central deste problema, quais as vari´aveis e o que elas representam?

A questão central é determinar quantos quilogramas devem ser comprados de cada marca de fertilizante. Então, nada mais natural do que usar as variáveis x, y, z, w onde:

• _{x: quantidade em Kg do fertilizante X;} • _{y: quantidade em Kg do fertilizante Y;} • _{z: quantidade em Kg do fertilizante Z;} • _{w: quantidade em Kg do fertilizante W;}

Poderia-se adotar a unidade de medidas em gramas (g), com cuidado na hora da montagem e/ou interpretação da solução do sistema.

(c) (2,0) Construa um sistema de equaç ões lineares, cuja solução represente ao pro-prietário da terra, a maneira mais adequada para uso das quatro marcas de fertilizantes.

Vamos considerar o terceiro quadro apresentado no item (a) e analisar o nutriente F ósforo: são necessários 298Kg deste nutriente para preparar 1 hectare de solo.

Se para cada quilograma do fertilizante X, tem-se 30g de f ´osforo, ent˜ao para x quilogramas do fertilizante X, teremos30x gramas

de f ´osforo.

Da mesma forma, se para cada quilograma do fertilizante Y tem-se 10g de f ósforo, então para y quilogramas deste fertilizante, teremos 10y gramas de f ósforo.

Repetindo o racioc´ınio para as marcas Y e W, temos 30z gramas de f ´osforo em z quilogramas do ferttilizante Z e 50w gramas de f ´osforo em w quilogramas do fertilizante W.

Além disso, o total de f ósforo para esta área (1 hectare) deve ser de exatamente 298Kg (ou 298.000g). Logo: 30x+ 10y + 30z + 50w | {z } Em gramas = 298.000 | {z } Em gramas

Analogamente constru´ımos as demais equac¸ ˜oes:

40x+ 20y + 30z + 40w = 365.000 70x+ 10y + 60z + 70w = 567.000

3x+ 2y + 4z + 9w = 40.600 chegando, assim, ao seguinte sistema:

             30x+ 10y + 30z + 50w = 298.000 40x+ 20y + 30z + 40w = 365.000 70x+ 10y + 60z + 70w = 567.000 3x+ 2y + 4z + 9w = 40.600

Lembrando: x, y, z e w s˜ao as quantidades dequilogramasde cada fertilizante.

(3)

Matriz Ampliada do sistema:             30 10 30 50 | 298.000 40 20 30 40 | 365.000 70 10 60 70 | 567.000 3 2 4 9 | ₄₀₆₀₀            

Simplificando as três primeiras linhas (dividindo por 10) e já partindo para o método de Gauss-Jordan, temos:             3 1 3 5 | 29800 4 2 3 4 | 36500 7 1 6 7 | 56700 3 2 4 9 | 40600             ← 3L2− 4L1 ← 3L3− 7L1 ← _L₄−_L₁             3 1 3 5 | ₂₉₈₀₀ 0 2 −3 −8 | ₋₉₇₀₀ 0 −4 −3 −14 | −38500 0 1 1 4 | ₁₀₈₀₀             ← 2L1−L2 ←_L₃+ 2L₂ ← 2L4−L2             6 0 9 18 | ₆₉₃₀₀ 0 2 −3 −8 | ₋₉₇₀₀ 0 0 −9 −30 | −57900 0 0 5 16 | ₃₁₃₀₀             ← _L₁/3 ← −_L₁/3             2 0 3 6 | ₂₃₁₀₀ 0 2 −3 −8 | −9700 0 0 3 10 | 19300 0 0 5 16 | 31300             ←_L₁−_L₃ ←_L₂+ L₃ ← 3L4− 5L3             2 0 0 −4 | 3800 0 2 0 2 | ₉₆₀₀ 0 0 3 10 | 19300 0 0 0 −2 | −2600             ←_L₁/2 ←_L₂/2 ←_L₄/ − 2             1 0 0 −2 | 1900 0 1 0 1 | ₄₈₀₀ 0 0 3 10 | 19300 0 0 0 1 | ₁₃₀₀             ←_L 1+ 2L4 ←_L₂−_L₄ ←_L₃_{− 10L}₄             1 0 0 0 | 4500 0 1 0 0 | 3500 0 0 3 0 | 6300 0 0 0 1 | 1300             ← _L₃/3

(4)

            1 0 0 0 | 4500 0 1 0 0 | 3500 0 0 1 0 | 2100 0 0 0 1 | 1300            

Portanto, a solução do sistema é: (4500, 3500, 2100, 1300), ou seja, para preparar 1 hectare de solo são necessários:

• 4500kg do fertilizante da marca X; • 3500kg do fertilizante da marca Y; • 2100kg do fertilizante da marca Z; • 1300Kg do fertilizante da marca W.

(e) (2,0) Qual a solução do problema, isto é, da questão central?

Para resolver o problema, lembre que 50 hectares de solo devem ser preparados. Por-tanto, as quantidades encontradas no item anterior devem ser multiplicadas por 50. Da´ı, devem ser comprados:

• 225.000kg do fertilizante da marca X; • 175.000kg do fertilizante da marca Y; • 105.000kg do fertilizante da marca Z; • 65.000kg do fertilizante da marca W.

2. Sejam abc.de f.ghi − jk o n ´umero do seu CPF e S o sistema a seguir: S          ix + by + cz = 2 dx + ey + f z = 1 gx + hy + az = 1

Na montagem da matriz aumentada do sistema S, g, e, c formam a diagonal secund´aria da matriz dos coeficientes.

(a) (2,0) Use operaç ões elementares na matriz aumentada até que cada elemento da diagonal secundária (na parte dos coeficientes) seja igual a 1 e que cada elemento fora da diagonal secundária (mas ainda considerando a parte dos coeficientes) seja igual a 0.

Considerando o CPF fict´ıcio 123.456.789-00, temos a seguinte matriz ampliada:          9 2 3 | ₂ 4 5 6 | ₁ 7 8 1 | ₁                   9 2 3 | ₂ 4 5 6 | ₁ 7 8 1 | ₁          ←_L₂_{− 2L}₁ ← 3L3−L1

(5)

         9 2 3 | 2 −14 1 0 | −3 12 22 0 | 1          ←_L₁_{− 2L}₂ ←_L₃_{− 22L}₂          37 0 3 | 8 −14 1 0 | −3 320 0 0 | 67          ← 320.L1− 37.L3 ← 160.L2+ 7.L3         0 0 960 | 81 0 160 0 | ₋₁₁ 320 0 0 | ₆₇         ←_L₁/960 ←_L₂/160 ←_L 3/320                           0 0 1 | 27 320 | 0 1 0 | −11 160 | 1 0 0 | 67 320                          

(b) (1,0) De acordo com a forma escalonada obtida no item (a), qual a soluc¸˜ao do sistema S?

Observe que a posição dos pivots influenciam na solução do sistema. O pivot da coluna 1 corresponde a variável x, ou seja, x= 67

320. Assim, a solução do sistema é: S= ₆₇ 320, −11 160, 27 320